Ορισμένο ολοκλήρωμα με 918 ασκήσεις

2018
Έτος
μαθηματικών
Στο lisari θα τιμήσουμε το έτος
μαθηματικών προσφέροντας τα
εξής:
1) Συλλογές της lisari team
2) Εμπορικά βοηθήματα της lisari
team
3) Διαγωνίσματα προσομοίωσης της
lisari team για όλες τις τάξεις
4) Ένα διαγώνισμα προσομοίωσης για
τη Γ΄ Λυκείου με συνεργασία
μαθηματικών site – blog! Μια
πρωτότυπη ενέργεια που θα
επιχειρηθεί για πρώτη φορά!
5) Διαγωνισμούς, δώρα, την άσκηση
της ημέρας (Επιμέλεια: Παύλος
Τρύφων), ασκήσεις από την Ρουμανία
(Επιμέλεια: Αθηνά Καλαμπόκα) κτλ.
Γ΄Λυκείου2018
lisari.blogspot.gr
Ένααποκλειστικόαρχείοαπότον
ΝίκοΣκομπρή
Ορισμένο
Ολοκλήρωμα
Επιμέλεια: Νίκος Σκομπρής
(skobris@gmail.com)

Βραβεία lisari 2017
Οι αναγνώστες του lisari ψήφισαν στο blog και στο
lisari gate τα αγαπημένα τους αρχεία.
Τα αρχεία που ψηφίστηκαν (με διαφορά) είναι τα εξής:
1. H ανανεωμένη γραμματοσειρά word με σύμβολα
μαθηματικών του Α. Νικολόπουλου
2. Επιστολή διαμαρτυρίας της lisari team για την
κατάργηση του 4ου επιστημονικού πεδίου
3. Ένα θέμα κάθε μέρα με τη συμμετοχή των
συγγραφέων
4. Τα 11 διαγωνίσματα προσομοίωσης για το
Γυμνάσιο και Λύκειο από τη lisari team
5. 63 Επαναληπτικές ασκήσεις Τάξη: ΕΠΑΛ – Γ
Λυκείου Δημιουργός: Άγγελος Παπαϊωάννου
6. 7 βήματα στον Ολοκληρωτικό λογισμό Τάξη: Γ΄
Λυκείου Δημιουργός: Μάκης Χατζόπουλος
7. Φυλλάδιο στην Ομοιότητα Τάξη: Β΄ Λυκείου
Δημιουργός: Μάκης Χατζόπουλος
8. Φυλλάδιο στα μη γραμμικά συστήματα Τάξη:
Άλγεβρα Β Λυκείου Δημιουργός: lisari team
Λίγα λόγια
για το αρχείο…
Το αρχείο με το Ορισμένο Ολοκλήρωμα
περιέχει 918 άλυτες ασκήσεις ομαδοποιημένες
ανά κατηγορία.
Αρκετές ασκήσεις θα τις βρείτε και στο
τόμο Γ2 του Νίκου Σκομπρή που μόλις
κυκλοφόρησε.
Βιογραφικό
Νίκος Σκομπρή
Γεννήθηκα στη Χαλκίδα στις 3 Ιουνίου 1968 και
μεγάλωσα στο Καναδά, μιας και οι γονείς μου ήταν
μετανάστες εκεί.
Πρώτη μου επιλογή ήταν τα Μαθηματικά και
σπούδασα στην Αθήνα ενώ μετά τις σπουδές υπήρξα
ιδιοκτήτης φροντιστηρίου για δεκατρία χρόνια ενώ
από το 2007 είμαι δημόσιος υπάλληλος και διδάσκω
στο ΓΕΛ Μαντουδίου Ευβοίας.
Ασχολήθηκα με τη συγγραφή βιβλίων και εκδόθηκαν
δύο τόμοι με τίτλο ''αλγεβρικές ανισότητες'' και
τέσσερις τόμοι για τα μαθηματικά της Γ λυκείου.
Αγαπημένο μου αντικείμενο είναι οι Γεωμετρικές
Ανισότητες και φιλοδοξώ όσο υλικό έχω να το
εκδώσω εν ευθέτω χρόνω...
Είμαι παντρεμένος, τη σύζυγό μου τη λένε Ευαγγελία
Σταματίου και έχουμε δύο παιδιά τη Μαρία και το
Γιάννη.
Επικοινωνία
lisari.blogspot.gr
lisari.blogspot@gmail.com
skobris@gmail.com

Ορισμένο ολοκλήρωμα
Τελική έκδοση
1 Οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος
(αʹ)
β
α
(λf(x) + µg(x))dx = λ
β
α
f(x)dx + µ
β
α
g(x)dx
β
α
(λ f(x) + µg(x))dx = λ
β
α
f(x)dx + µ
β
α
g(x)dx
β
α
(λf(x) + µg(x))dx = λ
β
α
f(x)dx + µ
β
α
g(x)dx
1.1 Οι συναρτήσεις f, g : [1, 3] → R είναι συνεχείς και
ικανοποιούν τις σχέσεις:
3
1
f(x)dx = 5 και
3
1
g(x)dx = −2
Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
α)
3
1
(2 f(x) − 6g(x))dx β)
3
1
(3 f(x) − g(x))dx
1.2 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής και ικανο-
ποιεί τη σχέση:
1
0
f(x)dx = 3
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
1
0
[ f(x) − 2]dx
1.3 Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις:
α)
β
α
x2
+ 1
2x2 + 1
dx +
β
α
x2
2x2 + 1
dx = β − α
β)
1
0
(x − 1)2
x2 − x + 1
dx +
1
0
x
x2 − x + 1
dx = 1
γ)
1
0
dx
1 + ex
+
1
0
dx
1 + e−x
= 1
δ)
π
6
0
συν2
x
συν2x
dx −
π
6
0
ηµ2
x
συν2x
dx =
π
6
1
0
(2 f(x) − 3g(x))dx = 6 και
1
0
f(x)dx =
1
0
3g(x)dx
I =
1
0
f(x)dx και J =
1
0
g(x)dx
1.5 Η συνάρτηση f : [0, π] → R είναι συνεχής και ικα-
νοποιεί τη σχέση:
π
0
f(x) · ηµxdx =
π
0
f(x) · συνxdx = 0
Να αποδείξετε ότι:
π
0
f(x) · ηµ(x + 1)dx = 0
1.6 Οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι συνεχείς. Να
αποδείξετε ότι:
β
α
β
α
f(x)g(t)dt dx =
β
α
f(x)dx ·
β
α
g(x)dx
1.7 Οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι συνεχείς. Να
β
α
δ
γ
f(t)g(x)dx dt =
δ
γ
β
α
f(t)g(x)dt dx
(βʹ)
β
α
f(x)dx = −
α
β
f(x)dx
β
α
f(x)dx = −
α
β
f(x)dx
β
α
f(x)dx = −
α
β
f(x)dx
α)
1
e
ln
1
x
dx =
e
1
ln xdx
β)
2
1
x
x + 1
dx +
1
2
−1
x + 1
dx = 1
γ) 3
2
−6
x2
+ 6
x2 + 9
dx − 9
−6
2
1
x2 + 9
dx = 24
1
0
f(x)dx = 2 και
1
0
g(x)dx = −3
Να υπολογίσετε το ολοκληρώματα:
α)
0
1
(3 f(x) − 2g(x))dx β)
0
1
(−2 f(x) + g(x))dx
1.10 Να βρείτε την τιμή του κ ∈ R για την οποία είναι:
2
κ
−4
x2
3x2 + 12
dx −
−4
κ
8
3x2 + 12
dx = 1
1
1/1/2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr
Επιμέλεια: Νίκος Σκομπρής (skobris@gmail.com)

(γʹ)
β
α
f(x)dx =
γ
α
f(x)dx +
β
γ
f(x)dx
β
α
f(x)dx =
γ
α
f(x)dx +
β
γ
f(x)dx
β
α
f(x)dx =
γ
α
f(x)dx +
β
γ
f(x)dx
1.11 Να αποδείξετε ότι:
2
1
x − 1
ex
dx +
1
2
x − 1
ex
dx = 0
1.12 Η συνάρτηση f : [0, 4] → R είναι συνεχής και ικα-
4
0
f(x)dx =
4
3
f(x)dx
3
0
f(x)dx = 0
νοποιεί τις σχέσεις:
3
0
f(x)dx = 3 και
4
0
f(y)dy = 7
4
3
f(u)du
3
1
f(x)dx = 4 και
3
4
f(x)dx = 2
α)
4
3
f(x)dx = −2 β)
4
1
f(x)dx = 2
2
0
f(x)dx =
1
0
2 f(x)dx
1
0
f(x)dx =
2
1
f(x)dx
2
1
f(x)dx = 3 και
3
2
f(x)dx = 5
α)
3
1
f(t)dt β)
3
1
2 f(u)du
2
1
f(x)dx ·
3
2
f(x)dx = 6 και
3
1
f(x)dx = 5
2
1
f(x)dx και
3
2
f(x)dx
1
0
f(x)dx ·
2
1
f(x)dx = 6 και
1
0
f(x)dx
2
+
2
1
f(x)dx
2
= 13
2
0
f(x)dx
1.19 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R για την
οποία ισχύει:
β
α
f(x)dx =
δ
γ
f(x)dx
γ
α
f(x)dx =
δ
β
f(x)dx
1.20 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και έστω
α, β, γ ∈ R με α + β + γ = 0. Να αποδείξετε ότι:
β+γ
α
f(x)dx −
γ+α
β
f(x)dx =
β
α
f(x)dx −
−β
−α
f(x)dx
1.21 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και για κάθε
n ∈ N είναι:
n
0
f(x)dx = n
2

n+1
n
f(x)dx = 1
1.22 Η συνάρτηση f : ∆ → R είναι συνεχής και έστω
α, β, γ, δ ∈ ∆. Να αποδείξετε ότι:
β
α
f(x)dx ·
δ
γ
f(x)dx +
γ
α
f(x)dx ·
β
δ
f(x)dx+
+
δ
α
f(x)dx ·
γ
β
f(x)dx = 0
2 Το ϑεμελιώδες ϑεώρημα του
ολοκληρωτικού λογισμού
(αʹ)
β
α
xn
dx =
1
n + 1
· xn+1 β
α
β
α
xn
dx =
1
n + 1
· xn+1 β
α
β
α
xn
dx =
1
n + 1
· xn+1 β
α
α)
1
−1
x2
− x + 2 dx =
14
3
β)
2
1
(x + 1)(2x − 1)dx =
31
6
γ)
3
1
2x2
− 3x + 4 dx =
40
3
δ)
1
−1
x4
− 2x3
+ x + 1 dx =
12
5
2.24 Να βρείτε τις τιμές του α ∈ R για τις οποίες ισχύει:
α
0
3x2
+ 4x − 5 dx = α3
− 2
2.25 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα:
α)
2
1
x2
x −
1
x
2
dx β)
2
1
x2
+ 1
x
dx γ)
2
1
x + 1
x4
dx
δ)
2
1
x3
− 2x + 5
x
dx ε)
2
1
x2
+ 1
x2
dx
α)
2
0
x
√
xdx β)
1
0
(1 −
√
x)2
dx γ)
1
0
x2 3
√
xdx
δ)
2
1
x2
√
x − x + 1
x2
dx ε)
4
1
1
x
−
3
x2
+
1
√
x
dx
ζ)
1
0
x − 1
√
x + 1
dx η)
4
1
3x + 1
√
x
dx ϑ)
16
1
x
√
xdx
α)
4
9
√
x(1 − x)dx =
72
5
β)
4
9
1 −
√
x
2
√
x
dx = −
5
2
γ)
1
0
x x
√
xdx =
8
15
2.28 Δίνεται η συνάρτηση:
f(x) =



x2
+ 1, αν x < 1
√
x + 3, αν x ≥ 1
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R
β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
6
0
f(x)dx
2.29 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση:
f(x) =



3x2
+ α, αν x ≤ 1
2βx + 1, αν x > 1
Να βρείτε τις τιμές των α, β ∈ R για τις οποίες είναι:
2
0
f(x)dx = 15
(βʹ)
β
α
ηµxdx = − [συνx]β
α
β
α
α
β
α
α
α)
1
0
x2
+ συν(πx) dx β)
π
4
0
1
συν2x
− ηµ2x dx
γ)
π
3
π
6
1
ηµ2x · συν2x
dx δ)
π
3
0
συνx −
1
συνx
2
dx
ε)
π
3
π
6
συν2x
ηµ2x · συν2x
dx
(γʹ)
β
α
ex
dx = [ex
]β
α
β
α
ex
dx = [ex
]β
α
β
α
ex
dx = [ex
]β
α
α)
1
−1
(x − ex
)dx = e−1
− e
β)
1
−1
(2 + x − ex
)dx = 4 + e−1
− e
2.32 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
α)
1
0
ex + e2x + e3x
e4x
dx β)
1
0
1 + ex
e2x
dx
3

(δʹ) Ορισμένο ολοκλήρωμα και απόλυτη τιμή
α)
4
0
x2
− 5x + 6 dx =
17
3
β)
2
−1
x2
− 1 dx =
8
3
γ)
1
−1
|ex
− 1| dx = e−1
+ e − 2
δ)
1
0
e−2x
− e−x
dx =
1
2
−
1
e
+
1
2e2
ε)
1
0
1 − |x − 1|3
dx =
3
4
ζ)
2π
0
(|ηµx| + |συνx|)dx = 8
α)
π
−π
|συνx|dx β)
3
0
x2
− 3x + 2 dx
γ)
π
2
0
|x − ηµx|dx δ)
2
0
|x2
− 1| + x dx
ε)
π
0
(συνx + |συνx|) dx ζ)
π
0
√
1 + συν2xdx
π
2
0
1 − ηµ2xdx = 2
√
2 − 2
(εʹ) Ολοκληρώμα ρητής συνάρτησης
α)
3
2
2
x2 − 1
dx β)
2
1
3x + 2
x2 + x
dx γ)
4
3
x + 1
x2 + x − 2
dx
δ)
3
2
2
x2 + 3x
dx ε)
−1
0
2x − 3
x2 − 3x + 2
dx
ζ)
2
1
2x + 1
x2 − 5x + 6
dx η)
3
2
x + 2
x2 − 6x − 7
dx
ϑ)
3
2
x2
− 2x − 1
x3 − x
dx ι)
1
0
x − 1
x2 + 3x + 2
dx
α)
1
0
x − 1
x + 1
dx β)
1
0
x2
x2 − 4
dx γ)
1
0
x2
− 3x + 2
x + 1
dx
δ)
1
0
x2
− 2x + 1
x2 + 4x + 3
dx ε)
3
2
x3
+ x2
− 2x − 1
x2 − x
dx
ζ)
1
0
x3
− 2x
x2 + 3x + 2
dx η)
1
0
x2
− x + 2
x + 3
dx
ϑ)
1
0
x3
− 2x + 3
x2 − 4
dx ι)
0
−1
x2
+ 1
x2 − 3x + 2
dx
κ)
4
3
x3
x2 − x − 2
dx λ)
1
−1
x3
+ 2x2
− x + 4
x2 + 2x − 5
dx
f(x) =



x3
+ αx2
+ βx + γ
x − 1
, αν x 1
2, αν x = 1
Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ∈ R για τις οποίες
είναι:
1
0
f(x)dx =
1
3
2.39 Θεωρούμε το ολοκλήρωμα:
In =
1
0
x2n+1
x2 + 1
dx, με n ∈ N
α) Να αποδείξετε ότι:
In + In+1 =
1
2n + 2
, για κάθε n ∈ N
β) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I0, I1 και I2
2.40 ´Εστω οι ϑετικοί αριθμοί α, β για τους οποίους ι-
σχύει η σχέση:
β
α
1
x + 1
dx =
β
α
1
x(x + 1)
dx
Να αποδείξετε ότι α = β ή αβ = 1
2.41 Η συνάρτηση f : R∗ → R είναι συνεχής και ικανο-
f(x) + 2 f
1
x
= x2
, για κάθε x ∈ R∗
2
1
f(x)dx
2.42 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και ικανο-
x2
f(x) − f(−x) = x3
, για κάθε x ∈ R
f(x) =
x3
x2 + 1
1
0
f(x)dx
4

(Ϛʹ)
β
α
f (x)dx = f(β) − f(α)
β
α
f (x)dx = f(β) − f(α)
β
α
f (x)dx = f(β) − f(α)
α)
π
4
0
φxdx =
ln 2
2
β)
π
3
0
φ2
xdx =
√
3 −
π
3
γ)
e
1
ex
· ln xe
1
x dx = ee
δ)
1
0
xex
(1 + x)2
dx =
e − 2
2
ε)
π
2
0
ηµ2x · eηµ2
x
dx = e − 1
ζ)
1
0
ex
ex + 1
dx = ln
e + 1
2
η)
1
0
x
x2 + 1
dx =
√
2 − 1
ϑ)
π
4
0
ex
1 + φx + φ2
x dx = e
π
4
α)
e
1
3x2
ln x + x2
dx = e3
β)
e
1
1 − ln x
x2
dx =
1
e
γ)
π
3
0
φx +
x
συν2x
dx =
π
√
3
3
δ)
e
1
e
| ln x|
x
dx = 1
ε)
π
3
π
6
ηµx − xσυνx
1 − συν2x
dx =
π 2
√
3 − 3
18
ζ)
e
1
xx
(ln x + 1)dx = ee
− 1
η)
π
2
0
xσυνx
xηµx + συνx
dx = ln
π
2
ϑ)
π
3
π
4
συν2x
ηµx · συνx
dx = ln


√
3
2


ι)
2
0
x2
− 2x
ex
dx = −
4
e2
α)
π
4
0
φ3
x + φx dx =
1
2
β)
π
4
0
φ3
xdx =
1 − ln 2
2
α)
e2
e
ln x − 1
ln2 x
dx β)
1
0
1
1 + ex
dx γ)
π
4
0
2 + ηµ2x
2συν2x
dx
δ)
π
2
0
(ηµx + xσυνx)dx ε)
π
2
0
συν4
x − ηµ4
x dx
ζ)
π
2
0
ηµx − συνx
ex + ηµx
dx η)
π
0
ex + συνx
ex + ηµx
dx
ϑ)
e
√
e
2x ln x − x
ln2 x
dx ι)
2
1
1
x(x100 + 1)
dx
κ)
1
0
1 − x
ex
dx λ)
π
π
2
ln xσυνx
+
ηµx
x
dx
μ)
1
0
e2x − e−2x
ex + e−x
dx
2.47 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή δεύτερη
παράγωγο. Να αποδείξετε ότι:
1
0
(x f (x) + f (x)) dx = f (1)
2.48 Η συνάρτηση f : [α, β] → R έχει συνεχή δεύτερη
παράγωγο και οι εφαπτόμενες της Cf στα σημεία α
και β σχηματίζουν με τον άξονα x x γωνίες
π
6
και
π
3
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
β
α
f (x) f (x)dx =
4
3
2.49 Η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο R και
ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(1) = 0 και
1
0
f (ex
) − f(ex
)e−x
dx = 1
α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
g(x) =
f(ex)
ex
, με x ∈ R
β) Να αποδείξετε ότι f(e) = e
2.50 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή παράγωγο
και είναι f(0) = 1 και f(1) = 2. Να υπολογίσετε τα
ολοκληρώματα:
α)
1
0
f (x) − f(x)
ex
dx β)
1
0
x [2 f(x) + x f (x)] dx
2.51 Η συνάρτηση f : [0, 1] → (0, +∞) είναι παραγωγί-
σιμη στο [0, 1] και είναι f(0) = f(1) = 1. Να απο-
δείξετε ότι:
1
0
f(x) − f (x)
f2(x)
ex
dx = e − 1
2.52 Η συνάρτηση f : [0, 1] → [0, +∞) έχει συνεχή πα-
ράγωγο στο [0, 1] και είναι f(0) = 0 και f(1) = 1.
1
0
f (x) − f(x)
ex + f(x)
dx = ln 1 +
1
e
5

f(x) =



e
1
x
x2
, x < 0
0, x = 0
α) η f είναι συνεχής στο x0 = 0
β)
0
−1
f(x)dx =
1
e
2.54 Αν In =
1
0
enx
1 + ex
dx, να αποδείξετε ότι:
In+1 =
en − 1
n
− In, με n ∈ N∗
2.55 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
π
4
0
(ex
ηµx) · ( φx) dx
α)
π
4
0
ex
φx + φ2
x dx = 1
β)
1
0
ex · (x − 1)2
(x2 + 1)2
dx =
e − 2
2
γ)
1
−1
1 + 2ex
ex + e−x + 1
dx = 2
δ)
π
2
0
2συνx + 3ηµx
συνx + ηµx
dx =
5π
4
ε)
π
2
0
2ex · ηµx
1 + ηµ2x
dx = e
π
2 − 1
ζ)
π
2
0
(1 + x)ηµx + (1 − x)συνx
1 + ηµ2x
dx =
π
2
η)
π
2
0
(x + 1)2
ηµx − (x − 1)2
συνx
1 + ηµ2x
dx =
π2
4
(ζʹ) εύρεση τύπου συνάρτησης
2.57 Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f σε
κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) f(x) =
1
0
1 + tx − t2
x2
dt, με x ∈ R
β) f(x) = x +
1
2
0
f(t)dt, με x ∈ R
γ) x f(x) = ln x −
e
1
f(x)dx, με x > 0
δ) f (x) =
1
0
f(x)dx, με x ∈ R και f(0) = 1
ε) f (x) = f(x) +
1
0
f(x)dx, με x ∈ R και f(0) = 1
ζ)
1
0
e1−x
f(x)dx = f(x) + ex
, με x ∈ R
η) f(x) + 1 = 9
1
0
f(t)dt
2
+ x2
, με x ∈ R
ϑ) f(x) =


π
2
0
ηµx · f(x)dx


2
, με x ∈ R
ι) x f (x) = f(x) +
1
0
f(x)dx, με x > 0
3 μέθοδοι ολοκλήρωσης
(αʹ) παραγοντική ολοκλήρωση
(i) βασικά παραδείγματα
β
α
P(x) · eQ(x)
dx
β
α
P(x) · eQ(x)
dx
β
α
P(x) · eQ(x)
dx
α)
1
0
x2
ex
dx = e − 2 β)
1
−1
(x + 1)ex−1
dx = 1 + e−2
γ)
1
0
x2
− x · ex
dx = e − 3
α)
1
0
xe−2x
dx β)
1
0
x2
e2x
dx γ)
1
0
(x2
+ x − 1)ex
dx
δ)
1
0
x − 1
ex
dx ε)
1
0
xex+ln x
dx ζ)
2
1
(x2
−2x)e−x
dx
η)
2
−1
xe|x|
dx
3.60 Δίνεται η συνάρτηση f : [0, 2] → R με τύπο:
f(x) = max 1, x2
2
0
ex
f(x)dx = 2e2
− 1
β
α
P(x) · ln (Q(x)) dx
β
α
β
α
6

α)
2
1
x ln xdx = 2 ln 2 −
3
4
β)
e
1
(2x + 1) ln xdx =
e2
+ 3
2
γ)
e
1
e
| ln x − 1|dx =
e2
− 3
e
δ)
1
0
x ln x2
+ 1 dx = ln 2 −
1
2
α)
e
1
ln xdx β)
e2
e
x2
ln xdx γ)
e
1
ln
√
x + 1dx
δ)
e
1
ln x
x
dx ε)
e
1
ln2
xdx ζ)
e
1
x3
ln xdx
η)
e
1
ln x
x2
dx ϑ)
e
1
ln x
√
x
dx ι)
e
1
ln(2x + 3)dx
κ)
e
1
ln2
x
x2
dx λ)
e
1
√
x ln xdx
α)
e
1
1 − ln x
x2
dx β)
e
1
x2
ln x2
dx γ)
e
1
| ln x−1|dx
δ)
e
1
x ln(x + 1)dx ε)
1
0
ln x + x2 + 1 dx
ζ)
1
0
ln
2 + x
2 − x
dx η)
1
0
x2
ln x3
+ 5 dx
ϑ)
2
1
2
x| ln x|dx ι)
e
1
ln 2x · ln xdx κ)
e
1
ln
√
x
x
dx
α)
1
1
e
x ln 1 +
1
x
dx β)
π
0
ηµx ln(1 + ηµx)dx
γ)
e
1
ln x
(x + 1)2
dx δ)
1
0
x · ln x + x2 + 1
1 + x2
dx
3.65 Αν n ∈ N∗, να αποδείξετε ότι:
e
1
xn
· ln xdx =
nen+1
+ 1
(n + 1)2
β
α
P(x) · f (ηµQ(x), συνQ(x)) dx
β
α
β
α
α)
π
2
0
x · ηµxdx = 1 β)
π
2
0
x · συνxdx =
π
2
− 1
γ)
π
2
0
x2
· ηµxdx = π − 2 δ)
π
2
0
x · συν2xdx = −
1
2
ε)
π
6
0
3x2
+ 2 · ηµ3xdx =
π + 4
9
α)
π
0
x|συνx|dx β)
π
2
0
x2
συνxdx γ)
π
2
0
x2
ηµ3xdx
δ)
π
4
0
xηµxσυνxdx ε)
π
0
(xηµx)2
dx
α)
π
4
0
x
συν2x
dx β)
π
4
π
6
x
ηµ2x
dx γ)
π
4
0
x φ2
xdx
β
α
eP(x)
· f (ηµQ(x), συνQ(x)) dx
β
α
eP(x)
β
α
eP(x)
α)
π
0
ex
ηµxdx =
eπ + 1
2
β)
π
2
0
ex
συνxdx =
e
π
2 − 1
2
α)
1
0
x + ηµx
ex
dx β)
π
0
ex
συν2xdx γ)
π
4
0
e2x
ηµ2xdx
3.71 Δίνονται τα ολοκληρώματα:
I =
π
2
0
e2x
· συν2
xdx και J =
π
2
0
e2x
· ηµ2
xdx
I + J =
eπ − 1
2
και I − J = −
eπ + 1
4
β) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I και J
συνδιαστικέςσυνδιαστικέςσυνδιαστικές
α)
2
1
x + 1
x
· e− 1
x dx β)
2
1
ex
·
1
x2
+ ln x dx
π
0
(eηµx
) · xdx
3.74 Η συνάρτηση f : R → R είναι παραγωγίσιμη, με
f(0) = 1 και ικανοποιεί τη σχέση:
f (x) = f(x) + ex − 1, για κάθε x ∈ R
7

1
0
f(x)dx
2
0
π
0
tηµtdt xσυν(πx)dx
(ii) ϑεωρητικές ασκήσεις
3.76 Η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [0, 1] και
ισχύουν οι σχέσεις:
f(1) = 5 και
1
0
f(x)dx = 2
I =
1
0
x f (x)dx
και ικανοποιεί τη σχέση:
1
0
x f (x)dx = 2 −
1
0
f(x)dx
Να αποδείξετε ότι f(1) = 2
3.78 Η συνάρτηση f : R → R έχει συνεχή δεύτερη πα-
ράγωγο και είναι:
f (−1) = −f(−1) και f (1) = f(1)
1
−1
x f (x)dx = 0
3.79 Η συνάρτηση f : R → R έχει συνεχή δεύτερη παρά-
γωγο και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο
M(β, f(β)). Να αποδείξετε ότι:
β
α
(x − α) · f (x)dx = f(α) − f(β)
3.80 Η συνάρτηση f : R → R είναι δύο φορές παραγω-
γίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
f (x) = f(x), για κάθε x ∈ R
Αν η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία α
και β, να αποδείξετε ότι:
β
α
x2
f(x)dx = 2(αf(α) − βf(β))
3.81 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή δεύτερη πα-
ράγωγο, είναι f(1) = f (1) και ικανοποιεί τη σχέση:
1
0
x2
f (x) + x f (x) dx = 0
1
0
f(x)dx = 0
3.82 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R, με f(1) = 1, έχει συνεχή
δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τις σχέσεις:
1
0
x f (x)dx = 1 και
1
0
x2
f (x)dx = 3
Να αποδείξετε ότι f (1) = 5
3.83 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R, με f (0) = f (1) =
f(1) = 0, έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και ικανο-
1
0
[ f(x) − f (x)] ex
dx = 2
Να αποδείξετε ότι f(0) = −2
3.84 Η συνάρτηση f είναι περιττή και έχει συνεχή δεύ-
τερη παράγωγο στο [−1, 1]. Να αποδείξετε ότι:
1
−1
x f (x)dx = 2( f (1) − f(1))
παράγωγο και η Cf εφάπτεται στον άξονα x x στο
σημείο A(1, 0). Να αποδείξετε ότι:
1
0
x3
f (x)dx = 6
1
0
x f(x)dx
3.86 Η συνάρτηση f : [−α, α] → R, με α > 0, είναι άρτια
και έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο. Να αποδείξετε
ότι:
α
−α
x f (x)dx = 0
3.87 ´Εστω n ∈ N∗ και η συνάρτηση f : [0, 1] → R η ο-
ποία έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί
τις σχέσεις:
f (1) = nf(1) και f (0) = nf(0)
8

1
0
enx
· f(x)dx =
1
n2
·
1
0
enx
· f (x)dx
3.88 Οι συναρτήσεις f, g : [α, β] → R έχουν συνεχή δεύ-
τερη παράγωγο και είναι:
f(α) = f(β) = g(α) = g(β) = 0
β
α
f (x)g(x)dx =
β
α
f(x)g (x)dx
είναι:
1
0
(x f (x) + 2 f(x)) dx = 0
1
0
f(x)dx = −f(1)
3.90 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο
στο [α, β] και είναι f(α) = f(β), να αποδείξετε ότι:
β
α
x f (x)dx = βf (β) − αf (α)
3.91 Δίνεται η συνάρτηση f : [0, π] → R, ώστε να είναι
f(π) = 1 και f συνεχής στο [0, π]. Αν είναι:
π
0
( f(x) + f (x)) ηµxdx = 2
να υπολογίσετε την τιμή f(0)
3.92 Δίνεται η συνάρτηση f : [0, π] → R, ώστε να είναι
f (π) = π και f συνεχής στο [0, π]. Αν είναι:
π
0
( f(x) + f (x)) συνxdx = −2π
να αποδείξετε ότι f (0) = π
3.93 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή τρίτη πα-
ράγωγο και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(0) = f(1) = f (1) = 0
1
0
f(x) f (x)dx =
1
2
· [ f (0)]2
παράγωγο και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(1) = 1 και
1
0
x2
f (x) − 2 f(x) dx = 2
ράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση:
f x3
+ x = 4x, για κάθε x ∈ R
2
0
x f (x)dx = 3
παράγωγο και είναι:
f (α) = f(α) και f (β) = f(β)
β
α
ex
· [ f (x) − f(x)]dx = 0
3.97 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0, π] και είναι:
f(0) = π, f(π) = 3π και
π
0
f (x)ηµxdx = π
π
0
f(x)ηµxdx
3.98 Η συνάρτηση f : [0, α] → R, με α > 0, έχει συνεχή
δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση:
x f (x) = f (α), για κάθε x ∈ [0, α]
Να αποδείξετε ότι f(0) = f(α)
παράγωγο στο [α, β] και είναι f(α) = f(β) = 0. Να
β
α
f(x) f (x)dx ≤ 0
9

