Ένα διαγώνισμα εφ' όλης της ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' Γενικού ενιαίου Λυκείου, στα πρότυπα των Πανελλαδικών Εξετάσεων. Καλή επιτυχία! :)

1. Επαναληπτικό Διαγώνισμα
6 Μαΐου 2017
Θέμα 1
1. ΄Εστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ΄ ένα διάστημα A και παραγωγίσιμη
στο A με f (x) = 0 για κάθε x ∈ A. Να δείξετε ότι:
f(x) = c, c ∈ R
δηλαδή ότι η f είναι σταθερή στο A.
2. Πότε λέμε ότι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι κυρτή ή στρέφει τα
κοίλα προς τα πάνω στο ∆;
3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής και να δώσετε τη γεωμετρική
του ερμηνεία.
4. Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμέ-
νες:
(αʹ) lim
x→0
|x|
x
= 1.
(βʹ) Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη σ΄ ένα
διάστημα (α, β) είναι συνεχής στο [α, β].
(γʹ) Αν f : [α, β] −→ R είναι μία συνεχής συνάρτηση και G είναι μία
παράγουσά της τότε το εμβαδόν του χωρίου που περιβάλλεται από
τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = α
και x = β δίνεται από τον τύπο:
β
α
|f(x)|dx = |G(β) − G(α)|
(δʹ) Αν για δύο συναρτήσεις f, g ισχύει f(x) < g(x) κοντά στο x0 τότε
lim
x→x0
f(x) < lim
x→x0
g(x).
(εʹ) (2x) = 2x ln 2.
1

2. Θέμα 2
Δίνεται μία συνάρτηση f : (−1, 1) −→ R η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
f2
(x) − x2
f2
(x) + 1 ≤ 2f(x) 1 − x2
1. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) =
1
√
1 − x2
.
2. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
3. Να τη μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
4. Να βρείτε τις ασύμπτωτές της, αν υπάρχουν.
5. Να χαράξετε τη γραφική παράστασή της.
Θέμα 3
Δίνεται μία συνάρτηση f : R −→ R με f(0) = 1 που ικανοποιεί τη σχέση:
f (x) − f(x) = 1 − x
1. Να δείξετε ότι f(x) = ex + x.
2. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
3. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εξίσωση
της εφαπτομένης της στο σημείο (0, 1).
4. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x0 ∈ R τέτοιο ώστε f(x) = 2x + 1.
5. Να δείξετε ότι ισχύει η ανισότητα:
f(ex
) − f(x + 1) + (x + 1)f(x + 1) > ex
f(x + 1), για κάθε x > 0
Θέμα 4
Δίνεται μία συνεχής συνάρτηση f : R −→ R για την οποία ισχύουν:
i)
0
−x
f(t)dt =
x
0
f(t)dt, για κάθε x ∈ R,
ii) Η συνάρτηση g(x) = ef(x)
+ f(x) + 1 είναι γνησίως αύξουσα,
iii) lim
x→0
f(x)
ηµx
= 0,
αʹ) Να δείξετε ότι f(0) = 0.
βʹ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
γʹ) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.
δʹ) Αν G είναι μία παράγουσα της f, να δείξετε ότι η G είναι άρτια.
2