Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος
Καθηγητ'ς Μαθηµατικ,ν
Πτυχιο2χος Αριστοτελε8ου Πανεπιστηµ8ου Θεσσαλον8κης
Τριγωνοµετρία
Νέα Μουδανιά - Ιούλιος 2015 - 2η έκδοση
Αναλυτική θεωρία.
Αναλυτική μεθοδολογία
για τις ασκήσεις.
Β΄ Λυκείου
Άλγεβρα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Αναλυτική θεωρία,
με πολλές συμπληρώσεις και παρατηρήσεις.
Αναλυτική μεθοδολογία για τις ασκήσεις.
ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ, γίνεται παράθεση
όλων εκείνων των στοιχείων της θεωρίας, που
αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο.
ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ όµως, γίνεται
πλήρης και εκτενής ανάλυση της θεωρίας,
εξηγούνται (και γίνεται προσπάθεια να
εξαπλουστευθούν) όλα εκείνα τα στοιχεία
της θεωρίας, που στο σχολικό βιβλίο
παρουσιάζονται λιτά.
ΔΩΣΕ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ
ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ !
,έα Μ5υδαν1ά, Ι5ύλ15ς 2 15, 20 έ2δ5σ0

Περιεχόµενα
ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ. Στοιχεία από την θεωρία.
1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας.
Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας..................................................................................................2
Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0° ≤ ω ≤ 360°.........................................................................2
Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 360° και αρνητικών γωνιών...............................3
Ο τριγωνομετρικός κύκλος......................................................................................................................4
Ο άξονας των εφαπτομένων...................................................................................................................5
Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών................................................................................................5
Πίνακας τργωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών.........................................................................6
2. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.....................................................................................................7
3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο...............................................................................................................8
4. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Περιοδικές συναρτήσεις..........................................................................................................................9
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών............................................................................9
Μελέτη της συνάρτησης f(x) ημx....................................................................................................10
Μελέτη της συνάρτησης f(x) συνx..................................................................................................11
Μελέτη της συνάρτησης f(x) εφx....................................................................................................11
Συνάρτηση της μορφής f(x) ρ ημωx, όπου ρ, ω > 0.......................................................................12
5. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.....................................................................................................13
6. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών....................................................................................14
7. Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α..............................................................................................15

ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ. Συμπληρώσεις στην θεωρία
και μεθοδολογία ασκήσεων.
1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας.
1. Ο τριγωνομετρικός κύκλος: πώς αξιοποιείται ; .........................................................................17
2. Μοίρες και ακτίνια ως μονάδες μέτρησης γωνιών.....................................................................18
3. Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών 1ου τεταρτημορίου...............................19
2. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.
Είδη ασκήσεων και τι κάνεις κατά περίπτωση.
1ο είδος. Αποδεικτικές ασκήσεις.....................................................................................................21
2ο είδος. Ταυτότητες υπό συνθήκη.................................................................................................23
3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο.
Πώς θα υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας μεγαλύτερης των 90°.
Α. Η γωνία καταλήγει στο 1ο τεταρτημόριο....................................................................................25
Πώς θα υπολογίσω τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας μεγαλύτερης των 360° ; ...........................26
Β. Η γωνία καταλήγει στο 2ο τεταρτημόριο....................................................................................27
Πώς θα υπολογίσω τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας
που καταλήγει στο 2ο τεταρτημόριο ; Οι γωνίες 120°, 135°, 150°..........................................28
Γ. Η γωνία καταλήγει στο 3ο τεταρτημόριο....................................................................................30
που καταλήγει στο 3ο τεταρτημόριο ; Οι γωνίες 210°, 225°, 240°.........................................31
Δ. Η γωνία καταλήγει στο 4ο τεταρτημόριο...................................................................................32
που καταλήγει στο 4ο τεταρτημόριο ; Οι γωνίες 300°, 315°, 330°........................................34
4. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις.........................................................................................................36
5. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
Υπενθυμίσεις από την θεωρία..............................................................................................................37
Οι λύσεις όλων των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Α. Οι βασικές εξισώσεις με ημίτονο.................................................................................................38
Β. Οι βασικές εξισώσεις με συνημίτονο...........................................................................................39
Γ. Οι βασικές εξισώσεις με εφαπτομένη..........................................................................................39
Δ. Οι βασικές εξισώσεις με συνεφαπτομένη....................................................................................40
Ιδιαίτερες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.....................................................................................40
Κατηγορίες εξισώσεων.
1η κατηγορία. Εξισώσεις, που ανάγονται άμεσα στις βασικές.......................................................41
Μορφή Α. Είναι εξ αρχής παραγοντοποιημένες.....................................................41
Μορφή Β. Μπορούν να παραγοντοποιηθούν..........................................................42

Μορφή Γ. Έχουν έναν μόνο τριγωνομετρικό αριθμό..............................................42
2η κατηγορία. Εξισώσεις, που έχουν (και) «σύνθετη» γωνία (όχι απλό x).................................44
3η κατηγορία. Εξισώσεις, που λύνονται μ' αντικατάσταση............................................................45
4η κατηγορία. Εξισώσεις, στις οποίες χρησιμοποιούνται τύποι της Τριγωνομετρίας
και ανάγονται σε κάποια από τις προηγούμενες κατηγορίες..................................47
5η κατηγορία. Εξισώσεις, που ζητείται να λυθούν σε διάστημα.....................................................48
Μερικές πολύ ιδιαίτερες μορφές εξισώσεων.
1η μορφή. ημx α συνx (ή, ισοδύναμα, συνx α ημx)................................................................50
2η μορφή. ημf(x) συνg(x)...........................................................................................................51
6. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών....................................................................................54
7. Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α..............................................................................................55

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναλυτική θεωρία και µεθοδολογία ασκήσεων.
Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr
- 1 -
ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ
Στοιχεία από την θεωρία

1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας.
Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας.
Στο Γυμνάσιο διδάχθηκαν οι παρακάτω ορισμοί για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς
μιας οξείας γωνίας, ω, σ' ένα ορθογώνιο τρίγωνο:
α) ηµω =
απεναντι καθετη
υποτεινουσα
. β) συνω =
προσκειµενη καθετη
υποτεινουσα
.
γ) εϕω =
. δ) σϕω =
.
Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0º ≤ ω ≤ 360º.
Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Μ(x, y) ένα οποιοδήποτε
σημείο του επιπέδου, διαφορετικό της αρχής των αξόνων Ο.
Ενώνουμε το Μ με το Ο και
έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα
ΟΜ. Ονομάζουμε ω την γωνία
που σχηματίζει ο ημιάξονας
Ox, όταν περιστραφεί αντίθε-
τα με την φορά κίνησης των
δεικτών του ρολογιού (την φο-
ρά αυτή την αποκαλούμε «θετική φορά»), μέχρι να συμπέσει με την ΟΜ.
Ισχύουν τότε:
α) ηµω =
y
ρ
, όπου ρ = x2
+y2
> 0 .
β) συνω =
x
ρ
, όπου ρ = x2
+y2
> 0 .
γ) εϕω =
y
x
(εφόσον είναι x ≠ 0 ).
δ) σϕω =
x
y
(εφόσον είναι y ≠ 0 )
όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο της τε-
λικής πλευράς της γωνίας ω και ρ = x2
+y2
> 0 η απόσταση του Μ από το Ο.
Σχόλιο. Αν η φορά περιστροφής της παραπάνω γωνίας ήταν σύμφωνα με την φορά
των δεικτών του ρολογιού, τότε θα είχαμε την λεγόμενη «αρνητική φορά».
- 2 -

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 360º και αρνητικών γωνιών.
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών, που είναι μεγαλύτερες από 360°, καθώς και των
αρνητικών γωνιών (γωνιών δηλαδή, που σχηματίζονται με αρνητική φορά περιστροφής
όπως αυτή περιγράφηκε στο παραπάνω σχόλιο), ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρι-
κοί αριθμοί γωνιών από 0° μέχρι 360°.
Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε:
α) ηµω =
y
ρ
, όπου ρ = x2
+y2
> 0 .
β) συνω =
x
ρ
, όπου ρ = x2
+y2
> 0 .
γ) εϕω =
y
x
(εφόσον είναι x ≠ 0 ).
δ) σϕω =
x
y
(εφόσον είναι y ≠ 0 )
όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο της τε-
λικής πλευράς της γωνίας ω και ρ = x2
+y2
> 0 η απόσταση του Μ από το Ο.
Αν ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την θετική φορά, συμπληρώ-
σει ν πλήρεις στροφές και, στην συνέχεια, διαγράψει την γωνία ω, τότε έχει διαγρά-
ψει γωνία ν ⋅360ο
+ ω , που έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω.
Αν, όμως, η στροφή γίνει κατά την αρνητική φορά, τότε θα έχει διαγράψει γωνία
−ν ⋅360ο
+ ω , που έχει κι αυτή την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω.
Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής κ ⋅360ο
+ ω, κ ∈ ! , επειδή έχουν την ίδια
τελική πλευρά με την γωνία ω, θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς.
Επομένως, για κάθε κ ∈ ! ισχύει:
α) ηµ(κ ⋅360ο
+ ω) = ηµω . β) συν(κ ⋅360ο
+ ω) = συνω .
γ) εϕ(κ ⋅360ο
+ ω) = εϕω . δ) σϕ(κ ⋅360ο
+ ω) = σϕω .
Σχόλιο. Με βάση τους παραπάνω τύπους, «μπακάλικα» μπορούμε να πούμε ότι κά-
νουμε το εξής, όταν έχουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας μεγαλύτερης των 360°:
διαιρούμε την γωνία με το 360 και κρατάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης.
Παράδειγμα 1. ηµ390ο
= ηµ(360ο
+ 30ο
) = ηµ30ο
=
1
2
.
Παράδειγμα 2. συν765ο
= συν(2⋅360ο
+ 45ο
) = συν45ο
=
2
2
.
- 3 -

