Maths

1. § 1.1 – 1.2
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}

3. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}

4. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με
αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους αριθμούς.
α
Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}
β

5. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με
αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους αριθμούς.
α
Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}
β
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR αποτελείται από όλους τους ρητούς
και άρρητους αριθμούς και ως γνωστόν μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια του
άξονα των πραγματικών αριθμών.

6. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με
αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους αριθμούς.
α
Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}
β
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR αποτελείται από όλους τους ρητούς
και άρρητους αριθμούς και ως γνωστόν μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια του
άξονα των πραγματικών αριθμών.
Παρατήρηση :
Τα σύνολα ΙΝ −{0}, Ζ−{0}, Q−{0}, IR −{0} τα συμβολίζουμε συντομότερα με
ΙΝ * , Ζ*, Q*, IR* αντίστοιχα.

7. Ταυτότητες
(α+β)2=α2+2αβ+β2 (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3
(x+α)(x+β)=x2+(α+β)x+αβ (αβ)2=α22αβ+β2
(αβ)3=α33α2β+3αβ2β3 (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2αβ+2βγ+2γα
α2β2=(αβ)(α+β) α3+β3=(α+β)(α2αβ+β2)
(α+β+γ)3=α3+β3+γ3+3(α+β)(β+γ)(γ+α)
α3β3=(αβ)(α2+αβ+β2)
ανβν=(αβ)(αν1+αν2β+.....+αβν2+βν1) νN*
1
Ταυτότητα Euler : α3+β3+γ33αβγ= (α+β+γ)[(αβ)2+(βγ)2+(γα)2]
2
Αν α+β+γ=0 ή α=β=γ  α3+β3+γ3=3αβγ
Επίσης χρήσιμες είναι οι ταυτότητες:
α2+β2=(α+β)22αβ και α3+β3=(α+β)33αβ(α+β)

8. Ιδιότητες απόλυτης τιμής
 |x| =



x, x 
0
 
x, x 0
x
x
 |xy|=|x||y| και , αν y0
y
y

 |x|x και |x|x για κάθε x IR
 |x|<θ  θ<x<θ αν θ>0
 |x|>θ  x>θ ή x<θ αν θ>0
 |xy||x|+|y| για κάθε x,y IR.

9. Η έννοια της συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με
την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.
Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).

10. Η έννοια της συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με
την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.
Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή
ενώ η y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.

11. Η έννοια της συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με
την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.
Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή
ενώ η y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f
συμβολίζεται με Df.

12. Η έννοια της συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με
την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.
Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή
ενώ η y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f
συμβολίζεται με Df.
Το σύνολο που έχει ως στοιχεία τις τιμές της f
για όλα τα xA, λέγεται σύνολο τιμών της f και
συμβολίζεται με f(A) δηλαδή:
f(A)={y IR / υπάρχει xA ώστε y=f(x)}

13. Όταν σε μία συνάρτηση δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της, πρέπει να το
προσδιορίσουμε, βρίσκοντας το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών
για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.

14. Όταν σε μία συνάρτηση δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της, πρέπει να το
προσδιορίσουμε, βρίσκοντας το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών
για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.
Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης της
οποίας μας δίνεται ο τύπος, σημειώνουμε ότι:
 οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το IR .
Το ίδιο συμβαίνει και για τις συναρτήσεις ημx, συνx και αx
 οι παρονομαστές, όπου κι αν αυτοί εμφανίζονται,
πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός
 οι υπόριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες
ή ίσες του μηδενός
 όπου παρουσιάζονται λογάριθμοι logf(x) ή lnf(x)
πρέπει να ισχύει f(x)>0.

15. Γραφική παράσταση συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x))
για κάθε xA λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf.

16. Γραφική παράσταση συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x))
για κάθε xA λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf.
Ο τύπος μιας συνάρτησης (δηλ. η εξίσωση y=f(x) )
επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των σημείων της Cf.

