.

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΒΟΗΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ,ΑΝΤΙΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος
Ξένος Γερμανός-Σπύρος Πάτσης
ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΝΕΙ ΚΑΙ ∆ΕΝ ΥΠΟΚΑΘΙΣΤΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ
Και εγώ, δεν αισθάνοµαι καλά τελευταία,
µε παρακολουθεί ένας γιατρός!
Το ξέρω, τον είδα κρυµµένο
πίσω απ τον καναπέ!!
Έχω µια µελαγχολική διάθεση τώρα
που έκλεισαν τα σχολεία…

2. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 1
Ηµεροµηνία: / / .
Α Ορισµοί Στις Συναρτήσεις
1 Συνάρτηση
Απάντηση
Έστω Α ένα υποσύνολο του ℝ . Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το
Α µία διαδικασία (κανόνα) f, µε την οποία κάθε στοιχείο x A∈ αντιστοιχίζεται σε ένα
µόνο πραγµατικό αριθµό y. Το y ονοµάζεται τιµή της f στο x και συµβολίζεται µε f(x) .
Σχόλια
-Για να εκφράσουµε τη διαδικασία αυτή, γράφουµε: → ℝf : A
→x f(x) .
-Το γράµµα x που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη
µεταβλητή, ενώ το γράµµα y που παριστάνει την τιµή της f στο x, λέγεται
εξαρτηµένη µεταβλητή.
- Το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f συνήθως συµβολίζεται µε f
D .
2 Σύνολο Τιµών Μιας Συνάρτησης f Με Πεδίο Ορισµού Το Σύνολο Α
Απάντηση
Σύνολο τιµών της f λέµε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιµές της f σε όλα τα
x A∈ . Είναι δηλαδή: f(A) {y| y f(x)= = για κάποιο x A}∈ . Το σύνολο τιµών της f στο A
συµβολίζεται µε ( )f A .
3 Τι εννοούµε όταν λέµε ότι «Η Συνάρτηση f Είναι Ορισµένη Σ΄ Ένα
Σύνολο Β»
Απάντηση
Εννοούµε ότι το σύνολο Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισµού της και το σύνολο τιµών
της f(B) είναι = =f(B) {y| y f(x) για κάποιο ∈x B} .
4 Τι Λέµε Γραφική Παράσταση Μιας Συνάρτησης f Με Πεδίο
Ορισµού Το Σύνολο Α
Απάντηση
Γραφική παράσταση της f λέµε το σύνολο των σηµείων M(x,y) για τα οποία ισχύει
y f(x)= , δηλαδή το σύνολο των σηµείων M(x,f(x)) , µε x A∈ .
Σχόλια
-Η γραφική παράσταση της f συµβολίζεται συνήθως µε f
C .
-Η εξίσωση y f(x)= επαληθεύεται µόνο από τα σηµεία της f
C . Εποµένως, η y f(x)= είναι
η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

3. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 2
-Επειδή κάθε x A∈ αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο y ∈ℝ , δεν υπάρχουν σηµεία της
γραφικής παράστασης της f µε την ίδια τετµηµένη. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε
κατακόρυφη ευθεία έχει µε τη γραφική παράσταση της f το πολύ ένα κοινό σηµείο
(Σχ. 4α).
Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ. 4β).
5 Πεδίο Ορισµού Και Πεδίο τιµών Από Γραφική Παράσταση
Απάντηση
- Όταν δίνεται η γραφική παράσταση f
C µιας συνάρτησης f, τότε:
α) Το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο Α των τετµηµένων των σηµείων της f
C .
(Σχ. 5a)
Cf
O
y
x
(5α)
Α
β) Το σύνολο τιµών της f είναι το σύνολο f(A) των τεταγµένων των σηµείων της f
C
(Σχ. 5β)
Cf
O
y
x
(5β)
f(Α)
γ) Η τιµή της f στο 0
x A∈ είναι η τεταγµένη του σηµείου τοµής της ευθείας 0
x x= και
της f
C (Σχ. 5γ).
Cf
O
x=x0
A(x0,f(x0))
x0
y
x
(5γ)
f(x0)
6 Γραφική Παράσταση –f Και | f |
Απάντηση
O x
y
(4a)
Cf
Α
O x
y
C
(4β)

4. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 3
- Όταν δίνεται η γραφική παράσταση f
C , µιας συνάρτησης f µπορούµε, επίσης, να
σχεδιάσουµε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και | f|.
α)Η γραφική παράστασης της συνάρτησης − f είναι συµµετρική, ως προς τον άξονα
x x′ , της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σηµεία M (x, f(x))′ −
που είναι συµµετρικά των M(x,f(x)) , ως προς τον άξονα x x′ (Σχ. 6α.
β)Η γραφική παράσταση της | |f αποτελείται από τα τµήµατα της f
C που βρίσκονται
πάνω από τον άξονα x x′ και από τα συµµετρικά, ως προς τον άξονα x x′ , των
τµηµάτων της f
C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν (Σχ. 6β)
7 Πότε ∆υο Συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες
Απάντηση
∆ύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
• έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού Α και
• για κάθε x A∈ ισχύει f(x) g(x)= .
Για να δηλώσουµε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουµε f g= .
Σχόλιο:
Έστω τώρα f, g δύο συναρτήσεις µε πεδία ορισµού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α
και Β. Αν για κάθε x Γ∈ ισχύει ( ) ( )f x g x= , τότε λέµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες
στο σύνολο Γ. (Σχ. 7)
O
y
x
6α
Μ΄(x,−f(x))
y=f(x)
y=−f(x)
Μ(x,f(x))
O
y
x
6β
y=f(x)y=| f(x)|
x
y
Ο
Γ
A
B
7

5. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 4
8 Πως Ορίζεται Η Πράξη της Πρόσθεσης ∆υο Συναρτήσεων f, g
Απάντηση
Ορίζουµε ως άθροισµα +f g , δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο (f g)(x) f(x) g(x)+ = + .
Το πεδίο ορισµού της f g+ είναι η τοµή A B∩ των πεδίων ορισµού Α και Β των συναρτήσεων f
και g αντιστοίχως.
9 Πως Ορίζεται Η Πράξη της ∆ιαφοράς ∆υο Συναρτήσεων f, g
Απάντηση
Ορίζουµε ως διαφορά f - g δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο (f g)(x) f(x) g(x)− = − ,
Το πεδίο ορισµού της f g− είναι η τοµή A B∩ των πεδίων ορισµού Α και Β των συναρτήσεων f
και g αντιστοίχως.
10 Πως Ορίζεται Η Πράξη του Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων f, g
Απάντηση
Ορίζουµε ως γινόµενο fg δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο (fg)(x) f(x)g(x)= .
Το πεδίο ορισµού της fg είναι η τοµή A B∩ των πεδίων ορισµού Α και Β των συναρτήσεων f
και g αντιστοίχως.
11 Γινόµενο Συναρτήσεων Μηδέν
Απάντηση
Το γινόµενο δυο συναρτήσεων µπορεί να είναι η σταθερή συνάρτηση Μηδέν ( )(f(x)g x 0)= ,
χωρίς καµία από τις δυο να είναι ίση µε τη συνάρτηση µηδέν.
Για παράδειγµα οι συναρτήσεις f(x) x x= + και g(x) x x= − , έχουν γινόµενο
( ) ( )( )
22 2 2
f(x)g x x x x x x x x x 0= + − = − = − = , αλλά καµία από τις δυο δεν είναι η µηδενική
συνάρτηση
12 Πως Ορίζεται Η Πράξη του Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων f, g
Απάντηση
Ορίζουµε ως πηλίκο
f
g
δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο f f(x)
(x)
g g(x)
 
= 
 
.

6. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 5
Το πεδίο ορισµού του πηλίκου
f
g
είναι το A B∩ , εξαιρουµένων των τιµών του x που µηδενίζουν
τον παρονοµαστή g(x) , δηλαδή το σύνολο {x| x A∈ και x B∈ , µε g(x) 0}≠ .
13 Τι Λέµε Σύνθεση Της Συνάρτησης f Με Τη Συνάρτηση g
Απάντηση
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονοµάζουµε σύνθεση της
f µε την g, και τη συµβολίζουµε µε g f , τη συνάρτηση µε τύπο (gof)(x) g(f(x))= . Το πεδίο
ορισµού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισµού της f για τα οποία το
f(x) ανήκει στο πεδίο ορισµού της g. ∆ηλαδή είναι το σύνολο 1
A {x A|f(x) B}= ∈ ∈ . Είναι φανερό
ότι η gof ορίζεται, αν 1
A ≠ ∅ , δηλαδή αν f(A) B∩ ≠ ∅ .
g f
g(B)A
g
Bf(A)
f
A1
g( f(x))
f(x)
x
24
Σχόλια
α) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog , τότε αυτές δεν είναι
υποχρεωτικά ίσες.
γ) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof) , τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει
ho(gof) (hog)of= . Τη συνάρτηση αυτή τη λέµε σύνθεση των f, g και h και τη συµβολίζουµε µε
hogof . Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.
14 Πότε Μια Συνάρτηση f λέγεται γνησίως Αύξουσα Και Πότε
Γνησίως Φθίνουσα Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆
Απάντηση
• Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της,
όταν για οποιαδήποτε 1 2
x ,x Δ∈ µε 1 2
x x< ισχύει: 1 2
f(x ) f(x )< .
• Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της,
όταν για οποιαδήποτε 1 2
x ,x Δ∈ µε 1 2
x x< ισχύει: 1 2
f(x ) f(x )> .
Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστηµα ∆ του
πεδίου ορισµού της, τότε λέµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη στο ∆. Στην περίπτωση που το
πεδίο ορισµού της f είναι ένα διάστηµα ∆ και η f είναι γνησίως µονότονη σ’ αυτό, τότε θα
λέµε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως µονότονη.
15 Πότε Μια Συνάρτηση f λέγεται Αύξουσα Και Πότε Φθίνουσα Σε
Ένα ∆ιάστηµα ∆
Απάντηση
• Η συνάρτηση f λέγεται αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για
οποιαδήποτε 1 2
x ,x Δ∈ µε 1 2
x x< ισχύει: 1 2
f(x ) f(x )≤ .

7. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 6
• Η συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για
οποιαδήποτε 1 2
x ,x Δ∈ µε 1 2
x x< ισχύει: 1 2
f(x ) f(x )≥ .
Αν µια συνάρτηση f είναι αύξουσα ή φθίνουσα σ’ ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της,
τότε λέµε ότι η f είναι µονότονη στο ∆. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισµού της f είναι
ένα διάστηµα ∆ και η f είναι µονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέµε, απλώς, ότι η f είναι µονότονη.
16 ∆εδοµένο ότι η Συνάρτηση f Είναι Γνησίως Αύξουσα Σε Ένα
∆ιάστηµα ∆
Απάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆, τότε για οποιαδήποτε 1 2
x ,x Δ∈
ισχύει η συνεπαγωγή 1 2
f(x ) f(x )< ⇒ 1 2
x x< (ξεφίζουµε)
17 ∆εδοµένο ότι η Συνάρτηση f Είναι Γνησίως Φθίνουσα Σε Ένα
∆ιάστηµα ∆
Απάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα ∆, τότε για οποιαδήποτε 1 2
x ,x Δ∈
ισχύει η συνεπαγωγή 1 2
f(x ) f(x )< ⇒ 1 2
x x> (ξεφίζουµε)
18 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Λέµε ότι Παρουσιάζει
στο o
Ax ∈ Ολικό Μέγιστο Και Πότε Ολικό Ελάχιστο
Απάντηση
Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι:
• Παρουσιάζει στο 0
x A∈ (ολικό) µέγιστο, το 0
f(x ) , όταν 0
f(x) f(x )≤ για κάθε x A∈
• Παρουσιάζει στο 0
x A∈ (ολικό) ελάχιστο, το 0
f(x ) , όταν 0
f(x) f(x )≥ για κάθε x A∈ .
Το (ολικό) µέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο µιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f.
19 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Λέµε ότι Παρουσιάζει
στο o
Ax ∈ Τοπικό Μέγιστο Και Πότε Τοπικό Ελάχιστο
Απάντηση
α) Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού Α, θα λέµε ότι παρουσιάζει στο 0
x A∈ τοπικό µέγιστο,
όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε: 0
f(x) f(x )≤ για κάθε 0 0
x A (x ,x )∈ ∩ − δ + δ .Το 0
x λέγεται θέση ή
σηµείο τοπικού µεγίστου, ενώ το 0
f(x ) τοπικό µέγιστο της f.
β) Μία συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού Α, θα λέµε ότι παρουσιάζει στο 0
x A∈ τοπικό ελάχιστο,
όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε: 0
f(x) f(x )≥ , για κάθε 0 0
x A (x ,x )∈ ∩ − δ + δ . Το 0
x λέγεται
θέση ή σηµείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το 0
f(x ) τοπικό ελάχιστο της f.
Σχόλιο
α) Τα τοπικά µέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα
σηµεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων. Το
µέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής.
β) Ένα τοπικό µέγιστο µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο.
γ ) Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο, τότε αυτό θα είναι το µεγαλύτερο από τα τοπικά
µέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το µικρότερο από τα τοπικά
ελάχιστα.

8. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 7
δ) Το µεγαλύτερο όµως από τα τοπικά µέγιστα µίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε µέγιστο
αυτής. Επίσης το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα µίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε
ελάχιστο της συνάρτησης.
20 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Λέγεται 1-1
Απάντηση
Μια συνάρτηση f:A R→ λέγεται συνάρτηση 1 1− , όταν για οποιαδήποτε 1 2
x ,x A∈ ισχύει η
συνεπαγωγή:
Αν 1 2
x x≠ , τότε 1 2
f(x ) f(x )≠ .
Σχόλια
α) Μια συνάρτηση f:A R→ είναι συνάρτηση 1 1− , αν και µόνο αν για οποιαδήποτε
1 2
x ,x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή: αν 1 2
f(x ) f(x )= , τότε 1 2
x x= .
Είναι φανερό από τον ορισµό της συνάρτησης ότι ισχύει η ισοδυναµία : = ⇔ =1 2 1 2
f(x ) f(x ) x x
β) Τα διαφορετικά στοιχεία 1 2
x ,x A∈ , έχουν ΠΑΝΤΑ διαφορετικές εικόνες.
γ) Από τον ορισµό προκύπτει ότι µια συνάρτηση f είναι 1 1− , αν και µόνο αν:
- Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f(x) y= έχει ακριβώς µια λύση
ως προς x.
- ∆εν υπάρχουν σηµεία της γραφικής της παράστασης µε την ίδια τεταγµένη. Αυτό
σηµαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε
ένα σηµείο.
- Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη, τότε είναι συνάρτηση "1 1"− .Το
αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι 1 1− αλλά δεν
είναι γνησίως µονότονες.
Παράδειγµα
Η συνάρτηση η συνάρτηση
x , x 0
g(x) 1
, x 0
x
 ≤

= 
>

(Σχ. 34) είναι 1 1− ,
αλλά δεν είναι γνησίως µονότονη.
21 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Αντιστρέφεται
Απάντηση
Μια συνάρτηση f:A R→ αντιστρέφεται, αν και µόνο αν είναι 1 1− . Τότε για κάθε στοιχείο y του
συνόλου τιµών της f, ( )f A , υπάρχει µοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισµού της Α για το οποίο
ισχύει ( )f x y= . Έτσι, ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f που συµβολίζεται µε 1
f−
και για
την οποία ισχύει η ισοδυναµία: 1
f(x) y f (y) x−
= ⇔ =
O x
y
y=g(x)
34
g
f
f(A)A
y=f(x)g(y)=x
21

9. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 8
Σχόλια
α) Ισχύει ότι : 1
( ( )) ,−
= ∈f f x x x A και 1
( ( )) , ( )−
= ∈f f y y y f A .
β) Η αντίστροφη της f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών f(A) της f, και σύνολο τιµών
το πεδίο ορισµού Α της f .
γ) Αν ένα σηµείο ( , )M α β ανήκει στη f
C , τότε το σηµείο ( , )β α′Μ θα ανήκει στη
γραφική παράσταση 1
f
C − και αντιστρόφως. Τα σηµεία, όµως, αυτά είναι συµµετρικά
ως προς την ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x Oy′ ′. Εποµένως:
Οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cf
-1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y x= που
διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x Oy′ ′ .
δ) Αν Η Cf ΤΕΜΝΕΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x ΣΕ ΚΑΠΟΙΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΤΕ Η Cf
-1 ΤΕΜΝΕΙ ΤΗΝ
ΕΥΘΕΙΑ y=x ΣΤΟ Ι∆ΙΟ ΣΗΜΕΙΟ.
ε) ΟΙ Cf ΚΑΙ Cf
-1 ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΣΕ ΣΗΜΕΙΑ ΕΚΤΟΣ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ y=x
3
3 1
3
x ,x 0
f(x) x f (x)
x ,x 0
−
 − ≥
= − και = 
− − <
22 Ποια Πρόταση Συνδέει Το Όριο της f στο o
x Και Τα Πλευρικά Όρια
της f Στο o
x
Απάντηση
Ισχύει ότι : Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0 0
(α,x ) (x ,β)∪ ,
τότε ισχύει η ισοδυναµία:
0x x
lim f(x) ℓ
→
= ⇔
0 0x x x x
lim f(x) lim f(x) ℓ− +
→ →
= =
Τους αριθµούς
0
lim ( )
x x
f x−
→
και
0
lim ( )
x x
f x+
→
τους λέµε πλευρικά όρια της f στο 0x και
συγκεκριµένα αριστερό και δεξιό όριο της f αντίστοιχα.
Παρατηρήσεις στο όριο
α) Ισχύει ότι :
(α)
0x x
lim f(x) ℓ
→
= ⇔
0x x
lim (f(x) ) 0ℓ
→
− =
(β)
0x x
lim f(x) ℓ
→
= ⇔ 0
h 0
limf(x h) ℓ
→
+ =
(γ)
0
0x x
lim x x
→
=
(δ)
0x x
lim c c
→
=
β) — Για να αναζητήσουµε το όριο της f στο 0
x , πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουµε
“κοντά στο 0
x ”, δηλαδή η f να είναι ορισµένη σ’ ένα σύνολο της µορφής 0 0
(α,x ) (x ,β)∪
ή 0
(α,x ) ή 0
(x ,β) .

10. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 9
— Το 0
x µπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης (Σχ. 22α, 22β) ή να
µην ανήκει σ’ αυτό (Σχ.22γ)
— Η τιµή της f στο 0
x , όταν υπάρχει, µπορεί να είναι ίση µε το όριό της στο 0
x (Σχ.
22α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ. 22β,22γ)
f(x)
f(x)
f x( )0 =ℓ
O x0 xx x
y
22α
f(x0)
f(x)
f(x)
O x0
ℓ
xx x
y
22β
f(x)
f(x)
O x0
ℓ
xx x
y
22γ
23 Πότε Λέµε ότι Μια Συνάρτηση f Έχει Κοντά Στο o
x Μια Ιδιότητα P
Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέµε ότι έχει κοντά στο 0
x µια ιδιότητα Ρ, όταν ισχύει µια από τις
παρακάτω τρεις συνθήκες:
α) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0 0
(α,x ) (x ,β)∪ και στο σύνολο αυτό έχει
την ιδιότητα Ρ.
β) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0
(α,x ) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά
δεν ορίζεται σε σύνολο της µορφής 0
(x ,β) .
γ) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0
(x ,β) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά
δεν ορίζεται σε σύνολο της µορφής 0
(α,x ) .
24 Πρόσηµο Συνάρτησης Και Όρια
Απάντηση
• Αν
0x x
lim f(x) 0
→
> , τότε f(x) 0> κοντά στο 0
x
• Αν
0x x
lim f(x) 0
→
< , τότε f(x) 0< κοντά στο 0
x
25 ∆ιάταξη Και Όρια
Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο 0
x και ισχύει f(x) g(x)≤
κοντά στο 0
x , τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim g(x)
→ →
≤
26 Πράξεις Συναρτήσεων Και Όρια
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0
x , τότε:
1.
0 0 0x x x x x x
lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
→ → →
+ = +
2.
0 0x x x x
lim (κf(x)) κ lim f(x)
→ →
= , για κάθε σταθερά κ R∈
3.
0 0 0x x x x x x
lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
→ → →
⋅ = ⋅
ισχύει και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις
0 0
*
lim[ ( )] lim ( ) ,
ν
ν
x x x x
f x f x ν
→ →
 = ∈
  
ℕ
4. 0
0
0
x x
x x
x x
lim f(x)
f(x)
lim
g(x) lim g(x)
→
→
→
= , εφόσον
0x x
lim g(x) 0
→
≠
5.
0 0x x x x
lim | f(x)| lim f(x)
→ →
=
6.
0 0
k
k
x x x x
lim f(x) lim f(x)
→ →
= , εφόσον f(x) 0≥ κοντά στο 0
x .

11. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 10
27 Κριτήριο Παρεµβολής
Έστω οι συναρτήσεις f,g,h . Αν
• h(x) f(x) g(x)≤ ≤ κοντά στο 0
x και
•
0 0x x x x
lim h(x) lim g(x) ℓ
→ →
= = ,
τότε
0x x
lim f(x) ℓ
→
=
{ }0
x ,∈ ∪ +∞ −∞ℝ
28 Τριγωνοµετρικά ‘Ορια
●
0
0x x
lim ηµx ηµx
→
= ●
0
0x x
lim συνx συνx
→
= ● x 0
ηµx
lim 1
x→
= ● x 0
συνx 1
lim 0
x→
−
= ● x 0
1
lim x 0
x→
 
⋅ ηµ = 
 
29 Να Γράψετε Τις Ιδιότητες Του Άπειρου Ορίου Στο o
x
Απάντηση
Όπως στην περίπτωση των πεπερασµένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια
συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της µορφής 0 0
( ,x ) (x , )α ∪ β , ισχύουν οι
παρακάτω ισοδυναµίες:
α)
0 0 0
x x x x x x
lim f(x) lim f(x) lim f(x)− +→ → →
= +∞ ⇔ = = +∞
β)
0 0 0
x x x x x x
lim f(x) lim f(x) lim f(x)− +→ → →
= −∞ ⇔ = = −∞ .
γ) Αν
0x x
lim f(x)
→
= +∞ , τότε f(x) 0> κοντά στο 0
x , ενώ αν
0x x
lim f(x)
→
= −∞ , τότε f(x) 0< κοντά στο
0
x .
δ) Αν
0x x
lim f(x)
→
= +∞ , τότε
0x x
lim ( f(x))
→
− = −∞ , ενώ αν
0x x
lim f(x)
→
= −∞ , τότε
0x x
lim ( f(x))
→
− = +∞ .
ε) Αν
0x x
lim f(x)
→
= +∞ ή −∞ , τότε
0x x
1
lim 0
f(x)→
= .
στ) Αν
0x x
lim f(x) 0
→
= και f(x) 0> κοντά στο 0
x , τότε
0x x
1
lim
f(x)→
= +∞ ,
ενώ αν
0x x
lim f(x) 0
→
= και f(x) 0< κοντά στο 0
x , τότε
0x x
1
lim
f(x)→
= −∞ .
ζ) Αν
0x x
lim f(x)
→
= +∞ ή −∞ , τότε
0x x
lim | f(x)|
→
= +∞ .
η) Αν
0x x
lim f(x)
→
= +∞ , τότε
0
k
x x
lim f(x)
→
= +∞ .
θ) i) 20
1
lim
→
= +∞
x x
και γενικά 20
1
lim ν→
= +∞
x x
, ∈ ℕ*
v .
ii) 2 1
0
1
lim
+ +
→
= +∞ν
x x
, Nν ∈ και 2 1
0
1
lim
− ν+
→
= −∞
x x
, ∈ ℕv .
ι) Για το άθροισµα και το γινόµενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήµατα:
30 Άπειρο Όριο Αθροίσµατος
Αν στο 0x ∈ℝ
το όριο της f είναι: α∈ ℝ α∈ ℝ +∞ -∞ +∞ -∞
και το όριο της g είναι: +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ +∞
τότε το όριο της f g+ είναι: +∞ -∞ +∞ -∞ Α.Μ. Α.Μ.

12. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 11
31 Άπειρο Όριο Γινοµένου
Αν στο 0x ∈ℝ
το όριο της f είναι: α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 +∞ +∞ -∞ -∞
και το όριο της g είναι: +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞
τότε το όριο της f·g είναι: +∞ -∞ -∞ +∞ Α.Μ. Α.Μ. +∞ -∞ -∞ +∞
Σχόλιο
Οι παρακάτω µορφές λέγονται απροσδιόριστες µορφές:
( ) ( )+∞ + −∞ , 0 ( )⋅ ±∞ , ( ) ( )+∞ − +∞ , ( ) ( )−∞ − −∞ ,
0
0
,
±∞
±∞
.
32 Ιδιότητες Του Ορίου Στο Άπειρο
Απάντηση
α) Για τον υπολογισµό του ορίου στο +∞ ή −∞ ενός µεγάλου αριθµού συναρτήσεων
χρειαζόµαστε τα παρακάτω βασικά όρια:
● lim
→+∞
= +∞ν
x
x και
1
lim 0
→+∞
=νx x
, ∈ ℕ*
v
●
, αν άρτιος
lim
- , αν περιττός→−∞
+∞
= 
∞
ν
x
ν
x
ν
και
1
lim 0
→−∞
=νx x
, ∈ ℕ*
v .
β) Για την πολυωνυµική συνάρτηση 1
1 0
P(x) x x ⋯ν ν−
ν ν−
= α + α + + α , µε 0ν
α ≠ ισχύει:
x x
lim P(x) lim ( x )ν
ν
→+∞ →+∞
= α και
x x
lim P(x) lim ( x )ν
ν
→−∞ →−∞
= α
γ) Για τη ρητή συνάρτηση
1
1 1 0
1
1 1 0
x x x
f(x)
x x x
⋯
⋯
ν ν−
ν ν−
κ κ−
κ κ−
α + α + + α + α
=
β + β + + β + β
, 0ν
α ≠ , 0κ
β ≠ ισχύει:
x x
x
lim f(x) lim
x
ν
ν
κ→+∞ →+∞
κ
 α
=  
 β 
και
x x
x
lim f(x) lim
x
ν
ν
κ→−∞ →−∞
κ
 α
=  
 β 
δ) Για το όριο εκθετικής - λογαριθµικής συνάρτησης
ισχύει ότι
• Αν 1α > (Σχ. 32α), τότε
x
x
lim 0
→−∞
α = ,
x
x
lim
→+∞
α = +∞
x 0
limlog xα
→
= −∞ ,
x
lim log xα
→+∞
= +∞
• Αν 0 1< α < (Σχ. 32β), τότε
x
x
lim
→−∞
α = +∞ , x
x
lim 0
→+∞
α =
x 0
limlog xα
→
= +∞ ,
x
lim log xα
→+∞
= −∞
Σχόλια
● Για να αναζητήσουµε το όριο µιας συνάρτησης f στο
+∞ , πρέπει η f να είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( , )α +∞ .
● Για να αναζητήσουµε το όριο µιας συνάρτησης f στο −∞ πρέπει η f να είναι ορισµένη
σε διάστηµα της µορφής ( , )−∞ β .
y=ax
y
1
1
y=logax
O x
32α
y=ax
y=logax
1
1
O x
y
32β

13. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 12
● Για τα όρια στο +∞ , −∞ ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο 0
x µε την
προϋπόθεση ότι:
— οι συναρτήσεις είναι ορισµένες σε κατάλληλα σύνολα και
— δεν καταλήγουµε σε απροσδιόριστη µορφή
33 Όριο Και Ανισότητες Στο Άπειρο Ι
Απάντηση
Έστω f και g δυο συναρτήσεις που είναι ορισµένες κοντά στο { }0
x ,∈ ∪ +∞ −∞ℝ . Αν ισχύουν:
α) ( ) ( )f x g x≤ κοντά στο 0
x
β) ( )ox x
lim f x
→
= +∞
τότε ( )ox x
lim g x
→
= +∞
34 Όριο Και Ανισότητες Στο Άπειρο ΙΙ
Απάντηση
Έστω f και g δυο συναρτήσεις που είναι ορισµένες κοντά στο { }0
x ,∈ ∪ +∞ −∞ℝ . Αν ισχύουν:
α) ( ) ( )f x g x≤ κοντά στο 0
x
β) ( )ox x
lim g x
→
= −∞
τότε ( )ox x
lim f x
→
= −∞
35 Πότε Μια Συνάρτηση f Λέγεται Συνεχής Στο Σηµείο o f
x D∈
Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σηµείο 0
x του πεδίου ορισµού της,
όταν
0
0x x
lim f(x) f(x )
→
=
Σχόλια
α) Σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό, µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα
σηµείο 0
x του πεδίου ορισµού της όταν:
i) ∆εν υπάρχει το όριό της στο 0
x ή
ii) Υπάρχει το όριό της στο 0
x , αλλά είναι διαφορετικό από την τιµή της, 0
f(x ) , στο
σηµείο 0
x .
β) Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία του πεδίου ορισµού της, θα
λέγεται, συνεχής συνάρτηση.
γ) — Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε 0x ∈ℝ
ισχύει
0
0
x x
lim P(x) P(x )
→
= .
— Κάθε ρητή συνάρτηση
P
Q
είναι συνεχής, αφού για κάθε 0
x του πεδίου ορισµού της
Ισχύει
0
0
x x
0
P(x )P(x)
lim
Q(x) Q(x )→
= .
— Οι συναρτήσεις ( ) ηµ=f x x και ( ) συν=g x x είναι συνεχείς, αφού για κάθε 0x ∈ℝ ισχύει
0
0x x
lim ηµx ηµx
→
= και
0
0x x
lim συνx συνx
→
= .
— Οι συναρτήσεις ( ) = x
f x α και ( ) log= α
g x x , 0 1< ≠α είναι συνεχείς.

14. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 13
36 Συνέχεια Και Πράξεις Συναρτήσεων
Απάντηση
Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρηµα:
Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0
x , τότε είναι συνεχείς στο 0
x και οι
συναρτήσεις: f g+ , c f⋅ , όπου c∈ℝ , f g⋅ ,
f
g
, | f| και fν
µε την προϋπόθεση ότι ορίζονται
σε ένα διάστηµα που περιέχει το 0
x .
37 Συνέχεια Σύνθετης Συνάρτησης
Απάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0
x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0
f(x ) , τότε
η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο 0
x .
38 Συνέχεια σε ΑΝΟΙΚΤΟ ∆ιάστηµα ( , )α β
Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα ( , )α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β .
y
( )
O βa x
39 Συνέχεια σε ΚΛΕΙΣΤΟ ∆ιάστηµα , α β 
Απάντηση
Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον
x
lim f(x) f( )+
→α
= α και
x
lim f(x) f( )−
→β
= β
y
[ ]
O βa x
40 Συνέχεια σε ∆ιάστηµα ),α β
Απάντηση
Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ),α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον
x
lim f(x) f( )+
→α
= α
41 Συνέχεια σε ∆ιάστηµα ( , α β
Απάντηση
Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα ( , α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον
x
lim f(x) f( )−
→β
= β

15. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 14
42 Θεώρηµα Bolzano (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Έστω µια συνάρτηση f , ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β . Αν:
• η f είναι συνεχής στο [ , ]α β και, επιπλέον, ισχύει
• f( ) f( ) 0α ⋅ β < ,
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0
x ( , )∈ α β τέτοιο, ώστε 0
f(x ) 0= .
∆ηλαδή, υπάρχει µια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) 0= στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β .
43 Γεωµετρική Ερµηνεία Bolzano
Απάντηση
Αν f συνεχής συνάρτησης στο [ , ]α β και τα σηµεία ( , ( ))A fα α και ( , ( ))B fβ β βρίσκονται
εκατέρωθεν του άξονα x x′ , τότε η Cf τέµνει τον άξονα x x′ σε ένα τουλάχιστον σηµείο
Μ(x0, 0), µε τετµηµένη 0
x ( , )∈ α β .
44 Πρόσηµο Συνεχούς Συνάρτησης (συνέπειες Bolzano)
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δε µηδενίζεται σ’ αυτό, τότε
αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ ∆ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ ∆ , δηλαδή διατηρεί
πρόσηµο στο διάστηµα ∆.
y
f(x)<0
O
βa
x
44
(β)
Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από το διαστήµατα
στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της.
y
ρ5
ρ4ρ3
ρ2
ρ1
+
−−
+
−
+
′′x0′x0
x0
y
B(β,f(β))
Α(α,f(α))f(a)
f(β)
O β
a
x
y
f(x)>0
O βa x
(α)

16. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 15
45 Εύρεση Προσήµου
Απάντηση
α) Βρίσκουµε τις ρίζες της f.
β) Σε καθένα από τα υποδιαστήµατα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουµε έναν
αριθµό και βρίσκουµε το πρόσηµο της f στον αριθµό αυτό. Το πρόσηµο αυτό είναι και το
πρόσηµο της f στο αντίστοιχο διάστηµα.
46 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Ενδιάµεσων Τιµών
Απάντηση
Αν f συνεχής συνάρτησης στο [ , ]α β και τα σηµεία ( , ( ))A fα α και ( , ( ))B fβ β βρίσκονται
εκατέρωθεν της ευθείας y=η, τότε η Cf τέµνει την ευθεία y=η σε ένα τουλάχιστον σηµείο
Μ(x0, η), µε τετµηµένη 0
x ( , )∈ α β .
′x0x0 ′′x0
y
B(β,f(β))
f(a)
f(β)
O β
y=η
η
a x
Α(α,f(α))
Σχόλια
α) Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστηµα [ , ]α β , τότε, όπως φαίνεται και
στο διπλανό σχήµα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάµεσες τιµές.
y
f(a)
f(β)
O
y=η
η
xβa
47 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆
Απάντηση
Η εικόνα f( )∆ ενός διαστήµατος ∆ µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f
είναι διάστηµα.
y
( )
O
(α)
βa x
y
( )
O
(β)
βa x
47
y
[ )
O
(γ)
βa x
48 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ένα ∆ιάστηµα (α,β)
Απάντηση
Aν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα

17. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 16
( , )α β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα ( , )Α Β , όπου
x
lim f(x)+
→α
Α = και
x
B lim f(x)−
→β
= .
y
( )
O
(48α)
β
B
A
a x
Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( , )α β , τότε το σύνολο τιµών της στο
διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (B,A) , όπου
x
lim f(x)+
→α
Α = και
x
B lim f(x)−
→β
= .
y
( )
O
(48β)
β
Α
Β
a x
49 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ανοικτό ∆ιάστηµα (α,β)
Απάντηση
Αν µια ΣΥΝΕΧΗΣ συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα ανοικτό διάστηµα ( ),α β και
x x x x
lim f(x) limf(x) (ή lim f(x) limf(x) )
→α →β →α →β
= +∞ και = −∞ = −∞ και = +∞ , τότε το σύνολο τιµών της f είναι το
( )( ), f ,α β =ℝ ℝ ,δηλαδή δεν χρειάζεται να βρούµε τη µονοτονία της συνάρτησης στο (α,β)
50 Θεώρηµα Μέγιστης –Ελάχιστης Τιµής (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ , ]α β , τότε η f παίρνει στο [ , ]α β µια µέγιστη τιµή Μ
και µια ελάχιστη τιµή m.
∆ηλαδή, υπάρχουν 1 2
x ,x [ , ]∈ α β τέτοια ώστε, αν 1
m f(x )= και 2
M f(x )= , να ισχύει
( )≤ ≤m f x M , για κάθε [ , ]∈x α β .
y
[ ]
O βa xx1x2
Μ
m
m
Μ

18. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 17
51 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Κλειστό ∆ιάστηµα [α,β]
Απάντηση
Το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το [α,β] είναι το κλειστό
διάστηµα [m,M] όπου m η ελάχιστη τιµή και M η µέγιστη τιµή της.
52 Ακολουθία
Απάντηση
Ακολουθία ονοµάζεται κάθε πραγµατική συνάρτηση
*
α : N → ℝ .
53 Όριο Ακολουθίας
Απάντηση
Θα λέµε ότι η ακολουθία ( αν ) έχει όριο το ∈ℝl και θα γράφουµε lim α
→+∞
= lν
ν
, όταν για κάθε ε >0,
υπάρχει
*
0ν ∈ℕ τέτοιο, ώστε για κάθε 0ν > ν να ισχύει − <lνα ε .

19. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 18
Ηµεροµηνία: / / .
Β Αποδείξεις Στις Συναρτήσεις
1 Έστω το πολυώνυµο 1
1 1 o
P(x) a x a x ... a x aν ν−
ν ν−
= + + + + και o
x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι
o
o
x x
lim P(x) P(x )
→
=
Απόδειξη
Σύµφωνα µε τις ιδιότητες των ορίων έχουµε:
0 0
ν ν 1
ν ν 1 0
x x x x
lim P(x) lim(α x α x α )−
−
→ →
= + + +⋯
0 0 0
ν ν 1
ν ν 1 0
x x x x x x
lim(α x ) lim(α x ) lim α−
−
→ → →
= + + +⋯
0 0 0
ν ν 1
ν ν 1 0
x x x x x x
α lim x α lim x lim α−
−
→ → →
= + + +⋯ ν ν 1
ν 0 ν 1 0 0 0α x α x α P(x )−
−= + + + =⋯ .
2 Έστω η ρητή συνάρτηση
P(x)
f(x)
Q(x)
= , όπου P(x),Q(x) πολυώνυµα του x και
0x ∈ℝ µε 0
Q(x ) 0≠ . Να δείξετε ότι:
0
0
x x
0
P(x )
lim f (x)
Q(x )→
= , όπου o
Q(x ) 0≠
Απόδειξη
0
0 0
0
x x 0
x x x x
0
x x
lim P(x) P(x )P(x)
lim f (x) lim
Q(x) lim Q(x) Q(x )
→
→ →
→
= = = εφόσον 0Q(x ) 0≠ .
3 Πως υπολογίζουµε το όριο σύνθετης συνάρτησης fog στο 0x
Απόδειξη
Αν θέλουµε να υπολογίσουµε το όριο της σύνθετης συνάρτησης f g στο σηµείο 0
x ,
δηλαδή το
0x x
lim f(g(x))
→
, τότε εργαζόµαστε ως εξής:
1. Θέτουµε u g(x)= .
2. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το
0
0
x x
u lim g(x)
→
= και
3. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το
0u u
lim f(u)ℓ
→
= .
Αν 0
g(x) u≠ κοντά στο 0
x , τότε το ζητούµενο όριο είναι ίσο µε ℓ , δηλαδή ισχύει:
0 0
lim ( ( )) lim ( )
→ →
=
x x u u
f g x f u
4 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών
∆ιατύπωση
Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β . Αν:
• η f είναι συνεχής στο [ , ]α β και
• f( ) f( )α ≠ β
τότε, για κάθε αριθµό η, µεταξύ των f( )α και f( )β υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0
x ( , )∈ α β
τέτοιος ώστε 0
f(x ) = η
Απόδειξη
Ας υποθέσουµε ότι f( ) f( )α < β . Τότε θα ισχύει f( ) f( )α < η < β (Σχ. 4). Αν θεωρήσουµε τη
συνάρτηση g(x) f(x)= − η , x [ , ]∈ α β , παρατηρούµε ότι:
• η g είναι συνεχής στο [ , ]α β και
• g( )g( ) 0α β < ,

20. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 19
aφού g( ) f( ) 0α = α − η < και g( ) f( ) 0β = β − η > .
Εποµένως, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Bolzano,
υπάρχει 0
x ( , )∈ α β τέτοιο ώστε 0 0
g(x ) f(x ) 0= − η = , οπότε
0
f(x ) = η .
5 Αν ισχύει Το Θεώρηµα Bolzano στο , α β  , τότε Ισχύει και το Θεώρηµα
Ενδιαµέσων τιµών στο , α β 
Απόδειξη
Από Θεώρηµα Bolzano ( ) ( ) ( )f α f β 0 1< . Θα αποδείξουµε ότι ( ) ( )f α f β≠ . Πράγµατι, έστω
( ) ( )f α f β= τότε από τη σχέση ( )1 παίρνουµε, ( )2
f α 0< , πράγµα άτοπο.
6 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Με Πεδίο Ορισµού το , α β 
Απόδειξη
Από το θεώρηµα Μέγιστης Ελάχιστης Τιµής και το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών
προκύπτει ότι το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το [ , ]α β
είναι το κλειστό διάστηµα [ , ]m M , όπου m η ελάχιστη τιµή και Μ η µέγιστη τιµή της.
′x0x0 ′′x0
y
B(β,f(β))
f(a)
f(β)
O β
y=η
η
a x
4
Α(α,f(α))

21. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 20
Ηµεροµηνία: / / .
Γ Ορισµοί Στις Παραγώγους
1 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Στο Σηµείο o f
x D∈
Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέµε ότι είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο 0
x του πεδίου ορισµού της, αν και
µόνο αν υπάρχει το
0
0
x x
0
f(x) f(x )
lim
x x→
−
−
και είναι πραγµατικός αριθµός. Το όριο αυτό ονοµάζεται
παράγωγος της f στο 0
x και συµβολίζεται µε 0
( )′f x . ∆ηλαδή:
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f (x ) lim
x x→
−
′ =
−
.
Σχόλιο
Αν το 0
x είναι εσωτερικό σηµείο ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της f, τότε η f είναι
παραγωγίσιµη στο 0
x , αν και µόνο αν υπάρχουν στο ℝ τα όρια
0
0
0
x x
f(x) f(x )
lim
x x−→
−
−
,
0
0
0
x x
f(x) f(x )
lim
x x+
→
−
−
και
είναι ίσα.
2 Ισοδύναµος Ορισµός Παραγώγου Στο Σηµείο o f
x D∈
Απάντηση
→
+ −
′ = 0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) lim
h
Σχόλιο
Το 0h x x= − συµβολίζεται µε x∆ , ενώ το 0 0( ) ( )f x h f x+ − = 0 0( ) ( )f x x f x+ ∆ − συµβολίζεται µε
0( )f x∆ , οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: ( )
( )0
0
0
lim
∆ →
∆
′ =
∆x
f x
f x
x
.
Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συµβολίσει την παράγωγο στο 0x µε 0( )df x
dx
ή
0
( )
x x
df x
dx
= . Ο συµβολισµός 0( )f x′ είναι µεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange.
3 Εφαπτοµένη της fC Στο Σηµείο Της 0 0
A(x ,f(x ))
Απάντηση
Έστω f µια συνάρτηση και 0 0( , ( ))A x f x ένα σηµείο της fC . Αν υπάρχει το
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x→
−
−
και είναι ένας πραγµατικός αριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφαπτοµένη της fC στο σηµείο της Α,
την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.
Οπότε, εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της f
C στο σηµείο της 0 0
A(x ,f(x )) είναι:
0 0 0
y f(x ) f (x )(x x )′− = − µε
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
λ
→
−
=
−

22. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 21
Σχόλιο
Αν η συνάρτηση ∆ΕΝ είναι παραγωγίσιµη στο 0
x , τότε ∆ΕΝ ορίζεται η εφαπτοµένη της
fC στο 0 0
A(x ,f(x ))
4 Συντελεστής ∆ιεύθυνσης Της Εφαπτοµένης της fC Στο Σηµείο Της
0 0
A(x ,f(x ))
Απάντηση
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης ε της fC µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, στο
σηµείο 0 0( , ( ))A x f x είναι η παράγωγος της f στο 0x . ∆ηλαδή, ( )of xλ ′= ,
5 Κλίσης Της f Στο 0
x
Απάντηση
Την κλίση 0
f (x )′ της εφαπτοµένης ε στο 0 0
A(x ,f(x )) θα τη λέµε και κλίση της f
C στο Α ή κλίση
της f στο 0
x .
6 Στιγµιαία Ταχύτητα
Απάντηση
Η στιγµιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγµή 0t , είναι η παράγωγος της συνάρτησης
θέσης ( )x S t= τη χρονική στιγµή 0t . ∆ηλαδή, είναι ( ) ( )o ot S tυ ′= .
7 Πότε Μια Συνάρτηση λέγεται Παραγωγίσιµη Στο Σύνολο Α
Απάντηση
H f είναι παραγωγίσιµη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιµη, όταν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε
σηµείο 0
x A∈ .
8 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε Ανοικτό ∆ιάστηµα ( , )α β
Απάντηση
Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα ανοικτό διάστηµα ( , )α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι
παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο 0
x ( , )∈ α β .
9 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε Κλειστό ∆ιάστηµα , α β 
Απάντηση
Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι
παραγωγίσιµη στο ( , )α β και επιπλέον ισχύει:
+
→α
− α
∈
− α
ℝ
x
f(x) f( )
lim
x
και
−
→β
− β
∈
− β
ℝ
x
f(x) f( )
lim
x
.

23. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 22
10 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε ∆ιάστηµα ( , α β
Απάντηση
Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ( , α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι
παραγωγίσιµη στο ( , )α β και επιπλέον ισχύει:
−
→β
− β
∈
− β
ℝ
x
f(x) f( )
lim
x
.
11 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε ∆ιάστηµα ),α β
Απάντηση
Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ),α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι
παραγωγίσιµη στο ( , )α β και επιπλέον ισχύει:
+
→α
− α
∈
− α
ℝ
x
f(x) f( )
lim
x
12 Τι Ονοµάζουµε Πρώτη Παράγωγο Μιας Συνάρτησης f
Απάντηση
Έστω f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α και 1A τo σύνολο των σηµείων του Α στα οποία
αυτή είναι παραγωγίσιµη. Αντιστοιχίζοντας κάθε 1x A∈ στο ( )f x′ , ορίζουµε τη συνάρτηση
1:f A R′ → , µε ( ),x f x′→ η οποία ονοµάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της
f. H πρώτη παράγωγος της f συµβολίζεται: ( ( ))y f x ′= και
df
dx
που διαβάζεται “ντε εφ προς
ντε χι”.
13 Τι Ονοµάζουµε ∆εύτερη Και Γενικά Νιοστή Παράγωγο Μιας Συνάρτησης f
Απάντηση
Έστω f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α και 1A τo σύνολο των σηµείων του Α στα οποία
αυτή είναι παραγωγίσιµη. Αν υποθέσουµε ότι το 1Α είναι διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων,
τότε η παράγωγος της f ′ , αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συµβολίζεται µε
f ′′.
Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, µε 3ν ≥ , και συµβολίζεται µε
( )v
f . ∆ηλαδή
( ) ( )1v v
f f − ′ =   , 3v ≥ .
14 Παράγωγος Τριγωνοµετρικής Συνάρτησης Ηµίτονο (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Έστω συνάρτηση f(x) ηµx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει f (x) συνx′ = ,
δηλαδή (ηµx) συνx′ =
15 Παράγωγος Τριγωνοµετρικής Συνάρτησης Συνηµίτονο (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Έστω η συνάρτηση f(x) συνx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει f (x) ηµx′ = − ,
δηλαδή (συνx) ηµx′ = −
16 Παράγωγος Εκθετικής Συνάρτησης (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Έστω η συνάρτηση x
f(x) e= . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει
x
f (x) e′ = , δηλαδή x x
(e ) e′ =

24. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 23
17 Παράγωγος Λογαριθµικής Συνάρτησης (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Έστω η συνάρτηση f(x) lnx= . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, )+∞ ισχύει 1
f (x)
x
′ = ,
δηλαδή
1
(lnx)
x
′ =
18 Παράγωγος Αθροίσµατος ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς
απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε x∈∆ ισχύει:
)()()()( xgxfxgf ′+′=′+
.
Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. ∆ηλαδή, αν
1 2, ,..., kf f f , είναι παραγωγίσιµες στο ∆, τότε 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kf f f x f x f x f x′ ′ ′ ′+ + + = + + +⋯ ⋯ .
19 Παράγωγος Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x ισχύει:
′ ′ ′⋅ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x .
20 Παράγωγος Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων Στο o f
x D∈ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο o f
x D∈ , τότε και η συνάρτηση fg είναι
παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει ′ ′ ′⋅ = +0 0 0 0 0
(f g) (x ) f (x )g(x ) f(x )g (x )
21 Παράγωγος Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων Στο o f
x D∈ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο o f
x D∈ , τότε και η συνάρτηση
f
g
είναι
παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει
′
′ ′− 
= 
 
0 0 0 0
0 2
0
f (x )g(x ) f(x )g (x )f
(x )
g [g(x )]
µε 0
g(x ) 0≠
22 Παράγωγος Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆ και για κάθε ∈ ∆x ισχύει
≠g(x) 0 , τότε για κάθε ∈ ∆x έχουµε:
′
′ ′  −
= 
 
2
( ) ( ) ( ( )
( )
[ ( )]
f f x g x f x)g x
x
g g x
.
23 Παράγωγος Σύνθεσης ∆υο Συναρτήσεων Στο o g
x D∈ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο 0
x και η f είναι παραγωγίσιµη στο 0
g(x ) , τότε η
συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει 0 0 0
(f g) (x ) f (g(x )) g (x )′ ′ ′= ⋅

25. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 24
24 Ρυθµός Μεταβολής Συνάρτησης
Απάντηση
Αν δύο µεταβλητά µεγέθη x,y συνδέονται µε τη σχέση y f(x)= , όταν f είναι µια συνάρτηση
παραγωγίσιµη στο 0
x , τότε ονοµάζουµε ρυθµό µεταβολής του y ως προς το x στο σηµείο 0
x
την παράγωγο 0
f (x )′ .
25 Ρυθµός Μεταβολής Μετατόπισης
Απάντηση
Ο ρυθµός µεταβολής της µετατόπισης s ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to είναι η
παράγωγος s’(to), της µετατόπισης s ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to. Η παράγωγος
s’(to) λέγεται ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή to και συµβολίζεται µε u(to), δηλαδή:
υ(to)=s’(to).
26 Ρυθµός Μεταβολής Ταχύτητας
Απάντηση
Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to είναι η
παράγωγος υ’(to), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to. Η παράγωγος υ’(to)
λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγµή to και συµβολίζεται µε α(to), δηλαδή:
α(to)= υ’(to)=S’’(to).
27 Οριακό Κόστος
Απάντηση
Στην οικονοµία το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει
της ποσότητας x του παραγόµενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος Κ’(xo) παριστάνει το ρυθµό
µεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα x, όταν x=xo και λέγεται οριακό κόστος στο xo.
Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο xo και οριακό κέρδος στο xo.
28 Θεώρηµα Rolle (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ , ]α β
• παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β και
• f( ) f( )α = β
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( , )ξ ∈ α β τέτοιο ώστε f ( ) 0′ ξ = .
29 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Rolle
Απάντηση
Αν η Cf είναι µία συνεχής γραµµή από το σηµείο ( , ( ))A fα α στο ( , ( ))B fβ β , η f είναι
παραγωγίσιµη στο α β( , ) και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι παράλληλο στον άξονα x x′ ,
τότε υπάρχει µία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(ξ, f(ξ)), µε
τετµηµένη ξ ∈ α β( , ) .

26. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 25
y
O xβξ΄ξα
Μ (ξ,f (ξ))
Β(β,f(β))
Α(α,f (α))
31
30 Θεώρηµα Μέσης Τιµής Του ∆ιαφορικού Λογισµού (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ , ]α β και
• παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( , )ξ ∈ α β τέτοιο ώστε:
f( ) f( )
f ( )
β − α
′ ξ =
β − α
.
31 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Μέσης Τιµής
Απάντηση
Αν η Cf είναι µία συνεχής γραµµή από το σηµείο ( , ( ))A fα α στο ( , ( ))B fβ β και η f είναι
παραγωγίσιµη στο α β( , ) , τότε υπάρχει µία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτοµένη της Cf στο
σηµείο Μ(ξ, f(ξ)), που είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, µε ξ ∈ α β( , ) .
Β(β,f(β))
βξ΄ξa x
y
Ο
M(ξ,f(ξ))
A(a,f(a))
33
32 Θεωρήµατος Μέσης Τιµής Για Την Παραβολή 2
f(x) x x , 0= α + β + γ α ≠
Απάντηση
Για οποιαδήποτε 1 2, ∈ℝx x , ο αριθµός που ικανοποιεί το συµπέρασµα του ΘΜΤ είναι ο
µέσος όρος των τιµών 1 2,x x (ή αλλιώς το κέντρο του διαστήµατος [ ]1 2,x x )
∆ΗΛΑ∆Η 1 2 2 1
2 1
x x f(x ) f(x )
2 x x
f'( )
+ −
−
=
33 Αντιπαραγώγιση Σε ∆ιάστηµα ′ =( ) ( )f x f x
Απάντηση
Αν για µια συνάρτηση f ισχύει ( ) ( )′ =f x f x για κάθε x R∈ , τότε x
f(x) ce= για κάθε ∈ℝx
Σηµείωση: Αντί του ℝ µπορούµε να έχουµε τυχαίο διάστηµα ∆.
34 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Fermat
Απάντηση
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ∈ α βo
x ( , ) και είναι παραγωγίσιµη στο xo,
τότε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(xo, f(xo)) είναι παράλληλη στον άξονα x x′ .
35 Κρίσιµα Σηµεία
Απάντηση
Κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα ∆ λέγονται τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σηµεία του ∆ , στα οποία
η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση µε το µηδέν.

27. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 26
36 Πιθανές Θέσεις Ακροτάτων
Απάντηση
Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν µιας συνάρτησης f σ’ ένα
διάστηµα ∆ είναι:
1. Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η παράγωγος της f µηδενίζεται.
2. Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.
3. Τα άκρα του ∆ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της).
37 Πως Βρίσκουµε Τα Ολικά Ακρότατα Συνεχούς Συνάρτησης Σε Κλειστό
∆ιάστηµα
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β , όπως γνωρίζουµε από το
Θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής, η f παρουσιάζει µέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση
του µέγιστου και ελάχιστου της συνάρτησης f σε ένα κλειστό διάστηµα εργαζόµαστε ως εξής:
1. Βρίσκουµε τα κρίσιµα σηµεία της f.
2. Υπολογίζουµε τις τιµές της f στα σηµεία αυτά και στα άκρα των διαστηµάτων.
3. Από αυτές τις τιµές η µεγαλύτερη είναι το µέγιστο και η µικρότερη το ελάχιστο της f.
38 Κυρτή Συνάρτηση
Απάντηση
Η συνάρτηση f λέγεται κυρτή ή ότι στρέφει τα κοίλα άνω σ’ ένα διάστηµα ∆ όταν είναι συνεχής
στο ∆, παραγωγίσιµη στα εσωτερικά του ∆ και η f′ είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό
του ∆.
39 Κοίλη Συνάρτηση
Απάντηση
Η συνάρτηση f λέγεται κοίλη ή ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο ∆, αν είναι συνεχής στο
∆, παραγωγίσιµη στα εσωτερικά του ∆ και η f′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό
του ∆.
40 Κυρτότητα Και Εφαπτοµένη
Απάντηση
α) Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής
παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται “κάτω” από τη γραφική της παράσταση, µε
εξαίρεση το σηµείο επαφής τους ( )≤y f x για κάθε ∈∆x , η ισότητα ισχύει στο σηµείο επαφής.
β) Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής
παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται “πάνω” από τη γραφική της παράσταση, µε
εξαίρεση το σηµείο επαφής τους ( )≥y f x για κάθε ∈∆x , η ισότητα ισχύει στο σηµείο επαφής.
41 ∆εδοµένες Ανισοϊσότητες (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
●|ηµx| |x|≤ , για κάθε x R∈ .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 0= .
●lnx x 1≤ − , για κάθε x 0> .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 1= .
● x
e x 1≥ + , για κάθε x R∈ .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 0= .

28. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 27
42 Θεώρηµα Κυρτότητας
Απάντηση
Απάντηση
Έστω µια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστηµα ∆ και δυο φορές παραγωγίσιµη στο ε σ ω τ
ε ρ ι κ ό του ∆.
•Αν f (x) 0′′ > για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι κυρτή στο ∆.
•Αν f (x) 0′′ < για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι κοίλη στο ∆.
Σχόλιο
Το αντίστροφο του θεωρήµατος δεν ισχύει. Για παράδειγµα, έστω η
συνάρτηση
4
( )f x x= (Σχ. 43). Επειδή η
3
( ) 4f x x′ = είναι γνησίως αύξουσα
στο ℝ η
4
( )f x x= είναι κυρτή στο ℝ . Εντούτοις, η ( )f x′′ δεν είναι
θετική στο ℝ , αφού (0) 0f ′′ = .
43 Σηµείο Καµπής
Απάντηση
Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο
του 0x .
Το σηµείο 0 0
A(x ,f(x )) ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f, όταν:
• η f είναι κυρτή στο 0
( ,x )α και κοίλη στο 0
(x , )β , ή αντιστρόφως, και
• η f
C έχει εφαπτοµένη στο σηµείο 0 0
A(x ,f(x )) .
44 Σηµείο Καµπής Και Εφαπτοµένη
Απάντηση
Όταν το 0 0
A(x ,f(x )) είναι σηµείο καµπής της f
C , τότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο 0
x καµπή και
το 0
x λέγεται θέση σηµείου καµπής. Στα σηµεία καµπής η εφαπτοµένη της fC “διαπερνά” την
καµπύλη.
45 Θεώρηµα Με Σηµείο Καµπής (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν το 0 0
A(x ,f(x )) είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές
παραγωγίσιµη, τότε 0
f (x ) 0′′ = .
46 Πιθανές Θέσεις Σηµείου Καµπής
Απάντηση
i)Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η ′′f µηδενίζεται.
ii)Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία δεν υπάρχει η ′′f .
47 Εύρεση Σηµείου Καµπής
Απάντηση
Έστω µια συνάρτηση f oρισµένη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β και 0
x ( , )∈ α β . Αν
• η f′′ αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του 0
x και
• ορίζεται εφαπτοµένη της f
C στο 0 0
A(x ,f(x )) ,
τότε το 0 0
A(x ,f(x )) είναι σηµείο καµπής της f
C .
y=x4
O x
y
43

29. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 28
48 Κατακόρυφη Ασύµπτωτη
Απάντηση
Η ευθεία 0
=x x λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της Cf, αν ένα τουλάχιστον από τα όρια
0x x
lim f(x)+
→
,
0x x
lim f(x)−
→
είναι +∞ ή −∞ .
49 Εύρεση Κατακόρυφης Ασύµπτωτης
Απάντηση
— Στα άκρα των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της στα οποία η f δεν ορίζεται.
— Στα σηµεία του πεδίου ορισµού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής.
50 Οριζόντια Ασύµπτωτη
Απάντηση
Η ευθεία y ℓ= λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της Cf στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ), όταν
x
lim f(x) ℓ
→+∞
= (αντιστοίχως
x
lim f(x) )ℓ
→−∞
= .
51 Πλάγια Ασύµπτωτη
Απάντηση
Η ευθεία y x= λ + β λέγεται ασύµπτωτη της Cf στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ), αν
x
lim [f(x) ( x )] 0
→+∞
− λ + β = (αντιστοίχως αν
x
lim [f(x) ( x )] 0
→−∞
− λ + β = ).
52 Πως Βρίσκουµε Τις Πλάγιες Ασύµπτωτες
Απάντηση
—Στο +∞ , −∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( , )α +∞ ,
αντιστοίχως ( , )−∞ α .
Η ευθεία y x= λ + β είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ , αντιστοίχως στο
−∞ , αν και µόνο αν
→+∞
= λ ∈ ℝ
x
f(x)
lim
x
και
→+∞
− λ = β ∈ ℝ
x
lim [f(x) x] , αντιστοίχως:
→−∞
= λ ∈ ℝ
x
f(x)
lim
x
και
→−∞
− λ = β ∈ ℝ
x
lim [f(x) x] .
53 Ασύµπτωτες Πολυωνυµικής Ρητής Συνάρτησης
Απάντηση
—Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύµπτωτες.
—Οι ρητές συναρτήσεις
P(x)
Q(x)
, µε βαθµό του αριθµητή P(x) µεγαλύτερο τουλάχιστον κατά
δύο του βαθµού του παρονοµαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύµπτωτες.
54 Που Αναζητούµε Ασύµπτωτες
Απάντηση
• Στα άκρα διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της στα οποία η f δεν ορίζεται
• Στα σηµεία του πεδίου ορισµού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής
• Στο +∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής (a, )+∞
• Στο −∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( ,a)−∞

30. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 29
55 1ος Κανόνας De L’ Hospital (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν
0x x
lim f(x) 0
→
= ,
0x x
lim g(x) 0
→
= , ∈ ∪ −∞ + ∞ℝ0
x { , } , g'(x) 0≠ σε περιοχή του o
x µε εξαίρεση ίσως το o
x
και υπάρχει το
0x x
f (x)
lim
g (x)→
′
′
(πεπερασµένο ή άπειρο), τότε:
0 0x x x x
f(x) f (x)
lim
g(x) g (x)
lim
→ →
′
=
′
.
56 2ος Κανόνας De L’ Hospital (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν
0x x
lim f(x)
→
= +∞ ,
0x x
lim g(x)
→
= +∞ , ∈ ∪ −∞ + ∞ℝ0
x { , } , g'(x) 0≠ σε περιοχή του o
x µε εξαίρεση ίσως το o
x
και υπάρχει το
0x x
f (x)
g (x)
lim
→
′
′
(πεπερασµένο ή άπειρο), τότε:
0 0x x x x
f(x) f (x)
lim lim
g(x) g (x)→ →
′
=
′
.
Σχόλιο:
Ο 2ος κανόνας ισχύει και για τις µορφές
+∞
−∞
,
−∞
+∞
,
−∞
−∞
. Οι παραπάνω κανόνες ισχύουν και για
πλευρικά όρια και µπορούµε, αν χρειάζεται, να τα εφαρµόσουµε περισσότερες φορές, αρκεί να
πληρούνται οι προϋποθέσεις τους.

31. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 30
Ηµεροµηνία: / / .
∆ Αποδείξεις Στις Παραγώγους
1 Αποδείξτε ότι 0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) lim
h→
+ −
′ =
Απόδειξη
Αν στην ισότητα
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f (x ) lim
x x→
−
′ =
−
θέσουµε 0
x x h= + , τότε έχουµε
→
+ −
′ = 0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) lim
h
.
2 Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο 0
x , τότε
είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
Απόδειξη
Για 0
x x≠ έχουµε 0
0 0
0
f(x) f(x )
f(x) f(x ) (x x )
x x
−
− = ⋅ −
−
, οπότε θα είναι:
0 0
0
0 0
x x x x
0
f(x) f(x )
lim[f(x) f(x )] lim (x x )
x x→ →
 −
− = ⋅ − 
−   0 0
0
0
x x x x
0
f(x) f(x )
lim lim (x x )
x x→ →
−
= ⋅ −
− 0
f (x ) 0 0′= ⋅ = ,
αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο 0
x . Εποµένως,
0
0
x x
lim f(x) f(x )
→
= , δηλαδή η f είναι συνεχής στο
0
x .
Σχόλιο
α) Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει:
Η ( ) | |f x x= είναι συνεχής στο 0 0x = , αλλά δεν είναι
παραγωγίσιµη σ’ αυτό, αφού:
00
( ) (0)
lim lim 1
0 xx
f x f x
x x+ →→
−
= =
−
, ενώ
00
( ) (0)
lim lim 1
0 xx
f x f x
x x− →→
− −
= = −
−
β) Ισχύει όµως ότι : Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα
σηµείο 0
x , τότε, σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα, δεν µπορεί να είναι παραγωγίσιµη
στο 0
x .
3 Να αποδείξετε ότι αν f(x) c= , µε c ∈ ℝ , τότε f (x) 0′ =
Απόδειξη
Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει: 0
0 0
f (x) f (x ) c c
0
x x x x
− −
= =
− −
. Εποµένως,
0
0
x x
0
f (x) f (x )
lim 0
x x→
−
=
−
,
δηλαδή (c) 0′ = .
4 Να αποδείξετε ότι αν f(x) x= , τότε f (x) 1′ =
Απόδειξη
Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει ότι : 0 0
0 0
f (x) f (x ) x x
1
x x x x
− −
= =
− −
.
Εποµένως,
0 0
0
x x x x
0
f (x) f (x )
lim lim 1 1
x x→ →
−
= =
−
, δηλαδή (x) 1′ = .
O x
y 2

32. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 31
5 Να αποδείξετε ότι αν f(x) xν
= , µε {0,1}ν ∈ −ℕ , τότε 1
f (x) xν−
′ = ν
Απόδειξη
Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει:
1 2 1
1 2 10 0 0 0 0
0 0
0 0 0
f (x) f (x ) x x (x x )(x x x x )
x x x x
x x x x x x
ν ν ν− ν− ν−
ν− ν− ν−− − − + + +
= = = + + +
− − −
⋯
⋯ ,
Εποµένως :
0 0
1 2 1 1 1 1 10
0 0 0 0 0 0
x x x x
0
f (x) f (x )
lim lim(x x x x ) x x x x
x x
ν− ν− ν− ν− ν− ν− ν−
→ →
−
= + + + = + + + = ν
−
⋯ ⋯ ,
δηλαδή
1
(x ) xν ν−
′ = ν .
6 Να αποδείξετε ότι αν f(x) x= , τότε 1
f (x)
2 x
′ = , x 0>
Απόδειξη
Αν 0x (0, )∈ +∞ , τότε για 0x x≠ ισχύει:
( )( )
( ) ( )
0 000 0
0 0 00 0 0 0
x x x xx xf (x) f (x ) x x 1
x x x x x x(x x ) x x (x x ) x x
− +−− −
= = = =
− − +− + − +
,
οπότε :
0 0
0
x x x x
0 0 0
f (x) f (x ) 1 1
lim lim
x x x x 2 x→ →
−
= =
− +
, δηλαδή ( ) 1
x
2 x
′
= .
(Σηµείωση: η f(x) x= δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0).
7 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο 0
x , τότε η
συνάρτηση f g+ είναι παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει:
0 0 0
(f g) (x ) f (x ) g (x )′ ′ ′+ = +
Απόδειξη
Για 0
x x≠ , ισχύει: 0 0 0 0 0
0 0 0 0
(f g)(x) (f g)(x ) f(x) g(x) f(x ) g(x ) f(x) f(x ) g(x) g(x )
x x x x x x x x
+ − + + − − − −
= = +
− − − −
.
Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο 0
x , έχουµε:
0 0 0
0 0 0
0 0
x x x x x x
0 0 0
(f g)(x) (f g)(x ) f(x) f(x ) g(x) g(x )
lim lim lim f (x ) g (x ),
x x x x x x→ → →
+ − + − −
′ ′= + = +
− − −
δηλαδή 0 0 0
(f g) (x ) f (x ) g (x )′ ′ ′+ = + .
8 Παράγωγος Γινοµένου Τριών Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆
Απόδειξη
Αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x
ισχύει:
( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ] ( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x′ ′= ⋅ = ⋅ + ⋅′ ′
[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x h x f x g x h x′ ′ ′= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x′ ′ ′= + + .
9 Παράγωγος Γινοµένου Αριθµού Με Συνάρτηση Σε ∆ιάστηµα ∆
Απόδειξη
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x και για
κάθε c ∈ ℝ ισχύει:
( ( )) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅′cf x f x f x f x f x f xc c c c
Άρα ( ( )) ( )′ ′= ⋅cf x f xc

33. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 32
10 Έστω η συνάρτηση f(x) x−ν
= , *
ν ∈ ℕ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη
στο *
ℝ και ισχύει 1
f (x) x−ν−
′ = −ν , δηλαδή 1
(x ) x−ν −ν−
′ = −ν
Απόδειξη
Πράγµατι, για κάθε ∈ ℕx * έχουµε:
1
1
2 2
1 (1) x 1(x ) x
(x ) x
x (x ) x
ν ν ν−
−ν −ν−
ν ν ν
 
 
 
′
′ ′− −ν
′ = = = = −ν .
11 Έστω η συνάρτηση f(x) εφx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο
{x|συνx 0}− =ℝ και ισχύει 2
1
f (x)
συν x
′ = , δηλαδή 2
1
(εφx)
συν x
′ =
Απόδειξη
Πράγµατι, για κάθε ∈ − =ℝx {x|συνx 0} έχουµε:
2 2
ηµx (ηµx) συνx ηµx(συνx) συνxσυνx ηµxηµx
(εφx)
συνx συν x συν x
 
 
 
′
′ ′− +
′ = = =
2 2
2 2
συν x ηµ x 1
συν x συν x
+
= = .
12 Έστω η συνάρτηση f(x) σφx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο
{x|ηµx 0}− =ℝ και ισχύει 2
1
f (x)
ηµ x
′ = − , δηλαδή 2
1
(σφx)
ηµ x
′ = −
Απάντηση
Πράγµατι, για κάθε x {x|ηµx 0}∈ − =ℝ έχουµε:
2 2
2 2 2 2
συνx (συνχ) ηµx συνx(ηµx) -ηµxηµx συνxσυνx ηµ x συν x 1
(σφx)
ηµx ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x
 
= − = − 
 
′
′ ′− − +
′ = = = .
13 Παράγωγος Σύνθεσης ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆
Απόδειξη
Αν µια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆ και η f είναι παραγωγίσιµη στο
g( )∆ , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο ∆ και ισχύει ( ( ( ))) ( ( )) ( )′ ′ ′= ⋅f g x f g x g x .
∆ηλαδή, αν ( )=u g x , τότε ( ( )) ( )′ ′ ′= ⋅f u f u u . Με το συµβολισµό του Leibniz, αν y f(u)= και u g(x)= ,
έχουµε τον τύπο = ⋅
dy dy du
dx du dx
που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. Το σύµβολο
dy
dx
δεν
είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συµπεριφέρεται ως πηλίκο, πράγµα που ευκολύνει
την αποµνηµόνευση του κανόνα.
14 Να αποδείξετε ότι :
Η συνάρτηση f(x) xα
= , α ∈ −ℝ ℤ είναι παραγωγίσιµη στο (0, )+∞ και
ισχύει 1
f (x) xα−
′ = α ,
Απόδειξη
Αν lnx
y x eα α
= = και θέσουµε u lnx= α , τότε έχουµε u
y e= . Εποµένως,
u u lnx 11
y (e ) e u e x x
x x
α α α−α
′ ′ ′= = ⋅ = ⋅α ⋅ = ⋅ = α .

34. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 33
15 Να αποδείξετε ότι :
Η συνάρτηση x
f(x) = α , 0α > είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει
x
f (x) ln′ = α α .
Απόδειξη
Αν x xln
y e α
= α = και θέσουµε u xln= α , τότε έχουµε u
y e= . Εποµένως,
u u xln x
y (e ) e u e ln lnα
′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ α = α α .
16 Να αποδείξετε ότι :
Η συνάρτηση f(x) ln|x|= , x *∈ ℝ είναι παραγωγίσιµη στο x *∈ ℝ και
ισχύει 1
(ln|x|)
x
′ =
Απόδειξη
— Αν x 0> , τότε 1
(ln|x|) (lnx)
x
′ ′= = , ενώ
— Αν x 0< , τότε ln|x| ln( x)= − , οπότε, αν θέσουµε y ln( x)= − και u x= − , έχουµε y lnu= .
Εποµένως, 1 1 1
y (lnu) u ( 1)
u x x
′ ′ ′= = ⋅ = − =
−
και άρα 1
(ln|x|)
x
′ = .
17 Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν
• η f είναι συνεχής στο ∆ και
• f (x) 0′ = για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι σταθερή σε όλο
το διάστηµα ∆.
Απόδειξη
Αρκεί να αποδείξουµε ότι για οποιαδήποτε 1 2
x ,x ∈ ∆ ισχύει 1 2
f(x ) f(x )= . Πράγµατι
• Αν 1 2
x x= , τότε προφανώς 1 2
f(x ) f(x )= .
• Αν 1 2
x x< , τότε στο διάστηµα 1 2
[x ,x ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής.
Εποµένως, υπάρχει 1 2
(x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε 2 1
2 1
f(x ) f(x )
f ( )
x x
−
′ ξ =
−
. (1). Επειδή το ξ είναι εσωτερικό
σηµείο του ∆, ισχύει f ( ) 0′ ξ = ,οπότε, λόγω της (1), είναι 1 2
f(x ) f(x )= . Αν 2 1
x x< , τότε οµοίως
αποδεικνύεται ότι 1 2
f(x ) f(x )= . Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι 1 2
f(x ) f(x )= .
Σχόλιο
Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων.
18 Έστω δυο συναρτήσεις f,g ορισµένες σε ένα διάστηµα ∆. Αν
• οι f,g είναι συνεχείς στο ∆ και
• f (x) g (x)′ ′= για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆,
τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ ∆ να
ισχύει: f(x) g(x) c= +
Απόδειξη
Η συνάρτηση f g− είναι συνεχής στο ∆ και για κάθε εσωτερικό
σηµείο x ∈ ∆ ισχύει (f g) (x) f (x) g (x) 0′ ′ ′− = − = .
y
O x
y=g(x)+c
y=g(x)
22

35. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 34
Εποµένως, σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα, η συνάρτηση f g− είναι σταθερή στο ∆. Άρα, υπάρχει
σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε x ∈ ∆ να ισχύει f(x) g(x) c− = , οπότε f(x) g(x) c= + .
Σχόλιο
Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων.
19 Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστηµα
∆.
Αν f (x) 0′ > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι
γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆.
Απόδειξη
Έστω 1 2
x ,x ∈ ∆ µε 1 2
x x< . Θα δείξουµε ότι 1 2
f(x ) f(x )< . Πράγµατι, στο διάστηµα 1 2
[x ,x ] η f
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως, υπάρχει 1 2
(x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε
2 1
2 1
f(x ) f(x )
f ( )
x x
−
′ ξ =
−
, οπότε έχουµε 2 1 2 1
f(x ) f(x ) f ( )(x x )′− = ξ − . Επειδή f ( ) 0′ ξ > και 2 1
x x 0− > , έχουµε
2 1
f(x ) f(x ) 0− > , οπότε 1 2
f(x ) f(x )< .
Σχόλιο
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει. ∆ηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα
στο ∆, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του ∆.
Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση
3
( )f x x= . Επειδή η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα στο
ℝ .Εντούτοις, η
2
( ) 3f x x′ = δεν είναι θετική στο ℝ , αφού (0) 0f ′ = .
20 Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστηµα
∆.
Αν f (x) 0′ < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι
γνησίως φθίνουσα σε όλο το ∆.
Απόδειξη
Έστω 1 2
x ,x ∈ ∆ µε 1 2
x x< . Θα δείξουµε ότι 1 2
f(x ) f(x )> . Πράγµατι, στο διάστηµα 1 2
[x ,x ] η f
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως, υπάρχει 1 2
(x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε
2 1
2 1
f(x ) f(x )
f ( )
x x
−
′ ξ =
−
, οπότε έχουµε 2 1 2 1
f(x ) f(x ) f ( )(x x )′− = ξ − . Επειδή f ( ) 0′ ξ < και 2 1
x x 0− > , έχουµε
2 1
f(x ) f(x ) 0− < , οπότε 1 2
f(x ) f(x )> .
Σχόλιο
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει. ∆ηλαδή, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα
στο ∆, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του ∆.
Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση
3
( )f x x= − . Επειδή η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα στο
ℝ .Εντούτοις, η
2
( ) 3f x x′ = − δεν είναι αρνητική στο ℝ , αφού (0) 0f ′ = .
21 Θεώρηµα Fermat
Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ’ ένα διάστηµα ∆ και 0
x ένα
εσωτερικό σηµείο του ∆. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0
x
και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: 0
f (x ) 0′ =

36. Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 35
Απόδειξη
Ας υποθέσουµε ότι η f παρουσιάζει στο 0
x τοπικό µέγιστο. Επειδή το
0
x είναι εσωτερικό σηµείο του ∆ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό
µέγιστο, υπάρχει 0δ > τέτοιο, ώστε: 0 0
(x ,x )− δ + δ ⊆ ∆ και 0
f(x) f(x )≤ , για
κάθε 0 0
x (x ,x )∈ − δ + δ . (1) Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιµη
στο 0
x , ισχύει
0 0
0 0
0
x x x x
0 0
f(x) f(x ) f(x) f(x )
f (x ) lim lim
x x x x− +
→ →
− −
′ = =
− −
.
Εποµένως,
— αν 0 0
x (x ,x )∈ − δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0
0
f(x) f(x )
0
x x
−
≥
−
, οπότε θα έχουµε
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f (x ) lim 0
x x−
→
−
′ = ≥
−
.
(2)
— αν 0 0
x (x ,x )∈ + δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0
0
f(x) f(x )
0
x x
−
≤
−
, οπότε θα έχουµε
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f (x ) lim 0
x x+
→
−
′ = ≤
−
.
(3)
Έτσι, από τις (2) και (3) έχουµε 0
f (x ) 0′ = . Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.
22 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση
ίσως ένα σηµείο του 0
x
, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής.
Αν f (x) 0′ > στο 0
( ,x )α και f (x) 0′ < στο 0
(x , )β , τότε το 0
f(x ) είναι τοπικό µέγιστο
της f.
Απόδειξη
Επειδή f (x) 0′ > για κάθε 0
x ( ,x )∈ α και η f είναι συνεχής στο 0
x , η f είναι γνησίως αύξουσα στο
0
( ,x ]α . Έτσι έχουµε 0
f(x) f(x )≤ , για κάθε 0
x ( ,x ]∈ α (1). Επειδή f (x) 0′ < για κάθε 0
x (x , )∈ β και η f
είναι συνεχής στο 0
x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0
[x , )β . Έτσι έχουµε: 0
f(x) f(x )≤ , για κάθε
0
x [x , )∈ β (2).
y
O
f(x0)
f΄<0
f΄>0
βa x0 x
y
O
f΄<0f΄>0
βa x0 x
f(x0)
Εποµένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: 0
f(x) f(x )≤ , για κάθε x ( , )∈ α β , που σηµαίνει ότι το 0
f(x )
είναι µέγιστο της f στο ( , )α β και άρα τοπικό µέγιστο αυτής.
23 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση
ίσως ένα σηµείο του 0
x
, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής.
Αν f (x) 0′ < στο 0
( ,x )α και f (x) 0′ > στο 0
(x , )β , τότε το 0
f(x ) είναι τοπικό
ελάχιστο της f .
Απόδειξη
Επειδή f (x) 0′ < για κάθε 0
x ( ,x )∈ α και η f είναι συνεχής στο 0
x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
0
( ,x ]α . Έτσι έχουµε 0
f(x) f(x )≥ , για κάθε 0
x ( ,x ]∈ α (1). Επειδή f (x) 0′ > για κάθε 0
x (x , )∈ β και η f