SlideShare a Scribd company logo
1 of 12
Download to read offline
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
lisari.blogspot.com
Αναπόδεικτα
Θεωρήματα
και Προτάσεις
του σχολικού βιβλίου
Μαθηματικών
στη Γ Λυκείου
Τα 20 αναπόδεικτα θεωρήματα – προτάσεις
του σχολικού βιβλίου
Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Εισαγωγή
Το 2018 έκανα μια εισήγηση στη Μαθηματική Εβδομάδα Θεσσαλονίκης και στην
ημερίδα Ε.Μ.Ε Λιβαδειάς με θέμα «Γιατί; Why? Warum?» που ανέλυα γιατί είναι
λάθος να μην διδάσκουμε όλες τις αποδείξεις που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο και ας
είναι εκτός ύλης.
Σήμερα, επιστρέφω και παρουσιάζω τις αποδείξεις των προτάσεων, θεωρημάτων που
δεν είναι γραμμένες στο σχολικό βιβλίο και επαφίονται στον αναγνώστη. Κατά τη
γνώμη μου αυτές οι αποδείξεις έχουν διδακτική αξία και πρέπει τουλάχιστον να
υπάρχουν και να είναι διαθέσιμες προς μελέτη.
Δεν είχα σκοπό να συμπεριλάβω με το ζόρι όλα όσα δεν είναι αποδεδειγμένα στο
σχολικό βιβλίο και να βάλω από το «παράθυρο» αποδείξεις που απαιτούνται αρκετά
λήμματα για να λυθούν. Ούτε είχα σκοπό να χρησιμοποιήσω ύλη που είναι εκτός
διδακτικού πλαισίου για το σχολικό έτος 2020 – 21. Σκοπός μου ήταν να εξηγήσω απλά
στους μαθητές πώς μπορούμε να αποδείξουμε κάποιες προτάσεις – θεωρήματα που το
σχολικό βιβλίο γράφει «η απόδειξη παραλείπεται» και είναι στις δυνατότητές τους!
Επειδή κάποιες αποδείξεις μπορεί να έχουν ξεχαστεί ή να υπάρχει κάποιο λάθος στις
υπάρχουσες, εύχομαι να μου τα υποδείξετε στο lisari.blogspot@gmail.com για να τα
συμπεριλάβω στην επόμενη έκδοση.
Οι αποδείξεις είναι ενδεικτικές και προφανώς υπάρχουν αρκετές ακόμα… δεν έχω
σκοπό να παρουσιάσω όλους τους τρόπους επίλυσης. Το επίπεδο δυσκολίας δεν είναι
διαφορετικό από τις αποδείξεις που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο.
Να τονίσουμε ότι δικαιολογημένα το σχολικό εγχειρίδιο δεν συμπεριλαμβάνει όλες
αυτές τις αποδείξεις που υπάρχουν στο φυλλάδιο και τις αφήνει ως προβληματισμό και
έρευνα στον αναγνώστη.
Αθήνα – Κιάτο
16.10.20
Πρόταση 1η: Συνάρτηση 1 – 1
Απόδειξη
Έστω 1 2x x , όμως η f είναι 1 – 1 άρα ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x= ,
άρα 1 2x x= ■
Πρόταση 2η: Γνησίως μονότονη συνάρτηση στο διάστημα Δ
Απόδειξη
Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε για 1 2x , x Δ
τέτοια ώστε ( ) ( )1 2f x f x= έχουμε: αν
• αν 1 2x x έχουμε ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x=
• αν 1 2x x έχουμε ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x=
άρα 1 2x x= δηλαδή η f είναι 1 – 1.
Ανάλογη είναι η απόδειξη αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ■
Πρόταση 3η: Ιδιότητες αντίστροφης συνάρτησης
Απόδειξη
Για κάθε x A έχουμε:
( )( ) ( )1 1
f f x f y x−
= =
Για κάθε ( )y f A έχουμε:
( )( ) ( )1
f f y f x y−
= = ■
Πρόταση 4η: Ιδιότητες ορίων
Γεωμετρική ερμηνεία (όχι απόδειξη)
α) Αν 0 τότε και η ( )f x 0 κοντά στο 0x , άρα η γραφική παράσταση της
συνάρτησης ( ) ( )g x f x= − προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f αν όλα τα
σημεία της μετατοπισθούν κατά μονάδες προς κάτω. Άρα η ( )y g x= τείνει στο
μηδέν όταν x τείνει στο 0x , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Ανάλογα αν 0 .
β) Αν 0x 0 τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )0g x f x x= + προκύπτει
από τη γραφική παράσταση της f αν όλα τα σημεία της μετατοπισθούν κατά 0x
μονάδες προς αριστερά. Άρα πάλι η ( )y g x= θα τείνει στο , αν το x πλησιάζει το
0x 0= όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Ανάλογα αν 0x 0 .
Πρόταση 5η:Όριο και διάταξη (ii)
Απόδειξη
ii) Είναι,
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
0 0
i
x x x x
lim f x 0 lim f x 0 f x 0 f x 0
→ →
  −  −    κοντά στο 0x ■
Πρόταση 6η: Όριο και διάταξη
Απόδειξη
Έστω ότι ( ) ( )
0 0x x x x
f x g xlim lim
→ →
 τότε έχουμε ισοδύναμα:
( ) ( )( )0x x
f x g x 0lim
→
− 
άρα από γνωστή ιδιότητα έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x 0 f x g x−    κοντά στο 0x
άτοπο διότι ( ) ( )f x g x κοντά (;) στο 0x , άρα ( ) ( )
0 0x x x x
f x g xlim lim
→ →
 ■
Πρόταση 7η: Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:
( )
( )
x x
x
x
ν ν 1
ν ν 1 1 0
v 0
ν ν 1 1 v 1 v
ν
ν
P(x) α x α x ... α x α
α1 1
x α α ... α
x x x
α x
lim lim
lim
lim
→+ →+
→+
→+
−
−
− −
= + + + +
  