Παράδειγμα 3. εϕ1140ο
= εϕ(3⋅360ο
+ 60ο
) = εϕ60ο
= 3 .
Παράδειγμα 4. σϕ1470ο
= σϕ(4 ⋅360ο
+ 30ο
) = σϕ30ο
= 3 .
Ο τριγωνομετρικός κύκλος.
Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο
επίπεδο.
Με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ 1, γράφουμε
έναν κύκλο, ο οποίος λέγεται τριγωνομετρι-
κός κύκλος.
Με αρχή το Ο και στρεφόμενοι κατά την θετι-
κή φορά, διαγράφουμε μια γωνία ω. Έστω
M(x, y) το σημείο, στο οποίο η τελική πλευρά
της γωνίας αυτής τέμνει τον κύκλο.
Ισχύουν τότε: α) συνω = x . β) ηµω = y .
Γι' αυτόν τον λόγο, ο άξονας x'x λέγεται και
άξονας των συνημιτόνων, ενώ ο άξονας y'y
λέγεται και άξονας των ημιτόνων.
Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής:
α) ισχύουν: −1 ≤ ηµω ≤1 και −1 ≤ συνω ≤1 , για οποιαδήποτε γωνία ω.
β) από τον τριγωνομετρικό κύκλο προκύπτουν τα πρόσημα των τριγωνομετρικών
αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική
πλευρά της γωνίας αυτής.
Σχόλιο. Με βάση την ιδιότητα της απόλυτης τιμής, | x | ≤ α ⇔ −α ≤ x ≤ α , για κάθε
x ∈ ! και α > 0 , οι ιδιότητες που υπάρχουν στα παραπάνω πλαίσια γράφονται
ισοδύναμα −1 ≤ ηµω ≤1 ⇔ | ηµω | ≤1 και −1 ≤ συνω ≤1 ⇔ | συνω | ≤1 .
- 4 -

Ο άξονας των εφαπτομένων.
Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γω-
νία ω, η τελική πλευρά της οποίας τον τέμνει
στο σημείο M(x, y). Φέρνουμε την εφαπτομένη (ε)
του κύκλου στο σημείο Α, που είναι το σημείο
στο οποίο ο κύκλος τέμνει τον άξονα x'x.
Αν η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει την
ευθεία (ε) σε σημείο Ε(1,yΕ
) , τότε ισχύει
εϕω = yΕ
.
Για τον λόγο αυτόν, η ευθεία (ε), που έχει εξίσω-
ση x = 1 , λέγεται άξονας των εφαπτομένων.
Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών.
α) Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων.
Ένα τόξο ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad), αν το τόξο
αυτό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου.
Το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α ⋅ρ .
β) Το ακτίνιο (ή rad), ως μονάδα μέτρησης γωνιών.
Ακτίνιο (ή 1 rad) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σ' έναν κύκλο, βαίνει
σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad).
γ) Σχέση μοίρας και ακτινίου.
Έστω ότι μια γωνία ω είναι μ° και α rad. Ισχύει τότε
α
π
=
µ
180
.
δ) Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών.
Ο παρακάτω πίνακας είναι πάρα πολύ βασικός στην Τριγωνομετρία, καθώς
χρησιμοποιείται σε πάρα πολλές ασκήσεις.
- 5 -

Γωνία ☞
Τριγωνοµετρικός
αριθµός ☟
0ο
ή 0rad 30ο
ή
π
6
rad 45ο
ή
π
4
rad 60ο
ή
π
3
rad 90ο
ή
π
2
rad
ημ
(ημίτονο)
0
1
2
2
2
3
2
1
συν
(συνημίτονο)
1 3
2
2
2
1
2
0
εφ
(εφαπτομένη)
0 3
3
1 3 Δεν ορίζεται
σφ
(συνεφαπτομένη)
Δεν ορίζεται 3 1 3
3
0
Σημείωση. Όταν γράφουμε ημx, συνx, εφx, σφx, η γωνία x εκφράζεται σε rad (αυτό
δεν το σημειώνουμε, αλλά ούτε και διευκρινίζεται, στις ασκήσεις).
- 6 -

2. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες.
Οι παρακάτω ταυτότητες της Τριγωνομετρίας χρησιμοποιούνται κατά κόρον στις ασ-
κήσεις.
Τύπος 1. ηµ2
x + συν2
x = 1 , για οποιαδήποτε γωνία x.
Από τον τύπο αυτόν προκύπτουν και οι ακόλουθοι, οι οποίοι συναντώ-
νται πάρα πολλές φορές στις ασκήσεις:
Α) ηµ2
x = 1−συν2
x ⇔ 1−συν2
x = ηµ2
x .
Β) συν2
x = 1− ηµ2
x ⇔ 1− ηµ2
x = συν2
x .
Τύπος 2. εϕx =
ηµx
συνx
.
Τύπος 3. σϕx =
συνx
ηµx
.
Τύπος 4. εϕx ⋅σϕx = 1 .
νται συχνά στις ασκήσεις:
Α) εϕx =
1
σϕx
⇔
1
σϕx
= εϕx . Β) σϕx =
1
εϕx
⇔
1
εϕx
= σϕx .
Τύπος 5. συν2
x =
1
1+ εϕ2
x
.
Τύπος 6. ηµ2
x =
εϕ2
x
1+ εϕ2
x
.
- 7 -

3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο.
Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γίνει
με την βοήθεια των πινάκων που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από
0° μέχρι 90°.
Ειδικότερα, ισχύουν τα ακόλουθα:
Γωνίες αντίθετες.
Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετ-
ρικούς αριθμούς, δηλαδή ισχύουν:
συν(−ω) = συνω , ηµ(−ω) = −ηµω , εϕ(−ω) = −εϕω , σϕ(−ω) = −σϕω .
Γωνίες με άθροισμα 180º.
Οι γωνίες με άθροισμα 180° έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγω-
νομετρικούς αριθμούς, δηλαδή ισχύουν
ηµ(180ο
− ω) = ηµω , συν(180ο
− ω) = −συνω ,
εϕ(180ο
− ω) = −εϕω , σϕ(180ο
− ω) = −σϕω
.
Γωνίες που διαφέρουν κατά 180º.
Οι γωνίες, που διαφέρουν κατά 180°, έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ
έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, δηλαδή ισχύουν
ηµ(180ο
+ ω) = −ηµω , συν(180ο
+ ω) = −συνω ,
εϕ(180ο
+ ω) = εϕω , σϕ(180ο
+ ω) = σϕω
.
Γωνίες με άθροισμα 90º.
Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90°, τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτο-
νο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με την συνεφαπτομένη της άλλης,
δηλαδή ισχύουν
ηµ(90ο
− ω) = συνω , συν(90ο
− ω) = ηµω , εϕ(90ο
− ω) = σϕω , σϕ(90ο
− ω) = εϕω .
- 8 -

4. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις.
Περιοδικές συναρτήσεις.
Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγμα-
τικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει:
Ι. x + Τ ∈ A , x −Τ ∈ A και ΙΙ. f(x +T) = f(x −T) = f(x) .
Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών.
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής είναι:
α) η συνάρτηση ημίτονο, που συμβολίζεται με ημ.
• Ορίζουμε να είναι ηµx = ηµ(x rad) .
• Είναι περιοδική με περίοδο 2π.
β) η συνάρτηση συνημίτονο, που συμβολίζεται με συν.
• Ορίζουμε να είναι συνx = συν(x rad) .
• Είναι περιοδική με περίοδο 2π.
γ) η συνάρτηση εφαπτομένη, που συμβολίζεται με εφ και ορίζεται ως εξής:
εϕx =
ηµx
συνx
.
• Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο !1
= {x / συνx ≠ 0} .
• Επειδή, για κάθε x ∈ !1
, ισχύει εϕ(x + π) = εϕ(x − π) = εϕx , είναι περιοδική συ-
νάρτηση με περίοδο π.
δ) η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ και ορίζεται ως εξής:
σϕx =
συνx
ηµx
.
• Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο !2
= {x / ηµx ≠ 0} .
• Είναι περιοδική με περίοδο π.
- 9 -

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx.
Επειδή η συνάρτηση f(x) ημx είναι
περιοδική, με περίοδο 2π, αρκεί να την
μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους
2π, π.χ. το [0, 2π].
Έχουμε ότι:
• είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0 ,
π
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.
• είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
π
2
, π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.
• είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π ,
3π
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.
• είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
3π
2
, 2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.
• παρουσιάζει μέγιστο για x =
π
2
, το ηµ
π
2
= 1 .
• παρουσιάζει ελάχιστο για x =
3π
2
, το ηµ
3π
2
= −1 .
Η γραφική της παράσταση στο διάστημα [0, 2π] φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική, με περίοδο
2π, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορ-
φή στα διαστήματα [2π, 4π] , [4π, 6π] κ.τλ, κα-
θώς και στα διαστήματα [-2π, 0] , [-4π, -2π]
κ.τλ.
Έτσι έχουμε την διπλανή γραφική παράσταση
της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτο-
νοειδής καμπύλη.
Γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν
αντίθετα ημίτονα. Άρα, για κάθε x ∈ ! , ισχύει ημ(-x) -ημx. Αυτό σημαίνει ότι η συ-
νάρτηση είναι περιττή και, επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμε-
τρίας την αρχή, Ο(0, 0), των αξόνων.
- 10 -

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx.
Επειδή η συνάρτηση f(x) συνx είναι περιοδική, με περίοδο 2π, αρκεί να την μελετή-
σουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το
[0, 2π]. Από την μελέτη αυτήν προκύπτουν
τα συμπεράσματα του πίνακα δεξιά κι έτσι
μπορούμε να σχεδιάσουμε την γραφική παρά-
σταση της y συνx, για 0 ≤ x ≤ 2π, η
οποία φαίνεται στο σχήμα κάτω από
τον πίνακα.
Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική, με
περίοδο 2π, η γραφική της παράσταση
στο ! είναι η ακόλουθη:
Γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο. Άρα, για κάθε x ∈ ! ,
ισχύει συν(-x) συνx. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια και, επομένως, η
γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y.
Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx.
Επειδή η συνάρτηση f(x) εφx είναι περιοδική, με περίοδο π, αρκεί να την μελετή-
σουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το −
π
2
,
π
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
(το διάστημα είναι ανοικτό,
αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται
στα −
π
2
,
π
2
).
Έχουμε ότι:
• είναι γνησίως αύξουσα στο
διάστημα −
π
2
,
π
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
.
• όταν ο x «τείνει» στο −
π
2
από μεγαλύτερες τιμές, η
εφx «τείνει» στο −∞ . Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία x = −
π
2
είναι κατακόρυφη
- 11 -

ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
• όταν ο x «τείνει» στο
π
2
από μικρότερες τιμές, η εφx τείνει στο +∞ . Γι' αυτό λέμε
ότι και η ευθεία x =
π
2
είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f.
Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα της προηγούμενης σελίδας, από το
οποίο γίνεται φανερό ότι η συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας το Ο, αφού ισχύει
εφ(-x) -εφx (δηλαδή είναι περιττή συνάρτηση).
Συνάρτηση της μορφής f(x) = ρ ημωx, όπου ρ, ω > 0.
Σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) ρ ημωx, όπου ρ, ω > 0:
α) το ρ καθορίζει την μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ, και την ελάχιστη τιμή
της, που είναι ίση με -ρ.
β) το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης, που είναι ίση με
2π
ω
.
Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής f(x) ρ συνωx,
όπου ρ, ω > 0.
- 12 -

5. Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις.
Οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις και οι λύσεις τους δίνονται από τους ακόλου-
θους τύπους:
1. ηµx = α ⇔ ηµx = ηµθ ⇔ x = 2κπ + θ η x = 2κπ + π −θ , κ ∈ ! .
2. συνx = α ⇔ συνx = συνθ ⇔ x = 2κπ + θ η x = 2κπ −θ ⇔ x = 2κπ ± θ , κ ∈ ! .
3. εϕx = α ⇔ εϕx = εϕθ ⇔ x = κπ + θ , κ ∈ ! .
4. σϕx = α ⇔ σϕx = σϕθ ⇔ x = κπ + θ , κ ∈ ! .
Σχόλια.
α) Επειδή ισχύει −1 ≤ ηµx ≤1 , για κάθε x ∈ ! , η εξίσωση ηµx = α , όταν α < −1 ή
α >1 , είναι αδύνατη.
β) Επειδή ισχύει −1 ≤ συνx ≤1 , για κάθε x ∈ ! , η εξίσωση συνx = α , όταν α < −1 ή
γ) Για τις εξισώσεις εϕx = α και σϕx = α δεν τίθεται ο παραπάνω περιορισμός, δη-
λαδή το α μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
δ) Για τις εξισώσεις ηµx = α και συνx = α θα συναντάς (σχεδόν πάντα) τις εξής τι-
μές του α: α =
1
2
,
2
2
,
3
2
, −
1
2
, −
2
2
, −
3
2
.
Αμέσως παρακάτω, θα δεις μερικές ιδιαίτερες εξισώσεις, οι οποίες έχουν δικό
τους τύπο λύσης.
ε) Για τις εξισώσεις εϕx = α και σϕx = α θα συναντάς (σχεδόν πάντα) τις εξής τιμές
του α: α = 0 ,
3
3
, 1 , 3 , −
3
3
, −1 , − 3 .
- 13 -

6. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος γωνιών.
Ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
Τύπος 1. ηµ(α + β) = ηµα ⋅συνβ + ηµβ ⋅συνα .
Επίσης, ηµ(α − β) = ηµα ⋅συνβ − ηµβ ⋅συνα .
Τύπος 2. συν(α + β) = συνα ⋅συνβ − ηµα ⋅ηµβ .
Επίσης, συν(α − β) = συνα ⋅συνβ + ηµα ⋅ηµβ .
Τύπος 3. εϕ(α + β) =
εϕα + εϕβ
1−εϕα ⋅εϕβ
.
Επίσης, εϕ(α − β) =
εϕα −εϕβ
1+ εϕα ⋅εϕβ
.
Τύπος 4. σϕ(α + β) =
σϕα ⋅σϕβ −1
σϕβ + σϕα
.
Επίσης, σϕ(α − β) =
σϕα ⋅σϕβ +1
σϕβ −σϕα
.
- 14 -

7. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 2α.
Ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
Τύπος 1. ηµ2α = 2⋅ηµα ⋅συνα .
Τύπος 2. συν2α = συν2
α − ηµ2
α .
Επίσης, συν2α = 2συν2
α −1 και συν2α = 1−2ηµ2
α .
Τύπος 3. εϕ2α =
2εϕα
1−εϕ2
α
.
Από τους τύπους για το συν2α προκύπτουν και οι ακόλουθοι, με τους οποίους μπο-
ρούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε
το συν2α.
Ισχύουν: ηµ2
α =
1−συν2α
2
συν2
α =
1+ συν2α
2
εϕ2
α =
1−συν2α
1+ συν2α
.
Δηλαδή, με τους τύπους αυτούς μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς
αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της
γωνίας αυτής.
- 15 -

- 16 -
ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ
Συμπληρώσεις στην θεωρία
και μεθοδολογία ασκήσεων

Μετ$ την παρ$θεση των στοιχε0ων της θεωρ0ας που 3γινε στο πρ5το µ3ρος, ας περ$σουµε σε
ουσιαστικ3ς παρατηρ7σεις και συµπληρ5σεις αν$ παρ$γραφο, ας δο;µε και π5ς αξιοποιο;µε =λα αυτ$
στις ασκ7σεις, 5στε τα θ3µατα της τριγωνοµετρ0ας να γ0νουν περισσ=τερο κατανοητ$.
Να προσ3ξεις π$ρα πολ; =λα =σα θα διαβ$σεις απ= εδ5 και π3ρα !
1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας.
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη), όπως
αυτοί ορίζονται σε ορθογώνιο τρίγωνο, χρησιμοποιούνται στις ασκήσεις, όταν σ' αυτές
υπάρχει κάποιο γεωμετρικό σχήμα ή σχήμα που εσύ πρέπει να κατασκευάσεις (συνή-
θως συμβαίνει το πρώτο). Τέτοιες ασκήσεις δεν συναντώνται συχνά, είναι αλήθεια.
Όμως, τα παρακάτω είναι πολύ βασικά και χρησιμοποιούνται συχνά στις ασκήσεις:
1. Ο τριγωνομετρικός κύκλος: πώς αξιοποιείται;
Είναι από τα βασικότερα «εργαλεία» της Τριγωνομετρίας. Η βασικότερη συνεισφο-
ρά του, είναι η εύρεση του προσήμου ενός τριγωνομετρικού αριθμού, με βάση το
τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το πέρας της γωνίας.
Δηλαδή, δεν σε βοηθάει να βρεις την τιμή του ημ120° για παράδειγμα, αλλά να
βρεις ότι είναι θετικό, αφού η γωνία 120° καταλήγει στο δεύτερο τεταρτημόριο του
κύκλου. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών, ανάλογα με το τεταρτημόριο
του κύκλου στο οποίο βρίσκονται, φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα.
Μία ακόμη βασική συνεισφορά του τριγωνομετρικού κύκλου, είναι οι τιμές των
- 17 -

τριγωνομετρικών αριθμών συγκεκριμένων γωνιών, στα σημεία που ο κύκλος τέμνει
τους άξονες των συνημιτόνων και ημιτόνων, δηλαδή των γωνιών 0 ,
π
2
, π ,
3π
2
, 2π .
Οι τιμές τους (που είναι βασικές) φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα.
Από τον τριγωνομετρικό κύκλο επίσης, προκύπτουν και οι ακόλουθες, βασικές
σχέσεις: −1 ≤ ηµω ≤1 ⇔ | ηµω | ≤1 και −1 ≤ συνω ≤1 ⇔ | συνω | ≤1 ,
για οποιαδήποτε γωνία ω.
2. Μοίρες και ακτίνια ως μονάδες μέτρησης γωνιών.
Μέχρι τώρα ήσουν εξοικειωμένος με την έννοια της μοίρας ως μονάδας μέτρησης
γωνιών. Με την εισαγωγή της έννοιας του ακτινίου ως μονάδας μέτρησης γωνιών
δεν καταργείται η έννοια της μοίρας, όμως στις ασκήσεις θα δουλεύεις (σχεδόν
πάντα) με ακτίνια.
Ο τύπος μετατροπής μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα, είναι
α
π
=
µ
180
, όπου
α είναι το μέτρο της γωνίας σε ακτίνια και μ σε μοίρες.
Όπως αναφέρθηκε και στην θεωρία, όταν -για παράδειγμα- γράφουμε ημx, το x
είναι το μέτρο της γωνίας σε ακτίνια (rad), εκτός κι αν σημειώνεται διαφορετικά,
δηλαδή αν η μέτρηση γίνεται σε μοίρες, οπότε αυτό πρέπει να σημειωθεί με το
γνωστό κυκλάκι άνω δεξιά (ημ30° για παράδειγμα).
Ως επί το πλείστον, οι σε ακτίνια εκπεφρασμένες γωνίες φέρουν τον γνωστό αριθ-
μό «π», που όμως δεν «μετράει» σαν 3,14 όταν είναι εντός τριγωνομετρικού αριθ-
μού ! Για να το πω σε «ελεύθερη» γλώσσα, αυτό το «π» το «μετράς» σαν 180°,
όταν είναι εντός τριγωνομετρικού αριθμού. Έτσι, για παράδειγμα, ημπ ημ180°.
Αυτό ουσιαστικά προκύπτει από τον παραπάνω τύπο. Για το προηγούμενο πα-
- 18 -

