Στέλιος Μιχαήλογλου και Ευάγγελος Τόλης για το askisiopolis

1. Άλγεβρα Β΄ Λσκείοσ
Τριγωμομετρία
Στέλιος Μιταήλογλοσ
Εσάγγελος Τόλης
www.askisopolis.gr

3. 11
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
1. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
1.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Οι παρακάτω έννοιες που θα αναφέρουµε συµπεριλαµβάνονται στη διδακτέα ύλη της Α′ Λυκείου,
οπότε το περιεχόµενό τους δεν αποτελεί εξεταστέα ύλη για τη Β′ Λυκείου. Οι συγγραφείς όµως συ-
νιστούµε στους µαθητές να δώσουν ιδιαίτερη βαρύτητα στο περιεχόµενο αυτής της ενότητας, γιατί
είναι βασικό για την κατανόηση και εµπέδωση της Τριγωνοµετρίας.
Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας (0° < ω < 90°
)
σε ορθογώνιο τρίγωνο
Από την ύλη του Γυµνασίου είναι γνωστό ότι:
AB
ηµω
ΒΓ
=
ΑΒ
εφω
ΑΓ
=
ΑΓ
συνω
ΒΓ
=
ΑΓ
σφω
ΑΒ
=
Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε ω 90≥
Έστω ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Oxy. Αν
ηµιάξονας Οx στραφεί κατά τη θετική φορά (αντίθε-
τα µε τους δείκτες του ρολογιού) µέχρι τη θέση Οz′ ,
τότε διαγράφει τη γωνία ω′. Στο ορθογώνιο τρίγωνο
ΟΑ Μ′ ′ που σχηµατίζεται είναι
2 2
(OM ) ρ (x ) (y ) 0′ ′ ′ ′= = + > και
y x y x
ηµω , συνω , εφω , σφω
ρ ρ x y
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′= = = =
′ ′ ′ ′
.
Κατ’ επέκταση αν ο ηµιάξονας Ox ο οποίος ονο-
µάζεται αρχική πλευρά κινηθεί µέχρι τη θέση Oz (τε-
λική πλευρά), τότε παράγει µια γωνία ω. Αν Μ(x,y)
σηµείο της Oz και 2 2
(OM) ρ x y 0= = + > , τότε
ορίζουµε:
y x y x
ηµω , συνω , εφω (x 0) , σφω (y 0)
ρ ρ x y
= = = ≠ = ≠
Στην τριγωνοµετρία θεωρούµε ότι υπάρχουν γωνίες µεγαλύτερες των 360°. Αν ο ηµιάξονας Ox κι-
νηθεί κατά τη θετική φορά και συµπληρώσει ρ πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία
ω, τότε θα έχει διαγράψει τη γωνία ρ 360 ω⋅ + . Αν αντίστοιχα κινηθεί κατά την αρνητική φορά κατά
ρ πλήρεις στροφές και µετά διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ρ 360 ω− ⋅ + . Οι πα-

4. 12
ραπάνω γωνίες έχουν την ίδια τελική πλευρά Οz µε τη γωνία ω, εποµένως θα έχουν και τους ίδιους
τριγωνοµετρικούς αριθµούς.
Για κάθε κ ∈ ισχύει:
ηµ(κ 360 ω) ηµω⋅ + = εφ(κ 360 ω) εφω⋅ + =
συν(κ 360 ω) συνω⋅ + = σφ(κ 360 ω) σφω⋅ + =
Τριγωνοµετρικός κύκλος
Για τον καλύτερο προσδιορισµό των τριγωνοµετρικών αριθµών, όπως τους ορίσαµε προηγουµένως
σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Oxy, χρησιµοποιούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο.
Τριγωνοµετρικός κύκλος λέγεται ο κύκλος που έχει ακτίνα 1 και στο κέντρο του αντιστοιχεί
το σηµείο Ο(0,0) ενός ορθοκανονικού συστήµατος αξόνων.
Για τη γωνία ω έχουµε (ΟΜ) ρ 1= = και
y x
ηµω y , συνω x
1 1
= = = = .
Οπότε ο άξονας y y′ λέγεται άξονας ηµι-
τόνων και ο άξονας x x′ λέγεται άξονας συ-
νηµιτόνων.
Οπότε για κάθε γωνία ω ισχύει ότι:
1 ηµω 1− ≤ ≤ , 1 συνω 1− ≤ ≤
Φέρνουµε την εφαπτοµένη ε1 του κύκλου
στο σηµείο Α. Από την οµοιότητα των τρι-
γώνων ΟΓΜ και ΟΑ∆ προκύπτει ότι
y
εφω Α∆
x
= = , ενώ από την οµοιότητα των
τριγώνων ΟΒΜ και ΟΖΗ έχουµε
x
σφω ZH
y
= = . Οπότε η ευθεία ε1 λέγεται
άξονας εφαπτοµένων και η ευθεία ε2 λέγεται άξονας συ-
νεφαπτοµένων. Για να βρούµε την εφαπτοµένη ή τη συ-
νεφαπτοµένη οποιασδήποτε γωνίας, προεκτείνουµε την
ακτίνα του κύκλου που αντιστοιχεί η τελική πλευρά της
γωνίας έτσι, ώστε να τέµνει τις ευθείες ε1 και ε2.
Από τον τριγωνοµετρικό κύκλο, για τα πρόσηµα των
τριγωνοµετρικών αριθµών στα διάφορα τεταρτηµόρια
προκύπτει ο διπλανός πίνακας.

5. 13
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Ως προς το ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Oxy, δίνου-
µε τις συντεταγµένες διαφόρων χαρακτηριστικών σηµείων
του τριγωνοµετρικού κύκλου, όπως εµφανίζονται στο δι-
πλανό σχήµα.
Ακτίνιο - Τριγωνοµετρικοί αριθµοί βασικών γωνιών
Το ακτίνιο (rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη ενός κύκλου (O, R), βαίνει σε τόξο
που έχει µήκος R.
Τα τόξα τα µετράµε σε µοίρες ή σε ακτίνια. Η σχέση που συνδέει ένα τόξο µ0
και α rad είναι
α µ
π 180
= . Από τη σχέση αυτή ολόκληρος ο κύκλος είναι τόξο 3600
και αντιστοιχεί σε 2π rad.
Το µήκος S ενός τόξου α rad σε κύκλο ακτίνας ρ δίνεται από τη σχέση S α ρ= ⋅ .
Αν σε σηµείο Μ του τριγωνοµετρικού κύκλου αντιστοιχεί τόξο
ω0
µοιρών ή θ rad, τότε στο σηµείο Μ αντιστοιχούν άπειρα τόξα
της µορφής 0 0
κ 360 ω⋅ + ή 2κπ θ , κ+ ∈ . Ισχύει ότι:
ηµ(2κπ θ) ηµθ+ = εφ(2κπ θ) εφθ+ =
συν(2κπ θ) συνθ+ = σφ(2κπ θ) σφθ+ =
ΠΙΝΑΚΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΤΡΙΓΩΝ. ΑΡΙΘΜΩΝ
Γωνία θ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
µοίρες rad ηµθ συνθ εφθ σφθ
0° 0 0 1 0 δεν ορίζεται
30°
π
6
1
2
3
2
3
3
3
45°
π
4
2
2
2
2
1 1
60°
π
3
3
2
1
2
3
3
3
90°
π
2
1 0 δεν ορίζεται 0
180° π 0 –1 0 δεν ορίζεται
270°
3π
2
–1 0 δεν ορίζεται 0
360° 2π 0 1 0 δεν ορίζεται

6. 14
Μέθοδος ______________________________________________________________
Μετατροπή ακτινίων σε µοίρες και αντιστρόφως
Για να µετατρέψουµε σε µοίρες ένα τόξο που δίνεται σε rad ή και το αντίστροφο, χρησιµοποιούµε
τη σχέση:
α µ
π 180
=
και κάνοντας αντικατάσταση αυτό που γνωρίζουµε βρίσκουµε το ζητούµενο. Συνήθως τα rad εκ-
φράζονται συναρτήσει του αριθµού π.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να εκφράσετε:
I. τη γωνία
7π
rad
6
σε µοίρες II. τη γωνία 75° σε rad.
Λύση
I. Από τη σχέση ο
α µ
π 180
= για
7π
α
6
= έχουµε:
ο
7π
µ 7 π6
π 180
= ⇔
6 π
oµ
6µ 7 180
110
= ⇔ = ⋅ ⇔ o
µ 210=
II. Από τη σχέση o
α µ
π 180
= για µ = 75°
έχουµε:
ο
ο
α 75 α 5
π π 12180
= ⇔ = ⇔
5π
α
12
=
Μέθοδος ______________________________________________________________
Υπολογισµός τριγωνοµετρικών αριθµών µεγαλύτερων των 360ο
Όταν ζητείται να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί µιας γωνίας ω° που είναι µεγαλύτερη
από 3600
, τότε κάνουµε τη διαίρεση ω:360. Έστω κ το πηλίκο της διαίρεσης και υ το υπόλοιπο.
Από την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης έχουµε ότι ω 360 κ υ= + , όπου κ Z∈
0 υ 360≤ < .
Οπότε οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας ω είναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς
της γωνίας υ°.

7. 15
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Όταν τα τόξα δίνονται σε rad και είναι της
µορφής
∆π
rad
δ
, τότε εκτελούµε τη διαίρεση ∆:δ
και έστω κ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο. Οπότε
το κλάσµα γίνεται:
∆ κδ υ υ υπ
π π κ π κπ
δ δ δ δ
+ ⎛ ⎞
= = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
κ είναι άρτιος: η τελική πλευρά του τόξου κπ βρίσκεται στο σηµείο Α και οι τριγωνοµετρι-
κοί αριθµοί του τόξου
∆π
δ
είναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου
υπ
δ
.
κ είναι περιττός: η τελική πλευρά του τόξου κπ βρίσκεται στο σηµείο Β και οι τριγωνοµε-
τρικοί αριθµοί του τόξου
∆π
δ
ισούνται µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου
υπ
π
δ
+ .
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
2. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των παρακάτω γωνιών:
I. 2790° II.
25π
3
III.
177π
6
Λύση
I. Εκτελούµε τη διαίρεση 2790°:360° και προκύπτει πηλίκο 7 και υπόλοιπο 270°.
Οπότε 2790 7 360 270= ⋅ + .
Έχουµε: ηµ2790 ηµ270 1= = − 0 0
εφ2790 εφ270= = δεν ορίζεται
συν2790 συν270 0= = σφ2790 σφ270 0= =
II. Εκτελούµε τη διαίρεση 25:3 και έχουµε 25 8 3 1= ⋅ + .
Άρα
25π 8 3 1 1 π
π 8 π 8π
3 3 3 3
⋅ + ⎛ ⎞
= = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Επειδή το 8π είναι άρτιο πολλαπλάσιο του 2π τότε:
25π π 3
ηµ ηµ
3 3 2
= =
25π π 1
συν συν
3 3 2
= =
25π π
εφ εφ 3
3 3
= =
25π π 3
σφ σφ
3 3 3
= =

8. 16
III. Κάνουµε τη διαίρεση 177:6 και έχουµε 177 29 6 3= ⋅ + . Οπότε
177π 3π
29π
6 6
= + .
Επειδή το 29π είναι περιττό πολλαπλάσιο του π, τότε οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου
177π
6
θα ισούνται µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου
3π 9π 3π
π
6 6 2
+ = = .
Έχουµε:
177π 3π 3π
ηµ ηµ π ηµ 1
6 6 2
⎛ ⎞
= + = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
177π 3π
συν συν 0
6 2
= =
177π 3π
εφ εφ ,
6 2
= δεν ορίζεται
177π 3π
σφ σφ 0
6 2
= = .
Μέθοδος ______________________________________________________________
Πρόσηµο τριγωνοµετρικών αριθµών
Για να βρίσκουµε εύκολα το πρόσηµο των τριγωνοµετρικών
αριθµών υπάρχει µε τη βοήθεια του τριγωνοµετρικού κύκλου ο
µνηµονικός κανόνας
Ο Η Ε Σ
που αναφέρεται στα θετικά πρόσηµα. Να τονίσουµε ότι εφα-
πτοµένη και συνεφαπτοµένη είναι οµόσηµες.
Π.χ. στο 2ο
τεταρτηµόριο το ηµίτονο είναι θετικό και οι υπό-
λοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί (συν, εφ, σφ) είναι αρνητικοί.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
3. Αν
9π 14π
x
2 3
< < , να αποδείξετε ότι ηµx συνx εφx σφx 0− − − > .
Λύση
Παρατηρούµε ότι
9π π 14π 2π
4π , 4π
2 2 3 3
= + = + .
Άρα η τελική πλευρά της γωνίας x είναι µεταξύ του
π
2
και του
2π
3
, δηλαδή στο 2° τεταρτηµόριο,
όπου:
( )
ηµx 0
συνx 0 συνx 0
ηµx συνx εφx σφx 0
εφx 0 εφx 0
σφx 0 σφx 0
+
> ⎫
⎪< ⇔ − > ⎪
⇒ − − − >⎬
< ⇔ − > ⎪
⎪< ⇔ − > ⎭
.
π
2
3π
2
x
π
Ημιτον. Όλα
Εφαπτ. Συνημίτονο
0
2π
12
3 4
ο ο
ο ο
x΄
y
y΄
++
+ +