= + + + +  
  
=
διότι,
x
0
ν ν 1 1 νv 1 v
α1 1
α α ... α α
x x x
lim
→+
− −
 
+ + + + = 
 
Ανάλογα και όταν το x→−■
Πρόταση 8η: Όριο ρητής συνάρτησης
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:
( )
( )
( )
( )
x x
x
x
x
x
x
ν ν 1
ν ν 1 1 0
κ κ 1
κ κ 1 1 0
ν ν 1
ν ν 1 1 0
κ κ 1
κ κ 1 1 0
ν
ν
κ
κ
ν
ν
κ
κ
α x α x ... α x α
f(x)
β x β x ... β x β
α x α x ... α x α
β x β x ... β x β
α x
β x
α x
β x
lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
→+ →+
→+
→+
→+
→+
→+
−
−
−
−
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
+ + + +
=
+ + + +
=
 
=  
 
Ανάλογα και όταν το x→−■
Πρόταση 9η: Πράξεις συνεχών συναρτήσεων
Απόδειξη αθροίσματος
Έχουμε ισοδύναμα:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0 0 0x x x x x x x x
0 0 0f g x f x g x f x g x f x g x f g xlim lim lim lim
→ → → →
+ = + = + = + = +
άρα η συνάρτηση f g+ είναι συνεχής στο 0x .
Ανάλογα αποδεικνύονται και οι άλλες πράξεις των συνεχών συναρτήσεων■
Πρόταση 10η: Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
0 0 0x x x x u f
0 0
x
g f x g f x g u g f x g f xlim lim lim
→ → →
= = = =
όπου ( )u f x= και ( ) ( )
0x x
0 0u f x f xlim
→
= = διότι η f είναι συνεχής στο 0x ■
Πρόταση 11η: Παράγωγος πηλίκου
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0 0 0
0
0 0 2
0 0
0 0 0 0
2
0
1 1 1
f x f x x f x x
g g g
g x1
f x f x
g x g x
f x g x f x g x
g x
      