ράδειγμα, αν στον τύπο θέσεις α π, τότε θα προκύψει μ 180°. Ανάλογα προ-
κύπτουν και οι άλλες βασικές γωνίες που φαίνονται στο σχήμα της προηγούμενης
σελίδας. Στις επόμενες σελίδες θα δεις όλες τις γωνίες που θα συναντάς στις ασ-
κήσεις.
3. Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών 1ου τεταρτημορίου.
Ο ακόλουθος πίνακας αποτελεί την ραχοκοκκαλιά της Τριγωνομετρίας, αφού χρη-
σιμοποιείται συνεχώς στις ασκήσεις ! Τούτου λεχθέντος, περιττεύει κάθε άλλη επι-
σήμανση περί της σπουδαιότητάς του...
Γωνία ☞
Τριγωνοµετρικός
αριθµός ☟
0ο
ή 0rad 30ο
ή
π
6
rad 45ο
ή
π
4
rad 60ο
ή
π
3
rad 90ο
ή
π
2
rad
ημ
(ημίτονο)
0
1
2
2
2
3
2
1
συν
(συνημίτονο)
1 3
2
2
2
1
2
0
εφ
(εφαπτομένη)
0 3
3
1 3 Δεν ορίζεται
σφ
(συνεφαπτομένη)
Δεν ορίζεται 3 1 3
3
0
Τις τιμές αυτού του πίνακα πρέπει να τις ξέρεις «απ' την καλή» κι «απ' την ανά-
ποδη» άριστα, τόσο για γωνίες σε μοίρες, όσο και σε ακτίνια !
• «Απ' την καλή» σημαίνει να απαντάς άμεσα πόσο κάνει ηµ
π
2
, συν
π
6
κ.λπ.
• «Απ' την ανάποδη» σημαίνει να μπορείς άμεσα να βρεις ποια γωνία έχει ημίτο-
νο (για παράδειγμα) ίσο με
1
2
ή
3
2
κ.λπ.
- 19 -

2. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες.
Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούνται διαρκώς στις ασκήσεις, οπότε αυτόματα προ-
κύπτει και η τεράστια αξία τους !
Τύπος 1. ηµ2
x + συν2
x = 1 , για οποιαδήποτε γωνία x.
νται πάρα πολλές φορές στις ασκήσεις:
Α) ηµ2
x = 1−συν2
x ⇔ 1−συν2
x = ηµ2
x .
Β) συν2
x = 1− ηµ2
x ⇔ 1− ηµ2
x = συν2
x .
Τύπος 2. εϕx =
ηµx
συνx
.
Τύπος 3. σϕx =
συνx
ηµx
.
Τύπος 4. εϕx ⋅σϕx = 1 .
νται συχνά στις ασκήσεις:
Α) εϕx =
1
σϕx
⇔
1
σϕx
= εϕx . Β) σϕx =
1
εϕx
⇔
1
εϕx
= σϕx .
Τύπος 5. συν2
x =
1
1+ εϕ2
x
.
Τύπος 6. ηµ2
x =
εϕ2
x
1+ εϕ2
x
.
Παρακάτω θα δεις τα κυριότερα είδη ασκήσεων στα οποία η χρήση των παραπάνω
τύπων κυριαρχεί. Φυσικά, οι παραπάνω τύποι χρησιμεύουν σε όλες τις ασκήσεις της
Τριγωνομετρίας και όχι μόνο στις περιπτώσεις που θα δεις στην συνέχεια !!
- 20 -

1ο είδος. Αποδεικτικές ασκήσεις.
Έχουν την εκφώνηση, «Να δείξετε ότι ισχύει Α Β» (Α και Β είναι τριγωνομετρικές
παραστάσεις) και αντιμετωπίζονται με τους εξής τρόπους:
Πρώτος τρόπος
(προτεινόμενος, συνήθως η εφαρμογή του οδηγεί στην λύση).
Ξεκίνα από το Α, κάνε πράξεις και προσπάθησε να καταλήξεις στο Β.
Επίσης, μπορείς να ξεκινήσεις από το Β και να καταλήξεις στο Α (από πού θα ξεκι-
νήσεις, εξαρτάται από το ποιο μέλος έχει περισσότερες κινήσεις να κάνεις).
«Κάνε πράξεις» σημαίνει κάνε κάποιες από τις επόμενες κινήσεις (όχι απαραίτητα
όλες):
• κάνε επιμεριστικούς πολλαπλασιασμούς.
• κάνε αναγωγή ομοίων όρων (το «συμμάζεμα», μετά την εκτέλεση πράξεων).
• κάνε ομώνυμα κλάσματα (φυσικά, αν υπάρχουν κλάσματα).
• εφάρμοσε κάποια από τις βασικές ταυτότητες της Άλγεβρας:
Τ1. (α + β)2
= α2
+ β2
+ 2αβ ⇔ α2
+ β2
+ 2αβ = (α + β)2
.
Τ2. (α − β)2
= α2
+ β2
−2αβ ⇔ α2
+ β2
−2αβ = (α − β)2
.
Τ3. (α + β)(α − β) = α2
− β2
⇔ α2
− β2
= (α + β)(α − β) .
Τ4. (α + β)3
= α3
+ 3α2
β + 3αβ2
+ β3
⇔ α3
+ 3α2
β + 3αβ2
+ β3
= (α + β)3
.
Τ5. (α − β)3
= α3
−3α2
β + 3αβ2
− β3
⇔ α3
−3α2
β + 3αβ2
− β3
= (α − β)3
.
Τ6. α3
+ β3
= (α + β)(α2
−αβ + β2
) ⇔ (α + β)(α2
−αβ + β2
) = α3
+ β3
.
Τ7. α3
− β3
= (α − β)(α2
+ αβ + β2
) ⇔ (α − β)(α2
+ αβ + β2
) = α3
− β3
.
Δεύτερος τρόπος
(προκύπτει μόνος του, αν ο πρώτος δεν δώσει αποτέλεσμα).
Ξεκίνα από το Α, με σκοπό να καταλήξεις στο Β (ή από το Β, με σκοπό να καταλή-
ξεις στο Α, που είναι, όπως είπα παραπάνω, ισοδύναμη κίνηση).
Δεν καταλήγεις όμως. Τι φταίει;
α) Κάπου έκανες λάθος στις πράξεις (αρκετά πιθανό).
β) Κάνεις πολλές πράξεις, δημιουργείς παραστάσεις αρκετά σύνθετες, πελαγώνεις
και σταματάς. Γι' αυτό μάλλον φταίει ότι, σε κάποιο σημείο της λύσης σου επέλε-
ξες να κάνεις μια κίνηση, η οποία, τελικά, σε οδηγεί σε αδιέξοδο.
- 21 -

Λύση. Πάρε το πρόβλημα από την αρχή κι εντόπισε μία προς μία τις κινήσεις
που έκανες. Η αλλαγή μιας εξ αυτών πιθανότατα ν' αλλάξει την ροή της άσκησης
και να σε οδηγήσει στην λύση.
γ) Υπάρχει ένα κρίσιμο σημείο στην λύση, μια κρίσιμη παρατήρηση στις παραστάσεις
που έχεις, την οποία δεν εντοπίζεις. Γι' αυτό, δεν φταίς απαραίτητα εσύ, μπορεί
να συμβεί σ' οποιονδήποτε.
Άρα !
Αν, ξεκινώντας από το Α δεν φτάνεις στο Β, αλλά σε μια παράσταση Γ, τότε είναι
πολύ πιθανό να χρειαστεί να πάρεις και το Β, να κάνεις πράξεις και να καταλή-
ξεις επίσης στο Γ. Τότε θα έχεις λύσει την άσκηση !
Αν και πάλι δεν καταλήγεις από το Β στο Γ, τότε κάπου κάτι πρέπει να σου ξε-
φεύγει...
Τρίτος τρόπος.
Γράψε στην αρχή της λύσης σου (απαραίτητα !!), «Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει»,
κάνε πράξεις στο Α, κάνε πράξεις ΚΑΙ στο Β παράλληλα (αν, βέβαια, μπορούν να γί-
νουν κάποιες πράξεις) και τελικός σου σκοπός είναι να καταλήξεις σε μία σχέση που
ισχύει. Τότε θα έχεις λύσει την άσκηση.
Να σημειωθεί ότι, επειδή οι πράξεις γίνονται ταυτόχρονα και στα δύο μέλη της ζη-
τούμενης σχέσης, καθ' όλη την διάρκειά τους να χρησιμοποιείς το σύμβολο « ⇔ ».
Ο τρόπος αυτός προτείνεται, όταν η ζητούμενη σχέση έχει κλάσματα. Λέγοντας στην
αρχή της λύσης σου την πρόταση που ανέφερα παραπάνω, κάνε απαλοιφή παρονο-
μαστών και συνέχισε με όποιες πράξεις προκύπτουν στην πορεία. Έτσι γλιτώνεις τα
κλάσματα, άρα και κουραστικές πράξεις μεταξύ τους, ενώ σε αρκετές περιπτώσεις
γλιτώνεις ΚΑΙ αρκετό γράψιμο !
Παράδειγμα. Να δείξετε ότι ισχύει
ηµα
1+ συνα
+
ηµα
1−συνα
=
2
ηµα
.
Λύση. Με βάση τον πρώτο τρόπο.
Είναι
ηµα
1+ συνα
+
ηµα
1−συνα
=
ηµα ⋅(1−συνα)+ ηµα ⋅(1+ συνα)
(1+ συνα)(1−συνα)
=
=
ηµα ⋅(1−συνα +1+ συνα)
12
−συν2
α
=
2ηµα
ηµ2
α
=
2
ηµα
.
- 22 -