9. 17
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
4. Αν ισχύει
π
x π
2
< < , να αποδείξετε ότι: 2
συνxηµ x 2ηµxσυνx συνx σφx 0− + + < .
Λύση
Έχουµε ότι: 2
συνxηµ x 2ηµxσυνx συνx σφx 0− + + < ⇔
( )2
συνx ηµ x 2ηµx 1 σφx 0− + + < ⇔ 2
συνx(ηµx 1) σφx 0− + <
Όµως επειδή η γωνία x βρίσκεται στο 2ο τεταρτηµόριο όπου
2
2συνx 0 συνx(ηµx 1) 0
συνx(ηµx 1) σφx 0
σφx 0
⎫< ⇔ − < ⎪
⇒ − + <⎬
< ⎪⎭
.
Άρα αποδείχθηκε το ζητούµενο. Παρατήρηση: 2 2
ηµ x (ηµx)=
Μέθοδος _____________________________________________________________
Μέγιστες και ελάχιστες τιµές παραστάσεων
Στις ασκήσεις που αναφέρονται σε τιµές παραστάσεων, οι οποίες περιέχουν ηµίτονα και συνηµί-
τονα κάποιων γωνιών, λαµβάνουµε υπόψη ότι:
2
2
1 ηµω 1 ηµω 1 0 ηµ ω 1
1 συνω 1 συνω 1 0 συν ω 1
− ≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤
− ≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤
Σε ασκήσεις αυτής της κατηγορίας εφαρµόζουµε συνήθως τις ιδιότητες διάταξης.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
5. Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή της παράστασης
2
Α 3ηµx 2συν ω 1= − − .
Λύση
Γνωρίζουµε ότι 1 ηµx 1− ≤ ≤ οπότε 3 3ηµx 3− ≤ ≤ (1)
Επίσης
( 2)
2 2 2
0 συν ω 1 0 2συν ω 2 2 2συν ω 0
−
≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ − ≤ − ≤ (2)
Προσθέτοντας τις σχέσεις (1), (2) κατά µέλη έχουµε:
2
2
2
3 3ηµx 3
2 2συν ω 0
5 3ηµx 2συν ω 3 (προσθέτoυµε σε όλα τα µέλη το –1)
5 1 3ηµx 2συν ω 1 3 1
6 A 2
− ≤ ≤
+ − ≤ − ≤
− ≤ − ≤ ⇔
− − ≤ − − ≤ − ⇔
− ≤ ≤
Άρα, η ελάχιστη τιµή της παράστασης είναι το –6 και η µέγιστη το 2.

10. 18
6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγµατικός αριθµός x τέτοιος ώστε:
I. 2
ηµ x 3 5ηµx 3+ < − II. 2
συνx α 4α 9 , α= + + ∈ .
Λύση
I. Υποθέτουµε ότι υπάρχει x∈ τέτοιος ώστε να ισχύει:
2 2
ηµ x 3 5ηµx 3 ηµ x 5ηµx 6 0+ < − ⇔ − + <
Θέτουµε ηµx = ω οπότε 2
ω 5ω 6 0− + < (1)
2
∆ ( 5) 4 1 6 25 24 1= − − ⋅ ⋅ = − =
1,2
2
β ∆ 5 1
ω
2α 2 3
=
− ± ±
= =
=
Για να ισχύει η (1) θα πρέπει 2<ω<3, δηλαδή 2<ηµx<3, πράγµα άτοπο γιατί 1 ηµx 1− ≤ ≤ .
II. Έχουµε ότι 2 2 2
α 4α 9 α 4α 4 5 (α 2) 5 5+ + = + + + = + + ≥
επειδή 2
(α 2) 0+ ≥ . Οπότε 2
α 4α 9 5+ + ≥ , δηλαδή συνx 5≥ , άτοπο γιατί συνx 1≤ .

11. 19
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
ΕΞΑΣΚΗΣΗ
7. Να µετατρέψετε σε rad τις παρακάτω γωνίες:
I. 210° II. 1845° III. –150° IV. – 450°.
(Aπ.: I.
7π
6
, II.
41π
4
, III.
5π
6
− , IV.
5π
2
− )
8. Να µετατρέψετε σε µοίρες τα παρακάτω τόξα:
I.
7π
rad
12
II.
11π
rad
6
III.
π
rad
8
IV. 40rad−
(Απ.: I. 105°, II. 330°, III. 22,5°, IV.
7200
π
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
)
9. ∆ύο γωνίες έχουν άθροισµα 900
και διαφορά
π
rad
4
. Να βρείτε σε rad την κάθε γωνία.
(Απ.:
3π π
x , y
8 8
= = )
10. Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών:
I. 1350° II. 27π rad III.
91π
3
IV.
2006π
4
(Απ.: I. ηµ1350 ηµ270 1,...= = − , II. ηµ27π ηµπ 0,...= =
III.
91π π 3
ηµ ηµ ,...
3 3 2
= = , IV.
2006π 3π
ηµ ηµ 1,...
4 2
= = − )
11. Αν ( )M 1, 3− − σηµείο της τελικής πλευράς γωνίας θ, να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των
γωνιών 2κπ θ , κ+ ∈ και το τεταρτηµόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας θ.
(Απ.:
3
ηµ(2κπ θ)
2
+ = − ,
1
συν(2κπ θ) ,...
2
+ = − , 3ο
τεταρτηµόριο)
12. Αν
5π
x 3π
2
< < , να αποδείξετε ότι: ηµx εφx συνx σφx− > + .
13. Αν
3π
π ω
2
< < , να αποδείξετε ότι: συνω 1 3εφω 4σφω 0+ + + > .
(Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι –1<συνω<1)
14. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγµατικός αριθµός x τέτοιος, ώστε:
I. 2
ηµ x 12 7ηµx+ ≤ II. 2
συν x 1 συνx 5− = + .

12. 20
15. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των παρακάτω παραστάσεων:
2
A 1 ηµ x= − , 2
B συνx 2ηµ ω 3= − − , 4
Γ 2ηµ x 3συνω= − .
(Απ. 0 A 1≤ ≤ , 6 B 2− ≤ ≤ − , 3 Γ 5− ≤ ≤ )
16. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες
7π
θ 2κπ
5
= + και
13π
φ 2ρπ
5
= − , κ,ρ∈ , έχουν τους ίδιους τριγω-
νοµετρικούς αριθµούς.
(Υπόδειξη: ∆είξτε ότι διαφέρουν κατά ακέραιο πολ/σιο του 2π)
17. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πραγµατικός αριθµός x τέτοιος ώστε:
2
συνx 4κ 4κ 3 , κ= − + ∈ .
18. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω ζεύγη γωνιών έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς:
I. ω κ 360 150 , φ λ 360 210= ⋅ − = ⋅ + II.
7π 9π
ω 2κπ , φ 2λπ , κ,λ
4 4
= − = + ∈ .
19. ∆ίνονται οι γωνίες
π
ω 2ρπ
4
= + και θ 2λπ π , ρ, λ= + ∈ . Να βρεθούν τα σηµεία στα οποία η
τελική τους πλευρά τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, καθώς επίσης και η απόσταση των ση-
µείων αυτών.
(Απ.: 1 2(Μ Μ ) 2 2= + )

13. 21
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
Από τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών και µε τη βοήθεια του τριγωνοµετρικού κύκλου
για µια γωνία ω αποδεικνύονται οι παρακάτω τριγωνοµετρικές ταυτότητες:
1. 2 2
ηµ ω συν ω 1+ = (ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ)
2.
ηµω συνω
εφω , συνω 0 και σφω , ηµω 0.
συνω ηµω
= ≠ = ≠
3. εφω σφω 1⋅ =
4. Σχέσεις που δίνουν το ηµω και το συνω συναρτήσει της εφω είναι:
2
2
2
εφ ω
ηµ ω
1 εφ ω
=
+
2
2
1
συν ω
1 εφ ω
=
+
Μέθοδος _____________________________________________________________
Εύρεση τριγωνοµετρικών αριθµών
1η περίπτωση:
Γνωρίζουµε ηµίτονο ή συνηµίτονο, οπότε:
(α) χρησιµοποιούµε την 2 2
ηµ ω συν ω 1+ = και βρίσκουµε συνηµίτονο ή ηµίτονο
(β) χρησιµοποιούµε
ηµω
εφω
συνω
= ,
1
σφω
εφω
= και βρίσκουµε εφαπτοµένη, συνεφαπτοµένη.
2η περίπτωση:
Γνωρίζουµε εφαπτοµένη ή συνεφαπτοµένη, οπότε:
(α) χρησιµοποιούµε 2
2
1
συν ω
1 εφ ω
=
+
και βρίσκουµε συνηµίτονο
(β) χρησιµοποιούµε
ηµω
εφω ηµω εφω συνω
συνω
= ⇔ = ⋅ και βρίσκουµε ηµίτονο.
Προσοχή στα πρόσηµα, ανάλογα µε τα τεταρτηµόρια !!!

14. 22
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
20. Αν
3
συνx
5
= και
3π
x 2π
2
< < , να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad.
Λύση
Έχουµε:
2
2 2 2 23 9
ηµ x συν x 1 ηµ x 1 ηµ x 1
5 25
⎛ ⎞
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 29 16 4
ηµ x 1 ηµ x ηµx
25 25 5
= − ⇔ = ⇔ = ± .
Επειδή
3π
x 2π
2
< < , η γωνία βρίσκεται στο 4ο
τεταρτηµόριο όπου
ηµx<0, άρα
4
ηµx
5
= − .
Επίσης,
4
ηµx 45εφx
3συνx 3
5
−
= = = − και
1 3
σφx
εφx 4
= = − .
21. Αν
4
σφx
3
= και
3π
π x
2
< < , να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης
3συνx 4ηµx
Α
ηµx συνx
−
=
⋅
.
Λύση
Είναι
4
σφx
3
= , άρα
3
εφx
4
= .
Υπολογίζουµε τα συνx και ηµx: 2
2 2
1 1 1 1 16 4
συν x συνx
9 25 25 51 εφ x 3 11 16 164
= = = = = ⇔ = ±
+ ⎛ ⎞ ++ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Aλλά
3π
π x
2
< < , δηλαδή η γωνία x βρίσκεται στο 3ο
τεταρτηµόριο
όπου συνx<0, άρα
4
συνx
5
= − .
Επίσης:
ηµx 3 4 3
εφx ηµx εφx συνx ηµx
συνx 4 5 5
⎛ ⎞
= ⇔ = ⋅ ⇔ = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Οπότε:
4 3 12 123 4
3συνx 4ηµx 5 5 5 5A 0
123 4ηµx συνx
255 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = =
−⋅ ⎛ ⎞
− ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
.

15. 23
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
22. Αν εφx = 4σφx και
3π
x 2π
2
< < , να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad.
Λύση
Έχουµε: 2
3π
εφx 2 απορρίπτεται γιατί x 2πεφx 4σφx 24
εφx εφ x 41
σφx εφx
εφx εφx= 2
= < <=⎧
⎪
⇔ = ⇔ = ⇔⎨
=⎪
⎩ −
Άρα, 2
2 2
1 1 1 1
συν x
1 4 51 εφ x 1 ( 2)
= = = = ⇔
++ + −
4o τεταρτηµόριο
1 5
συνx συνx
55
= ± ⇔ = +
και
ηµx 5 2 5
εφx ηµx εφxσυνx ηµx ( 2) ηµx
συνx 5 5
−
= ⇔ = ⇔ = − ⇔ = .
23. Αν
π
3ηµx 4συνx 5 , x 0,
2
⎛ ⎞
+ = ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
, να υπολογίσετε την εφx.
Λύση
Επειδή δεν γνωρίζουµε κανέναν τριγωνοµετρικό αριθµό και
συνx 0≠ (γιατί
π
x 0,
2
⎛ ⎞
∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
), διαιρούµε και τα δύο µέλη µε συνx
για να σχηµατίσουµε την εφx.
Οπότε:
3ηµx 4συνx 5 1
3εφx 4 5
συνx συνx συνx συνx
+ = ⇔ + =
Υψώνουµε στο τετράγωνο και έχουµε:
2
2
2 1
1 εφ x
συνx
1
(3εφx 4) 25
συν x ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ = ⇔
2 2
9εφ x 24εφx 16 25(1 εφ x)+ + = + ⇔
2 2
9εφ x 24εφx 16 25 25εφ x+ + = + ⇔
2 2
16εφ x 24εφx 9 0 (4εφx 3) 0− + = ⇔ − = ⇔
4εφx 3 0− = ⇔
3
εφx
4
= .
Τότε από τη σχέση 2
2
1
συν x
1 εφ x
=
+
προκύπτει ότι
4
συνx
5
= και
3
ηµx
5
= που είναι δεκτές τιµές.
ΣΧΟΛΙΟ
Υψώνουµε και τα δύο µέ-
λη στο τετράγωνο, µια µέθο-
δος που εφαρµόζεται συχνά
στην τριγωνοµετρία και µας
βοηθά στην επίλυση των α-
σκήσεων. Στο τέλος κάνουµε
επαλήθευση των ριζών στην
αρχική εξίσωση.