 = +     
     
−
= +
 −
=
Πρόταση 12η: Θεώρημα Rolle
Σημείωση: Η απόδειξη του θεωρήματος Rolle θα γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Fermat, όμως στο
σχολικό βιβλίο το Θεώρημα Rolle προηγείται του Θεωρήματος Fermat, άρα δεν επιτρέπεται η
χρησιμοποίησή του. Η απόδειξη παρατίθεται μόνο για διδακτικούς σκοπούς.
Απόδειξη
Αν η συνάρτηση f είναι σταθερή στο  α,β , τότε ( )f ξ 0 = για κάθε  ξ α,β .
Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή, τότε επειδή η f είναι συνεχής στο  α,β , άρα
από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν  1 2x , x α,β τέτοια
ώστε για κάθε  x α,β να ισχύουν:
( ) ( ) ( )1 2f x f x f x  με ( ) ( )1 2f x f x (αφού δεν είναι σταθερή).
Τα σημεία 1 2x ,x δεν μπορεί να είναι και τα δύο άκρα του διαστήματος  α,β , διότι
αν ισχύει για λόγου χάρη 1x α= και 2x β= (όμοια αν 1x β= και 2x α= ) τότε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2f α f x f x f β f x=   =
που είναι άτοπο, διότι ( ) ( )f α f β= .
Επομένως, ένα τουλάχιστον από τα 1 2x ,x ανήκουν στο ανοικτό διάστημα ( )α,β
οπότε εφαρμόζεται το Θεώρημα Fermat, οπότε το ξ ισούται με το 1x ή με το 2x .
Πρόταση 13η: Θεώρημα Μέσης Τιμής
Απόδειξη
Έστω η συνάρτηση
( ) ( )( ) ( ) ( )( )g x f x β α f β f α x= − − − ,  x α,β ,
τότε:
• η g είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  α,β
• η g είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( )α,β με
( ) ( )( ) ( ) ( )( )g x f x β α f β f α = − − −
• ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )g α f α β α f β f α α βf α αf β= − − − = − και
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )g β f β β α f β f α β βf α αf β= − − − = − άρα ( ) ( )g α g β=
οπότε ικανοποιείται το Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση g στο κλειστό διάστημα
 α,β , άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ α,β τέτοιο ώστε:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )f β f α
g ξ 0 f ξ β α f β f α 0 f ξ
β α
−
  =  − − − =  =
−
■
Πρόταση 14η:
Απόδειξη
Έστω ότι η γραφική παράσταση της f είναι κυρτή στο ( 0 0x δ,x− και κοίλη στο
 )0 0x ,x δ+ , άρα η f  είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0 0x δ, x− και γνησίως φθίνουσα
στο ( )0 0x , x δ+ . Επειδή η f  είναι συνεχής στο 0x σύμφωνα με το Θεώρημα της
παραγράφου 2.7 η f  παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0x . Επομένως, σύμφωνα με το
Θεώρημα Fermat, έχουμε: ( ) ( ) ( )0 0f x 0 f x 0 =  = .
Όμοια, είναι η απόδειξη αν f είναι κοίλη στο ( 0 0x δ,x− και κυρτή στο  )0 0x ,x δ+ ■
Πρόταση 15η: Πλάγια – οριζόντια ασύμπτωτη
Απόδειξη
Η ευθεία y λx β= + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + άρα
ισχύει:
( )x
f(x) λx β 0lim
→+
− + =  
Έστω, ( ) ( ) ( )g x f x λx β= − + (1), οπότε
x
g(x) 0lim
→+
= . Η (1) γίνεται:
( ) ( )f x g x λx β= + + ,
επομένως:
( )
( )x x x
g x λx βf(x) 1 β
g x λ 0 0 λ 0 λ
x x x x
lim lim lim
→+ →+ →+
+ +  
= = + + =  + + =  
και
( ) ( )( ) ( )( )x x x
f(x) λx g x λx β λx g x β 0 β βlim lim lim
→+ →+ →+
− = + + − = + = + = .
Ανάλογη απόδειξη και όταν x→−■
Πρόταση 16η: Παραγοντική ολοκλήρωση
Απόδειξη
Έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
β β
α α
β
α
β β
α α
ββ
α α
f x g x dx f x g x f x g x f x g x dx
f x g x f x g x dx
f x g x dx f x g x dx
f x g x f x g x dx
   = + −
  = −  
 = −
= −  
 

 

Πρόταση 17η: Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής
Απόδειξη
Έστω F μια παράγουσα της f στο διάστημα  α,β , άρα ( ) ( )F u f u = (1) οπότε
( )( ) ( )( )F g x f g x =
και άρα
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
2
1
2
1
β β
α α
β
α
2 1
u
u
u
u
u
u
f g x g x dx F g x g x dx
F g x
F g β F g α
F u F u
F u
F u du
f u du
  =
 =  
= −
= −
=   
=
=
 


Πρόταση 18η: Θεώρημα Charles
Απόδειξη
Έστω F μια αρχική συνάρτηση της f στο διάστημα Δ τότε:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
β β
αα
γ β
α γ
f (x)dx F x F β F α
F β F α F γ F γ
F γ F α F β F γ
f (x)dx f (x)dx
= = −  
= − + −
= − + −
= +