3.100 Η συνάρτηση f : R → R έχει συνεχή τρίτη παρά-
γωγο, το σημείο A(1, 2) είναι σημείο καμπής της Cf
και ισχύει η σχέση:
1
0
x3
f (x) + 6 f(x) dx = 9
3.101 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής. Να
1
0
f(x)dx ·
1
0
x f (x)dx ≤
f2
(1)
2
1
0
f(x)dx ·
1
0
x f (x)dx = 1
Να αποδείξετε ότι |f(1)| ≥ 2
παράγωγο και είναι:
f (α) = f(α) και f (β) = f(β)
β
α
e−x
· ( f (x) − 2 f (x) + f(x)) dx = 0
1
0
f(x)dx ·
1
0
x f (x)dx = f2
(1)
1
0
f(x)dx = f(1) = 0
3.105 Η συνάρτηση f : [0, π] → R έχει συνεχή παράγωγο
π
0
f (x) · ηµ2
xdx =
π
0
f (x)συν2
xdx = π
α) f(π) − f(0) = 2π
β)
π
0
f(x) · ηµ2xdx = −π
3.106 Αν n ∈ N, να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
I =
π
0
xηµx · συν(nx)dx και J =
π
0
xσυνx · ηµ(nx)dx
(iii) (x) = 1(x) = 1(x) = 1
3.107 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R για
την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(1) = e και f (x) = ex2
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I =
1
0
f(x)dx
3.108 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(1) = f (1) = 0 και f (x) =
6
x3 + 1
I =
1
0
f(x)dx
f(x) = ln x + x2 + 1 , με x ∈ R
α) Να βρείτε την παράγωγο της f
1
0
x2 + 1dx
f(x) = ln x + x2 + 1 , με x ∈ R
1
0
f2
(x)dx
(iv) αναδρομικές σχέσεις
3.111 Δίνεται το ολοκλήρωμα:
In =
1
0
xn
ex
dx, με n ∈ N∗
In = e − nIn−1, για κάθε n ≥ 2
β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I3
10

In =
e
1
(ln x)n
dx, με n ∈ N∗
In = e − nIn−1, με n ≥ 2
In =
e
1
x · (ln x)n
dx, με n ∈ N∗
In =
e2
2
−
n
2
· In−1, με n ≥ 2
3.114 ´Εστω n ∈ N, με n > 2 και ϑεωρούμε το ολοκλή-
ρωμα:
In =
π
2
0
συνn
xdx
In =
n − 1
n
· In−2
3.115 ´Εστω n ∈ N, με n > 2 και ϑεωρούμε το ολοκλή-
ρωμα:
In =
π
4
0
φn
xdx
In =
1
n − 1
− In−2
In =
1
0
1 − x2 n
dx, με n ∈ N∗
α) In =
2n
2n + 1
In−1, με n ≥ 2
β) In =
2
3
·
4
5
·
6
7
· · ·
2n
2n + 1
3.117 Θεωρούμε το ολοκλήρωμα:
In =
π
4
0
1
(συνx)2n
dx, με n ∈ N∗
α) In =
2n−1
2n − 1
+
2(n − 1)
2n − 1
· In−1, για κάθε n > 1
β) I2 =
4
3
(βʹ) αλλαγή μεταβλητής
(i) βασικές αντικαταστάσεις
πολυωνυμικές-ρητές συναρτήσεις
α)
1
0
2x x2
+ 1
2
dx =
7
3
β)
1
0
(x + 1)3
dx =
15
4
γ)
1
0
(2x + 1)3
dx = 10 δ)
2
1
x(x − 1)4
dx =
11
30
ε)
1
0
xdx
(x2 + 1)2
=
1
4
ζ)
1
−1
(x − 1)(x + 1)10
dx = −
210
33
α)
1
0
x x2
+ 1
3
dx β)
1
0
x2
+ x + 1 (2x + 1)dx
γ)
1
0
2x − 1
x2 − x + 1
dx δ)
1
0
x2
+ 1
x3 + 3x + 2
dx
ε)
1
0
2x − 3
(x2 − 3x + 4)3
dx
άρρητες συναρτήσεις
α)
0
−1
x 1 − x2dx = −
1
3
β)
5
1
x
√
x − 1dx =
272
15
γ)
1
0
x3
x2 + 1
dx =
2 −
√
2
3
δ)
16
1
x − 2
4√
x3
dx =
84
5
ε)
9
4
√
x
x − 1
dx = 2 + ln
3
2
ζ)
7
0
1
1 +
3
√
x + 1
dx = 3
1
2
+ ln
3
2
η)
2
1
1
x 1 + 3
√
x
dx = 3 ln


2
3
√
2
3
√
2 + 1


11

α)
1
0
√
2x + 3dx β)
4
1
x − 1
√
x
dx γ)
8
3
x
√
1 + xdx
δ)
4
0
x
√
x2 + 9
dx ε)
4
1
x
1 +
√
x
dx ζ)
3
1
√
x + 1
x
dx
η)
1
0
x
√
2x + 3
dx ϑ)
3
0
x
√
1 + x
dx ι)
1
0
1
1 +
√
x
dx
α)
3
0
1
1 +
√
x + 1
dx β)
4
1
1
x + x
√
x
dx
γ)
4
0
x
√
2x + 1dx δ)
2
1
x2
x3 + 8
dx
ε)
1
3
− 2
3
x
√
2 − 3x
dx ζ)
1
0
x2
√
1 − xdx
η)
9
4
dx
x −
√
x
ϑ)
4
1
1 +
√
x
√
x
dx
εκθετικές-λογαριθμικές συναρτήσεις
α)
e
1
1 + ln x
x
dx =
3
2
β)
e2
e
1
x ln2 x
dx =
1
2
γ)
e2
e
ln x
x(1 + ln x)
dx = 1 + ln
2
3
α)
e2
e
1
x ln3 x
dx β)
e2
e
1
x ln x
dx γ)
e2
e
ln(ln x)
x ln x
dx
δ)
e
1
ln x
x
√
1 + ln x
dx ε)
e3
e2
1
x ln x ln(ln x)
dx
ζ)
e
1
√
ln x
x
dx η)
e2
e
dx
x
√
ln x
ϑ)
e
1
dx
x
√
2 + 3 ln x
ι)
e
1
dx
x(2 + ln x)
κ)
e−1
e−2
ln x
x − x ln x
dx
α)
1
0
e2x
1 + ex
dx = e − 1 + ln
2
e + 1
β)
1
0
e3x + e2x + ex
e2x
dx = e + 1 −
1
e
α)
1
0
xex2
dx β)
4
1
e
√
x
√
x
dx γ)
ln 2
0
ex
ex + e−x
dx
δ)
1
0
exdx
e2x + 2ex + 1
α)
ln 5
ln 4
e2x − ex
e2x − 4ex + 3
dx β)
ln 3
ln 2
e4x − e2x + 1
e2x − 1
dx
γ)
ln 2
1
e3x − 2e2x + ex
ex − 1
dx
f(x) =



ex
− e, x < 1
√
ln x
x
, x ≥ 1
e
0
f(x)dx
f(x) =



(2 ln x + 1)2
x
, x ≥ 1
xe1−x, x < 1
e
0
f(x)dx
f(x) =



1
x(1 + ln x)2
, x ≥ 1
ηµ
πx
2
, x < 1
e
0
f(x)dx
τριγωνομετρικές συναρτήσεις
α)
π
2
0
ηµx
3 + ηµ2x
dx =
ln 3
4
β)
π
4
0
1 + φ2
x
(1 + φx)2
dx =
1
2
γ)
π
2
0
ηµ2x
1 + ηµx
dx = 2(1 − ln 2)
δ)
π
2
π
3
συν3
x
ηµx
dx = −
1
8
− ln


√
3
2


12

ε)
π
2
0
συνx
4 − ηµ2x
dx =
ln 3
4
ζ)
π
3
0
ηµ3
x
√
συνx
dx =
32 − 19
√
2
20
α)
4π2
π2
συν
√
x
√
x
dx β)
π
4
0
φx ln(συνx)dx
γ)
e
1
συν(ln x)
x
dx δ)
8
3
ηµ
√
x + 1
√
x + 1
dx
α)
π
0
συνx
1 + ηµx
dx β)
π
4
0
1 + φx
συν2x
dx
γ)
π
2
π
4
1 + συνx
ηµ2x
dx δ)
π
4
0
1 + φx(1 + φ2
x)dx
ε)
π
π
2
ηµx
√
1 − συνx
dx ζ)
π
2
0
ηµ2
x · συνxdx
η)
π
2
0
3
√
ηµx · συνxdx ϑ)
π
6
0
dx
συν2x(1 − φx)
ι)
2
π
1
π
x−2
ηµ
1
x
dx κ)
4
π
2
π
x−2
συν
2
x
dx
f(x) =



4ηµ2
x · ηµ2x, x ∈ −∞,
π
4
1 + φ2
x
φx
, x ∈
π
4
,
π
3
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής
π
3
0
f(x)dx
α)
π
2
0
συνxeηµx
dx β)
π
4
0
1
συν2x
e φx
dx
α)
π
2
0
ηµ2x
1 + συν2x
dx β)
π
2
0
συνx − ηµx
1 + ηµ2x
dx
I =
π
2
0
συνx
1 + 2ηµx
dx και J =
π
2
0
2ηµxσυνx
1 + 2ηµx
dx
α)
π
2
0
συν3
xdx =
2
3
β)
π
0
ηµ3
dx =
4
3
α)
π
2
0
συνx
8 + συν2x
dx =
ln 2
6
β)
π
2
0
συνx
17 + συν2x
dx =
ln 2
12
α)
π
2
0
συνx
eηµx + 1
dx = ln
2e
e + 1
β)
π
2
0
eηµx + 1
eηµx + ηµx
· συνxdx = ln(e + 1)
γ)
π
2
0
eηµx
· ηµ2xdx = 2
1
0
συνx
συν x −
1
2
dx = συν
1
2
π
6
0
1 + φ2
x
1 − φ2x
dx
3π
0
√
1 − συνx · συν
x
2
7
dx
3.144 Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση x+ φx = u,
να αποδείξετε ότι:
π
3
π
4
x2
+ 2
x + φx
dx = ln
π
3
+
√
3 − ln
π
4
+ 1
τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις
α)
1
0
1 − x2dx =
π
4
, ϑέτοντας x = ηµu
β)
2
−2
4 − x2dx = 2π, ϑέτοντας x = 2ηµu
γ)
1
0
3x2
2 − x2
dx =
3π
4
−
3
2
, ϑέτοντας x = 2ηµu
13

δ)
1
0
1 + 1 − x2dx =
4
3
, ϑέτοντας x = ηµ2u
ε)
1
0
x2
4 − x2dx =
π
3
−
√
3
4
, ϑέτοντας x = 2ηµu
ζ)
6
3
√
2
x2 − 9
x
dx = 3
√
3 − 1 −
π
12
, ϑέτοντας x =
3
συνu
α)
1
0
1
1 + x2
dx =
π
4
, ϑέτοντας x = φu
β)
2
√
3
2
dx
x2 x2 + 4
=
3
√
2 − 2
√
3
12
, με x = 2 φu
γ)
1
0
ln(1 + x)
1 + x2
dx =
π ln 2
8
, ϑέτοντας x = φu
δ)
π
2
0
dx
1 + ηµx
= 1, ϑέτοντας u = φ
x
2
0
−1
3 − 2x − x2dx =
π
3
+
√
3
2
(ii) αντικατάσταση και παραγοντική ολοκλήρωσηαντικατάσταση και παραγοντική ολοκλήρωσηαντικατάσταση και παραγοντική ολοκλήρωση
α)
e2
1
ln x
√
x
dx = 4 β)
1
0
2
√
x
dx =
4 ln 2 − 2
ln2 2
α)
√
π
0
xηµ(x2
)dx β)
e
1
ηµ(ln x)dx γ)
π2
0
ηµ(
√
x)dx
δ)
1
0
e
√
x
dx ε)
lnπ
0
e2x
ηµ(ex
)dx ζ)
1
0
x ln x2
+ 1 dx
η)
3
2
e
√
x−2
dx ϑ)
ee
e
ln(ln x)
x
dx ι)
e2
1
συν(ln x)dx
κ)
2
1
2 − 3x
x3
e
2
x dx
α)
eπ
1
συν2
(ln x)dx β)
π
2
0
eηµx
ηµ2xdx
γ)
π
2
0
ηµ3
xeσυνx
dx δ)
π2
4
0
√
xηµ
√
xdx
ε)
4
1
ln x +
√
x dx ζ)
4
π
2
π
1
x3
συν
1
x
dx
1
0
f(x)dx = f(1)
1
0
f
√
x dx = 0
3.152 Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο
στο [0, 1] και είναι f(1) = f (1) = 2 και f(0) = 0.
I =
1
0
x3
f (x2
)dx
3.153 Δίνεται η παραγωγισιμη συνάρτηση f : R → R για
την οποία είναι:
f(4) = 10 και f (x) = x2 + 9
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
4
0
f(x)dx
π
3
π
4
x ·
φ2
x + 7
φx + 6x
dx
(iii) εύρεση παραμέτρωνεύρεση παραμέτρωνεύρεση παραμέτρων
3.155 Να βρείτε την τιμή του κ ∈ N∗ για την οποία
ισχύει:
π
2
0
ηµ2x · (συνx)κ
dx =
1
5
3.156 Να βρείτε την τιμή του κ > e για την οποία ισχύει:
κ
e
2 + ln x
x · (ln x)2
+ ln x
dx = ln
8
3
(iv) ϑεωρητικές ασκήσειςϑεωρητικές ασκήσειςϑεωρητικές ασκήσεις
3.157 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [−α, α] → R, με
α > 0. Να αποδείξετε ότι:
α) αν η f είναι άρτια, τότε είναι:
α
−α
f(x)dx = 2
α
0
f(x)dx
14

β) αν η f είναι περιττή, τότε είναι:
α
−α
f(x)dx = 0
3.158 Η συνάρτηση f : [−α, α] → R, με α > 0, είναι
συνεχής. Να αποδείξετε ότι:
α
−α
f x2
· συνxdx = 2
α
0
f x2
· συνxdx
3.159 Η συνάρτηση f : [−π, π] → R είναι άρτια και συ-
νεχής. Να αποδείξετε ότι:
π
−π
f(x) · ηµ3xdx = 0
3.160 Η συνάρτηση f : [0, e] → R είναι συνεχής και
e
0
f(x)dx = 2 και
1
0
f (ex
) · ex
dx = 1
α)
1
0
f(x)dx β)
e
1
f(ln x)
x
dx
π
−π
ex2
− x ηµxdx = −2π
3.162 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι συνεχής και
έστω γ ∈ R∗. Να αποδείξετε ότι:
α)
β
α
f(x)dx =
β+γ
α+γ
f(x − γ)dx
β)
β
α
f(x)dx =
1
γ
·
βγ
αγ
f
x
γ
dx
3.163 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 1], να α-
ποδείξετε ότι:
e
1
f(ln x)
x
dx =
1
0
f(x)dx
2
2
1
f x2
dx =
4
1
f(x)
√
x
dx
και είναι:
f(1) =
1
0
f(x)dx = 1
1
0
f
√
x dx
3.166 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και για
κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
f(cx) = f(c + x), με c ∈ R σταθερά
cβ
cα
f(x)dx = c ·
c+β
c+α
f(x)dx
4
1
xn
e
√
x
dx = 2
2
1
x2n+1
ex
dx
3.168 ´Εστω οι συναρτήσεις f, g : R → R με την f συνε-
χή, τη g παραγωγίσιμη και υπάρχουν α, β ∈ R ώστε
να ισχύει η σχέση:
βf(βx) − αf(αx) = g (x), για κάθε x ∈ R
β
α
f(x)dx = g(1) − g(0)
3.169 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, +∞) και
έστω α > 0. Να αποδείξετε ότι:
α
0
x3
f x2
dx =
1
2
α2
0
x f(x)dx
3.170 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 1] και
είναι n ∈ N∗, να αποδείξετε ότι:
1
0
x6n−1
f x2n
dx =
1
2n
1
0
x2
f(x)dx
3.171 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R. Να απο-
1
0
( f(x) + f(x + 1))dx =
2
0
f(x)dx
3.172 Αν η συνάρτηση f : [0, 1] → (0, +∞) έχει συνε-
χή παράγωγο και είναι f(0) = 1 και f(1) = 2, να
υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
15

1
0
f (x)
f2(x) + f(x)
dx
3.173 Αν α ∈ 0,
π
4
, να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
I =
α
0
ηµx
συν(x + α)
dx και J =
α
0
συνx
συν(x + α)
dx
3.174 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και περιο-
δική με περίοδο T > 0. Για κάθε α ∈ R, να αποδεί-
ξετε ότι:
α+T
α
f(x)dx =
T
0
f(x)dx
(v) η αντικατάσταση x =
1
u
η αντικατάσταση x =
1
u
η αντικατάσταση x =
1
u
3
1
3
ln x
1 + x2
dx = 0
3.176 Αν α > 0, να αποδείξετε ότι:
α)
1
α
dx
1 + x2
=
1
α
1
dx
1 + x2
β)
α
1
ln x
x + 1
dx +
1
α
1
ln x
x + 1
dx =
ln2
α
2
γ)
α
1
α
x2
− 1
x2
· συν (ln x) dx = 0
n
1
n
(ln x)2n+1
x2 + x + 1
dx = 0
3.178 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : (0, +∞) → R. Αν
α > 0, να αποδείξετε ότι:
α
1
f(x) + 2x
x2 + 1
dx +
1
α
1
f 1
x − 2x
x2 + 1
dx = 2 ln α
3.179 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0, +∞) και
έστω α > 0. Να αποδείξετε ότι:
α
α
1
1
x2
f
α
x
dx =
α
1
f(x)dx
3.180 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R. Αν α > 0
και n ∈ N, να αποδείξετε ότι:
α
1
α
f xn
+
1
xn
ln x
x
dx = 0
3.181 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R είναι συνεχής και
για κάθε x > 0 ικανοποιεί τη σχέση:
x2
f(x) + f
1
x
= cx, όπου c ∈ R σταθερά
Για κάθε α > 0, να αποδείξετε ότι:
α
1
α
f(x)dx = 2 f(1) ln α
ικανοποιεί τη σχέση:
x2
f(x) + 2 f
2
x
= 2x, για κάθε x > 0
2
1
f(x)dx = ln 2
(vi) η αντικατάσταση x = α + β − uη αντικατάσταση x = α + β − uη αντικατάσταση x = α + β − u
3.183 Να βρείτε την τιμή του κ ∈ N∗ για την οποία
ισχύει:
1
0
x · (1 − x)κ
dx =
1
20
3.184 Αν m, n > 0, να αποδείξετε ότι:
1
0
xm
(1 − x)n
dx =
1
0
xn
(1 − x)m
dx
3.185 Αν n > 0, να αποδείξετε ότι:
1
0
x · (1 − x)n
dx =
1
(n + 1)(n + 2)
f(x) + f(1 − x) = 2, για κάθε x ∈ R
1
0
f(x)dx
3.187 Αν n ∈ N περιττός, να αποδείξετε ότι:
16

2π
0
(ηµx)n
dx = 0
3.188 Οι συναρτήσεις f, g : [0, α] → R, με α > 0, είναι
συνεχείς. Να αποδείξετε ότι:
α
0
f(x)g(α − x)dx =
α
0
f(α − x)g(x)dx
3.189 α) Αν η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής,
π
2
0
f(ηµx)dx =
π
2
0
f(συνx)dx
β) Να αποδείξετε ότι:
π
2
0
ln(2 + ηµx)dx =
π
2
0
ln(2 + συνx)dx
α)
1
0
1
1 + e
√
1−x−
√
x
dx β)
π
−π
1
1 + eηµx
dx
γ)
2
0
ln
ex + e2
ex + 1
dx δ)
1
0
x4
x4 + (1 − x)4
dx
ε)
π
3
π
6
ln( φx)
ηµx · συνx
dx ζ)
π
2
0
ηµx
ηµx + συνx
dx
η)
π
2
0
√
ηµx
√
ηµx +
√
συνx
dx
α)
π
2
0
ηµ2
xdx =
π
2
0
συν2
xdx =
π
4
β)
π
0
xηµ3
xdx =
2π
3
γ)
π
−π
xηµx
ex + 1
dx = π
δ)
1
−1
1 − ex
1 + ex
dx = 0 ε)
1
−1
ex − e−x
1 + x2
dx = 0
ζ)
π
2
0
ln
1 + ηµx
1 + συνx
dx = 0 η)
π
−π
1
eηµx + 1
dx = π
ϑ)
π
0
x|ηµ2x|
1 + συν2x
dx = π ln 2 ι)
2π
3
π
3
x
ηµx
dx =
π ln 3
2
κ)
1
−1
x2
ex + 1
dx =
1
3
λ)
π
−π
συνx
1 + 2ηµx
dx = 0
α)
π
3
π
6
x · ( φx + σφx)dx =
π ln 3
4
β)
π
2
0
(συνx)ηµx
(συνx)ηµx + (ηµx)συνx
dx =
π
4
γ)
π
2
0
ln 1 + ηµ2
x
ln 2 + ηµ2
x · συν2
x
dx =
π
4
δ)
1
0
ln(x + 1)
ln(x + 1) + ln(2 − x)
dx =
1
2
ε)
1
−1
x3
− 2x + 1 + ηµx
x2 + 1
dx =
π
2
ζ)
π
2
0
ηµ4
x + συν2
x
1 + ηµ4x + συν4x
dx =
π
4
η)
2
0
(x − 1)3
1 + (x − 1)2 + (x − 1)4
dx = 0
ϑ)
π
0
eσυνx
eσυνx + e−συνx
dx =
π
2
ι)
π
2
0
συν π · ηµ2
x dx = 0
3.193 Αν α ∈ R, να αποδείξετε ότι:
α)
α
−α
ex + συνx
ex + 1
dx = α + ηµα
β)
α
−α
xex
e2x + 1
dx = 0
γ)
α
−α
ln x + x2 + 1 dx = 0
3.194 Αν α > 0, να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
α)
1
−1
x ln(1 + αx
)dx β)
1
0
αx
αx + α1−x
dx
3.195 Η συνάρτηση f : [−1, 1] → R είναι συνεχής. Να
π
0
f(συνx)dx =
π
2
− π
2
f(ηµx)dx
π
2
0
1 + συνnx
2 + ηµnx + συνnx
dx =
π
4
3.197 Η συνάρτηση f : R → R είναι παραγωγίσιμη και
f (x) = f(1 − x), για κάθε x ∈ R
1
0
f(x)dx = f(1) − f(0)
3.198 ´Εστω η συνάρτηση f : [0, 1] → R με τύπο:
17

f(x) =
x4
x4 + (1 − x)4
f(x) + f(1 − x) = 1, για κάθε x ∈ [0, 1]
1
0
f(x)dx
3.199 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β και ϑεωρού-
με τη συνεχή συνάρτηση f : R → R για την οποία
ισχύει:
f(x) + f(α + β − x) = 0, για κάθε x ∈ R
β
α
f(x)dx = 0
3.200 Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση x = φt, να
1
0
ln(1 + x)
1 + x2
dx =
π ln 2
8
3.201 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και περιτ-
τή. Να αποδείξετε ότι:
π
0
f(συνx)dx = 0
3.202 Η συνάρτηση f : [−1, 1] → R είναι συνεχής και
f(x) + f(−x) = π, για κάθε x ∈ [−1, 1]
Αν n ∈ N, να αποδείξετε ότι:
(2n+1)π
0
f(συνx)dx =
(2n + 1)π2
2
3.203 Δινεται η συνάρτηση:
f(x) =
x4
+ 1
4x + 1
, με x ∈ R
f(x) + f(−x) = x4
+ 1, για κάθε x ∈ R
1
−1
f(x)dx
3.204 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής. Να απο-
π
2
0
f(ηµx) − f(συνx)
1 + ηµ2x
dx = 0
3.205 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και εί-
ναι:
f(α − x) = x f (x), για κάθε x ∈ R
α
0
f(x)dx =
α f(α)
2
3.206 Θεωρούμε τα ολοκληρώματα:
I =
π
2
0
ηµ3
x
ηµx + συνx
dx και J =
π
2
0
συν3
x
ηµx + συνx
dx
α) I + J =
π − 1
2
β) I = J γ) I = J =
π − 1
4
1
−1
f x2
dx = 2
Αν 0 < α 1, να αποδείξετε ότι:
1
−1
f x2
1 + αx
dx = 1
3.208 ´Εστω α > 0 και ϑεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση
f : [0, 2α] → R. Να αποδείξετε ότι:
2α
0
f(x)dx =



2
α
0
f(x)dx, αν f(2α − x) = f(x)
0, αν f(2α − x) = −f(x)
3.209 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [−1, 1] → R η
οποία ικανοποιεί τη σχέση:
f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy, για κάθε x, y ∈ R
1
−1
f(x)dx = 1
18

3.210 Η συνάρτηση f : [0, α] → R, με α > 0, είναι συνε-
χής και ικανοποιεί τη σχέση:
f(α − x) = f(α) − f(x), για κάθε x ∈ [0, α]
α
0
f(x)dx =
α f(α)
2
I =
π
4
0
ln(1 + φx)dx
3.211 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι συνεχής και για
κάθε x ∈ [α, β] ικανοποιεί τη σχέση:
f(α + β − x) = f(α) + f(β) − f(x)
β
α
f(x)dx =
β − α
2
· [ f(α) + f(β)]
3.212 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής στο 0 και
f(x + y) = f(x) + f(y) + 4xy, για κάθε x, y ∈ R
π
2
− π
2
f(ηµx)dx
κάθε x, y ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
f(x + y) = f(x) + f(y) + xηµy + yηµx
f(x) + f(−x) = 2xηµx, για κάθε x ∈ R
π
2
− π
2
f(x)dx
3.214 Η συνάρτηση f : [0, α] → R, με α > 0, είναι συνε-
χής και για κάθε x ∈ [0, α] ικανοποιεί τη σχέση:
f(α − x) = β − f(x), όπου β ∈ R
α
0
f(x)dx =
αβ
2
I =
1
0
ηµ
√
x −
√
1 − x dx
f(1 + x) + f(1 − x) = x2
2
0
f(x)dx =
1
3
3.216 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R η οποία
για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
f(α − x) + f(α + x) = β, όπου α, β ∈ R
2α
0
f(x)dx = αβ
3.217 ´Εστω α, β, γ, δ ∈ R, με α + β 0 και η συνεχής
συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει η σχέση:
α f(x) + βf(γ − x) = δ, για κάθε x ∈ R
α)
γ
0
f(x)dx = γ f
γ
2
β) αν α β, τότε η συνάρτηση f είναι σταθερή
f : [2, α] → (0, +∞). Να βρείτε την τιμή του α για
την οποία ισχύει:
f(x) + f(2 + α − x) =
α
2
f(x)dx, για κάθε x ∈ [2, α]
3.219 ´Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : [0, α] → R οι
οποίες για κάθε x ∈ [0, α] ικανοποιούν τις σχέσεις:
f(x) = f(α − x) και g(x) = β − g(α − x)
19

α
0
f(x)g(x)dx =
β
2
·
α
0
f(x)dx
3.220 Δίνεται α > 0 και ϑεωρούμε τη συνεχή συνάρτη-
ση f : [−α, α] → R η οποία για κάθε x ∈ [−α, α]
f(x) −1 και f(x) · f(−x) = 1
α
−α
x2n
1 + f(x)
dx =
α2n+1
2n + 1
3.221 α) Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής. Να
π
0
x · f(ηµx)dx =
π
2
·
π
0
f(ηµx)dx
π
0
xηµx
3 + ηµ2x
dx =
π ln 3
4
f(x) + f(−x) = π, για κάθε x ∈ [−1, 1]
(2n+1)π
0
f(συνx)dx =
(2n + 1)π2
2
3.223 α) Θέτοντας x = φt, να αποδείξετε ότι:
1
0
1
1 + x2
dx =
π
4
π
0
x · ηµx
1 + συν2x
dx =
π
0
(π − x) · ηµx
1 + συν2x
dx =
π2
4
α
0
f(x)
f(x) + f(α − x)
dx =
α
2
β
α
f(x − α)
f(x − α) + f(β − x)
dx =
β − α
2
β
α
f(x)dx = (β − α)
0
−1
f((α − β)x + α)dx
3.227 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [−1, 1] → R για
f(ηµx) + f(συνx) = 1, για κάθε x ∈ [−1, 1]
π
2
0
f(συνx)dx =
π
4
3.228 ´Εστω η συνάρτηση:
f(x) =
συνx
1 + ex
, με x ∈ R
f(x) + f(−x) = συνx, για κάθε x ∈ R
I =
π
−π
f(x)dx
3.229 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 2α] → R, με
α > 0. Να αποδείξετε ότι:
2α
0
f(x)dx =
α
0
( f(x) + f(2α − x))dx
3.230 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R. Να
π
2
0
x f(ηµx) f(συνx)dx =
π
4
π
2
0
f(ηµx) f(συνx)dx
3.231 Η συνάρτηση f : 0,
π
2
→ R είναι συνεχής και
f
π
2
− x = f(x), για κάθε x ∈ 0,
π
2
π
2
0
f(x)ηµ2
xdx =
1
2
π
2
0
f(x)dx
3.232 ´Εστω n ∈ N∗ και η συνάρτηση f : 0,
π
2
→ R με
τύπο:
20

f(x) =
ηµnx
ηµnx + συνnx
α) f
π
2
− x = 1 − f(x), για κάθε x ∈ 0,
π
2
β)
π
2
0
f(x)dx =
π
4
f(x) = ln
ex + e4
ex + 1
, με x ∈ R
α) f(4 − x) = 4 − f(x), για κάθε x ∈ R
β)
4
0
f(x)dx = 8
3.234 ´Εστω α > 0, β ∈ R και ϑεωρούμε τις συνεχείς
συναρτήσεις f, g : [0, α] → R για τις οποίες ισχύει η
σχέση:
f(α − x) = g(x) − βf(x), για κάθε x ∈ [0, α]
(β + 1) ·
α
0
f(x)dx =
α
0
g(x)dx
3.235 α) ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R. Να
β
α
f(x)dx =
β
α
f(α + β − x)dx
β) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
ι)
π
3
π
6
√
ηµx −
√
συνx dx
ιι)
π
2
0
συνx
ηµx + συνx
dx
3.236 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R για την
f(x) = f(α + β − x), για κάθε x ∈ [α, β]
β
α
f(x)dx = 2 ·
α+β
2
α
f(x)dx
3.237 α) ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R για
β
α
x f(x)dx =
α + β
2
β
α
f(x)dx = (α + β)
α+β
2
α
f(x)dx
π
0
xηµx
4 − συν2x
dx
3.238 Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : [α, β] → R, η
οποία για κάθε x ∈ [α, β] ικανοποιεί τη σχέση:
f(x) + f(α + β − x) = c, όπου c ∈ R σταθερά
β
α
f(x)dx = (β − α) f
α + β
2
=
β − α
2
[ f(α) + f(β)]
άρτια. Να αποδείξετε ότι:
α)
2π
0
x f(ηµx)dx = 2π
π
0
f(ηµx)dx
β)
π
0
x f(συνx)dx = π
π
2
0
f(συνx)dx
3.240 α) Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R είναι συνεχής
f
1
x
= −f(x), για κάθε x > 0
Αν α, β > 0, με α + β =
π
2
, να αποδείξετε ότι:
β
α
f( φx)dx = 0
π
3
π
6
ln
φx
x
dx
άρτια. Αν α > 0, να αποδείξετε ότι:
1
−1
αx · f(x)
1 + αx
dx =
1
0
f(x)dx
3.242 α) Η συνάρτηση f : [−α, α] → R, με α > 0, είναι
συνεχής και άρτια. Να αποδείξετε ότι:
21

