Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης για το lisari

1. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών - Φύλλο Εργασίας
1. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο ενός αριθμού είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού αυτού με τον
εαυτό του, δηλαδή ααα ⋅=2
, π.χ. 255552
=⋅= . Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:
α) =2
3 …….. β) =2
7 …….. γ) =2
1 ……..
δ) =2
0 ……… ε) =2
2,1 …….. στ) =2
16 …….
ζ) =2
3,0 …….. η) =





2
5
3
……….….. θ) =





2
7
6
………..…..
2. Μερικές φορές την παραπάνω εργασία πρέπει να την κάνουμε αντίστροφα! Για παράδειγμα,
μπορείτε να βρείτε ποιος αριθμός (θετικός ή μηδέν) πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση των κενών στις
παρακάτω ισότητες;
α) ( ) 25......
2
= β) ( ) 16......
2
= γ) ( ) 81......
2
= δ) ( ) 100......
2
=
ε) ( ) 36......
2
= στ) ( ) 0......
2
= ζ) ( ) 1......
2
= η) ( ) 09,0......
2
=
θ) ( )
25
9
......
2
= ι) ( )
4
1
......
2
= ια) ( ) 4......
2
= ιβ) ( ) 400......
2
=
3. Ορισμός: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με
α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει
τον αριθμόα . Αν 0≥α η α είναι η μη αρνητική λύση της εξίσωσης α=2
x
4. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες, όπως φαίνεται στο
παράδειγμα: 4972
= οπότε 749 =
α) ( ) 25......
2
= οπότε =25 ……… β) ( ) 64......
2
= οπότε =64 ………
γ) ( ) 1......
2
= οπότε =1 ……… δ) ( ) 0......
2
= οπότε =0 ………
5. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες:
α) =81 .…. β) =900 …… γ) =0 .…. δ) =49 .…. ε) =09,0 ….… στ) =
25
36
6. Πως ονομάζεται το σύμβολο ; ………………………………………………….……………….
7. Στο συμβολισμό α πως ονομάζεται το α ; …………..……………………….…….……………...
8. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: =+ 916 …...+…...=…….. , ==+ .........916 …….
β) Ισχύει βαβα +=+ για κάθε αριθμό α και β; …….…..
9. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: =− 36100 . .............− = ……. , ==− .......36100 …….
β) Ισχύει βαβα −=− για κάθε αριθμό α και β; ….……..
10. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: =⋅=⋅ ...............94 …….. , ==⋅ .........94 …….
β) Ομοίως τις: =⋅=⋅ ...............2516 …….. , ==⋅ .........2516 …….
γ) Ισχύει βαβα ⋅=⋅ για κάθε , 0α β ≥ ; ……..……………………………………
11. Να υπολογίσετε τα: α) =
100
49
…….. ,
100
49
=….…. β) Ισχύει
β
α
β
α
= για , 0α β > ; …..…..
12. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) =3
3 …….. β) =3
2 …….. γ) =3
1 …….. δ) =3
0 ………
ε) =3
4 …….. στ) =3
5 …….. ζ) =3
2,0 …….. η) =





3
2
3
…….. θ) =3
6 ……..