 
Πρόταση 19η: Γεωμετρική ερμηνεία ορισμένου ολοκληρώματος
Απόδειξη
Αν ( )f x 0 για κάθε  x α,β , τότε θα αποδείξουμε ότι
β
α
f(x)dx 0 . Από τον
ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )ν
ν ν β
κ κ κ α
κ 1 κ 1
f x 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f(x)dx 0lim
→
= =
           ■
Πρόταση 20η: Πρόσημο ολοκληρώματος
Απόδειξη
Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )ν
ν ν β
κ κ κ α
κ 1 κ 1
f x 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f(x)dx 0lim
→
= =
          
διότι στο άθροισμα ( )
ν
κ
κ 1
f ξ Δx
=
 ένας τουλάχιστον όρος είναι θετικός και υπόλοιποι
είναι μη αρνητικοί ■

More Related Content

What's hot

75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - ΣυναρτήσειςΔιαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - ΣυναρτήσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουEπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουAthanasios Kopadis
 
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017Μάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΜάκης Χατζόπουλος
 
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ Θανάσης Δρούγας
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016Christos Loizos
 
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΔιαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
πιθανά θέματα β για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012
πιθανά θέματα β  για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012πιθανά θέματα β  για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012
πιθανά θέματα β για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012Μάκης Χατζόπουλος
 
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]Μάκης Χατζόπουλος
 
Math gen epanaliptikes_2015
Math gen epanaliptikes_2015Math gen epanaliptikes_2015
Math gen epanaliptikes_2015Christos Loizos
 
1o 2016 2017-themata+lyseis
1o 2016 2017-themata+lyseis1o 2016 2017-themata+lyseis
1o 2016 2017-themata+lyseisChristos Loizos
 
Mathimatika katefthinsis epanalipsi
Mathimatika katefthinsis epanalipsiMathimatika katefthinsis epanalipsi
Mathimatika katefthinsis epanalipsiChristos Loizos
 
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Μάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΜάκης Χατζόπουλος
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
 
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - ΣυναρτήσειςΔιαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
 
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουEπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
 
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
 
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Ενότητα Παράγωγος ΙΙΙ
 
Askisi 5
Askisi 5Askisi 5
Askisi 5
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
 
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΔιαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
 
πιθανά θέματα β για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012
πιθανά θέματα β  για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012πιθανά θέματα β  για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012
πιθανά θέματα β για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012
 
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
 
Math gen epanaliptikes_2015
Math gen epanaliptikes_2015Math gen epanaliptikes_2015
Math gen epanaliptikes_2015
 
1o 2016 2017-themata+lyseis
1o 2016 2017-themata+lyseis1o 2016 2017-themata+lyseis
1o 2016 2017-themata+lyseis
 
Mathimatika katefthinsis epanalipsi
Mathimatika katefthinsis epanalipsiMathimatika katefthinsis epanalipsi
Mathimatika katefthinsis epanalipsi
 
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
 
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
 
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
 

Similar to Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου

Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος Ιωσηφίδης
Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος ΙωσηφίδηςΧρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος Ιωσηφίδης
Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος ΙωσηφίδηςΘανάσης Δρούγας
 
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμήςThanasis Kopadis
 
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)Παύλος Τρύφων
 
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείουαποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείουChristos Loizos
 
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)Παύλος Τρύφων
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Μάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...Μάκης Χατζόπουλος
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41Σωκράτης Ρωμανίδης
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41Σωκράτης Ρωμανίδης
 
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Μάκης Χατζόπουλος
 
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΤελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσειςChristos Loizos
 
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]Μάκης Χατζόπουλος
 
Προσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο Σχολή
Προσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο ΣχολήΠροσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο Σχολή
Προσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο ΣχολήΜάκης Χατζόπουλος
 

Similar to Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου (20)

Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος Ιωσηφίδης
Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος ΙωσηφίδηςΧρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος Ιωσηφίδης
Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους ,Νίκος Ιωσηφίδης
 
Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018
 
40 advices
40 advices40 advices
40 advices
 
40 advices in_maths
40 advices in_maths40 advices in_maths
40 advices in_maths
 
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
 
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
 
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείουαποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
 