α
−α
f(x)
ex + 1
dx =
α
0
f(x)dx
β) Να βρείτε την τιμή του λ ∈ R για την οποία ισχύει
η σχέση:
2
−2
e14x + 2e8x + λe7x + 1
e8x + e7x
dx =
e14
− e−14
7
+ 8
συνεχής και άρτια. Να αποδείξετε ότι:
α
−α
f(x)
eκx + 1
dx =
α
0
f(x)dx, όπου κ ∈ R
συνεχής και άρτια και η συνάρτηση g : [−α, α] → R
είναι περιττή. Να αποδείξετε ότι:
α
−α
f(x)
θg(x) + 1
dx =
α
0
f(x)dx, όπου θ ∈ (0, +∞) − {1}
π
0
xηµx(συνx)2028
dx =
π
2029
3.246 Οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι συνεχείς, με τη
g άρτια και έστω ακόμα α, β > 0. Να αποδείξετε
ότι:
β
−β
( f ◦ g)(x)
1 + αx
dx =
1
2
·
β
−β
( f ◦ g)(x)dx
3.247 Οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι συνεχείς και
για την g ισχύει η σχέση:
g(x) = g(1 − x), για κάθε x ∈ R
1
0
x · ( f ◦ g)(x)dx =
1
2
·
1
0
( f ◦ g)(x)dx
3.248 Οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι συνεχείς. Η συ-
νάρτηση f είναι άρτια και για κάθε x ∈ R ικανοποιεί
τη σχέση:
f(x + α) = f(x), με α 0
α
0
x · (g ◦ f)(x)dx =
α
2
·
α
0
(g ◦ f)(x)dx
3.249 Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f, g : R → R.
Αν η g είναι άρτια και περιοδική με περίοδο T, να
4T
0
x · ( f ◦ g)(x)dx = 8T ·
T
0
( f ◦ g)(x)dx
(vii) ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης
3.250 α) Η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο
[α, β]. Να αποδείξετε ότι:
β
α
f(x)dx +
f(β)
f(α)
f−1
(x)dx = βf(β) − α f(α)
1
0
ex2
dx +
e
1
√
ln xdx = e
3.251 Δίνεται η συνάρτηση f : 0,
π
4
→ R με τύπο:
f(x) = ln (1 + φx)
α) η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη
β) ισχύει η σχέση:
π
4
0
f(x)dx +
ln 2
0
f−1
(x)dx =
π ln 2
4
f(x) = x3 + 1
α) Να ορίσετε τη συνάρτηση f−1
2
0
x3 + 1 +
3
x2 + 2x dx = 6
3.253 Η συνάρτηση f : [α, β] → (0, +∞) είναι παραγω-
γίσιμη και 1-1. Να υπολογίσετε την παράσταση:
β
α
ln( f(x))dx +
f(β)
f(α)
f−1
(x)
x
dx
f(x) = 2x + ηµx, με x ≥ 0
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και
να βρείτε το σύνολο τιμών της
2
√
π
0
x f−1
(x)dx
3.255 ´Εστω η συνάρτηση f : [α, β] → R η οποία έχει
συνεχή f στο [α, β] και είναι f (x) > 0, για κάθε
x ∈ (α, β). Να αποδείξετε ότι:
f(β)
f(α)
x
f ( f−1(x))
dx =
β
α
f(x)dx
22

4 ανισότητες
(αʹ) αν f(x) ≥ 0 στο [α, β], τότε
β
α
f(x)dx ≥ 0αν f(x) ≥ 0 στο [α, β], τότε
β
α
f(x)dx ≥ 0αν f(x) ≥ 0 στο [α, β], τότε
β
α
f(x)dx ≥ 0
4.256 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → [0, +∞).
α)
9
−1
f(x)dx ≥
8
0
f(x)dx
β)
1
3
f(x)dx ≤
1
2
f(x)dx
α)
1
0
ex
x2 + 1
dx < e − 1
β)
β − α
ln β
<
β
α
dx
ln x
<
β − α
ln α
, όπου 1 < α < β
γ)
1
0
x2 + x + 1dx <
3
2
δ)
1
0
4x3 + 4x +
1
2
dx < 2
ε) 0 <
1
0
xdx
4 − x2 + x3
< 2 −
√
3
ζ)
1
0
e−x2
dx >
2
3
α)
1
0
ex
dx ≥
1
0
(x2
+ 1)dx
β)
1
0
(x2
+ 1)x2
+1
dx ≥
1
0
ex2
dx
γ)
π
4
0
ln(1 + φx)dx ≤
π
4
0
φxdx
δ)
1
−1
2 − e−x2
dx ≥ 2
ε)
e
0
ln(1 + x)dx ≥
e
0
x
x + 1
dx
ζ)
2
1
ln(1 + x)dx <
2
1
x
√
1 + x
dx
η)
1
0
ex
dx ≤
1
0
(x + 1)x+1
dx
α)
1
0
x2
ηµ3x
1 + x2
dx <
1
3
β)
1
0
x2
ηµx
1 + x2
dx <
ln 2
2
α) ηµx ≥ x −
x3
6
, για κάθε x ≥ 0
β)
π
2
0
ηµ(συνx)dx ≥
8
9
4.261 Η συνάρτηση f : [α, β] → (0, +∞) είναι συνεχής
β
α
f(x) ·
β
α
f(x)dx dx +
β
α
f(x)dx = 2
β
α
f(x)dx = 1
4.262 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής και
1
0
f(x)dx = 1
1
0
f2
(x)dx ≥ 1
4.263 Η συνάρτηση f : [0, π] → R είναι συνεχής. Να
π
2
+
π
0
f2
(x) + 2 f(x)συνx dx ≥ 0
είναι:
1
0
f2
(x)dx = 1
1
0
ex
f(x)dx ≤
e2
+ 1
4
4.265 α) Για κάθε x ∈ R να αποδείξετε ότι:
x4
− 4x + 3 ≥ 0
β) Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής και
είναι:
1
0
f(x)dx = 1
23

1
0
( f(x))4
dx ≥ 1
είναι:
β
α
f(x)dx = β − α
β
α
f2
(x)dx ≥ β − α
4.267 Η συνάρτηση f : [α, β] → R, με 0 < α < β, είναι
συνεχής και γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι:
f(α) · ln
β
α
≤
β
α
f(x)
x
dx ≤ f(β) · ln
β
α
1
0
f(x)ηµxdx =
1
0
f(x)συνxdx = 1
1
0
f2
(x)dx ≥
3
2
ισχύει:
β
α
f(x)dx = 0
Αν m είναι η ελάχιστη και M είναι η μέγιστη τιμή
της f στο [α, β], να αποδείξετε ότι:
β
α
f2
(x)dx ≤ mM(α − β)
π
4
0
ln 1 + συν2
x dx ≥
π
4
· ln
3
2
4.271 Η συνάρτηση f έχει συνεχή και ϑετική δεύτερη
παράγωγο στο [0, 2π]. Να αποδείξετε ότι:
2π
0
f(x)συνxdx > 0
4.272 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι συνεχής. Να
β
α
f(x)dx ≤
β
α
|f(x)|dx
στο [α, β] και είναι f(α) = f(β) = 0. Να αποδείξετε
ότι:
β
α
f(x) f (x)dx ≤ 0
4.274 Αν 3 < α < β, να αποδείξετε ότι:
β
α
(x2
− 3x)dx ≥ 0
4.275 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [1, 5] → R. Να
1 +
5
1
f2
(x)dx ≥
5
1
|f(x)|dx
4.276 Αν 0 < α < β, να αποδείξετε ότι:
1
2
β
α
x +
1
x
dx ≥ β − α
5
2
1
x2 + 1
dx ≤
5
2
x
10
dx
4.278 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → (−∞, 0). Να
1
3
f(x)
x
+
x
f(x)
dx ≥ 4
4.279 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → [0, 1] για
την οποία ισχύει η σχέση:
1
0
f(x)dx =
1
2
1
0
f2
(x)dx ≤
1
2
4.280 Αν η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής, να
1
0
x f(x)dx ≤
1
12
+
1
0
f2
(x)dx
24

4.281 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0, 1] και
είναι f (x) < 1, για κάθε x ∈ (0, 1). Να αποδείξετε
ότι:
1
0
f(x)dx <
1
2
+ f(0)
4.282 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [3, 4] → [1, 2] για
την οποία είναι:
4
3
f2
(x)dx = 4
4
3
f(x)dx ≥ 2
4.283 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → (0, +∞).
Αν είναι α < γ < δ < β, να αποδείξετε ότι:
β
α
f(x)dx >
δ
γ
f(x)dx
είναι:
β
α
f(x)dx > 0
Αν c >
1
β − α
, να αποδείξετε ότι για ένα τουλάχι-
στον ξ ∈ (α, β) ισχύει η σχέση:
f(ξ) < c ·
β
α
f(x)dx
4.285 Η συνάρτηση f : [α, β] → [0, +∞) είναι συνεχής
και υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ [α, β] τέτοιο, ώστε
f(x0) > 0. Να αποδείξετε ότι:
β
α
f(x)dx > 0
(βʹ) αν f(x) ≥ 0 και
β
α
f(x)dx = 0, τότε f(x) = 0αν f(x) ≥ 0 και
β
α
f(x)dx = 0, τότε f(x) = 0αν f(x) ≥ 0 και
β
α
f(x)dx = 0, τότε f(x) = 0
4.286 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και ικα-
β
α
f(x)dx = 0 και f(x) ≥ 0, για κάθε x ∈ [α, β]
f(x) = 0, για κάθε x ∈ [α, β]
τέτοια ώστε:
1
3
+
1
0
( f(x))2
dx = 2
1
0
x f(x)dx
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
4.288 Η συνάρτηση f : 0,
π
2
π
2
0
f2
(x)dx =
π
2
0
f(x)
√
συνxdx = 1
f(x) =
√
συνx, για κάθε x ∈ 0,
π
2
1
0
f(x)dx =
1
0
f2
x2
dx +
1
3
4.290 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R, με f(1) = 2025, είναι
συνεχής και ικανοποιεί τη σχέση:
1
0
x f(x)dx
2
=
1
3
·
1
0
( f(x))2
dx
f(α) f (α) = f(β) f (β) και
β
α
f(x) f (x)dx = 0
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο [α, β]
4.292 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι δύο φορές πα-
ραγωγίσιμη, με f (x) > 0 για κάθε x ∈ (0, 1) και
f(0) = f (0) = 1 και
1
0
f(x)dx =
3
2
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x)−x−1
είναι μη αρνητική στο [0, 1]
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
4.293 Η συνάρτηση f : [1, e] → R είναι συνεχής και ικα-
25

e
1
f2
(x)dx ≤ 2 − e + 2
e
1
f(x) ln xdx
Να αποδείξετε ότι f(x) = ln x, για κάθε x ∈ [1, e]
4.294 Οι συναρτήσεις f, g : [α, β] → R είναι συνεχείς και
ικανοποιούν τη σχέση:
β
α
f2
(x)dx ≤
β
α
g2
(x)dx ≤
β
α
f(x)g(x)dx
Να αποδείξετε ότι f = g
4.295 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R, με f(0) = 1, έχει
συνεχή παράγωγο και είναι:
1
0
( f (x))2
dx +
1
0
( f(x))2
dx = f2
(1) − 1
παράγωγο με f(0) = f(1) = 1 και ικανοποιεί τη
σχέση:
1
0
f(x) f (x)dx = f (1) − f (0)
Να αποδείξετε ότι f(x) = 1, για κάθε x ∈ [0, 1]
5 Η συνάρτηση F(x) =
x
α
f(t)dtF(x) =
x
α
f(t)dtF(x) =
x
α
f(t)dt
(αʹ) υπολογισμός-πεδίο ορισμού και
παράγωγος
α)
x
0
(2t + 1)dt, με x ∈ R β)
x+1
x
√
tdt, με x ≥ 0
γ)
x
1
ln tdt, με x > 0 δ)
x
0
xet
dt, με x ∈ R
5.298 Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο
των παρακάτω συναρτήσεων:
α) f(x) =
x
1
(t2
− ηµt)dt β) f(x) =
x
1
1
t − 2
dt
γ) f(x) =
x
0
ηµt
t2 − 1
dt δ) f(x) =
x
1
2t2 − t − 1dt
ε) f(x) =
1
x
√
tdt
α) f(x) =
3−x
1
√
t − 1dt β) f(x) =
√
x
0
9 − t2dt
γ) f(x) =
φx
1
1
1 + t2
dt δ) f(x) =
x3
0
t
1 + t3
dt
ε) f(x) =
√
x−1
2
t2 − 1dt
α) f(x) =
ln x
4−x
√
t − 1dt β) f(x) =
x−2
x−1
ln(t − 1)
√
5 − t
dt
γ) f(x) =
ex−1
ln x
1 − t2dt δ) f(x) =
x2
√
x
1
ln t
dt
ε) f(x) =
2x+2
3
x
t2 − 9dt ζ) f(x) =
x+3
x2
et
t − 4
dt
η) f(x) =
x2
x3
√
t · ηµtdt ϑ) f(x) =
ln x
ex
√
t − 1dt
f(x) =
x2
0
ln(1 + t)dt
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι f (0) = f (0)
5.302 Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με τύπο:
f(x) =
x
0
x2
· ηµ t2
dt
5.303 Δίνεται η συνάρτηση f : (1, +∞) → R με τύπο:
f(x) =
x+1
x
t
t − 1
dt
f(x) = 1 + ln
x
x − 1
, για κάθε x > 1
f(x) =
2x
π
6
ηµt
t
dt
26

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈
π
4
,
π
3
τέτοιο, ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της Cf
στο σημείο M(x0, f(x0)) να είναι παράλληλη στην
ευθεία x − y + 2 = 0
f(x) =
x
0
(α · συν(πt) + β · ηµ(πt)) dt
Να βρείτε τις τιμές των α, β ∈ R για τις οποίες ι-
σχύουν οι σχέσεις:
f
1
2
=
3
π
και f (2) = 2
5.306 Αν η συνάρτηση f : [−α, α] → R, με α > 0, είναι
συνεχής και περιττή, να αποδείξετε ότι η συνάρτη-
ση:
F(x) =
x
β
f(t)dt, με β ∈ [−α, α]
είναι άρτια
x2
0
f(t)dt = xηµ(πx), για κάθε x ∈ R
Να αποδείξετε ότι f(4) =
π
2
f(x) =
x+1
1
συν(πt)
t
dt, με x > 0
2 f (1) + 3 f
1
2
= 3
5.309 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R → R με τύπο:
f(x) =
x
1
συν(πxt)dt
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας
της Cf στο σημείο M(1, f(1))
5.310 Η συνάρτηση f : R → R έχει συνεχή παράγωγο
και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f (e) 0 και
x
1
t f (t)dt = ef(x)
− 1, για κάθε x ∈ R
Να αποδείξετε ότι f(e) = 1
5.311 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και ϑεω-
ρούμε τη συνάρτηση:
F(x) = x2
+
x
0
t f(x − t)dt, με x ∈ R
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F είναι παραγωγί-
σιμη στο R και να βρείτε την συνάρτηση F
g(x) =
1
α
·
x
0
f(t)ηµ(αx − αt)dt, με α 0
g (x) + α2
g(x) = f(x), για κάθε x ∈ R
5.313 Η συνάρτηση f : R → R είναι παραγωγίσιμη με
f (x) > 0, για κάθε x ∈ R και ϑεωρούμε τη συνάρ-
τηση:
g(x) =
β
α
f(x − t)dt, με x ∈ R και α, β ∈ R
α) η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R
β) αν για κάποιο x0 ∈ R είναι g (x0) = 0, τότε είναι
g(x) = 0, για κάθε x ∈ R
f(x) =
x
−x
et + t2
t2 + 1
dt, με x ∈ R
α) f (x) = x2
β) f(3) = 12
F(x) =
x
0
et2
−x2
dt, με x ∈ R
F (x) + 2xF(x) = 1, για κάθε x ∈ R
27

f(x) =
x
1
ηµ(ηµt)dt, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
β) Να υπολογίσετε την τιμή ( f−1
) (0)
F(x) =
x
1
u
2
et−u
ln tdt du, με x > 1 και u > 1
α) η συνάρτηση F είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
στο (1, +∞)
F (x) + F (x) = ln x, για κάθε x > 1
5.318 Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ∈ R ώστε για κάθε
x ∈ R να ισχύει η σχέση:
x
0
et
t12
+ 13t11
+ 11t10
dt = ex
x12
+ αx11
+ βx10
+ γ
g(x) =
π
2
− π
2
f(x + t)συνtdt, με x ∈ R
Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο R
και ισχύει:
g (x) =
π
2
− π
2
f(x + t)ηµtdt
f(x) =
x
0
|2t − x − 1|dt
f (x) =



−x, αν x ∈ (−∞, 0)
1, αν x ∈ [−1, 1]
x, αν x ∈ (1, +∞)
(βʹ) όρια
(i) η μορφή
0
0
η μορφή
0
0
η μορφή
0
0
5.321 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
α) lim
x→0
x
0
tηµtdt
x2ηµx
β) lim
x→0
ex − 1 −
x
0
tσυνtdt
x2
γ) lim
x→0
x
0
et − 1
x2
dt δ) lim
x→0+
x
0
√
t · ηµ
√
tdt
x2
ε) lim
x→1
x
1
xet2
dt
x2 − x
ζ) lim
x→1
x
1
( x2 + 3 − 2)dt
(x − 1)2
η) lim
x→1
x
1
ln t
(x − 1)2
dt ϑ) lim
x→0
x
0
(συνt − 1)dt
x2
ι) lim
x→0
x −
x
0
eηµt
dt
x2
κ) lim
x→0
x
0
et2
− συνt dt
x3
α) lim
x→0
x2
0
ηµ(ηµt)dt
x4
=
1
2
β) lim
x→ π
4
φx
1
et2
dt
σφx
1
et2
dt
= −1
γ) lim
x→0
1
x3
·
x
0
t2
t4 + 1
dt =
1
3
δ) lim
x→0
x
0
(ηµt − t)dt
ηµx − xσυνx
= 0
ε) lim
x→0
1
x2
·
4x
x
ηµ(et
− 1)dt =
15
2
5.323 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και είναι
f(0) = 0 και f (0) = 1, να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0
x
0
x f(t)dt
x − ηµx
είναι f(0) = 0 και f (0) = 2. Να υπολογίσετε το
όριο:
lim
x→0
1
x2 + 2συνx − 2
·
x
0
x2
f(t)dt
5.325 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και η ευ-
ϑεία y = 2x−2 εφάπτεται στη Cf στο σημείο x0 = 1,
να υπολογίσετε το όριο:
28

lim
x→1
x
1
f(t)
x2 − 2x + 1
dt
5.326 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R ώστε
να είναι:
lim
x→0
x
1 − συνx
x
0
f(t)dt = 4
Να βρείτε την τιμή f(0)
5.327 Αν n ∈ N, με n ≥ 2, να αποδείξετε ότι:
lim
x→0+


1
1 − συνx
·


x
0
ηµn
tdt +
x2
0
ηµ2
√
tdt



 = 0
f(x) =
x
0
ext
t
dt
Να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0
f(x)
x
5.329 Δίνονται οι συναρτήσεις:
f(t) =
3t
1
eu
√
u
du και G(x) =
x
1
f(t)dt
lim
x→0+
√
xG (x) −
√
3
√
x + 1 − 1
5.330 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, παραγωγίσι-
μη στο x0 = 1 και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f (1) = 2, f(1) = 0 και f(x) 0, για κάθε x 1
lim
x→1
x
1
f(t) · συν(t − 1)dt
f(x)
5.331 Αν n ∈ N∗, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
α) lim
x→0
x
0
1
x
·
ηµt
x
n
dt β) lim
x→0+
x
0
et2
− 1
xn
dt
α) lim
x→0+


1
x
·
x
x
2
ηµt
t
dt

 =
1
2
β) lim
x→0
2x
x
t2
1 + t4
dt = 0
α) lim
x→0+
1
x
·
1
0
1 − συν(xt)
συν(xt)
dt = 0
β) lim
x→1
x
1
ext − 1
xt − t
dt = e − 1
5.334 Να βρείτε τις τιμές των α, β > 0 για τις οποίες
είναι:
lim
x→0+


1
αx − ηµx
·
x
0
t2
dt
β + t

 = 1
5.335 Η συνάρτηση f : ∆ ⊂ R → R είναι συνεχής και
η συνάρτηση g : ∆ → R είναι παραγωγίσιμη στο
x0 ∈ ∆ και είναι:
g(x0) = 0, g (x0) 0 και g(x) 0, για κάθε x x0
lim
x→x0
x
x0
f(t)dt
g(x)
(ii) κριτήριο παρεμβολήςκριτήριο παρεμβολήςκριτήριο παρεμβολής
5.336 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής και έστω
α ∈ (0, 1). Να αποδείξετε ότι:
lim
x→0
x ·
α
0
tx
f(t)dt = 0
lim
x→0+
x ·
1
x
f(t)
t
dt = 0
(iii) όρια με x → ±∞όρια με x → ±∞όρια με x → ±∞
α) lim
x→+∞
x
1
e2t
dt
x
β) lim
x→+∞
x
e
√
ln t
t
dt
γ) lim
x→+∞
0
−x
(2t − 3)et
dt δ) lim
x→−∞
x
−1
et
et − 1
dt
ε) lim
x→+∞
x
1
ln t
t2
dt ζ) lim
x→+∞
x
0
te−t2
dt
29

α) lim
x→+∞
1
x
0
xet2
dt β) lim
x→+∞
1
x
1
2
x
ln t
dt
γ) lim
x→+∞
e−x
0
x
1 + t2
dt δ) lim
x→+∞
x
0
et+1
dt
2
x
0
e2t+2
dt
ε) lim
x→+∞
π(x+1)
πx
e−t
ηµtdt
5.340 Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
f(t) =
t
2t
1 + u2du και F(x) =
x
0
f(t)dt
lim
x→+∞
F (x) − 1 + x2
x + 1
f(t) =
t + 1
t2 + 1
, με t ∈ R
Να υπολογίσετε τα όρια:
α) lim
x→+∞
x
0
f(t)dt β) lim
x→+∞
x
0
f(t)dt
x
f(x) =
ex
ex + x2
, με x ∈ R
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
lim
x→+∞
x+2
x
et
et + t2
dt = 2
5.343 Δινεται η συνάρτηση:
f(x) =
ex
ex +
√
x
, με x ≥ 0
τα ακρότατα
lim
x→+∞
x+1
x
f(t)dt = 1
α) lim
x→+∞
4x
x
ηµ2 5
t
dt = 0
β) lim
x→+∞
x ·
x
0
et2
−x2
dt =
1
2
γ) lim
x→+∞
1
x
·
x
0
et2
−x2
(t2
+ 1)dt =
1
2
δ) lim
x→+∞
x+1
x
t + ηµ2
t
t2 + 1
dt = 1
ε) lim
x→+∞
x
1
ln t
tn+1
dt =
1
n2
, με n ∈ N∗
5.345 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι συνεχής, γνη-
σίως μονότονη και ισχύει:
lim
x→+∞
(x f(x)) = 0
lim
x→+∞
2x
x
f(t)dt = 0
5.346 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : [0, +∞) → R με τύ-
πο:
f(x) =
x
0
2t
t2 + 1
dt −
x
0
α
3t + 1
dt, με α ∈ R
Να βρείτε την τιμή του α για την οποία είναι:
lim
x→+∞
f(x) = ∈ R
f3
(x) + x2
f(x) = 1, για κάθε x ∈ R
lim
x→+∞
1
x2
·
x
0
f(t)dt = 0
5.348 Η συνάρτηση f : [α, β] → R έχει συνεχή παράγω-
γο. Να αποδείξετε ότι:
lim
x→+∞
β
α
f(t)ηµ(xt)dt = 0
30

(iv) μελέτη συνέχειας-παραγώγουμελέτη συνέχειας-παραγώγουμελέτη συνέχειας-παραγώγου
5.349 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ϑεωρούμε
τη συνάρτηση:
F(x) =



1
x
·
x
0
f(t)dt, αν x 0
f(0), αν x = 0
α) ισχύει η σχέση:
xF (x) + F(x) = f(x), για κάθε x 0
β) η συνάρτηση F είναι συνεχής στο 0
γ) αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε και η F
είναι παραγωγίσιμη στο 0
ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
g(x) =
1
0
f (xt)dt, με x ∈ R
g(x) =



f(x) − f(0)
x
, αν x 0
f (0), αν x = 0
β) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, να
αποδείξετε ότι η g είναι συνεχής στο 0
5.351 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R. Να α-
ποδείξετε ότι η συνάρτηση:
F(x) =
1
0
f(xt)dt
είναι συνεχής στο R
5.352 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, να απο-
δείξετε ότι η συνάρτηση:
g(x) =
1
0
t f(xt)dt
είναι συνεχής στο 0
f(x) =
x
1
συν(tx)dt
f(x) =
1
0
ex2
t
dt
f(x) =



1
(x − 1)2
·
x
1
x
ln(xt)dt, αν 0 < x 1
α, αν x = 1
Να βρείτε την τιμή του α ∈ R για την οποία η f
είναι συνεχής στο 1
5.356 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι συνεχής και
x
0
f(t)dt ≤ ηµ2
x, για κάθε x ≥ 0
5.357 Θεωρούμε τη συνάρτηση:
f(x) =



2x
x
t − ηµt
t
dt, αν x 0
0, αν x = 0
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0
β) Να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0
f(x)
x
f(x) =



2x
x
t2
et2
− 1
dt, αν x 0
0, αν x = 0
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 0
5.359 ´Εστω n ∈ N∗ − {1} και ϑεωρούμε τη συνεχή συ-
νάρτηση f : R → R τέτοια, ώστε:
f(x) =
nx
x
t + ηµt
t
dt, για κάθε x 0
31

(γʹ) BolzanoBolzanoBolzano
είναι:
2
1
f(x)dx = 5
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈
(1, 2) τέτοιο, ώστε:
ξ
1
f(x)dx = ξ2
5.361 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής. Να απο-
δείξετε ότι η εξίσωση:
x2
x
f(t)dt = 1 − 2x
έχει τουλάχιστον μία λύση στο (0, 1)
5.362 Η συνάρτηση f : R → (−∞, 1) είναι συνεχής. Να
αποδείξετε ότι η εξίσωση:
x
0
f(t)dt = 2x − 1
5.363 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], να
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ [α, β]
τέτοιο, ώστε:
ξ
α
f(x)dx =
β
ξ
f(x)dx
5.364 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], να
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ [α, β]
ξ
α
f(x)dx +
ξ
β
f(x)dx = 2ξ − (α + β)
2
1
f(3x)dx ·
2
1
f(4x)dx < 0
2ξ
ξ
f(t)dt = 0
ηµ2
x ≤ f(x) ≤ x2
(0, π) τέτοιο, ώστε:
ξ +
ξ
0
f(t)dt = 3
5.367 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και ικα-
f(α) > α και
β
α
f(x)dx <
β2
− α2
2
(α, β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξ
5.368 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R για την
β
α
f(x)dx 0
(α, β) τέτοιο, ώστε:
ξ
α
f(x)dx =
1
n
·
β
α
f(x)dx, όπου n ∈ N∗ − {1}
5.369 Οι συναρτήσεις f, g : [α, β] → R∗ είναι συνε-
χείς. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
ξ ∈ [α, β] τέτοιο, ώστε:
f(α) ·
ξ
β
g(t)dt + f(β) ·
ξ
α
g(t)dt = 0
5.370 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R και
κ ∈ (0, 1). Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα ξ ∈ (α, β] τέτοιο ώστε:
ξ
α
f(x)dx = κ
β
α
f(x)dx
5.371 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R. Να
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (α, β)
(x0 − β) ·
x0
α
f(t)dt + x0 =
α + β
2
5.372 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R. Να
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ [α, β]
32

β2
·
x0
α
f(t)dt + α2
·
x0
β
f(t)dt = 0
5.373 ´Εστω n ∈ N∗ − {1} και ϑεωρούμε τη συνεχή συ-
νάρτηση f : [α, β] → R με την ιδιότητα:
β
α
f(x)dx 0
ξ
α
f(x)dx =
1
n
·
β
α
f(x)dx
f(x) =
2x
x
1 + συνt
t4 − t2 + 4
dt
α) η συνάρτηση f είναι περιττή
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε
f (ξ) = 0
(δʹ) RolleRolleRolle
f(x) = (x − 1) ·
x
2
ln t
t
dt, με x > 0
α) η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ϑεωρήματος
Rolle στο διάστημα [1, 2]
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε:
1 − x0
x0
· ln x0 =
x0
2
ln t
t
dt
5.376 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 1] και είναι:
1
0
t f(t)dt = 0
α) η συνάρτηση:
G(x) = xe−x
x
0
t f(t)dt
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ϑεωρήματος Rolle
στο διάστημα [0, 1]
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε:
ξ
0
t f(t)dt =
ξ2
ξ − 1
f(ξ)
5.377 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α, β] → R,
με f(α) = 0. Να αποδείξετε ότι:
g(x) = (β − x) ·
x
α
f(t)dt
στο [α, β]
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε:
(x0 − β) f (x0) = 2 f(x0)
ϑεωρούμε τη συνάρτηση g : [α, β] → R με τύπο:
g(x) = (α − x) ·
x
β
f(t)dt + (x − β) ·
x
α
f(t)dt
α) η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
ϑεωρήματος Rolle στο διάστημα [α, β]
β
α
f(t)dt = f(x0) · (β − α)
ϑεωρούμε τη συνάρτηση g : [α, β] → R με τύπο:
g(x) = (x − α) ·
x
β
f(t)dt + (x − β) ·
x
α
f(t)dt
ϑεωρήματος Rolle στο διάστημα [α, β]
x0
α
f(t)dx +
x0
β
f(t)dt = (α + β − 2x0) f(x0)
είναι:
33

g(x) =
x
α
f(t)dt − 2
α+x
2
α
f(t)dt
στο διάστημα [α, β]
f(x0) = f
α + x0
2
F(x) =
xn
x
f(t)dt, με x ∈ [0, 1] και n ∈ N∗ − {1}
α) η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
ϑεωρήματος Rolle στο διάστημα [0, 1]
nxn−1
0
· f xn
0
= f(x0)
ϑεωρούμε τη συνάρτηση g : [0, 1] → R με τύπο:
g(x) =
x
0
f(t)dt ·
x
1
f(t)dt
ϑεωρήματος Rolle στο διάστημα [0, 1]
f(x0) = 0 ή
x0
0
f(t)dt =
1
x0
f(t)dt
5.383 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [1, e] → R για την
e
1
f(t)dt = −e
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
g(x) =
1
x
·
x
1
f(t)dt + ln x + 1, με x ∈ [1, e]
α) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (1, e) τέτοιο, ώστε η
εφαπτόμενη της Cg στο σημείο M(ξ, g(ξ)) να είναι
παράλληλη στον άξονα x x
β) g(ξ) = f(ξ) + ln ξ + 2
είναι:
1
0
f(t)dt = 3
Θεωρούμε τη συνάρτηση g : [0, 1] → R με τύπο:
g(x) =
2
x + 1
·
x
0
f(t)dt +
4
(x + 1)2
− 1
α) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (0, 1) τέτοιο,
ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της Cg στο σημείο
M(x0, g(x0)) να είναι παράλληλη στον άξονα x x
β) g(x0) +
4
(x0 + 1)2
= 2 f(x0) − 1
είναι:
1
0
f(x)dx = 0
g(x) = e− x2
2 ·
x
0
f(t)dt
ξ
0
f(t)dt =
f(ξ)
ξ
5.386 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και είναι:
β
α
f(x)dx = 0
(α, β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = 0
34

2
1
0
f(x)dx = 1
(0, 1) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξ
5.388 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι συνεχής στο
[α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και ικανοποιεί τη
σχέση:
β
α
f(x)dx = f(β) − f(α)
(α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = f(ξ)
[α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και ικανοποιεί τη
σχέση:
β
α
f(x)dx = 0
f (ξ) ·
ξ
α
f(t)dt = −f2
(ξ)
1
x
f(t)dt = x f(x)
5.391 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής, η συνάρ-
τηση g : R → R είναι παραγωγίσιμη και για κάθε
x ∈ R ικανοποιούν τη σχέση:
g
x
0
f(t)dt = g(x + 1)
α) η g δεν είναι 1-1
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε
g (ξ) = 0
5.392 ´Εστω 0 < α < β και ϑεωρούμε τη συνεχή συνάρ-
τηση f : (0, +∞) → R για την οποία είναι:
β
α
f(t)dt = 0
g(x) = 2 +
1
x
·
x
α
f(t)dt, με x > 0
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈
g(x0) = 2 + f(x0)
5.393 ´Εστω οι συναρτήσεις f, g : [α, β] → R όπου η f
είναι συνεχής, η g είναι παραγωγίσιμη και οι οποίες
g(α) = 0 και
β
α
f(x)dx = g(β)
f(x0) = g (x0)
5.394 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R για την
οποία ισχύει η σχέση:
1
0
f(x)dx = 1
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
x
0
f(t)dt = x(2 − f(x))
5.395 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R, με:
1
0
f(x)dx = 1
α) η εξίσωση:
2
x
0
f(t)dt = 1
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0, 1)
x0 f(x0) +
x0
0
f(x)dx = 1
5.396 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 2] → R για την
35