16. 24
ΕΞΑΣΚΗΣΗ
24. Αν
12
ηµθ
13
= και
π
θ π
2
< < , να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας
θ rad.
(Απ.:
5
συνθ
13
= − ,
12
εφθ
5
= − ,
5
σφθ
12
= − )
25. Αν σφx = 2 και
3π
π x
2
< < , να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης
συνx ηµx
K
σφx εφx
+
=
+
.
(Απ.:
6 5
K
25
= − )
26. Αν
9π
ω 5π
2
< < και 2
16σφ ω 9= , να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης
1 εφω
Κ
ηµω συνω
+
=
+
.
(Απ.:
5
Κ
3
= − )
27. Αν 2 2
3συν x ηµ x 0− = και
π
x π
2
< < , να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας
x rad.
(Απ.:
1
συνx
2
= − ,
3
ηµx
2
= , εφx 3= − ,
3
σφx
3
= − )
28. Αν 6συνx 8ηµx 10− = και
π
x ,π
2
⎛ ⎞
∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
, να βρείτε την εφx.
(Απ.:
4
εφx
3
= − )

17. 25
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Μέθοδος _____________________________________________________________
Απόδειξη τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων και ανισοτήτων
Για να αποδείξουµε µια τριγωνοµετρική ταυτότητα εργαζόµαστε µε έναν από τους παρακάτω τρόπους:
1ος
τρόπος: Αρχίζουµε από το πιο πολύπλοκο µέλος, και καταλήγουµε κάνοντας πράξεις και ε-
φαρµόζοντας τις βασικές ταυτότητες καταλήγουµε στο άλλο µέλος.
2ος
τρόπος: Κάνοντας πράξεις ξεχωριστά στα δύο µέλη καταλήγουµε στην ίδια παράσταση (αποτέλε-
σµα).
3ος
τρόπος: Αρχίζουµε από γνωστή ταυτότητα και µε µετασχηµατισµούς εµφανίζουµε την ισότη-
τα που µας ζητείται.
4ος
τρόπος: Κάνουµε πράξεις ταυτόχρονα και στα δύο µέλη και κρατώντας τις ισοδυναµίες κα-
ταλήγουµε σε προφανή ισότητα.
Όταν πρόκειται για τριγωνοµετρική ανισότητα, τότε ξεκινώντας από αυτή µε ισοδυναµίες καταλή-
γουµε σε κάτι που ισχύει.
Θα αναφερθούµε πιο κάτω σε κάποια από τα συνηθέστερα «τεχνάσµατα» που χρησιµοποιούµε
στην επίλυση ασκήσεων τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων.
1. Από τον θεµελιώδη νόµο αντικαθιστούµε ανάλογα:
2 2
ηµ x 1 συν x= − , 2 2
συν x 1 ηµ x= −
2. Αν έχουµε σε άσκηση εφx, σφx, ηµx ή συνx, τότε αντικαθιστούµε:
ηµx συνx
εφx , σφx
συνx ηµx
= =
3. Προσπαθούµε να εµφανίσουµε εφx σφx 1⋅ = ή να εκφράσουµε:
1
εφx
σφx
= ή
1
σφx
εφx
=
4. Αν έχουµε παραστάσεις των µορφών 1 ηµθ± ή 1 συνθ± , πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε τις
συζυγείς τους παραστάσεις 1 ηµθ∓ ή 1 συνθ∓ για να εµφανίσουµε µε τη βοήθεια της ταυτότη-
τας (α – β)(α + β) = α2
– β2
τέλεια τετράγωνα.
5. Αποδεικνύεται εύκολα και µπορούµε να χρησιµοποιούµε σε ασκήσεις ότι:
2 2
2 2
1 1
1 εφ x , 1 σφ x
συν x ηµ x
= + = +
6. Όπου χρειάζεται µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους µετασχηµατισµούς ταυτοτήτων:
2 2 2
α β (α β) 2αβ+ = + −
3 3 3
α β (α β) 3αβ(α β)+ = + − +
έτσι, ώστε να εµφανίσουµε το 2 2
ηµ x συν x 1+ = . Όµως και αντιστρόφως αν εµφανίζεται το 1
µπορούµε να το εκφράσουµε µε 2 2
ηµ x συν x+ , για παράδειγµα:
2 2 2
1 2ηµxσυνx ηµ x συν x 2ηµxσυνx (ηµx συνx)± = + ± = ± .

18. 26
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
29. Για ποιες τιµές του α∈ υπάρχει γωνία θ για την οποία ισχύει:
Ι.
α 3
ηµθ
α 4
−
=
+
και
α 2
συνθ
α 4
+
=
+
ΙΙ.
2α
εφθ
1 α
=
−
και
α
σφθ
α 2
=
+
.
Λύση
Ι. Για α 4≠ − θα πρέπει να ισχύει: 2 2
ηµ θ συν θ 1+ = ⇔
2 2 2 2
2 2
α 3 α 2 (α 3) (α 2)
1 1
α 4 α 4 (α 4) (α 4)
− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⇔ + = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 2 2 2
(α 3) (α 2) (α 4) α 6α 9 α 4α 4 α 8α 16− + + = + ⇔ − + + + + = + + ⇔
2
α 10α 3 0− − = ,
Άρα:
10 112 10 16 7 10 4 7
α
2 2 2
± ± ⋅ ±
= = = ⇔ α 5 2 7 ή α 5 2 7= + = − δεκτές
ΙΙ. Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται εφθ και σφθ, θα πρέπει
α 1
1 α 0
και
α 2 0
α 2
≠
− ≠ ⎫
⇔⎬
+ ≠ ⎭
≠ −
Επειδή εφω σφω 1⋅ = , έχουµε:
2
2
2α α 2α
1 1
1 α α 2 α 2 α 2α
⋅ = ⇔ = ⇔
− + + − −
2 2 2
2α α 2 α 2α 3α α 1 0= + − − ⇔ + − = , ∆ = 25
οπότε:
α = 1
1 5
α ή
6
2
α =
3
−
− ±
=
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
∆εκτές

19. 27
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
30. Να αποδειχθούν οι ισότητες:
Ι.
2
2 2 1
(ηµx εφx) (συνx 1) 1
συνx
⎛ ⎞
− + − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
ΙΙ.
3
2
συν x εφx
σφx
ηµx 1 εφ x
+ =
+
.
Λύση
Ι. Θα ξεκινήσουµε από το α′ µέλος αναπτύσσοντας τις ταυτότητες και αντικαθιστώντας
ηµx
εφx
συνx
= , έχουµε:
2 2 2 2 2
(ηµx εφx) (συνx 1) ηµ x 2ηµxεφx εφ x συν x 2συνx 1− + − = − + + − + =
2
2 2
2
ηµx ηµ x
ηµ x 2ηµx συν x 2συνx 1
συνx συν x
= − + + − + = (γνωρίζουµε ότι ηµ2
x+συν2
x=1)
2 2
2 2
ηµ x ηµ x
2 2 2συνx
συν x συν x
= − + − =
(επειδή στο β′ µέλος έχουµε συνx αντικαθιστούµε 2 2
ηµ x 1 συν x)= −
2 2
2
1 συν x 1 συν x
2 2 2συνx
συνx συν x
− −
= − + − =
2 2
1 1 2 1
2 2 συνx 1 2συνx 1 2συνx 2συνx
συνx συνxσυν x συν x
⎛ ⎞
− − + − − = − + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
2 1 1
1 1
συνx συνxσυν x
⎛ ⎞
= − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
ΙΙ. Θα ξεκινήσουµε από το α′ µέλος και θα αντικαταστήσουµε το 2
2
1
συν x
1 εφ x
=
+
.
Έχουµε:
3
2 2 2
2
συν x 1 συνx συνx
εφx συν x εφxσυν x συν x εφx
ηµx ηµx ηµx1 εφ x
⎛ ⎞
+ = + = + =⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠
2 2
2 2 2συνx ηµx συν x ηµ x 1
συν x συν x συν x
ηµx συνx ηµx συνx ηµx συνx
⎛ ⎞⎛ ⎞ +
= + = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
συνx
σφx
ηµx
= = .

20. 28
31. Αν 0 < ω < π και
1 συνω 1 συνω
K , Λ
1 συνω 1 συνω
+ −
= =
− +
.
Να αποδείξετε ότι:
Κ Λ 2σφω− = .
Λύση
Θα πρέπει τα Κ, Λ να τα φέρουµε σε µορφή τετραγώνων για να απλοποιηθούν τα ριζικά:
2 2 2
2 2
1 συνω (1 συνω) (1 συνω) (1 συνω)
Κ
1 συνω (1 συνω)(1 συνω) 1 συν ω ηµ ω
+ + + +
= = = =
− − + −
(πολ/ζω µε τη συζυγή παράσταση του παρονοµαστή για να εµφανίσω διαφορά τετραγώνων)
2 2
2
1 συνω (1 συνω) (1 συνω)
Λ
1 συνω (1 συνω)(1 συνω) ηµ ω
+ − −
= = =
+ + −
.
Έχουµε:
2 2
2 2
(1 συνω) (1 συνω)
Κ Λ
ηµ ω ηµ ω
+ −
− = − =
1 συνω 1 συνω
ηµω ηµω
+ −
= − όµως
1 συνω 0
1 συνω 1
1 συνω 0
+ ≥⎧
− ≤ ≤ ⇒ ⎨
− ≥⎩
και επειδή 0<ω<π ⇒ ηµω > 0, έχουµε:
Κ Λ− =
1 συνω 1 συνω
ηµω ηµω
+ −
− =
1 συνω 1 συνω 2συνω
2σφω
ηµω ηµω
+ − +
= = .
32. Να βρείτε το α∈ , ώστε η παράσταση 6 6 4 4
Κ ηµ x συν x α(ηµ x συν x)= + + + να είναι ανε-
ξάρτητη του x και στη συνέχεια να βρείτε την τιµή της παράστασης Κ.
Λύση
Από τον µετασχηµατισµό της ταυτότητας 2 2 2
α β (α β) 2αβ+ = + − έχουµε:
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ηµ x συν x (ηµ x) (συν x) (ηµ x συν x) 2ηµ xσυν x 1 2ηµ xσυν x+ = + = + − = − (1)
Επίσης από τον µετασχηµατισµό 3 3 3
α β (α β) 3αβ(α β)+ = + − + έχουµε:
6 6 2 3 2 3
ηµ x συν x (ηµ x) (συν x)+ = + =
2 2 3 2 2 2 2 2 2
(ηµ x συν x) 3ηµ xσυν x(ηµ x συν x) 1 3ηµ xσυν x= + − + = − (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) η παράσταση Κ γίνεται:
2 2 2 2
K 1 3ηµ xσυν x α(1 2ηµ xσυν x)= − + − = 2 2 2 2
1 3ηµ xσυν x α 2αηµ xσυν x− + − =
2 2
1 α (3 2α)ηµ xσυν x= + − + .

21. 29
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Για να είναι ανεξάρτητη του x, θα πρέπει 3 2α 0+ = ⇔
3
α
2
= − .
Για
3
α
2
= − έχουµε
3
Κ 1
2
⎛ ⎞
= + − ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
K
2
= −
33. Αν εφx κ= , να αποδείξετε ότι:
2 2
2
(κ 1)(κ 2)
2συν x ηµ x 3ηµxσυνx .
κ 1
− −
+ − =
+
Λύση
Για να εµφανίσουµε την εφx, την οποία γνωρίζουµε, βγάζουµε κοινό παράγοντα το συν2
x και
έχουµε:
2
2 2 2
2 2
ηµ x 3ηµχσυνx
2συν x ηµ x 3ηµxσυνx συν x 2
συν x συν x
⎛ ⎞
+ − = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2 2
2
1
συν x(2 εφ x 3εφx) (εφ x 3εφx 2)
1 εφ x
= + − = − + =
+
2
2 2
1 (κ 1)(κ 2)
(κ 3κ 2)
1 κ κ 1
− −
= − + =
+ +
.