17. Γραφική παράσταση συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x))
για κάθε xA λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf.
Ο τύπος μιας συνάρτησης (δηλ. η εξίσωση y=f(x) )
επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των σημείων της Cf.
H y = f(x) λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f

18. α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
σε ένα το πολύ σημείο.

19. α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
σε ένα το πολύ σημείο.

20. α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.

21. α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.
γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf.

22. α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.
γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf.
δ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f και g βρίσκονται
από τη λύση του συστήματος:



y f (x)

y 
g(x)

23. α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.
γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf.
δ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f και g βρίσκονται
από τη λύση του συστήματος:
y f (x)

y g(x)
ε) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη
λύση του συστήματος:





 

y 0
y f (x)


24. στ) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη
λύση του συστήματος:




x 0
y f (x)


25. στ) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη
λύση του συστήματος:


x 0
y f (x)
ζ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων
f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς f(x)g(x) (xDfDg).
Επομένως:
 αν f(x)g(x)>0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι ψηλότερα
από τη Cg.
 αν f(x)g(x)<0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι χαμηλότερα
από τη Cg.




26. στ) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη
λύση του συστήματος:




x 0
y f (x)

ζ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων
f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς f(x)g(x) (xDfDg).
Επομένως:
 αν f(x)g(x)>0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι ψηλότερα
από τη Cg.
 αν f(x)g(x)<0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι χαμηλότερα
από τη Cg.
η) Η γραφική παράσταση της |f| αποτελείται από τα τμήματα της Cf που είναι πάνω
από τον άξονα xx΄ και από τα συμμετρικά σημεία ως προς τον xx΄ της Cf που
βρίσκονται κάτω από αυτόν.

27. θ) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της f
ως προς τον xx΄ .

28. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων

29. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων

30. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων

31. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων

32. Ιδιότητες λογαρίθμων
1) logx=y  x=10y και lnx=y  x=ey
2) log10=1 και lne=1
3) log1=0 και ln1=0
4) logx=logy  x=y και lnx=lny  x=y
5) logx<logy  x<y και lnx<lny  x<y
6) log(x1x2)=logx1+logx2 και ln(x1x2)=lnx1+lnx2
x
1
x
7) log =logx1−logx2 και ln =lnx1−lnx2
2
8) logxκ=κlogx και lnxκ=κlnx
Όλες οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν με την προϋπόθεση ότι οι λογάριθμοι έχουν νόημα.

33. Ίσες συναρτήσεις
ΟΡΙΣΜΟΣ
Δυο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
 έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α
 για κάθε xA ισχύει f(x)=g(x)
Παρατήρηση:
Θεωρούμε δυο συναρτήσεις f, g και τα πεδία ορισμού τους Α, Β με Α≠Β.
Αν υπάρχει ένα υποσύνολο Γ των Α, Β έτσι ώστε για κάθε xΓ να ισχύει
f(x)=g(x), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες στο Γ.

34. Πράξεις με συναρτήσεις
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού Α, Β αντίστοιχα.
Ορίζουμε τις ακόλουθες πράξεις μεταξύ των συναρτήσεων:
Πρόσθεση: (f+g)(x)=f(x)+g(x) με Df+g=AB
Αφαίρεση: (fg)(x)=f(x)g(x) με Dfg=AB
Πολλαπλασιασμός: (fg)(x)=f(x)g(x) με Dfg=AB
f (x)
f

Διαίρεση: με D x A B / g(x) 0
 
(x)
     
g(x)
f g
g

 


35. Σύνθεση συναρτήσεων
ΟΡΙΣΜΟΣ
Αν f, g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Df και Dg αντί-
στοιχα, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολί-
ζουμε gοf τη συνάρτηση με τύπο (gof)(x)=g(f(x)).
Το πεδίο ορισμού της gοf είναι Dgοf={xDf / f(x)Dg}

36. α) Γενικά ισχύει fοg  gοf
β) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζονται οι συνθέσεις (fοg)οh και
fο(gοh) τότε:
(fοg)οh=fο(gοh)