1
0
f(t)dt ·
2
0
f(t)dt < 0
α) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (0, 2) τέτοιο, ώστε:
x0
0
f(t)dt = 0
β) η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα
στο (0, 2)
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (0, 1)
x0 f(x0) =
1
x0
f(t)dt
x0 f(x0) = 2
1
x0
f(t)dt
5.399 Οι συναρτήσεις f, g : [α, β] → R, με αβ < 0, είναι
παραγωγίσιμες και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
h(x) =
x
0
f(t)e−g(t)
dt
Αν είναι h(α) = h(β) = 0, να αποδείξετε ότι:
α) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε:
h(ξ) = ξ − α − β
f (x0) = f(x0)g (x0)
f(x0) · ηµx0 · συνx0 =
1
x0
f(t)dt
5.401 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : 0,
π
3
→ R ώστε:
π
3
0
f(t)dt = 0
0,
π
3
f(ξ)
φξ
=
0
ξ
f(t)dt
5.402 Η συνάρτηση f : [α, β] → R, με α > 0, είναι συνε-
χής και είναι:
β
α
f(x)dx = 0
f(x) =
2028
x
·
x
α
f(t)dt
έχει μία τουλάχιστον λύση στο (α, β)
5.403 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [0, 1] → R
για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(0) = 0 και
1
0
f(x)dx = f(1)
(0, 1) τέτοιο, ώστε f (ξ) = f(ξ)
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (1, 2)
2
ξ
f(t)dt = f(ξ)ξ ln ξ
5.405 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R με:
1
0
f(x)dx =
1
π
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε:
π f(ξ) = 2ξ
5.406 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R. Να
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β)
f(ξ) =
1
β − ξ
ξ
α
f(x)dx
5.407 Η συνάρτηση f : [α, β] → R με 0 < α < β είναι
συνεχής, παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύει:
β
α
f(x)dx = βf(β) − αf(α)
36

(α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0
5.408 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α, β] → R
f(α) = 0 και
β
α
f(x)dx = 0
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0, 1)
ξ
1
f(x)dx = −2ξ f(ξ)
5.410 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [−1, 1] και ικα-
1
−1
f(t)dt = 0
F(x) =
1
−1
(x − 1) f(xt − t)dt, με x ∈ [0, 1]
f(1 − ξ) + f(ξ − 1) = 0
5.411 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, π] και είναι:
π
0
f(x)dx = 2
(0, π) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ηµξ
5.412 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 1], να α-
ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0, 1)
ώστε να είναι:
ξ
0
f(x)dx = (1 − ξ) f(ξ)
5.413 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R, με:
β
α
f(x)dx = 0
ξ
α
f(x)dx = f(ξ)
5.414 ´Εστω 0 < α < β και ϑεωρούμε τη συνεχή συνάρ-
τηση f : [α, β] → R, για την οποία ισχύει:
β
α
f(x)dx = 0
ξ
α
f(x)dx = ξ f(ξ)
5.415 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : 0,
π
2
→ R. Να
x
0
f(t)dt = f(x) · σφx
έχει μία τουλάχιστον λύση στο 0,
π
2
5.416 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, π] → R με:
π
0
f(x)dx = π
(0, π) τέτοιο, ώστε f(x0) = 1 + συνx0
f(x0) =
1
0
f(x)dx
5.418 ´Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : [α, β] → R.
g(ξ)
ξ
α
f(t)dt = f(ξ)
β
ξ
g(t)dt
5.419 ´Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : [α, β] → R.
ξ
α
f(x)dx + (ξ − α)g(ξ) =
β
ξ
g(x)dx + (β − ξ) f(ξ)
37

f(x) =
1
x − 1
·
x
1
t2
1 + t8
dt, με x 1
(−1, 0) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0
5.421 ´Εστω η άρτια και συνεχής συνάρτηση f : R → R.
g(x) =
β
α
f(x − t)dt
είναι παραγωγίσιμη στο R
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε:
f(ξ − α) = f(ξ − β)
5.422 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι παραγωγίσιμη
f(0) 0 και f(0) + f(1) = 0
( f(x))2
= f (x) ·
1
x
f(t)dt
έχει μία τουλάχιστον λύση στο (0, 1)
β
α
f(x)dx = 0
α) υπάρχει τουλάιστον ένα x1 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε:
x1
α
f(t)dt + f(x1) = 0
β) αν είναι α > 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα
x2 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε:
x2 f(x2) = 2
x2
α
f(t)dt
5.424 ´Εστω οι ϑετικοί αριθμοί α, β, γ, με α < β και ϑε-
ωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : (0, +∞) → R για
β
α
f(γx)dx = γ β2
− α2
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2x έχει τουλά-
χιστον μία ρίζα στο διάστημα (αγ, βγ)
5.425 ´Εστω 0 < α < β και ϑεωρούμε την παραγωγίσιμη
συνάρτηση f : [α, β] → (0, +∞). Αν n ∈ N − {0, 1}
και ισχύει η σχέση:
αn−1
f(α)
·
α
0
f(t)dt −
αn
n
=
βn−1
f(β)
·
β
0
f(t)dt −
βn
n
να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈
(n − 1) f(ξ) = ξ f (ξ)
5.426 ´Εστω A, B > 0 και ϑεωρούμε τις παραγωγίσιμες
συναρτήσεις f, g : [α, β] → (0, +∞) για τις οποίες
ισχύουν οι σχέσεις:
β
α
f(x)dx =
β
α
g(x)dx και
f(x)
g(x)
=
A + B
x
α
f(t)dt
A + B
x
α
g(t)dt
, για κάθε x ∈ [α, β]
f (ξ)g(ξ) = f(ξ)g (ξ)
ϑεωρούμε τη συνάρτηση g : [0, 1] → R με τύπο:
g(x) =
x
1
e1−t
x
0
ex
f(t)dt dt
x0
0
f(t)dt = e1−x0
− 1 · f(x0)
g(x) = ex
·
x
α
f(t)dt ·
β
x
f(t)dt
ϑεωρήματος Rolle στο [α, β]
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε:
f(ξ) ·
ξ
α
f(t)dt −
β
ξ
f(t)dt =
ξ
α
f(t)dt ·
β
ξ
f(t)dt
38

(εʹ) ϑεώρημα μέσης τιμής
5.429 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R με:
1
0
f(t)dt < 0
(0, 1) τέτοιο, ώστε f(x0) < 0
είναι:
β
α
f(x)dx = β2
− α2
[α, β] τέτοιο, ώστε:
f(x0) = α + β
β
α
f(x)dx =
β
α
g(x)dx
(α, β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = g(ξ)
είναι:
1
0
f(x)dx =
1
0
xe−x
dx
(0, 1) τέτοιο, ώστε f(ξ) < ξ
5.433 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι συνεχής και για
κάθε x ∈ [α, β] ισχύει η σχέση:
|f(x)| ≤ κ, όπου κ > 0
β
α
f(x)dx ≤ κ · (β − α)
5.434 Αν α, β ≥ 0, να αποδείξετε ότι:
β
α
(x + 1)e−x
dx ≤ |β − α|
τέτοια ώστε:
1
0
f(x)dx = −f(0)
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλά-
χιστον μία λύση στο διάστημα [0, 1)
5.436 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή παρά-
γωγο. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
ξ ∈ [0, 1] τέτοιο, ώστε:
1
0
f(x)dx = f(1) − ξ · f (ξ)
9
3
f(2x)dx =
6
2
f(3x)dx
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ R
τέτοιο, ώστε f(x0) = 0
1
0
f(x)dx + f(1) = 0
χιστον μία λύση στο (0, 1)
β
α
f(x)dx ∈ {(β − α) f(α), (β − α) f(β)}
Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1
5.440 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → [γ, δ], με
α, β, γ, δ > 0. Να αποδείξετε ότι:
β
α
dx
f(x)
≤
β − α
γ
αύξουσα. Για κάθε x ≥ 1, να αποδείξετε ότι:
x
1
f(t)dt ≤ (x − 1) f(x) ≤
1
x
·
x2
x
f(t)dt
f(x) =
x
1
(t − 2)et2
dt
39

α) η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιμή
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ [1, 2] τέτοιο, ώστε:
f(x) ≥ f (x0), για κάθε x ∈ R
f(x) =
x+1
x
et
t2 + 1
dt
α) 1 ≤ f(0) ≤
e
2
β) f(x) > f(0), για κάθε x > 0
f : [0, α] → R για την οποία ισχύει η σχέση:
α
2
0
f(x)dx ·
α
α
2
f(x)dx < 0
α) υπάρχει τουλάχιστον ένα x1 ∈ (0, α) τέτοιο, ώστε
f(x1) = 0
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x2 ∈ 0,
α
2
x2
0
f(x)dx =
x2+ α
2
0
f(x)dx
f(x) =
x
1
1
1 + t2
dt, με x ∈ R
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈
2
1
1 + ξ2
1 + t2
dt = 1
2
0
f(x)dx ≤ 0 και
3
2
f(x)dx ≥ 0
(0, 3) τέτοιο, ώστε f(ξ) = 0
5.447 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή παρά-
γωγο. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
ξ ∈ [0, 1] τέτοιο, ώστε:
1
0
f(x)dx = f(0) − (ξ − 1) f (ξ)
5.448 ´Εστω α, β, γ ∈ R με α < β < γ και ϑεωρού-
με τη συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση
f : [α, γ] → R. Να αποδείξετε ότι:
(γ − β) ·
β
α
f(x)dx > (β − α) ·
γ
β
f(x)dx
5.449 ´Εστω α > 0 και ϑεωρούμε τη συνεχή και περιττή
συνάρτηση f : [−α, α] → R. Να αποδείξετε ότι:
α) υπάρχει τουλάχιστον ένα x1 ∈ (−α, α) τέτοιο, ώ-
στε:
x1
−α
f(t)dt = x1
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x2 ∈ (x1, α) τέτοιο, ώ-
στε:
f(x2) =
x1
x1 − α
(Ϛʹ) εύρεση τύπου συνάρτησης
π
2
f(x) =
ηµx
−συνx
1
1 − t2
dt
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή
π
2
f(x) =
φx
1
t
1 + t2
dt +
σφx
1
1
t(1 + t2)
dt
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή και να βρείτε
το τύπο της
5.452 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις εί-
ναι σταθερές στο R :
α) f(x) =
x+1
x
[ηµ(πt)]2n
dt, με n ∈ N∗
β) f(x) =
x+1
x
ln 1 + ηµ2
(2πt) dt
40

f(x) +
x
0
t f(t)dt = 1, για κάθε x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγω-
γίσιμη στο R
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
g(x) = e
x2
2 · f(x)
είναι σταθερή στο R
γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
2 f(2x) − f(x + 1) = 6x + 2, για κάθε x ∈ R
F(x) =
2x
x+1
f(t)dt − 3x2
− 2x
είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της
β)
1
−2
f(t)dt = 9
x
1
f(ln t)dt = x2
ln x, για κάθε x > 0
5.456 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R ικανοποιεί τη σχέ-
ση:
f(x)
0
et
dt +
x
0
συνtdt = x − 1, για κάθε x > 0
5.457 Η συνάρτηση f : R → (0, +∞) είναι συνεχής και
f(x) = 1 +
x
0
t
f(t)
dt, για κάθε x ∈ R
ράγωγο και για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
x
0
et
f (t)dt = e2x
− ex
f(x) +
x
0
et
f(t)dt
5.459 Η συνάρτηση f : R → R έχει συνεχή παράγωγο
f(1) = 1 και
x
0
( f(t) + t f (t))dt = x, για κάθε x ∈ R
x
c
f(t)dt = xe2x
−
x
c
e−t
f(t)dt, για κάθε x ∈ R
Να βρείτε τη σταθερά c και τον τύπο της συνάρτη-
σης f
5.461 Η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής. Να βρείτε
τον τύπο της f και την τιμή της σταθεράς c σε
κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις, οι οποίες
ισχύουν για κάθε x ∈ R :
α)
x
0
f(t)dt =
1
x
t2
f(t)dt +
x16
8
+
x18
9
+ c
β)
x
0
f(t)dt + 2
1−x
0
f(t)dt =
x2
2
−
2x
3
+ c
5.462 Να βρείτε την πολυωνυμική συνάρτηση f : R → R
η οποία για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
x
1
f(t)dt = f(x) · f (x)
5.463 Αν η f είναι συνεχής στο (0, +∞), να βρείτε τον
τύπο της σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώ-
σεις:
α) f(x) +
x
1
t f(t)dt = 2 β) f(x) = 1 +
1
x
x
1
f(t)dt
γ)
x
1
f(t)dt = x f(x) − ln x δ) f(x) = e −
x
1
f(t)
t2
dt
ε) 2
x
1
f(t)
t
dt = f(x) ln x ζ)
x
0
f(t)dt = f(x) − ex
η)
x
1
f(t)dt − 1 = x( f(x) − 1) ϑ) 2
x
1
f(t)dt = x f(x)
ι) f(x) =
x
1
(t + 1) f(t)
t
dt + e
41

5.464 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → (0, +∞) είναι συνε-
χής και για κάθε x ≥ 0 ικανοποιεί τη σχέση:
f(x) = 1 +
x
0
f(t) +
1
f(t)
dt
5.465 Η συνάρτηση f : −
π
2
,
π
2
f(x) = x +
x
0
f(t) · φtdt, για κάθε x ∈ −
π
2
,
π
2
5.466 Η συνάρτηση f : −
π
2
,
π
2
→ R, με f(0) = f (0) =
1, έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τη
σχέση:
1 +
x
0
f (t)συνtdt = συν2
x +
x
0
f (t)ηµtdt
σεις:
α) x f(x) = 2 −
x
1
t f(t)
x
dt β) f(x) =
1
x
+
x
1
t f(t)
x2
dt
γ)
x2
1
x f(t)dt = x + ln x − 1
δ)
x
1
x f(t) ln
x
t
dt = f(x) +
x
1
x f(t)
t2
dt
f(x) =
x
1
xt + f(t)
t
dt
5.469 Αν η f είναι συνεχής στο R, να βρείτε τον τύπο
της σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α)
x
0
t f(t)dt = συνx + x2
β) f(x) =
x
0
et− f(t)
dt
γ) x2
=
1
x
f(t)dt + x f(x) δ) f(x) = f(1) +
x
1
f(t)dt
ε) 1 +
x
0
f(t)dt = f(x) ζ) f(x) =
f(x)
0
2 + et2
dt
η) f(x) =
x
0
2tet2
+1− f(t)
dt ϑ) ln 1 +
x
0
f(t)dt = x
ι) f(x) = (1 + ex
) 1 +
x
0
f(t)
1 + et
dt
κ) e−x
ηµx +
x
0
e−t
f(t)dt = x − e−x
f(x)
5.470 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : (1, +∞) → R
για την οποία ισχύει:
f(x) = e +
x
e
f(t)
t
−
1
ln2 t
dt, για κάθε x > 1
5.471 Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του α > 0, ώστε για
τη συνεχή συνάρτηση f : (−∞, α) → R να ισχύει η
σχέση:
f(x) =
x
0
ef(t)
dt, για κάθε x < α
5.472 Η συνάρτηση f : [0, 1) → R είναι συνεχής και
ηµ
x
0
f(t)dt = x, για κάθε x ∈ [0, 1)
α)
x
0
(1 + t2
) f(t)dt = x2
+
1
0
6x(t2
+ t)dt
β) f(x) = x2
+
x
0
(x − t) f(t)dt
γ)
x
0
ex−t
f(t)dt = x2
ex
− f(x)
δ) ηµx +
x
0
ex−t
f(t)dt = xex
− f(x)
ε)
x
0
f(t)dt = x +
x
0
(t − x) f(t)dt
ζ) f(x) +
x
0
et
(x − t)dt = αx2
, με α ∈ R
η) f(x) = 1 +
2x
x
f(t − x)dt
5.474 Η συνάρτηση f : (−1, +∞) → R είναι συνεχής και
για κάθε x > −1 ικανοποιεί τη σχέση:
e−x
(x − 1) +
x
0
e−x
f(t)dt = (x + 1)e−x
f(x)
Να βρείτε τη συνάρτηση f
5.475 Οι συναρτήσεις f, g : [0, +∞) → (0, +∞) είναι
συνεχείς και για κάθε x ≥ 0 ικανοποιούν τις σχέσεις:
42

x
0
f(t)dt =
1
g(x)
και
x
0
g(t)dt =
1
f(x)
Να βρείτε τους τύπους των f και g
5.476 Οι συναρτήσεις f, g : [0, +∞) → (0, +∞) είναι
συνεχείς και για κάθε x ≥ 0 ικανοποιούν τις σχέσεις:
1 +
x
0
f(t)dt =
1
g(x)
και 1 + 2
x
0
g(t)dt =
2
f(x)
Να βρείτε τους τύπους των f και g
5.477 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : R → R η
οποία για κάθε x 0 ικανοποιεί τη σχέση:
x
1
x
f(t)dt +
x
0
f(t)dt = 2x −
1
x
5.478 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R και
έστω F μια αρχική της f. Αν ισχύει η σχέση:
x
0
(x − t) f(t)dt = x − F(x), για κάθε x ∈ R
να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
f(x) = x +
x
0
2
1
t f
1
x
dx dt
α) f(x) = x
1
2
0
f(2xt)ex
dt β) f(x) =
x
0
et
f(x − t)dt
γ)
x
0
ex
f(x − t)dt = ηµx δ) x
1
0
f(xt)dt = f(x) − 1
ε) f(x) = x2
x
0
tηµ(xt)dt ζ) f(x) = 2
1
0
f(xt)dt
η) f(x) = 6x +
x
0
f(x − t)ηµtdt
ϑ) f(x) = 3αx2
+ α
x
α
0
e−αt
f(x − αt)dt, με α > 0
ι) f(x) +
x
0
t f(x − t)dt = 0
5.481 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R για την
x
0
f(x − y)ηµydy = 0, για κάθε x ∈ R
Να αποδείξετε ότι f(x) = 0, για κάθε x ∈ R
α) f(x) = x +
x
0
e−t
f(x − t)dt
β) f(x) = x2
+
x
0
e−t
f(x − t)dt
γ) f(x) = e−x
+
x
0
et
f(x − t)dt
δ) f(x) = e−x
+
x
0
e−x
f(x − t)dt
ε) f(x) +
x
0
et
f(x − t)dt = αx2
, όπου α ∈ R
σεις:
α) f(x) = ex
+
1
0
x f(xt)dt
β) f(x) = 2 ln x −
1
x
1
t2
f
x
t
dt
γ) f(x) =
x2
− 1
2
+
x2
x
2
t
f
t
x
dt
δ) f(x) = 1 + 2x
2x2
2x
f
t
2x
dt
t2
5.484 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : [0, +∞) → R
f(1) = e και
1
0
f(xt)dt =
f(x)
x
1
0
t f (t2
x)dt = f (x) − x, για κάθε x ∈ R
f(x) =
x
1


π
2
0
f(t)συνxdx

 dt
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο R
43

α) f(x) = 2
x
1
1
0
x f(t)dx dt − x
β) f(x) = 2
x
0
e
1
t f(t) ln xdx dt
γ) f(x) = x +
x
1
π
0
f(t)ηµxdx dt
5.488 ´Εστω η συνάρτηση f : R → R η οποία έχει
συνεχή δεύτερη παράγωγο και είναι f(0) = 0 και
f (0) = 2. Αν επιπλέον για κάθε x ∈ R ισχύει:
x
0
(t2
+ 1) f (t)dt = 2
0
x
t f (t)dt − 4
1
0
xt f(x)dt
να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
5.489 Δίνεται η συνάρτηση f : −
π
2
,
π
2
f(x) =
1 + φx
2
0
dt
2t2 − 2t + 1
α) f (x) = 1, για κάθε x ∈ −
π
2
,
π
2
β)
1
0
dt
2t2 − 2t + 1
=
π
2
α)
x
−x
t2
et + 1
dt =
x3
3
β)
x
1
x
t + ln t
t2 + 1
dt = ln x, για κάθε x > 0
5.491 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R, με f (1) = 0, είναι
παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
x f
1
x
+ f (x) = x, για κάθε x > 0
x
1
x
f
1
t
dt = x −
f(x)
x
5.492 Για κάθε x ∈ R, να αποδείξετε ότι:
ex
e−x
συν (ln t)
t2 + t
dt = ηµx
5.493 Για κάθε x ∈ 0,
π
2
, να αποδείξετε ότι:
φx
1
e
t
1 + t2
dt +
σφx
1
e
1
t + t3
dt = 1
5.494 Για κάθε x ∈ (0, π), να αποδείξετε ότι:
π−x
x
t
ηµt
dt = π ln σφ
x
2
x
π
2 −x
ηµnt
ηµnt + συνnt
dt = x −
π
4
, για κάθε x ∈ 0,
π
2
α)
x
0
f(u)(x − u)du =
x
0
u
0
f(t)dt du
β)
x
0
f(u)(ηµx − ηµu)du =
x
0
συνu
u
0
f(t)dt du
γ)
x
0
t
t
0
f(u)du dt =
1
2
x
0
(x2
− u2
) f(u)du
δ)
x
0
t
0
2 f(t) f(u)du dt =
x
0
f(u)du
2
(ζʹ) FermatFermatFermat
e2x
− 1 ≥
x
0
f : R → R για την οποία ισχύει η σχέση:
αx
≥ 1 +
x
0
Να αποδείξετε ότι f(0) = ln α
1 +
x2
0
f(t)dt ≥ αx
− ηµx, για κάθε x ∈ R
Να αποδείξετε ότι α = e
5.500 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : (0, +∞) → R για
44

x
1
f(t)dt ≥ ex2
Να αποδείξετε ότι f(1) = e
1+x
1−x
f(t)dt ≥ 2x, για κάθε x ∈ R
5.502 Η συνάρτηση f : (0, 2) → R είναι συνεχής και
x
1
f(t)dt ≥ x− ln x
− ln(2 − x) − 1, για κάθε x ∈ (0, 2)
x
1
(t − 1)2
f2
(t)dt ≥ α(x − 1) + 1 − ex−1
Να αποδείξετε ότι α = 1
x2
x
f(t)dt ≥ x2
− x, για κάθε x ∈ R
(0, 1) τέτοιο ώστε f (x0) = 0
2
1
f(xt)dt ≥
2
1
f(t)dt, για κάθε x > 0
2
1
f(t)dt = 2 f(2) − f(1)
5.506 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι παραγωγίσιμη
και για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
β
α
f(t)dt ≥
β
α
f(x + t)dt
Να αποδείξετε ότι f(α) = f(β)
5.507 Η συνάρτηση f : [α, β] → R, με αβ < 0, είναι
συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και για
κάθε x ∈ [α, β] ικανοποιεί τη σχέση:
β
α
f(α + β + x − t)dt ≥
β
α
f(t)dt
(α, β) ώστε f (ξ) = 0
x
0
t
1
f(u)du dt ≥ 1 − ex
χιστον μία λύση στο (0, 1)
5.509 Η συνάρτηση f : [0, 1] → [0, +∞) είναι συνεχής
x
0
f(t)dt ≤ x ·
1
0
f
t
2
dt, για κάθε x ∈ [0, 1]
x
0
f(t)dt ≤ f
1
2
, για κάθε x ∈ [0, 1]
(ηʹ) μονοτονία-ακρότατα
(i) μελέτη μονοτονίας-ακροτάτων
f (x) < f(x), για κάθε x ∈ R
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση:
g(x) = f(x) −
x
0
5.511 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα α-
κρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις:
α) f(x) =
x4
1
dt
1 + t2
dt β) f(x) =
x
e
ln(ln t)
t
dt
γ) f(x) =
x
1
1 − ln t
t
dt
45

5.512 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα α-
κρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις:
α) f(x) = x +
0
x
tσυν(x − t)dt, με x ∈ R
β) f(x) =
1
ln 2
ext − 1
t
dt, με x > 0
γ) f(x) =
1
0
e(x−t)2
dt, με x ∈ R
5.513 ´Εστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτη-
ση f : R → R. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
g(x) =
x+1
x
f(t)dt
5.514 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρ-
τηση:
f(x) =
x+1
x
t
1
t dt, με x > e
π
2
→ R με:
f(x) =
2
1
ηµ(xt)
t
dt
Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα
5.516 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R∗ είναι παραγωγίσι-
μη με f (x) > 0, για κάθε x ≥ 0. Να αποδείξετε ότι
η συνάρτηση:
g(x) =
x
0
f3
(t)dt
x
είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +∞)
5.517 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι παραγωγίσιμη
με f (x) > 0, για κάθε x ∈ (α, β). Να αποδείξετε ότι
η συνάρτηση:
g(x) =
x
α
f(t)dt
x − α
είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β]
5.518 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρ-
τηση:
f(x) =
x
0
ext−t2
dt, με x ∈ R
f(x) = (x2
+ 1) 1 +
x
0
f(t)
t2 + 1
dt , για κάθε x ∈ R
α) Να βρείτε τον τύπο της f
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
5.520 Δίνεται η συνάρτηση f : R → R η οποία είναι
συνεχής, περιττή και γνησίως αύξουσα.
α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρ-
τηση:
F(x) =
x
α
f(t)dt, όπου α ∈ R
β) Αν ισχύει η σχέση:
β
α
f(t)dt = 0, με α β
να αποδείξετε ότι α + β = 0
5.521 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R∗ και
g(x) =
x
0
x
0
f2
(t)dt dt, με x ∈ R
Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτο-
νία
f(x) =
2
1
ηµ(xt)
t
dt, με x ∈ 0,
π
4
α) η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την f
β) η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,
π
4
(ii) εξισώσεις
f(0) = 0 και f (x) ≥ 0, για κάθε x ∈ R. Να λύσετε
την εξίσωση:
f(x)
0
t2
dt + ex
= 1
5.524 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [1, 2] → (−∞, 1).
46

x
1
f(t)dt = x2
− 3
έχει μοναδική λύση στο διάστημα (1, 2)
5.525 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → (0, 1) για
1
0
f(x)dx < 1
1 +
x
0
f(t)dt = 2x
έχει ακριβώς μία λύση στο (0, 1)
5.526 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
x
0
et2
dt = (1 − x)ex2
5.527 Αν η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής και
γνησίως φθίνουσα, να λύσετε την εξίσωση:
3x−2
x
f(t)dt = 2
x
1
f(t)dt
5.528 Η συνάρτηση f : R → [2, +∞) είναι συνεχής. Να
x2
− 5x + 1 =
x2
−5x
0
f(t)dt
έχει μία μόνο ρίζα στο (−3, 0)
είναι:
f(x) > 0 > g(x), για κάθε x ∈ [1, 2]
x
1
f(t)dt +
2
x
g(t)dt = 0
5.530 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R και ο
ϑετικός αριθμός M, ώστε για κάθε x ∈ R να ισχύει η
σχέση:
f(x) = Mx +
x
0
( f(t))2
dt
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς
μία πραγματική λύση
f(x) =
x
1
ln2
t · (3 + ln t)dt, με x > 0
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς
μία λύση στο διάστημα
1
e
, e
(iii) ανισότητες
χής. Να αποδείξετε ότι:
x
x
0
f(t)dt >
x
0
t f(t)dt, για κάθε x > 0
5.533 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
στο R και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(0) = f (0) = 0 και f (x) > 0, για κάθε x ∈ R
x
0
f(t)dt <
1
2
x f(x), για κάθε x > 0
5.534 Να αποδειξετε τις παρακάτω ανισότητες:
α)
x
1
et
t
dt > ln x, για κάθε x > 1
β)
x
e
t
ln t
dt ≥ ex − e2
, για κάθε x ≥ e
γ)
x
e
3 + ln t
2t2 + 1
dt ≤ ln x − 1, για κάθε x ≥ e
δ)
x
1
t
ln2 t + 1
dt ≥ x − 1, για κάθε x ≥ 1
ε)
2x
1
ln t
et + 1
dt ≥ 0, για κάθε x > 0
ζ)
x
1
tdt
t − ln t
>
ln2
x
2
+ x − 1, για κάθε x > 1
5.535 Οι συναρτήσεις f, g : [0, 1] → R είναι συνεχείς. Η
f έχει ελάχιστη τιμή το -1 και η g έχει μέγιστη τιμή
το 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ∈ [0, 1] ισχύει η
σχέση:
x
0
f(t)g(t)dt ≤
x
0
f(t)dt −
x
0
g(t)dt + x
47

χής. Να αποδείξετε ότι:
x2
x
0
f(t)dt >
x
0
t2
είναι f (x) > 0, για κάθε x ∈ R. Να αποδείξετε ότι:
x
1
f(t)dt ≥
1
2−x
5.538 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι συνεχής και είναι
f (x) < 0, για κάθε x ∈ (0, 1). Να αποδείξετε ότι:
x ·
1
0
f(t)dt ≤
x
0
f(t)dt, για κάθε x ∈ [0, 1]
5.539 Οι συναρτήσεις f, g : [0, +∞) → R είναι συνε-
χείς, με f(x) > 0 για κάθε x ≥ 0 και τη g γνησίως
αύξουσα στο [0, +∞). Να αποδείξετε ότι:
g(x)
x
0
f(t)dt >
x
0
g(t) f(t)dt, για κάθε x > 0
x
0
f(t)dt < f(x), για κάθε x ≥ 0
Να αποδείξετε ότι f(x) > 0, για κάθε x ≥ 0
5.541 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α, β] → R
με f (x) < 0, για κάθε x ∈ (α, β). Να αποδείξετε ότι:
α)
x
α
f(t)dt ≥ (x − α) f(x), για κάθε x ∈ [α, β]
β)
x
α
f(t)dt
x − α
≥
β
α
f(t)dt
β − α
, για κάθε x ∈ (α, β]
5.542 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R με
f (x) < 0, για κάθε x ∈ R. Να αποδείξετε ότι:
2x
2
f(t)dt >
4x−2
2x
γνησίως φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι:
β
α
x f(x)dx ≤
α + β
2
·
β
α
f(x)dx
0 ≤ f(x) ≤
x
0
5.545 Η συνάρτηση f : [0, 1] → (−∞, 0] είναι συνεχής
x
0
f(t)dt ≤ f(x), για κάθε x ∈ [0, 1]
για κάθε x ≥ 0 ικανοποιεί τη σχέση:
f(x) ≤
x
0
et
− f(t) dt +
1
2
≤
ex
2
Να αποδείξετε ότι f(x) =
ex
2
5.547 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι παραγωγίσι-
μη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(0) = 0 και 0 < f (x) < 1, για κάθε x ≥ 0
x
0
f3
(t)dt ≤
x
0
f(t)dt
2
5.548 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β]
και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β], τότε:
α) να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης:
g(x) = 2
x
α
f(t)dt − 2(x − α) f(α) − (x − α)2
f (α)
β) να αποδείξετε ότι:
β
α
f(x)dx < (β − α) f(α) +
(β − α)2
2
f (α)
5.549 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι αντιστρέψι-
μη και δύο φορές παραγωγίσιμη με f(0) = 0 και
f (x) > 0, για κάθε x > 0. Να αποδείξετε ότι για
κάθε x > 0 είναι:
f(x)
0
f−1
(t)dt >
x
0
f(t)dt
f(x) =
x
0
et(1 − t) − 1
1 − t
dt, με x ≤ 0
48