22. 30
ΕΞΑΣΚΗΣΗ
34. Να αποδείξετε ότι:
Ι.
2
1 1 ηµx
εφx
συνx 1 ηµx
−⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
+⎝ ⎠
ΙΙ. 2
2
1 3ηµx 2ηµx 1
3εφ x
1 ηµx συν x
− −
+ = −
−
ΙΙΙ.
2
συνx ηµ x
συνx ηµx
1 εφx συνx ηµx
− = +
− −
ΙV.
4 2 2 4
2
2ηµ x ηµ xσυν x συν x
1
3ηµ x 1
+ −
=
−
.
35. Αν Α = αηµx και B βσυνx,= να αποδείξετε ότι:
2 2 2 2
(βΑ) (αΒ) α β+ = .
36. Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου α∈ έτσι, ώστε
α 1
ηµx
2 α
+
=
−
και
3α 2
συνx
α 4
−
=
−
(Απ.: α = 0 ή α = -1)
37. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 4 4 6 6 2 2
f (x) ηµ x συν x ηµ x συν x ηµ xσυν x= + − − −
είναι σταθερή.
(Απ.: f(x) = 0)
38. Να αποδείξετε ότι: 2 2
συν x συν y 2ηµx ηµy 2+ + ⋅ ≤ για κάθε x,y∈ .
39. Να αποδείξετε ότι:
I.
1
ηµασυνα
2
≤
II. εφα σφα 2+ ≥ όταν
π
0 α
2
< < .
40. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω παραστάσεις είναι ανεξάρτητες του ω:
I. 2 2
1 2ηµ ω (συνω ηµω) 2ηµω(συνω ηµω)− + − + +
II.
2 2
2 2
1 συν ω 1 ηµ ω
2 εφ ω 2 σφ ω
+ +
+
+ +
III. 2 2
2 2 2 2
1 1
ηµ ωσυν ω
1 συν ω(1 ηµ ω) 1 ηµ ω(1 συν ω)
⎛ ⎞
⎜ ⎟+
⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
(Απ.: I. 2, II. 1, III. 1)

23. 31
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
41. Αν ρ1,ρ2 είναι ρίζες της εξίσωσης
2 2
(1 ηµφ)x (1 ηµ φ)x (1 ηµφ)ηµφ 0+ − + + − = , ηµφ 1≠ −
τότε να δείξετε ότι: ρ1+ρ2+ρ1ρ2 = 1.
42. Να αποδείξετε ότι:
I. 2
2 2
1 1
4 (εφx σφx)
συν x ηµ x
⋅ − = −
II. 4 4 2 2 2
(ηµ x συν x)(εφx σφx) εφ x σφ x+ + = +
III
4 2 2 2
4 2 2 2
ηµ x ηµ xσυν x συν x
1
συν x ηµ xσυν x ηµ x
+ +
=
+ +
43. Αν εφx σφx κ+ = , να υπολογίσετε µε τη βοήθεια του κ τις παραστάσεις:
I. ηµxσυνx III. 2 2
εφ x σφ x+
II. ηµx συνx+ IV. 3 3
εφ x σφ x+
(Απ.: I.
1
κ
, II.
κ 2
κ
+
, III. κ2
– 2, IV. κ3
– 3κ)
44. Αν
3π
π ω
2
< < , να αποδείξετε ότι: 2
1
2εφω εφω 1
συν ω
+ = + .
45. Αν ηµθ = ηµφσυνφ, να αποδείξετε ότι 2 2 2 2 2
συν θ 3ηµ θ (ηµ φ συν φ)− = − .
46. Αν εφx = κ, να υπολογίσετε συναρτήσει του κ την παράσταση:
2 2
Π 3ηµ x 2συν x 5ηµxσυνx= + − .
(Απ.: 2
(3κ 2)(κ 1)
Π
1 κ
− −
=
+
)
47. Να αποδείξετε ότι: 5 2συνx ηµx 5− ≤ + ≤ .

24. 32
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
Κάθε τριγωνοµετρικός αριθµός οποιασδήποτε γωνίας ισούται µε κάποιον τριγωνοµετρικό αριθµό
γωνίας 0° µέχρι 90°.
Με τη βοήθεια του τριγωνοµετρικού κύκλου και της Γεωµετρίας αποδεικνύονται τα παρακάτω τα
οποία θα δώσουµε µε τη µορφή πίνακα:
ΕΙ∆Η ΓΩΝΙΩΝ
Αντίθετες Παραπληρωµατικές Γωνίες διαφοράς π
Γωνίες
µε άθροισµα 2π
–ω π – ω π + ω 2π – ω
ηµ –ηµω ηµω –ηµω –ηµω
συν συνω –συνω –συνω συνω
εφ –εφω –εφω εφω –εφω
σφ –σφω –σφω σφω –σφω
Συµπληρωµατικές
Γωνίες
διαφοράς
π
2
Γωνίες
µε άθροισµα
3π
2
Γωνίες
διαφοράς
3π
2
π
2
ω−
π
2
ω+
3π
2
ω−
3π
2
ω+
ηµ συνω συνω –συνω –συνω
συν ηµω –ηµω –ηµω ηµω
εφ σφω –σφω σφω –σφω
σφ εφω –εφω εφω –εφω

25. 33
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Μέθοδος _____________________________________________________________
Εύρεση τριγωνοµετρικών αριθµών
Γωνίες τριγώνου
Επειδή για τις γωνίες έχουµε Α+Β+Γ = 180, τότε Α + Β = 180 – Γ, οπότε:
ηµ(Α Β) ηµ(180 Γ) ηµΓ+ = − =
συν(Α Β) συν(180 Γ) συνΓ+ = − = −
Γενικά το ηµίτονο του αθροίσµατος δύο γωνιών ισούται µε το ηµίτονο της τρίτης γωνίας, ενώ το
συνηµίτονο, η εφαπτοµένη και η συνεφαπτοµένη του αθροίσµατος δύο γωνιών τριγώνου ισούται µε
το αντίθετο του συνηµιτόνου, της εφαπτοµένης ή της συνεφαπτοµένης αντίστοιχα.
Επίσης, έχουµε:
Α Β Γ A B Γ
90 90
2 2 2 2 2 2
+ + = ⇔ + = −
Οπότε: •
Α Β Γ Γ
ηµ ηµ 90 συν
2 2 2
+ ⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
•
Α Β Γ Γ
εφ εφ 90 σφ
2 2 2
+ ⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
∆ηλαδή, το ηµίτονο του ηµιαθροίσµατος δύο γωνιών τριγώνου ισούται µε το συνηµίτονο του
µισού της τρίτης γωνίας και αντίστροφα. Αντίστοιχα, εναλλάσσονται η εφαπτοµένη και η συνεφα-
πτοµένη.
ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ
48. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι:
Ι. εφΒ εφ(Α Γ) 0+ + = ΙΙ. 2 2Γ Α Β
ηµ ηµ 1
2 2
+
+ = .
Λύση
Ι. Έχουµε Α Β Γ 180 Α Γ 180 Β+ + = ⇔ + = −
οπότε εφ(Α Γ) εφ(180 Β) εφΒ+ = − = − (1)
άρα
(1)
εφΒ εφ(Α Γ) εφΒ εφΒ 0+ + = − = .
ΙΙ. Ισχύει
Α Β Γ A B Γ
90 90
2 2 2 2 2
+
+ + = ⇔ = − άρα
Α Β Γ Γ
ηµ ηµ 90 συν
2 2 2
+ ⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2)
οπότε
(2)
2 2 2 2Γ Α Β Γ Γ
ηµ ηµ ηµ συν 1
2 2 2 2
+
+ = + = .

26. 34
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1O ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ – ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ
Όταν το τόξο δίνεται σε rad και είναι της µορφής
∆π
δ
, τότε κάνουµε τη διαίρεση ∆:δ. Έστω κ το
πηλίκο και υ το υπόλοιπο, τότε παίρνει τη µορφή
υπ
κπ
δ
+ .
Αν ο κ είναι άρτιος, τότε οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί
της γωνίας
∆π
δ
είναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθ-
µούς της γωνίας
υπ
δ
, ενώ αν ο κ είναι περιττός τότε θα εί-
ναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας
υπ
π
δ
+ .
Όταν η γωνία που καταλήγουµε βρίσκεται στο:
• 2ο τεταρτηµόριο, τη φέρνουµε στη µορφή π – θ
• 3ο τεταρτηµόριο, τη φέρνουµε στη µορφή π + θ
• 4ο τεταρτηµόριο, τη φέρνουµε στη µορφή 2π – θ
Την παραπάνω µεθοδολογία τη χρησιµοποιούµε και για την απλοποίηση τριγωνοµετρικών αριθ-
µών της µορφής (κπ ω)± , αν:
• κ άρτιος, θα ισούται µε τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό της γωνίας ω±
• κ περιττός, θα ισούται µε τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό της γωνίας π ω± .
Το πρόσηµο που προκύπτει εξαρτάται από το πρόσηµο που έχει ο τριγωνοµετρικός αριθµός στο
τεταρτηµόριο που βρίσκεται.
Όταν έχουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς τόξων που είναι της µορφής
λπ
ω
2
⎛ ⎞
±⎜ ⎟
⎝ ⎠
, τότε εκτελούµε
τη διαίρεση λ:2 και έστω κ το πηλίκο. Αν
• κ = 2ρ (άρτιος), τότε ισούται µε τους
τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας
π
ω
2
⎛ ⎞
±⎜ ⎟
⎝ ⎠
, γιατί
λπ π
ω κπ ω
2 2
π
2ρπ ω
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
± = + ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ ±⎜ ⎟
⎝ ⎠

27. 35
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
κ = 2ρ+1 (περιττός), τότε ισούται µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας
3π
ω
2
± ,γιατί
λπ
ω
2
⎛ ⎞
± =⎜ ⎟
⎝ ⎠
λπ π
ω κπ ω
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
± = + ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π
(2ρ 1)π ω
2
⎡ ⎤⎛ ⎞
+ + ±⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
=
π 3π
2ρπ π ω 2ρπ ω
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + ± = + ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Στην απλοποίηση των τριγωνοµετρικών αριθµών των γωνιών
π
ω
2
⎛ ⎞
±⎜ ⎟
⎝ ⎠
και
3π
ω
2
⎛ ⎞
±⎜ ⎟
⎝ ⎠
έχουµε ε-
ναλλαγή τών:
ηµίτονο ↔ συνηµίτονο εφαπτοµένη ↔ συνεφαπτοµένη
Το πρόσηµο που θα προκύψει εξαρτάται από το πρόσηµο που έχει ο αρχικός τριγωνοµετρικός
αριθµός και όχι από το πρόσηµο του τριγωνοµετρικού αριθµού που θα προκύψει από την εναλλαγή.
Ο τριγωνοµετρικός κύκλος που παραθέτουµε αναφέρεται σε γωνία ω, η οποία είναι
π
0 ω
2
< < .
Όλα όµως τα προηγούµενα ισχύουν για οποιαδήποτε γωνία ω.
Όταν τα τόξα έχουν αρνητικό πρόσηµο τότε πρώτα βγάζουµε το (–) µε βάση το πρόσηµο των
αντίθετων γωνιών και στη συνέχεια εργαζόµαστε σύµφωνα µε τις προηγούµενες µεθοδολογίες.
Σε ασκήσεις, όπου εµφανίζονται σε αθροίσµατα ή γινόµενα τριγωνοµετρικοί αριθµοί οι οποίοι
δεν είναι βασικοί, τότε προσπαθούµε να τους πάρουµε ως ζεύγη, επιλέγοντας έτσι τα τόξα ώστε να
είναι συµπληρωµατικά ή παραπληρωµατικά ή τόξα διαφοράς
π
2
ή τόξα διαφοράς π και να τα
απλοποιήσουµε µε βάση τις προηγούµενες µεθοδολογίες.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
49. Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των παρακάτω γωνιών:
Ι. – 3030° ΙΙ.
31π
rad
4
.
Λύση
Ι. Εκτελώντας τη διαίρεση 3030° : 360° προκύπτει ότι
3030 8 360 150= ⋅ + . Επειδή η γωνία είναι αρνητική,
πρώτα θα απαλλαγούµε από το (–) µέσα σε κάθε τριγωνο-
µετρικό αριθµό και στη συνέχεια θα υποβιβάσουµε τις
µοίρες. Τα αντίθετα τόξα έχουν ίδιο συνηµίτονο και αντί-
θετους όλους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς.
Οπότε:
• ηµ( 3030 ) ηµ3030 ηµ(8 360 150 )− = − = − ⋅ + =

28. 36
1
ηµ150 ηµ(180 30 ) ηµ30
2
= − = − − = − = −
• συν( 3030 ) συν3030 συν150− = = =
3
συν(180 30 ) συν30
2
= − = − = −
• εφ( 3030 ) εφ3030 εφ150− = − = − =
3
εφ(180 30 ) ( εφ30 ) εφ30
3
= − − = − − = = , και
• σφ( 3030 ) σφ3030 σφ150 σφ(180 30 ) σφ30 3− = − = − = − − = = .
ΙΙ. Εκτελούµε τη διαίρεση 31:4 και προκύπτει ότι 31 4 7 3= ⋅ + , οπότε
31π 3π
7π
4 4
= + . Επειδή το 7π
είναι περιττό πολλαπλάσιο του π, οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου
31π
4
θα είναι ίσοι µε
τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου
3π 7π
π
4 4
+ = .
Οπότε:
•
31π 7π π π 2
ηµ ηµ ηµ 2π ηµ
4 4 4 4 2
⎛ ⎞
= = − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
•
31π 7π π π 2
συν συν συν 2π συν
4 4 4 4 2
⎛ ⎞
= = − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
•
31π 7π π π
εφ εφ εφ 2π εφ 1
4 4 4 4
⎛ ⎞
= = − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, και
•
31π 7π π π
σφ σφ σφ 2π σφ 1
4 4 4 4
⎛ ⎞
= = − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.