2. 13. Μερικές φορές την παραπάνω εργασία πρέπει να την κάνουμε αντίστροφα! Για παράδειγμα,
μπορείτε να βρείτε ποιος αριθμός (θετικός ή μηδέν) πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση των κενών στις
παρακάτω ισότητες; α) ( ) 8......
3
= β) ( ) 64......
3
= γ) ( ) 27......
3
= δ) ( ) 1000......
3
=
ε) ( ) 216......
3
= στ) ( ) 0......
3
= ζ) ( ) 1......
3
= η) ( ) 001,0......
3
= θ) ( )
64
27
......
3
= ι) ( )
8
1
......
3
=
14. Ορισμός: Η κυβική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με 3
α και είναι ο μη
αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στον κύβο δίνει τον αριθμόα .
15. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες, όπως φαίνεται στο παράδειγμα:
283
= γιατί 823
= οπότε: α) =3
27 ….… γιατί ……….… β) =3
64 …… γιατί …………
γ) =3
0 ……. γιατί …….… δ) =3
1000 ……. γιατί ………… ε) =3
008,0 …… γιατί ……..…
16. Γενικεύοντας τα παραπάνω για κάθε θετικό ακέραιο ν, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό:
Ορισμός: Η ν-στη ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με ν
α και είναι ο μη
αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν δίνει τον αριθμό α . Αν 0≥α η ν
α είναι η μη
αρνητική λύση της εξίσωσης αν
=x .
17. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες, όπως φαίνεται στο παράδειγμα:
2164
= γιατί 1624
= οπότε: α) =5
32 …… γιατί …………… β) =4
1 …… γιατί ………
γ) 6
64 =…. γιατί ……… δ) =3
125 …. γιατί ………… ε) =4
0001,0 …… γιατί ………….……
18. Μπορείτε να συμπληρώσετε το κενό ( ) 25......
2
−= ; …….. Γιατί; ………………………….……….
……………………………………………………………………….………….…….………………..
19. Μπορείτε να υπολογίσετε τη ρίζα 25− ; ……….
20. Γενικά δεν ορίζεται ρίζα αρνητικού αριθμού, διότι κάθε αριθμός αν υψωθεί στο τετράγωνο ισούται
με θετικό αριθμό ή μηδέν.
21. Πόσα δεκαδικά ψηφία έχει ο αριθμός 2 ; ………….………..
22. Να υπολογίσετε τα επόμενα: ( ) =
2
49 …….………. ( ) =
2
25 …………………
23. Με βάση τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας να υπολογίσετε τα εξής: ( ) =
2
2 …… ( ) =
2
7 ……
24. Γενικότερα ισχύει: Αν 0≥a τότε ( )
2
α = …….
Εργασίες για το σπίτι: 1. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες:
3
8 =…… 3
216 =….. 196 =…… 10
1024 =…… =4
10000 =…… 3
8000 =…… 169 = ……
5
32 =…… 4
16 =……
81
49
=…… 25 =…… 5
1 =…… 4
625 =…..… 7
128 = ……
8
256 =…… 3
125 =…… 96,1 =…… 3
1000 =…… 121 =…… 225 =…… 144 =……
2. Να μελετήσετε τις σελίδες 69 και 70 του σχολικού βιβλίου και να λύσετε την άσκηση 1 σελ. 74.

3. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών – Λύσεις Φύλλου Εργασίας
1. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο ενός αριθμού είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού αυτού με τον
εαυτό του, δηλαδή ααα ⋅=2
, π.χ. 255552
=⋅= . Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:
α) =2
3 9 β) =2
7 49 γ) =2
1 1
δ) =2
0 0 ε) =2
2,1 1,44 στ) =2
16 256
ζ) =2
3,0 0,09 η) =





2
5
3 9
25
θ) =





2
7
6 36
49
2. Μερικές φορές την παραπάνω εργασία πρέπει να την κάνουμε αντίστροφα! Για παράδειγμα,
μπορείτε να βρείτε ποιος αριθμός (θετικός ή μηδέν) πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση των κενών στις
παρακάτω ισότητες;
α) 2
25=5 β) 2
16=4 γ) 2
81=9 δ) 2
100=10
ε) 2
36=6 στ) 2
0=0 ζ) 2
1=1 η) 2
0,09=0,3
θ)
2
9
25
 
= 
 
3
5
ι)
2
1
4
 
= 
 
1
2
ια) 2
4=2 ιβ) 2
400=20
3. Ορισμός: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με
α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει
τον αριθμόα . Αν 0≥α η α είναι η μη αρνητική λύση της εξίσωσης α=2
x
4. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες, όπως φαίνεται στο
παράδειγμα: 4972
= οπότε 749 =
α) 2
25=5 οπότε =25 5 β) 2
64=8 οπότε =64 8
γ) 2
1=1 οπότε 1 = 1 δ) 2
0=0 οπότε 0 = 0
5. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες:
α) 81 = 9 β) 900 = 30 γ) 0 = 0 δ) 49 = 7 ε) 0,09 = 0,3 στ)
36
25
=
6
5
6. Πως ονομάζεται το σύμβολο ; Ριζικό ή σύμβολο ρίζας
7. Στο συμβολισμό α πως ονομάζεται το α ; Υπόρριζη ποσότητα
8. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 16 9+ =4 + 3 = 7 , 16 9+ =25 = 5
β) Ισχύει βαβα +=+ για κάθε αριθμό α και β; Όχι
9. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 100 36− =10 -6 = 4, 100 36− =64 = 8
β) Ισχύει βαβα −=− για κάθε αριθμό α και β; Όχι
10. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 4 9⋅ =⋅2 3 = 6, 4 9⋅ =36 = 6
β) Ομοίως τις: 16 25⋅ =⋅4 5 = 20 , 16 25⋅ =400 = 20
γ) Ισχύει βαβα ⋅=⋅ για κάθε , 0α β ≥ ; Ναι
11. Να υπολογίσετε τα: α)
49
100
=
7
10
,
49
100
=
7
10
β) Ισχύει
β
α
β
α
= για κάθε , 0α β > ; Ναι
12. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) =3
3 27 β) =3
2 8 γ) =3
1 1 δ) =3
0 0
ε) =3
4 64 στ) =3
5 125 ζ) =3
2,0 0,008 η)
3
3
2
 