Αν α < β < 0, να αποδείξετε ότι:
α+β
2
α
f(x)dx >
β
α+β
2
f(x)dx
x
0
f(t)
t + 1
dt + f(x) ≥ 0, για κάθε x ≥ 0
x
0
f(t)
t + 1
dt ≥ 0, για κάθε x ≥ 0
(ϑʹ) κυρτότητα-σημεία καμπής
(i) μελέτη κυρτότητας-σημείων καμπής
5.552 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα ση-
μεία καμπής τις παρακάτω συναρτήσεις:
α) f(x) =
x
0
(t − 1)et
dt β) f(x) =
x
0
et
t2 + 1
dt
x f (x) + 2 f(x) > 0, για κάθε x ∈ R
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
g(x) =
x
0
x f(t)dt
είναι κυρτή στο R
5.554 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → (0, +∞).
F(x) =
x
0
(x − t) f(t)dt
f(x) =
x
0
t · συν2
(x − t)dt, με x ∈ R
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτό-
τητα
5.556 Αν η συνάρτηση f : R → R είναι συνεχής, γνησίως
αύξουσα και περιττή, να αποδείξετε ότι η συνάρτη-
ση:
F(x) =
x
0
(x − t)2
f(t)dt
είναι κυρτή
για κάθε x > 0 είναι f (x) < 0 και f (x) < 0. Να
αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
F(x) = x ·
2
0
f(x + t)dt
είναι κοίλη στο [0, +∞)
5.558 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R η οποία
για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
x
0
t · f(x − t − 1)dt = x6
+ 2x4
− x3
− 2x
Να αποδείξετε ότι η Cf δεν έχει σημεία καμπής
f(x) =
x
0
f2
(t) + et
− t dt, για κάθε x ∈ R
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μο-
νοτονία και να βρείτε το πρόσημο της
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρ-
τότητα και τα σημεία καμπής
5.560 Η συνάρτηση f : R → (0, +∞) είναι παραγωγίσι-
μη και ικανοποιεί τη σχέση:
f(x) + (x − 1) f (x) > 0, για κάθε x ∈ R
F(x) =
x
0
(t2
− 1) f(t2
)dt
έχει δύο τοπικά ακρότατα για x = x1, x = x2 και
παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής για x = x3 και
τα σημεία A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)) και Γ(x3, f(x3))
είναι συνευθειακά
5.561 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα ση-
μεία καμπής τις παρακάτω συναρτήσεις:
α) f(x) =
x
0


t2
+1
0
eu
u2 + 1
du

 dt
β) f(x) =
x
e


t2
1
ln u
u
du

 dt
49

(ii) ανισότητες
5.562 Η συνάρτηση f : R → R είναι κοίλη και είναι
f(0) = f (0) = 0. Να αποδείξετε ότι:
x
0
f(t)dt > x f(x), για κάθε x > 0
5.563 α) ´Εστω η κυρτή συνάρτηση f : [α, β] → R. Να
(β − α) · f
α + β
2
<
β
α
f(x)dx < (β − α)
f(α) + f(β)
2
β) Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι κυρτή και είναι
f(0) = 0 και f(1) = 1. Να αποδείξετε ότι:
f
1
2
<
1
0
f(x)dx <
1
2
f(x) =
2x
0
et
t2 + λ
dt, με x ∈ R και λ > 1
α) Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα
β) Αν α < β < γ, να αποδείξετε ότι:
1
β − α
·
2β
2α
et
t2 + λ
dt <
1
γ − β
·
2γ
2β
et
t2 + λ
dt
1
x
1
ext
t2
dt ≤ e(1 − x), για κάθε x > 0
6 εμβαδόν επίπεδου χωρίου
(αʹ) εμβαδόν μεταξύ Cf , x = α και x = βεμβαδόν μεταξύ Cf , x = α και x = βεμβαδόν μεταξύ Cf , x = α και x = β
6.566 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται από τη Cf και τον άξονα x x, σε κάθε
μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) f(x) = x2
(3 − x) β) f(x) = (x2
− 1)e−x
γ) f(x) = x3
− 2x2
− x + 2 δ) f(x) = x3
− 3x + 2
ε) f(x) =
x3
− 4x2
− x + 4
x2 + 2x
ζ) f(x) = x4
− 5x2
+ 4
6.567 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη Cf , τον άξονα x x και τις δοσμένες
ευθείες, σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώ-
σεις:
α) f(x) =
x + 1
x2 − 9
και x = 2
β) f(x) =
ln x
√
x
και x = e
γ) f(x) = x3
+ 2x2
− x − 2, x = −1 και x = 2
δ) f(x) = ηµx + συνx − 1, x = 0 και x = π
ε) f(x) = x + 1 +
1
x + 1
, x = 2 και x = 5
ζ) f(x) = xe−x, x = −1 και x = 1
η) f(x) = x3
− x, x = −2 και x = 2
ϑ) f(x) =
x − 1
x2 − 2x + 3
, x = 0 και x = 2
ι) f(x) =
ln3
x
x
, x = 1 και x = e
κ) f(x) =
ηµ2x
1 + συν2x
, x = 0 και x =
π
2
λ) f(x) = e−xσυνx, x = 0 και x = π
μ) f(x) =
συνx
ηµ2 + 3ηµx + 2
, x = 0 και x = π
6.568 Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να
υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλεί-
εται από τη Cf , τον άξονα x x και τις ευθείες x = 0
και x = e
α) f(x) =



x − 1
ex
, x < 1
ln2
x
x
, x ≥ 1
β) f(x) =



ex − e, x < 1
√
ln x
x
, x ≥ 1
εται από τη Cf , τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1
και x = e
α) f(x) = x −
ln x
x
β) f(x) = ln x +
1
x
− 1
f(x) =
x2
+ 4
x2
, με x ∈ R∗
α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(λ) του χωρίου
που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα x x και τις
ευθείες x = 1 και x = λ, με 0 < λ 1
50

β) Να βρείτε τα όρια: ι) lim
λ→0+
E(λ) ιι) lim
λ→+∞
E(λ)
f(x) = ηµx · ln(συνx), με x ∈ −
π
2
,
π
2
α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(α) του χωρίου
που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα x x και τις
ευθείες x = −α και x = α, με α ∈ 0,
π
2
β) Να βρείτε το όριο lim
α→ π
2
−
E(α)
6.572 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → (0, +∞) είναι παρα-
γωγίσιμη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(1) = e και
x f (x)
f(x)
= −
1
x
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται από τον άξονα x x, τη γραφική παρά-
σταση της συνάρτησης g(x) =
f(x)
x2
και τις ευθείες
x =
1
2
και x = 1
6.573 Δίνεται η συνάρτηση f : [0, 1] → R με τύπο:
f(x) =
x
0
et2
dt
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται μεταξύ της Cf , τον άξονα x x και τις ευ-
ϑείες x = 0 και x = 1
f(x) = 1 +
συνx
1 + ηµx
, με x ∈ −
π
2
,
3π
2
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται μεταξύ της Cf , τον άξονα x x και την
ευθεία x = x0, όπου x0 η ϑέση του σημείου καμπής
της Cf
(βʹ) εμβαδόν μεταξύ Cf και Cg
ρικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συ-
ναρτήσεων:
α) f(x) = −2x2
+ 3x + 6 και g(x) = x + 2
β) f(x) = x4
− 10x2
+ 7 και y = −2
γ) f(x) = −x2
+ 2x + 8 και y = 5
δ) f(x) = 4 − x2
και x − y − 2 = 0
ε) f(x) = x3
+ 5x2
− 2x − 1 και g(x) = 3x2
− x − 1
ζ) f(x) = −3x2
+ 4x και g(x) = x
η) f(x) = 2x2
+ x και g(x) = −x2
+ 3x
ϑ) f(x) = xex + 1 και g(x) = x + ex
ι) f(x) = e2x−1
− ex + 2 και g(x) = 1 + ex−1
κ) f(x) = ln x και g(x) = ln2
x
α) f(x) =
2
x2
και g(x) = 3 − x2
β) f(x) =
x + 1
x
και g(x) = −2x + 4
γ) f(x) =
1
x2
και g(x) = −4x2
+ 5
δ) f(x) =
√
x − 1 και g(x) =
x + 1
3
ε) f(x) =
1
1 + x
και g(x) =
1
1 + x2
ναρτήσεων f και g και τις δοσμένες ευθείες, σε κάθε
μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) f(x) = ex, g(x) = e−x και y = e
β) f(x) = ex, g(x) = 2x − x2
, x = 0 και x = 2
γ) f(x) = ηµx, g(x) = συνx, x = 0 και x =
π
2
δ) f(x) = x3
−2x2
+2x+3, g(x) = 3x2
−2x+3, x = −1
και x = 1
f(x) =
x2
x + 1
κλείεται από τη Cf , την πλάγια ασύμπτωτη της και
τις ευθείες x = 0 και x = 3
f(x) = x2
− αx, με α 0
της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα
x x στα σημεία O(0, 0) και Α. Αν οι εφαπτόμενες
της Cf στα σημεία O και Α τέμνονται κάθετα στο
σημείο Β, τότε να βρείτε:
α) τις τιμές του α
51

β) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη
Cf και τις εφαπτόμενες της στα σημεία O και Α
f(x) = x ln x2
+ e , με x ∈ R
α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( ) της
Cf στο σημείο O(0, 0)
ρικλείεται από τη Cf , την ευθεία ( ) και τις ευθείες
x = −1, x = 1 και y = 0
6.581 Να βρείτε την ευθεία η οποία διέρχεται από την
αρχή των αξόνων και διαιρεί το χωρίο που περικλεί-
εται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = 4x− x2
και τον άξονα x x σε δύο ισεμβαδικά
μέρη
6.582 Να βρείτε την τιμή του α ∈ R ώστε η ευθεία x = α
να χωρίζει το χωρίο που περικλείεται μεταξύ των
γραμμών y = x2
και y = 8
√
x σε δύο ισεμβαδικά
μέρη
6.583 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex. Να υπολογίσετε
το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη
Cf , τον άξονα x x, την εφαπτόμενη της Cf η οποία
διέρχεται από την αρχή των αξόνων και την ευθεία
x = −1
εται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτή-
σεων και την κοινή τους εφαπτόμενη ευθεία:
α) f(x) = 4 − x2
και g(x) = −x2
+ 8x − 20
β) f(x) = x2
και g(x) = −
√
x
f(x) = x2
+ x και g(x) = (x + 1) ln(x + 1)
α) Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ g(x), για κάθε x > 1
ρικλείεται από τη Cf , τη Cg και την ευθεία x = 1
α) f(x) = 2x+1
και g(x) = x2
+ x + 2
β) f(x) =
x2
− 1
e2 − 1
και g(x) = ln x
(γʹ) εμβαδόν χωρίου και Cf−1Cf−1Cf−1
6.587 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 + ln x, με x > 0
α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της f−1
, τον
άξονα x x και τις ευθείες x = 0 και x = e
6.588 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ηµx, με x ∈ [0, π]
ρικλείεται μεταξύ της Cf και της Cf−1
6.589 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 1, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεί-
τε το πεδίο ορισμού της f−1
ρικλείεται μεταξύ της Cf−1 , τον άξονα x x και της
ευθείας x = e
6.590 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xex2
, με x ∈ R
τε το πεδίο ορισμού της f−1
ρικλείεται μεταξύ της Cf−1 , τον άξονα x x και των
ευθειών x = 0 και x = e
7 επαναληπτικά ϑέματα
α ομάδα
f(x) =
−1
x
et
t
dt, με x < 0
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και
τα σημεία καμπής
γ) Να αποδείξετε ότι:
lim
x→−1
f(x)
x + 1
=
1
e
f(x) = 1 + x2 + λx, με x ∈ R και λ ∈ R
για την οποία ισχύει η σχέση:
52

lim
x→+∞
f(x)
x
= 1
α) Να αποδείξετε ότι λ = 0
1
0
x
f2(x)
dx
7.593 ´Εστω α > 0 και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
f(x) =
√
x + α −
√
x, με x ≥ 0
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
2α
α
dx
x2 + αx
7.594 Δίνεται η συνάρτηση f : (0, 1) → R με τύπο:
f(x) = ln
1 − x
x
γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να
ορίσετε τη συνάρτηση f−1
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρ-
τησης f−1
και τις ευθείες x = 0, y = 0 και x = 1
f(x) =



x − 1
ex
, αν x < 1
ln2
x
x
, αν x ≥ 1
β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο
x0 = 1
e
0
f(x)dx
7.596 Δίνεται η συνάρτηση f : (−∞, −2) → R με τύπο:
f(x) =
x2
+ x + 1
(x + 2)2
· ex
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf
β) Να βρείτε τις τιμές των α, β ∈ R για τις οποίες η
συνάρτηση:
F(x) =
αx + β
x + 2
· ex
είναι μία αρχική της f στο (−∞, −2)
I =
−3
−4
f(x)dx
f(x) =
2x2
− x + 2
2x2 + x + 2
νοτονία και τα ακρότατα
γ) Να αποδείξετε ότι f(x)· f(−x) = 1, για κάθε x ∈ R
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
2
−2
f2
(x) − 1
f(x)
dx
7.598 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι παραγωγίσιμη με
f(0) = 1 και ικανοποιεί τη σχέση:
0 < f (x) < f(x), για κάθε x ∈ [0, 1]
α)
1
0
f(x)dx > 0
β) η συνάρτηση g(x) = e−x f(x) είναι γνησίως φθί-
νουσα στο [0, 1]
γ) 0 <
1
0
f(x)dx < e
7.599 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι συνεχής, παρα-
γωγίσιμη στο (α, β) και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(α) = 0 και
β
α
f(x)dx = 0
Αν F είναι μια αρχική της f στο [α, β], να αποδείξετε
ότι:
α) F(α) = F(β)
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε
f(x0) = 0
γ) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε
f (ξ) = 0
53

παράγωγο και η Cf διέρχεται από τα σημεία A(1, 2)
και B(0, 3). Αν είναι:
1
0
x f (x)dx = 0
α) η εφαπτόμενη ευθεία της Cf στο σημείο
M(1, f(1)) σχηματίζει γωνία
3π
4
με τον άξονα x x
f (ξ) = f (1)
f(x) = x + α +
β2
x
, με α ∈ R και β > 0
Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ίσο με -1 και
τοπικό ελάχιστο ίσο με 3, τότε:
α) Να βρείτε τις τιμές των α, β
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που
περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την
πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ και τις ευθείες x = 1
και x = t, με t > 1
γ) Να υπολογίσετε το lim
t→+∞
E(t)
x2
1
f(t)dt = x2
α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf
στο σημείο A(1, f(1))
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και
την κυρτότητα
f(x) =



(x − 1)ex + 1
x2
, αν x 0
c, αν x = 0
α) Να βρείτε την τιμή του c ∈ R
2
1
f(x)dx
f(x) =



xex, αν x < 0
x
1 +
√
x
, αν x ≥ 0
α) Να αποδείξετε ότι f (0) = 1
f(x) ≥ ex − 1, για κάθε x ≤ 0
1
−1
f(x)dx
f(x) =
2 − ln x
x2
, με x > 0
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται από τη Cf , τον άξονα x x και τις ευθείες
x = 1 και x = e3
f(x) =
0
x
2tef(t)
f(x) = − ln x2
+ 1 , για κάθε x ∈ R
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μο-
γ) Να αποδείξετε ότι f(x) ≤ 0, για κάθε x ∈ R
f(x) =
x2
0
1
1 +
√
t + 1
dt
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
και να αποδείξετε ότι lim
x→0
f(x) = 0
γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή
δ) Να αποδείξετε ότι:
54

lim
x→0
f(x)
x2
=
1
2
f(x) =
2x
4
2t − 4
t2 + 1
dt, με x ∈ R
lim
x→2
x
2
f(t)dt
(x − 2)2
f(x) = x −
ln x
x
, με x > 0
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παρά-
στασης της f
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και
τις ευθείες y = 0, x = 1 και x = e
7.610 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → (−∞, 0) και
g(x) =
x
0
(x − t) f(t)dt, με x ∈ R
α) η g είναι κοίλη στο R
β) η g παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο x0 = 0
γ) ισχύει η σχέση:
x
0
t f(t)dt ≥ x
x
0
f(x) =
x
2
+ 2
x
1
f(t)
t
x = 1 και x = e
f(x) =
x
0
|t − 1|dt, με x ∈ [0, 3]
γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρ-
f(x) =
x
ln x
+
x
1
e
2dt
ln2 t
7.614 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → (0, +∞) είναι παρα-
γωγίσιμη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(1) = e και
x f (x)
f(x)
= −
1
x
ρικλείεται από τον άξονα x x, τη γραφική παρά-
σταση της συνάρτησης:
g(x) =
f(x)
x2
και τις ευθείες x =
1
2
και x = 1
7.615 ´Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R → R οι
οποίες για κάθε x ∈ R ικανοποιούν τη σχέση:
x+1
0
f(t)dt = xσυν(x + 1) − ηµ(x + 1) −
0
x+1
g(t)dt
Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περι-
κλείεται από τις Cf ,Cg, τον άξονα y y και την ευ-
ϑεία x =
π
2
7.616 Δίνεται η συνάρτηση f : (0, +∞) → R η οποία
έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση:
f(x) = x +
x
1
( f (t) − t2
f(t))dt, για κάθε x > 0
55

ρικλείεται από τη Cf και τις ευθείεις x = 1, x = e
και y = 4
f(x) =



xex − αe−x, x ≤ 0
x ln 1 +
1
x
, x > 0
α) Να βρείτε την τιμή του α
β) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της Cf
ρικλείεται από τη Cf , τις οριζόντιες ασύμπτωτες
της και τις ευθείες x = −1 και x = 1
f(x) =



x(ln x − 1)2
, x > 0
0, x = 0
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0
β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και
e
√
e
2 f(x)dx
f(x) =
αx − 1
ex
, με x ∈ R
η οποία παρουσιάζει καμπή στο x0 = 3
α) Να βρείτε την τιμή του α
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα
ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της
τους άξονες x x και y y
f(x) =
ex
e−x
συν(ln t)
t2 + t
dt, με x ∈ R
α) f (x) = συνx, για κάθε x ∈ R
β) f
π
2
= 1
f(x) = ln x + x − 1, με x > 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f−1
(x − 1) = x
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παρα-
στάσεων των συναρτήσεων f και f−1
f(e)
f(1)
f−1
(x)dx
2
x
1
f(t)dt = x2
− ln2
x − 1, για κάθε x > 0
x− 1
x ≥ e1−x
x = 1 και x = e
f(x) =
x
1
ln(1 + t)
t
dt
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα
γ) Να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→1
x
1
ln(1 + t)
t(x − 1)
dt
7.624 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R → (0, +∞), με συ-
νεχή δεύτερη παράγωγο, η οποία παρουσιάζει το-
πικό ακρότατο στο x0 = 2 και η γραφική της πα-
ράσταση διέρχεται από το σημείο A(0, 2). Αν ισχύει
η σχέση:
56

2
0
(x f (x) + 3 f (x))dx = 4
τότε:
α) να βρείτε την τιμή f(2)
β) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
2
0
f (x)
f2(x) + 2 f(x)
dx
γ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0, 2) τέτοιο, ώστε
να είναι f (ξ) = 1
f(x) =
x
0
4
1 + f2(t)
α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και
f3
(x) + 3 f(x) = 12x, για κάθε x ∈ R
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x
3
0
f(x)dx
7.626 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ι-
κανοποιεί τη σχέση:
x
1
f(ln t)dt = x f(ln x) − 2x3
+ 1, για κάθε x > 0
ln 2
0
ex
f (x)dx = 14
f(x) = 3e2x − 2, για κάθε x ∈ R
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την
εφαπτόμενή της στο x0 = 0 και την ευθεία x = ln 2
μη, είναι f(0) = 1 και ισχύει η σχέση:
e−x
( f (x) − f(x)) = 2 f(x) f (x), για κάθε x ∈ R
0
−1
x2
f(x)dx
γ) Να βρείτε την εφαπτόμενη της Cf , η οποία διέρ-
χεται από το σημείο M(−1, 0)
δ) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ της
συνάρτησης g(x) = x2
f(x)
f(x) =
√
x −
ln x
2
√
x
, με x > 0
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(λ) του χωρίου που
περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον
άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = λ, με λ > 0
γ) Να υπολογίστε τα όρια lim
λ→0+
E(λ) και lim
λ→+∞
E(λ)
F(x) =
x
0
f(xt)dt, με x ∈ R
α) Αν είναι F(1) = α, να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→1
F(x) − α
x − 1
β) Να αποδείξετε ότι F (0) = f(0)
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈
(−1, 1) τέτοιο, ώστε F (x0) = 0
β ομάδα
x
0
u
1
f(t)dt du + ex
− 1 ≥ 0, για κάθε x ∈ R
α)
1
0
f(t)dt = 1
x0
0
3 f(t) −
1
t + 1
dt = 1
57

γ) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε:
f(ξ) = 4ξ − 1
1
−1
x x2 + 1 · f(x)dx = f(x) −
1
x2 + 1
α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
lim
x→+∞
x+1
x
f(t)dt
7.632 Δίνεται η συνάρτηση f : [0, +∞) → R με τύπο:
f(x) = 2x + ηµx
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f−1
2
√
π
0
x · f−1
(x)dx
7.633 ´Εστω η συνάρτηση f : (0, +∞) → R με τύπο:
f(x) =
x
1
(t − 1)et + 1
t2
dt
f(x) =
ex − 1
x
+ 1 − e, για κάθε x > 0
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 και να μελετή-
σετε την f ως προς τα πρόσημα
δ) Να υπολογίσετε το όριο lim
x→0+
f(x)
f(x) = ex − x − 1
ι) 1 − x2
< e−x2
<
1
1 + x2
, για κάθε x 0
ιι)
2
3
<
1
0
e−x2
dx <
π
4
7.635 Η συνάρτηση f : R → R είναι δύο φορές παρα-
γωγίσιμη, με f (x) < 0, για κάθε x ∈ R. Θεωρούμε
g(x) =
x
4−x
α) Να λύσετε την εξίσωση g (x) = 0
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κυρ-
2
3
1
f(x)dx >
4
0
f(x)dx
f(x)
0
et
+ 1 dt = x − 1, για κάθε x ∈ R
νοτονία
ι) η f είναι κοίλη στο R
ιι) για κάθε x > 1 ισχύει η σχέση:
(x − 1) f (x) < f(x) <
x − 1
2
f(x) = ln
2x − 1
x − 1
+ x
γ) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο
+∞
ρικλείεται από την Cf , την πλάγια ασύμπτωτη στο
+∞ και τις ευθείες x =
3
2
και x = 2
f(x) = ex
+ x2
1
0
tηµ2
(tx)dt, με x ∈ R
κλείεται από τη Cf , τους άξονες x x και y y και την
ευθεία x =
π
4
58

7.639 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → (0, +∞) είναι συνε-
f(x) = 2 +
x
1
f(t)
t
κλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτη-
σης:
F(x) =
x
1
f(t)dt
τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = e
την οποία ισχύουν:
f(0) = 0 και f (x) = e−f(x)(ex − 1), για κάθε x ∈ R
ι) ex > x, για κάθε x ∈ R
ιι) f(x) = ln(ex − x), για κάθε x ∈ R
1
0
e−x
f (x)ef(x)
dx
7.641 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R − {1} → R με τύπο:
f(x) =
x
1
t2
t4 + 1
dt
x − 1
α) f(0) = f(−1)
β) lim
x→1
f(x) =
√
2
2
γ) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (−1, 0) τέτοιο, ώ-
στε:
f(x0) =
x2
0
x4
0
+ 1
f(x) =
x
0
1
1 + 4t2
dt, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
I =
x
0
1
2t + 1
dt, με x > 0
γ) Να αποδείξετε ότι lim
x→+∞
f(x) = +∞
f(x) =
x
1
et
t
dt, με x > 0
α) Να λύσετε την ανίσωση ln x ≤ f(x)
β) Αν α > 0, να αποδείξετε ότι για κάθε x ≥ 1 ισχύει
η σχέση:
eα
·
x
1
et
t + α
dt = f(x + α) − f(1 + α)
7.644 ´Εστω n ∈ N∗ − {1} και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
f(x) = n
√
x, με x ≥ 0
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ( ) της
Cf στο σημείο της M(x0, f(x0)), με x0 > 0
γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που
περικλείεται από τη Cf , την εφαπτόμενη ( ) και
τον άξονα y y δίνεται από τη σχέση:
E =
n − 1
2n(n + 1)
· x0 f(x0)
f(x) =



αx + β, αν x ≤ 0
(x − 1)ex + 1
x2
, αν x > 0
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε:
α) να βρείτε τις τιμές των α, β ∈ R
β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
γ) να λύσετε την εξίσωση f(x) = 1
δ) να αποδείξετε ότι:
lim
x→0+
1
x
f(t)dt = e − 2
7.646 Η συνάρτηση f : [1, +∞) → R έχει συνεχή παρά-
γωγο και ικανοποιεί τη σχέση:
59

1 < f (x) < 1 +
1
x
α) για κάθε x ≥ 1 ισχύει η σχέση:
x − 1 + f(1) ≤ f(x) ≤ x − 1 + ln x + f(1)
β) lim
x→+∞
f(x) = +∞ και lim
x→+∞
f(x)
x
= 1
γ) lim
x→+∞
1
x
·
x+1
x
f(t)dt = 1
f(x) =
x
0
et
t2 + 2
dt, με x ∈ R
α) η f είναι κυρτή στο R
β) η εξίσωση:
2ex = x2
+ 2
έχει μοναδική λύση τη x = 0
γ) αν είναι 0 ≤ α < β, τότε είναι:
β
α
et
t2 + 2
dt ≥
β − α
2
f(x) =
x
1
et2
dt, με x ∈ R
α) Να υπολογίσετε το lim
x→+∞
f(x)
την κυρτότητα
γ) Να βρείτε την εφαπτόμενη της Cf στο x0 = 1
1
0
f(t)dt =
1 − e
2
ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται από τη Cf , την εφαπτόμενη στο x0 = 1
και τον άξονα y y
στο R και είναι f (x) > 0, για κάθε x ∈ R.
α) Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα
σημεία καμπής τη συνάρτηση:
g(x) =
x
2−x
4
3
4
1
4
f(2x)dx <
2
0
f(x)dx
f(x) =
x
1
ln(1 + t2
)
t
dt, με x ≥ 1
δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf
f(x) =
2x
x
1
t2 + 8
dt, με x ∈ R
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
γ) Να υπολογίσετε το όριο lim
x→+∞
(x f(x))
3x2
+
4
x2
x2
x
t f
t
x
dt = 2x2
ln x + 4x, για κάθε x > 0
f(x) = ln x +
1
x
− 1, με x > 0
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf
στο σημείο καμπής της
7.653 ´Εστω λ ≥ 0 και η συνεχής συνάρτηση f : R → R
f(x) =
x
0
λ( f(t))2
+ et2
60

το πρόσημο
γ) Να λύσετε την ανίσωση:
f(x) < 2028 · f
x
2028
7.654 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι δύο φορές πα-
ραγωγίσιμη και είναι:
f(0) = f(1) = 0 και f (x) < 0, για κάθε x ∈ [0, 1]
α) ισχύουν οι σχέσεις:
ι) f(x) > 0, για κάθε x ∈ (0, 1)
ιι)
1
0
f(x)dx > 0
f (x) = x ·
1
0
f(t)dt
f(x) = (x + 2)e1−2x, με x ∈ R
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν μεταξύ της Cf , τον
άξονα x x και τις ευθείες x = 0 και x = 1
δ) Αν α > β > 0, να αποδείξετε ότι:
β + 2
α + 2
> eβ−α
ε) Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα
σημεία καμπής τη συνάρτηση:
G(x) =
x
1
x f(t)dt, με x ∈ R
7.656 Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : R → R με
f(0) = 1 και για την οποία ισχύει η σχέση:
2 f(x) + f( f(x)) = 2 − x, για κάθε x ∈ R
ι) η f είναι αντιστρέψιμη
ιι) υπάρχει x0 ∈ (0, 1) ώστε f(x0) = x0
ιιι) f
1
2
=
1
2
β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε
ότι:
ι) υπάρχει ξ ∈ (0, 1) τέτοιο ώστε f (ξ) = −1
ιι) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R
ιιι)
1
0
f(x)dx =
1
2
f(x) =
2
ex + 2
, με x ∈ R
|f (x)| ≤
1
2
|f(β) − f(α)| ≤
1
2
|β − α|, για κάθε α, β ∈ R
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(λ) του χωρίου που
περικλείεται από τη Cf , τους άξονες x x και y y και
την ευθεία x = λ > 0
λ→+∞
E(λ)
7.658 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : (0, +∞) → R, για
ln x ≤ f(x) ≤ x − 1, για κάθε x > 0
α) f (1) = 1
β) lim
x→1
2
x
1
f(t)dt + x2
+ 1 − 2ex−1
(x − 1)2
= 1
γ) η εξίσωση:
2 + 2
x
1
f(t)dt = 2 ln x + x2
έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (1, e)
f(x) =
x
0
e−t2
dt, με x ∈ R
61

ι) η f είναι περιττή ιι) f(x) < x, για κάθε x > 0
7.660 Η συνάρτηση f : R → (0, +∞) με f(0) = 1 είναι
παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
f (x) + (2x − 2) f(x) = 0, για κάθε x ∈ R
α) f(x) = e2x−x2
, με x ∈ R
β) 1 + 2x − x2
≤ f(x) ≤ e, για κάθε x ∈ R
γ) η συνάρτηση:
G(x) =
1
12
x4
−
1
3
x3
−
1
2
x2
+
x
0
(x − t)e2t−t2
dt
δ) G(x) < xG(1), για κάθε x ∈ (0, 1)
7.661 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ικανο-
f(x) = x2
+
x
0
(x − t) f(t)dt, για κάθε x ∈ R
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον
άξονα x x και τις ευθείες x = −1 και x = 1
f(x) =
x
x + 1
− 2 ln(x + 1), με x > −1
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της
β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
ln (x + 1)x+1
=
x
2
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους
άξονες x x και y y και την ευθεία x = 1
7.663 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : (0, +∞) → R, με
f (1) = 1, για την οποία ισχύει η σχέση:
f(xy) = x f(y) + yf(x), για κάθε x, y > 0
f (x) = 1 +
f(x)
x
β) Να βρείτε τον τύπο της f
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2 f(x) = x2
− 1
άξονα x x και την ευθεία x = e−1
7.664 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : R → R με τύπους:
f(x) =
x
0
1
√
9 + t2
dt και g(x) = ln x + 9 + x2
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
g(x) = f(x) + ln 3, για κάθε x ∈ R
7.665 Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση
f : R → R, με f(0) = 1, f (0) = 0 και η οποία
f (x) = 2x f (x) + 2 f(x), για κάθε x ∈ R
β) Αν α ∈ R και ν ∈ N∗, ώστε
1
−1
x2011
( f(x) + αxν
)dx = 2,
να αποδείξετε ότι το ν είναι περιττός και α ≥ 2013
7.666 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει:
1
0
f(t)dt =
2
1
f(t)dt
α)
1
0
f(t)dt =
1
2
2
0
f(t)dt
β) η συνάρτηση:
g(x) =
1
x
x
0
f(t)dt
f(ξ) =
1
0
f(ξt)dt
62