29. 37
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
50. Να αποδείξετε ότι:
7π 7π
σφ( 5π ω)σφ ω συν ω ηµ( 8π ω)
2 2
Κ 1
5π
ηµ ω συν( 3π ω)
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − − + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Λύση
Θα απλοποιήσουµε πρώτα ξεχωριστά κάθε τριγωνοµετρικό αριθµό και στη συνέχεια θα κάνουµε
αντικατάσταση. Έχουµε:
[ ]
5περιττός
σφ( 5π ω) σφ (5π ω) σφ(5π ω)− + = − − = − − = σφ(π ω) ( σφω) σφω− − = − − =
7π 7π π
σφ ω σφ ω σφ 3π ω
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − = − + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
3π
σφ ω ( εφω) εφω
2
⎛ ⎞
= − + = − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(το 3 είναι περιττός.)
7π π 3π
συν ω συν 3π ω συν ω ηµω
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8άρτιος
ηµ( 8π ω) ηµ(8π ω) ηµω− − = − + = −
5π 5π π π
ηµ ω ηµ ω ηµ 2π ω ηµ ω συνω
2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = − − = − + − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
3περιττός
συν( 3π ω) συν(3π ω) συν(π ω) συνω− − = + = + = −
Οπότε η παράσταση γίνεται:
2 2
2 2
σφωεφω ηµω( ηµω) 1 ηµ ω συν ω
Κ 1
( συνω)( συνω) συν ω συν ω
+ − −
= = = =
− −
.

30. 38
51. Αν
π
0 ω
2
< < , να δειχθεί ότι:
3π 5π
συν ω εφ(π ω) 2 1 ηµ ω
2 2
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + > − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
.
Λύση
Έχουµε:
3π
συν ω ηµω
2
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
εφ(π ω) εφω+ =
5π π
ηµ ω ηµ 2π ω
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π
ηµ ω συνω
2
⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Οπότε η ανίσωση γίνεται:
ηµω εφω 2(1 συνω)⋅ > − ⇔
ηµω
ηµω 2(1 συνω)
συνω
> − .
Επειδή
π
0 ω
2
< < , συνω>0, οπότε πολλαπλασιάζοντας µε συνω και η ανίσωση γίνεται:
2 2 2
ηµ ω 2συνω(1 συνω) ηµ ω 2συνω 2συν ω> − ⇔ > − ⇔ 2 2
ηµ ω 2συν ω 2συνω 0+ − > ⇔
2 2 2
ηµ ω συν ω συν ω 2συνω 0⇔ + + − >
2 2
1 συν ω 2συνω 0 (συνω 1) 0⇔ + − > ⇔ − > που ισχύει.
52. Να υπολογιστούν οι τιµές των κ,λ ∈ , ώστε η παράσταση
2 223π
Π λ συνx 4ληµ x 4συν( x) κ συν(9π x)
2
⎛ ⎞
= + − + − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
να είναι ανεξάρτητη του x.
Λύση
Θα απλοποιήσουµε πρώτα τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς.
Είναι:
23π π
ηµ x ηµ 11π x
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11περιττός
3π
ηµ x συνx
2
⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
συν( x) συνx− =
9περιττός
συν(9π x) συν(π x) συνx− = − = − .

31. 39
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Οπότε η παράσταση γίνεται:
2 2
2 2 2 2
Π λ συνx 4λσυνx 4συνx κ ( συνx)
λ συνx 4λσυνx 4συνx κ συνx (λ 4λ 4 κ )Π συνx
= − + − − =
= − + + = − + +
Για να είναι ανεξάρτητη του x θα πρέπει:
2 2 2 2
λ 4λ 4 κ 0 (λ 2) κ 0− + + = ⇔ − + =
Επειδή
2
2
(λ 2) 0
και κ 0
⎧ − ≥⎪
⎨
≥⎪⎩
πρέπει
λ 2 0 λ 2
κ 0κ 0
− = =⎧ ⎧
⇔⎨ ⎨
== ⎩⎩
53. Αν
π π 1
ηµ α ηµ α
4 4 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, να υπολογιστεί η παράσταση
π π
Π συν α συν α
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Λύση
Παρατηρούµε ότι
π π π
α α
4 4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, δηλαδή τα τόξα
π π
α , α
4 4
+ − είναι συµπληρωµατικά.
Έχουµε:
π π 1 π π π 1
ηµ α ηµ α ηµ α συν α
4 4 3 4 2 4 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + − = ⇔ + + − − = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
π π 1
ηµ α συν α
4 4 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Άρα:
2 2π π π π 1
ηµ α συν α 2ηµ α συν α
4 4 4 4 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + + + = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π 1 π π 8
1 2ηµ α συν α 2ηµ α συν α
4 4 9 4 4 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + = ⇔ + + = − ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π 4 π π π 4
ηµ α συν α συν α συν α
4 4 9 2 4 4 9
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + = − ⇔ − + + = − ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
π π 4 4
συν α συν α Π
4 4 9 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + = − ⇔ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.

32. 40
54. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
Ι. A συν0 συν20 συν40 συν60 συν80 συν100 συν120 συν140= + + + + + + + +
συν160 συν180+ +
ΙΙ. Β σφ41 σφ42 ...σφ48 σφ49= ⋅ .
Λύση
Ι. Παίρνουµε τα ζεύγη που έχουν παραπληρωµατικά τόξα και η παράσταση Α γίνεται:
Α (συν0 συν180 ) (συν20 συν160 ) (συν40 συν140 ) (συν60 συν120 )= + + + + + + + +
(συν80 συν100 )+ + =
[ ]1 ( 1) συν20 συν(180 20 ) συν40 συν(180 40 )⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + + − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )συν60 συν(180 60 ) (συν80 συν100 )⎡ ⎤+ + − + + =⎣ ⎦
0 (συν20 συν20 ) (συν40 συν40 ) (συν60 συν60 ) (συν80 συν80 ) 0= + − + − + − + − = .
ΙΙ. Παίρνουµε τα ζεύγη που είναι συµπληρωµατικά τόξα, οπότε η παράσταση Β γίνεται:
Β σφ41 σφ42 ...σφ45 ...σφ48 σφ49= ⋅ =
(σφ41 σφ49 ) (σφ42 σφ48 )...(σφ44 σφ46 ) σφ45= ⋅ ⋅ =
σφ41 σφ(90 41 ) σφ42 σφ(90 42 ) ... σφ44 σφ(90 44 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − − ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(σφ41 εφ41 )(σφ42 εφ42 )...(σφ44 εφ44 )= ⋅ = 1 1...1 1⋅ = .

33. 41
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
ΕΞΑΣΚΗΣΗ
55. Αν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου, να αποδείξετε ότι:
Ι. συν(Β Γ) συνΑ 0+ + = ΙΙ.
Α Γ Β
εφ εφ 1
2 2
+
⋅ =
ΙΙΙ. 2 2Β Γ Α
ηµ ηµ 1
2 2
+
+ = . ΙV. συνΑ συν(2Α Β Γ) 0+ + + = .
56. Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών:
I. 210° II. –1050° III. 315° IV. 3750°.
(Απ.: I. 0 0 01 1
ηµ210 ,..., ηµ( 1050 ) ηµ330 ...,
2 2
.II= − − = − =
III. 0 0 02 1
ηµ315 ..., ηµ3750 ηµ150 ...)
2 2
IV.= − = =
57. Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των παρακάτω γωνιών:
I.
7π
rad
6
II.
3π
rad
4
III.
2007π
rad
2
IV.
37π
rad
6
−
(Απ.: I.
7π π 1 3π π 2
ηµ ηµ π ..., ηµ ηµ π ...,
6 6 2 4 4 2
II.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
III.
2007π 3π 37π π 1
ηµ ηµ 1002π 1..., ηµ ηµ 6π ...
2 2 6 6 2
IV.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + = − − = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
).
58. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
ηµ(3π θ)συν(5π θ)εφ(2006π θ)σφ(2007π θ)
A
συν( 61π θ)εφ(37π θ)σφ(11π θ)ηµ(13π θ)
− + − −
=
− − + + +
5π 7π 9π 11π
ηµ θ συν θ εφ θ σφ θ
2 2 2 2
Β
21π 19π 17π 15π
εφ θ ηµ θ σφ θ συν θ
2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(Απ.: Α = –εφθ, Β = 1)
59. Να δείξετε ότι:
( )
13π 27π
ηµ(θ 9π)συν θ εφ θ σφ θ 23π
2 2
ηµθ
9π
συν(θ 11π)εφ θ
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠

34. 42
60. Να υπολογίσετε πόσες διαφορικές τιµές παίρνει η παράσταση
κπ
ηµ
3
, όταν ο κ παίρνει όλες τις
ακέραιες τιµές.
(Υπόδειξη: ∆ιακρίνετε περιπτώσεις κ = 6ρ + υ, µε υ = 0,1,...,5)
(Απ.: 0,
3 3
,
2 2
−
)
61. Να υπολογίσετε τις τιµές της
κπ
σφ
4
, για τις διάφορες τιµές του κ ∈ .
(Απ.: 0, 1, –1, δεν ορίζεται)
62. Αν
π 3π
σφ α σφ α 5
5 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:
2 2π 3π
σφ α σφ α
5 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
(Απ.: 23)
63. ∆ίνεται
π π 1
συν α συν α
4 4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων:
I. 2 2
1
π π
Π ηµ α ηµ α
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
II. 2
π π
Π ηµ α ηµ α
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(Απ.: I. Π1 = 1, II. 2
3
Π
8
= − ).
64. Να βρεθούν οι τιµές των κ,λ∈ , ώστε η παράσταση
3π 9π
Π ληµ(11π x) συν x 2κσυν(2007π x) ληµ x
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
να έχει σταθερή τιµή.
(Απ.: λ = 1,
1
κ
2
= ).
65. Να αποδείξετε ότι:
I. συν0 συν1 συν2 ... συν179 συν180 0+ + + + + =
II. ηµ0 ηµ1 ηµ2 ... ηµ359 0+ + + + = .
66. Αν 4π x 5π< < , να αποδείξετε ότι:
7π π
ηµ x εφ x 2ηµ(9π x) 2
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + > + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.

35. 43
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
67. Αν
5π π
εφ x εφ x 2
12 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων
2 25π π
Α σφ x σφ x
12 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 35π π
B εφ x εφ x
12 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(Απ.: Α = 2, Β = 2)
68. ∆ίνονται οι συναρτήσεις: f (x) εφx σφx 1= + − και 2 2
φ(x) 2ηµ x 2ηµxσυνx συν x 1= − + − .
Να αποδείξετε ότι:
I. φ(π x) φ(x)+ = II.
3π
f (π x) f x
2
⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
69. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι:
I.
3 3
συν (Α Β) ηµ Γ 0
2 2
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠
II.
2
2
2
Β Γ
σφ
Α 2
ηµ
Β Γ2
1 σφ
2
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠=
+⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
70. Αν 2
ηµx 2ηµ x 0− = και
π
0 x
2
< < , να βρεθεί η τιµή της παράστασης:
2007π 33π
ηµ x 2εφ x
2 2
Α
3συν(27π x) σφ( 3π x)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
+ − − +
.
(Απ.:
3
A
5
= − ).
71. Αν
23π 23π 1
συν x ηµ x
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, να υπολογιστεί η παράσταση 2 2
Π εφ x σφ x= + .
(Απ.:
46
Π
9
= ).