Με βάση τον τρίτο τρόπο.
Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει
ηµ2
α ⋅(1−συνα)+ ηµ2
α ⋅(1+ συνα) = 2(1+ συνα)(1−συνα) ⇔
⇔ ηµ2
α ⋅(1−συνα +1+ συνα) = 2(12
−συν2
α) ⇔ 2ηµ2
α = 2ηµ2
α , που ισχύει.
Άρα αποδείχθηκε το ζητούμενο.
Σχόλιο. Ο δεύτερος τρόπος δεν θα μπορούσε να εφαρμοστεί, αφού ο πρώτος (που
είναι και η βασική σκέψη για την αντιμετώπιση τέτοιων ασκήσεων) έφερε το επιθυ-
μητό αποτέλεσμα. Ξαναλέω, ο δεύτερος τρόπος που αναφέρθηκε παραπάνω, έρχεται
αν ο πρώτος «κολλήσει».
2ο είδος. Ταυτότητες υπό συνθήκη.
Έχουν την εκφώνηση, «Αν ισχύει... , να δείξετε ότι ισχύει...».
Ισοδύναμες εκφωνήσεις:
• «Να δείξετε ότι ισχύει... , όταν είναι...».
• «Δίνεται ότι... Να δείξετε ότι ισχύει...».
Η «συνθήκη» (το δεδομένο δηλαδή) βρίσκεται στις εκφράσεις «Αν ισχύει...», «όταν εί-
ναι...», «Δίνεται ότι...».
Η «ταυτότητα» είναι η σχέση που ζητείται ν' αποδειχθεί.
Πώς θα δουλέψεις.
Ο προτεινόμενος τρόπος είναι ο εξής:
γράψε στην αρχή της λύσης σου (απαραίτητα !!), «Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει», και
επεξεργάσου την ζητούμενη σχέση κάνοντας πράξεις. Συχνά συμβαίνει η κίνηση αυτή
να σε οδηγεί στην σχέση που δόθηκε ότι ισχύει στην εκφώνηση (την «συνθήκη» που
προανέφερα), οπότε έχεις λύσει την άσκηση.
Αν δεν συμβεί αυτό, τότε δουλεύοντας στην ζητούμενη σχέση φέρ' την σε μια άλλη
μορφή (επιθυμητό είναι να έχει μορφή «βολικότερη» αυτής που ζητήθηκε ν' αποδειχ-
θεί), την οποία και θα επιδιώξεις πλέον ν' αποδείξεις ότι ισχύει.
Πάρε το δεδομένο («συνθήκη») της άσκησης, επεξεργάσου την και μπορεί έτσι να κα-
ταλήξεις στην νέα μορφή που είπες ότι θ' αποδείξεις ότι ισχύει.
Αν η «συνθήκη» δεν σε οδηγήσει στην νέα μορφή, τότε πιθανότατα θα χρειαστεί να
κάνεις κάποια αντικατάσταση στην νέα μορφή και να καταλήξεις σε μία σχέση που
να ισχύει.
- 23 -

Ένας ακόμη τρόπος είναι ο εξής:
ξεκίνα από την «συνθήκη» και κάνε πράξεις. Σε κάποιες ασκήσεις συμβαίνει να οδη-
γείσαι στην λύση της (στην ζητούμενη, δηλαδή, σχέση).
Παράδειγμα 1. Αν ισχύει εϕ2
α = 1+ 2εϕ2
β , να δείξετε ότι συν2
β = 2συν2
α .
Λύση. Με την βοήθεια του τύπου συν2
x =
1
1+ εϕ2
x
της θεωρίας, ισοδύναμα θα δείξω
ότι ισχύει
1
1+ εϕ2
β
= 2⋅
1
1+ εϕ2
α
⇔ 1+ εϕ2
α = 2(1+ εϕ2
β) ⇔ 1+ εϕ2
α = 2+ 2εϕ2
β ⇔
⇔ εϕ2
α = 1+ 2εϕ2
β , που ισχύει από το δεδομένο της άσκησης.
Παράδειγμα 2. Αν ισχύει συνx − ηµx = 2ηµx , να δείξετε ότι συνx + ηµx = 2συνx .
Λύση. Από την σχέση που δίνεται έχω ότι συνx = ηµx + 2 ηµx ⇒ συνx = (1+ 2)ηµx .
Άρα ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει (1+ 2)ηµx + ηµx = 2(1+ 2)ηµx ⇔
⇔ ηµx + 2 ηµx + ηµx = 2 ηµx + 2ηµx ⇔ 2ηµx = 2ηµx , που ισχύει.
Άρα αποδείχθηκε το ζητούμενο.
- 24 -

3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο.
Το θέμα αυτής της παραγράφου έχει μεγάλη πρακτική αξία στις ασκήσεις, διό-
τι απαντά στο εξής θεμελιώδες ερώτημα:
«Αφού ο βασικός πίνακας της Τριγωνομετρίας (σελίδες 6 και 19) δίνει μόνο τις τιμές
των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών 0°, 30°, 45°, 60° και 90°, πώς θα υπολογί-
σω κάποιον εκ των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας άνω των 90° ;».
Θα συμπληρώσω το εξής: οι τριγωνομετρικοί πίνακες δίνουν τις τιμές των τριγωνομε-
τρικών αριθμών όλων των γωνιών από 0° έως και 90°, μία προς μία (μπορείς να δεις
το βιβλίο των Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου, τελευταίες σελίδες). Μέχρι εκεί, μέχρι
και τις 90°. Τι σημαίνει αυτό; Σημαίνει ότι δεν χρειαζόμαστε παραπάνω γωνίες, άνω
των 90° δηλαδή, αφού οι γωνίες 0° έως και 90° κάνουν την δουλειά.
Επομένως, πρέπει να υπάρχει κάποιος τρόπος υπολογισμού οποιαδήποτε γωνίας
άνω των 90°. Πράγματι, αυτός ο τρόπος θα αναλυθεί στην συνέχεια.
Προλογικά να πω το εξής: οι γωνίες που συναντώνται στις ασκήσεις είναι «βολικές»
και προκύπτουν με πρόσθεση ή αφαίρεση των βασικών γωνιών 30°, 45° και 60°. Δεν
θα συναντήσεις, για παράδειγμα, την ανάγκη υπολογισμού του ημ133° ή συν199° ή
εφ226° ή σφ344°. Επίσης, αν και υπάρχουν (όχι στην Φύση, όπως είπα σε άλλο σημ-
είο) γωνίες άνω των 360°, δεν θα συναντήσεις την ανάγκη υπολογισμού του ημ364° ή
συν462° ή εφ547° ή σφ639°. Και οι γωνίες άνω των 360° θα είναι «βολικές» και θα
προκύπτουν με την πρόσθεση ή αφαίρεση των βασικών γωνιών 30°, 45° και 60°.
Πάμε να δούμε τι ισχύει και πώς γίνονται οι σχετικοί υπολογισμοί.
Α. Η γωνία καταλήγει στο 1ο τεταρτημόριο.
Όταν μια γωνία, x, καταλήγει στο 1ο τεταρτημόριο, τότε μπορεί να γραφεί υπό τις
μορφές
α)
π
2
−x (ισοδύναμα 90ο
−x )
ή
β) 2π + x (γενικότερα, 2κπ + x , κ ∈ ! , ή, ισοδύναμα, 360ο
+ x ή 2κπ + x , κ ∈ ! ).
Όταν η γωνία γραφεί υπό την μορφή
π
2
−x ), τότε:
• το ημίτονο «μεταμορφώνεται» σε συνημίτονο.
• το συνημίτονο «μεταμορφώνεται» σε ημίτονο.
• η εφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε συνεφαπτομένη.
• η συνεφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε εφαπτομένη.
- 25 -

Ισχύουν τότε:
ηµ
π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= συνx , συν
π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= ηµx , εϕ
π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= σϕx , σϕ
π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= εϕx .
Όταν η γωνία γραφεί υπό την μορφή 2π + x (γενικότερα, 2κπ + x , κ ∈ ! , ή, ισοδύνα-
μα 360ο
+ x ή 2κπ + x , κ ∈ ! ), τότε δεν υπάρχει καμία από τις προηγούμενες «μετα-
μορφώσεις», το δε 2π δεν λαμβάνεται υπ' όψη, αφού «φεύγει».
Ισχύουν επομένως:
• ηµ(2π + x) = ηµx και γενικά ηµ(2κπ + x) = ηµx , κ ∈ ! .
• συν(2π + x) = συνx και γενικά συν(2κπ + x) = συνx , κ ∈ ! .
• εϕ(2π + x) = εϕx και γενικά εϕ(2κπ + x) = εϕx , κ ∈ ! .
• σϕ(2π + x) = σϕx και γενικά σϕ(2κπ + x) = σϕx , κ ∈ ! .
Οι τελευταίοι κανόνες εφαρμόζονται, όταν η γωνία είναι μεγαλύτερη των 360°. Γι' αυ-
τό ας απαντήσουμε στο εξής σημαντικό ερώτημα:
Πώς θα υπολογίσω τριγωνομετρικό αριθμό
γωνίας μεγαλύτερης των 360° ;
Με βάση τους παραπάνω τύπους, κάνε το εξής:
διαίρεσε την γωνία με το 360 και κράτα το υπόλοιπο της διαίρεσης.
Παράδειγμα 1. ηµ390ο
= ηµ(360ο
+ 30ο
) = ηµ30ο
=
1
2
.
Παράδειγμα 2. συν765ο
= συν(2⋅360ο
+ 45ο
) = συν45ο
=
2
2
.
Παράδειγμα 3. εϕ1140ο
= εϕ(3⋅360ο
+ 60ο
) = εϕ60ο
= 3 .
Παράδειγμα 4. σϕ1470ο
= σϕ(4 ⋅360ο
+ 30ο
) = σϕ30ο
= 3 .
Αν η γωνία είναι εκπεφρασμένη σε ακτίνια, το μόνο που αλλάζει είναι ο τρόπος με
τον οποίο θα γράψεις την γωνία. Το σκεπτικό παραμένει ακριβώς το ίδιο, ενώ το πώς
θα γράψεις την γωνία φαίνεται στα ακόλουθα παραδείγματα.
Παράδειγμα 5. ηµ
13π
6
= ηµ
12π + π
6
= ηµ
12π
6
+
π
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= ηµ 2π +
π
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= ηµ
π
6
=
1
2
.
Παράδειγμα 6. συν
17π
4
= συν
16π + π
4
= συν
16π
4
+
π
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= συν 4π +
π
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= συν
π
4
=
2
2
.
- 26 -