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
 
Mk k2 d
Mk k2 dMk k2 d
Mk k2 d
 
Bg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_telikoBg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_teliko
 
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
 
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΤελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
 
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
 
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
 
Προσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο Σχολή
Προσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο ΣχολήΠροσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο Σχολή
Προσομοιωτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό από τη Βαρβάκειο Σχολή
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΜάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη ΜαργαρώνηΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΜάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΜάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 

Recently uploaded

ΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptx
ΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptxΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptx
ΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptxLampriniMagaliou
 
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptxLouisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptxLampriniMagaliou
 
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥΟΛΓΑ ΤΣΕΧΕΛΙΔΟΥ
 
Μπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptx
Μπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptxΜπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptx
Μπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptxLampriniMagaliou
 
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptxΜέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptxLampriniMagaliou
 
Καρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptx
Καρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptxΚαρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptx
Καρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptxLampriniMagaliou
 
Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...
Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...
Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...LampriniMagaliou
 
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο ΑθήναςΑνακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο ΑθήναςTassos Karampinis
 
Τσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdf
Τσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdfΤσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdf
Τσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdfLampriniMagaliou
 
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptxΜωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptxLampriniMagaliou
 
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptxΜαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptxLampriniMagaliou
 
Λογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίας
Λογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίαςΛογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίας
Λογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίαςGeorge Papavasileiou
 
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο ΚαβάλαςΣυμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας7gymnasiokavalas
 
Καρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptx
Καρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptxΚαρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptx
Καρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptxLampriniMagaliou
 
Εξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptx
Εξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptxΕξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptx
Εξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptxLampriniMagaliou
 
Νιωθω ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
Νιωθω  ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docxΝιωθω  ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
Νιωθω ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docxΟΛΓΑ ΤΣΕΧΕΛΙΔΟΥ
 
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptxΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptxPapanikolaou Dimitris
 
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdfΆλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdfLampriniMagaliou
 

Recently uploaded (20)

ΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptx
ΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptxΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptx
ΕΡΝΕΣΤ ΧΕΜΙΝΓΟΥΕΪ, Ο ΓΕΡΟΣ ΚΑΙ Η ΘΑΛΑΣΣΑ _ ΜΠΑΡΜΠΑ ΓΕΩΡΓΙΑ.pptx
 
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptxLouisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
 
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
 
Μπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptx
Μπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptxΜπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptx
Μπουσμαλή Ξ.,Το καπλάνι της βιτρίνας.pptx
 
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptxΜέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
 
Καρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptx
Καρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptxΚαρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptx
Καρόλου Ντίκενς, ΟΛΙΒΕΡ ΤΟΥΙΣΤ_ Παρουσίαση της Γερμανίδου Δήμητρας.pptx
 
Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...
Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...
Δήμητρας Μήττα, Το Χοροστάσι της Γης_ Βιβλιοπαρουσίαση του μαθητή Χοϊλού Μ...
 
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο ΑθήναςΑνακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
 
Τσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdf
Τσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdfΤσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdf
Τσιανακούδας Δημ., Δήμητρας Μήττα: Το χοροστάσι της γης".pdf
 
YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024
YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024
YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024
 
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptxΜωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
 
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptxΜαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
 
Λογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίας
Λογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίαςΛογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίας
Λογισμικά παρουσίασης - Διαδραστικά συστήματα διδασκαλίας
 
Σεβασμός .
Σεβασμός                                           .Σεβασμός                                           .
Σεβασμός .
 
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο ΚαβάλαςΣυμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
 
Καρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptx
Καρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptxΚαρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptx
Καρλ Λιούις, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων_ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΑΝΘΗ_Παρουσίαση.pptx
 
Εξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptx
Εξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptxΕξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptx
Εξυπερύ, Ο ΜΙΚΡΟΣ ΠΡΙΓΚΙΠΑΣ_ Σεραφειμίδου Αφροδίτη.pptx
 
Νιωθω ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
Νιωθω  ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docxΝιωθω  ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
Νιωθω ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
 
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptxΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
 
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdfΆλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
 

Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου

  • 1. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος lisari.blogspot.com Αναπόδεικτα Θεωρήματα και Προτάσεις του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών στη Γ Λυκείου
  • 2. Τα 20 αναπόδεικτα θεωρήματα – προτάσεις του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Εισαγωγή Το 2018 έκανα μια εισήγηση στη Μαθηματική Εβδομάδα Θεσσαλονίκης και στην ημερίδα Ε.Μ.Ε Λιβαδειάς με θέμα «Γιατί; Why? Warum?» που ανέλυα γιατί είναι λάθος να μην διδάσκουμε όλες τις αποδείξεις που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο και ας είναι εκτός ύλης. Σήμερα, επιστρέφω και παρουσιάζω τις αποδείξεις των προτάσεων, θεωρημάτων που δεν είναι γραμμένες στο σχολικό βιβλίο και επαφίονται στον αναγνώστη. Κατά τη γνώμη μου αυτές οι αποδείξεις έχουν διδακτική αξία και πρέπει τουλάχιστον να υπάρχουν και να είναι διαθέσιμες προς μελέτη. Δεν είχα σκοπό να συμπεριλάβω με το ζόρι όλα όσα δεν είναι αποδεδειγμένα στο σχολικό βιβλίο και να βάλω από το «παράθυρο» αποδείξεις που απαιτούνται αρκετά λήμματα για να λυθούν. Ούτε είχα σκοπό να χρησιμοποιήσω ύλη που είναι εκτός διδακτικού πλαισίου για το σχολικό έτος 2020 – 21. Σκοπός μου ήταν να εξηγήσω απλά στους μαθητές πώς μπορούμε να αποδείξουμε κάποιες προτάσεις – θεωρήματα που το σχολικό βιβλίο γράφει «η απόδειξη παραλείπεται» και είναι στις δυνατότητές τους! Επειδή κάποιες αποδείξεις μπορεί να έχουν ξεχαστεί ή να υπάρχει κάποιο λάθος στις υπάρχουσες, εύχομαι να μου τα υποδείξετε στο lisari.blogspot@gmail.com για να τα συμπεριλάβω στην επόμενη έκδοση. Οι αποδείξεις είναι ενδεικτικές και προφανώς υπάρχουν αρκετές ακόμα… δεν έχω σκοπό να παρουσιάσω όλους τους τρόπους επίλυσης. Το επίπεδο δυσκολίας δεν είναι διαφορετικό από τις αποδείξεις που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο. Να τονίσουμε ότι δικαιολογημένα το σχολικό εγχειρίδιο δεν συμπεριλαμβάνει όλες αυτές τις αποδείξεις που υπάρχουν στο φυλλάδιο και τις αφήνει ως προβληματισμό και έρευνα στον αναγνώστη. Αθήνα – Κιάτο 16.10.20
  • 3. Πρόταση 1η: Συνάρτηση 1 – 1 Απόδειξη Έστω 1 2x x , όμως η f είναι 1 – 1 άρα ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x= , άρα 1 2x x= ■ Πρόταση 2η: Γνησίως μονότονη συνάρτηση στο διάστημα Δ Απόδειξη Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε για 1 2x , x Δ τέτοια ώστε ( ) ( )1 2f x f x= έχουμε: αν • αν 1 2x x έχουμε ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x= • αν 1 2x x έχουμε ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x= άρα 1 2x x= δηλαδή η f είναι 1 – 1. Ανάλογη είναι η απόδειξη αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ■ Πρόταση 3η: Ιδιότητες αντίστροφης συνάρτησης Απόδειξη Για κάθε x A έχουμε: ( )( ) ( )1 1 f f x f y x− = = Για κάθε ( )y f A έχουμε: ( )( ) ( )1 f f y f x y− = = ■
  • 4. Πρόταση 4η: Ιδιότητες ορίων Γεωμετρική ερμηνεία (όχι απόδειξη) α) Αν 0 τότε και η ( )f x 0 κοντά στο 0x , άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )g x f x= − προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f αν όλα τα σημεία της μετατοπισθούν κατά μονάδες προς κάτω. Άρα η ( )y g x= τείνει στο μηδέν όταν x τείνει στο 0x , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ανάλογα αν 0 . β) Αν 0x 0 τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )0g x f x x= + προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f αν όλα τα σημεία της μετατοπισθούν κατά 0x μονάδες προς αριστερά. Άρα πάλι η ( )y g x= θα τείνει στο , αν το x πλησιάζει το 0x 0= όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ανάλογα αν 0x 0 .