36. 44
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
Α. Να σηµειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος
(Λ):
Σ Λ
1. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε
3
συνΑ συνΒ συνΓ
2
+ + = .
2. Ισχύει
17π 5π
συν συν
6 6
= .
3. Όταν
π
x π
2
< < , τότε είναι ηµx ηµx= − .
4. Ισχύει ότι 2 2
(2 3συνx) (2ηµx 1) 0− + + = .
5. Ισχύει ότι 2 2
(3 4συνx) (4ηµω 1) 0+ + − = .
6. Ισχύει ότι 2 2π 5π
ηµ ηµ 1
12 12
+ = .
7. Ισχύει πάντοτε εφ x εφx= .
8. Αν
π
ω φ ,
2
+ = τότε συν2ω = ηµ2φ.
9. Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έχουµε συν(Α Γ) συν(Β ∆)+ = + .
10. Υπάρχουν α, β µε α = 2β, ώστε ηµα = 2ηµβ.
11. Αν
π
ω π
2
< < , τότε είναι συν2
ω > συνω.
12. Ισχύει (1 συν2α)(1 συν20α) 0− + ≥ , για κάθε α∈ .

37. 45
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Β. Να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεµιά από τις παρακάτω ερωτήσεις:
1. Η παράσταση
ω
Α 3συν
2
= έχει τη µικρότερη τιµή όταν το ω είναι:
Α.
3π
2
Β. 4π Γ. 0 ∆. 2π Ε. π
2. Όταν
π
x π
2
< < , η τιµή της παράστασης
2
2 3συν x
συν x
συνx
− ισούται µε:
Α. 2συνx B. 0 ∆. –4συνx E. 4συνx.
3. Τόξο κύκλου ακτίνας 10 έχει µήκος 30. Η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία έχει µέτρο:
Α.
π
rad
3
Β. 300° Γ. 3° ∆. 3 rad Ε. 3π rad
4. Αν ηµx συνx 2+ = , τότε η γωνία x ισούται µε:
Α. 0° Β. 90° Γ. 180° ∆. 270° Ε. Κανένα από
τα προηγούµενα.
5. Η παράσταση 2 2 3π
ηµ x ηµ x
2
⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
ισούται µε:
Α. 2 Β. 0 Γ. 2ηµ2
x ∆. 1. Ε. 1 – ηµ2
x
6. Αν α = 5ηµx, β = 5συνx, τότε 2 2
x y+ =
Α. 5 Β. 5 Γ. 25 ∆. 1 Ε.
1
25
7. Το
2007π
ηµ
6
ισούται µε:
Α.
1
2
Β. 1 Γ. 0 ∆.
3
2
Ε.
2
2
8. Η παράσταση
2
συνx ηµ x
1 συνx
⋅
+
(συνx 1)≠ − ισούται µε:
Α. συνx–συν2
x Β. συνx+συν2
x Γ. ηµx+συν2
x ∆. συνx–ηµ2
x E. ηµx–συν2
x
9. Μια γωνία 1 rad είναι ίση µε:
Α. 60° Β. 360° Γ 57, 324° ∆. 90° Ε. 1°

38. 46
Γ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνεται µια γωνία και στη δεύτερη στήλη η γω-
νία που έχει την ίδια τελική πλευρά µε την αντίστοιχη της πρώτης στήλης. Να συνδέσετε
τις γωνίες αυτές.
Στήλη Α Στήλη Β
α.
61π
6
β.
28π
8
γ.
27π
6
δ.
48π
4
ε.
37π
3
1.
3π
2
2.
π
3
3.
π
6
4.
π
2
5. 0
∆. Να συνδέσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της στήλης Α µε τους ίσους τους στη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β
α.
27π
ηµ ω
2
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
β. εφ(2007π ω)−
γ.
72π
συν ω
2
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
δ.
11π
σφ ω
2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
1. –ηµω
2. συνω
3. –συνω
4. ηµω
5. εφω
6. –εφω

39. 47
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
1.2. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Περιοδική συνάρτηση
Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγµατικός αριθµός Τ>0
τέτοιος ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει:
• x T A, x T A+ ∈ − ∈
• f(x T) f(x T) f(x)+ = − = .
Ο αριθµός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.
Μελέτη της f(x) ηµx=
• Πεδίο ορισµού:
• Σύνολο τιµών: [–1,1]
• Περιοδική µε περίοδο Τ = 2π, γιατί ηµ(x 2π) ηµ(x 2π) ηµx+ = − = .
Οπότε θα τη µελετήσουµε στο διάστηµα [0,2π].
• Μονοτονία: Από τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαπιστώνουµε ότι:
• Ακρότατα: µέγιστο για
π
x
2
= το
π
ηµ 1
2
=
ελάχιστο για
3π
x
2
= το
3π
ηµ 1
2
= − .
• Συµµετρίες: Ισχύει ότι f ( x) ηµ( x) ηµx f (x)− = − = − = − , άρα η συνάρτηση είναι περιττή και η
γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων (0,0).
• Σηµεία τοµής µε άξονες:
Τέµνει τον x x′ στα σηµεία (0,0), (π,0), (2π,0) και γενικά τέµνει τον x x′ στα σηµεία (κπ,0), µε
κ∈ , ενώ τέµνει τον y y′ στο σηµείο (0,0).

40. 48
• Γραφική παράσταση:
Μελέτη της f(x) συνx=
• Πεδίο ορισµού:
• Σύνολο τιµών: [–1,1].
• Περιοδική µε περίοδο Τ = 2π, γιατί συν(x 2π) συνx(x 2π) συνx+ = − = , οπότε θα τη µελετήσου-
µε στο διάστηµα [0,2π].
• Μονοτονία: Από τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαπιστώνουµε ότι:
• Ακρότατα: µέγιστο για x = 0 και x = 2π την τιµή συν0 = συν2π = 1
ελάχιστο για x = π το συνπ = –1.
• Συµµετρίες:
Ισχύει ότι: f ( x) συν( x) συνx f (x)− = − = = , άρα η συνάρτηση είναι άρτια και η γραφική της παρά-
σταση έχει άξονα συµµετρίας τον y y′ .
• Σηµεία τοµής µε άξονες:
Τέµνει τον άξονα x x′ στα σηµεία
π
,0
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
και
3π
,0
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
και γενικά στα σηµεία
π
κπ ,0
2
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
µε
κ∈ τέµνει τον άξονα y y′ στο σηµείο (0,1).

41. 49
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
• Γραφική παράσταση:
Μελέτη της f(x) εφx=
• Πεδίο ορισµού:
π
A x / x κπ ,κ
2
⎧ ⎫
= ∈ ≠ + ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
, εξαιρούνται τα σηµεία που µηδενίζεται το συνη-
µίτονο.
• Σύνολο τιµών:
• Περιοδική µε περίοδο Τ = π, γιατί εφ(x π) εφ(x π) εφx+ = − = , οπότε θα τη µελετήσουµε σε διά-
στηµα πλάτους π. Επειδή δεν ορίζεται στα σηµεία
π
κπ , κ
2
+ ∈ , επιλέγουµε να τη µελετήσουµε
στο διάστηµα
π π
,
2 2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
το οποίο έχει πλάτος π και δεν διακόπτεται σε αυτό η γραφική παράσταση.
• Μονοτονία: Από τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαπιστώ-
νουµε ότι:
Παρατήρηση:
Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισµού της που είναι ένωση διαστηµάτων.
• Ακρότατα: ∆εν παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο.
• Ασύµπτωτες: οι ευθείες
π
x
2
= και
π
x
2
= − είναι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης.
• Συµµετρίες: Ισχύει ότι f ( x) εφ( x) εφx f (x)− = − = − = − , οπότε η συνάρτηση είναι περιττή και
η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0).
• Σηµεία τοµής µε άξονες:
Τέµνει τους άξονες x x′ και y y′ στο (0,0) και γενικά τέµνει τον άξονα x x′ στα σηµεία (κπ,0)
µε κ ∈ .
x
–1π
–1
1
π
2
1
1
0
0
2π
3π
2
συνεφαπτομένη
ημίτονο
εφαπτομένη
συνημίτονο
y
y΄
x΄

42. 50
• Γραφική παράσταση:
Μελέτη της f(x) σφx=
• Πεδίο ορισµού: { }A x / x κπ,κ= ∈ ≠ ∈ , εξαιρούνται τα σηµεία που µηδενίζεται το ηµίτονο.
• Σύνολο τιµών: .
• Περιοδική µε περίοδο Τ = π, γιατί σφ(x π) σφ(x π) σφx+ = − = , οπότε θα τη µελετήσουµε σε
διάστηµα πλάτους π, δηλαδή (0,π).
Μονοτονία: Από τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαπιστώνουµε
ότι:
Παρατήρηση:
Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισµού της που είναι ένωση διαστηµάτων.
• Ακρότατα: ∆εν παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο.
• Ασύµπτωτες: οι ευθείες x = 0 και x = π είναι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης.
• Συµµετρίες:
Παρατηρούµε ότι:
f ( x) σφ( x) σφx f (x)− = − = − = −
οπότε η συνάρτηση είναι περιττή και η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το
(0,0).

43. 51
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
• Σηµεία τοµής µε άξονες:
∆εν τέµνει τον άξονα y y′ , ενώ τέµνει τον x x′ στο
π
,0
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
και γενικά στα σηµεία
π
κπ ,0
2
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
µε κ∈ .
• Γραφική παράσταση:
Παρατήρηση:
Έστω η συνάρτηση f µε γραφική παράσταση Cf.
• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y f (x) c= ± , c>0, είναι
µετατοπισµένη παράλληλα µε τον άξονα x΄x κατά +c (προς τα
πάνω) ή κατά –c (προς τα κάτω).
• Η γραφική παράσταση της y f (x)= − είναι η συµµετρική της
Cf ως προς τον άξονα x x′ .
• Η γραφική παράσταση της y f (x)= ταυτίζεται µε το αντί-
στοιχο τµήµα της Cf όταν f (x) 0≥ , ενώ είναι ο συµµετρικός
κλάδος ως προς τον x x′ , του αντίστοιχου τµήµατος της Cf ό-
ταν f (x) 0< .

44. 52
Μέθοδος ____________________________________________________
Περιοδική συνάρτηση
Για να δείξουµε ότι µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α έχει περίοδο Τ>0 θα πρέπει να διαπι-
στώνουµε ότι για κάθε x A∈ ότι x T A+ ∈ και x T A− ∈ και στη συνέχεια να δείχνουµε ότι
f (x T) f (x)+ = (1)
Αν αυτό ισχύει, τότε θα αποδεικνύουµε ότι και f (x T) f (x)− = ως ακολούθως:
Θέτουµε στην (1) όπου x το x–T, οπότε έχουµε:
f (x T T) f (x T) f (x) f (x T)− + = − ⇔ = − .
Άρα, θα επαληθεύεται η συνθήκη του ορισµού ότι για κάθε x A∈ ισχύει:
f (x T) f (x T) f (x)+ = − = .
Όταν µια συνάρτηση είναι ορισµένη στο , τότε προφανώς για κάθε Τ>0 ισχύει και
x T , x T+ ∈ − ∈ , οπότε θα είναι περιοδική όταν και µόνο όταν για κάθε x ∈ ισχύει
f (x T) f (x)+ = .
Παρατηρήσεις:
• Αν το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης είναι διάστηµα µε πραγµατικά άκρα, ανοικτά ή κλειστά,
τότε η συνάρτηση δεν µπορεί να είναι περιοδική.
• Αν µια συνάρτηση είναι περιοδική, τότε το διάγραµµα της γραφικής της παράστασης επανα-
λαµβάνεται σε διάστηµα πλάτους µιας περιόδου και τη µελετάµε σε ένα τέτοιο διάστηµα.
• Η περιοδική συνάρτηση είναι εκείνη που παίρνει τις ίδιες τιµές και έχει γενικώς την ίδια συ-
µπεριφορά όταν η µεταβλητή x αυξάνεται κάθε φορά κατά σταθερό αριθµό.
• Αν ο αριθµός Τ είναι περίοδος της f, τότε και κάθε αριθµός κΤ µε *
κ∈ είναι επίσης περίοδος
της f και ο µικρότερος θετικός αριθµός από το σύνολο των περιόδων λέγεται βασική περίοδος της
f.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.1. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) ηµ4x 3συν6x= + είναι περιοδική µε περίοδο
Τ = π.
Λύση
Η συνάρτηση f (x) ηµ4x 3συν6x= + έχει πεδίο ορισµού και προφανώς x π , x π+ ∈ − ∈ .
Επίσης:
[ ] [ ]f (x π) ηµ 4(x π) 3συν 6(x π)+ = + + + =
ηµ(4x 4π) 3συν(6x 6π) ηµ4x 3συν6x f (x)= + + + = + = .