Παράδειγμα 7. εϕ
19π
3
= εϕ
18π + π
3
= εϕ
18π
3
+
π
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= εϕ 6π +
π
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= εϕ
π
3
= 3 .
Παράδειγμα 8. σϕ
49π
6
= σϕ
48π + π
6
= σϕ
48π
6
+
π
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= σϕ 8π +
π
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= σϕ
π
6
= 3 .
Β. Η γωνία καταλήγει στο 2ο τεταρτημόριο.
μορφές
α)
π
2
+ x (ισοδύναμα, 90ο
+ x )
ή
β) π −x (ισοδύναμα, 180ο
−x ).
Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή
π
2
+ x (ισοδύναμα 90ο
+ x ), τότε:
Λαμβάνοντας υπ' όψη ότι στο 2ο τεταρτημόριο:
• το ημίτονο είναι θετικό
• το συνημίτονο είναι αρνητικό
• η εφαπτομένη είναι αρνητική
• η συνεφαπτομένη είναι αρνητική,
ισχύουν:
ηµ
π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= συνx , συν
π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −ηµx , εϕ
π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −σϕx , σϕ
π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −εϕx .
Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή π −x (ισοδύναμα 180ο
−x ), τότε δεν υπάρχει κα-
μία από τις προηγούμενες «μεταμορφώσεις». Πάλι, όμως, πρέπει να ληφθούν υπ' όψη
τα περί προσήμων των τριγωνομετρικών αριθμών του 2ου τεταρτημορίου.
Στην περίπτωση αυτή, ισχύουν:
ηµ(π −x) = ηµx , συν(π −x) = −συνx , εϕ(π −x) = −εϕx , σϕ(π −x) = −σϕx .
- 27 -

Τα παραπάνω απαντούν στο ακόλουθο ερώτημα:
γωνίας που καταλήγει στο 2ο τεταρτημόριο;
Οι χαρακτηριστικές γωνίες (οι «βολικές», όπως τις χαρακτήρισα στην σελίδα 25) είναι
2π
3
= 120ο
,
3π
4
= 135ο
,
5π
6
= 150ο
και το πώς θα βρεις τους τριγωνομετρικούς τους
αριθμούς τους θα το δεις αναλυτικά παρακάτω.
Γωνία 120°.
Πρώτος τρόπος.
• ηµ120ο
= ηµ(90ο
+ 30ο
) = συν30ο
=
3
2
.
• συν120ο
= συν(90ο
+ 30ο
) = −ηµ300
= −
1
2
.
• εϕ120ο
= εϕ(90ο
+ 30ο
) = −σϕ30ο
= − 3 .
• σϕ120ο
= σϕ(90ο
+ 30ο
) = −εϕ30ο
= −
3
3
.
Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος).
• ηµ120ο
= ηµ(180ο
−60ο
) = ηµ60ο
=
3
2
.
• συν120ο
= συν(180ο
−60ο
) = −συν60ο
= −
1
2
.
• εϕ120ο
= εϕ(180ο
−60ο
) = −εϕ60ο
= − 3 .
• σϕ120ο
= σϕ(180ο
−60ο
) = −σϕ60ο
= −
3
3
.
Γωνία 135°.
• ηµ135ο
= ηµ(90ο
+ 45ο
) = συν45ο
=
2
2
.
• συν135ο
= συν(90ο
+ 45ο
) = −ηµ45ο
= −
2
2
.
• εϕ135ο
= εϕ(90ο
+ 45ο
) = −σϕ45ο
= −1 .
• σϕ135ο
= σϕ(90ο
+ 45ο
) = −εϕ45ο
= −1 .
- 28 -

• ηµ135ο
= ηµ(180ο
− 45ο
) = ηµ45ο
=
2
2
.
• συν135ο
= συν(180ο
− 45ο
) = −συν45ο
= −
2
2
.
• εϕ135ο
= εϕ(180ο
− 45ο
) = −εϕ45ο
= −1 .
• σϕ135ο
= σϕ(180ο
− 45ο
) = −σϕ45ο
= −1 .
Γωνία 150°.
• ηµ150ο
= ηµ(90ο
+ 60ο
) = συν600
=
1
2
.
• συν150ο
= συν(90ο
+ 60ο
) = −ηµ600
= −
3
2
.
• εϕ150ο
= εϕ(90ο
+ 60ο
) = −σϕ600
= −
3
3
.
• σϕ150ο
= σϕ(90ο
+ 60ο
) = −εϕ600
= − 3 .
• ηµ150ο
= ηµ(180ο
−30ο
) = ηµ30ο
=
1
2
.
• συν150ο
= συν(180ο
−30ο
) = −συν30ο
= −
3
2
.
• εϕ150ο
= εϕ(180ο
−30ο
) = −εϕ30ο
= −
3
3
.
• σϕ150ο
= σϕ(180ο
−30ο
) = −σϕ30ο
= − 3 .
- 29 -

Γ. Η γωνία καταλήγει στο 3ο τεταρτημόριο.
μορφές
α) π + x (ισοδύναμα, 180ο
+ x )
ή
β)
3π
2
−x (ισοδύναμα, 270ο
−x ).
Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή π + x (ισοδύναμα 180ο
+ x ), τότε, λαμβάνοντας
υπ' όψη ότι στο 3ο τεταρτημόριο:
• το ημίτονο είναι αρνητικό
• το συνημίτονο είναι αρνητικό
• η εφαπτομένη είναι θετική
• η συνεφαπτομένη είναι θετική,
ισχύουν:
ηµ(π + x) = −ηµx , συν(π + x) = −συνx , εϕ(π + x) = εϕx , σϕ(π + x) = σϕx .
3π
2
+ x ), τότε:
Λαμβάνοντας υπ' όψη και όσα αναφέρθηκαν για το πρόσημο των τριγωνομετρικών
αριθμών γωνιών που καταλήγουν στο 3ο τεταρτημόριο, ισχύουν:
ηµ
3π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −συνx , συν
3π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −ηµx , εϕ
3π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= σϕx , σϕ
3π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= εϕx .
- 30 -

7π
6
= 210ο
,
5π
4
= 225ο
,
4π
3
= 240ο
αριθμούς θα το δεις αναλυτικά παρακάτω.
Γωνία 210°.
Πρώτος τρόπος (προτεινόμενος).
• ηµ210ο
= ηµ(180ο
+ 30ο
) = −ηµ30ο
= −
1
2
.
• συν210ο
= συν(180ο
+ 30ο
) = −συν30ο
= −
3
2
.
• εϕ210ο
= εϕ(180ο
+ 30ο
) = εϕ30ο
=
3
3
.
• σϕ210ο
= σϕ(180ο
+ 30ο
) = σϕ30ο
= 3 .
Δεύτερος τρόπος.
• ηµ210ο
= ηµ(270ο
−60ο
) = −συν60ο
= −
1
2
.
• συν210ο
= συν(270ο
−60ο
) = −ηµ60ο
= −
3
2
.
• εϕ210ο
= εϕ(270ο
−60ο
) = σϕ60ο
=
3
3
.
• σϕ210ο
= σϕ(270ο
−60ο
) = εϕ60ο
= 3 .
Γωνία 225°.
• ηµ225ο
= ηµ(180ο
+ 45ο
) = −ηµ45ο
= −
2
2
.
• συν225ο
= συν(180ο
+ 45ο
) = −συν45ο
= −
2
2
.
• εϕ225ο
= εϕ(180ο
+ 45ο
) = εϕ45ο
= 1 .
• σϕ225ο
= σϕ(180ο
+ 45ο
) = σϕ45ο
= 1 .
• ηµ225ο
= ηµ(270ο
− 45ο
) = −συν45ο
= −
2
2
.
• συν225ο
= συν(270ο
− 45ο
) = −ηµ45ο
= −
2
2
.
- 31 -

• εϕ225ο
= εϕ(270ο
− 45ο
) = σϕ45ο
= 1 .
• σϕ225ο
= σϕ(270ο
− 45ο
) = εϕ45ο
= 1 .
Γωνία 240°.
• ηµ240ο
= ηµ(180ο
+ 60ο
) = −ηµ60ο
= −
3
2
.
• συν240ο
= συν(180ο
+ 60ο
) = −συν60ο
= −
1
2
.
• εϕ240ο
= εϕ(180ο
+ 60ο
) = εϕ60ο
= 3 .
• σϕ240ο
= σϕ(180ο
+ 60ο
) = σϕ60ο
=
3
3
.
• ηµ240ο
= ηµ(270ο
−30ο
) = −συν30ο
= −
3
2
.
• συν240ο
= συν(270ο
−30ο
) = −ηµ30ο
= −
1
2
.
• εϕ240ο
= εϕ(270ο
−30ο
) = σϕ30ο
= 3 .
• σϕ240ο
= σϕ(270ο
−30ο
) = εϕ30ο
=
3
3
.
Δ. Η γωνία καταλήγει στο 4ο τεταρτημόριο.
μορφές
α)
3π
2
+ x (ισοδύναμα, 270ο
+ x )
ή
β) 2π −x (γενικότερα, 2κπ −x , κ ∈ ! , ή, ισοδύναμα, 360ο
−x ή 2κπ −x , κ ∈ ! ).
3π
2
+ x (ισοδύναμα 270ο
+ x ), τότε:
Λαμβάνοντας υπ' όψη ότι στο 4ο τεταρτημόριο:
- 32 -

• το συνημίτονο είναι θετικό
ισχύουν:
ηµ
3π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −συνx , συν
3π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= ηµx , εϕ
3π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −σϕx , σϕ
3π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −εϕx
Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή 2π −x (γενικότερα, 2κπ −x , κ ∈ ! , ή, ισοδύναμα,
360ο
−x ή 2κπ −x , κ ∈ ! ), τότε, λαμβάνοντας υπ' όψη ότι στο 4ο τεταρτημόριο:
• το συνημίτονο είναι θετικό
ισχύουν:
• ηµ(2π −x) = −ηµx .
Γενικότερα, ισχύει ηµ(2κπ −x) = −ηµx, κ ∈ ! .
• συν(2π −x) = συνx .
Γενικότερα, ισχύει συν(2κπ −x) = συνx, κ ∈ ! .
• εϕ(2π −x) = −εϕx .
Γενικότερα, ισχύει εϕ(2κπ −x) = −εϕx, κ ∈ ! .
• σϕ(2π −x) = −σϕx .
Γενικότερα, ισχύει σϕ(2κπ −x) = −σϕx, κ ∈ ! .
- 33 -