7.667 ´Εστω η συνάρτηση f : (0, +∞) → R, για την
οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(1) = −1 και f (x) =
ln x
x2
f(x) = −
1 + ln x
x
β) Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ −1, για κάθε x > 0
δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παρά-
ρικλείεται από τη Cf , τον άξονα x x και την ευθεία
x = e
f(x) =
1 − x ln x
xex
, με x > 0
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf
β) Να βρείτε την τιμή του λ, για την οποία η συ-
νάρτηση:
g(x) =
λ ln x
ex
είναι αρχική της f
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που
περικλείεται από τη Cf , την οριζόντια ασύμπτωτη
της Cf και τις ευθείες x = 2 και x = t, με t > 2
t→+∞
E(t)
7.669 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R είναι παραγωγίσι-
μη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(1) = e−1
και x2
f (x) = f(x), για κάθε x > 0
α) Η συνάρτηση:
g(x) = f(x)e
1
x
είναι σταθερή στο (0, +∞)
2
1
f(x)
x3
dx
7.670 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R, η ο-
ποία ικανοποιεί τη σχέση:
1
0
f(x)dx = e
g(x) =
x
0
f(t)dt − xex
f(x0) = (1 + x0)ex0
γ) αν είναι f(0) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα
ξ ∈ (0, x0) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξeξ
7.671 ´Εστω οι συναρτήσεις:
f(x) =
1
1 + x2
και G(x) =
x
0
G(−x) = −G(x), για κάθε x ∈ R
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση:
H(x) = G(x) + G
1
x
με x > 0
ι) η Η είναι σταθερή
ιι) H(x) = 2G(1) και G(1) > 0
7.672 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R, για την
f(x) =
x
−x
1 + t2
1 + ef(t)
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
μη και ικανοποιεί τη σχέση:
63

ln f(x) + ef(x) = x, για κάθε x ∈ R
να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
β) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x) = 1 και f(x) = e
γ) Να υπολογίσετε τό άθροισμα:
I =
e
1
f−1
(x)dx +
ee+1
e
f(x)dx
7.674 Δίνεται η συνάρτηση f : R → R, για την οποία
ισχύει η σχέση:
f(x) =
x
−x
et + συνt
1 + et
dt
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση f−1
και
να βρείτε το πεδίο ορισμού της
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση των f και
f−1
και των ευθειών x = 0 και x = π
7.675 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ι-
κανοποιεί τη σχέση:
f(x) + f (x) =
2
0
f(x)dx, για κάθε x ∈ R
β) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της Cf , όταν
x → ∞
ρικλείεται από τη Cf , την παραπάνω ασύμπτωτη
και τις ευθείες x = 0 και x = 2
7.676 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R, για
f(0) = 1 και x f (x) > 0, για κάθε x 0
α) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστη τιμή το 1
β) Αν για κάθε x ∈ R ισχύει η σχέση:
f (x) =
x
0
f(t)
f(t) + f(x − t)
dt
τότε:
ι) Να αποδείξετε ότι f(x) =
x2
4
+ 1, x ∈ R
ιι) Να υπολογίσετε το όριο lim
x→−∞
f(x)
xn
, με n ∈ N
μη και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
g(x) =
x
1
f(t)
f(x)
dt
α) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g
β) Να βρείτε την εφαπτόμενη της Cg στο σημείο
τομής της με τον άξονα x x
γ) Αν f (x) < 0, για κάθε x ∈ R, να αποδείξετε ότι:
f(x) +
x
1
f(t)dt ≥ x f(x), για κάθε x ∈ R
7.678 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0, +∞) και
f(x) =
x2
− 1
2
+
x2
x
2
t
f
t
x
α) Να αποδείξετε οτι η f είναι παραγωγίσιμη στο
(0, +∞) και να βρείτε την παράγωγο της f
β) Να βρείτε τον τύπο της f και το lim
x→0+
f(x)
x = e και x =
1
e
f(x) =
ex
x
, με x 0
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 7 έχει ακρι-
βώς δύο ρίζες στο (0, +∞)
7
1
ex(x − 1)
x2
dx
7.680 Οι συναρτήσεις f και g έχουν συνεχή παράγωγο
στο R και για κάθε x ∈ R ισχύουν οι σχέσεις:
f (x) > 0 και g (x) = x
x
1
f (xt)dt
g (x) = f(x2
) − f(x), για κάθε x ∈ R
64

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μο-
νοτονία
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈
f (ξ2
) =
f (ξ)
2ξ
7.681 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R∗ με
f (x) < 0 για κάθε x ∈ R και η ευθεία y = 1 είναι
οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Θεωρούμε τη
συνάρτηση:
G(x) =
x
1
f(t)
f(x)
dt, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι f(x) > 0, για κάθε x ∈ R
β) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της G
γ) Να βρείτε την εφαπτόμενη της G στο σημείο
M(1,G(1))
f(x) +
x
1
f(t)dt ≥ x f(x), για κάθε x ∈ R
ε) Να υπολογίσετε το όριο: lim
x→+∞
x+1
x
f(t)
f(x)
dt
f(x) =
1
1 + ex
, με x ∈ R
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία
β) Να υπολογίσετε τα όρια:
ι) lim
x→0
1
x
x
0
f(t)dt ιι) lim
x→+∞
x+1
x
f(t)dt
x
−x
f(t)dt = x, για κάθε x ∈ R
7.683 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R είναι παραγωγίσι-
μη και για κάθε x > 0 ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(x) + f
1
x
= 1 και f (x) + f
1
x
= −2x f(x)
f(x) =
1
1 + x2
1
x2
f
1
x
= f(x), για κάθε x > 0
γ) Να βρείτε την ευθεία x = x0, η οποία χωρίζει το
χωρίο που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα x x
και τις ευθείες x =
1
α
και x = α, με α > 1, σε δύο
ισεμβαδικά χωρία.
f(x) =
x+1
x
et2
−2tx+2x2
dt, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ 0, για κάθε x ∈ R
1
0
f(x)dx = f2
(0)
γ) Να βρείτε κάθε τιμή του x0 ∈ R, ώστε η εφαπτό-
μενη της Cf στο x0, να διέρχεται από την αρχή των
αξόνων
δ) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρ-
τηση:
g(x) =
x+1
x
f(t)dt
f(x) = 1 +
2x
x
f(t − x)dt, για κάθε x ∈ R
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή
γ) Αν α < β < γ, να αποδείξετε ότι:
f(β) − f(α)
β − α
<
f(γ) − f(β)
γ − β
δ) Να βρείτε την ευθεία x = x0, η οποία χωρίζει το
χωρίο που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα x x
και τις ευθείες x = 0 και x = 1 σε δύο ισεμβαδικά
μέρη
7.686 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R, με
f(0) = 3 και f(1) = 5, η οποία για κάθε x ∈ R
f (x) = 2 + f(c)
x
0
et f(t)
dt, όπου c ∈ R σταθερά
65

α) Να βρείτε:
ι) τον τύπο της f
ιι) την σταθερά c
β) Αν για τη συνάρτηση g : R → R ισχύει:
f ◦ g = g ◦ f, για κάθε x ∈ R
να αποδείξετε ότι η Cf διέρχεται από σταθερό ση-
μείο, ανεξάρτητο από τον τύπο της g
7.687 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R, η οποία
f(x) = 2
x
0
te− f(t)
|f(β) − f(α)| ≤ |β − α|, για κάθε α, β ∈ R
δ) Να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0+
f(x)
xn
, με n ∈ N∗
f(x) =



ex − 1
x
, x < 0
1, x = 0
1 + x2
ln x, x > 0
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 0
β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο
x0 = 0
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και
e
1
f(x)dx
f(x) =
αx2
+ 2x + β
x2 + 1
, με x ∈ R
η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για x = 1
και η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη
στο +∞ την ευθεία y = 3
α) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β ∈ R
β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία καμπής της Cf είναι
συνευθειακά
τις ευθείες y = 3, x = −1 και x = 2
7.690 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0, +∞)
με f(1) = 2 και f(x) > 0, για κάθε x > 0. Επίσης
είναι:
f (x) + f(x2
) = 2x2
+ 2, για κάθε x ≥ 0
α) Να αποδείξετε ότι f(0) ≥ 0
1
0
f(x)dx
f(x) =
ln x
x2
, με x > 0
β) Να αποδείξετε ότι x2
≥ 2e · ln x, για κάθε x > 0
γ) Αν E(λ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που πε-
άξονα x x και την ευθεία x = λ, με λ > 0, να υπο-
λογίσετε τα όρια lim
λ→0+
E(λ) και lim
λ→+∞
E(λ)
f(x) = x2 − 4x + 3
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παρά-
5
4
ln f(x)dx
f(x) = ln x +
1
x
− e + 1, με x > 0
α) Αν 0 < x < 1, να αποδείξετε ότι:
66

f(x) ≥ 0 ⇔ x ≤
1
e
τησης g(x) = ex f(x) και τις ευθείες με εξισώσεις
x =
1
4
, x =
1
e
και y = 0
f(x) = −x + ln(1 − x)
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
άξονα x x και την ευθεία x = −1
f(x) =
ln x
x
−
x2
2
+ 2
β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
2 ln x = x3
+ x(2α − 4), όπου α ∈ R
lim
x→+∞
x
1
f(t)dt
f(x) =



συν2
(πx), 0 ≤ x ≤ 1
α −
ln x
x
, x > 1
α) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(λ) του χωρίου που
άξονα x x και τις ευθείες x = 0 και x = λ, με λ > 1
λ→+∞
E(λ)
7.697 Δίνεται η συνάρτηση f : [0, +∞) → R, για την
οποία είναι:
f(0) = 1 και 2x < f (x) < ex, για κάθε x > 0
x2
+ 1 < f(x) < ex, για κάθε x > 0
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2x2
, έχει
τουλάχιστον μία λύση στο (1, 2)
δ) Αν E(Ω) είναι το εμβαδόν του χωρίου που πε-
άξονα x x και τις ευθείες x = 0 και x = 1, να απο-
4
3
< E(Ω) < e − 1
7.698 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R,
για την οποία ισχύουν:
f(0) = 1 και f (x) f(−x) = x, για κάθε x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι f(x) > 0, για κάθε x ∈ R
g(x) =
f(−x)
f(x)
είναι σταθερή
γ) Να αποδείξετε ότι f(x) = x2 + 1, για κάθε x ∈ R
δ) Να λύσετε την εξίσωση:
f(3x) + f(2001x) = f(5x) + f(2006x)
ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση:
F(x) =
x
1
f(t)dt
κλείεται από τη CF και τους άξονες x x και y y
7.699 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [1, +∞) → R, για
f(x) = x − 1 −
x
1
f(xt)
t
dt, για κάθε x ≥ 1
α) Να αποδείξετε ότι f(x) = x ln x, για κάθε x ≥ 1
να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ( ) της Cf
στο σημείο x0 = e
ρικλείεται από τη Cf , τον άξονα x x και την ευθεία
( )
67

7.700 Η συνάρτηση f : (1, +∞) → R με f(2) = 2
√
e
είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
ln f
1
x
= x + ln(1 − x), για κάθε x ∈ (0, 1)
β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτόμενη της
Cf , η οποία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf
lim
x→+∞
x+1
x
( f(t) − t)dt = 1
F(x) =
x
1
etx
t
dt, με x > 0
α) Να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→1
F(x)
x − 1
ex ln x ≤ F(x) ≤ ln x, για κάθε x > 0
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παρά-
στασης της F
f(x) =



1 + xex, x ≤ 0
ex − 1
x
, x > 0
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι
κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της Cf
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf
δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλεί-
εται από τη Cf , την ασύμπτωτή της, του άξονα y y
και της ευθείας x = x0, όπου x0 η ϑέση του τοπικού
ελαχίστου της f
f(x) = x − ln x + ex, με x ≥ 1
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
στο διάστημα [1, +∞)
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
f(x + ex) = f(ln x + 2029)
έχει μοναδική ρίζα στο [1, +∞)
δ) Να υπολογίσετε την παράσταση:
e
1
f(x)dx +
ee+e−1
1+e
f−1
(x)dx
7.704 Δίνεται η συνάρτηση f : R → R, με τύπο:
f(x) =



xηµx
ex − 1
, x 0
0, x = 0
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παρά-
γ) Αν g(x) = ex f(x), τότε:
ι) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τις Cf ,Cg και τις ευθείες x = 0
και x = π
ιι) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
I =
π
−π
g(x)dx
7.705 ´Εστω η συνάρτηση f : [0, +∞) → R, με τύπο:
f(x) = 2x + ex
|f(α) − f(β)| ≥ 3|α − β|, για κάθε α, β ∈ [0, +∞)
e+2
1
f−1
(x)dx = 2
γ) Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρ-
τησης g : [0, +∞) → R, με g(0) = −
3
2
και για την
g(x) + g (x) = f(x), για κάθε x ∈ [0, +∞)
68

7.706 α) ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R, για
f(x) + f(1 − x) = λ, για κάθε x ∈ [0, 1]
1
0
f(x)dx = f
1
2
=
f(0) + f(1)
2
β) Δίνεται η συνάρτηση:
f(x) =
x2020
x2020 + (1 − x)2020
1
0
f(x)dx
η οποία είναι γνησίως φθίνουσα, κοίλη στο R και
είναι:
lim
x→0
f(x)
x
= 2010
g(x) =
x+1
x
α) Να αποδείξετε ότι η g είναι ῾῾1-1᾿᾿ και κοίλη στο
R
β) Να λύσετε την εξίσωση:
x2
+2011
x2+2010
f(t)dt +
2011
2012
f(t)dt = 0
lim
x→0
f(x) − f(ηµx)
x
7.708 Η συνάρτηση f : (−1, +∞) → R είναι συνεχής και
για κάθε x > −1 ικανοποιεί τη σχέση:
x
0
(1 + t) f(t)dt = x2
+
1
0
3x(2t + 3t2
)dt
γ) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της
f στο [1, 3]
6e <
3
1
et
f(t)dt < 8e3
7.709 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (0, +∞) → R,
f(x) = 2(1 − x) + 2
x
1
t
1
ef(u)
du dt
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να
βρείτε την εφαπτόμενη της Cf στο σημείο M(1, f(1))
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
g(x) = (f (x))2
− 4ef(x)
δ) Να βρείτε τον τύπο της f
ε) Να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0+
( f(x) + f (x))
7.710 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 2], δύο φορές
παραγωγίσιμη στο (0, 2), είναι f(1) = 1, f (1) = 0
( f (x))2
+ f(x) f (x) = −1, για κάθε x ∈ (0, 2)
ι) f(x) > 0, για κάθε x ∈ (0, 2)
ιι) f(x) = 2x − x2, για κάθε x ∈ [0, 2]
2
0
f(x)dx
7.711 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και έ-
στω F μια αρχική της, για την οποία ισχύει:
F(x) −
x
0
F(t)dt = 1 + (x − 1)ex
α) Αν h(x) = x + e−x
+ e−x
x
0
F(t)dt, να αποδείξετε
ότι:
h (x) = x, για κάθε x ∈ R
γ) Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και
69

lim
x→−∞
x
0
F(t)dt
f(x) =
x
0
1 + f2(t)dt, για κάθε x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παρα-
γωγίσιμη και να εκφράσετε την f συναρτήσει της
f
β) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις
g(x) = (f(x)+ f (x))e−x
και h(x) = (f(x)− f (x))ex
είναι σταθερές στο R και να βρείτε τους τύπους των
g και h
γ) Να βρείτε τον τύπο της f
δ) ´Ενα σημείο κινείται πάνω στη γραφική παρά-
σταση της f. Τη χρονική στιγμή t0 > 0 που διέρχεται
από το σημείο A(ln 10, k) η τετμημένη του μειώνεται
με ρυθμό 20µ/s. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της
τεταγμένης του σημείου, τη χρονική στιγμή t0
7.713 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → (0, +∞) και
ο ακέραιος αριθμός α, ώστε να είναι:
f(x) = α +
x
2−x
ex f(t)
f(t) + f(2 − t)
Να βρείτε:
α) την f συναρτήσει της f
β) τον τύπο της f
γ) την μικρότερη τιμή του α
y
x
ex
f(t)dt ≤ 2y2
− 2xy, για κάθε x, y ∈ R
β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση g :
R → R, ώστε να ισχύει f(g(x)) = e2
7.715 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R, ώστε να
ισχύει:
f(x) = 3x + 4 −
x
0
y
0
f(t)dt dy, για κάθε x ∈ R
α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R
β) f(x) = 3ηµx + 4συνx, για κάθε x ∈ R
γ) αν x0 ∈
π
2
, π και ∈ R ώστε να είναι:
lim
x→x0
f(x)
x − x0
=
να αποδείξετε ότι = −5
με f(β) = 2 f(α) και η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
f (x) = 2 f2
(x) − 4 f(x) + 4, για κάθε x ∈ [α, β]
ι) f(α) > 0
ιι)
β
α
f(x)dx < ln 2
β) Αν f(α) > 1, να αποδείξετε ότι:
ι) η f είναι κυρτή στο [α, β]
ιι) η Cf δεν έχει τρία συνευθειακά σημεία
7.717 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R, ώστε
f(0) = 1 και η οποία για κάθε x, y ∈ R ικανοποιεί
τη σχέση:
f(x + y) − f(x − y) = −2ηµy
x
0
f(t)dt
α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R
β) f (x) = −f(x), για κάθε x ∈ R
g(x) = (f(x) − συνx)2
+ ( f (x) + ηµx)2
είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της f
7.718 ´Εστω η συνάρτηση f : R → R, ώστε για κάθε
x ∈ R να ισχύουν οι σχέσεις:
f(x) > 0 και f(x) + ln f(x) = x
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει μονα-
δική λύση τη x = 1
γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε:
ι) να εκφράσετε την f συναρτήσει της f
ιι) να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο R
ιιι) να αποδείξετε ότι:
70

1
0
f(x)dx ≤ −
f2
(0) + 2 f(0) − 3
2
7.719 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και εί-
ναι:
f (x) <
|x|
1 + |x|
Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ R τέτοιο, ώστε:
f(x0) = x0
7.720 ´Εστω η συνάρτηση f : [0, +∞) → R, για την
f(x)ef(x)
= x, για κάθε x ∈ [0, +∞)
0 ≤ f(x) ≤ x, για κάθε x ≥ 0
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής και παρα-
γωγίσιμη στο 0
γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [0, +∞), να απο-
1
0
1
1 + f(x)
dx = ef(1)
− 1
7.721 Δίνεται η συνάρτηση f : [1, +∞) → R, με τύπο:
f(x) =
1
0
e−t
tx−1
dt
α) f(x) > 0, για κάθε x ≥ 1
β) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [1, +∞)
γ) f(x + 1) = x f(x) −
1
e
f(x) =
x4
x2
e
√
t
t
dt
β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης:
g(x) = x f (x)
lim
x→0+
x f (x) − 2
x
γ ομάδα
7.723 Αν κ > 1, να αποδείξετε ότι:
α)
1
0
xκ
x + 1
dx ≤
1
κ + 1
β) lim
κ→+∞
1
0
xκ + x
x + 1
= 1 − ln 2
7.724 Οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι παραγωγίσιμες
και ικανοποιούν τις σχέσεις:
1
0
f(x)dx =
1
0
g(x)dx και
x
0
f(t)dt +
1−x
1
g(t)dt ≥ x2
− x, για κάθε x ∈ R
α) η εξίσωση f(x) = g(x) έχει τουλάχιστον μία ρίζα
στο (0, 1)
β) f(0) + f(1) = g(0) + g(1)
γ) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ1 ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε:
f(ξ1) = g(1 − ξ1)
δ) υπάρχει τουλάχιστον ένα x2 ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε:
f (ξ2) + g (1 − ξ2) = 2
x
0
f(t)dt >
1
x
f(t)dt, για κάθε x ∈ R − {0, 1}
α)
1
0
f(t)dt = 0
β) f(0) = f(1) = 0
f(x)
1
x
f(t)dt = f(x) f (x)
7.726 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη και είναι f(0) = 0 και f (x) > 0, για
κάθε x > 0
71

1
x
· f(x) < f (x), για κάθε x > 0
F(t) =
t
2
f(x)
x
dx, με t > 0
είναι κυρτή
γ) Αν x1, x2 > 0, με x1 + x2 = 4, να βρείτε την ελάχι-
στη τιμή του αθροίσματος:
F(x1) + F(x2)
1 + 2
x
0
f(t)dt ≤ [ f(x)]2
F(x) = 1 + 2
x
0
f(t)dt, με x ≥ 0
έχει ελάχιστη τιμή η οποία να βρεθεί
β) f(x) ≥ x + 1, για κάθε x ≥ 0
7.728 ´Εστω α ≥ e και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
f(x) =
x
α
t
ln t
dt, με x ≥ α
α) η f είναι γνησίως αύξουσα
β) η f δεν είναι φραγμένη
f(x) =
x
0
2
1 + 3 f2(t)
ι) f3
(x) + f(x) = 2x, για κάθε x ∈ R
ιι) η f είναι αντιστρέψιμη
lim
x→+∞
f3
(x)
x
ναρτήσεων f και f−1
7.730 ´Εστω η συνάρτηση f : R → R για την οποία
( f(x))3
+ f(x) = 2x, για κάθε x ∈ R
1
0
f(x)dx
|f(x)| ≤
x
α
f(t)g(t)dt, για κάθε x ∈ [α, β]
α) υπάρχει M > 0 τέτοιο, ώστε:
|g(x)| ≤ M, για κάθε x ∈ [α, β]
|f(x)| ≤ M ·
x
α
|f(t)|dt, για κάθε x ∈ [α, β]
h(x) = e−Mx
·
x
α
|f(t)|dt
είναι φθίνουσα στο [α, β]
δ) ισχύει f(x) = 0, για κάθε x ∈ [α, β]
είναι:
1
0
f(x)dx = 0
Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις F,G : [0, 1] → R
με τύπους:
F(x) = x
x
0
f(t)dt −
x
0
t f(t)dt και
H(x) =



F(x)
x
, αν x ∈ (0, 1]
0, αν x = 0
72

α) η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο [0, 1] και
να βρείτε την F
β) η συνάρτηση H είναι συνεχής στο [0, 1]
ξ
0
x f(x)dx = 0
f(x) =
1
x2 + 2x + 2
Θεωρούμε το ολοκλήρωμα:
In =
1
0
xn
f(x)dx, με n ∈ N∗
Για κάθε n ∈ N∗, να αποδείξετε ότι:
α) In+2 + 2In+1 + 2In =
1
n + 1
β) In+1 ≤ In
γ) 5In+2 ≤
1
n + 1
≤ 5In
δ)
1
5(n + 1)
≤ In ≤
1
5(n − 1)
, με n ≥ 2
8 Ορισμένο ολοκλήρωμα και διανύσματα
8.734 Θεωρούμε τα διανύσματα α και β τα οποία για
κάθε x ≥ 0 ικανοποιούν τη σχέση:
x
0
tα + β dt =
1
2
· |xα + β|2
− 2
Να βρείτε τα μέτρα και την γωνία των α, β
8.735 Θεωρούμε τα διανύσματα α και β τα οποία για
κάθε x ≥ 0 ικανοποιούν τη σχέση:
x
0
t · tα + β dt =
1
3
x2 + 1
3
−
1
3
Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β είναι μονα-
διαία και κάθετα
9 Ορισμένο ολοκλήρωμα και μιγαδικοί
αριθμοί
9.736 ´Εστω z, w ∈ C με |z| = |w| = 1 και ϑεωρούμε τη
συνεχή συνάρτηση:
f(x) = |(x2
− x + 1)z + (x + 1)w|, με x ∈ R
Αν ισχύει η σχέση:
x
0
f(t)dt ≥
x3
3
+ 2x, για κάθε x ∈ R
α) z = w
β) f(x) = x2
9.737 Δίνεται η εξίσωση:
z2
− (ηµ2θ)z + ηµ2
θ = 0, με θ ∈ (0, π)
α) Να βρείτε τις ρίζες z1, z2 της παραπάνω εξίσωσης
I =
π
2
π
3
1
z1
+
1
z2
dθ
ράγωγο, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 = 2
ίσο με 2 και η γραφική της παράσταση διέρχεται α-
πό το σημείο M(0, 1). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο
του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει:
2
0
[x f (x) + (|z| + 1) f (x)] dx = 1
9.739 ´Εστω ο μιγαδικός αριθμός:
z(x) = (x − 2) e2x − 2 +
√
2 · i , με x ∈ [1, 2]
και ϑεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = |z(x)|
α) Να βρείτε τον μιγαδικό z(x) ο οποίος έχει το
μέγιστο μέτρο
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
γ) Να αποδείξετε ότι η Cf και η ευθεία y = x,
έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο A(x0, y0), με
x0 ∈ (1, 2)
e
0
f−1
(x)dx
73

9.740 Θεωρούμε τον μιγαδικό z και τη συνάρτηση:
f(x) =
x
1
dt
|z| + t2
, με x ∈ R
α) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Να μελετήσετε την f ως προς το πρόσημο
γ) Αν ισχύει:
f(x) ≤
x + 1 + x2
1 +
√
2
− 1, για κάθε x ∈ R
να αποδείξετε ότι |z| = 1
ρικλείεται από την Cf , τους άξονες x x και y y και
την ευθεία x = 1
9.741 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → (0, +∞)
και ο μιγαδικός z ώστε να είναι:
z = f(x) + i
x
0
f(t)dt και |z + z|2
+ |z − z|2
= 4
α) f2
(x) +
x
0
f(t)dt
2
= 1
β) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0, 1] και
είναι:
f (x) = −f(x), για κάθε x ∈ [0, 1]
g(x) = (f(x) − συνx)2
+ ( f (x) + ηµx)2
είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της f
με 0 < α < β και ϑεωρούμε τον μιγαδικό:
z =
α + if(α)
β + if(β)
Αν ο z είναι πραγματικός, να αποδείξετε ότι:
α) βf(α) = αf(β) και 0 < z < 1
f (x) =
f(x)
x
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β)
γ) υπάρχει τουλάχιστον μία εφαπτόμενη της Cf , η
οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων
δ) αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και είναι:
2
β
α
f (x)
x
dx −
β
α
f2
(x)
x3
dx = ln
β
α
να βρείτε τον τύπο της f
9.743 ´Εστω οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύουν
οι σχέσεις:
z R, z +
1
z
∈ R και |w| = 1
Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = |z + xw|, με x ∈ R.
α) Να αποδείξετε ότι |z| = 1
β) Αν Re(zw) = 0, τότε:
ι) να αποδείξετε ότι f(x) = 1 + x2
ιι) να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συ-
νάρτησης:
F(x) =
x
1
f(t)dt
και τους άξονες x x και y y
9.744 α) ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R, για την
οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(x) 0, για κάθε x ∈ R και
β
α
f(x)dx = 0
Να αποδείξετε ότι α = β
β) Αν για τον μιγαδικό z −1 ισχύει:
|z|
1
(t2026
+ et2
)dt = 0
να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός:
w =
z − 1
z + 1
είναι φανταστικός
9.745 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, με
f(1) = 0 και f (x) 0, για κάθε x ∈ R. Θεωρού-
με το μιγαδικό z με Im(z) ≥ 0 και τη συνάρτηση
g : R → R με τύπο:
74

g(x) =
x
0
|z|f(t)dt − 2x
1
0
ef(xt)
dt + 2x
α) Να αποδείξετε ότι η g είναι δύο φορές παραγω-
γίσιμη στο R και να βρείτε την g (x)
β) Αν για κάθε x ∈ R είναι g (x) ≤ 0, τότε:
ι) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του z
ιι) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού:
w =
1
2
z +
4
z
κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα που βρίσκεται στον
άξονα x x
9.746 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R και ο
μιγαδικός αριθμός:
z =
x
2
f(t)dt + i
x
1
f(t)dt
Αν για κάθε x ∈ R ισχύει η σχέση:
|z + i|2
= 2 + |z + 1|2
α)
2
1
f(t)dt = 1
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε
να είναι f(x0) = 1
9.747 ´Εστω z, w μιγαδικοί αριθμοί και ϑεωρούμε τη συ-
νάρτηση:
f(x) =
2x
0
|zt + w|dt, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο
R
β) Αν ισχύει f(x) ≥ x, για κάθε x ∈ R, να αποδείξετε
ότι:
ι) |w| =
1
2
ιι)
x
0
zt +
w
2
dt ≥
x
4
9.748 ´Εστω z ∈ C∗ και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
f(x) =
x
0
et
|z| + et
dt
α) f(1) < 1
β) η f είναι κυρτή στο R
γ) f (0) ≤
1
4
9.749 ´Εστω οι μιγαδικοί z1, z2, z3 για τους οποίους ισχύ-
ουν:
|z1| = |z2| = |z3| = 2 και z1 + z2 + z3 = 4
α)
1
z1
+
1
z2
+
1
z3
= 1
|x + z1|2
+ |x + z2|2
+ |x + z3|2
= ex
έχει ακριβώς μία λύση x0
γ)
1
0
|x(z1 + z2) + z3|dx ≤ 3
10 Τα ϑέματα προσομοίωσης της lisari teamlisari teamlisari team
(αʹ) 2015
10.750 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R είναι παραγωγί-
σιμη με f(1) = 0, f (1) = 1 και ικανοποιεί τη σχέση:
f(xy) ≤ x f(y) + yf(x), για κάθε x, y > 0
Επίσης δίνονται οι συναρτήσεις:
g(x) = f(x) − ln x, με x > 0 και
h(x) = x + 2 +
ln(1 + e−x)
x
, με x 0
f(x) = x ln x, με x > 0
β) Να βρείτε όλες τις ασύμπτωτες της γραφικής πα-
ράστασης της συνάρτησης h
γ) Αν η ευθεία y = x + 1 είναι ασύμπτωτη της γρα-
φικής παράστασης της συνάρτησης h στο −∞, να
αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτη-
σης g και η παραπάνω ευθεία, έχουν δύο ακριβώς
κοινά σημεία με τετμημένες x1, x2 για τα οποία ι-
σχύει x1x2 = 1
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈
(1, e) τέτοιο, ώστε:
75

ξ
1
f (ξ)et2
dt = (e − f(ξ))eξ2
(ϑέμα 3)
10.751 Οι συναρτήσεις f, g : [1, 2015] → R είναι συνεχείς
και ικανοποιούν τη σχέση:
2015
1
e− 1
x f2
(x)dx +
2015
1
x2
e
1
x dx =
2015
1
2x f(x)dx
Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
h(x) =
x
1
e
1
t
t3
dt και H(x) = e +
x
1
h(t)dt
οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα [1, 2015]
α) Να αποδείξετε ότι f(x) = xe
1
x , με x ∈ [1, 2015]
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρ-
τότητα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
2
2
1
h(t)dt <
3
1
h(t)dt
γ) Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο
[1, 2015], τότε:
ι) να μελετήσετε τη συνάρτηση:
G(x) =
x
1
g(t)
x − 1
dt
ως προς τη μονοτονία στο διάστημα (1, 2015]
ιι) να αποδείξετε ότι:
2014
2014
1
g(t)dt > 2013
2015
1
g(t)dt
(ϑέμα 4)
11 Τα ϑέματα προσομοίωσης ΟΕΦΕ
(αʹ) 2003
στο R, με f(0) = 0, f (0) = 2 και για κάθε x ∈ R
x
0
(t2
+ 1) f (t)dt = 2
0
x
t f (t)dt − 4
1
0
xt f(x)dt
α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι:
f(x) =
2x
x2 + 1
, με x ∈ R
β) ´Εστω E(α) το εμβαδόν του χωρίου που περικλεί-
εται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα
x x και τις ευθείες x = 0 και x = α > 0. Αν το α
μεταβάλλεται με ρυθμό
10
3
cm/sec, να βρείτε το ρυθ-
μό μεταβολής του εμβαδού E(α), τη χρονική στιγμή
κατά την οποία α = 3cm
γ) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση g για την οποία
|g(x) + x − 2| ≤ |f(x)|, για κάθε x ∈ R
ι) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = −x + 2 είναι
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g όταν
x → +∞
ιι) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την
πλάγια ασύμπτωτη της στο +∞ και τις ευθείες
x = 0 και x = 2, να αποδείξετε ότι E ≤ ln 5
(ϑέμα 4)
(βʹ) 2004
g(x) =
x
0
2
α + et
dt, με x ∈ R και α > 0
Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z = g(x)+ xi, για τον
οποίο ισχύει η σχέση:
|z + i| ≤ |z − 1|
ι) η g αντιστρέφεται
ιι) οι εικόνες του z ανήκουν στην γραφική παρά-
σταση της συνάρτησης g−1
ι) Re(z) ≤ Im(z), για κάθε x ∈ R
ιι) α = 1
ιιι)
1
1 + e2
<
2
0
1
α + et
dt −
1
0
1
α + et
dt <
1
1 + e
(ϑέμα 3)
11.754 Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R
με g(0) = 1 και για κάθε x ∈ R ικανοποιούν τις
σχέσεις:
f (x) = g2
(x) 0 και f2
(x) + g2
(x) = 1
76