45. 53
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
∆είξαµε ότι f (x π) f (x)+ = (1).
Αν στην (1) θέσουµε όπου x το x–π, έχουµε:
f (x π π) f (x π) f (x) f (x π)− + = − ⇒ = − (2)
Άρα, από (1), (2) έχουµε f (x π) f (x π) f (x)+ = − = .
1.2. Έστω συνάρτηση f : → που για κάθε x∈ ικανοποιεί τη σχέση:
f(x) f(x 1) f(x 2) ... f(x 2006) 0+ + + + + + + = .
Να αποδειχθεί ότι η f είναι περιοδική µε περίοδο Τ = 2007.
Λύση
Επειδή το πεδίο ορισµού της f είναι το , προφανώς x 2007+ ∈ και x 2007− ∈ , οπότε αρκεί
να δείξουµε ότι f (x 2007) f (x 2007) f (x)+ = − = .
Από την υπόθεση έχουµε ότι:
f (x) f (x 1) f (x 2) ... f (x 2006) 0+ + + + + + + = (1)
Για να εµφανιστεί ο παράγοντας x+2007 θέτουµε στην (1) όπου x το x+1, οπότε έχουµε:
f (x 1) f (x 2) f (x 3) ... f (x 2007) 0+ + + + + + + + = (2)
Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι:
f (x) f (x 1)+ + f (x 2)+ + ...+ f (x 2006)+ + f (x 1)− + f (x 2)− + f (x 3)− + ...− f ( 2007)− + =
f (x) f (x 2007) 0 f (x 2007) f (x)− + = ⇔ + = (3)
Αν θέσουµε τώρα στην (3) όπου x το x–2007, έχουµε:
f (x 2007 2007) f (x 2007) f (x) f (x 2007)− + = − ⇔ = − .
Άρα, τελικώς έχουµε:
f (x 2007) f (x 2007) f (x)+ = − = .

46. 54
ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1.3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
π
f (x) ηµ 2x
4
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
έχει περίοδο π.
1.4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) ηµx συνx= + είναι περιοδική και έχει περίοδο Τ = 2π.
1.5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 4 4
h(x) ηµ x συν x= + είναι περιοδική και έχει περίοδο
π
T
2
= .
1.6. Να αποδείξετε ότι καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει περίοδο π:
Ι. f (x) συν2x= ΙΙ. g(x) 3ηµxσυνx= ΙΙΙ. h(x) 2εφx 5σφx= + .
1.7. Έστω συνάρτηση g : → που ικανοποιεί τη σχέση:
g(x) g(x 1) g(x 3) g(x 4) 0+ + + + + + = ,για κάθε x ∈ .
Να αποδειχθεί ότι η g είναι περιοδική µε περίοδο Τ = 5.
1.8. Να αποδείξετε ότι κάθε περίοδος µιας περιοδικής συνάρτησης f µε τύπο y f (x)= είναι περί-
οδος και της h(x) f (λx µ)= + , *
λ , µ∈ ∈ .
(Υπόδειξη: Αν η f έχει περίοδο Τ, θα έχει και περίοδο λΤ µε *
λ∈ ).

47. 55
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Μέθοδος ____________________________________________________
Χάραξη και µελέτη των f(x) ρηµx, g(x) ρηµ(αx), h(x) ρηµ(αx) c= = = + .
Για τη µελέτη και χάραξη των γραφικών παραστάσεων των παραπάνω συναρτήσεων θα αναφέ-
ρουµε µια µεθοδολογία, σύµφωνα µε την οποία κάνουµε τα εξής βήµατα:
1. Κατασκευή πίνακα τιµών
2. Γραφική παράσταση βάσει του πίνακα τιµών
3. Συµπεράσµατα βάσει της γραφικής παράστασης.
Η συνάρτηση f έχει περίοδο Τ = 2π, ενώ οι συναρτήσεις g, h έχουν περίοδο
2π
T
α
= .
Χωρίζουµε το διάστηµα πλάτους µιας περιόδου σε τέσσερα ίσα διαστήµατα µε τα σηµεία που
φαίνονται στους παρακάτω πίνακες, όταν α>0:
f(x) = ρηµx T = 2π, Σ.Τ.: [ ρ , ρ ]− g(x) = ρηµx(αx)
2π
Τ
α
= , Σ.Τ.: [ ρ , ρ ]−
h(x) = ρηµx(αx) + c
2π
Τ
α
= , Σ.Τ.: [ ρ c, ρ c]− + +
Στη συνέχεια βρίσκουµε στο ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων τα σηµεία των οποίων οι συντε-
ταγµένες δίνονται από την πρώτη και τελευταία σειρά των παραπάνω πινάκων και κάνουµε την
γραφική παράσταση.
Αν ζητούνται µόνο τα ακρότατα της συνάρτησης, τα υπολογίζουµε κατασκευαστικά, γνωρίζο-
ντας ότι 1 ηµ(αx) 1− ≤ ≤ και χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες της διάταξης.

48. 56
Όταν ρ,α>0 για τις συναρτήσεις f και g έχουµε:
Η f (x) ρηµx= έχει: Η g(x) ρηµ(αx)= έχει:
Περίοδο: 2π Περίοδο:
2π
α
Γνησίως αύξουσα στα:
π 3π
0, , ,2π
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Γνησίως αύξουσα στα:
π 3π 2π
0, , ,
2α 2α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Γνησίως φθίνουσα στο:
π 3π
,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Γνησίως φθίνουσα στο:
π π
,
2α α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Μέγιστη τιµή ρ στο:
π
2
Μέγιστη τιµή ρ στο:
π
2α
Ελάχιστη τιµή –ρ στο:
3π
2
Ελάχιστη τιµή -ρ στο:
3π
2α
Τέµνει τον x΄x στα: 0, π, 2π Τέµνει τον x΄x στα:
π π
0, ,
α 2α
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.9. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση
1
f(x) ηµx
3
= , σε πλάτος µιας
περιόδου.
Λύση
Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το και περίοδο Τ = 2π.
Έχουµε τον πίνακα:

49. 57
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
∆ιαπιστώνουµε ότι:
• είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα
π
0,
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
και
3π
,2π
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
• είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα
π 3π
,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
• έχει µέγιστο το
1
3
για
π
x
2
= και ελάχιστο το
1
3
− για
3π
x
2
=
• τέµνει τον x x′ στα σηµεία: (0,0), (π,0) και (2π,0).
1.10. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση
x
f(x) 3ηµ
3
= .
Λύση
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το και περίοδο
2π
T 6π
1
3
= = . Τα αντίστοιχα σηµεία στα ο-
ποία χωρίζουµε το διάστηµα πλάτους µιας περιόδου είναι:
π π 3π π π
, 3π
1 1πα 2 α2
3 3
= = = = και
3π 3π 9π
12α 22
3
= = .
Έχουµε τον πίνακα και την αντίστοιχη γραφική παράσταση.
1.11. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) 3ηµ( 2x)= − , όταν 0 x 2π≤ ≤ .
Λύση
Η συνάρτηση f έχει περίοδο
2π 2π 2π
Τ π
α 2 2
= = = =
−
. O τύπος της γίνεται:
f (x) 3ηµ( 2x) 3ηµ2x= − = − . Έχουµε τον πίνακα τιµών:
x 0 π
π
4
ημ2x
3π
4
–3ημ2x
0
0
1 0
0
–1 0
0–3
π
2
+3

50. 58
Όταν 0 x 2π,≤ ≤ επειδή η περίοδος της συνάρτησης είναι π, τότε η γραφική παράσταση της συ-
νάρτησης επαναλαµβάνεται δύο φορές.
∆ιαπιστώνουµε ότι:
• Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα:
π 3π 5π 7π
, , ,
4 4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
• Ειναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα:
π 3π 5π 7π
0, , , , ,2π
4 4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
• Έχει µέγιστο το 3 για
3π
x
4
= και
7π
x
4
= .
• Έχει ελάχιστο το –3 για
π
x
4
= και
5π
x
4
= .
1.12. Να παρασταθεί γραφικά και να µελετηθεί η συνάρτηση
x
f(x) 4 3ηµ
2
= − , σε πλάτος µιας
περιόδου.
Λύση
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το και περίοδο
2π
T 4π
1
2
= = .
Για ακρότατα έχουµε:
x x x
1 ηµ 1 3 3ηµ 3 7 4 3ηµ 1
2 2 2
− ≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ ≥ − ≥ ⇔ 1 f (x) 7≤ ≤ .
Κατασκευάζουµε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Από τη γραφική παράσταση διαπιστώνουµε ότι η συνάρτηση f:
• είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (π,3π)
• είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (0,π) και (3π,4π)
• έχει µέγιστη τιµή το 7 για x = 3π και ελάχιστη τιµή το 1 για x = π.

51. 59
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Μέθοδος ____________________________________________________
Χάραξη και µελέτη των f(x) ρσυνx, g(x) ρσυν(αx), h(x) ρσυν(αx) c= = = +
Η συνάρτηση f έχει περίοδο Τ = 2π, ενώ οι συναρτήσεις g, h έχουν περίοδο
2π
Τ
α
= .
f(x) = ρσυνx T = 2π, Σ.Τ.: ρ , ρ⎡ ⎤−⎣ ⎦ g(x) = ρσυνx(αx)
2π
Τ
α
= , Σ.Τ.: ρ , ρ⎡ ⎤−⎣ ⎦
h(x) = ρσυνx(αx) + c
2π
Τ
α
= , Σ.Τ.: ρ c, ρ c⎡ ⎤− + +⎣ ⎦
Όταν ρ,α>0, για τις συναρτήσεις f και g έχουµε:
Η f (x) ρσυνx= έχει: Η g(x) ρσυν(αx)= έχει:
Περίοδο: 2π Περίοδο: 2π
α
Γνησίως φθίνουσα στο: (0,π) Γνησίως φθίνουσα στο: π
0,
α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Γνησίως αύξουσα στο: (π,2π) Γνησίως αύξουσα στο: π 2π
,
α α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Μέγιστη τιµή ρ στα: 0,2π Μέγιστη τιµή ρ στα: 2π
0,
α
Ελάχιστη τιµή –ρ στο: π Ελάχιστη τιµή –ρ στο: π
α
Τέµνει τον x΄x στα: π 3π
,
2 2
Τέµνει τον x΄x στα: π 3π
,
2α 2α

52. 60
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.13. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η
1
f(x) συν2x
2
= , σε πλάτος µιας περιόδου.
Λύση
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το και η περίοδος είναι
2π
T π
2
= = . Τα αντίστοιχα σηµεία,
στα οποία χωρίζουµε το διάστηµα πλάτους µιας περιόδου, είναι:
π π π π π 3π 3π 3π
, ,
2α 2 2 4 α 2 2α 2 2 4
= = = = =
⋅ ⋅
Οπότε έχουµε τον πίνακα και τη γραφική παράσταση:
x 0 π
π
4
συν2x
3π
4
συν2x
–1
π
2
1
2
1
1
2
0
0
1
2
–
0
0
1
1
2
• Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο
π
0,
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
• Είναι γνησίως αύξουσα στο
π
,π
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
• Έχει µέγιστο το
1
2
για x = 0 και x = π, ενώ έχει ελάχιστο το
1
2
− για
π
x
2
= .

53. 61
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
1.14. ∆ίνεται η συνάρτηση:
7π
g(x) συν(π 3x) ηµ 3x
2
⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
I. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της g και να απλοποιηθεί ο τύπος της.
II. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η g(x), όταν 0 x 2π≤ ≤ .
Λύση
I. Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισµού το . Επίσης:
συν(π 3x) συν3x− = − και
7π π π 3π
ηµ 3x ηµ 3π 3x ηµ π 3x ηµ 3x συν3x
2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + = + + = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Οπότε η g(x) γίνεται: g(x) συν3x συν3x 2συν3x= − − = − .
II. Η g(x) 2συν3x= − έχει περίοδο
2π
T
3
= . Για τον πίνακα τιµών έχουµε:
Στο διάστηµα [0,2π] η γραφική παράσταση της g επαναλαµβάνεται 3 φορές, γιατί
2π
2π 3
3
= .
Άρα:
• Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα
π 2π 4π 5π
0, , ,π , ,
3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
• Είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα:
π 2π 4π 5π
, , π, , ,2π
3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
• Έχει µέγιστο το 2 για
π
x , x π
3
= = και
5π
x
3
= , ενώ έχει ελάχιστο το –2 για
2π 4π
x 0, x , x
3 3
= = = και x = 2π.