5π
3
= 300ο
,
7π
4
= 315ο
,
11π
6
= 330ο
αριθμούς θα το δεις αναλυτικά παρακάτω.
Γωνία 300°.
• ηµ300ο
= ηµ(270ο
+ 30ο
) = −συν30ο
= −
3
2
.
• συν300ο
= συν(270ο
+ 30ο
) = ηµ30ο
=
1
2
.
• εϕ300ο
= εϕ(270ο
+ 30ο
) = −σϕ30ο
= − 3 .
• σϕ300ο
= σϕ(270ο
+ 30ο
) = −εϕ30ο
= −
3
3
.
• ηµ300ο
= ηµ(360ο
−60ο
) = −ηµ60ο
= −
3
2
.
• συν300ο
= συν(360ο
−60ο
) = ηµ60ο
=
1
2
.
• εϕ300ο
= εϕ(360ο
−60ο
) = −εϕ60ο
= − 3 .
• σϕ300ο
= σϕ(360ο
−60ο
) = −σϕ60ο
= −
3
3
.
Γωνία 315°.
• ηµ315ο
= ηµ(270ο
+ 45ο
) = −συν45ο
= −
2
2
.
• συν315ο
= συν(270ο
+ 45ο
) = ηµ45ο
=
2
2
.
• εϕ315ο
= εϕ(270ο
+ 45ο
) = −σϕ45ο
= −1 .
• σϕ315ο
= σϕ(270ο
+ 45ο
) = −εϕ45ο
= −1 .
- 34 -

• ηµ315ο
= ηµ(360ο
− 45ο
) = −ηµ45ο
= −
2
2
.
• συν315ο
= συν(360ο
− 45ο
) = συν45ο
=
2
2
.
• εϕ315ο
= εϕ(360ο
− 45ο
) = −εϕ45ο
= −1 .
• σϕ315ο
= σϕ(360ο
− 45ο
) = −σϕ45ο
= −1 .
Γωνία 330°.
• ηµ330ο
= ηµ(270ο
+ 60ο
) = −συν60ο
= −
1
2
.
• συν330ο
= συν(270ο
+ 60ο
) = ηµ60ο
=
3
2
.
• εϕ330ο
= εϕ(270ο
+ 60ο
) = −σϕ60ο
= −
3
3
.
• σϕ330ο
= σϕ(270ο
+ 60ο
) = −εϕ60ο
= − 3 .
• ηµ300ο
= ηµ(360ο
−30ο
) = −ηµ30ο
= −
1
2
.
• συν300ο
= συν(360ο
−30ο
) = συν30ο
=
3
2
.
• εϕ300ο
= εϕ(360ο
−30ο
) = −εϕ30ο
= −
3
3
.
• σϕ300ο
= σϕ(360ο
−30ο
) = −σϕ30ο
= − 3 .
- 35 -

4. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις.
Τα στοιχεία της θεωρίας που πρέπει να συγκρατήσεις είναι τα ακόλουθα:
α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται περιοδική.
β) Από την συνάρτηση του ημιτόνου:
• την μορφή που έχει η γραφική της παράσταση.
• ότι είναι περιοδική (με περίοδο 2π).
• ότι είναι περιττή συνάρτηση και, εξ αυτού, ότι η γραφική παράσταση έχει κέ-
ντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
γ) Από την συνάρτηση του συνημιτόνου:
• ότι είναι περιοδική (με περίοδο 2π).
• ότι είναι άρτια συνάρτηση και, εξ αυτού, ότι η γραφική παράσταση έχει άξονα
συμμετρίας τον άξονα y'y.
δ) Από την συνάρτηση της εφαπτομένης:
• ότι είναι περιοδική (με περίοδο π).
• ότι είναι περιττή συνάρτηση και, εξ αυτού, ότι η γραφική παράσταση έχει κέ-
ντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
- 36 -

5. Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι σημαντικότατο θέμα της Τριγωνομετρίας. Σε αρκε-
τά από τα βήματά τους, ακολουθείται διαδικασία ίδια (αλλά με άλλο συμβολισμό) μ'
αυτή της επίλυσης μιας εξίσωσης πρώτου ή δευτέρου βαθμού, κλασματικής ή μη.
Καλό είναι να γίνει εδώ υπενθύμιση των τύπων της θεωρίας, που δίνουν τις λύσεις
των τριγωνομετρικών εξισώσεων, καθώς και μερικών σχολίων που έγιναν.
1. ηµx = α ⇔ ηµx = ηµθ ⇔ x = 2κπ + θ η x = 2κπ + π −θ , κ ∈ ! .
2. συνx = α ⇔ συνx = συνθ ⇔ x = 2κπ + θ η x = 2κπ −θ ⇔ x = 2κπ ± θ , κ ∈ ! .
3. εϕx = α ⇔ εϕx = εϕθ ⇔ x = κπ + θ , κ ∈ ! .
4. σϕx = α ⇔ σϕx = σϕθ ⇔ x = κπ + θ , κ ∈ ! .
Σχόλια.
α) Επειδή ισχύει −1 ≤ ηµx ≤1 , για κάθε x ∈ ! , η εξίσωση ηµx = α , όταν α < −1 ή
β) Επειδή ισχύει −1 ≤ συνx ≤1 , για κάθε x ∈ ! , η εξίσωση συνx = α , όταν α < −1 ή
γ) Για τις εξισώσεις εϕx = α και σϕx = α δεν τίθεται ο παραπάνω περιορισμός, δη-
λαδή το α μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
δ) Για τις εξισώσεις ηµx = α και συνx = α θα συναντάς (σχεδόν πάντα) τις εξής τι-
μές του α: α =
1
2
,
2
2
,
3
2
, −
1
2
, −
2
2
, −
3
2
.
Αμέσως παρακάτω, θα δεις μερικές ιδιαίτερες εξισώσεις, οι οποίες έχουν δικό
τους τύπο λύσης.
ε) Για τις εξισώσεις εϕx = α και σϕx = α θα συναντάς (σχεδόν πάντα) τις εξής τιμές
του α: α = 0 ,
3
3
, 1 , 3 , −
3
3
, −1 , − 3 .
Βάσει των παραπάνω τύπων, στην συνέχεια θα δεις τις λύσεις όλων των βασι-
κών τριγωνομετρικών εξισώσεων, οι οποίες συναντώνται συνεχώς στις εξισώσεις.
- 37 -

Α. Οι βασικές εξισώσεις με ημίτονο.
1. ηµx =
1
2
⇒ ηµx = ηµ
π
6
⇒
x = 2κπ +
π
6
η x = 2κπ + π −
π
6
= 2κπ +
5π
6
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
(κ ∈ !) .
2. ηµx =
2
2
⇒ ηµx = ηµ
π
4
⇒
x = 2κπ +
π
4
η x = 2κπ + π −
π
4
= 2κπ +
3π
4
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
(κ ∈ !) .
3. ηµx =
3
2
⇒ ηµx = ηµ
π
3
⇒
x = 2κπ +
π
3
η x = 2κπ + π −
π
3
= 2κπ +
2π
3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
(κ ∈ !) .
4. ηµx = −
1
2
⇒ ηµx = −ηµ
π
6
⇒ ηµx = ηµ
−π
6
⇒
x = 2κπ −
π
6
η x = 2κπ + π +
π
6
= 2κπ +
7π
6
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
(κ ∈ !) .
5. ηµx = −
2
2
⇒ ηµx = −ηµ
π
4
⇒ ηµx = ηµ
−π
4
⇒
x = 2κπ −
π
4
η x = 2κπ + π +
π
4
= 2κπ +
5π
4
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
(κ ∈ !) .
6. ηµx = −
3
2
⇒ ηµx = −ηµ
π
3
⇒ ηµx = ηµ
−π
3
⇒
x = 2κπ −
π
3
η x = 2κπ + π +
π
3
= 2κπ +
4π
3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
(κ ∈ !) .
- 38 -

Β. Οι βασικές εξισώσεις με συνημίτονο.
7. συνx =
1
2
⇒ συνx = συν
π
3
⇒ x = 2κπ ±
π
3
, κ ∈ ! .
8. συνx =
2
2
π
4
⇒ x = 2κπ ±
π
4
, κ ∈ ! .
9. συνx =
3
2
π
6
⇒ x = 2κπ ±
π
6
, κ ∈ ! .
10. συνx = −
1
2
⇒ συνx = −συν
π
3
⇒ συνx = συν π −
π
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2π
3
⇒
⇒ x = 2κπ ±
2π
3
, κ ∈ ! .
11. συνx = −
2
2
π
4
π
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3π
4
⇒
⇒ x = 2κπ ±
3π
4
, κ ∈ ! .
12. συνx = −
3
2
π
6
π
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
5π
6
⇒
⇒ x = 2κπ ±
5π
6
, κ ∈ ! .
ΠΡΟΣΟΧΗ στις εξισώσεις 10, 11 και 12 !!
Γ. Οι βασικές εξισώσεις με εφαπτομένη.
13. εϕx = 0 ⇒ εϕx = εϕ0 ⇒ x = κπ , κ ∈ ! .
14. εϕx =
3
3
⇒ εϕx = εϕ
π
6
⇒ x = κπ +
π
6
, κ ∈ ! .
15. εϕx = 1 ⇒ εϕx = εϕ
π
4
⇒ x = κπ +
π
4
, κ ∈ ! .
16. εϕx = 3 ⇒ εϕx = εϕ
π
3
⇒ x = κπ +
π
3
, κ ∈ ! .
17. εϕx = −
3
3
⇒ εϕx = −εϕ
π
6
⇒ εϕx = εϕ
−π
6
⇒ x = κπ −
π
6
, κ ∈ ! .
18. εϕx = −1 ⇒ εϕx = −εϕ
π
4
⇒ εϕx = εϕ
−π
4
⇒ x = κπ −
π
4
, κ ∈ ! .
19. εϕx = − 3 ⇒ εϕx = −εϕ
π
3
⇒ εϕx = εϕ
−π
3
⇒ x = κπ −
π
3
, κ ∈ ! .
- 39 -