ι) g (x) = −g(x) · f(x), για κάθε x ∈ R
ιι) η g είναι γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από
τα διαστήματα (−∞, 0], [0, +∞) και έχει ακρότατο
το 1
β) ι) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την
κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της
ιι) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
Cf στο σημείο της O(0, 0)
γ) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλεί-
εται από τη Cf και τις ευθείες y = x και x = 1, να
E =
1
2
+ ln(g(1))
(ϑέμα 4)
(γʹ) 2005
f(x) = 2
√
x · (ln x − 2), με x > 0
f (x) =
ln x
√
x
β) Να υπολογίσετε το lim
x→0+
f (x)
να βρείτε το σημείο της καμπής της
τησης:
g(x) =
ln x
√
x
, με x > 0
τον άξονα x x και τις ευθείες x =
1
e
και x = e2
(ϑέμα 2)
11.756 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με
f(0) =
1
2
και η οποία για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη
σχέση:
ex [ f(x) + f (x)] + ηµx = −f (x)
ι) f(x) =
συνx
1 + ex
, με x ∈ R
ιι) f(x) + f(−x) = συνx, για κάθε x ∈ R
β) Να υπολογίσετε το όριο lim
x→+∞
f(x)
I =
π
2
− π
2
f(x)dx
0 ≤
π
2
0
f(x)dx ≤
π
4
(ϑέμα 4)
(δʹ) 2006
f(x) = ex − αx − 1, με α > 1
α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γρα-
φικής παράστασης της f στο σημείο (0, f(0))
β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το
οποίο είναι αρνητικό
γ) ´Εστω E(α) το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ε-
φαπτομένη της στο σημείο (0, f(0)) και την ευθεία
x = α > 1
ι) Να αποδείξετε ότι:
E(α) = eα
−
α2
2
− α − 1
ιι) Να υπολογίσετε το όριο lim
α→+∞
E(α)
(ϑέμα 3)
11.758 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → (0, +∞)
και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
g(x) =
1
0
t f(xt)dt
α) Για κάθε x 0 ισχύει η σχέση:
g(x) =
1
x2
·
x
0
t f(t)dt
77

β) Η g είναι συνεχής στο x0 = 0
γ) Για κάθε x > 0 ισχύει η σχέση:
xg(x) <
x
0
f(t)dt
δ) Αν ισχύει:
2
1
t f(t)dt = 3
1
0
t f(t)dt
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε
2g(ξ) = f(ξ)
(ϑέμα 4)
(εʹ) 2007
g(x) =
x
0
1
1 + t2
dt, με x ∈ R
α) Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα τη συ-
νάρτηση g
x
1 + x2
≤ g(x) ≤ x, για κάθε x ≥ 0
g(x) + g(−x) = 0, για κάθε x ∈ R
δ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που
περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον
άξονα x x και τις ευθείες x = 0, x = 1 είναι:
E = g(1) −
ln 2
2
(ϑέμα 4)
(Ϛʹ) 2008
f(x) =



ηµx + λ, αν x > 0
(µ − 1)x + 1, αν x ≤ 0
α) Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η f να είναι
συνεχής
β) Να βρείτε την τιμή του µ, ώστε η f να είναι
παραγωγίσιμη στο x0 = 0
γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1
δ) Για λ = 1 και µ = 2, να υπολογίσετε το ολοκλή-
ρωμα:
π
−2
f(x)dx
(ϑέμα 2)
f(x) = e1−ex
, με x ∈ R
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μο-
νοτονία
f (x) = (ex
− 1) · e1+x−ex
και να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα
και να βρείτε το σημείο καμπής της γραφικής της
παράστασης
γ) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφι-
κής παράστασης της f
δ) Να παραστήσετε γραφικά την f
ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται
από την γραφική παράσταση της f , τους άξονες
x x, y y και την ευθεία x = ln
1
2
(ϑέμα 3)
11.762 Οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι συνεχείς και
για κάθε x ∈ R ικανοποιούν τις σχέσεις:
x
1
f(t)dt − 2 = x
x
0
g(t)dt και g(x) 0
α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0
και είναι f (0) = 2g(0)
β) g(x) < 0, για κάθε x ∈ R
γ)
x
1
f(t)dt ≤
0
1
δ) Η εξίσωση f(x) = 2g(x) + 2 έχει τουλάχιστον μια
ρίζα στο διάστημα (0, 1)
(ϑέμα 4)
78

(ζʹ) 2009
σιμη και ισχύουν οι σχέσεις:
f(1) =
1
e
και f
1
x
=
x + 1
ex
α) Να αποδείξετε ότι f(x) = xe− 1
x , με x > 0
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γρα-
φικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο με
τετμημένη 1
2
1
f(x)dx >
2
e
δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση:
g(x) =
f(x)
x3
, με x > 0
Να βρείτε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που περι-
κλείεται από τη Cg, τον άξονα x x και τις ευθείες
x = 1 και x = t με t > 1
ε) Να βρείτε το lim
t→+∞
E(t)
(ϑέμα 4)
(ηʹ) 2010
x
3
u
1
f(t)dt du ≥ 2x − 6, για κάθε x ∈ R
3
1
f(t)dt = 2
β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f στο σημείο A(0, f(0)) είναι η ευθεία 4x+y−3 = 0,
να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0
x
0
t2
f(t)dt − x3
x4
γ) Αν για κάθε x ≥ 1 είναι f (x) > 0 και ϑεωρήσουμε
h(x) =
x
1
f(t)dt
h (x) >
h(x)
x − 1
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (1, 3)
τέτοιο, ώστε f(ξ) + 3 = 2ξ
(ϑέμα 4)
(ϑʹ) 2011
f(x) = 4x3
+ 12λx2
+ (λ − 1)x, με λ ∈ R
η οποία παρουσιάζει καμπή στο x0 = −1
α) Να αποδείξετε ότι λ = 1
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι
κυρτή ή κοίλη
lim
x→−3
ηµ f(x)
f(x)
δ) Να βρείτε την αρχική συνάρτηση της f της οποί-
ας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο
(0, 1)
ρικλείεται από την γραφική παράσταση της f και
τον άξονα x x
(ϑέμα 2)
11.766 Α) Να αποδείξετε ότι ex − x ≥ 1, για κάθε x ∈ R.
Πότε ισχύει η ισότητα ex − x = 1;
Β) Η συνάρτηση f : [0, +∞) → [0, +∞) είναι συ-
νεχής και ϑεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z για τον
οποίο ισχύουν οι σχέσεις:
z =
x
0
ef(t)
dt + ix
1
0
ef(x−xt)
dt και
|z|
√
2
=
x
0
[ f(t) + et
]dt + f(α) − 1, με α > 0
α)
z
1 + i
= Re(z) = Im(z) ≥ 0, για κάθε x ≥ 0
β) ef(x) = f(x) + ex, για κάθε x ≥ 0
79

γ) η f είναι γνησίως αύξουσα
δ) η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστρο-
φή της
ε) αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, +∞),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (0, α) τέτοιο, ώ-
στε αf (ξ) = 1
(ϑέμα 4)
(ιʹ) 2012
(1 + 3α2
) f(x) = e
1
x
2t f(t)dt
, με α 0
ι) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και
είναι f (x) = −2x f2
(x), για κάθε x ∈ R
ιι) f(x) =
1
x2 + 3α2
β) Να αποδείξετε ότι η τιμή του ολοκληρώματος:
α
0
t f(t)dt
είναι ανεξάρτητη του α
γ) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη
συνάρτηση f
δ) Αν E είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται
από τους άξονες, την γραφική παράσταση της f
και την ευθεία x = α, να αποδείξετε ότι:
1
4|α|
< E <
1
3|α|
(ϑέμα 3)
στο R, με f (x) < 0 για κάθε x ∈ R και ικανοποεί
τις σχέσεις:
f(0) = 2 και lim
x→−2
f(x) − 2ex+2
x + 2
= −1
α) f (−2) = 1 και f(x) ≤ x + 4, για κάθε x ∈ R
β) η f παρουσιάζει μέγιστο σε σημείο x0 ∈ (−2, 0)
f


2(x−5)
0
f(t − x)dt

 = f (0)
έχει μοναδική λύση στο R την x = 5
δ) ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει:
f(|z + i|) ≤ f(|z| + 1)
είναι φανταστικός
(ϑέμα 4)
(ιαʹ) 2013
f(x) =



x
ex − 1
, αν x 0
ln α, αν x = 0
α) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η f να είναι
παραγωγίσιμη στο R και κατόπιν να αποδείξετε ότι
f (0) =
1
2
´Εστω α = e
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και τις ασύμ-
πτωτες της Cf , εφόσον υπάρχουν
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
2x −
x
0
1
f(t) + 1
dt =
1
2013
έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (0, 1)
(ϑέμα 3)
11.770 Δίνονται οι συναρτήσεις f,G οι οποίες είναι ο-
ρισμένες στο διάστημα [0, +∞). Η f είναι παραγω-
γίσιμη και η G είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
[0, +∞) και είναι f(0) = 1 και G(0) = 0. Επίσης
για κάθε x ≥ 0 ισχύουν οι σχέσεις:
f (x) > 0 και G (x) > 1
Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x) =
x
0
f(t)dt
α) Για κάθε x ≥ 0, να αποδείξετε ότι:
F(x) ≥ 0 και G(x) ≥ x
x→0
[F(x) ln x]
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈
80

f(ξ) ln ξ +
F(ξ)
ξ
= 0
δ) Δίνεται επιπλέον ότι για κάθε x ≥ 0 ισχύει η
σχέση:
f (x)F(x) + f2
(x) = G (x)[G(x) − x] + [G (x) − 1]2
ι) F(x) = G(x) − x, για κάθε x ≥ 0
ιι) για κάθε x0 > 0, οι εφαπτόμενες των CF,CG
στα σημεία τους B(x0, F(x0)), Γ(x0,G(x0)) αντίστοι-
χα, τέμνονται σε σημείο Α του άξονα y y και ότι το
τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισεμβαδικό με το χωρίο που πε-
ρικλείεται από τις CF,CG και την ευθεία x = x0
(ϑέμα 4)
(ιβʹ) 2014
11.771 Η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
στο R με g(2) = −2 και για κάθε x ∈ R ικανοποιεί
τη σχέση:
g (x)
0
2t2
et2
dt < g (x)e[g (x)]2
− g (x)
Επισης ισχύει η σχέση:
g(0)
−2
et2
dt ·
g(1)
−2
et2
dt < 0
α) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ ∈ (0, 1) τέτοιο, ώστε:
g(ρ) = −2 και g (ρ) < 0 < g (2)
lim
x→2−
g
x − 3
g(x) + 2
δ) Να λύσετε στο (0, +∞) την εξίσωση:
g(1 + x − x3
) = g(1) + g(x) − g(x3
)
(ϑέμα 4)
(ιγʹ) 2015
11.772 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0, +∞)
και είναι f(0) = 1. Στο [0, +∞) ορίζουμε τις συναρ-
τήσεις:
H(x) = e2x
f(x) και G(x) = ex
x
0
f(t)dt
Αν η συνάρτηση H είναι γνησίως αύξουσα, τότε:
α) να αποδείξετε ότι:
ι) η συνάρτηση G είναι κυρτή
ιι) x < G(x) < xG (x), για κάθε x > 0
ιιι) αν x0 ∈ (0, 1), τότε είναι:
1
x0
G(x)dx <
G(1) − x0G(x0)
2
β) αν είναι f (0) =
2015
3
, να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0
x
0
x f(t)dt − x2
x − ηµx
γ) για κάθε x > 0, να αποδείξετε ότι:
G(x + 1) +
x+2
x+1
G(t)dt < G(x + 2) +
x+1
x
G(t)dt
δ) αν η f είναι συνεχής στο [0, +∞) και η γραφική
παράσταση της συνάρτησης:
F(x) =
x
0
et
f (t)dt
διέρχεται από το σημείο A(1, ef(1) − 2), να αποδεί-
ξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της G, την εφαπτομέ-
νη της στο σημείο O(0,G(0)) και την ευθεία x = 1,
δίνεται από τη σχέση:
E =
2G(1) − 3
2
(ϑέμα 4, β φάση)
81

12 Τα ϑέματα των πανελλαδικών εξετάσεων
(αʹ) 2001
f(x) =



αx2
, x ≤ 3
1 − ex−3
x − 3
, x > 3
α) Αν η f είναι συνεχής, να αποδειξετε ότι α = −
1
9
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf
στο σημείο A(4, f(4))
(ημερήσια, ϑέμα 2)
12.774 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R, η οποία
για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(x) 0 και f(x) = 1 − 2x2
1
0
t f2
(xt)dt
α) Να αποδείξετε ότι f (x) = −2x f2
(x)
g(x) =
1
f(x)
− x2
γ) Να αποδείξετε ότι f(x) =
1
1 + x2
x→+∞
(x f(x)ηµ2x)
α)
1
0
(ex
+ x)dx β)
π
2
0
(2ηµx + 3συνx)dx
γ)
4
1
3x2
√
x
dx
(ημερήσια επαναληπτικές, ϑέμα 1β)
12.776 ´Εστω μια πραγματική συνάρτηση f, συνεχής στο
(0, +∞) για την οποία ισχύει η σχέση:
f(x) =
1
x
+
x
1
t f(t)
x2
(0, +∞)
β) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f
είναι:
f(x) =
1 + ln x
x
, με x > 0
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παρά-
τησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1, x = e
(ημερήσια επαναληπτικές, ϑέμα 4)
f(x) = x ln x − 2x, με x > 0
β) Να αποδείξετε ότι ln x ≥ 2 −
e
x
γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείε-
ται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f,
τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = e
(ομογενείς, ϑέμα 3)
(βʹ) 2002
η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(0) = 0 και f(x) − e−f(x)
= x − 1, για κάθε x ∈ R
α) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f
x
2
< f(x) < x f (x), για κάθε x > 0
γ) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται
από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x
και τις ευθείες x = 0, x = 1 να αποδείξετε ότι:
1
4
< E <
f(1)
2
f(x) =
ex − 1
ex + 1
, με x ∈ R
82

τε την αντίστροφη συνάρτηση f−1
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f−1
(x) = 0 έχει
μοναδική ρίζα το μηδέν
γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
1
2
− 1
2
f−1
(x)dx
12.780 ´Εστω η συνάρτηση f, ορισμένη στο R με δεύ-
τερη συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις
f(0) = 2 f (0) = 1 και επιπλέον:
f (x) f(x) + (f (x))2
= f(x) f (x), για κάθε x ∈ R
α) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f
β) Αν g είναι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού
και σύνολο τιμών το διάστημα [0,1], να δείξετε ότι
η εξίσωση:
2x −
x
0
g(t)
1 + f2(t)
dt = 1
έχει μία μοναδική λύση στο διάστημα [0, 1]
f(x) = 2x + 4 +
1
2x + 4
φικής παράστασης της f στο σημείο που τέμνει τον
άξονα y y
στασης της συνάρτησης f
τησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 0, x = 1
σιμη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(1) = 0 και x f (x) − 2 f(x) = x, για κάθε x > 0
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h(x) =
f(x)
x2
είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +∞)
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
lim
x→1
x
1
f(t)dt
ln2 x
(γʹ) 2003
12.783 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5
+ x3
+ x
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και
τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη
συνάρτηση
f(ex) ≥ f(1 + x), για κάθε x ∈ R
γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο O(0, 0) είναι ο άξο-
νας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f
και της f−1
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της f−1
, τον
άξονα x x και την ευθεία με εξίσωση x = 3
f(x) = x2 + 1 − x, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι lim
x→+∞
f(x) = 0
β) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης της f στο −∞
f (x) · x2 + 1 + f(x) = 0, για κάθε x ∈ R
1
0
1
√
x2 + 1
dx = ln(
√
2 + 1)
στο R για την οποία είναι f(0) = 0 και η f είναι
γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0, +∞)
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 υπάρχει ξ ∈
(0, x) τέτοιος ώστε f(x) = x f (ξ)
h(x) =
f(x)
x
+ ex
είναι 1-1 στο διάστημα (0, +∞)
γ) Αν h(x) = ex + x5
+ x, να υπολογίσετε το ολοκλή-
ρωμα:
e−1
1
f(x + 1)dx
83

(δʹ) 2004
12.786 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R
με f(0) = f
3
2
= 0 και ϑεωρούμε τη συνάρτηση
g(x) = ex f(x)
α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈
0,
3
2
ώστε f (ξ) = −f(ξ)
β) Αν f(x) = 2x2
− 3x, να υπολογίσετε το ολοκλή-
ρωμα:
I(α) =
0
α
g(x)dx, με α ∈ R
γ) Να υπολογίσετε το όριο lim
α→−∞
I(α)
12.787 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R με
f(1) = 1 και ο μιγαδικός z = α + βi, με α, β ∈ R∗.
g(x) =
x3
1
|z|f(t)dt − 3 z +
1
z
(x − 1), με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο
R και να βρείτε τη g
β) Να αποδείξετε ότι |z| = z +
1
z
γ) Να αποδείξετε ότι Re(z2
) = −
1
2
δ) Αν f(2) = α > 0 και f(3) = β, με α > β, να
τέτοιο, ώστε f(x0) = 0
12.788 ´Εστω m > 0 και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
f(x) = 2x + mx − 4x − 5x, με x ∈ R
α) Να βρείτε την τιμή του m για την οποία ισχύει
f(x) ≥ 0, για κάθε x ∈ R
β) Αν m = 10, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χω-
ρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
της f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 0 και x = 1
12.789 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, +∞) → R,
f(x) =
x2
2
+
1
2
0
2x f(2xt)dt
(0, +∞)
β) Να αποδείξετε ότι f(x) = ex − x − 1
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μο-
ναδική ρίζα στο [0, +∞)
δ) Να υπολογίσετε τα όρια lim
x→−∞
f(x) και
lim
x→+∞
f(x)
12.790 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (0, +∞) → R
f(x) = x2
− 1 +
1
x + 1
x
1
α) Να υπολογίσετε το f(1)
β) Να αποδείξετε ότι f (x) = 3x − 1
τησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 2 και
x = 4
(εʹ) 2005
12.791 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = eλx, με λ > 0
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης
της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται
από την αρχή των αξόνων, είναι η y = eλx και να
βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ
γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E(λ) του χωρίου,
το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παρά-
στασης της f, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ
και του άξονα y y, είναι:
E(λ) =
e − 2
2λ
λ→+∞
λ2
E(λ)
2 + ηµλ
12.792 ´Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R,
για την οποία είναι:
f(0) = 0 και 2 f (x) = ex− f(x), για κάθε x ∈ R
84

f(x) = ln
1 + ex
2
lim
x→0
x
0
f(x − t)dt
ηµx
γ) Δίνονται οι συναρτήσεις:
h(x) =
x
−x
t2005
f(t)dt και g(x) =
x2007
2007
Να αποδείξετε ότι h(x) = g(x), για κάθε x ∈ R
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
x
−x
t2005
f(t)dt =
1
2008
12.793 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R για την
lim
x→0
f(x) − x
x2
= 2005
α) Να αποδείξετε ότι f(0) = 0 και f (0) = 1
β) Να βρείτε την τιμή του λ ∈ R για την οποία είναι:
lim
x→0
x2
+ λf2
(x)
2x2 + f2(x)
= 3
γ) Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή
παράγωγο στο R και είναι f (x) > f(x) για κάθε
x ∈ R, να αποδείξετε ότι:
ι) x f(x) > 0, για κάθε x 0
ιι)
1
0
f(x)dx < f(1)
f(x) =



α + ex, αν x ≤ 0
x ln x, αν x > 0
α) Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε
η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x0 = 0
β) Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει α = −1,
τότε:
ι) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο
x0 = 0
ιι) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f
ιιι) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = e
f(x) = x − ln x + ex, με x ∈ (1, +∞)
στο διάστημα (1, +∞)
β) Να βρεθούν τα όρια:
lim
x→+∞
ln x
x
, lim
x→+∞
ex
x
και lim
x→+∞
f(x)
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2005 έχει
μοναδική λύση στο διάστημα (1, +∞)
δ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
e
2
f(x)dx +
f(e)
f(2)
f−1
(x)dx − 2 ln 2
(Ϛʹ) 2006
12.796 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2+(x−2)2
, με x ≥ 2
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρ-
τηση f−1
της f και να βρείτε τον τύπο της
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παρα-
στάσεων των συναρτήσεων f και f−1
με την ευθεία
y = x
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που πε-
ναρτήσεων f και f−1
85

12.797 ´Εστω οι μιγαδικοί αριθμοί z που ικανοποιούν
την ισότητα (4 − z)10
= z10
και η συνάρτηση f με
τύπο f(x) = x2
+ x + α, με α ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z
ανήκουν στην ευθεία x = 2
β) Αν η εφαπτομένη ( ) της γραφικής παράστα-
σης της συνάρτησης f στο σημείο τομής της με
την ευθεία x = 2 τέμνει τον άξονα y y στο σημείο
M(0, −3) τότε:
ι) να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομέ-
νης ( )
ιι) να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f, της εφαπτομένης ( ) τον άξονα x x
και της ευθείας x =
3
5
f(x) = 3 + 2
x
0
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
Φ(x) =
f(x)
e2x
β) Να αποδείξετε ότι f(x) = 3e2x
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου E(λ) που
νάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 0 και
x = λ, με λ > 0
lim
λ→0+
E(λ)
λ
(ζʹ) 2007
f(x) = x3
− 3x − 2ηµ2
θ, με θ ∈ R − κπ +
π
2
, κ ∈ Z
α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό
μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο κα-
μπής
βώς τρεις πραγματικές ρίζες
γ) Αν x1, x2 είναι οι ϑέσεις των τοπικών ακροτάτων
και x3 η ϑέση του σημείου καμπής της f, να απο-
δείξετε ότι τα σημεία A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)) και
Γ(x3, f(x3)) βρίσκονται στην ευθεία y = −2x−2ηµ2
θ
τησης f και την ευθεία y = −2x − 2ηµ2
θ
12.800 ´Εστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συ-
νάρτηση στο [0, 1] για την οποία είναι f(0) > 0.
Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [0, 1] για
την οποία είναι g(x) > 0, για κάθε x ∈ [0, 1]. Για
x ∈ [0, 1], ορίζουμε τις συναρτήσεις:
F(x) =
x
0
f(t)g(t)dt με και G(x) =
x
0
g(t)dt
α) Να αποδείξετε ότι: F(x) > 0, για κάθε x ∈ (0, 1]
f(x)G(x) > F(x), για κάθε x ∈ (0, 1]
F(x)
G(x)
≤
F(1)
G(1)
, για κάθε x ∈ (0, 1]
lim
x→0+
x
0
f(t)g(t)dt ·


x2
0
ηµt2
dt


x
0
g(t)dt · x5
f(x) =



ηµ3x
x
, x < 0
x2
+ αx + βσυνx, x ≥ 0
α) Να αποδείξετε ότι lim
x→0−
f(x) = 3
β) Αν f
π
2
= π και η f είναι συνεχής στο x0 = 0,
να αποδείξετε ότι α = β = 3
γ) Αν α = β = 3, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
86

π
0
f(x)dx
f(x) = ex − e ln x, με x > 0
στο [1, +∞)
β) Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ e, για κάθε x > 0
x2
+2
x2+1
f(t)dt =
x2
+2
x2+3
f(t)dt +
4
2
f(t)dt
έχει ακριβώς μία ρίζα στο (0, +∞)
12.803 ´Εστω f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R, για
f(0) = 2 και f (x) − f(x) = −4e−3x, για κάθε x ∈ R
h(x) = e−x f(x) − e−4x
f(x) = ex
+
1
e3x
, με x ∈ R
γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I(x) =
x
0
f(t)dt
x→+∞
I(x)
x2
(ηʹ) 2008
f(x) = (10x3
+ 3x)
2
0
f(t)dt − 45
α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 20x3
+ 6x − 45
β) Αν η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
στο R, να αποδείξετε ότι:
g (x) = lim
h→0
g (x) − g (x − h)
h
γ) Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει η σχέση:
lim
h→0
g(x + h) − 2g(x) + g(x − h)
h2
= f(x) + 45
και είναι g(0) = g (0) = 1, να αποδείξετε ότι:
ι) g(x) = x5
+ x3
+ x + 1 ιι) η g είναι 1-1
χής και ορίζουμε τις συναρτήσεις:
F(x) =
x
0
f(t)dt, x ≥ 0 και h(x) =
F(x)
x
0
t f(t)dt
, x > 0
1
0
et−1
[ f(t) + F(t)]dt = F(1)
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως
φθίνουσα στο (0, +∞)
γ) Αν h(1) = 2, να αποδείξετε ότι:
ι)
2
0
f(t)dt < 2
2
0
t f(t)dt ιι)
1
0
F(t)dt =
1
2
F(1)
f(x) =
x + ln x
x
, με x > 0
α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονο-
τονία και τα ακρότατα
x→+∞
f(x)
γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
e2
1
f(x)dx
12.807 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ηµx, με x ∈ R
α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας
στο σημείο (0, f(0)) της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f
τις ευθείες y = x και y = 1
ηµx > x −
3
2
x2
87

(ϑʹ) 2009
12.808 ´Εστω f μια συνεχής συνάρτηση στο [0, 2] για
2
0
(t − 2) f(t)dt = 0
Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
H(x) =
x
0
t f(t)dt, με x ∈ [0, 2] και
G(x) =



H(x)
x
−
x
0
f(t)dt + 3, x ∈ (0, 2]
6 lim
t→0
1 − 1 − t2
t2
, x = 0
α) Να αποδείξετε ότι η G είναι συνεχής στο [0, 2]
β) Να αποδείξετε ότι η G είναι παραγωγίσιμη στο
(0, 2) και είναι:
G (x) = −
H(x)
x2
, για κάθε x ∈ (0, 2)
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει α ∈ (0, 2) τέτοιο, ώστε
H(α) = 0
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0, α) τέτοιο, ώ-
στε:
α
ξ
0
t f(t)dt = ξ2
α
0
f(t)dt
12.809 Δίνεται η συνάρτηση f : [0, 2] → R η οποία είναι
δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f (x) − 4 f (x) + 4 f(x) = κxe2x, για κάθε x ∈ [0, 2]
και f (0) = 2 f(0), f (2) = 2 f(2) + 12e4
, f(1) = e2
όπου κ ∈ R
g(x) = 3x2
−
f (x) − 2 f(x)
e2x
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0, 2) τέτοιο, ώστε
να ισχύει:
f (ξ) + 4 f(ξ) = 6ξe2ξ + 4 f (ξ)
γ) Να αποδείξετε ότι κ = 6 και ότι ισχύει g(x) = 0,
για κάθε x ∈ [0, 2]
δ) Να αποδείξετε ότι f(x) = x3
e2x, με x ∈ [0, 2]
ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
2
1
f(x)
x2
dx
f(x) = x − 1, με x ∈ R και g(x) = ln x, με x > 0
α) Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ g(x), για κάθε x > 0
β) Αν h(x) = f(x) − g(x), τότε:
ι) Να αποδείξετε ότι 0 ≤ h(x) ≤ e − 2, για κάθε
x ∈ [1, e]
ιι) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που
νάρτησης h, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και
x = e
ιιι) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
I =
e
1
eh(x)
[h(x) + 1]h (x)dx
(ιʹ) 2010
f(x) = 2x + ln(x2
+ 1), με x ∈ R
α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρ-
τηση f
β) Να λύσετε την εξίσωση:
2(x2
− 3x + 2) = ln
(3x − 2)2
+ 1
x4 + 1
γ) Να αποδείξετε ότι η Cf έχει δύο σημεία καμπής
και ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία καμπής τέμνο-
νται σε σημείο του άξονα y y
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
1
−1
x f(x)dx
88

12.812 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R → R, η ο-
ποία για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(x) x και f(x) − x = 3 +
x
0
t
f(t) − t
dt
α) η f είναι παραγωγίσιμη στο R και είναι:
f (x) =
f(x)
f(x) − x
β) η συνάρτηση g(x) = f2
(x)−2x f(x) είναι σταθερή
στο R
γ) ο τύπος της f είναι f(x) = x + x2 + 9
δ)
x+1
x
f(t)dt <
x+2
x+1
12.813 Θεωρούμε την κυρτή και παραγωγίσιμη συνάρ-
τηση f : R → R με f(0) = 1 και f (0) = 0. Να
α) f(x) ≥ 1, για κάθε x ∈ R
β) lim
x→0
x
1
0
f(xt)dt + x3
ηµ3x
= +∞
Αν επιπλέον δίνεται ότι:
f (x) + 2x = 2x( f(x) + x2
), για κάθε x ∈ R, τότε:
γ) να αποδείξετε ότι f(x) = ex2
− x2
δ) να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρ-
τηση:
h(x) =
x+2
x
f(t)dt, με x ≥ 0
και να λύσετε στο R την ανίσωση:
x2
+2x+3
x2+2x+1
f(t)dt +
4
6
f(t)dt < 0
f(0) = 0 και f (x) = −f(x) + x, για κάθε x ∈ R
g(x) = ex
( f(x) − x + 1)
β) Να αποδείξετε ότι f(x) = e−x + x − 1, με x ∈ R
γ) Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ 0, για κάθε x ∈ R
άξονα x x και την ευθεία x = 1
(ιαʹ) 2011
12.815 ´Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R →
(0, +∞) οι οποίες για κάθε x ∈ R ικανοποιούν τις
σχέσεις:
1 − f(x)
e2x
=
−x
0
e2t
g(x + t)
dt και
1 − g(x)
e2x
=
−x
0
e2t
f(x + t)
dt
α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι πα-
ραγωγίσιμες στο R και είναι f(x) = g(x), για κάθε
x ∈ R
β) Να αποδείξετε ότι f(x) = ex, για κάθε x ∈ R
lim
x→0−
ln f(x)
f
1
x
τησης
F(x) =
x
1
f(t2
)dt
τους άξονες x x, y y και την ευθεία x = 1
12.816 Θεωρούμε την τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρ-
τηση f : R → R, με f (x) 0, για κάθε x ∈ R και
lim
x→0
f(x)
x
= 1 + f(0) και f (0) < f(1) − f(0)
φικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμη-
μένη x0 = 0
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο R
89

Αν επιπλέον g(x) = f(x) − x, με x ∈ R, τότε:
γ) Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχι-
στο και να υπολογίσετε το όριο:
lim
x→0
ηµx
xg(x)
δ) Να αποδείξετε ότι
2
0
f(x)dx > 2
ε) Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα x x
και τις ευθείες x = 0 και x = 1 είναι
E(Ω) = e −
5
2
τότε:
ι) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
1
0
f(x)dx
ιι) να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
ξ ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε:
ξ
0
f(t)dt = 2
12.817 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : (−1, +∞) → R
2
x
0
f(t)dt = ln2
(x + 1), για κάθε x > −1
f(x) =
ln(x + 1)
x + 1
, για κάθε x > −1
νοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι:
(x + 1)e
≤ ex+1
, για κάθε x > −1
άξονα x x και την ευθεία x = e − 1
δ) Με x > −1, να αποδείξετε ότι:
ι) (x + 1)2
= 2x+1
⇔ f(x) = f(1)
ιι) η εξίσωση
(x + 1)2
= 2x+1
έχει ακριβώς δύο λύσεις τις x = 1 και x = 3
(ιβʹ) 2012
f(x) = (x − 1) ln x − 1, με x > 0
να βρείτε το σύνολο τιμών της
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
xx−1
= e2013
, με x > 0
έχει ακριβώς δύο ϑετικές ρίζες
γ) Αν x1, x2 με x1 < x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης
του προηγούμενου ερωτήματος, να αποδείξετε ότι
υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (x1, x2) τέτοιο, ώστε:
f (x0) + f(x0) = 2012
τησης g(x) = f(x) + 1, με x > 0, τον άξονα x x και
την ευθεία x = e
12.819 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : (0, +∞) → R∗,
η οποία για κάθε x > 0 ικανοποιεί τις σχέσεις:
x2
−x+1
1
f(t)dt ≥
x − x2
e
και
ln x − x = −
x
1
ln t − t
f(t)
dt + e · |f(x)|
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και
ότι ισχύει:
f(x) = e−x(ln x − x), για κάθε x > 0
lim
x→0+
( f(x))2
ηµ
1
f(x)
− f(x)
γ) Με τη βοήθεια της ανισότητας ln x ≤ x − 1, που
ισχύει για κάθε x > 0, να αποδείξετε ότι η συνάρ-
τηση
F(x) =
x
α
f(t)dt, με α > 0 και x > 0
είναι κυρτή. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
90