= 
 
27
8
θ) 3
6 = 216

4. 13. Μερικές φορές την παραπάνω εργασία πρέπει να την κάνουμε αντίστροφα! Για παράδειγμα,
μπορείτε να βρείτε ποιος αριθμός (θετικός ή μηδέν) πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση των κενών στις
παρακάτω ισότητες; α) 3
8=2 β) 3
64=4 γ) 3
27=3 δ) 3
1000=10
ε) 3
216=6 στ) 3
0=0 ζ) 3
1=1 η) 3
0,001=0,1 θ)
3
27
64
 
= 
 
3
4
ι)
3
1
8
 
= 
 
1
2
14. Ορισμός: Η κυβική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με 3
α και είναι ο μη
αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στον κύβο δίνει τον αριθμόα .
15. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες, όπως φαίνεται στο παράδειγμα:
283
= γιατί 823
= οπότε: α) 3
27 = 3 γιατί 3
3 = 27 β) 3
64 = 4 γιατί 3
4 = 64
γ) 3
0 = 0 γιατί 3
0 = 0 δ) 3
1000 = 10 γιατί 3
10 = 1000 ε) 3
0,008 = 0,2 γιατί 3
0,2 = 0,008
16. Γενικεύοντας τα παραπάνω για κάθε θετικό ακέραιο ν, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό:
Ορισμός: Η ν-στη ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με ν
α και είναι ο μη
αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν δίνει τον αριθμό α . Αν 0≥α η ν
α είναι η μη
αρνητική λύση της εξίσωσης αν
=x .
17. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες, όπως φαίνεται στο παράδειγμα:
2164
= γιατί 1624
= οπότε: α) 5
32 = 2 γιατί 5
2 = 32 β) 4
1 = 1 γιατί 4
1 = 1
γ) 6
64 = 2 γιατί 6
2 = 64 δ) 3
125 = 5 γιατί 3
5 = 125 ε) 4
0,0001 = 0,1 γιατί 4
0,1 = 0,0001
18. Μπορείτε να συμπληρώσετε το κενό ( ) 25......
2
−= ; Όχι Γιατί; Δεν υπάρχει αριθμός, ο οποίος
αν υψωθεί στο τετράγωνο να ισούται με -25.
19. Μπορείτε να υπολογίσετε τη ρίζα 25− ; Όχι
20. Γενικά δεν ορίζεται ρίζα αρνητικού αριθμού, διότι κάθε αριθμός αν υψωθεί στο τετράγωνο ισούται
με θετικό αριθμό ή μηδέν.
21. Πόσα δεκαδικά ψηφία έχει ο αριθμός 2 ; Άπειρα
22. Να υπολογίσετε τα επόμενα: ( )
2
49 = 2
7 = 49 ( )
2
25 = 2
5 = 25
23. Με βάση τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας να υπολογίσετε τα εξής: ( )
2
2 = 2 ( )
2
7 = 7
24. Γενικότερα ισχύει: Αν 0≥a τότε ( )
2
α = α
Εργασίες για το σπίτι: 1. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες:
3
8 = 2 3
216 = 6 196 = 14 10
1024 = 2 4
10000 = 10 3
8000 = 20 169 = 13
5
32 = 2 4
16 = 2
49
81
=
7
9
25 = 5 5
1 = 1 4
625 = 5 7
128 = 2
8
256 = 2 3
125 = 5 1,96 = 1,4 3
1000 = 10 121 = 11 225 = 15 144 =12
2. Να μελετήσετε τις σελίδες 69 και 70 του σχολικού βιβλίου και να λύσετε την άσκηση 1 σελ. 74.