  • 5. Πρόταση 5η:Όριο και διάταξη (ii) Απόδειξη ii) Είναι, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 i x x x x lim f x 0 lim f x 0 f x 0 f x 0 → →   −  −    κοντά στο 0x ■ Πρόταση 6η: Όριο και διάταξη Απόδειξη Έστω ότι ( ) ( ) 0 0x x x x f x g xlim lim → →  τότε έχουμε ισοδύναμα: ( ) ( )( )0x x f x g x 0lim → −  άρα από γνωστή ιδιότητα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x 0 f x g x−    κοντά στο 0x άτοπο διότι ( ) ( )f x g x κοντά (;) στο 0x , άρα ( ) ( ) 0 0x x x x f x g xlim lim → →  ■ Πρόταση 7η: Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης Απόδειξη Έχουμε ισοδύναμα:
  • 6. ( ) ( ) x x x x ν ν 1 ν ν 1 1 0 v 0 ν ν 1 1 v 1 v ν ν P(x) α x α x ... α x α α1 1 x α α ... α x x x α x lim lim lim lim →+ →+ →+ →+ − − − − = + + + +    = + + + +      = διότι, x 0 ν ν 1 1 νv 1 v α1 1 α α ... α α x x x lim →+ − −   + + + + =    Ανάλογα και όταν το x→−■ Πρόταση 8η: Όριο ρητής συνάρτησης Απόδειξη Έχουμε ισοδύναμα: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x ν ν 1 ν ν 1 1 0 κ κ 1 κ κ 1 1 0 ν ν 1 ν ν 1 1 0 κ κ 1 κ κ 1 1 0 ν ν κ κ ν ν κ κ α x α x ... α x α f(x) β x β x ... β x β α x α x ... α x α β x β x ... β x β α x β x α x β x lim lim lim lim lim lim lim →+ →+ →+ →+ →+ →+ →+ − − − − − − − − + + + + = + + + + + + + + = + + + + =   =     Ανάλογα και όταν το x→−■ Πρόταση 9η: Πράξεις συνεχών συναρτήσεων
  • 7. Απόδειξη αθροίσματος Έχουμε ισοδύναμα: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0x x x x x x x x 0 0 0f g x f x g x f x g x f x g x f g xlim lim lim lim → → → → + = + = + = + = + άρα η συνάρτηση f g+ είναι συνεχής στο 0x . Ανάλογα αποδεικνύονται και οι άλλες πράξεις των συνεχών συναρτήσεων■ Πρόταση 10η: Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Απόδειξη Έχουμε ισοδύναμα: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0x x x x u f 0 0 x g f x g f x g u g f x g f xlim lim lim → → → = = = = όπου ( )u f x= και ( ) ( ) 0x x 0 0u f x f xlim → = = διότι η f είναι συνεχής στο 0x ■ Πρόταση 11η: Παράγωγος πηλίκου Απόδειξη Έχουμε ισοδύναμα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 1 f x f x x f x x g g g g x1 f x f x g x g x f x g x f x g x g x         = +            − = +  − =
  • 8. Πρόταση 12η: Θεώρημα Rolle Σημείωση: Η απόδειξη του θεωρήματος Rolle θα γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Fermat, όμως στο σχολικό βιβλίο το Θεώρημα Rolle προηγείται του Θεωρήματος Fermat, άρα δεν επιτρέπεται η χρησιμοποίησή του. Η απόδειξη παρατίθεται μόνο για διδακτικούς σκοπούς. Απόδειξη Αν η συνάρτηση f είναι σταθερή στο  α,β , τότε ( )f ξ 0 = για κάθε  ξ α,β . Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή, τότε επειδή η f είναι συνεχής στο  α,β , άρα από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν  1 2x , x α,β τέτοια ώστε για κάθε  x α,β να ισχύουν: ( ) ( ) ( )1 2f x f x f x  με ( ) ( )1 2f x f x (αφού δεν είναι σταθερή). Τα σημεία 1 2x ,x δεν μπορεί να είναι και τα δύο άκρα του διαστήματος  α,β , διότι αν ισχύει για λόγου χάρη 1x α= και 2x β= (όμοια αν 1x β= και 2x α= ) τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2f α f x f x f β f x=   = που είναι άτοπο, διότι ( ) ( )f α f β= . Επομένως, ένα τουλάχιστον από τα 1 2x ,x ανήκουν στο ανοικτό διάστημα ( )α,β οπότε εφαρμόζεται το Θεώρημα Fermat, οπότε το ξ ισούται με το 1x ή με το 2x . Πρόταση 13η: Θεώρημα Μέσης Τιμής Απόδειξη Έστω η συνάρτηση ( ) ( )( ) ( ) ( )( )g x f x β α f β f α x= − − − ,  x α,β ,
  • 9. τότε: • η g είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  α,β • η g είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( )α,β με ( ) ( )( ) ( ) ( )( )g x f x β α f β f α = − − − • ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )g α f α β α f β f α α βf α αf β= − − − = − και ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )g β f β β α f β f α β βf α αf β= − − − = − άρα ( ) ( )g α g β= οπότε ικανοποιείται το Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση g στο κλειστό διάστημα  α,β , άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ α,β τέτοιο ώστε: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f β f α g ξ 0 f ξ β α f β f α 0 f ξ β α −   =  − − − =  = − ■ Πρόταση 14η: Απόδειξη Έστω ότι η γραφική παράσταση της f είναι κυρτή στο ( 0 0x δ,x− και κοίλη στο  )0 0x ,x δ+ , άρα η f  είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0 0x δ, x− και γνησίως φθίνουσα στο ( )0 0x , x δ+ . Επειδή η f  είναι συνεχής στο 0x σύμφωνα με το Θεώρημα της παραγράφου 2.7 η f  παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0x . Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Fermat, έχουμε: ( ) ( ) ( )0 0f x 0 f x 0 =  = . Όμοια, είναι η απόδειξη αν f είναι κοίλη στο ( 0 0x δ,x− και κυρτή στο  )0 0x ,x δ+ ■ Πρόταση 15η: Πλάγια – οριζόντια ασύμπτωτη Απόδειξη
  • 10. Η ευθεία y λx β= + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + άρα ισχύει: ( )x f(x) λx β 0lim →+ − + =   Έστω, ( ) ( ) ( )g x f x λx β= − + (1), οπότε x g(x) 0lim →+ = . Η (1) γίνεται: ( ) ( )f x g x λx β= + + , επομένως: ( ) ( )x x x g x λx βf(x) 1 β g x λ 0 0 λ 0 λ x x x x lim lim lim →+ →+ →+ + +   = = + + =  + + =   και ( ) ( )( ) ( )( )x x x f(x) λx g x λx β λx g x β 0 β βlim lim lim →+ →+ →+ − = + + − = + = + = . Ανάλογη απόδειξη και όταν x→−■ Πρόταση 16η: Παραγοντική ολοκλήρωση Απόδειξη Έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β β α α β α β β α α ββ α α f x g x dx f x g x f x g x f x g x dx f x g x f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x f x g x dx    = + −   = −    = − = −         Πρόταση 17η: Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής
  • 11. Απόδειξη Έστω F μια παράγουσα της f στο διάστημα  α,β , άρα ( ) ( )F u f u = (1) οπότε ( )( ) ( )( )F g x f g x = και άρα ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 β β α α β α 2 1 u u u u u u f g x g x dx F g x g x dx F g x F g β F g α F u F u F u F u du f u du   =  =   = − = − =    = =     Πρόταση 18η: Θεώρημα Charles Απόδειξη Έστω F μια αρχική συνάρτηση της f στο διάστημα Δ τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) β β αα γ β α γ f (x)dx F x F β F α F β F α F γ F γ F γ F α F β F γ f (x)dx f (x)dx = = −   = − + − = − + − = +    Πρόταση 19η: Γεωμετρική ερμηνεία ορισμένου ολοκληρώματος
  • 12. Απόδειξη Αν ( )f x 0 για κάθε  x α,β , τότε θα αποδείξουμε ότι β α f(x)dx 0 . Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )ν ν ν β κ κ κ α κ 1 κ 1 f x 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f(x)dx 0lim → = =            ■ Πρόταση 20η: Πρόσημο ολοκληρώματος Απόδειξη Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )ν ν ν β κ κ κ α κ 1 κ 1 f x 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f(x)dx 0lim → = =            διότι στο άθροισμα ( ) ν κ κ 1 f ξ Δx =  ένας τουλάχιστον όρος είναι θετικός και υπόλοιποι είναι μη αρνητικοί ■