F(x) + F(3x) > 2F(2x), για κάθε x > 0
δ) Αν β > 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
ξ ∈ (β, 2β) τέτοιο, ώστε:
F(β) + F(3β) = 2F(ξ)
12.820 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R έχει σύνολο τιμών
το (−∞, 0], έχει συνεχή παράγωγο στο (0, +∞) και
2 f(x) + x +
1
x
ef(x)
=
x
1
ef(t)
f (t) t +
1
t
dt + 2
´Εστω επίσης η συνάρτηση:
F(x) =
x
1
f(t)dt, με x > 0
f(x) = ln
2x
x2 + 1
β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της
F έχει μοναδικό σημείο καμπής Σ(x0, F(x0)), με
x0 > 0, το οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να
αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ∈ (x0, β), με
β > x0, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της F στο σημείο M(ξ, F(ξ)) να είναι
παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση:
( ) : F(β)x − (β − 1)y + 2012(β − 1) = 0
γ) Αν β > 1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
[F(β) + (1 − β) f(β)]x5
x − 1
+
(β − 1)(x + 1)3
x − 3
= 0
έχει μία τουλάχιστον ρίζα, στο διάστημα (1,3)
x2
x
f
t
x
dt ≤
x
1
f(x) = e2x − 2x, με x ∈ R
γ) Να αποδείξετε ότι το 0 είναι η μοναδική ρίζα της
εξίσωσης f(x) = 1
τις ευθείες y = 1 και x = 1
την f γνησίως αύξουσα και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(0) = 2 και lim
x→2
f(x) − 2
x − 2
= 2
α) Να αποδείξετε ότι f(2) = f (2) = 2
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ∈ (0, 2)
τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστα-
σης της f στο σημείο (ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη
προς τον άξονα x x
γ) Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ f(ξ), για κάθε x ∈ R
δ) Αν επιπλέον δίνεται ότι f(ξ) > 0, τότε να απο-
δείξετε ότι η εξίσωση:
x
1
f(t)dt = x2
− 2x
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1)
(ιγʹ) 2013
12.823 Η συνάρτηση f : R → R με f(0) = 1 είναι παρα-
γωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
( f(x) + x)( f (x) + 1) = x, για κάθε x ∈ R
Θεωρούμε επίσης και τη συνάρτηση:
g(x) = x3
+
3x2
2
− 1, με x ∈ R
f(x) = x2 + 1 − x, για κάθε x ∈ R
β) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της
εξίσωσης:
f(g(x)) = 1
91

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈
0,
π
4
0
x0− π
4
f(t)dt = f x0 −
π
4
· φx0
12.824 Η συνάρτηση f : (0, +∞) → R, είναι παραγωγί-
σιμη, με την f γνησίως αύξουσα και ικανοποιεί τις
σχέσεις:
f(1) = 1 και lim
h→0
f(1 + 5h) − f(1 − h)
h
= 0
Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση:
g(x) =
x
α
f(t) − 1
t − 1
dt, με x > 1 και α > 1
α) f (1) = 0 καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει
ελάχιστο στο x0 = 1
β) η g είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια, να
λύσετε στο R την ανίσωση:
8x2
+6
8x2+5
g(u)du >
2x4
+6
2x4+5
g(u)du
γ) η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση:
(α − 1)
x
α
f(t) − 1
t − 1
dt = (f(α) − 1)(x − α)
έχει ακριβώς μία λύση στο (1, +∞)
12.825 Η συνάρτηση f : R → R με f(1) =
1
2
είναι πα-
ραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
2x f(x) + x2
( f (x) − 3) = −f (x), για κάθε x ∈ R
f(x) =
x3
x2 + 1
και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως
αύξουσα στο R
γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών
την ανίσωση:
f 5(x2
+ 1)3
− 8 ≤ f 8(x2
+ 1)2
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈
ξ3
−ξ
0
f(t)dt = −ξ(3ξ2
− 1) · f(ξ3
− ξ)
12.826 ´Εστω η συνάρτηση f : [0, +∞) → R, με συνεχή
δεύτερη παράγωγο στο [0, +∞) και η οποία ικανο-
ποιεί τις σχέσεις:
f(0) = 0 και f(x) f (x) 0, για κάθε x > 0
Επίσης για κάθε x > 0 ισχύει η σχέση:
f(x) = x +
x
1
u
1
( f (t))2
− 1
f(t)
dt du
Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις:
g(x) =
f (x)
f(x)
, με x > 0 και h(x) = (f (x))3
, με x ≥ 0
f(x) f (x) + 1 = (f (x))2
β) ι) Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και
f στο (0, +∞)
ιι) Να αποδείξετε ότι f (0) = 1
γ) Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο
(0, +∞), να αποδείξετε ότι:
ι) g(x) ≥ 2 − x, για κάθε x ∈ (0, +∞)
ιι)
1
0
(2 − x) f(x)dx < 1
τησης h, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 0 και
x = 1
12.827 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : (0, +∞) → R
3
x
1
2t f(t)dt + x3
= 3x2
f(x) + 3x − 8, για κάθε x > 0
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγω-
γίσιμη στο (0, +∞) και είναι:
92

f (x) =
x2
− 1
x2
f(x) =
x2
+ 1
x
καθώς επίσης ότι η ευθεία με εξίσωση y = x είναι
πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της
f στο +∞
γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλεί-
εται από τη γραφική παράσταση της f, την ασύμ-
πτωτη y = x της γραφικής παράστασης της f και
τις ευθείες x = 1 και x = e2
f (x) >
f(x) − 2
x − 1
(ιδʹ) 2014
h(x) = x − ln (ex
+ 1) , με x ∈ R
α) Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα
β) Να λύσετε την ανίσωση:
eh(2h (x))
<
e
e + 1
γ) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης της h στο +∞, καθώς και την πλάγια
ασύμπτωτή της στο −∞
δ) Δίνεται η συνάρτηση:
φ(x) = ex
(h(x) + ln 2), με x ∈ R
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που πε-
ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ, τον
άξονα x x και την ευθεία x = 1
f(x) =



ex − 1
x
, αν x 0
1, αν x = 0
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο
x0 = 0 και στη συνέχεια, οτι είναι γνησίως αύξουσα
β) Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή
ι) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
2 f (x)
1
f(u)du = 0
έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η x = 0
ιι) ´Ενα υλικό σημείο Μ ξεκινά τη χρονική στιγμή
t = 0 από ένα σημείο A(x0, f(x0)) με x0 < 0 και
κινείται κατά μήκος της καμπύλης
y = f(x), x ≥ x0 με x = x(t), y = y(t) και t ≥ 0
Να βρείτε το σημείο της καμπύλης, στο οποίο ο
ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του σημείου
Μ είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγ-
μένης του y(t), αν υποτεθεί ότι x (t) > 0, για κάθε
t ≥ 0
γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση:
g(x) = (x f(x) + 1 − e)2
(x − 2)2
, με x ∈ (0, +∞)
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο ϑέσεις
τοπικών ελαχίστων και μία ϑέση τοπικού μεγίστου
f(x) =



e
ln x
x , αν x > 0
0, αν x = 0
α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής
στο σημείο x0 = 0
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
γ) Για x > 0, να αποδείξετε ότι:
ι) ισχύει η ισοδυναμία:
f(x) = f(4) ⇔ x4
= 4x
ιι) η εξίσωση x4
= 4x έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις
x1 = 2 και x2 = 4
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ξ ∈
f (ξ)
ξ
2
f(t)dt = f(ξ)(
√
2 − f(ξ))
(ημερήσια επαναληπικές, ϑέμα 3)
93

σιμη, με σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί τη σχέση:
ef(x)
f2
(x) − 2 f(x) + 3 = x, για κάθε x > 0
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται
και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f−1
της f
β) Αν είναι f−1
(x) = ex(x2
− 2x + 3), τότε:
ι) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f−1
ως προς την
κυρτότητα και στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν
του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα-
ράσταση της συνάρτησης f−1
, την εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της f−1
στο σημείο που αυτή
τέμνει τον άξονα y y και την ευθεία x = 1
ιι) Να αποδείξετε ότι, για κάθε x ∈ R, το γινόμε-
νο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων
των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f−1
και f στα σημεία A x, f−1
(x) και B f−1
(x), x α-
ντίστοιχα, είναι ίσο με 1
ιιι) Να βρείτε για ποια τιμή του x ∈ R η απόστα-
ση των σημείων Α, Β γίνεται ελάχιστη και να βρείτε
την ελάχιστη απόστασή τους
f(x) =
ln x
x
, με x > 0
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παρά-
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μο-
νοτονία και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
ef(x) ≤ 1, για κάθε x > 0
τησης f, τον άξονα x x και την ευθεία x =
1
e
f(x) = 2x
+ x2
− 2x − 1, με x ∈ R
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή
στο R και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f(x) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες τις x1 = 0 και x2 = 1
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός
x0 ∈ (0, 1) τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γρα-
φικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο
A(x0, f(x0)) να είναι παράλληλη στον άξονα x x
γ) Να αποδείξετε ότι f(x) < 0, για κάθε x ∈ (0, 1)
και στη συνέχεια, να λύσετε στο διάστημα (0, 1] την
εξίσωση:
x
1
f(t)dt = x − 1
(ιεʹ) 2015
f(x) =
ex
x2 + 1
, με x ∈ R
να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διά-
στημα (0, +∞)
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
f e3−x
· (x2
+ 1) =
e2
5
έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία α-
κριβώς ρίζα
4x
2x
f(t)dt < 2x f(4x), για κάθε x > 0
δ) Δίνεται η συνάρτηση:
g(x) =



1
x
4x
2x
f(t)dt, αν x > 0
2, αν x = 0
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύ-
ξουσα στο [0, +∞)
12.835 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R
με f(0) = 0 και για την οποία ισχύει η σχέση:
f (x) ef(x)
+ e−f(x)
= 2, για κάθε x ∈ R
f(x) = ln x + x2 + 1 , για κάθε x ∈ R
94

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτη-
ση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το
σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
τησης f, την ευθεία y = x και τις ευθείες x = 0 και
x = 1
lim
x→0+




e
x
0
f2
(t)dt
− 1


· ln |f(x)|


ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
1 − 3
x−2
0
f(t2
)dt
x − 3
+
8 − 3
x
0
f2
(t)dt
x − 2
= 0
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (2, 3)
f(x) = ex−1
− ln x, με x ∈ (0, +∞)
νοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της
β) Αν h(x) = f(x2
+1)− f(2)+1, να βρείτε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης:
g(x) =
h(x)
1
t2 − 1dt
f f(x) −
1
2
= 1
έχει ακριβώς δύο ϑετικές ρίζες x1, x2
δ) Αν για τις ρίζες x1, x2 του ερωτήματος γ ισχύει ότι
x1 < x2, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
ξ ∈ (x1, 1) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο (ξ, f(ξ)) να διέρχεται
από το σημείο M 0,
3
2
σιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
(x2
− x) f (x) + x f(x) = 1, για κάθε x > 0
f(x) =



ln x
x − 1
, αν 0 < x 1
1, αν x = 1
x
1
f(t)dt =
1
1
x
f(t)
t
dt
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
g(x) = −
1
x
1
f(t)
t
dt, με x > 0
είναι κοίλη
δ) ´Εστω E το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της g, την εφαπτομένη
της γραφικής παράστασης της g στο σημείο που η
γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x x και
την ευθεία x = 3. Να αποδείξετε ότι E < 2
ε) Να αποδείξετε ότι:
x
1
x
f(t)dt ≥
1
x
x
1
x
f(x) = ln x −
1
x
, με x > 0
α) Να βρείτε τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμ-
πτωτες της Cf , αν υπάρχουν
βώς μία λύση στο διάστημα (1, e)
x = e και x = 2e
13 προχωρημένα ϑέματα
(αʹ) υπολογισμός ολοκληρώματος
α)
1
0
(x2
+ x)ex
x + 2e−x
dx β)
1
0
ex − 1
xex + 1
dx
95

α)
π
4
0
( φ2
x + φx)ex
dx = 1
β)
π
4
0
1 + 3 φx
(1 + φx)2
· ex
dx =
3
2
e
π
4 − 2
γ)
π
2
0
ln(ηµx)dx =
π
2
0
ln(συνx)dx = −
π ln 2
2
δ)
e
1
1 − ln (xx)
ln (xx) + xex
dx = ln (1 + ee
) − e
ε)
2
1
ln x
x2 − 2x + 2
dx =
π ln 2
8
ζ)
π
2
0
e
x
2 · (2 − συνx)
1 + ηµx
dx = 2
η)
1+
√
5
2
1
x2
+ 1
x4 − x2 + 1
· ln 1 + x −
1
x
dx =
π ln 2
8
ϑ)
π
2
0
συνx
e−x + ηµx + συνx
dx =
π
4
+
1
2
ln
e− π
2 + 1
2
13.841 Αν n ∈ Z, να αποδείξετε ότι:
2π
0
ηµ (ηµx + nx) dx = 0
13.842 Αν n ∈ N, με n ≥ 2, να αποδείξετε ότι:
π
2
0
n
√
ηµx + n
√
συνx ηµ2xdx =
4n
2n + 1
1
0
e(n+1)x
· (x − 1)n
xdx =
(−1)n
n + 1
e
1
xn
· (ln x − 1)n
ln xdx =
(−1)n
n + 1
13.845 ´Εστω n ∈ N, με n ≥ 1 και ϑεωρούμε το ολοκλή-
ρωμα:
In =
1
0
e
n√
x
dx
In = n(e − In−1), για κάθε n ≥ 2
1
0
e
√
x
+ e
3√
x
+ e
4√
x
dx
π
2
0
ηµn
x · συνn
xdx = 2−n
·
π
2
0
συνn
xdx
f(xy) = f(x) + f(y), για κάθε x, y > 0
2
1
2
f(x) + x
1 + x2
dx
13.848 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g : [α, β] → R, με
f(α) 0, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη, η g
συνεχής και για κάθε x ∈ [α, β] ισχύει η σχέση:
f(x) + (x − α)(x − β) f (x) =
β
α
f(x)g(x)dx
β
α
g(x)dx = 1
(βʹ) εύρεση παραμέτρων-τύπου συνάρτησης
13.849 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [−1, 1] → R. Να
βρείτε τις τιμές των α ∈ R και n ∈ N∗ για τις οποίες
1
−1
x2027
· ( f(x2
) + αxn
)dx = 2028
13.850 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : R → R για
f(x) =
x
0
e−t2
κάθε x, y ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
x+y
x
f(t)dt =
x
x−y
f(t)dt
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο R
13.852 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : R → R η
οποία για κάθε x, y ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:
y
x
f(t)dt = (y − x) · f
y
x
f(t)dt
96

13.853 Να βρείτε τους ϑετικούς αριθμούς α, β για τους
οποίους ισχύουν οι σχέσεις:
α + β =
π
2
και
β
α
x( φx + σφx)dx =
π ln 3
4
13.854 ´Εστω 0 < α < β <
π
2
ώστε να είναι:
β
α
ln( φx)dx = 0
Να αποδείξετε ότι α + β =
π
2
13.855 Αν α, β > 0, να αποδείξετε ότι:
β
α
ln t
t2 + 1
dt = 0 ⇔ αβ = 1
13.856 Η συνάρτηση g : [0, 3] → έχει συνεχή δεύτερη
g (3) = 5, g(3) − g(0) = 6 και
3
0
(g (x))2
dx = 9
Να βρείτε τη συνάρτηση g
13.857 Οι συναρτήσεις f, g : (0, +∞) → R είναι συνε-
χείς, με g(1) = 1 και ικανοποιούν τη σχέση:
f(xy) =
x
1
g(t)dt +
y
1
g(t)dt, για κάθε x, y > 0
Να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων f και g
y
x
f(t)dt ≤ f(y) − f(x), για κάθε x, y ∈ R
y
x
f(t)dt ≤ 2(y2
− x2
), για κάθε x, y ∈ R
13.860 Να βρείτε τις συναρτήσεις f, g : (0, +∞) → R,
όπου η f είναι συνεχής, g(1) = 1 και οι οποίες για
κάθε x, y > 0 ικανοποιούν τη σχέση:
f(xy) = g(x) ·
y
1
ef(t)
t2
dt + g(y) ·
x
1
ef(t)
t2
dt
13.861 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R με
f(α) > 0 και για την οποία ισχύει η σχέση:
f(x) =
1
3
f(β) +
x
α
f2
(t)dt, για κάθε x ∈ [α, β]
α) Να αποδείξετε ότι f(x) > 0, για κάθε x ∈ [α, β]
β
α
f(x)dx = ln 3
13.862 ´Εστω α, β ∈ R και ϑεωρούμε τη συνεχή συνάρτη-
ση f : (0, +∞) → R, για την οποία ισχύει η σχέση:
x2
f(x) + f
1
x
= αx + β, για κάθε x > 0
α) Να αποδείξετε ότι β = 0
β) Να βρείτε την τιμή του α, για την οποία ισχύει η
σχέση:
2
1
2
f(x)dx = ln 4
13.863 ´Εστω οι συναρτήσεις f, g : R → R, με τη g συ-
νεχής στο R, ώστε για κάθε x, y ∈ R να ισχύει η
σχέση:
f(x + y) − f(x − y) =
xy
0
g(t)dt
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια και
παραγωγίσιμη στο R
β) Αν είναι f(0) = 0 και g(0) = 4, να βρείτε τις
συναρτήσεις f και g
13.864 ´Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R → R για
τις οποίες ισχύει:
f2
(x) + g2
(x) = 1, για κάθε x ∈ R
h(x) =
2π
0
|f(x)συνt + g(x)ηµt|dt
είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της
13.865 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : R → R και ϑε-
ωρούμε τη γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g : R → R
για τις οποίες ισχύει η σχέση:
g(x) = f(x) ·
x
0
97

Να αποδείξετε ότι f(x) = 0, για κάθε x ∈ R
13.866 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : R → R, με
f(0) = 1 και η οποία για κάθε x, y ∈ R ικανοποιεί
τη σχέση:
1 +
x
0
f(t)dt · 1 +
y
0
f(t)dt = 1 +
x+y
0
f(t)dt
13.867 ´Εστω α, β ∈ R και ϑεωρούμε την παραγωγίσιμη
συνάρτηση f : R → R η οποία για κάθε x ∈ R
( f(x))2
+ ( f (x))2
= αx + 1 και
2
x
0
f(t)ηµtdt = x + β − f(x)συνx
Να αποδείξετε ότι f(x) = ηµx, για κάθε x ∈ R
lim
x→0
f(x)
x3
∈ R και
x3
0
f( 3
√
t)
t
dt =
f(x)
x3
− 1, για κάθε x 0
13.869 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R. Αν
για κάποια συνεχή συνάρτηση g : [α, β] → R ισχύει
η σχέση:
β
α
f(x)g(x)dx = 0
τότε είναι f(x) = 0, για κάθε x ∈ [α, β]
(Λήμμα Lagrange)
13.870 Οι συναρτήσεις f, g : [0, 1] → R έχουν συνεχείς
παραγώγους και ικανοποιούν τη σχέση:
f(x)g(x) = ex, για κάθε x ∈ [0, 1]
f (x)g (x) ≤
ex
4
, για κάθε x ∈ [0, 1]
β) Αν ισχύει η σχέση:
1
0
f (x)g (x) =
e − 1
4
να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων f, g
(γʹ) μονοτονία-ακρότατα-κυρτότητα
13.871 Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης:
f(x) =
1
0
e−(x+t)2
dt
γνησίως αύξουσα και ϑεωρούμε τη συνάρτηση:
g(x) =
x
γ
f(t)dt, με γ ∈ (α, β)
για την οποία ισχύει g(α) · g(β) > 0. Να αποδείξετε
ότι η g παρουσιάζει ένα μόνο τοπικό ακρότατο στο
(α, β)
13.873 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή παράγω-
γο και για κάθε n ∈ N∗ ικανοποιεί τη σχέση:
1
0
xn
f (xn
) dx ≥
n − 1
n
·
1
0
f (xn
) dx
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
f(x) =
x
α
ln t
t2 + 1
dt, με x > 0
β) Αν x1, x2 > 0 και x1 x2, να αποδείξετε ότι:
f(x1) = f(x2) ⇔ x1x2 = 1
γ) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η συνάρτηση f
να έχει ελάχιστη τιμή το 0
13.875 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R για
1
0
f(x)dx = 1
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g : [0, 1] → R με
τύπο:
g(x) =
x
0
f(t)dt ·
1
x
f(t)dt
έχει μέγιστη τιμή, η οποία να βρεθεί
98

(δʹ) εξισώσεις
13.876 ´Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f : [α, β] → R και
g : [α, β] → (0, +∞). Να αποδείξετε ότι υπάρχει
τουλάχιστον ένα ξ ∈ [α, β] τέτοιο, ώστε:
β
α
f(x)g(x)dx = f(ξ)
β
α
g(x)dx
f(α) < α και 2
β
α
f(x)dx > β2
− α2
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει τουλά-
χιστον μία λύση στο (α, β)
[α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και ικανοποιεί τις
σχέσεις:
β
α
f(t)dt = 0 και
f (x) ·
x
α
f(t)dt ≥ 0, για κάθε x ∈ (α, β)
13.879 Η συνάρτηση f : [α, β] → (0, +∞) έχει συνεχή
παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση:
β
α
f(x) · ln f(x)dx = 0
(α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0 ή f(ξ) = 1
13.880 ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R για
f(0) > 0 και
1
0
f(x)dx <
1
2029
f(x) = x2028
2
1
√
ln xdx =
√
ln x
έχει ακριβώς μία ρίζα στο 1,
3
2
13.882 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
α)
x
−x
t2
4t + 1
dt = 9
β)
x
0
ηµ4t
ηµ4t + συν4t
dt = ln 2
γ)
x
1
2 + (ln t)2n
t
dt = 2 +
1
2n + 1
, όπου n ∈ N∗
γο στο [0, 1] και είναι f(0) = 0. Να αποδείξετε ότι
υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ [0, 1] τέτοιο, ώστε:
f (x0) = 2
1
0
f(x)dx
f(0) > 0 και
1
0
f(x)dx < 1
f(x) = 2x
13.885 Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις
του ϑεωρήματος Rolle στο διάστημα [0, 1] και είναι
f(x) 0, για κάθε x ∈ [0, 1]. Να αποδείξετε ότι η
εξίσωση:
x
0
f(t)dt −
1
x
f(t)dt = 2028 f (x)
γο και ικανοποιεί τις σχέσεις:
2 f(2) − f(1) = 2 και
2
1
f(x)dx = 1
f (x) =
2
3
έχει τουλάχιστον μία λύση στο [1, 2]
13.887 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [−1, 1] και πα-
ραγωγίσιμη στο (−1, 1). Να αποδείξετε ότι η εξίσω-
ση:
99

x
0
f(t)dt =
1
2
(1 − x2
) f (x) − 2x f(x)
έχει μία τουλάχιστον λύση στο (−1, 1)
x
0
t2
1 + t2
dt =
1
2
έχει ακριβώς μία ρίζα στο (1, 2)
13.889 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [α, β] → R.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν x1, x2, ..., xn ∈ [α, β], με
x1 < x2 < · · · < xn τέτοια, ώστε:
f(x1) + 2 f(x2) + · · · + nf(xn) =
n(n + 1)
2(β − α)
·
β
α
f(x)dx
(εʹ) ανισότητες
f(x) =



ηµx
x
, αν x ∈ 0,
π
2
1, αν x = 0
1 ≤
π
2
0
f(x)dx ≤ 1 + συν1
13.891 Η συνάρτηση f : [−1, 1] → R είναι παραγωγίσιμη
και γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι:
1
−1
x
1 + x2
· f(x)dx ≥ 0
13.892 Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή του ολοκλη-
ρώματος:
I(α) =
√
3
1√
3
xα
x2 + 1
dx, με α ∈ R
είναι το
π
6
13.893 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R με f(0) = 0 είναι
κυρτή. Να αποδείξετε ότι:
1
0
f(x)dx <
f (1)
2
13.894 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή και γνη-
σίως αύξουσα παράγωγο. Να αποδείξετε ότι:
1
0
f(x)dx >
1
2
f (1) + f(0)
13.895 Οι συναρτήσεις f, g : [0, 1] → (0, +∞) είναι συ-
νεχείς. Να αποδείξετε ότι:
1
0
f(x)
f(x) + g(x)
dx ·
1
0
g(x)
f(x) + g(x)
dx ≤
1
4
1
0
f(x)dx = 1
1
0
ef(x)
dx ≥ e
στο [0, 1] και είναι:
f (1) = 2 f(1) και f (x) ≤ 2, για κάθε x ∈ [0, 1]
1
0
f(x)dx ≤
1
3
παράγωγο, είναι f (x) > 0 για κάθε x ∈ [1, 2] και
f(1) = f (1) = f (2) = e και f(2) = 2e
α)
2
1
x f (x)
f (x)
dx ≥ 0
β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ [1, 2] τέτοιο, ώστε
f (x0) ≥ 0
στο [0, 2] και είναι f (x) > 0 για κάθε x ∈ [0, 2]. Να
2
0
f(x)dx > 2 f(1)
φx ≥
x
0
et2
dt, για κάθε x ∈ 0,
π
2
100

13.901 Η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [0, 1] → R ικανο-
ποιεί τις σχέσεις:
1
2
0
f(x)dx = 0 και |f (x)| ≤ 1, για κάθε x ∈ [0, 1]
1
0
f(x)dx ≤
1
4
συνεχής και γνησίως μονότονη. Να αποδείξετε ότι:
α) για κάθε x, y ∈ [−α, α] ισχύει η σχέση:
(x − y) · [ f( f(x)) − f( f(y))] ≥ 0
β)
α
−α
x · f( f(x))dx ≥ 0
13.903 Η συνάρτηση f : [−1, 1] → R είναι παραγωγίσιμη
με την f αύξουσα στο [−1, 1]. Να αποδείξετε ότι:
1
−1
f(x)dx ≤ 2 ( f(−1) + f (1))
13.904 Η συνάρτηση f : [α, β] → (0, +∞), με 0 < α <
β, είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο
(α, β), με f (x) > 0, για κάθε x ∈ (α, β). Να αποδεί-
ξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) τέτοιο,
ώστε:
αf(α) · f (ξ) <
1
(β − α)2
·
β
α
f(x)dx ·
f(β)
f(α)
f−1
(x)dx <
< βf(β) · f (ξ)
13.905 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι κυρτή. Να
1
2
0
f(t)dt −
1
1
2
f(t)dt <
1
2
· f(0) − f
1
2
1
0
ηµ2
x2
dx ≥
2
3
− συν1
13.907 Η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι συνεχής
και γνησίως φθίνουσα. Αν α, β ≥ 0, με α < β, να
βx
αx
f(t)dt ≥ x
β
α
13.908 ´Εστω η παραγωγισιμη συνάρτηση f : [0, 1] → R
η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(0) < 0 και
1
0
f(x)dx = 1
[0, 1] τέτοιο, ώστε f (x0) ≥ 2
13.909 ´Εστω α > 1 και ϑεωρουμε τις συνεχείς συναρ-
τήσεις f, g : [1, α] → R, με f(1) = g(1) = 1 και οι
οποίες ικανοποιούν τη σχέση:
f(x) + g(x) =
α
1
f(x)g(x)dx, για κάθε x ∈ [1, α]
Να αποδείξετε ότι α ≥ 3
13.910 Η συνάρτηση f : [α, β] → R έχει συνεχή παρά-
γωγο στο [α, β] και ικανοποιεί τη σχέση:
β
α
( f(x))2
dx =
β
α
( f (x))2
dx =
≥
( f(β))2
− ( f(α))2
2
13.911 α) Οι συναρτήσεις f, g : [α, β] → R είναι συνεχείς.
β
α
f(x)g(x)dx
2
≤
β
α
( f(x))2
dx ·
β
α
(g(x))2
dx
(ανισότητα Cauchy − S chwarz)
β) ι) ´Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] → R για
1
0
x f(x)dx = 2
1
0
( f(x))2
dx ≥ 12
ιι) Η συνάρτηση f : [0, 1] → R έχει συνεχή παράγωγο
και είναι f(1) = 0. Να αποδείξετε ότι:
1
0
( f (x))2
dx ≥ 3 ·
1
0
f(x)dx
2
γο και ικανοποιεί τις σχέσεις:
101

f(0) = f(1) = 0 και |f (x)| ≤ 4, για κάθε x ∈ [0, 1]
1
0
|f(x)|dx ≤ 1
13.913 Η συνάρτηση f : [0, 1] → R είναι κυρτή και είναι
f(0) = 0 και f(1) = 1. Αν n είναι περιττός ϑετικός
ακέραιος, να αποδείξετε ότι:
1
0
( f(x))n
dx ≤
1
n + 1
13.914 Η συνάρτηση f : R → R είναι κυρτή και η συ-
νάρτηση g : R → R είναι συνεχής. Να αποδείξετε
ότι:
1
0
f(g(x))dx ≥ f
1
0
g(x)dx
1
0
f(x)dx =
π
4
1
1 + ξ
< f(ξ) <
1
2ξ
13.916 ´Εστω θ > 0 και ϑεωρούμε την παραγωγίσιμη
συνάρτηση f : [α, β] → R, με f(α) = 0, f(x) > 0, για
κάθε x ∈ (α, β] και f (x) < θ, για κάθε x ∈ [α, β]. Να
β
α
f3
(x)dx
β
α
f(x)dx
<
√
θ
13.917 Η συνάρτηση f : [0, 1] → [0, +∞) είναι συνεχής.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν x1, x2, ..., xn ∈ [0, 1] τέ-
τοια, ώστε:
0 ≤ xi − xi−1 ≤
2
n
, για κάθε i ∈ {2, 3, ..., n} και
1
0
f(x)dx
2
≤
( f(x1))2
+ ( f(x2))2
+ · · · + ( f(xn))2
n
13.918 Η συνάρτηση f : [α, β] → R είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη στο [α, β] και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(α) = f(β) = 0 και f(x) > 0, για κάθε x ∈ (α, β)
α) υπάρχουν ξ1, ξ2 ∈ (α, β) με ξ1 < ξ2 τέτοια, ώστε:
f (ξ1) − f (ξ2) ≥
4 fmax
β − α
β) αν η f είναι συνεχής στο [α, β], τότε είναι:
β
α
|f (x)|
f(x)
dx ≥
4
β − α
επιμέλεια: Νίκος Σκομπρής
skobris@gmail.com
102

Ορισμένο ολοκλήρωμα με 918 ασκήσεις

More Related Content

What's hot

Similar to Ορισμένο ολοκλήρωμα με 918 ασκήσεις

More from Μάκης Χατζόπουλος

Recently uploaded

Ορισμένο ολοκλήρωμα με 918 ασκήσεις