54. 62
1.15. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση g(x) 2συν3x 5= − , σε πλάτος
µιας περιόδου.
Λύση
Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισµού το και περίοδο
2π
T
3
= . Για τα ακρότατα έχουµε:
1 συν3x 1 2 2συν3x 2 7 2συν3x 5 3− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ − .
Κατασκευάζουµε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Από τη γραφική παράσταση διαπιστώνουµε ότι η συνάρτηση g:
• Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα
π
0,
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
• Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα
π 2π
,
3 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
• Έχει µέγιστη τιµή –3 για x = 0 και
2π
x
3
= , ενώ έχει ελάχιστη τιµή το –7 για
π
x
3
= .
1.16. Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:
I. f(x) ηµ x= II. g(x) συν x= III. h(x) εφ x= .
Λύση
I. Έχουµε
ηµx , x 0 ηµx, x 0
f (x) f (x)
ηµ( x), x 0 ηµx, x 0
≥ ≥⎧ ⎧
= ⇔ =⎨ ⎨
− < − <⎩ ⎩
Παρατηρούµε ότι f ( x) ηµ x ηµ x f (x)− = − = = , δηλαδή η συνάρτηση είναι άρτια, οπότε η γρα-
φική της παράσταση θα είναι η γνωστή γραφική παράσταση της ηµx για x 0≥ και η συµµετρική
της ως προς την y y′ για x<0.

55. 63
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
ΙΙ. Έχουµε
όµως
συν(–x) συνx
συνx , x 0
g(x) g(x) συνx
συν( x) , x 0 =
≥⎧
= ⇔ =⎨
− <⎩
, για κάθε x∈ .
Άρα, είναι η γνωστή συνηµιτονοειδής καµπύλη, η οποία έχει και άξονα συµµετρίας τον y y′ γιατί
η g(x) συν x ,= εύκολα διαπιστώνουµε ότι είναι άρτια.
ΙΙΙ. Έχουµε
εφx , x 0 εφx , x 0
h(x) h(x)
εφ( x) , x 0 εφx , x 0
≥ ≥⎧ ⎧
= ⇔ =⎨ ⎨
− < − <⎩ ⎩
Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση είναι άρτια, αφού για κάθε
π
x A x / x κπ , κ
2
⎧ ⎫
∈ = ∈ ≠ + ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
θα έχουµε και x A− ∈ και h( x) εφ x εφ x h(x)− = − = = . Οπότε η γραφική παράσταση της h(x)
θα αποτελείται από τη γνωστή παράσταση της εφx για x>0 και από τη συµµετρική της ως προς
τον y y′ για x<0.

56. 64
1.17. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) συν2x συν2x 1= + − όταν 0 x π≤ ≤ .
Λύση
Θα πρέπει να απαλλάξουµε την συνάρτηση από την απόλυτη τιµή και αυτό θα εξαρτηθεί από το
τεταρτηµόριο που θα βρίσκεται το τόξο 2x.
• Αν
π
0 2x
2
< < ⇔
π
0 x
4
< < τότε συν2x 0> όπως και όταν
3π
2x 2π
2
< < ⇔
3π
x π
4
< < είναι
f (x) συν2x συν2x 1 2συν2x 1= + − = − .
• Αν
π 3π
2x
2 2
≤ ≤ ⇔
π 3π
x
4 2
≤ ≤ τότε συν2x 0≤ και f (x) συν2x συν2x 1 1= − + − = − .
Άρα,
π 3π
2συνx 1, x 0, ,π
4 4
f (x)
π 3π
1 , x ,
4 4
⎧ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤
− ∈ ∪⎟ ⎜⎪ ⎢ ⎥
⎪ ⎣ ⎠ ⎝ ⎦
= ⎨
⎡ ⎤⎪ − ∈⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
Θα σχεδιάσουµε τη γραφική παράσταση της 2συν2x 1,− αλλά θα επιλέξουµε τα τµήµατα που
αντιστοιχούν στα διαστήµατα
π
0,
4
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
και
3π
,π
4
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ενώ όταν
π 3π
x ,
4 4
⎡ ⎤
∈⎢ ⎥
⎣ ⎦
η γραφική παράσταση
είναι η ευθεία y = –1.
Για την f (x) 2συν2x 1= − έχουµε περίοδο
2π
T π,
2
= = οπότε:

57. 65
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1.18. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f (x) 2ηµ3x= , σε διάστηµα πλάτους
µιας περιόδου.
(Απ.: ↑∧ στα
π
0,
6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
και
π 2π
,
2 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
∨
↓ στο
π π
,
6 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
).
1.19. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση
x
g(x) 4συν
2
= − , σε διάστηµα πλά-
τους µιας περιόδου.
(Απ.: ↑∧ στο (0,2π),
∨
↓ στο (2π,4π)).
1.20. ∆ίνεται η συνάρτηση:
3π
h(x) συν 2x 2ηµ(2x π)
2
⎛ ⎞
= + − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ι. Να αποδείξετε ότι h(x) 3ηµ2x= .
ΙΙ. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση h(x), όταν 0 x 2π≤ ≤ .
ΙΙΙ. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση h(x) 1= όταν 0 x 2π≤ ≤ .
(Απ.: ΙΙ. ↑∧ στα
π
0,
4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
και
3π
,π
4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
∨
↓ στο
π 3π
,
4 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ΙΙΙ. Έχει 4 λύσεις).
1.21. Να κάνετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
f (x) 2συνx= , g(x) συν2x= , h(x) συνx= − µε [ ]x 0,2π∈ .
1.22. Να βρείτε την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή των συναρτήσεων:
Ι. f (x) 2006ηµ4x 5= + ΙΙ. g(x) 3ηµ4x 1= − +
ΙΙΙ.
π
h(x) 2συν x 5
8
⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
ΙV. φ(x) 4 3ηµ5x= −
(Απ.: Ι. 2001 f (x) 2011− ≤ ≤ , ΙΙ. 2 g(x) 4− ≤ ≤
ΙΙΙ. 7 h(x) 3− ≤ ≤ − , ΙV.1 φ(x) 7≤ ≤ )

58. 66
1.23. Να βρείτε τα ακρότατα και την περίοδο των συναρτήσεων:
I. ( )f (x) 5ηµ 3x= − II.
x
g(x) 2συν
2π
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(Απ.: Ι. συν. τιµών: [–5,5],
2π 3
T
3
= , ΙI. συν. τιµών 2
2, 2 , T 4π⎡ ⎤− =⎣ ⎦ ).
1.24. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f (x) 3 4συν2x= − − , σε πλάτος µιας
περιόδου.
1.25. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση
x
g(x) 2ηµ 1
3
= − , σε πλάτος µιας πε-
ριόδου.
1.26. Να παρασταθούν γραφικά, στο ίδιο σύστηµα αξόνων, οι συναρτήσεις:
f (x) 2ηµx= , g(x) 2ηµ3x= , φ(x) 2ηµ3x 1= + µε 0 x 2π≤ ≤ .
1.27. Να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστηµα αξόνων µε 0 x 4π≤ ≤ οι συναρτήσεις:
1
f (x) συν2x 1
2
= − και
x
g(x) 2συν 1
2
= + .
1.28. Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:
I. f (x) συνx= II. g(x) εφx= IΙI. h(x) σφ x=
1.29. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f (x) 1 ηµx ηµx= − + − όταν 0 x 2π≤ ≤ .

59. 67
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
Μέθοδος ____________________________________________________
Μελέτη και χάραξη των συναρτήσεων f(x) ρεφ(αx), g(x) ρσφ(αx), α 0= = >
Α) Η συνάρτηση f (x) ρεφ(αx)= έχει πε-
ρίοδο
π
Τ
α
= και τη µελετούµε σε ένα
διάστηµα πλάτους µιας περιόδου, που
αυτό είναι συνήθως το
π π
,
2α 2α
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Όταν ρ > 0:
• Είναι γνησίως αύξουσα στο
π π
, ,
2α 2α
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
ενώ δεν είναι γνη-
σίως αύξουσα σε όλο το πεδίο
ορισµού της.
• ∆εν έχει ακρότατα.
• Έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες τις ευθείες
π
x
2α
= − και
π
x
2α
= .
Όταν το x «πλησιάζει» στο
π
,
2α
τότε η ρεφ(αx) τείνει στο ,+∞ ενώ όταν το x «πλησιάζει»
στο
π
,
2α
− τότε η ρεφ(αx) τείνει στο −∞ .
• Είναι περιττή και η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0).
Όταν ρ < 0:
Η γραφική παράσταση είναι συµµετρική ως προς τον x x′ και η συνάρτηση είναι γνησίως
φθίνουσα στο
π π
,
2α 2α
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
και τα υπόλοιπα συµπεράσµατα διαµορφώνονται ανάλογα.
∆ηλαδή:

60. 68
Β) Η συνάρτηση f (x) ρσφ(αx)= έχει περίοδο
π
T
α
= και τη µελετούµε σε ένα διάστηµα πλάτους
µιας περιόδου, το οποίο είναι συνήθως το
π
0,
α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Όταν ρ > 0:
• Είναι γνησίως φθίνουσα στο
π
0,
α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
ενώ δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε
όλο το πεδίο ορισµού της.
• ∆εν παρουσιάζει ακρότατα.
• Έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες τις
ευθείες x = 0 και
π
x
α
= .
Όταν το x «πλησιάζει» στο 0, τότε η
ρσφ(αx) τείνει στο ,+∞ ενώ όταν το
x «πλησιάζει» στο
π
,
α
τότε η
ρσφ(αx) τείνει στο −∞ .
• Είναι περιττή και η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0).
Όταν ρ < 0:
Η γραφική της παράσταση είναι συµµετρική ως προς τον x x′ , η συνάρτηση είναι γνη-
σίως αύξουσα στο
π
0,
α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
και τα υπόλοιπα συµπεράσµατα διαµορφώνονται ανάλογα. Η γρα-
φική παράσταση που προκύπτει τότε είναι:
Για να κάνουµε καλύτερα τις γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων, καλό εί-
ναι να κάνουµε πίνακα τιµών, δίνοντας στο x χαρακτηριστικές τιµές σε διάστηµα πλάτους
µιας περιόδου που µελετούµε την κάθε συνάρτηση, και να βρούµε τις αντίστοιχες τιµές της
συνάρτησης.

61. 69
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.30. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση, ( )
x
f x 2εφ
2
= σε διάστηµα πλά-
τους µιας περιόδου.
Λύση
Θα πρέπει
x π
κπ x 2κπ π
2 2
≠ + ⇔ ≠ + , κ∈ .
Οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι { }Α x / x 2κπ π, κ= ∈ ≠ + ∈ .
Η περίοδος της συνάρτησης είναι
π
T 2π
1
2
= = , οπότε µελετούµε σε διάστηµα πλάτους 2π,
δηλαδή στο (–π,π). Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα.
Κατασκευάζουµε πίνακα τιµών, δίνοντας χαρακτηριστικές τιµές του x για να βρούµε τα σηµεία
από τα οποία διέρχεται:
Άρα η γραφική της παράσταση είναι:
1.31. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση
1
g(x) σφ2x
3
= − .
Λύση
Πρέπει
κπ
2x κπ x
2
≠ ⇔ ≠ .
Οπότε το πεδίο ορισµού της συνάρτηση είναι
κπ
A x / x , κ
2
⎧ ⎫
= ∈ ≠ ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
.

62. 70
Η συνάρτηση έχει περίοδο
π
T
2
= .
Θα σχεδιάσουµε πρώτα τη γραφική παράσταση της
1
f (x) σφ2x
3
= . Η γραφική παράσταση της
g(x) είναι η συµµετρική ως προς τον άξονα x x′ .

63. 71
Τ
Ρ
Ι
Γ
Ω
Ν
Ο
Μ
Ε
Τ
Ρ
Ι
Α
ΕΞΑΣΚΗΣΗ
1.32. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f (x) 2εφ3x= .
(Απ.: ↑∧ στο
π π
,
6 6
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
)
1.33. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
x
g(x) εφ
3
= − .
(Απ.: ∨
↓ στο
3π 3π
,
2 2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
)
1.34. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
x
h(x) 2σφ
2
= .
(Απ.: ∨
↓ στο (0,2π))
1.35. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
1
φ(x) σφ3x
2
= − .
(Απ.: ↑∧ στο
π
0,
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
)