Δ. Οι βασικές εξισώσεις με συνεφαπτομένη.
20. σϕx = 0 ⇒ σϕx = σϕ
π
2
⇒ x = κπ +
π
2
, κ ∈ ! .
21. σϕx =
3
3
⇒ σϕx = σϕ
π
3
⇒ x = κπ +
π
3
, κ ∈ ! .
22. σϕx = 1 ⇒ σϕx = σϕ
π
4
⇒ x = κπ +
π
4
, κ ∈ ! .
23. σϕx = 3 ⇒ σϕx = σϕ
π
6
⇒ x = κπ +
π
6
, κ ∈ ! .
24. σϕx = −
3
3
⇒ σϕx = −σϕ
π
3
⇒ σϕx = σϕ
−π
3
⇒ x = κπ −
π
3
, κ ∈ ! .
25. σϕx = −1 ⇒ σϕx = −σϕ
π
4
⇒ σϕx = σϕ
−π
4
⇒ x = κπ −
π
4
, κ ∈ ! .
26. σϕx = − 3 ⇒ σϕx = −σϕ
π
6
⇒ σϕx = σϕ
−π
6
⇒ x = κπ −
π
6
, κ ∈ ! .
Ιδιαίτερες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
Τις λύσεις των παρακάτω εξισώσεων να τις αποστηθίσεις !
1η εξίσωση. ηµx = −1 ⇒ x = 2κπ −
π
2
, κ ∈ ! .
2η εξίσωση. ηµx = 0 ⇒ x = κπ , κ ∈ ! .
3η εξίσωση. ηµx = 1 ⇒ x = 2κπ +
π
2
, κ ∈ ! .
4η εξίσωση. συνx = −1 ⇒ x = 2κπ + π , κ ∈ ! .
5η εξίσωση. συνx = 0 ⇒ x = κπ +
π
2
, κ ∈ ! .
6η εξίσωση. συνx = 1 ⇒ x = 2κπ , κ ∈ ! .
- 40 -

Παρακάτω θα δεις αναλυτικά τις κυριότερες κατηγορίες τριγωνομετρικών εξισώσεων
και πώς αυτές αντιμετωπίζονται. Αυτές είναι:
1η κατηγορία. Εξισώσεις, που ανάγονται άμεσα στις βασικές.
2η κατηγορία. Εξισώσεις, που έχουν (και) «σύνθετη» γωνία (όχι απλό x).
3η κατηγορία. Εξισώσεις, που λύνονται μ' αντικατάσταση.
4η κατηγορία. Εξισώσεις, στις οποίες χρησιμοποιούνται τύποι της Τριγωνομετρίας
και ανάγονται σε κάποια από τις προηγούμενες κατηγορίες.
5η κατηγορία. Εξισώσεις, που ζητείται να λυθούν σε διάστημα.
Ας περάσουμε στην ανάλυση κάθε κατηγορίας.
1η κατηγορία. Εξισώσεις, που ανάγονται άμεσα στις βασικές.
Οι εξισώσεις αυτής της κατηγορίας έχουν τις εξής μορφές κυρίως:
Μορφή Α. Είναι εξ αρχής παραγοντοποιημένες σε μορφή αβ = 0 , απ' όπου, ως
γνωστόν, προκύπτει α = 0 ή β = 0 (ασφαλώς, μπορεί το γινόμενο να πε-
ριλαμβάνει περισσότερους όρους).
Οι εξισώσεις, για παράδειγμα, ηµx ⋅(συνx −1) = 0 , συνx ⋅( 2συνx −1) = 0 ,
(ηµx −1)(2συνx +1) = 0 , ανταποκρίνονται σ' αυτήν την μορφή Α.
Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι συνήθως οι βασικές εξισώσεις, οι λύσεις των
οποίων έχουν εκτεθεί στις σελίδες 38 έως 40. Βέβαια, κάλλιστα μπορεί να προκύψει
και εξίσωση που εμπίπτει σε κάποια άλλη κατηγορία !
Να προσεχθούν τα εξής σε θέματα περιορισμών που ίσως χρειαστούν !
1. Όταν η εξίσωση έχει ημx και συνx μόνο, τότε περιορισμοί ίσως χρειαστούν
αν υπάρχουν κλάσματα (αυτό δεν είναι ιδιαιτερότητα των τριγωνομετρικών
εξισώσεων, αλλά οποιασδήποτε εξίσωσης έχει άγνωστο σε παρονομαστή).
2. Όταν η εξίσωση έχει εφx μόνο, τότε δεν χρειάζεται περιορισμός, παρ' ότι η εφx
έχει συνx στον παρονομαστή της.
Φυσικά, αν εμφανίζονται κλάσματα, τους παρονομαστές των οποίων υπάρχει εφx,
περιορισμοί θα τεθούν !
3. Όταν η εξίσωση έχει σφx μόνο, τότε δεν χρειάζεται περιορισμός, παρ' ότι η σφx
έχει ημx στον παρονομαστή της.
- 41 -

Φυσικά, αν εμφανίζονται κλάσματα, στους παρονομαστές των οποίων υπάρχει σφx,
περιορισμοί θα τεθούν !
4. Όταν η εξίσωση έχει εφx (ή/και σφx) και ημx ή συνx, τότε πρέπει να τεθεί περιο-
ρισμός για την εφx (ή την σφx, αν έχει).
Μορφή Β. Μπορούν να παραγοντοποιηθούν σε μορφή αβ = 0 .
Οι εξισώσεις, για παράδειγμα, ηµx ⋅συνx + ηµx = 1+ συνx , εϕx − ηµx = 1−εϕx ⋅ηµx ,
ανταποκρίνονται σ' αυτήν την μορφή Β.
Όσα αναφέρθηκαν προηγουμένως περί περιορισμών ισχύουν αυτούσια και σ' αυτήν
την περίπτωση !
Μορφή Γ. Έχουν έναν μόνο τριγωνομετρικό αριθμό, ως προς τον οποίο λύνοντας
η εξίσωση λαμβάνει την μορφή βασικής εξίσωσης.
Οι εξισώσεις, για παράδειγμα, 3εϕx −1 = 0 , 2συνx −1 = 0 , 2ηµ2
x = 1 , ανταποκρί-
νονται σ' αυτήν την μορφή Γ.
Μερικά παραδείγματα θα φωτίσουν όσα προαναφέρθηκαν.
Παράδειγμα 1 (μορφή Α). Να λύσετε την εξίσωση ηµx ⋅(συνx −1) = 0 .
Λύση. Είναι ηµx ⋅(συνx −1) = 0 ⇒ ηµx = 0 ή συνx −1 = 0 .
α) Είναι ηµx = 0 ⇒ x = κπ , κ ∈ ! .
β) Είναι συνx = 1 ⇒ x = 2κπ , κ ∈ ! .
Παράδειγμα 2 (μορφή Α). Να λύσετε την εξίσωση συνx ⋅( 2συνx −1) = 0 .
Λύση. Είναι συνx ⋅( 2συνx −1) = 0 ⇒ συνx = 0 ή 2συνx −1 = 0 .
α) Είναι συνx = 0 ⇒ x = κπ +
π
2
, κ ∈ ! .
- 42 -

β) Είναι 2συνx = 1 ⇒ συνx =
1
2
⇒ συνx =
2
2
2
⇒ συνx =
2
2
π
4
⇒
⇒ x = 2κπ ±
π
4
, κ ∈ ! .
Παράδειγμα 3 (μορφή Β). Να λύσετε την εξίσωση ηµx ⋅συνx + ηµx = 1+ συνx .
Λύση. Είναι ηµx ⋅συνx + ηµx = 1+ συνx ⇒ ηµx ⋅συνx + ηµx −1−συνx = 0 ⇒
⇒ ηµx ⋅(συνx +1)−(συνx +1) = 0 ⇒ (συνx +1)(ηµx −1) = 0 ⇒
⇒ συνx +1 = 0 ή ηµx −1 = 0 .
α) Είναι συνx +1 = 0 ⇒ συνx = −1 ⇒ x = 2κπ + π , κ ∈ ! .
β) Είναι ηµx −1 = 0 ⇒ ηµx = 1 ⇒ x = 2κπ +
π
2
, κ ∈ ! .
Παράδειγμα 4 (μορφή Β). Να λύσετε την εξίσωση εϕx − ηµx = 1−εϕx ⋅ηµx .
Λύση. Επειδή εϕx =
ηµx
συνx
, πρέπει να είναι συνx ≠ 0 ⇒ x ≠ κπ +
π
2
, κ ∈ ! .
Για την εξίσωση έχω εϕx − ηµx = 1−εϕx ⋅ηµx ⇒ εϕx − ηµx −1+ εϕx ⋅ηµx = 0 ⇒
⇒ εϕx ⋅(1+ ηµx)−(1+ ηµx) = 0 ⇒ (1+ ηµx)(εϕx −1) = 0 ⇒1+ ηµx = 0 ή εϕx −1 = 0 .
α) Είναι 1+ ηµx = 0 ⇒ ηµx = −1 ⇒ x = 2κπ −
π
2
, κ ∈ ! .
β) Είναι εϕx −1 = 0 ⇒ εϕx = 1 ⇒ εϕx = εϕ
π
4
⇒ x = κπ +
π
4
, κ ∈ ! .
Παράδειγμα 5 (μορφή Γ). Να λύσετε την εξίσωση 2ηµ2
x = 1 .
Λύση. Είναι 2ηµ2
x = 1 ⇒ ηµ2
x =
1
2
⇒ ηµx = ±
1
2
⇒ ηµx = ±
1
2
⇒ ηµx = ±
2
2
2
⇒
⇒ ηµx = ±
2
2
⇒ ηµx =
2
2
ή ηµx = −
2
2
.
α) Είναι ηµx =
2
2
⇒ ηµx = ηµ
π
4
⇒ x = 2κπ +
π
4
ή x = 2κπ + π −
π
4
⇒
⇒ x = 2κπ +
π
4
ή x = 2κπ +
3π
4
, κ ∈ ! .
β) Είναι ηµx = −
2
2
⇒ ηµx = −ηµ
π
4
⇒ ηµx = ηµ
−π
4
⇒
- 43 -

Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου

Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου

Similar to Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου