Σωκράτης Ρωμανίδης, profile picture
Uploaded byΣωκράτης Ρωμανίδης
1,700 views

Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης

This document is a textbook on functions, derivatives, and integrals for high school mathematics in Greece (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ). It contains 1,600 exercises on these topics across 23 chapters. The chapters cover concepts like the definition of a function, composition of functions, limits, continuity, derivatives, tangent lines, maxima and minima, integrals, and more. The exercises find domains of functions, evaluate functions, solve equations involving functions, and determine function formulas based on given properties. The textbook was edited by Nikos K. Raptis and aims to help students learn

Embed presentation

Downloaded 12 times
1 / 113
2 / 113
3 / 113
4 / 113
Most read
5 / 113
Most read
6 / 113
7 / 113
8 / 113
9 / 113
10 / 113
11 / 113
12 / 113
13 / 113
14 / 113
15 / 113
16 / 113
Most read
17 / 113
18 / 113
19 / 113
20 / 113
21 / 113
22 / 113
23 / 113
24 / 113
25 / 113
26 / 113
27 / 113
28 / 113
29 / 113
30 / 113
31 / 113
32 / 113
33 / 113
34 / 113
35 / 113
36 / 113
37 / 113
38 / 113
39 / 113
40 / 113
41 / 113
42 / 113
43 / 113
44 / 113
45 / 113
46 / 113
47 / 113
48 / 113
49 / 113
50 / 113
51 / 113
52 / 113
53 / 113
54 / 113
55 / 113
56 / 113
57 / 113
58 / 113
59 / 113
60 / 113
61 / 113
62 / 113
63 / 113
64 / 113
65 / 113
66 / 113
67 / 113
68 / 113
69 / 113
70 / 113
71 / 113
72 / 113
73 / 113
74 / 113
75 / 113
76 / 113
77 / 113
78 / 113
79 / 113
80 / 113
81 / 113
82 / 113
83 / 113
84 / 113
85 / 113
86 / 113
87 / 113
88 / 113
89 / 113
90 / 113
91 / 113
92 / 113
93 / 113
94 / 113
95 / 113
96 / 113
97 / 113
98 / 113
99 / 113
100 / 113
101 / 113
102 / 113
103 / 113
104 / 113
105 / 113
106 / 113
107 / 113
108 / 113
109 / 113
110 / 113
111 / 113
112 / 113
113 / 113
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Επιμέλεια Νίκος Κ. Ράπτης 1.600 Ασκήσεις
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Η Έννοια της συνάρτησης ………………………………………………σελ. 4 2. Σύνθεση συναρτήσεων ………………………………………………….. σελ. 11 3. Μονοτονία συνάρτησης ………………………………………………… σελ. 14 4. Αντίστροφη συνάρτηση ………………………………………………… σελ. 18 5. Όριο Συνάρτησης στο 𝐱𝐱𝐨𝐨 ∈ ℝ ………………………………………. σελ. 26 6. Μη Πεπερασμένο Όριο στο 𝐱𝐱𝟎𝟎 ∈ ℝ ……………………………….. σελ. 33 7. Όριο συνάρτησης στο άπειρο …………………………………………..σελ.35 8. Κανόνας του De L’ Hospital …………………………………………….σελ. 39 9. Συνέχεια συνάρτησης ………………………………………………………σελ. 40 10. Ασύμπτωτες ……………………………………………………………………σελ. 43 11. Θεώρημα BOLZANO …………………………………………………………σελ. 47 12. Η Έννοια της Παραγώγου……………………… …….……………… σελ. 55 13. Εφαπτόμενες………………………………………………….. ……………. σελ. 59 14. Ρυθμός Μεταβολής ………………………………………………… ……..σελ. 63 15. Θεώρημα Rolle ………………………………………………… …………….σελ. 66 16. Θεώρημα Μέσης Τιμής ………………………………………. ………….σελ. 71 17. Συνέπειες Θ.Μ.Τ. ……………………………….. ……………………………σελ. 76 18. Μονοτονία Συνάρτησης …………………………………………………...σελ.81 19. Ακρότατα Συνάρτησης…… ……………………………………………… σελ. 85 20. Κυρτότητα Συνάρτησης ………………………………………………… σελ. 92 21. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης ………………………………… σελ. 96 22. Ορισμένο Ολοκλήρωμα ……………………………………………………. σελ.97 23. Εμβαδόν Χωρίου……………………………………………………………. . σελ. 107
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 4 Domain of definition ή απλώς domain το πεδίο ορισμού στα Αγγλικά 1.1 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = 2x − 1 x2 + 2x − 3 β. f(x) = x + 4 |2x − 3|− 5 γ. f(x) = √x2 − 3x − 4 δ. f(x) = ln(−x2 + 3x + 10) ε. f(x) = 5x − 4 �3− |x + 1| ζ. f(x) = ex ln(x − 2) A. Εύρεση πεδίου ορισμού συνάρτησης 1.2 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = 5x x 3 − x 2 − 2x β. f(x) = √x + 1 + √3 − x γ. f(x) = � x − 5 x + 2 δ. f(x) = 5 3− |x − 2| 1.3 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = �5 − |x + 1| β. f(x) = �|2x + 1| − 7 γ. f(x) = ln � x + 2 x − 4 � δ. f(x) = x + 1 x3 − 3x2 + x + 2 1.4 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = 1 x2 – x − 2 + 5 x − 3 β. f(x) = √x2 − 4 γ. f(x) = √12 − x − x2 δ. f(x) = ln(1 − x2) 1.5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = x−2 e2x − ex − 2 β. f(x) = 4 ln(x − 1) – 1 γ. f(x) = ln(ex − 1) δ. f(x) = � ex − 1 ex − 2 1.6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = �4− |3 − x| lnx β. f(x) = log(|x| − 3) γ. f(x) = ex e x − e − x δ. f(x) = �√x − 1� √x − 2 1.7 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α) f(x) = √x − 7 x2− 9x + 8 β) f(x) = √x3 − 8 2x − 16 γ) f(x) = √x − 2 x2− 9x + 8 +ln(81 − x2) 1.8 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α) f(x) = ln x − 1 x + 2 β) f(x) = x2+ 1 lnx − 1 γ) f(x) = �ln(x − 3) Η έννοια της συνάρτησης εισήχθηκε στα μαθηματικά από τον Leibniz το 1694. Στον Euler ,το 1748, οφείλεται ο όρος “συνάρτηση” (function) καθώς και ο συμβολισμός f(x). Ο LEONARD EULER (1707–1783) ήταν ο μεγαλύτερος μαθηματικός του 18ου αιώνα και ο παραγωγικότερος όλων των εποχών 1. Η έννοια της Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 5 1.9 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 1 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και τις τιμές f(−3) και f(f(2)). β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 8 . γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης f(α+ β)− f(α− β) αβ με α , β ≠ 0 B. Τιμή Συνάρτησης στο 𝐱𝐱𝟎𝟎 1.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + 10x + 2α x3+ α για την οποία ισχύει f(1)=3 . α) Να βρείτε την τιμή του α και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≤ 1. 1.11 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + α) ln(β − x) για την οποία ισχύει f(−1) = 1 και f(−6) = 0 . Να βρείτε: α) τους αριθμούς α και β β) το πεδίο ορισμού της f 1.12 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 2x − 3 , αν x ≤ 4 x2 − 1 , αν 4 < x ≤ 10 . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές f(−3) , f(4) , f(10). Γ. Συναρτήσεις Πολλαπλού Τύπου 1.13 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x + α , αν − 6 ≤ x < −1 x2 + β , αν − 1 ≤ x < 7 για την οποία ισχύει f(−2) = 5 και f(5) = 24 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β γ) Να βρείτε τις τιμές f(−1) και f(f(−3)) δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3 . 1.14 Δίνεται η f(x) = � αlnx + β , αν x > 0 αex − β , αν x ≥ 0 για την οποία ισχύει f(0) = −1 και f(1) = 3 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β 1.15 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: 3f(x) − 2f � 1 x � = 5x2 , ∀ x ≠ 0 . Δ. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης – Συναρτησιακές Σχέσεις 1.16 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + x ≤ 2x2 ≤ f(x + 1) − 3x − 1 , x ∈ ℝ . 1.17 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + 2f(3 − x) = 2x − 1 , x ∈ ℝ . 1.18 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + x ≤ x2 ≤ f(x + 1) − x , x ∈ ℝ. 1.19 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x)+3 f(2−x)=−4x , x ∈ ℝ . Να βρείτε : α) την τιμή f(1) β) τον τύπο της συνάρτησης f 1.20 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + 3x ≤ x2 ≤ f(x − 2) + 7x − 10 , x ∈ ℝ 1.21 Έστω συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f(x ∙ y) = f(x) + f(y) , x , y > 0. Να δείξετε ότι: α) f(1)=0 β) f(y) = −f � 1 y � , y > 0 γ) f � x y � = f(x) − f(y) , x , y > 0 1.22 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει : f(x − 3) − 2f(1 − x) = x2 − 2x , x ∈ ℝ . 1.23 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f2(x) = 4ex(f(x) − ex) , x ∈ ℝ . 1.24 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f : ℝ − {0 , 1} → ℝ με f(x) + 3f � 1 x � = 2x + 1 x − 1 , x ∈ ℝ − {0 , 1}
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 6 1.25 Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = x2 + 2x − 8 β. f(x) = |2x − 1| − 5 γ. f(x) = ln(x − 2) δ. f(x) = ex + 2 ε. f(x) = x2 + x − 6 x − 2 Ε. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 1.26 Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α. f(x) = ln2 x − lnx β. f(x) = x3 − 3x2 + 4 γ. f(x) = e2x − 3ex + 2 δ. f(x) = ex2−x−2 − 1 1.27 Να βρείτε την σχετική θέση με τον άξονα x’x των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = −2x2 + 5x + 3 β) f(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6 γ) f(x) = 9x2 − 9x − 4 3x + 1 1.28 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x : α) f(x) = x3 − 4x β) f(x) = 1 − lnx γ) f(x) = 2ex − 2 1.29 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = x3 + 3x2 − 2x + 1 και g(x) = x2 + x + 1 β) f(x) = x3 και g(x) = x2 + x − 1 γ) f(x) = x lnx − 2x και g(x) = x δ) f(x) = 32x+5 και g(x) = 3x+2 + 2 1.30 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = x2 − 3x + 2 , g(x) = 6 x β) f(x) = x + 1 + 1 x + 1 , g(x) = x2 + x + 2 1.31 Να βρείτε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων f και g : α) f(x) = x3 + x και g(x) = 3x2 − 2 β) f(x) = ln2 x και g(x) = lnx + 2 γ) f(x) = g(x) + x2 − 1 , x ∈ ℝ . 1.32 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg όταν : α) f(x) = x2 και g(x) = 6x − 8 β) f(x) = x3 − 3x2 − 2 και g(x) = x2 − 4x + 1 γ) f(x) = x2 − ex και g(x) = x2 ex − 1 1.33 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 x2 – x − 12 . Να βρεθούν: α) το πεδίο ορισμού της f β) τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τους άξονες γ) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x 1.34 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + x + 3 x − 2 και g(x) = x2 + 2x . Να βρεθούν: α) τα κοινά σημεία των Cf , Cg β) τα διαστήματα που η Cg βρίσκεται πάνω από την Cf 1.35 Δίνονται οι συναρτήσεις : f(x) = 4x − 2x+1 και g(x) = 2x+2 − 8 . Να βρεθούν: α) τα κοινά σημεία των Cf , Cg β) τα διαστήματα που η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg 1.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x + 2 και η ευθεία ε : 6x − y − 4 = 0. Να βρεθούν: α) τα κοινά σημεία των Cf και της ε β) τα διαστήματα Cf βρίσκεται πάνω από την ε . 1.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � ex − 1 , αν x ≤ 0 lnx , αν x > 0 Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf : α) με τον άξονα x’x β) με την ευθεία y = 1 1.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = λx + 5 x2 + λx + 1 α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το ℝ β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η Cf διέρχεται από το σημείο Α(1 , λ + 1) 1.39 Δίνονται οι συναρτήσεις : f(x) = x3 + 2α και g(x) = 2βx2 + 5x , α, β ∈ ℝ . Να βρεθούν οι αριθμοί α , β ώστε οι Cf και Cg να έχουν κοινά σημεία πάνω στις ευθείες x = 1 και x = −2. Κατόπιν να βρεθούν όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων Cf , Cg
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 7 1.40 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + αx + β και g(x) = x3 − 3x2 + β − 6α , με α , β ∈ ℝ . Αν η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο −3 και η Cg τέμνει τον άξονα y’y στο −6 να βρείτε : α) τους αριθμούς α και β β) τα σημεία τομής των Cf , Cg 1.41 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (x − α)ex + β τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο με τεταγμένη 1 και την ευθεία x = 1 στο σημείο με τεταγμένη 2 . Να βρείτε : α) τις τιμές των α και β β) τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία y = 2x 1.42 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + α − 4 , α ∈ ℝ . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−3 , 5) , να βρείτε : α) τον πραγματικό αριθμό α β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ) τα σημεία τομής της Cf με την γραφική παράσταση της g(x) = −4x + 1 1.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln⁡ (x2 − 2x + α) , α ∈ ℝ . Αν η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων , να βρείτε: α) τον πραγματικό αριθμό α β) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f γ) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x δ) τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y = 2ln3 . 1.44 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2 + α , x ≤ 1 |x − 2| + α + 1 , x > 1 . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−3 , 5) , να βρείτε : α) τον πραγματικό αριθμό α β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες 1.45 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ∗ → ℝ ώστε : 2xf(x) − x f � 1 x � = x2 − 3x − 4 , x ∈ ℝ∗ . Να βρείτε : α) τον τύπο της συνάρτησης f β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x 1.46 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f � x e � ≤ lnx ≤ f(x) − 1 , x > 0 Να βρείτε : α) τον τύπο της συνάρτησης f β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες 1.47 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(8 − 3x) + f(x) = 2g(x) , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι οι Cf , Cg έχουν κοινό σημείο β) Αν 3f(x) − 2f(2 − x) = 2x − x2 , ∀x ∈ ℝ , να βρείτε τους τύπους των f , g και το κοινό σημείο . 1.48 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f3(x) − 2f2(x) + 5f(x) = −e2x − ex , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x 1.49 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το f(−1) δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0 ε) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x)>0 και f(x)<0 . ζ) Να εξετάσετε αν το −1 είναι τιμή της συνάρτησης .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 8 1.50 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το f(2) δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 ε) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x) > 0 και f(x) < 0 . ζ) Να εξετάσετε αν το 0 είναι τιμή της συνάρτησης . 1.51 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x) = 0 , f(x) = 2 και f(x) = −2 , δ) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x) > 0 και f(x) < 0 , f(x) ≤ 2 , f(x) < −2 1.52 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε την τιμή f�f(−2)� δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2 ε) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≥ 0 και την f(x) < 2 1.53 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε τις τιμές f(7) , f�f(4)� και f�f(6)� δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 , f(x) = −2 ε) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 9 1.54 Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών των συναρτήσεων f , g β) Να βρείτε τις τιμές f�g(0)� , g�f(0)� γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x) δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > g(x) ε) Να λύσετε την ανίσωση g(x) ≤ 0 1.55 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις α) f(x) = e3x − 2xex xex και g(x) = e 2x x −2 β) f(x) = x2− 4 x2 + 2|x| , g(x) = 1 − 2 |x| ΣΤ. Ισότητα Συναρτήσεων 1.56 Να αποδείξετε ότι είναι ίσες οι συναρτήσεις f(x) = x3 − 8 x2+ 2x + 4 , g(x) = (x + 3)2 − x2 − 5x − 11 1.57 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g. Στην περίπτωση που είναι f ≠ g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του ℝ στο οποίο να ισχύει f(x) = g(x) α. f(x) = √x2 − x − 6 και g(x) = √x + 2√x − 3 β. f(x) = x2 + 4x + 3 x2− 1 , g(x) = x2 − 9 x2 − 4x + 3 γ. f(x) = ln � x2 1 − x � και g(x) = 2lnx − ln⁡ (1 − x) 1.58 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει (f(x) + g(x))2 = 4f(x) ∙ g(x). Να δείξετε ότι f = g 1.59 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ∗ → ℝ για τις οποίες ισχύει : �f(x)� 2 +�g(x)� 2 2x = f(x) + g(x) − x , ∀ x ≠ 0 . Να δείξετε ότι f = g 1.60 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f2(x) + g2(x) + 8x2 ≤ 4x(f(x) + g(x)) . Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f , g είναι ίσες. 1.61 Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ για τις οποίες οι συναρτήσεις f(x) = αx2(x − 1) + βx(x − 2) + γ και g(x) = x3 + 3x2 − 8x + 5 είναι ίσες . 1.62 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = (λ + 1)x − 2λ − 1 x − 2λ2 + λ − 2 και g(x) = [(1 − λ)8+ λ]x + (λ − 3)5 − 4 x − λ2− 2λ Να βρείτε για ποια τιμή του λ οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. 1.63 Να βρεθεί ο λ ∈ ℝ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις f(x) = −λx3+ 3x – 4 x2− λx + 4 και g(x) = −λx − 1 1.64 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ , ώστε οι συναρτήσεις f(x) = x2− αx + β x – α + 2 και g(x) = x2 –(α + β − 1)x + 2α − 3 x + β−1 να είναι ίσες. 1.65 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ , ώστε οι συναρτήσεις f(x) = 2x + 5 x2− 7x + 10 και g(x) = α x − 2 + β x − 5 να είναι ίσες
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 10 1.66 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √x − 1 και g(x) = x2− 4 x2− 3x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g Ζ. Πράξεις μεταξύ Συναρτήσεων 1.67 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √x − 1 και g(x) = √6 − x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.68 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √x − 1 και g(x) = √2 − x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.69 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2− 9 x + 2 και g(x) = x − 1 x2− x − 6 Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.70 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x lnx και g(x) = √1 − 2x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.71 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx − 3 , g(x) = ex − 2 . Να λύσετε την ανίσωση: � f g � (x) ≥ 0
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 11 2.1 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √2 − x και g(x) = x2 + 2x − 6 . Να ορίσετε την fog . Α. Ορισμός Σύνθεσης Συναρτήσεων 2.2 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x + 1 x + 2 , g(x) = x − 3 x − 2 Να ορίσετε, αν ορίζονται, τις συναρτήσεις fog , gof , fof. 2.3 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x − 1 x + 1 , g(x) = x − 1 x . Ισχύει fog = gof ; 2.4 Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x + 3 x − 2 . Να ορίσετε την συνάρτηση gog . 2.5 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √2 − x και g(x) = lnx . Να ορίσετε, αν ορίζονται, τις συναρτήσεις fog και gof 2.6 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = x 1 − x . Να ορίσετε την fog . ( ΘΕΜΑ 2017 ) 2.7 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √2x − 1 και g(x) = ln(9 − x2) . Να ορίσετε την συνάρτηση gof . 2.8 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex ex – 1 και g(x) = ln⁡ (x − 1) Να ορίσετε τις συναρτήσεις fog , gof , fof. 2.9 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x − 1 και g(x) = x2 − 2x + 3 . Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fog και gof . 2.10 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x + α και g(x) = 3x + 2α , α ∈ ℝ . Αν οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται πάνω στην ευθεία x=1 , να βρείτε τον αριθμό α και να δείξετε ότι fog = gof 2.11 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ . Να αποδείξετε ότι : α) αν οι συναρτήσεις f , g είναι περιττές , τότε και η fog είναι περιττή . β) αν η συνάρτηση f είναι άρτια και η g είναι περιττή , τότε η fog είναι άρτια . 2.12 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2− 4x + 3 x – 3 και g(x) = ln⁡ (x − 1) α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και να απλοποιήσετε τον τύπο της f β) Να βρείτε την συνάρτηση gof γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cgof βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x 2.13 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + α x + 1 , α ∈ ℝ της οποίας η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−2 , 3). α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να ορίσετε την συνάρτηση fof γ) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις (fof)(x) και g(x) = −x − 1 x2+ x είναι ίσες . 2.14 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α − 5 − α |x| , α ∈ ℝ της οποίας η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−3 , −1) . α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης καθώς και τον αριθμό α . β)Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ)Να βρείτε για ποια τιμή του x η Cf βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g(x) = |x| − 4 . δ) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f και h(x) = x2 − 36 x2 + 6|x| είναι ίσες . 2. Σύνθεση Συναρτήσεων
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 12 Composite function of f and g , η σύνθεση της f με την g στα Αγγλικά 2.15 Έστω συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει 2f(x) − f � 1 x � = lnx3 , x > 0. α) Να βρείτε τη συνάρτηση f . β) Αν g(x) = ex + 2 ex − 1 να βρείτε τη συνάρτηση gof καθώς και τα σημεία τομής της με τους άξονες . 2.16 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε (fog)(x) = 3x2 − 6x + 10 και f(x) = 3x + 1 Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . Β. Αποσύνθεση Συναρτήσεων 2.17 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει (gof)(x) = 4x2 + 4 και f(x) = 2x − 1 . Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . 2.18 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g : ℝ → ℝ ώστε (fog)(x) = 2x + 1 και f(x) = lnx , x > 0 . Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . 2.19 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = x + 8 και f(x) = ex+1 . Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . 2.20 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = 4x2 − 14x + 13 και g(x) = 2x − 3 . Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . 2.21 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = 2x2 − 11x + 16 και g(x) = x − 3 . Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . 2.22 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει (fog)(x) = 2 − x 2 + x , x > 0 και g(x) = lnx . Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . 2.23 Να βρείτε την συνάρτηση g(x), αν (gof)(x) = x 2x2+ 2x + 1 και f(x) = 2x + 1 2.24 Να βρείτε την συνάρτηση f(x), αν (gof)(x) = 2x − 1 x2− x + 1 και g(x) = x − 2 2.25 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = 4x2 − 1 και g(x) = 2x + 1 α) Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . β) Να ορίσετε την συνάρτηση fof 2.26 Να βρείτε την συνάρτηση f(x) αν f(ex) = 3x2 − 2x + 4 , x ∈ ℝ 2.27 Να βρείτε την συνάρτηση f(x) αν f(2x − 1) = 4x2 − 6x + 3 , x ∈ ℝ 2.28 Να βρείτε την συνάρτηση f(x) αν f(lnx) = x2 + 3lnx + 1 , x > 0 2.29 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ με (gof)(x) = 3x2 − 6x + 10 και g(x) = 3x − 2 . Να βρείτε : α) τη συνάρτηση f β) τα x για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg 2.30 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = α − x x + 3 , α ∈ ℝ Αν η Cg διέρχεται από το σημείο Α(−5 , −4) : α) να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α β) να ορίσετε την συνάρτηση fog γ) να αποδείξετε ότι η fog είναι περιττή . 2.31 Δίνεται η συνάρτηση f : [−2 , 1] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(2x − 3) Γ. Εύρεση Πεδίου Ορισμού Σύνθεσης 2.32 Δίνεται η συνάρτηση f : [0 , 1] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(lnx) . 2.33 Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , 1] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α) f(3x − 2) β) f(lnx) γ) f(ex) 2.34 Δίνεται η συνάρτηση f : [−1 , 4] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=f(x2 − 5)
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 13 2.35 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x − 2 , x ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή f(1). Δ. Εύρεση τιμής 𝐟𝐟(𝐱𝐱𝐨𝐨) όταν είναι γνωστή η fof 2.36 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = x2 + x , x ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή f(0). 2.37 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → (0 , +∞) για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x2 + 2x − 80 , x ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή f(5). 2.38 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x + 4 , x ∈ ℝ . α. Να δείξετε ότι �f(3x + 4)� = 3f(x) + 4 , x ∈ ℝ . β. Να υπολογίσετε την τιμή f(−2) . 2.39 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = αx − 1 και g(x) = 7x − α , α ∈ ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι συναρτήσεις fog και gof είναι ίσες. Ε. Εύρεση Μεταβλητών στην Σύνθεση 2.40 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = αx + 1 , g(x) = (3α − 2)x + α2 − 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του α ισχύει fof = g . 2.41 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x − 1 και g(x) = 3αx + 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι συναρτήσεις fog και gof είναι ίσες. 2.42 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x + 3, g(x) = αx2 + βx + γ , h(x) = 4x2 + βx + 2γ . Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α , β , γ για τους οποίους ισχύει gof = h 2.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 − αx 2 − x . Να βρεθεί ο α ∈ ℝ ώστε για κάθε x ≠ 2 να ισχύει (fof)(x) = x .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 14 3.1 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = 3x + 7 β) f(x) = x2 + 5x + 2016 γ) f(x) = x3 + 4x2 − 2x + 1 δ) f(x) = 3ex + 2lnx + 7√x ε) f(x) = 3συνx + 2ημx + 4 x −2x Α. Υπολογισμός Παραγώγων Βασικών Συναρτήσεων 3.2 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = xex β) f(x) = xlnx γ) f(x) = x2 ημx δ) f(x) = x3 lnx ε) f(x) = (x2 − 2x)ex 3.3 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = 2x x + 1 β) f(x) = 3x − 1 2x + 5 γ) f(x) = x2 − 3x 2x + 3 δ) f(x) = x2 ex ε) f(x) = x – 3 ex ζ) f(x) = x lnx η) f(x) = ημ x συν x 3.4 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = ln(x2 − 3x) β) f(x) = ημ(2x + 3) γ) f(x) = συν(x2 + 5x) δ) f(x) = ex2 + 5x − 3 ε) f(x) = √4x − 5 ζ) f(x) = (3x − 2)5 3.5 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = 2x3 + 6x − 1 β) f(x) = ex + lnx γ) f(x) = −x5 − x3 − lnx Β. Μελέτη Μονοτονίας 3.6 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = 1 − 3x + √1 − 2x β) f(x) = 4e3−x + 2017 γ) f(x) = x5 − 1 2x 3.7 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = x2 + √x β) f(x) = 2 x −lnx + 1 γ) f(x) = � 2 3 � x − 4x 3.8 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = ln(x − 1) − e2−x β) f(x) = 1 − x 1 + x γ) f(x) = √x − 1 + 2√x 3.9 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ . Να αποδείξετε ότι : α) αν οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως αύξουσες , τότε και η fog είναι γνησίως αύξουσα . β) αν οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως φθίνουσες τότε η fog είναι γνησίως αύξουσα . 3.10 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → (0, +∞). Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h = f g είναι γνησίως φθίνουσα . 3.11 Έστω οι συναρτήσεις f , g που είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα . 3.12 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία : α) Α(2 , 5) και Β(4 , 3) β) Γ(−1 , 6) και Δ(3 , 8) 3.13 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Αν η Cf τέμνει τους άξονες x’x , y’y στα σημεία με τετμημένη −2 και τεταγμένη 1 αντίστοιχα . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Αν g γνησίως φθίνουσα στο ℝ , να εξετάσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις gog , fog . 3. Μονοτονία Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 15 Strictly increasing (decreasing) function η γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) συνάρτηση στα Αγγλικά 3.14 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + 2f(x) = 5x + 2 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ 3.15 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + ef(x) = 2x − 3 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ 3.16 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x −lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 1 x2 + 5 − 1 2x2 + 1 < ln x2 + 5 2x2 + 1 . Γ. Μονοτονία και Ανισώσεις 3.17 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση ln(x2 + x + 1) + x2 < ln(x + 2) + 1. 3.18 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2007 + 2007x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 2007 3x – 1 − 2007 x + 3 > (x + 3)2007 − (3x − 1)2007 . 3.19 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση (x3 + x2)3 − (x + 1)3 > 2(x + 1 − x3 − x2) 3.20 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 2 3 � x − 2x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση � 4 9 � x − � 2 3 � x < 2x 3.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 4x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 21−x + 4 < 4x + 6 3.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x − √x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 1 2x2 + 3 − 1 x2 + 2x + 6 > √2x2 + 3 − √x2 + 2x + 6 3.23 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln(1 + ex) α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση (x − 1)2 > 𝑙𝑙𝑙𝑙 1 + e2x 1 + ex2 3.24 Να λύσετε την ανίσωση e1−x < 1 + lnx 3.25 Να λύσετε την ανίσωση 5x3 + lnx < 2 x + 3 3.26 Να λύσετε την ανίσωση ex + 3x > � 1 2 � x 3.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να βρείτε για ποια τιμή του x η Cf βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της ευθείας y = 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση (3|x| + 1)2 − (2|x| + 3)2 > ln 2|x| + 3 3|x| + 1 3.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln(x + 2) α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f(x4 + 1) − f(x2 + 1) > 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση ln 3x x2+ 2 < 𝑥𝑥2 − 3x + 2
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 16 3.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + e x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι e3 − ex < 𝑙𝑙𝑙𝑙 x 3 για κάθε x > 3 3.30 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 8e2 − x − 2x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 4 γ) Να λύσετε την ανίσωση 8�e2 − x2 − e2 − x � > −2x(1 − x) 3.31 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και η Cf διέρχεται από το σημείο Α(−2 , −3) , να λύσετε την ανίσωση 2 f (x2 − 3x) + 6 ≤ 0 . 3.32 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f στο ℝ . Να λύσετε την ανίσωση : (fof)(x2 + x) < (fof)(x + 1) 3.33 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1 , 5) και Β(−2 , 7) τότε : α) να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) να λυθεί η ανίσωση f (f(|x| − 4) − 6) − 5 < 0 . 3.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx3 + 2αx − 3 , α ∈ ℝ . Aν η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο 1 : α) να βρείτε τον αριθμό α β) να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία γ) να λύσετε την ανίσωση f (f(x) + 3x2 + 3) + 3 > 0 . 3.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 1 3 � x + αx , α ∈ ℝ. Aν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−2 , 13) : α) να βρείτε τον αριθμό α β) να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία γ) να λύσετε την ανίσωση 3x(2x + 5) < 1 . 3.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx5 + αx + 2 , α ∈ ℝ . Aν η Cf διέρχεται από το σημείο Κ(−1 , 4): α) να βρείτε τον αριθμό α β) να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία γ) να λύσετε την ανίσωση (fof)(x) > 2 . 3.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx − lnx , x > 0 , α ∈ (0 , 1) α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση αx2+x+4 − αx2+9 < ln(x2 + x + 4) − ln(x2 + 9) 3.38 Δίνεται η f(x) = αx + x + 1 , α > 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση αx2−9 − αx−3 < 6 + x − x2 3.39 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(−4 , 3) και Β(3 ,−2 ) τότε : α) να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) να βρείτε το είδος μονοτονίας της fof γ) να λυθεί η ανίσωση f �f (ex−1 − 5)� > −2 . 3.40 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(5 , 13) και Β(7 , 11 ) τότε : α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) Να λύσετε την ανίσωση f(f(x) − 6) < f(7) + 2 3.41 Δίνεται η f(x) = ex + ln(x + 1) − 1 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση ex2 + ln(x2 + 1) > 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση e x2 − e x + 2 > 𝑙𝑙𝑙𝑙 x + 3 x2 + 1 3.42 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει ln x2+ 1 2x > e2x − ex2+ 1 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει ln � x + 1 x � x > 𝑥𝑥(ex − ex + 1) δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g(x) = f(x + α) − f(x + β) , α > β > 0 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x 3.43 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) − x είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ β) Να λυθεί η ανίσωση f(x2 − 2x) − f(3x − 6) > x2 − 5x + 6
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 17 3.44 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f(2) = 8 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x3 − f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ β) Να λυθεί η ανίσωση 8x3 < f(2x) 3.45 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + √5x + 1 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λυθεί η ανίσωση (3x + 18)3 − (7x + 12)3 < 57x+12 − 53x+18 √57x+12+1 + √53x+18+1 3.46 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − e− x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι 1 ex − 1 ex2+ 1 > ln x x2+ 1 , x > 0 γ) Για κάθε x , y > 0 με x > y , να δείξετε ότι : 3lnx + e−y3 < 3𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + e−x3 δ) Για κάθε x > 0 να αποδείξετε ότι ln �1 + 1 x � > 1 ex+1 − 1 ex 3.47 Έστω συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι f(x) + f(3x) < f(2x) + f(7x) 3.48 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x −lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Για κάθε θετικό ακέραιο ν , να αποδείξετε ότι : f(5ν) + f(7ν) > 𝑓𝑓(6ν) + f(8ν) γ) Για κάθε θετικό ακέραιο ν , να αποδείξετε ότι : f(2x) + 1 > f(3x) + f(ex) 3.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 8x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Για κάθε x > 1 να αποδείξετε ότι : f(x3) + f(2x) > 𝑓𝑓(x2) + f(2) γ) Για κάθε x < 0 να αποδείξετε ότι : f(3x) + f(5x) > 𝑓𝑓(2x) + f(4x) 3.50 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ β) Να λύσετε την ανίσωση f(x3) < 𝑓𝑓(3x − 2) 3.51 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e− x − x3 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β)Να λυθούν οι ανισώσεις : β1) ex(x3 + 1) < 1 β2) f�f(x)� < 1 e −1 β3) e− x − 1 2 < x3 − ln3 2 3.52 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(2 , −1) και Β(5 , 2 ) τότε : α) να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) να λύσετε την ανίσωση 2f 2(x) ≤ 4 ∙ 2f(x) 3.53 Να λυθεί η εξίσωση 2x5 + 3ex = 3 . Δ. Μονοτονία και Εξισώσεις 3.54 Να λυθεί η εξίσωση x3 + lnx − 1 = 0 . 3.55 Να λυθεί η εξίσωση 2 x = 1 + ln(x − 1) . 3.56 Να λυθεί η εξίσωση e3 − x − 1 = ln(x − 2) 3.57 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − 1 x +1 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λυθεί η εξίσωση ln(2x + 3) + 1 = 1 2x + 3 γ) Να λυθεί η ανίσωση 2x2 lnx + x2 < 1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 18 4.1 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x) = 3ex−3 −5 β) f(x) = 3 lnx − 2 4 γ) f(x) = 3 − x x + 1 δ) f(x) = 1 − √3 − 2x ε) f(x) = 2 ln(x + 1) − 3 στ) f(x) = 2 ex − 1 ex + 2 Α. Συνάρτηση 1-1 4.2 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x) = 2x + 3 x − 1 β) f(x) = 2 + √3x − 4 γ) f(x) = 3x2 − 6x + 1 , x ≥ 1 4.3 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x) = �3 − √2 − x β) f(x) = ln � 1 + x 1− x � γ) f(x) = 1 − 2x − 3ex δ) f(x) = e−2x − x 4.4 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x)= 2 x5 + 7x3 + 3x − 5 β) f(x) = 3ex + 2 lnx − 1 γ) f(x)= � 1 2 � x − 4x3 δ) f(x)= 5 x − 3 lnx 4.5 Να αποδείξετε ότι δεν είναι 1-1 οι συναρτήσεις : α) f(x) = x2− 1 x2+ 1 β) f(x) = (x − 3)(x − 4) + 2017 γ) f(x) = ln(|x| + 1) 4.6 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2)f(x − 3) − (x − 3)f(x) = 1 , για κάθε x ∈ ℝ α) Να βρείτε τις τιμές f(0) , f(2) β) Να εξετάσετε αν η f είναι 1-1 4.7 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει 6f(x2) − f2(x) ≥ 9 , για κάθε x ∈ ℝ . α) Να βρείτε τις τιμές f(0) , f(1) β) Να εξετάσετε αν η f είναι 1-1 4.8 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + f(x) + 1 ≤ 3f(x2 − x) για κάθε x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1 4.9 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) + f3(x) = 3x − 2 , για κάθε x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.10 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + 4f(x) = 2x + 3 , για κάθε x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.11 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις ώστε να ισχύει (gof)(x) = x3 + 3f(x) + 2 , για κάθε x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.12 Έστω η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + 3f(x) = ln(2x + 1) , x > 0 . Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.13 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις, όπου η συνάρτηση gof είναι 1-1 . Να δείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι 1-1. 4.14 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 4. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. β) Να εξετάσετε αν η f είναι 1-1 4.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + α x2 + 1 , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(−1, −1). Να βρείτε : α) τον αριθμό α. β) το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y’y γ) αν η συνάρτηση f είναι 1-1. 4.16 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις ώστε η fog να είναι 1-1 α) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1 β) Αν για κάθε x > 0 ισχύει g( f(lnx) + 1 ) = g(x + 2) να βρείτε την f(x) . 4. Αντίστροφη Συνάρτηση
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 19 4.17 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : f(x − y) = f(x) − f(y) , ∀ x , y ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι f(0) = 0 β) Να αποδείξετε ότι f(−x) = −f(x) γ) Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα το 0 , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 4.18 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |f(x) − f(y)| ≥ |x − y| , ∀ x , y ∈ ℝ Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.19 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ex − e−x είναι 1-1 β) Αν για την συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ ισχύει ef(x) − e−f(x) = elnx − 1 x , x > 0 , να βρείτε την f 4.20 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x + lnx είναι 1-1 β) Αν για την συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ισχύουν x + ex = f(x) + lnf(x) , f(x) > 0 , να βρείτε την f 4.21 Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln(x − 1)= 2− x β) 3x = 5 – 2x Β. Εξισώσεις και συναρτήσεις 1-1 4.22 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x)+ f3(x) = 2x + 3 , για κάθε x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(2x3 + x) − f(4 − x) = 0 4.23 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x)+ f3(x) = 2x + 5 , για κάθε x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(2x3 + x − 2) = f(2 − x) 4.24 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = f(x) + ex−1 , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x3 − 5x) = f(2x − 6) 4.25 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ημf(x) + f3(x) − 2x = π3 , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(et + 1) − f(2e−t) = 0 4.26 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ∗ με (fof)(x)=(x−2) f(x) , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(3) γ) Να λύσετε την εξίσωση f�x + 1 − f(|x| − 1)� − f(x − 2) = 0. 4.27 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) − f(x) = −x + 2 , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(2) γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα δ) Να λύσετε την εξίσωση f�4 − f(|x| − 1)� = 2 4.28 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) − f(x) = 2x + 2 , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(−1) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x2 + x − 1) + 2(x + 1) = f�f(x)� 4.29 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) − f(x) = x , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(0) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x3 + ex) = f(1) 4.30 Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x + 3 e x − 2 καθώς και η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (gof)(x) = 8 − 3 e x − 2 για κάθε x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(2) γ) Να λύσετε την εξίσωση f( f(|x| − 3) + ex − 1) − f(ex + 1)=0. 4.31 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις α) Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση fog είναι 1-1 τότε και η συνάρτηση g είναι 1-1 β) Αν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει f�g(x)� = 2x + ex τότε να λύσετε την g�ex2 − e2x � = g(4x − 2x2) 4.32 Θεωρούμε συνάρτηση f ορισμένη και γνησίως φθίνουσα στο (0 , +∞) καθώς και την συνάρτηση g(x) = f(x) − 2lnx , x > 0 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα β) Αν το σημείο Α(1 , 2) ανήκει στην γραφική παράσταση της f , τότε να λύσετε : β1) την εξίσωση f(x − 1) = 2 + 2ln(x − 1) β2) την ανίσωση ln(lnx)2 < 𝑓𝑓(lnx) − 2
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 20 4.33 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ α) Να δείξετε ότι η g : ℝ → ℝ , με g(x) = f(x) −x είναι γνησίως φθίνουσα. β) Να λυθεί η εξίσωση f(x2 − 3x) − f(2x − 6) = x2 − 5x + 6. 4.34 Έστω f, g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις , για τις οποίες ισχύει (gof)(x)= 2x5 + ef(x) +1 , x ∈ ℝ. α) Να δείξετε ότι f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(lnx) = f(1 − x3). 4.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx − x , 0 < α < 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση ακ2− 4 − ακ − 2 = (κ2 − 4) − (κ − 2) 4.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση �ex + √x� 3 + ex = �√x + 1� 3 + 1 4.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + √x − 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση √2x2 − x + 1 − √x2 + 7 = 6 + x − x2 4.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √ex + 1 + lnx α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) �ex2 + 1 + 2lnx = √e + 1 β2) √e3x + 1 + ln3 + lnx = 3 + ln(ln8) β3) √x + 1 + ln(lnx) = f � e x � 4.39 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + lnx + x − 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση ex2+ 1 − e2x = ln2x − ln(x2 + 1) − x2 + 2x − 1 4.40 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x − 3 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση x5 + x3 + x = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση e5x + e3x + ex < 3 . 4.41 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e−x − lnx . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση lnα = 1 eα2 − 1 eα 4.42 Να λύσετε την εξίσωση ln ex + 1 e−x + 1 = 7(e−x + 1)3 − 7(ex + 1)3 . 4.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex−1 + x + 1 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση ex−1 + x − 2 > 0 4.44 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln(x + 1). α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(ex + x − 1) = 0 στο A = [0, +∞) . 4.45 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x −lnx + 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση lnxx + x = 1 , x > 0 γ) Να λυθεί η εξίσωση ln x2+ 1 3x2+ 2 = 2x2+ 1 (x2+ 1)(3x2+ 2) 4.46 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x + x3 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση 3x2− 4x − 3−x + 4 = −(x2 − 4x)3 + (−x + 4)3 4.47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e3 − x − x + 2 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) x − e3−x = 2 β2) e3− x2+ 1 − x2 + 1 = −2 β3) e−x2+ 4x + 3 − e9 − x + 5x = x2 + 6 4.48 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + e x − 1 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) f(x) = e β2) f(x2 − 6x + 8) = 0 β3) (x + 3)3 − (x2 + 1)3 = ex2+1 − ex+3 β4) ln3 x + x = e1−x − (x − 1)3 4.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + x − 1 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) ef(x) + f(x) = 1 β2) (x − 1)2 = e2x − ex2 + 1 β3) f�ex2 − 4x� = f(e4x − x2) β4) ex2+2x+2 + (x + 1)2 = e β5) ex2−3x + x2− 3x ex = 1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 21 4.50 Έστω η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(x) − f(y) = f � x y �. Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα τότε : α) Να δείξετε ότι η είναι f 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x2 + 3) = f(x2 + 1) + f(x + 1) 4.51 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(x ∙ y) = f(x) + f(y) , ∀ x , y > 0 Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα τότε : α) Να δείξετε ότι f(1) = 0 β) Να δείξετε ότι f � 1 x � = −f(x) γ) Να δείξετε ότι η είναι f 1-1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x2 + 1) = f(x + 8) 4.52 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(x) − f(y) = f � x y � , ∀ x , y > 0 α) Να βρείτε το f(1) β) Να δείξετε ότι f � 1 x � = −f(x) , ∀ x > 0 γ) Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα τότε : γ1) Να δείξετε ότι η είναι f 1-1 γ2) Να λύσετε την εξίσωση f(x2) + f(2) = f(12x − 16) 4.53 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται, τις αντίστροφες των συναρτήσεων : α) f(x) = 2x + 5 β) f(x) = 3x – 2 x + 1 Γ. Εύρεση Αντίστροφης Συνάρτησης 4.54 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται, τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = x3 − 2 β) f(x) = x − 1 x − 2 4.55 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται ,τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 1 + ln(x − 3) β) f(x) = 2 + √x − 1 4.56 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται ,τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 2ex−3 − 1 β) f(x) = 2 + √ex − 1 4.57 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 1 − ex−1 β) f(x) = 2 − √3 − x 4.58 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = x2 − 4x + 5 , x ≥ 2 β) f(x) = x2 − 8x + 10 , x ≤ 4 4.59 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 8x3 − 3 β) f(x) = ex + 1 ex 4.60 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = e x − 1 e x + 1 β) f(x) = ln x − 1 x – 2 4.61 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = ln x 1 − x ( ΘΕΜΑ 2017 ) β) f(x) = 1 − 2ex e x + 1 4.62 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f(x) = e− x − e x 2 4.63 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει 2f3(x) + 4f(x) = x + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη της f. 4.64 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει f3(x) − 3f2(x) + f(x) + x = 2017 , ∀x ∈ ℝ. Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη της f. 4.65 Έστω η συνάρτηση f ∶ ℝ → (1 , +∞) για την οπoία ισχύει f2(x) − 2 f(x) = e2x − 1. Να βρείτε : α) τον τύπο της f(x) β) τον τύπο της f−1 (x) . 4.66 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 4x + 2 , g(x) = 2f−1(x) + 1 . Να βρείτε την g−1 . Inverse Function η αντίστροφη στα Αγγλικά
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 22 4.67 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx + β , α ≠ 0. Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν f(x) = f−1(x) + 3 . 4.68 Αν f(x) = (2α − 1)x − 3β , να βρεθούν τα α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει f = f−1 4.69 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ex − 1 , α∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) Αν ισχύει f−1(4) = 1 , τότε : β1) Να βρείτε το α β2) Να βρείτε την αντίστροφη 4.70 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α – x 1 + x , α ∈ ℝ. Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Κ(−3 , −2) τότε α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη γ) Να δείξετε ότι f = f−1 4.71 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex + 1 και g(x) = ex + 1 ex − 1 α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι περιττή γ) Να βρείτε τη συνάρτηση gof−1 4.72 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε το f−1 (−3) γ) Να λύσετε την εξίσωση f−1( f (x2 − 5) + 15 ) = 2 Δ. Εξισώσεις-Ανισώσεις και Αντίστροφη 4.73 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 − x − lnx . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1 γ) Να λύσετε την ανίσωση x+ lnx >1 4.74 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 6) και Β(4 , 3). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f ( f−1 (x2 − 5x) + 2 ) = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 − x) − 3 ) < 4 . 4.75 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(−1 , 5) και Β(2 , 4). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f−1[3 + f(x2 − 3x − 3)] = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση f �2 + f−1 � 2x + 10 x − 1 �� ≤ 8 . 4.76 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(−1 , 5) και Β(6 , 4). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f−1 �−1 + f(x2 − 2x − 4)� < 6 4.77 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) και Β(3 , 8). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f ( f−1 (x2) − 3 ) = 5 4.78 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 1) και Β(3 , 8). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f (−1 + f−1 (x2 + 2x) ) = 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f(f−1(lnx) + 1) < 8 4.79 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(3 , 2) και Β(5 , 9). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f�2 + f−1(x2 + x)� = 9 γ) Να λύσετε την ανίσωση f(f(x2 − 4x) − 6) < 2 4.80 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 5) και Β(3 , 2). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τις τιμές f−1(5) και f−1 (2) γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1 �3 + f (x2 + 2x)� > 2
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 23 4.81 Δίνεται η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο ℝ και για την οποία ισχύει : �f(0)� 2 + �f(1)� 2 + 13 = 6f(0) + 4f(1) α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f(f−1(x3 − 3x + 4) − 1) > 3 4.82 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 4) και Β(2 , 12). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f�1 + f−1(3x − 17)� > 12 γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : K = f−1 �24 − f�5f−1(12) − 8f−1(4)�� 4.83 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(5 , 9) και Β(2 , 3). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β)Να λύσετε την εξίσωση f�3 + f−1(x2 + 2x)� = 9 γ)Να λύσετε την εξίσωση f−1 � x − ln 2 x + 1� = 2 δ) Να λύσετε την ανίσωση f2(x) ≤ 12 f(x) − 27 ε) Να λύσετε την ανίσωση f (x + lnx + 4) > 9 4.84 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x − 5 με f(2) = 10 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε το f−1 (2) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(f−1(|x| − 2) − 5) = 2 4.85 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e1−x − x . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f−1(1 − x) > 𝑥𝑥 . 4.86 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −2 x3 − 3x + 1 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 − 4) − 22) < 2. 4.87 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x3 + x + 1 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση ex2 − x + (x2 − x)3 + x2 − 2x = e x + 3 + (x + 3)3 + 3 4.88 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f−1(x) = x − 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1(x) ≥ x − 1 4.89 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2e−2x − 3x − 2e2 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f(f−1(x − 2e2) − 1) = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x) − 1 − 2e2) < 0 . 4.90 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x5 + 2x3 − 1 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f �f−1(4συνx + 2)� = 4 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 + 2x + 2) − 5) > 0 4.91 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει (fof)(x) + f(x) = 3x − 4 με f(3) = 8 α) Να βρείτε το f(8) β) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 γ) Να βρείτε το f−1 (3) δ) Να λύσετε την εξίσωση f ( f−1 (x2 − 4x) − 3 ) = 3. 4.92 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = 27x3 + 8 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση f( ln2 x) = f(2 lnx + 3). 4.93 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f(x) = e x − 1 + 2x − 3 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f−1(x) = 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1(lnx) < 1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f �1 + f−1(x + 1)� = 0 4.94 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + 1) − e−x + 2x , f(A) = ℝ. α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να λύσετε την ανίσωση f−1( ex − 2) < 0 . γ) Να λύσετε την εξίσωση f−1( x − 1) = x στο (−1 , +∞) 4.95 Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : f (ex + 2) + f (x + 3) = x , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι f η είναι αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x’x γ) Να λύσετε την ανίσωση f� 6 − f−1(x2 − 4)� > 0 .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 24 4.96 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex ex – 1 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να εξετάσετε αν η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες x’x , y’y β) Να αποδείξετε ότι f η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη γ) Να λύσετε την εξίσωση f−1 � 1 1 – e + 2 − f (lnx)� = −1 . 4.97 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ef(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε την f(1) γ) Να λύσετε την e x − 4 − e 2x + 1 = x + 5 4.98 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ef(x) + f(x) = x + 2 , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f(lnx) = f � e x � γ) Να βρείτε την αντίστροφη της f δ) Να λύσετε την ανίσωση (x3 − 8)(ex − 3) < 𝑓𝑓(−1) . 4.99 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex e x + 1 και g(x) = 1 − lnx α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη β) Να βρείτε τη συνάρτηση (f−1 og)(x) και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία. γ) Αν 1 < 𝛼𝛼 < 𝛽𝛽 < e , να δείξετε ότι 1 − lnα 1 − lnβ > lnα lnβ . 4.100 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + αx + 2 , α ∈ ℝ . Η γραφική παράσταση της fof τέμνει τον άξονα y’y στο 14 . α) Να βρείτε τον αριθμό το α β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf , Cf−1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f ( f(x2 − 4) + x − 1) − f(x + 1) = 0 . ε) Να λύσετε την ανίσωση f ( f(|x| − 2) − 5) < f−1(14) . 4.101 Έστω συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f(1) + f(e) = 2e + 3 , f(x) − f(y) = ln x y + 2(x − y) α) Να βρείτε τα f(1) , f(e) β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται δ) Να λύσετε την ανίσωση 4(x2 − 1) < ln x2 + 10 3x2 + 8 4.102 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x − 2 + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 Ε. Κοινά Σημεία Γραφικών Παραστάσεων 𝐟𝐟 , 𝐟𝐟−𝟏𝟏 4.103 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = − x3 − x + 12 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1 ( f (|x| − 1) + 8 ) < 1 . 4.104 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x − 2 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Π= f−1(1) + f−1(10) γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf−1 και της ευθείας y = x 4.105 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 4x − 4 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( x2 − 13) < 2 . 4.106 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x5 + x + 3 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 − 3) − 4 ) > 0 . 4.107 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x − e x α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 25 4.108 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με 2f3(x) + f(x) = x + 16 , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε την f−1 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf και της ευθείας y = x 4.109 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = x − 8 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf , Cf−1 4.110 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f3(x) + 3f(x) = x + 3 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) 4.111 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → (0 , +∞) με f(x) + lnf(x) = x , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf , Cf−1 4.112 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x − e x − 1 + 1 x > 0 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 . 4.113 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με ef(x) + f(x) = x + 1 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρείτε την f−1 γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) 4.114 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να λύσετε την εξίσωση f−1(x) = 1 γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 δ) Να λύσετε την ανίσωση ef2(x)−3f(x) ≤ 1 4.115 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x − 1 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε το διάστημα που η Cf−1 βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = x 4.116 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x + x − 9 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τo f−1(−5) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) δ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (lnx) − 3) > 0 4.117 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x − 8 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα f−1(−6) και f−1(2) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) δ) Να λύσετε την εξίσωση f (x2 − 8) = −6 ε) Να λύσετε την ανίσωση f−1(logx2) ≤ 2 4.118 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + lnx + x − e2 − x α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να λύσετε την εξίσωση x + xe−x − e2 − 2x = e−x , x > 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x)
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 26 5.1 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν : lim x→2− f(x) = λ(λ − 1), lim x→2+ f(x) = 5λ − 9 Να βρεθεί το λ ∈ ℝ αν υπάρχει το όριο lim x→2 f(x) Α. Έννοια του ορίου 5.2 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν: lim x→ 3− f(x) = λ2 − 3λ + 2 , lim x→3+ f(x) = 2λ − 4 Να βρεθεί το λ𝜖𝜖ℝ αν υπάρχει το όριο lim x→3 f(x) 5.3 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν : lim x→α− f(x) = κ3 + 3, lim x→α+ f(x) = 2κ − 2κ2 Να βρεθεί το κ ∈ ℝ αν υπάρχει το όριο lim x→α f(x) 5.4 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−2+ f(x) β) lim x→−1− f(x) γ) lim x→−1+ f(x) δ) lim x→1− f(x) ε) lim x→1+ f(x) ζ) lim x→2 f(x) η) lim x→3− f(x) θ) f(1) ι) f(−1) 5.5 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−2 f(x) β) lim x→−1 f(x) γ) lim x→0 f(x) δ) lim x→1 f(x) ε) lim x→2 f(x) Το Όριο είναι μια έννοια που συναντάται στο πεδίο του Απειροστικού Λογισμού, με την βοήθεια του οποίου ορίστηκαν έννοιες όπως η παράγωγος και το ολοκλήρωμα. Ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass (1815-1897) εισήγαγε τον συμβολισμό lim x→x0 5. Όριο Συνάρτησης στο 𝐱𝐱𝐨𝐨 ∈ ℝ
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 27 The limit of f as x approaches 𝐱𝐱𝟎𝟎 το όριο της f όταν το x τείνει στο x0 στα Αγγλικά 5.6 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−2 f(x) β) lim x→0 f(x) γ) lim x→2 f(x) δ) lim x→3 f(x) ε) lim x→4 f(x) 5.7 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−3+ f(x) β) lim x→−2 f(x) γ) lim x→0 f(x) δ) lim x→1 f(x) ε) lim x→2 f(x) ζ) lim x→3 f(x) η) lim x→4 f(x) θ) lim x→5 f(x) ι) lim x→6 f(x) 5.8 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim h→0 f(1+h) − 1 h = 3 . Να βρείτε το όριο lim h→0 f(1+2h) − f(1−2h) h 5.9 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim h→0 f(1+h) − 2 h = 5 . Να βρείτε το όριο lim h→0 f(1+3h) − f(1−2h) h 5.10 Αν ισχύει ότι lim x→2 f(x) − 2 x − 1 = 3 , να βρείτε το όριο lim h→0 f(2+h) − f(2−h) h 5.11 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→2 x2 − 4 x − 2 β) lim x→ −3 x2− 9 x2 + 3x γ) lim x→1 x2 + 4x − 5 x2 − 1 δ) lim x→1 1 − x 2x2 − 7x + 5 ε) lim x→ −2 x3 + x2 – 2x x4 − 16 2. Όριο Ρητής Συνάρτησης (0/0) 5.12 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→−1 2x2 – 3x − 5 x3+ 1 β) lim x→ 2 2x2− 5x + 2 x2 − 5x + 6 γ) lim x→−1 x3− 7x − 6 x2 − 1 δ) lim x→1 3x4 − 2x − 1 4x2+ x − 5 ε) lim x→ 1 2 8x3− 1 2x2+ 7x − 4 5.13 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim x→2 � 1 x − 2 − 4 x3 − 2x2� β) lim x→−1 � 1 x + 1 + 2 x2 − 1 � γ) lim x→3 � 1 x − 3 − 2 x2 − 4x + 3 � δ) lim x→1 � 1 x2+ x − 2 − x x3 − 1 � ε) lim x→1 1 x – x x – 3 + 2 x
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 28 5.14 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) − 3f2(x) + 3f(x) = x + 9 . Να βρείτε το όριο : lim x→3 f−1(x) x2 − 5x + 6 5.15 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν lim x→α f(x) x = 3 , lim x→α (f(x) − 3x) = 5 . Να βρείτε το όριο : lim x→α xf(x) + f2(x) + 5x2 x2f(x) − 3x3+ x2 5.16 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→2 √3 − x – 1 2 − x β) lim x→ −1 √x + 5 − 2 x2 + x γ) lim x→1 x − 1 √x2 + 3 – 2 Γ. Όριο Άρρητης Συνάρτησης (0/0) 5.17 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→2 √3 − x – 1 √x+7 − 3 β) lim x→ −2 √ 5 − 2x − 3 2x + √3x2 + 4 5.18 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→−2 f(x) = 2 . Να βρείτε το όριο lim x→−2 f3(x) − 8 4 − �f2(x) + 12 5.19 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→3 f(x) = 2. Να βρείτε το όριο lim x→3 f2(x) − 4 �f(x) + 7− 3 5.20 Δίνεται η συνάρτηση 0 < x < 1 f(x) = � x − 1 √x + 3 − 2 , x > 1 3x2− 5x + 2 x 2− x , 0 < x < 1 . Να βρεθεί αν υπάρχει το lim x→1 f(x) Δ. Όριο Συνάρτησης Πολλαπλού Τύπου 5.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2− 6x + 5 x − 1 , x > 1 x − 1 √x − 1 , 0 < x < 1 . Να βρεθεί αν υπάρχει το lim x→1 f(x) 5.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x2+ 2x √x + 4 − 2 , − 4 ≤ x < 0 x3+ 2x2− 8x 2x2 − 4x , 0 < x < 2 x2 – x − 2 x2− 3x + 2 , x > 2 . Να βρεθούν, αν υπάρχουν τα lim x→0 f(x) , lim x→2 f(x) 5.23 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 3x − α , x ≤ −1 x2 − αx + β , − 1 ≤ x < 1 x3 − αx2 + γ , x ≥ 1 . Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ∈ ℝ για τις οποίες υπάρχει το όριο lim x→−1 f(x) και ισχύει lim x→1 f(x) = 1 . 5.24 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2 + 4βx + 1 , x < 0 √x+1 − 1 x − α − 1 2 , x > 0 όπου lim x→8 f(x) = β .Να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε να υπάρχει το όριο lim x→0 f(x) 5.25 Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια : α) lim x→2 |x − 3|− |x − 1| x 2− 2x β) lim x→ −1 �x3− 3x − 1�+ x |x3 + 5x + 4|− 2 γ) lim x→ −2 �x2− 4�− �x2 + 5x + 6� |x2 + 3x| + x Ε. Όριο Συνάρτησης με Απόλυτες Τιμές 5.26 Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια : α) lim x→3 �x2− x� − 6 |x − 4| − 1 β) lim x→ 1 |x − 2| − 1 |x| − 1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 29 5.27 Αν ισχύει lim x→1 f(x) = 2 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 |f(x)+1|+|f(x)−3x|−4 x − 1 β) lim x→1 �f(x)−3x2�+|f(x)+1|−4 x − 1 5.28 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (−1 , +∞) για την οποία ισχύει lim x→2 f(x) = 3 . Να βρείτε το όριο : lim x→2 |f(x) − 2|− �f2(x) − 5 f(x)� + 5 �f(x) + 1 − 2 5.29 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) − 2 f(x) ≤ x2 − 5x + 6 , ∀x ∈ ℝ και το όριο lim x→2 f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim x→2 f(x) Ζ. Όριο Συνάρτησης σε Ανίσωση 5.30 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2) f(x) ≤ x2 − 7x + 10 , ∀x ∈ ℝ και το όριο lim x→2 f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim x→2 f(x) 5.31 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 1)f(x) ≤ x2 + x − 2 , ∀x ∈ ℝ και το όριο lim x→1 f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim x→1 f(x) 5.32Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→3 f(x) − 2x + 4 x − 3 = 10 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→3 f(x) β) lim x→3 f(x) − 2 x2 − 3x Η. Όριο με χρήσης Βοηθητικής Συνάρτησης 5.33 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→2 [ f(x) − 3x2 + x − 2] = −4 Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x) 5.34 Να βρείτε το όριο lim x→−2 f(x) αν ισχύουν : α) lim x→ −2 [ 2 f(x) + 1 − x] = 3 β ) lim x→ −2 f(x) − 1 x + 2 = 3 5.35 Αν ισχύει ότι lim x→0 f(x) − 2 ημ x = 3 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x)+ 2x − 2 x 5.36 Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x) αν ισχύει lim x→2 5f(x) − 1 f(x) + 3 = 8 5.37 Αν για την συνάρτηση f ισχύει lim x→0 f(x) − 4 �f(x) + 2 = 1 , τότε να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.38 Αν ισχύει lim x→1 f(x )− x3 x2 − 1 = 2 , να βρείτε το όριο lim x→1 f(x) − x √x − 1 5.39 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 f(x) − x √x2+ 5 − 3 = 4 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) β) lim x→2 f(x) + x − 4 |x − 3| − 1 5.40 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→2 [ x f(x) + x2 − 8 ] = 6 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) β) lim x→2 f2(x) − 5 f(x) �f(x) − 1 − 2 5.41 Να βρείτε το όριο lim x→ −1 [ f(x) ∙ g(x)] , όταν ισχύουν lim x→ −1 f(x) x + 1 = 2 και lim x→ −1 [ g(x)(x2 − x − 2)] = −3 5.42 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→1 f(x) − 4 x − 1 = 3 . Να υπολογίσετε το όριο lim x→1 f2(x) – f(x) − 12 x2 + x − 2 5.43 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 f(x) – 2 + (x−1)2 x − 1 = 100 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 f(x) − 2 x − 1 γ) lim x→1 |f(x) − 3| − 1 x − 1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 30 Το Κριτήριο Παρεμβολής είναι γνωστό ως squeeze theorem ή ως sandwich rule/theorem Σε πολλές γλώσσες αναφέρεται και ως το θεώρημα των «Δύο Αστυνομικών και του ενός μεθυσμένου» 5.44 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν lim x→ 0 f(x) − 2 x = −5 , lim x→ 1 f(x) − 1 x − 1 = 3 . Να βρείτε τα όρια : α) τα lim x→0 f(x) και lim x→1 f(x) β) το lim x→ 0 (f(x)−2)(f(2x+1)−1) 2x2 5.45 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2+ αx − 2 x − 1 . Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α , αν υπάρχει το lim x→1 f(x) και είναι πραγματικός αριθμός Θ. Προσδιορισμός Παραμέτρων 5.46 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ , μ ώστε να ισχύει lim x→ −1 2 x2+ λ x + μ x2 + 3x + 2 = 5 . 5.47 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ −1 α x2 + β x − 6 x2 − 1 = 4 . 5.48 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ −1 √x2+3 − αx x − 1 = β 5.49 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ −1 x3 + αx2+ β x + 1 = 5 . 5.50 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ 1 αx3 + βx x − 1 = 2 . 5.51 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ 4 α∙|x + 3|+β∙|x−5| − 3 x2− 5x + 4 = 7 . 5.52 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=� x2− 1 √x + 3− 2 , αν − 3 ≤ x < 1 x2+ αx + β x2− 3x + 2 , αν 1 < x < 2 Να βρείτε τους αριθμούς α , β ∈ ℝ ώστε να υπάρχει το όριο lim x→1 f(x) . Ι. Κριτήριο Παρεμβολής 5.53 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε 2x2 − 7x + 5 ≤ f(x) ≤ x2 − x − 4 , x ∈ (2 , 6) . Να βρείτε τα όρια: α) lim x→3 f(x) β) lim x→3 f(x) − 2 x − 3 5.54 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x2 + x ≤ f(x) ≤ 12√x + 3 − 22 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 f(x) − f(1) x − 1 5.55 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − x + 2| ≤ x2 − 2x + 1 για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→1 f(x) 5.56 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |xf(x) − 2f(x) − x2 + 4| ≤ x2 − 4x + 4 , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x) 5.57 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f2(x) ± 4f(x) ≤ x2 − 4 , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.58 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) ≤ 2x2 f(x) , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x)
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 31 Ο όρος Τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό Μαθηματικό Bartholomaeus Pitiscus Εντούτοις η Τριγωνομετρία αναπτύχθηκε και ήταν μέρος των Μαθηματικών από την Αρχαιότητα. 5.59 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + συν2 x ≤ 2 f(x) για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.60 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 6 f(x) x + 3 ≤ x − 3 για x > −3 . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.61 Αν ισχύει 2√x + 2 ≤ f(x) ≤ x + 3 , x ≥ −2 , να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→−1 f(x) β) lim x→−1 f(x) − 2 x + 1 γ) lim x→−1 2f2(x) − 8 x2+ 3x + 2 5.62 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύουν : lim x→1 f(x) x − 1 = 2 , |g(x) − 1| ≤ |f(x)| για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 g(x) γ) lim x→1 f�g(x)� �g(x) − 1 Κ. Τριγωνομετρικά Όρια 5.63 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→0 ημ x x2 + x β) lim x→0 ημ x √x + 4 – 2 γ) lim x→0 ημ 3x x 5.64 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→0 x + ημ x 2x + 3ημ x β) lim x→0 x + ημ x 2x + ημ 5x γ) lim x→0 ημ 3x √7x + 9−3 5.65 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim x→0 �x ∙ ημ 1 x � β) lim x→0 �ημx ∙ συν 1 x � γ) lim x→0 �x2 ∙ συν 1 x � 5.66 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει ημ2 x ≤ f(x) + 2x συνx ≤ x2 για κάθε x ∈ ℝ. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) + 2x x2 5.67 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f2(x) − 2xf(x) ≤ ημ2 x − 2x ημx , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια: α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) x 5.68 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |x2 f(x) − ημ2 x| ≤ x4 . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.69 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 2x ∙ ημx ≤ 2x ∙ f(x) + ημ2 x . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.70 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→0 f(x) x = λ και f3(x) + f(x)ημ2 x = 2x2 ημx για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το λ . 5.71 Δίνεται η f ∶ ℝ → ℝ με lim x→0 f(x) x = λ και f3(x) + f2(x)ημx + x3 f(x) = 2x2 ημx , x ∈ ℝ . α) Να βρείτε το λ β) Να βρείτε το όριο lim x→0 f2(x) + xf(x) + x ημ x f2(x) + x2+ ημ 2x . 5.72 Αν ισχύει lim x→0 f(x) − 3 x = 4 , να βρείτε το lim x→0 f(x) και το lim x→0 f2(x) − 5f(x) + 6 2x + ημ x
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 32 5.73 Αν ισχύει lim x→0 f(x) x = 2 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) + f(2x) x β) lim x→0 x2f(x) + xf2(x) f3(x) + x3 γ) lim x→0 f(x) + συν x − 1 f(x) + ημ x 5.74 Αν ισχύει lim x→0 f(x) x = 1 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(2x) + f(3x) x β) lim x→0 xf(x) + x2 f2(x) + ημ 2x γ) lim x→0 f(x) + √x + 1 − 1 f(x) + εφx 5.75 Αν ισχύει lim x→0 f(x) x = 2 , να βρείτε τον α ≠ 0, αν ισχύει lim x→0 xf(2x) + f(x)∙ημα x 2x2− ημ 2x = 8 5.76 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f4(x) + 2006f(x) = 2x + 6 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f γ) Να βρείτε το όριο lim x→0 2f−1(x) + ημ x + 6 x 5.77 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim h→0 f(1+h) h = 2 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 �f2(x)−1� + f(x) − 1 f(x) γ) lim x→1 ημ f(x) − εφf(x) ημ f(x) + εφf(x)
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 33 6.1 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 x – 2 x2 β) lim x→2 2x − 7 |x − 2| γ) lim x→3 2x − 1 x2 − 6x + 9 Α. Εύρεση Ορίου α/0 6.2 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 x3− 5x − 1 4 − 4x + x2 β) lim x→−1 x2− 2x − 5 |x + 1| γ) lim x→0 2x − 3 x3− 2x2 6.3 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 1 x4+ x3− 2 x2 β) lim x→3 1 √x2− 6x + 9 γ) lim x→0 x − 1 x4+ x2 δ) lim x→−2 2x + 1 x2+ 4x + 4 6.4 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→5 x − 1 x3−10 x2+ 25x β) lim x→0 ημ x x3 γ) lim x→0 2x + 1 x6+ x2 6.5 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→4 x + 5 x − 4 β) lim x→3 4 x − 7 x2 − 9 γ) lim x→ −2 x + 5 x2 − 2x – 8 6.6 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 4x + 5 x2 − 4 β) lim x→5 3x + 1 x2 − 25 γ) lim x→ 2 x2+ x x − 2 6.7 Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε να ισχύει lim x→2 x − 3 x2 + λx + λ + 8 = −∞ Β. Εύρεση Παραμέτρων στην μορφή α/0 6.8 Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε να ισχύει lim x→2 x2− 3x x2 + κx + 4 = −∞ 6.9 Να βρείτε το lim x→1 f(x) ώστε να ισχύει lim x→1 2x − 1 f(x) = +∞ Γ. Χρήση Βοηθητικής Συνάρτησης στο α/0 6.10 Να βρείτε το lim x→1 f(x) ώστε να ισχύει lim x→1 f(x) − 2 x + 4 = +∞ 6.11 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 [ x2 f(x)] = 3. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 [ f(x)ημx ημ3x ] 6.12 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 x∙f(x) ημ x + x = +∞.Να βρείτε τα όρια: α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) ∙ ημ 1 f(x) γ) lim x→0 (συν 1 f(x) −1) ∙ f(x) δ) lim x→0 f2(x) ∙ ημ 1 f(x) ∙ (συν 1 f(x) −1) 6.13 Να βρείτε το lim x→2 f(x) ώστε να ισχύει : α) lim x→2 x − 3 f(x) = +∞ β) lim x→2 f(x) x + 1 = −∞ γ) lim x→2 [ (3x + 1) ∙ f(x)] = +∞ 6. Μη Πεπερασμένο Όριο στο 𝐱𝐱𝟎𝟎 ∈ ℝ
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 34 6.14 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) − 1 f(x) + 1 β) lim x→0 (f2(x) − f(x) + 1) γ) lim x→0 �f2(x) + 1 f(x) Δ. Το Τέχνασμα του Κοινού Παράγοντα 6.15 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την ο ποία ισχύει lim x→2 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 1 f(x) β) lim x→2 f2(x) − 3 f(x) f(x) + 2 γ) lim x→2 4f3(x) − 3f(x) + 1 2f 3(x) + 5f2(x) – 6 δ) lim x→2 f2(x) − 4f(x) + 3 f 3(x) − 2f2(x) + f(x) – 3 6.16 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 [ |x − 1|f(x) ] = 1 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) + 1 f2(x) + f(x) + 1 6.17 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 [ (x2 − 4x + 4)f(x) ] = −8 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) β) lim x→2 3f2(x) + f(x) + 4 5f3(x) + 1 6.18 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→3 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→3 1 f(x) β) lim x→3 f2(x) − 2 f(x) f(x) + 1 γ) lim x→2 3f4(x) − 2f2(x) + 3 5f 4(x) – 3f(x) + 1 δ) lim x→3 f2(x) − 2f(x) + 8 f 3(x) + 2f2(x) − 4f(x) + 1 ε) lim x→3 �3f2(x) − 5f(x) + 1 f(x) + 6 6.19 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) + 1 f(x) − 1 β) lim x→1 f2(x) − f(x) + 1 f2(x) + f(x) + 1 γ) lim x→1 (f2(x) − f(x) + 2) δ) lim x→1 �f2(x)+ f(x) + 1 f(x) 6.20 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 f(x) = +∞ . . Να βρείτε το όριο lim x→2 x2 − 4 |3 − x f(x)| − |2 f(x) − 3| Ε. Όριο με Απόλυτες Τιμές στο α/0 6.21 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x2 f(x) ≥ x + 3 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 [ ( f(x) − 2010 ) ημ 1 f(x) ] Ζ. Όριο α/0 και Διάταξη 6.22 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x2 − 4x + 4) f(x) ≥ x − 3 , ∀x ≠ 2 . Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x)
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 35 7.1 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (4x3 − 2x2 + 5x − 3) β) lim x→+∞ (−2x3 + 5x − 1) γ) lim x→−∞ (2x5 + 3x2 − 1) δ) lim x→−∞ (3x2 − 5x + 7) Α. Όριο Πολυωνυμικής Συνάρτησης 7.2 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (3x2 − x + 2) β) lim x→+∞ (−x4 + 4x2 − 2017) γ) lim x→−∞ (−4x3 + 2x2 + x − 4) δ) lim x→−∞ (−2x2 + x + 3) 7.3 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 6 x3 − 5x2+ 7x − 4 2x2 − 3x + 5 β) lim x→−∞ 4x5 − 5x2 + 2x − 6 2x3 + 5x2 − x − 6 γ) lim x→−∞ −3x6 + 4x2 − 5x −3 −6x3 + 2x2 + 7x + 4 Β. Όριο Ρητής Συνάρτησης 7.4 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ x3 + 2x2+ 3x − 5 2x3 + x + 2017 β) lim x→−∞ 4x5 − x2 + 3x − 1 2x8 + 5x2 − 2 x + 6 γ) lim x→+∞ 4x2 − 5x −3 x5 + 2x2 + 3x + 1 7.5 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ ( 2x2 x − 1 + 3x x + 1 ) β) lim x→−∞ ( x3 x − 2 + x2 x + 3 ) 7.6 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ |3x2 − 5x + 6| β) lim x→−∞ |2x3 − 3x2 + 6x − 1| γ) lim x→+∞ |−5x2 + 6x − 1| Γ. Όριο με Απόλυτες Τιμές 7.7 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ �x2− 5x + 4� − 6x2 |x3− 3x2 + 5| − x3 β) lim x→−∞ �x3 + 4x2 − 3x + 5�+ x3 |x2 − 2x −3|− x2 7.8 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (|x3 − x2 + 2| − |x3 + x2 + 4|) β) lim x→−∞ �x5− x2+ 1� − �x5− x� x2+ x + 1 7.9 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ (|x2017 − x2 + 3x − 4|) β) lim x→+∞ �x2017 − x3� – x ∙ �x2016 − x2− 1� + 1 x − 1 7.10 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ √x2 − 3x + 2 β) lim x→−∞ √3x2 − 5x + 2 γ) lim x→+∞ 3x − 2 √4 x2 + 7 Δ. Όριο Άρρητης Συνάρτησης 7.11 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 3 √x2+ 5 β) lim x→+∞ � 16x2+ 3 9x2− 2x + 1 γ) lim x→+∞ √4x2 − x − 5 3 7. Όριο Συνάρτησης στο Άπειρο
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 36 7.12 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (√4x2 − 3x + 2 + x) β) lim x→−∞ �√x2 + 4 − 2x� γ) lim x→−∞ �√9x2 − 4x + 5 − 3x� 7.13 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 2 √x2+ 3 + x β) lim x→+∞ �√x2 + 3 + √4x2 − 2� γ) lim x→−∞ 3x + 5 √x2+ 3− 2 x 7.14 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ � 3x − √9x2 + 1 � β) lim x→+∞ ( √4x2 + x + 1 − 2x + 1 ) 7.15 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ � 2x + √4x2 + 3x − 1 � β) lim x→+∞ ( √4x2 + 2x + 3 − √4x2 + x + 2 ) 7.16 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 3x + 3∙2x 3x − 2x β) lim x→−∞ 3x+1 + 5∙ ex 2∙ 3x − ex γ) lim x→+∞ 4∙ 5x+2 + 5∙ 3x+1 2∙5x+1 − 3x+2 δ) lim x→+∞ 5∙ex + 22x 2∙ex+1 − 22x+3 Ε. Όριο Εκθετικής Συνάρτησης 7.17 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ ex2 β) lim x→−∞ ex3− x γ) lim x→0 e 1 x2 δ) lim x→+∞ (e3x − 4e2x + 5ex − 3) 7.18 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 3 x3− 5x + 3 x − 4 β) lim x→−∞ e x2+ 5x x + 2 γ) lim x→−∞ e √x2+ 3+ x 7.19 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ ln(2x + 3) β) lim x→−∞ ln(x2 + 3) γ) lim x→+∞ (ex + 2) δ) lim x→+∞ �x + √x2 + 2� Ζ. Όριο Λογαριθμικής Συνάρτησης 7.20 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 (2ln2 x − 3lnx + 5) β) lim x→0 lnx x2 γ) lim x→+∞ ln2x − lnx + 5 2 ln2x + 3 lnx + 5 7.21 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 8 ln2x − 4 lnx + 5 2 ln2x + 5 lnx − 2 β) lim x→0+ 9 ln3x − 4 ln2x + 8 3 ln2x + 5 lnx + 7 γ) lim x→0+ 3lnx +2 4 ln3x + ln2x + 1 7.22 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ [ln(x3 + 2x) − ln(x2 − 1)] β) lim x→+∞ [ln(x + 2) − ln(x2 + 3x)] 7.23 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ [2 ln(x2 + 1) − ln(x2 − 3x)] β) lim x→+∞ [ln(3x + 5x) − x] 7.24 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ [ln(x4 + 5) − ln(x2 + 3)] β) lim x→+∞ [ln(ex + 2) − 3x] 7.25 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ �lnx − √x2 + 2x + 3 � β) lim x→+∞ [ln(ex+2 + 3) − x − 2] 7.26 Δίνεται η f(x) = ln(2x − 4x) − e 2 − x3 x2+ x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το όριο lim x→−∞ f(x)
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 37 7.27 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (x + 2ημx) β) lim x→+∞ x ημ x x2 + 3 γ) lim x→+∞ x + 2ημ x x + ημ x Η. Τριγωνομετρικά Όρια στο Άπειρο 7.28 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ x − ημ x x β) lim x→+∞ 4x −3 ημ x 5x + 3 γ) lim x→+∞ 4x + 3 ημ x 5x − 3 συν x δ) lim x→+∞ x ημ x x2 − 5x + 3 ε) lim x→+∞ [�√x2 + 2 − x�ημ4x] 7.29 Να βρεθούν τα όρια α) lim x→+∞ x2 ημ 1 x 2x + 3 β) lim x→+∞ ( x2 + 4x − 3 x + 2 ∙ ημ 1 x ) γ) lim x→+∞ [�√4x2 + 2 − √x2 + x �ημ 1 x ] 7.30 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ 3 2x − 3 ημ x 2x + συν x β) lim x→+∞ [ln(x2 + συνx) − lnx] 7.31 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 + x . Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ f(x) ∙ ημ 1 f(x) γ) lim x→+∞ �f(x) − f(x) ∙ συν 1 f(x) � δ) lim x→+∞ f2(x) ∙ �1 − συν 1 f(x) � ∙ ημ 1 f(x) 7.32 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 − x . Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→−∞ f(x) β) lim x→−∞ f(x) ∙ ημ 1 f(x) γ) lim x→−∞ �ημf(x) ∙ ημ 1 f(x) � 7.33 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με : 6x3 − 5x2 + 2 ≤ f(x) ≤ 6x3 + 2x2 + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→−∞ f(x) x2 +3x − 5 γ) lim x→−∞ f(x) 2x3 – x + 25 δ) lim x→+∞ f(x) x4 − 2x3 + x Θ. Κριτήριο Παρεμβολής στο Άπειρο 7.34 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |(x2 + 1)f(x) − x| ≤ 1, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f(x) 7.35 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |f(x) + x| ≤ e − 1 x2 , ∀ x ≠ 0 Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 7.36 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |(x3 + 1)f(x) − 2x3| ≤ x2 + 1, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια: α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ � f(x) x ∙ ημx� 7.37 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ x f(x) − √x2+ x + 2 2x + 1 = 3 . Να βρείτε το lim x→+∞ f(x) Ι. Με Χρήση Βοηθητικής Συνάρτησης 7.38 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ xf(x) − ημ x x + 1 = 3 . Να βρείτε το lim x→+∞ f(x) 7.39 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ [f(x) − 3x] = −2 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ f(x) x γ) lim x→+∞ x f(x) + x2 + 1 x f(x)− 3 x2 + 2
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 38 7.40 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ [f(x) − 4x] = 3 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ f(x) x γ) lim x→+∞ 2 f(x) + 7x x f(x) − 4 x2 + 2x + 1 7.41 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→+∞ � x2+3 x−2 + αx + β� = 5 7.42 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→−∞ � 2x3+ 1 x2+ 2 − αx − β� = 0 Κ. Προσδιορισμός Παραμέτρων 7.43 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→−∞ �√4x2 + 8x − 5 + αx + β� = −5 7.44 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→−∞ �√x2 + 6x + αx + β� = 2 7.45 Έστω η συνάρτηση f : (−∞, 0) → ℝ για την οποία ισχύουν: lim x→−∞ f(x) x = 2 και lim x→−∞ [f(x) − 2x] = 3. Να βρείτε το λ ∈ ℝ∗ ώστε να ισχύει lim x→−∞ 2 f(x) + λ x −1 x f(x) − 2x2 + 1 = 1 7.46 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ∈ ℝ, να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ [(α − 2)x3 + (1 − α)x2 − 2x + 3] β) lim x→+∞ [(α − 1)x3 − 2αx2 + 3x − 1] 7.47 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ∈ ℝ να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ (α−2)x2+ 2x + 3 αx + 1 β) lim x→+∞ (α−1)x2− 2x + 1 2αx + 1 7.48 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ∈ ℝ να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ (2α+3)x3− 3x + 1 (α−2)x2+ 2 β) lim x→+∞ (2−α)x3+ x2+ 3 αx2− 3x + 5 7.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + x + 1 − α ∙ x , x ∈ ℝ. Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f(x) για τις διάφορες τιμές του α ∈ ℝ 7.50 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx + 3− 3x + 5 αx + 3x − 8 , α > 0 . Να βρείτε τις τιμές του α αν ισχύει lim x→+∞ f(x) = 64
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 39 Guillaume Francois Antoine μαρκήσιος του de L’ Hospital (1661-1704) Γάλλος Μαθηματικός 8.1 Να βρεθούν τα όρια: α) lim x→0 ex − 1 x β) lim x→1 lnx x − 1 γ) lim x→0 3x +5 ημ x 2x − ημ x δ) lim x→1 x − ex−1 x – lnx − 1 Α. Απροσδιόριστη Μορφή 0/0 , ∞/∞ 8.2 Να βρεθούν τα όρια: α) lim x→1 ex − e lnx β) lim x→0 √x+1 − 1 x γ) lim x→0 ex − x − 1 x2 δ) lim x→0 ημ x − x x2 8.3 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ lnx ex β) lim x→+∞ x2 ex γ) lim x→0+ lnx e 1 x δ) lim x→+∞ 4x2 + lnx x2 + 2lnx 8.4 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ x2+ x + 1 ex β) lim x→+∞ ln(x2+ 1) 2x γ) lim x→+∞ lnx x2+ x + 1 δ) lim x→+∞ ln(1+ex ) x 8.5 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→−∞ (x ex) β) lim x→0+ �x ∙ e 1 x� Β. Απροσδιόριστη Μορφή 𝟎𝟎 ∙ (±∞) 8.6 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→0 (x2 ∙ lnx) β) lim x→0 �√x ∙ lnx� 8.7 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (x ∙ e − x) β) lim x→1+ �(x − 1) ∙ ln 1 x − 1 � 8.8 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ �x ln �1 + 1 x �� β) lim x→+∞ [e1−2x(x2 − 5x + 2)] 8.9 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (x − lnx) β) lim x→+∞ (ex − x) Γ. Απροσδιόριστη Μορφή (∞ − ∞) 8.10 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (ex − lnx) β) lim x→+∞ (x2 + x − ex) 8.11 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (ln(1 + x) − x) β) lim x→−∞ ( x − e − x) 8.12 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→1+ � x x − 1 − 1 lnx � β) lim x→0+ � 1 x − 1 ημ x � 8.13 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→1+ (x − 1)lnx β) lim x→0+ (ex − 1)x γ) lim x→1− x 1 1− x Δ. Απροσδιόριστη Μορφή 𝟎𝟎𝟎𝟎 , 𝟏𝟏±∞ , ±∞𝟎𝟎 8.14 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→0 x2x β) lim x→+∞ (x2 + 1) 1 x 8. Κανόνας του De L’ Hospital
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 40 9.1 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x2 − x √x2 + 3 − 2 , x ≠ 1 2 , x = 1 είναι συνεχής στο 1 . Α. Εξέταση Συνέχειας Συνάρτησης 9.2 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x ημ 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . 9.3 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x2 + x − 2 x − 1 , x < 1 3x + lnx , x ≥ 1 είναι συνεχής . 9.4 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x2 − 1 x − 1 , x ≤ 0 ημ 2x x , x > 0 είναι συνεχής . 9.5 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ημ x 2x , x < 0 1 2 , x = 0 √x + 1 − 1 x , x > 0 είναι συνεχής στο 0 9.6 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � xlnx , x > 0 0 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . (ΘΕΜΑ 2008) 9.7 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � ex − 1 x , x ≠ 0 1 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . (ΘΕΜΑ 2014) 9.8 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � e lnx x , x > 0 0 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . (ΘΕΜΑ 2014 E) 9.9 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � lnx x + 1 , 0 < x < 1 1 , x = 1 lnx x – 1 , x > 1 είναι συνεχής στο (0, +∞) (ΘΕΜΑ 2016 E) 9.10 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = � √x4 3 , x ∈ [−1 , 0) ex ∙ ημx , x ∈ [0 , π] είναι συνεχής στο [1 , π] (ΘΕΜΑ 2017 ) 9.11 Να βρεθεί το α ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � 2 x2 – x − 1 x − 1 , x ≠ 1 α , x = 1 Β. Εύρεση Παραμέτρων 9.12 Να βρεθεί το α ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � √x2+1 − 1 x , x ≠ 0 α2 − 1 , x = 0 9.13 Να βρεθούν τα α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής με f(x) = � α x2+ β x − 1 x − 1 , x ≠ 1 2 , x = 1 9.14 Να βρεθούν τα α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής με f(x) = � α x2+2β x − 6 x − 2 , x > 2 αx + 3β , x ≤ 2 9. Συνέχεια Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 41 9.15 Να βρεθεί το κ ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � lnx x2 −2lnx , x > 0 κ , x = 0 (ΘΕΜΑ 2008 E) 9.16 Να βρεθεί το α ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � α ∙ ημ (x−1) x − 1 , x < 1 α2 + x − 1 , x ≥ 1 9.17 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � x2 − αx + 6 , x < 1 αx + β , 1 ≤ x ≤ 3 x2 − 4x + 3 √x − 2 − 1 , x > 3 9.18 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει lim x→1 f(x) − 2 x − 1 = 3 . Να βρείτε το f(1) . Γ. Συνέχεια − Βοηθητική Συνάρτηση 9.19 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και ισχύει lim x→0 x f(x) − ημ 3x x2 + x = 2 . Να βρείτε το f(0) . 9.20 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει lim x→0 f(x) − e2x + 1 ημ 2x = 5. Να βρείτε το f(0) . 9.21 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 ημ x − xf(x) ημ x + x = 2 . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Α(0 , −3) , να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 . 9.22 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x2 f(x) = ημx ∙ ημ3x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(0) . Δ. Εύρεση Τιμής Συνάρτησης 9.23 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) = √x2 + 5 + 2f(x) − 3, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(2) . 9.24 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) ≤ x2 + x + ημx , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(0). 9.25 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2) f(x) ≤ x3 − 6x + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(2). 9.26 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |xf(x) − ημx| ≤ x2 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(0). 9.27 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2)f(x) = 5x2 + 3x − 26, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(2) . 9.28 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει lim x→3 7f(x) − 5 2f(x) − 3 = 4 . Να βρείτε το f(3) . 9.29 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) = ημ3x + √x2 + x + 1 − 1 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . Ε. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης 9.30 Να βρείτε συνεχή συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ στο x0 = 1 , για την οποία ισχύει : x f(x) + 2 = f(x) + √x2 + 3 , ∀x ∈ ℝ . 9.31 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − 2| ≤ √ex − x − 1 . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 . Ζ. Συνέχεια − Κριτήριο Παρεμβολής 9.32 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − 3x + 2| ≤ x2 , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 . 9.33 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + 6f(x) + 9συν2 x ≤ 0, ∀x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 42 Continuous function η συνεχής συνάρτηση στα Αγγλικά 9.34 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4xf(x) ≤ −3x2 − 2x + 1 , ∀x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 1 . β) Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f(x) x2 9.35 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + f(x) = x , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 0 . 9.36 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) = x , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 0 . 9.37 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + f(x) + 1 = ex , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 0 9.38 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − f(y)| ≤ α ∙ |x − y| , α > 0 , ∀x , y ∈ ℝ Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ℝ .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 43 10.1 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x − 5 |x − 2| β) f(x) = lnx x Α. Κατακόρυφη Ασύμπτωτη 10.2 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = ex 1 − x β) f(x) = lnx 1 + lnx 10.3 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = lnx β) f(x) = ln(x − 3) γ) f(x) = e 1 x 10.4 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = � �|x| , x ≤ 0 x + 1 x , x > 0 10.5 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της f(x) = � lnx x + 1 , 0 < x < 1 1 , x = 1 lnx x – 1 , x > 1 (ΘΕΜΑ 2016 Ε) 10.6 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = � x2 , x ≤ 0 e 1 x ∙ ημx x , x > 0 10.7 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 5 x2 − 3x + 4 x2 + 3 β) f(x) = √x2 − x + 2 x − 3 Β. Οριζόντια Ασύμπτωτη 10.8 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 3 x2 x2 + 1 β) f(x) = 2x √x2+ 3 10.9 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 5 x2 − 3x + 4 x2 + 3 β) f(x) = √x2 − x + 2 x − 3 10.10 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = ex − 1 ex + 1 β) f(x) = lnx − 1 lnx + 1 10.11 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης φ(x) = ex ex + 1 ( ΘΕΜΑ 2017 ) 10.12 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 5ex − 6 ex + 3 10.13 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x ∙ ex β) f(x) = (x2 − x) ∙ ex 10.14 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = ln x − 1 x − 2 β) f(x) = 1 + ημ x x 10.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex ημx + 2015 . Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο − ∞ και να δείξετε ότι η Cf τέμνει την παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία. 10.16 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = � 2x x + 1 , x < −1 1 x2+ 1 , x ≥ −1 10. Ασύμπτωτες Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 44 Asymptote η ασύμπτωτη στα Αγγλικά 10.17 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 x2 − 7x + 2 x − 3 . Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = 3x + 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ Γ. Πλάγια Ασύμπτωτη 10.18 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 2 x2 − 3x + 1 x + 1 β) f(x) = 2 x3 + 3x2 − 5 x2 – x + 1 10.19 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = √9x2 + 8x + 5 10.20 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x2 − 6x + 3 x − 3 β) f(x) = x2 − 4 |x| 10.21 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x ∙ e 1 x β) f(x) = x ∙ ln �e + 1 x � 10.22 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x − 1 + 2 x − 3 10.23 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 3x − 5 + 7 ex + x2 10.24 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 2x − 3 + lnx x 10.25 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 3x + ημ x x 10.26 Να εξετάσετε αν έχει πλάγια ασύμπτωτη μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει : 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x3+ 3x2+ 1 x2 10.27 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2 + 5x − 2 x − 1 Δ. Εύρεση Ασύμπτωτων 10.28 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2− 1 x 10.29 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x lnx 10.30 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = √x2+ 1 2x 10.31 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = (x + 2) ∙ e 1 x 10.32 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = (x − 2)lnx + x − 3 (ΘΕΜΑ 2010) 10.33 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2 − 2 lnx (ΘΕΜΑ 2008) 10.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − ln(ex + 1) .Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ και την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο −∞ (ΘΕΜΑ 2014) 10.35 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2 x2+ 1 (ΘΕΜΑ 2016) 10.36 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 3x2 ex
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 45 10.37 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ x f(x) − 2 x2 √4 x2 + x + 1 = −3. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ Ε. Ασύμπτωτες και Βοηθητική Συνάρτηση 10.38 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ [x f(x) − x2 + 3x] = 4 . Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ 10.39 Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει 3x + ημ x x ≤ f(x) ≤ 3x + 1 x , για κάθε x > 0 . Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf Ζ. Ασύμπτωτες και Κριτήριο Παρεμβολής 10.40 Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει 2x2 − 1 ≤ x f(x) ≤ 2x2 − ημx , x > 0 . Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf 10.41 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + 1 x − 2 να έχει ασύμπτωτη στο −∞ την ευθεία y = 2x + 3 Η. Προσδιορισμός Παραμέτρων 10.42 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + 3 2x + 1 να έχει ασύμπτωτη στο −∞ την ευθεία y = 3x − 1 10.43 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx x − 2 να έχει ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y = 2x − 1 10.44 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = (α−1)x2 + (β−2)x − 2 x + 1 να έχει ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y = 3x − 7 10.45 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = (αx + β) ∙ ex 1 + ex να έχει ασύμπτωτη στο −∞ την ευθεία y = 2x − 1 10.46 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = βx2 − 2x − 1 x − 3 να έχει ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y = α x + 7 10.47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + x + 1 − μx , μ ∈ ℝ . Αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη την ευθεία y = λ στο +∞ , τότε να αποδείξετε ότι μ = 1 , λ = 1 2 10.48 Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = (α−1)x2 + βx + 5 3x + γ να έχει ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις x = −2 και y = 3 10.49 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει lim x→+∞ � 2 x2 − 5x + 1 x − 1 − αx − β� = 0 10.50 Η ευθεία y = 4x + 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ x2f(x) − 4 x3 x f(x) − 2015 β) lim x→+∞ f(x) (x + 1) − 4x2 3x − 2015 Θ. Ασύμπτωτες και Όρια 10.51 Η ευθεία y = 2x + 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (x3 f(x) − 2x4 + 4x3 + 5) β) lim x→+∞ x2f(x)+ 3x3+ 1 x3f(x)− 2x4+ 4x3+ 5 10.52 Η ευθεία y = 2x + 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ x∙f(x) + f2(x) x2+ ημ 2x β) lim x→+∞ ��√x2 + 1 − x� ∙ f(x)� γ) lim x→+∞ �f2(x) − 2xf(x) ∙ ημ 1 x �
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 46 10.53 Η ευθεία y = 2x − 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε το όριο : lim x→+∞ 6 x f(x) + x ημ x x2 f(x) − 2x3 + 2015 10.54 Η ευθεία y = 4x + 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε το όριο : lim x→+∞ f(x)− 8x + ημ x f(x)+xf(x)− 4x2− 3x + 3 10.55 Η ευθεία y = 2018x + 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε το όριο : lim x→+∞ x2 f(x) + x3+ 1 x3 f(x) − 2018x4 − 5 10.56 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 2 + x2 ex α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x + 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ β) Να βρείτε τα όρια : β1) lim x→+∞ f(x) x β2) lim x→+∞ (f(x) − x) β3) lim x→+∞ �f(x) − √x2 + 1� 10.57 Η ευθεία y = 2x + 5 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ισχύει lim x→+∞ μ f(x) + 4x x f(x) − 2x2 + 3x = 1 10.58 Η ευθεία y = 3x − 5 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ισχύει lim x→+∞ (μ2−1)f(x) − 5μx + 7 xf(x) − 3x2 + (μ+2)x − 3 = 1 10.59 Η ευθεία y = 2x − 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ αν ισχύει lim x→+∞ λf(x) + 201 7 xf(x) − 2x2 + 7x = 1 10.60 Η ευθεία y = 3x − 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ισχύει lim x→+∞ (μ−3)f(x) + √9 x2 − 16x + x x f(x) − 3x2 + ημ 4x = 2 10.61 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f(x) − g(x) = x − 4 , x ∈ ℝ . Αν η ευθεία y = 3x − 7 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ τότε : α) Να βρείτε τα όρια lim x→+∞ g(x) x και lim x→+∞ g(x) + 5x + ημ 2x x f(x) − 3x2 + 1 β) Να δείξετε ότι η ευθεία y = 2x − 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο +∞ 10.62 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f(x) − g(x) = x − 2 , x ∈ ℝ . Αν η ευθεία y = 2x + 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ τότε : α) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο +∞ β) Να βρείτε τα όρια lim x→+∞ g(x) x και lim x→+∞ g(x) + 2x + lnx x f(x) − 2x2 + ημ x
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 47 Ο Bernand Bolzano(1781-1848) ήταν Βοημός μαθηματικός, φιλόσοφος και καθολικός ιερέας. Το ομώνυμο θεώρημα το απέδειξε το 1817 . 11.1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x5 − 3x = 2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 2) Α. Τουλάχιστον μια Ρίζα Εξίσωσης 11.2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5x5 = 2ex − 1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex = xex + x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x x + 1 + 3x x − 2 = 2018 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (−1 , 2) 11.5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex x − 1 + lnx x − 2 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 11.6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex2 x − 2 + x2 x − 1 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 11.7 Έστω f , g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο ℝ και τέτοιες, ώστε f(1) ∙ g(2) > 0 . Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x) x − 2 + f(x) x − 1 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 11.8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) και Β(3 , 2). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 3x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 3) . 11.9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 4 − 2x x2− 2x + 3 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 2) . 11.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � −x2 + 4x − 3 , x ≤ 2 2x − 3 , x > 2 . Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [0 , 4] και να βρείτε το ξ ∈ (0 , 4) ∶ f(ξ) = 0 11.11 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x4 − 20x3 = 25x2 + x − 1 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (−1 , 1) . Β. Τουλάχιστον Δύο Ρίζες Εξίσωσης 11.12 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 = 6x2 − 1 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (−1 , 1) . 11.13 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x ∙ ex2− 4 = 1 − x2 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (−2 , 2) . 11.14 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3συνx = x + 2 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (− π 2 , π 2 ) . 11.15 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex x − 1 + x2 + 1 x − 2 + ημ x + 2 x − 3 = 0 έχει δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες 11.16 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (x − 2)(x − 3) + 4(x − 1)(x − 3) + 7(x − 1)(x − 2) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (1, 3) 11. Θεώρημα BOLZANO
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 48 11.17 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [2 , 6] → ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) + 1 x − 2 + 1 x − 4 + 1 x − 6 = 0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (2 , 6) . 11.18 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 + 3x + 1 = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (−1 , 0) . Γ. Μοναδική Ρίζα Εξίσωσης 11.19 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex + 5x = 5 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , 1) . 11.20 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2lnx − ee − x = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (1 , e) . 11.21 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2lnx + e ∙ x = 0 έχει μοναδική ρίζα στο ( 1 e , 1) 11.22 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση εφx + 4x = 1 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , π 4 ) 11.23 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση −2lnx + 3συνx = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , π) . 11.24 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη για την οποία ισχύει f2(2) + f2(3) − 2f(2) + 4f(3) + 5 = 0 α) Να βρείτε τις τιμές f(2) , f(3) . β) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο ℝ . 11.25 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 2 . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’ x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (0 , 1). Δ. Η 𝐂𝐂𝐟𝐟 Τέμνει τον Άξονα x’x 11.26 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2lnx + x − 2 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να αποδείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα μοναδικό σημείο με τετμημένη στο διάστημα (1 , e). 11.27 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 − 2x και g(x) = 15 − 5x . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο (2 , 3). Ε. Τουλάχιστον ένα κοινό σημείο 𝐂𝐂𝐟𝐟 , 𝐂𝐂𝐠𝐠 11.28 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = 1 x Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο ( 1 e , e). 11.29 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex−1 + x2 + 1 και g(x) = x2 + 2 − ex−1 . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο (0 , 1). 11.30 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1] ώστε να ισχύει 3x2 ≤ f(x) + x ≤ 3x , ∀x ∈ [0 , 1] . Να αποδείξετε ότι η Cf και η ευθεία ε ∶ 4x − y − 1 = 0 έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής στο (0 , 1) 11.31 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) και Β(4 , 2) . Να αποδείξετε ότι η Cf και η ευθεία ε ∶ x − y = 0 έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής 11.32 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [1 , 5] → ℝ της οποίας η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 3) και Β(5 , 2) . Να αποδείξετε ότι η Cf και η ευθεία ε ∶ y = x έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής 11.33 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι 1-1 και ισχύει f(0) ∙ f(2) < 2𝑓𝑓(0) . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f−1 , έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 49 11.34 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 2] → ℝ της οποίας η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισχύει lim x→2 f(x)− 1 ημ (x−2) = 16 α) Να αποδείξετε ότι η Cf και η γραφική παράσταση της g(x) = x3 − x − 2 τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο β) Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x)− 1 x2− 5x + 6 11.35 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x3 + 3x − 1 = 0 έχει ακριβώς μια θετική ρίζα . Ζ. Bolzano Χωρίς Διάστημα 11.36 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex − 1 x = 0 έχει ακριβώς μια θετική ρίζα . 11.37 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x = 3 + ημx έχει μια τουλάχιστον ρίζα . 11.38 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση lnx + 2 = e x έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα . 11.39 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (1 , e) ∶ x0 ∙ lnx0 + lnx0 = e Η. Θεωρητικές Ασκήσεις στο Bolzano 11.40 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ με f(α) ≠ f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α , β) τέτοιο ώστε f(ξ) = f(α) + 2f(β) 3 11.41 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ με f(α) ≠ f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (α , β) ∶ f(α) 3 + f(β) 2 = 5 6 f(x0) 11.42 Δίνεται συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ , συνεχής με f(α) = 2015β2 , f(β) = 2015α2 . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f(x0) = 2015 x0 2 . 11.43 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [1,5] → (1,3) Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (1 , 3) ∶ f(x0) = 3 x0 11.44 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1]. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0 , 3) και Β(1 , 2) τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0 , 1) ∶ f(x0) x0 = 3 11.45 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει 0 < f(x) < 4 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f2(x) − 4f(x) + 5x = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) . 11.46 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει 0 < f(x) < 2 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f2(x) + 2x = 2f(x) έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 2) . 11.47 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → (−1 , 0) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈ (0 , 1) : f2(ξ) + f(ξ) + ξ = 0 11.48 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ για την οποία ισχύει f2(α) + (f(β) − 1) ∙ f(α) + 1 = 0 . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο. 11.49 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ συνεχείς, με f(x) − g(x) = 2 x −2x , ∀ x > 0 . Αν ρ1 , ρ2 ρίζες της g με 0 < 𝜌𝜌1 < 1 < ρ2 τότε να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ1 , ρ2) 11.50 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ συνεχείς, για τις οποίες ισχύει αf(x) + βg(x) + γx = 0 , ∀x ∈ ℝ , α , β , γ ∈ ℝ∗ . Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία με τετμημένες ρ1 < 0 < ρ2 . Να αποδείξετε ότι και η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο.
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 50 11.51 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 4] → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο με τεταγμένη −2. Ισχύει: 4√x − 8 ≤ (x − 4)f(x) ≤ x − 4 , ∀x ∈ [0 , 4] . Να αποδείξετε ότι και η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο. 11.52 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) = 4x − 1 , για κάθε x ∈ ℝ Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα (0 , 1). 11.53 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f3(x) − 2f2(x) + 3f(x) = 2 − x3 για κάθε x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (−1 , 2) 11.54 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + βf2(x) + γf(x) = x3 − 2x2 + 6x − 1 για κάθε x ∈ ℝ , με β , γ ∈ ℝ με β2 < 3γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα (0 , 1). ( ΘΕΜΑ 2001 ) 11.55 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ για την οποία ισχύει : x2 + x − 2 + ημ(1 − x) ≤ (x − 1)f(x) ≤ x2 − 1 α) Να βρείτε την τιμή f(1) β) Να δείξετε ότι η εξίσωση (x + 2)f(x) = 7x + 1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.56 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει xf(x) + 2 = f(x) + √3x2 + 1 , ∀x ∈ ℝ Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ 4f(x0) = 7x0 . 11.57 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει x + 1 ≤ f(x) ≤ ex , ∀x ∈ ℝ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = e2 x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.58 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει x + 2 ≤ f(x) < ex + 2 , ∀x ∈ ℝ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = e3 x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.59 Δίνεται η συνεχής f ∶ (0 , +∞) → ℝ ώστε 2lnx − x < f(x) < ln2 x + x , ∀x > 0 Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = (e2 + 1)lnx − x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , e) 11.60 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ , γνησίως μονότονη και τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 3) και Β(3 , 2) . Θεωρούμε επίσης συνάρτηση g ∶ ℝ → ℝ ώστε g(x) = f(2x − f(x)) − x , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως φθίνουσες β) η εξίσωση f(x) + f−1(x) = 2x έχει μοναδική ρίζα στο (2 , 3) 11.61 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f στο [1 , 4] με f(1) + f(2) = f(3) + f(4), f(1) ≠ f(2) , f(3) ≠ f(4) Να δείξετε ότι : α) υπάρχει ξ∈ (1 , 2) ∶ f(ξ) = f(1) + f(2) 2 β) η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται 11.62 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1]. Αν ισχύει f(0) + f(1) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 1]. Θ. Θεώρημα Bolzano σε Κλειστό Διάστημα 11.63 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β]. Αν ισχύει f(α) + f(β) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [α , β]. 11.64 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1]. Αν ισχύει 3f(0) + 5f(1) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 1]. 11.65 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1]. Αν ισχύει 3f(0) + f(1) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 1]. 11.66 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β]. Αν ισχύει 7f(α) + 9f(β) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [α , β]. 11.67 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] με α , β ≠ 0 . Αν ισχύει e−α ∙ f(α) + e−β ∙ f(β) = 0 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [α , β].
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 51 11.68 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση 2f(x) = �f(0) + f(2)� ∙ x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 2]. 11.69 Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες και συνεχείς στο ℝ . Αν ισχύει f(α) + f(β) = g(α) + g(β) με α < β , να αποδείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής , με τετμημένη στο [α , β] . 11.70 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f(1) + f(2) = 7. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) + x2 = 4x , έχει τουλάχιστον μια λύση στο [1 , 2] 11.71 Δίνεται συνεχής f :[2 , 3] →[2 , 3] . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [2 , 3] ∶ f(ξ) = 6 ξ 11.72 Δίνεται συνεχής f :[0 , 1] →[0 , 3] . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [0 , 1] ∶ f(ξ) = ξ2 + 1 11.73 Δίνεται συνεχής f :[0 , 2] →[0 , 1] . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [0 , 2] ∶ f2(ξ) + ξ2 = 2f(ξ) + 3 11.74 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[0 , 4] → ℝ ώστε f(0) = f(4) . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [0 , 2] ∶ f(ξ) = f(ξ + 2) 11.75 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ℝ → ℝ ώστε f(1) = f(5) . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [1 , 3] ∶ f(ξ) = f(ξ + 2) 11.76 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει (x2 − 4x + 2)f(x) ≤ f(0) + f(4) . Να αποδείξετε ότι α) f(0) = f(4) β) ∃ ξ ∈ [0 , 2] ∶ f(ξ2) = ξ ∙ f(2ξ) 11.77 Έστω συνάρτηση f ∶ [−2 , 2] → ℝ συνεχής συνάρτηση ώστε 3(x2 − 1) + 2f2(x) = 9 , xϵ[−2 , 2] . Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (−2 , 2) Ι. Σταθερό Πρόσημο Συνάρτησης 11.78 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f(x) ≠ 0, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→−∞ f(1) x5 − 4x3 + 2x − 1 f(3)x2 − 5x + 3 11.79 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση x f(x) = (x2 − 4)ex έχει τουλάχιστον μια λύση στο (−2 , 2). 11.80 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [−1 , 2] → ℝ , f(x) ≠ 0 με x ∈ [−1 , 2] . α)Να δείξετε ότι η εξίσωση x3(1 − f(x)) = x2 + 2x έχει τουλάχιστον μια λύση στο (−1 , 2) β) Να βρείτε το lim x→−∞ f(0)x5 − 3x2 + 1 f(1)x2 − 2x + 5 11.81 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = ex + 1 , f(0) = √2 . 11.82 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = x2 + 1 , f(0) = 1 . 11.83 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [−3 , 3] → ℝ για την οποία ισχύει x2 + f2(x) = 9 , ∀x ∈ [−3 , 3] α) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0 β) Αν η Cf τέμνει τον άξονα y’y στο Μ(0 , 3) να βρείτε τον τύπο της f 11.84 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 2 x f(x) = 5 , ∀x ∈ ℝ . Αν η Cf διέρχεται από το Μ(2 , f(−1)) να βρείτε τον τύπο της f . 11.85 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4f(x) ∙ ημx = x2 + 4συν2 x , ∀x ∈ ℝ . Αν η Cf τέμνει τον άξονα y’y στο Μ(0 , 2) να βρείτε τον τύπο της f . 11.86 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν [f(x) + 2][f(x) − 2] = x2 , f(0) = 2 11.87 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία f(x)[f(x) − 2x] = e2x − x2 , f(0) = −1 . 11.88 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = 4xf(x) + 4 , f(0) = 1 . 11.89 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , +∞) → ℝ με f2(x) + xf(x) = 4 , f(3) = −4 . Να βρείτε την f
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 52 11.90 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) + 2f(x) = ημ2 x , f(0) = −2 . 11.91 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = 2xf(x) + 1 , f(0) = −2 . 11.92 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : ef(x) − 1 ef(x) = 2x , f(0) = 0 . 11.93 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : ef(x) − 4x − 4e−f(x) = 0 , f(0) = ln2 11.94 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) + 2f(x)ημx = x2 + συν2 x , με f(0) = 1 11.95 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4 ex + 1 = ex με f(0) = −3 . Να βρείτε : α) τον τύπο της f β) το όριο lim x→+∞ f(x) + 4 x + 2 3x + 4x 11.96 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4x = x2 + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε την f . 11.97 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει ln(f(x) − x) + ln(f(x) + x) = 0,∀x ∈ ℝ α)Να δείξετε ότι f(0) = 1 β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 11.98 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει: f2(x) = 1 , ∀x ∈ ℝ . 11.99 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει: f2(x) = e2x , ∀x ∈ ℝ . 11.100 Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες και συνεχείς στο ℝ με f(x) = (x2 − 5x + 6) ∙ g(x) για κάθε x ∈ [2 , 3] . Αν οι αριθμού 2 , 3 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 , να δείξετε ότι g(2) ∙ g(3) ≥ 0 11.101 Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων : α) f(x) = x3 + 5x − 1 , x ∈ [1 , 2] β) f(x) = −x5 − 3x + 2 , x ∈ [0 , 2] Κ. Σύνολο Τιμών Συνάρτησης 11.102 βρεθούν τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων : α) f(x) = x3 + x − 10 , x ∈ (−∞ , 1] β) f(x) = lnx + 2ex , x ∈ (0 , 1] 11.103 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 21 − x + 1 x , x ∈ [1 , 2] . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . 11.104 Δίνεται η f(x) = √x − 1 − √5 − x . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . 11.105 Δίνεται η f(x) = √4 − x − √2 + x . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . 11.106 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 1 x − lnx , 0 < x ≤ 1 ex−1 + lnx , x > 1 α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 11.107 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln � x + 1 2 − x � . Να βρείτε : α) το σύνολο τιμών της f β) τις ασύμπτωτες της Cf 11.108 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ η οποία είναι συνεχής , γνησίως αύξουσα και ισχύει : x3 + x2 + 2 ≤ f(x) − x ≤ x3 + 2x2 + 2 , ∀x > 0 . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 11.109 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x − ln(9 − x) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση √x − ln(9 − x) = e έχει ακριβώς μια λύση . 11.110 Δίνεται η f(x) = 2 − lnx − ex , x ∈ (0 , 1] α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση lnx + ex = 2 έχει ακριβώς μια θετική λύση μικρότερη της μονάδας .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 53 11.111 Δίνεται η f(x) = e−x − lnx − √x − 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα ακριβώς σημείο . 11.112 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3√x + lnx . Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα ακριβώς σημείο . 11.113 Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 + ln(1 − ex) = ex έχει ακριβώς μια λύση 11.114 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + ex − 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα x0 ώστε να ισχύει lnx0 + ex0 = 1 . γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2016 έχει ακριβώς μια θετική ρίζα. 11.115 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − e− x . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ln x 2018 −e− x = 0 έχει ακριβώς μια λύση . 11.116 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , 1] → ℝ , f(x) = 1 x − lnx α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα x0 τέτοιο , ώστε 2x0lnx0 = 2 − 3x0 . 11.117 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (1 , +∞) → ℝ , f(x) = xlnx − 1 x α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς x0 : x0 x0 = e 1 x0 11.118 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (1 , +∞) → ℝ , f(x) = 1 lnx − x α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς x0 > 1 ∶ x0 x0 = e 11.119 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √1 − x − ex α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ��2 + √1 − x�e−x − 1� = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα . 11.120 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ με f(x) = 2 x +ln �e + 1 x � α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ > 0 τέτοιος , ώστε : � e∙ξ +1 ξ � ξ = ee∙ξ − 2 11.121 Δίνεται η f(x) = lnx + ex + x − 1 α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε το α ώστε να ισχύει eα2+4 − e4α = ln4α − ln(α2 + 4) + 4α − α2 − 4 11.122 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � ln(x − 1) + x2 , x ≥ 2 e2 − x − x3 + 11 , x < 2 α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 − f(α) x − 1 + 3 − f(β) x − 3 = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 3) , ∀α , β ∈ ℝ δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = λ , για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ 11.123 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ , f(x) = 4lnx − 1 x α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης . 11.124 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + 2) + ln(x − 2) − 3 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη . 11.125 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − ln(1 − ex) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2050 έχει μοναδική ρίζα γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης και τον τύπο της δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f−1 δεν έχουν κοινά σημεία .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 54 Intermediate Value Theorem το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών στα Αγγλικά 11.126 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x 1 + 3x α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη . γ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f−1 τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x0 ∈ (0 , 1) 11.127 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + ex − 3 + 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1 �x5 + ex − 3 + 245 + 1 e3� > 3 δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f�e3 − x(x5 + 10)� = 1 e4 11.128 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [2 , 5] → ℝ Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ [2 , 5] ∶ 10f(x0) = 7f(3) + 3f(4) . Λ. Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών και Θ.Μ.Ε.Τ. 11.129 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [0 , 2] → ℝ Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ [0 , 2] ∶ f(x0) = f(0) + 5f(1) + 4f(2) 10 11.130 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [0 , 3] → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ [0 , 3] : 10 ∙ f(x0) = f(0) + 2f(1) + 3f(2) + 4f(3) . 11.131 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [1 , 3] → ℝ Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ [1 , 3] ∶ f(x0) = 1 20 �4f � 1 4 � + 5f � 1 5 � + 11f � 1 11 �� 11.132 Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f ∶ [1 , 3] → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (1 , 3) ∶ 3f(x0) = f(1) + f(2) + f(3). 11.133 Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f ∶ [1 , 2] → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (1 , 2) ∶ 4f(x0) = f(1) + 3f(2).
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 55 Η έννοια της Παραγώγου σαν μια εφαπτόμενη ευθεία ήταν γνωστή στους Αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες όπως στον Ευκλείδη και Αρχιμήδη Η σύγχρονη ανάπτυξη του Διαφορικού Λογισμού πιστώνεται στους Ισαάκ Νεύτων(1643-1727) Γκόντφριντ Λάιμπνιτς(1646-1716) 12.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2 + x , x ≤ 2 −x2 + 9x − 8 , x > 2 . Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 Α. Εύρεση Παραγώγου με χρήση Ορισμού 12.2 Δίνεται η f(x) = � x2 + 3x , x < 0 2x + ημx , x ≥ 0 Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . 12.3 Δίνεται η f(x) = �√x + 3 − 4 , x ≥ 1 x2 − x − 2 , x < 1 . Να δείξετε ότι : α) η f είναι συνεχής στο 1 β) η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1 12.4 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = |x + 2| − 3x + 1. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο −2. 12.5 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = |x − 1| + 2x . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1. 12.6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = |x − 2| + 2x − 2. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 2. 12.7 Δίνεται η f(x) = x2 + 5|x − 3| + 4x − 1. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 12.8 Δίνεται η f(x) = �x e 1 x , x < 0 x − ημx , x ≥ 0 . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.9 Δίνεται η f(x) = � ημ2 x ∙ συν 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.10 Δίνεται η f(x) = � x2 ∙ συν 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 12.11 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � − 3 4 x + λ , x ≤ 1 x2 − 8x + 4 4x , x > 1 α) Να δείξετε ότι λ = 0 αν f συνεχής στο 1 β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1. 12.12 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(h + 2) = 3 ∙ συνh + h2 − h , ∀h ∈ ℝ . Να βρείτε τα f(2) , f ′(2) 12.13 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(h + 1) = h2 + 4h + 3 , ∀h ∈ ℝ . Να βρείτε τα f(1) , f ′(1) 12.14 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(h + 1) = 2ημh + (h − 1)2 , ∀h ∈ ℝ . Να βρείτε τα f(1) , f ′(1) 12.15 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ημx − 3x2 ≤ f(x) ≤ ημx + 5x2 , ∀x ∈ ℝ . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. Β. Παράγωγος και Κριτήριο Παρεμβολής 12. Η Έννοια της Παραγώγου
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 56 12.16 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ημx − x2 ≤ f(x) ≤ ημx + x2 , ∀x ∈ ℝ . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.17 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει συνx − x2 ≤ f(x) + 1 ≤ συνx + x2 , ∀x ∈ ℝ . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.18 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − ημx| ≤ √x2 + 4 − 2 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ότι f ′(0) =1 12.19 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f(x) ≤ g(x) ≤ f(x) + (x − e)3 , ∀x ∈ ℝ . Αν για την f ισχύει f ′(e) = 3 , να δείξετε ότι g ′(e) = 3 12.20 Δίνεται η f(x) = � α x3 + 1 , x ≤ 1 βx + 3 , x > 1 . Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 . Γ. Παράγωγος και Συνέχεια 12.21 Δίνεται η f(x) = � 2x2 + 5β , x ≤ 1 α + β√x , x > 1 . Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 . 12.22 Δίνεται η f(x) = � α + ημx , x ≤ 0 βx + √x2 + 4 , x > 0 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . 12.23 Δίνεται f(x) = � x2 − x + 1, x ≤ 0 α ∙ ημx + β ∙ συνx , x > 0 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . 12.24 Δίνεται η f(x) = � x2 + αx + β , x ≤ −2 3x2 + 5x − α , x > −2 . Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο −2 . 12.25 Δίνεται η f(x) = � α ∙ ex − x + 1 , x ≤ 0 x2 ∙ lnx + β , x > 0 α) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ , να δείξετε ότι α = 1 , β = 2 β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της Cf 12.26 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ παραγωγίσιμη στο 0 για την οποία ισχύει f3(x) + 8x ∙ ημxf(x) = x ∙ ημ2 3x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε : α) το f(0) β) το f ′(0) Δ. Παράγωγος και Όρια 12.27 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ παραγωγίσιμη στο 0 για την οποία ισχύει f(x) ∙ �x2 + f2(x)� = 2x3 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε : α) το f(0) β) το f ′(0) 12.28 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει lim x→1 f(x) − 2 x − 1 = 3 , να βρείτε τα f(1) , f ′(1) . 12.29 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2 και ισχύει lim x→2 f(x) + x2 x − 2 = 3 , να βρείτε τα f(2) , f ′(2) . 12.30 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει lim x→0 f(x) − e 2x + 1 ημ 2x = 5 α) Να βρείτε το f(0) β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . ( ΘΕΜΑ 2000 Ε ) 12.31 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 3 και ισχύει lim x→3 f(x) – 6x x2− 9 = 10 α) Να βρείτε το f(3) β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 3 γ) Να βρείτε το όριο lim x→3 f(x) – 2x2 4x2− 12x 12.32 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και ισχύει lim x→0 f(x) – 2x x2 = 1 α) Να βρείτε το f(0) β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 γ) Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) + x∙ημ x − 2x 1 −συν x
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 57 12.33 Έστω συνάρτηση f με f(1) = 2 , f ′(1) = −1 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f 2(x) − 2f(x) x2 + x − 2 β) lim x→1 f(x) − 2x x2 − x 12.34 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 f(x) − x x2 = 2005 α) Να αποδείξετε ότι f(0)=0 , f ′(0) = 1 β) Να βρείτε το λ ώστε lim x→0 x2 + λ(f(x))2 2x2 + (f(x))2 = 3 12.35 Έστω συνάρτηση f με f(2) = 3 , f ′(2) = 4. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) − 3 x2 − 2x β) lim x→2 f2(x) − 9 x2 − 4 γ) lim x→2 f(x) + 1 − x2 x − 2 δ) lim x→2 f(x) – √x + 7 x2 − 3x + 2 12.36 Δίνεται f: ℝ → ℝ με f(1) = 1 , f ′(1) = 1. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) − 1 x2 − 1 β) lim h→0 f2(1+h) − 1 h γ) lim h→0 (1+h)∙f(1+h) − 1 h δ) lim x→1 f2(x) – 3f(x) + 2 x2 − 3x + 2 12.37 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f ′(0) = 5 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(3x) − f(0) x β) lim x→0 f(3x) − f(x) x 12.38 Έστω συνάρτηση f με f ′(1) = 2. Να βρείτε το όριο : lim h→0 f(1+2h) − f(1−3h) h 12.39 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ, συνεχής στο 1 με lim h→0 f(1+h) − 2 h = 3 . Να βρείτε : α) το f ′(1) β) το όριο lim x→1 f(x) + x2− x − 2 x2 − 1 12.40 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ, συνεχής στο 1 με lim h→0 f(1+h) + 3 h = 5 . Να βρείτε : α) το f ′(1) β) το όριο lim x→1 2f(x) + x2+ x + 4 x2 − 1 12.41 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = ex + 2x3 − lnx β) f(x) = (x2 + 1)ex γ) f(x) = x2 x − 1 δ) f(x) = 3x2 − 2x ex Ε. Κανόνες Παραγώγισης 12.42 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = x2 ∙ lnx β) f(x) = (x − 4) ∙ lnx − 5 γ) f(x) = x2 ∙ συνx δ) f(x) = x ∙ 2x 12.43 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = x2 ex β) f(x) = lnx x γ) f(x) = ημ x x δ) f(x) = x x2+ 1 12.44 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (5x2 + 1)4 β) f(x) = ημ3 x − 3ln2 x γ) f(x) = √x2 + 2x + 3 δ) f(x) = e x2+ 3x ε) f(x) = συν(x2 − 2x + 1) ζ) f(x) = ln⁡ (3x2 − 4) 12.45 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (x − 3x2)4 β) f(x) = ex3 γ) f(x) = −2ln2 x δ) f(x) = συνex ε) f(x) = 4ημ3 x ζ) f(x) = 5x2−2x 12.46 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (ex − x)3 β) f(x) = √x − 3 − lnx γ) f(x) = e 1 x 12.47 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (x2 + x)x β) f(x) = �x + 1 x � x γ) f(x) = xlnx δ) f(x) = (x2 + 3)√x 12.48 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = √x2 3 β) f(x) = √x5 4 12.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � ημx , x ≤ 0 x2 + x , x > 0 Να βρείτε την παράγωγο της f . 12.50 Δίνεται η f(x) = � x2 − x , x ≤ 0 x3 + x , x > 0 . Να βρείτε την παράγωγο της f . 12.51 Δίνεται η f(x) = � x2 + 1 , x ≤ 0 συνx , x > 0 . Να βρείτε την παράγωγο της f .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 58 Differentiable function Παραγωγίσιμη συνάρτηση Derivative Παράγωγος στα Αγγλικά 12.52 Δίνεται η f(x) = � 2ημx + συνx , x ≤ 0 x2 + 2 x + 1 , x > 0 . Να βρείτε την παράγωγο της f 12.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � (x − 1)2 + lnx + 1 , 0 < 𝑥𝑥 < 1 x + (x − 1)3 , x ≥ 1 . Να βρείτε την παράγωγο της f 12.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + |x − 2| . Να βρείτε την παράγωγο της f . 12.55 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x ∙ (x2 − 2x) . Να λύσετε την εξίσωση f ′(x) = 0 12.56 Δίνεται η f(x) = e x ∙ (x2 − 2x + 3) . Να λύσετε την ανίσωση f ′(x) > 0 12.57 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x3 . Να βρείτε το όριο lim x→1 f(x) − f(1) x − 1 12.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x −2 ex . Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f ′ (x) f(x) 12.59 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + x . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την (f−1)′ (1) 12.60 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την (f−1)′ (3) 12.61 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + x + 2 . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης β) Να βρείτε την (f−1)′ (1) 12.62 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x − 8 . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης β) Να βρείτε την (f−1)′ (4) 12.63 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + 3f(x) = x − 2 , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την (f−1)′ (1) 12.64 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g : α) g(x) = f(2x3 + 7) β) g(x) = f(−3x) + f � 4 x � γ) g(x) = f3 �e−4x� 12.65 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g : α) g(x) = f(x2 + 3x + 1) β) g(x) = x2 ∙ f � 1 x � γ) g(x) = f2(ex − x) 12.66 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f(x2) + x ∙ f(x) = 4x2 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές f(1), f ′(1) 12.67 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x . Να δείξετε ότι x ∙ f ′′(x) + 2f ′(x) = xf(x) , x ≠ 0 . 12.68 Δίνεται η f(x) = ex ∙ (ημx + συνx). Να δείξετε ότι f ′′(x) − 2f ′(x) + 2f(x) = 0 . 12.69 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ e2x. Να δείξετε ότι f ′′(x) − 4f ′(x) + 4f(x) = 0 . 12.70 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 ∙ lnx . Να δείξετε ότι 2f(x) − x ∙ f ′(x) + x2 = 0 . 12.71 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = eλx . Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες ισχύει 2f′′ (x) − 3f(x) = f ′(x), ∀x ∈ ℝ .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 59 13.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 5x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . Α. Με γνωστό το Σημείο Επαφής 13.2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ ex . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(0, f(0)) . 13.4 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x + 3 x − 2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(3, f(3)) . 13.5 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(e, f(e)) . 13.6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex2− 5x + 4 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.7 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x2 + 1) . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1 , f(1)) . 13.8 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 16x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf στα σημεία τομής της με τον άξονα x’x 13.9 Δίνεται η f(x) = � x2 − x + 2 , x ≤ −2 2x2 + 3x + 6 , x > −2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(−2 , f(−2)) . 13.10 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει 3x − 2 ≤ f(x) ≤ 2x2 − 5x + 6 , ∀x ∈ ℝ .Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . 13.11 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) − 2x = 8x3 , ∀x ∈ ℝ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(0, f(0)) . 13.12 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f(e− x) = x2 − 2x + 4 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.13 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0 , +∞) → ℝ ώστε να ισχύει f(x3) + f(x) = 4lnx + 2 , x > 0 . α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) β) Να βρείτε το όριο lim x→1 f(x)− x x − 1 13.14 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (2 , +∞) → ℝ ώστε να ισχύει ef(x) + (x − 2)f(x) = x2 − 8.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(3, f(3)) 13.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 1 . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf −1 στο σημείο με τετμημένη 3 . 13.16 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 3x . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf −1 στο σημείο με τετμημένη 4 . 13.17 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία : 2f(x + 1) + 2f(1 − x) = συν2x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x η εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 13.18 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2 και ισχύει lim x→2 f(x) + x3 − 5 x − 2 = 7 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . 13. Εφαπτόμενες
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 60 13.19 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 f(x)− 2x + 1 x − 1 = 0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.20 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 f(x)− 2x + 3 x − 2 = 0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . 13.21 Δίνεται η f(x) = xlnx . Να βρείτε : α) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(e, f(e)) . β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες. 13.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 x . Να βρείτε : α) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες. 13.23 Δίνεται f: ℝ → ℝ με f(x + συνx) = ex + e2x α) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες. 13.24 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(4) = 1 και lim x→1 f(x) – 3x x − 1 = 2 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . β) Να δείξετε ότι η ευθεία y = x + 1 τέμνει την Cf σε σημείο x0 ∈ (1 , 4) 13.25 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − x . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο x0 ∈ (0 , 2) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α�x0 , f(x0)� να διέρχεται από το Μ(1 , 0) 13.26 Δίνεται η f(x) = −x2 + 3x + e−x2 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο x0 ∈ (0 , 1) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α�x0 , f(x0)� να διέρχεται από το Μ(0 , 2) 13.27 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f(x) = � x + ημx x , x ≠ 0 α , x = 0 α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(0, f(0)) γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ 13.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 6x + 11 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(1 , 6) . Β. Να διέρχεται από Γνωστό Σημείο 13.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(3 , 5) . 13.30 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 7 − 2x 3 − x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(3 , 0) . 13.31 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 1 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(0 , 2) . 13.32 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(−2 , 2) . 13.33 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 13.34 Δίνεται η f(x) = x3 − 2x2 + x + 2 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf οι οποίες είναι: α) παράλληλες στην ευθεία δ: 5x − y + 2 = 0 β) κάθετες στην ευθεία ζ: x + y = 0 Γ. Εφαπτομένη με Γνωστή Κλίση
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 61 13.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x + 1 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: x − 4y + 12 = 0 13.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ex + x2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: 2x − y + 1 = 0 13.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 1 + lnx x Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία δ: y = 2x 13.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων . 13.39 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4x − x ∙ lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι κάθετη προς την ευθεία δ: x + 3y + 5 = 0 13.40 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x2 − 10x + 5 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που σχηματίζουν με τον άξονα x’x γωνία 135° . 13.41 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − lnx . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που σχηματίζουν με τον άξονα x’x γωνία 45° . 13.42 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 12x + 2 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που είναι παράλληλες με τον άξονα x’x . 13.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + 6 . Η εφαπτομένη της Cf στο Μ(4 , f(4)) είναι κάθετη στην ευθεία δ: 2x + 6y − 2016 = 0. Να βρείτε α) την τιμή του α β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(3 , −1) Δ. Εύρεση Παραμέτρων στις Εφαπτομένες 13.44 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + βx + γ . Η εφαπτομένη της Cf στο Μ(−1 , 6) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ: 5x + y − 2016 = 0. Να βρείτε α) την τιμή των β , γ β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(4 , 5) 13.45 Δίνεται η f(x) = αx3 + βx2 − 9x − 12 . Η εφαπτομένη της Cf στο Κ(2 , −10) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ: y = −3x + 5. Να βρείτε: α) την τιμή των α , β β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που είναι παράλληλες στην ευθεία δ: 48x − 2y + 6 = 0. 13.46 Δίνεται η f(x) = αx3 + βx2 + 9x − 2 . Η εφαπτομένη της Cf στο Κ(2 , −10) είναι κάθετη στην ευθεία δ ∶ x − 3y + 1 = 0 . Να βρείτε την τιμή των α , β 13.47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + β . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(1 , f(1)) έχει εξίσωση ζ: y = 2x + 6. Να βρείτε την τιμή των α , β 13.48 Δίνεται η f(x) = x3 + αx2 + βx + 3 . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(2 , f(2)) έχει εξίσωση ζ: y = −3x − 1. Να βρείτε : α) την τιμή των α , β β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που είναι παράλληλες στην ευθεία δ: 12x − 2y + 2016 = 0. 13.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + β . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(−3 , f(−3)) έχει εξίσωση την ζ: y = −4x − 8. Να βρείτε : α) την τιμή των α , β β)τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(−1, −1) 13.50 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση στο Α(4 , f(4)) έχει εφαπτομένη την ευθεία y = x − 1. Να βρείτε το όριο lim x→4 f2(x ) − 9 √x − 2 . 13.51 Δίνεται η f(x) = x3 − x2 + αx + β . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(−1 , 6) σχηματίζει γωνία π 4 με τον άξονα x’x , να βρείτε τα α , β .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 62 Tangent line to a curve Εφαπτομένη ευθεία σε μια καμπύλη 13.52 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x2 − 7x + 7 και g(x) = x2 − 3x + 3. Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Ε. Κοινές Εφαπτομένες 13.53 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 − 3x + 4 και g(x) = 3(x2 − x). Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 13.54 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 4 x και g(x) = 6 − 2x2 . Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση 13.55 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = −2x2 + 3x και g(x) = 1 x . Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 13.56 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = αx2 + βx + 3 και g(x) = x2 − αx − β. Να βρείτε τα α , β ώστε οι Cf , Cg να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη x0 = 1 . 13.57 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 − x + α και g(x) = βx2 − 2αx + β. Να βρείτε τα α , β ώστε οι Cf , Cg να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη x0 = 1 13.58 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x ∙ lnx και g(x) = αx2 + βx + 1. Να βρείτε τα α , β ώστε οι Cf , Cg να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη x0 = 1 .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 63 14.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 1. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής : α) της f ως προς x στο σημείο 𝐱𝐱𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 β) του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο Μ�x , f(x)� ως προς x στο x0 = 2 14.2 Δίνεται η f(x) = 2x3 + αx2 + 8x − 9 . Να βρείτε τον αριθμό α αν ο αριθμός μεταβολής της f ως προς x , όταν x = 2 είναι 12 . 14.3 Η θέση x(t) ενός υλικού σημείου που κινείται πάνω σε άξονα , δίνεται από τη σχέση : x(t) = 2t3 − 12t2 + 18t − 5 , t ∈ [0 , 4] ο χρόνος σε s . Να βρείτε : α) την ταχύτητα και την επιτάχυνση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t=2 s β) ποιες χρονικές στιγμές το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο γ) σε ποια χρονικά διαστήματα το σημείο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και σε ποια προς την αρνητική δ) το ολικό διάστημα που διένυσε το σημείο κατά τα πρώτα 4 s 14.4 Η θέση x(t) ενός υλικού σημείου που κινείται πάνω σε άξονα , δίνεται από τη σχέση : x(t) = −t3 + 12t2 − 36t , t ο χρόνος σε s . Να βρείτε : α) την ταχύτητα και την επιτάχυνση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t = 1 s β) ποιες χρονικές στιγμές το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο γ) σε ποια χρονικά διαστήματα το σημείο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και σε ποια προς την αρνητική δ) το ολικό διάστημα που διένυσε το σημείο κατά τα πρώτα 7 s 14.5 Δίνονται τα σημεία Α(x , 4) , Β(−1 , x + 7) . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α και Β ως προς x , όταν x = 5 . 14.6 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει περίμετρο 14 cm και η πλευρά του ΑΒ έχει μήκος x cm. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ΑΒΓΔ ως προς x , όταν x = 5 . 14.7 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) , Α(2x , 0) , B(0 , ex ) , x > 0 . Αν το x αυξάνει με ρυθμό 2 cm/s , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου , όταν x = 1 cm . 14.8 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) , Α(x , 0) , B(0 , lnx) , x > 1 . Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 4 cm/s , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου , όταν x = e2 cm . 14.9 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) , Α(x , 0) , B(0 , xex ) , x > 0 . Αν το x αυξάνει με ρυθμό 1 cm/s , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου , όταν x = ln2 cm . 14.10 Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ=16 cm μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/s . Αν τη χρονική στιγμή t0 το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ απόσταση 6 cm , να βρείτε : α) τον ρυθμό μεταβολής των ίσων πλευρών β) τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ 14.11 Η πλευρά ενός τετραγώνου α(t) σε cm τη χρονική στιγμή t > 0 (σε s ) ενός τετραγώνου δίνεται από την σχέση α(t) = t2 + 2t + 3 . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τετραγώνου , τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 11 cm. 14.12 Το εμβαδό ενός τετραγώνου αυξάνεται με ρυθμό 24 cm2 /s τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 4 cm . Σε αυτή τη χρονική στιγμή , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της διαγωνίου του τετραγώνου 14.13 Το μήκος ενός ορθογωνίου αυξάνεται με ρυθμό 10 cm/min και το πλάτος του ελαττώνεται με ρυθμό 6 cm/min . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής : α) του εμβαδού του ορθογωνίου τη χρονική στιγμή t0 που το μήκος του είναι 4 cm και το πλάτος του είναι 2 cm β) της διαγωνίου του ορθογωνίου τη στιγμή που το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο εμβαδού 9 cm2 14. Ρυθμός Μεταβολής
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 64 14.14 Το μήκος ενός ορθογωνίου μειώνεται με ρυθμό 1 cm/s και το πλάτος του αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Κάποια χρονική στιγμή t0 το μήκος του είναι 8 cm και το πλάτος του 6 cm. Τη χρονική στιγμή t0 , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής : α) της περιμέτρου του ορθογωνίου β) του εμβαδού του ορθογωνίου γ) της διαγωνίου του ορθογωνίου 14.15 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = 2x2 + 1 έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με −1 14.16 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x ∙ ex έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με 1 14.17 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ln(x2 + 1) έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με 1 14.18 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ex έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 1 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με 0 14.19 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = 1 x , x > 0. Τη χρονική στιγμή t0 που το σημείο Μ περνάει από το σημείο (1 , 1) η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής : α) της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 β) της απόστασης του Μ από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή t0 14.20 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = 2 x , x > 0. Τη χρονική στιγμή t0 που το σημείο Μ περνάει από το σημείο (2 , 1) η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/s . Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής : α) της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 β) της απόστασης του Μ από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή t0 14.21 Ένα κινητό Κ κινείται πάνω στην καμπύλη με εξίσωση y = x3 + 2 6 α) Τη χρονική στιγμή που το κινητό βρίσκεται στο σημείο Α(−2 , −1) , η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 μον/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του κινητού τη χρονική στιγμή που διέρχεται από το σημείο Α . β) Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του κινητού είναι πάντα θετικός . Να βρείτε σε ποια σημεία της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης είναι οκταπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης . 14.22 Ένα κινητό Κ ξεκινά από την αρχή των αξόνων Ο και κινείται κατά μήκος της παραβολής y = x2 + 2x έτσι , ώστε η τετμημένη του x να αυξάνεται με ρυθμό 2 μον/s . Η προβολή του σημείου K πάνω στον άξονα x’x είναι το σημείο Α α) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΚ , όταν το σημείο Κ έχει τετμημένη ίση με 1 2 . β) Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y του Κ είναι ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του x ; 14.23 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x3 , x ≥ 0 , με x = x(t), y = y(t) . Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x(t) , αν υποτεθεί ότι x ′(t) > 0 , ∀t ≥ 0 . ( ΘΕΜΑ 2016 Ε )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 65 Rate of change Ρυθμός μεταβολής στα Αγγλικά 14.24 Ένα σημείο Μ ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 από ένα σημείο Α�x0 , f(x0)� με x0 < 0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 , με x = x(t), y = y(t), t ≥ 0 και f κυρτή συνάρτηση. Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του σημείου Μ είναι διπλάσιος από τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y(t),αν υποτεθεί ότι x′ (t) > 0 , ∀t ≥ 0 . ( ΘΕΜΑ 2014 ) 14.25 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = √x3 + 17 , x ≥ 0 . Όταν το σημείο βρίσκεται στην θέση (2 , 5) , η τεταγμένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του τη στιγμή που το σημείο βρίσκεται στην θέση (2 , 5) 14.26 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ex−1 + x ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 3 m/min . Αν τη χρονική στιγμή t0 η τεταγμένη του είναι ίση με 2 , τότε να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη στιγμή t0 14.27 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ex−1 + lnx , y ≥ 0 ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 2 m/min . Αν τη χρονική στιγμή t0 η τεταγμένη του είναι ίση με 1 , τότε να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη στιγμή t0
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 66 Ο Michel Rolle (1652-1719) ήταν Γάλλος Μαθηματικός. Το 1691 διατύπωσε το ομώνυμο θεώρημα. Το θεώρημά του είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού. 15.1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x3 = 4x + 1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (−1 , 0) . Α. Τουλάχιστον ένα 𝐱𝐱𝟎𝟎 ∈ (𝛂𝛂 , 𝛃𝛃) 15.2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x3 + 3x2 + 1 = 6x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 15.3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4αx3 + 2βx = α + β έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) . 15.4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2017x2016 − 2016(α + 1)x2015 + α = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) . 15.5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex − 3ex2 + 6x − 2 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 15.6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex − 3ex2 + 4x − 1 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 15.7 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) − f(0) = e . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) − 2x = ex έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0 , 1) . 15.8 Δίνεται f συνεχής στο [0 , 1] , παραγωγίσιμη στο (0 , 1). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = 2 ∙ �f(1) − f(0)� ∙ x έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0 , 1) 15.9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1,2] → ℝ ώστε να ισχύει f(1) = f(2) − 3 2 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = 1 + 1 x2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 15.10 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y’y στο 2 και τον άξονα x’x στο π 4 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συν2 x ∙ f ′(x) + √2συν3 x + 1 = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0 , π 4 ) . 15.11 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x ∙ f(x) + (x2 − 4) ∙ f ′(x) = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες . 15.12 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = 10 , f(3) = 12 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f ′(ξ) = 2ξ − 3 . 15.13 Δίνεται f συνεχής στο [0 , 2] , παραγωγίσιμη στο (0,2) με f(2) − f(0) = 6 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f ′(ξ) = 3ξ2 − ξ . 15.14 Δίνεται f συνεχής στο [0 , 1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) με f(1) − f(0) = 1 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ f ′(ξ) = 3ξ3−2ξ2+ ξ ξ 15.15 Δίνεται f συνεχής στο [1 , 2] , παραγωγίσιμη στο (1,2) με f(2) − f(1) = 3 − ln2. Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ (1 , 2) ∶ x0 ∙ f ′(x0) = 2x0 2 − 1 . 15.16 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0,4] → ℝ για την οποία ισχύει f(1) − f(4) = 14 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 4) ∶ 2�ξ ∙ f ′(ξ) = 1 − 4ξ�ξ . 15. Θεώρημα του Rolle
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 67 15.17 Δίνεται παραγωγίσιμη και άρτια συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (−2 , 2) ∶ f ′(ξ) = 2ξ ∙ eξ 2 15.18 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = f � π 2 � . Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ �0 , π 2 � ∶ f ′(x0) = x0 ∙ ημx0 − συν x0 . 15.19 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = e2 − e , f(2) = e2 2 Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ ξ2 ∙ f ′(ξ) + eξ ∙ ξ − eξ = 0 . 15.20 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0 , +∞) έτσι ώστε να ισχύει f(1) − f(e) = 1 e . Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ (1 , e) ∶ x0 2 ∙ f ′(x0) + 1 − lnx0 = 0 . 15.21 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1 , 2] → ℝ . Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 2) τέτοιο ώστε (ξ − 1) ∙ f ′(ξ) + f(ξ) = f(2) 15.22 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = 2x∙f(x) 1− x2 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ℝ 15.23 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f � π 2 � = 2 π Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ �0 , π 2 � : f ′(ξ) = συνξ − f(ξ) ξ 15.24 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο με τετμημένη 1 . Να δείξετε ότι η εξίσωση (x − 2) ∙ f ′(x) + f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (1 , 2) . 15.25 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0 , 2] → ℝ με f(0) = 0 Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 2) τέτοιο ώστε f ′(ξ) = f(ξ) 2 − ξ 15.26 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0, π] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0 , π) με f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ (0 , π) . Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (0 , π) ∶ f ′ (x0) f(x0) + σφx0 = 0 . 15.27 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [α , β] → (0, +∞) για την οποία ισχύει lnf(β) − lnf(α) = β − α . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f ′(ξ) = f(ξ) . 15.28 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(6) = 3f(2) . Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (2 , 6) ∶ ξf ′(ξ) = f(ξ) . 15.29 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(2) = 2f(1) . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x ∙ f ′(x) − f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) . 15.30 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0 , 1) με 2f(0) = f(1) . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1): f ′(ξ) = 2ξ ξ 2 +1 ∙ f(ξ) . 15.31 Δίνεται συνάρτηση f ∶ [−1 , 1] → ℝ η οποία είναι συνεχής στο [−1 , 1] και παραγωγίσιμη στο (−1 , 1) . Να αποδείξετε ότι ∃ ξ ∈ (−1 , 1) : f ′ (ξ) = � 1 1− ξ − 1 1+ξ � f(ξ) . 15.32 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = e6 ∙ f(3) . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) + 3f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 3) . 15.33 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = f(2) = 0 Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ f ′(ξ) − f(ξ) = 0 15.34 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(3) = f(4) = 0 Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (3 , 4) ∶ f ′(ξ) + 3ξ2 f(ξ) = 0 15.35 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(α) = f(β) = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) + συνx ∙ f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α , β) 15.36 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(2) f(1) = √e . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ ξ2 ∙ f ′(ξ) = f(ξ) . 15.37 Δίνεται παραγωγίσιμη και άρτια συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (−2 , 2) ∶ f ′(ξ) + 2ξ f(ξ) = 0
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 68 15.38 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ για την οποία ισχύει f ′ (α) = f ′ (β) = 0 . Να αποδείξετε ότι ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f′′ (x0) + �f ′ (x0)� 2 = 0 . 15.39 Δίνεται παραγωγίσιμη h στο [0,1] : h2(0) + h2(1) = 0 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ h′ (ξ) = −2015 ∙ h(ξ) . 15.40 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ με f(0) = 0 , f(1) = 1. Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ 3f ′(ξ) = 4 1 + f 2 (ξ) . 15.41 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = 2 , f(0) = 1. Να δείξετε ό ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ 2f ′(ξ) ∙ (f(ξ) − 1) = 3ξ2 . 15.42 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ με f2(α) − f2(β) = α2 − β2 . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f(ξ) ∙ f ′(ξ) = ξ 15.43 Δίνεται f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [0 , 1] με f(1) = ef(0) και f(x) > 0 ∀x ∈ [0 , 1]. Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ f ′(ξ) = f(ξ) 2 �ξ 15.44 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0 , 1) με 1 f(0) − 1 f(1) = 1 . Αν f(x) ≠ 0, ∀x ∈ [0 , 1] να αποδείξετε ότι : ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) = 2x0 ∙ f2(x0) . 15.45 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 0 και f(1) = ln2 . Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) = 2x0 ∙ e−f(x0) . 15.46 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 0 και f(1) = 1 . Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) = e x0− f(x0) . 15.47 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [−1,1] → (0, +∞) ώστε να ισχύει f(−1) = f(1). Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (−1 , 1) ∶ f ′(ξ) ∙ συνf(ξ) = 2ξ3 . 15.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [−1 , 1] → (0, +∞) για την οποία ισχύει f(−1) = f(1). Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (−1 , 1) ∶ f ′(ξ) ef 2 (ξ) = ξ f(ξ) 15.49 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [2 , 3] , παραγωγίσιμη στο (2 , 3) και ισχύει f(3) = 2f(2) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (2 , 3) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(ξ , f(ξ) ) , να διέρχεται από το σημείο Α(1 , 0) . 15.50 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [1 , 3] , παραγωγίσιμη στο (1 , 3) και ισχύει 3f(1) = f(3) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1 , 3) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(ξ , f(ξ) ) , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 15.51 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g: [1 , 2] → ℝ με g(x) = f(x) x όπου f παραγωγίσιμη στο [1 , 2] με f(2) = 4f(1) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1 , 2) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(ξ , f(ξ) ) , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 15.52 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α , β] με α > 0 και β ∙ f(α) − α ∙ f(β) = 0. Να δείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (α , β): f ′ (x0) = f(x0) x0 β) υπάρχει εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 15.53 Αν x1 , x2 με x1 < x2 είναι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 2012 , να αποδείξετε ότι ∃ x0 ∈ (x1 , x2) ∶ f ′ (x0) + f(x0) = 2012 ( ΘΕΜΑ 2012 ) 15.54 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0 , 2] → ℝ για την οποία ισχύουν f′ (0) = 2f(2) , f ′(2) = 2f(2) + 12e4 . Να αποδείξετε ότι : α) η g(x) = 3x2 − f ′ (x) − 2 f(x) e2x , 0 ≤ x ≤ 2 ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0 , 2] β) ∃ ξ ∈ (0 , 2) ∶ f ′′ (ξ) + 4f(ξ) = 6 ξ e2ξ + 4f ′ (ξ) . ( ΘΕΜΑ 2009 Ε ) 15.55 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = f � 3 2 � = 0 . Να αποδείξετε ότι ∃ ξ ∈ �0 , 3 2 � ∶ f ′ (ξ) = −f(ξ) . ( ΘΕΜΑ 2004 )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 69 15.56 Να δείξετε ότι η εξίσωση x5 − 5x + α = 0 έχει το πολύ μια ρίζα στο (−1 , 1) . Β. Το Πολύ Μια Ρίζα 15.57 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + 4f(x) − 2x = ex − 3, ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα το πολύ σημείο . 15.58 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1 , 2] → ℝ για την οποία ισχύουν f(2) = 2f(1) και f′′ (x) ≠ 0 , ∀ x ∈ (1 , 2) . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x f ′ (x) έχει μοναδική ρίζα στο (1 , 2). 15.59 Δίνεται η f(x) = (1 − 2α) ∙ lnx − 2αx + 2 . Να βρείτε την τιμή του α , ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [1 , e] Γ. Γενικές-Συνδυαστικές Ασκήσεις στο Rolle 15.60 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � αx2 − 4x + 1 , − 2 ≤ x < 0 x2 + (β − 2)x + 1 , 0 ≤ x ≤ 4 . Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [−2 , 4] 15.61 Δίνεται η f(x) = � x2 + αx + β , x < 0 3 + (γ − α)x , x ≥ 0 . Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [−1 , 1] 15.62 Δίνεται η f(x) = � x2 + αx + β , x ≤ 0 γx2 + 4x + 4 , x > 0 . Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [−1 , 1] 15.63 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) η f είναι 1-1 β) η εξίσωση f (4x3 + 3(α − 3)x2) − f (2(3α + β)x − 3β) = 0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0 , 3) . 15.64 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α , β] με f(α) = f ′ (α) = 0 , f(β) = 0 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f′′ (ξ) = 0 15.65 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία με τετμημένες 1 , 2 , 3 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f′′ (ξ) = 0 15.66 Δίνεται 3 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [2 , 6] → ℝ με f(2) = f(6) και f ′ (2) = f ′ (6) = 0 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (2 , 6) ∶ f′′′ (ξ) = 0 15.67 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 1 , f(1) = e − 1, f(2) = e2 − 8 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f′′ (ξ) + 6ξ = eξ 15.68 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = 1 , f(2) = 4 − ln2 , f(e) = e2 − 1 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , e) ∶ f′′ (ξ) − 2 = 1 ξ2 15.69 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Η ευθεία y = 2016 τέμνει την Cf στα σημεία με τετμημένες 1 , 2 , 3 . Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση f ′ (x) = 0 έχει 2 τουλάχιστον ρίζες στο (1 , 3) β) ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f′′ (ξ) = f ′ (ξ) . 15.70 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = f(1). Να αποδείξετε ότι: α) ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′ (x0) = 0 . β) ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ 2 ∙ f ′ (ξ) + ξ ∙ f ′′(ξ) = 0 . 15.71 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύει f(3) − f(0) = 9 , f ′ (0)>0 . Να αποδείξετε ότι : α) ∃x0 ∈ (0 , 3) ∶ f ′ (x0) = x0 2 . β) ∃ξ ∈ (0 , 3) ∶ f ′ (ξ) = 3ξ . 15.72 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f(0) = −1 , f(1) = 2 , f(2) = 0 . Να αποδείξετε ότι ∃x0 ∈ (0 , 2) ∶ f ′ (x0) = 0 15.73 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f(3) < 0 < f(4) και f(4) ∙ f(5) < 0 . Να αποδείξετε ότι η Cf έχει μια τουλάχιστον εφαπτομένη παράλληλη προς τον άξονα x’x
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 70 15.74 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f(0) = 0 , f(5) = 5 , f(6) = 2 Να αποδείξετε ότι α) υπάρχει x0 ∈ (0 , 5) ∶ f(x0) = 2 β) ∃ξ ∈ ℝ ∶ f ′ (ξ) = 0 15.75 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(3) = f(1) + f(2) 2 , f(1) ≠ f(2) . Να αποδείξετε ότι : α) ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ 2f(ξ) = f(1) + f(2) β) ∃x0 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (x0) = 0 . 15.76 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [1 , 2] → ℝ με 1 < f(x) < 2 ∀x ∈ [1 , 2] , f ′ (x) ≠ 0 ∀x ∈ [1 , 2] . Να δείξετε ότι : α) υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (1 , 2) ∶ f(x0) = x0 . β) η εξίσωση x f ′ (x)+f(x)=f ′ (x)+2x −1 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (1 , 2) . 15.77 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να λύσετε την εξίσωση f(x2 − 2x) = f(x − 2) . γ) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 3) και Β(−2 , 9) , να λύσετε την εξίσωση f−1( f(x) − 6 e) = 1 .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 71 Το ΘΜΤ στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τον Γάλλο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ(1789-1857) Είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στην Μαθηματική Ανάλυση αφού με την βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Το ΘΜΤ είναι επακόλουθο του θεωρήματος Rolle 16.1 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(3) = 5f(1) . Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ) = 2f(1) . Α. Να Δείξουμε ότι 𝐟𝐟 ′ (ξ) = 𝛂𝛂 16.2 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0,2], παραγωγίσιμη στο (0,2) ώστε f(2) = f(0) + 4 Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f ′ (ξ) = 2 16.3 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 7) και Β(2 , 1). Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της Cf κάθετη στην ευθεία x − 6y + 1 = 0 . 16.4 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [4 , 10] με f(4) = 6 και f(10) = 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξ ∈ (4 , 10) ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α( ξ , f(ξ) ) να σχηματίζει γωνία 135° με τον άξονα x’x . 16.5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [1 , 3] με f(3) = 12 και f(1) = 4 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της εφαπτομένης της Cf στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 4x − 2 16.6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [0 , 1] με f(0) = 2 και f(1) = 4 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξ ∈ (0 , 1) ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ( ξ , f(ξ) ) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 2000 . ( ΘΕΜΑ 2000 ) 16.7 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1 , f(1)) έχει εξίσωση y = 3x − 5 και στο σημείο Β(3 , f(3)) έχει εξίσωση y = − x + 7 . α) Να βρείτε τις τιμές f(1) , f ′ (1) , f(3) , f′ (3) . β) Να δείξετε ότι ∃ ξ ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ) = 3 γ) Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (1 , 3) ∶ f′′ (x0) = −2 16.8 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) και f(x) > 0 , ∀x ∈ [α , β] Να αποδείξετε ότι: ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f ′ (ξ) = ln f(β) f(α) ∙ f(ξ) β – α 16.9 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [1 , 2] → ℝ με f(x) > 0 , ∀𝑥𝑥 ∈ [1 , 2] . Να αποδείξετε ότι: ∃ξ ∈ (1 ,2) ∶ f(2) f(1) = e f ′(ξ) f(ξ) 16.10 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(6) = f(2) + 10. Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (2 , 6) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 5 . Β. Χωρισμός Διαστήματος ( ∃ 𝛏𝛏𝟏𝟏 , 𝛏𝛏𝟐𝟐 , … 𝛏𝛏𝛎𝛎 ) 16.11 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 5], παραγωγίσιμη στο (1,5) ώστε 5f(1) = f(5) = 2 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 4 5 16.12 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0,9], παραγωγίσιμη στο (0,9) ώστε f(0) = f(9) Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (0 , 9) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) + f ′ (ξ3) = 0 16. Θεώρημα Μέσης Τιμής
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 72 16.13 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 3], παραγωγίσιμη στο (1,3) ώστε f(1) < f(3) . Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) > 0 16.14 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 2], παραγωγίσιμη στο (0,2) ώστε f(0) > f(2) . Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 2) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) < 0 16.15 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = f(2) 5 = − f(6) 3 . Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 6) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 0 . 16.16 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [0 , 3] → ℝ με f(0) = α , f(2) = 2α , f(3) = 5α 2 Να δείξετε ότι: ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = α 16.17 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 6], παραγωγίσιμη στο (1 , 6) ώστε να ισχύει f(1) = f(6) . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 6) ∶ f ′ (ξ1) + 4f ′ (ξ2) = 0 . 16.18 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [1 , 8] → ℝ με f(8) = 2f(1). Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 8) ∶ 2f ′ (ξ1) + 5f ′ (ξ2) = f(1) . 16.19 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 4], παραγωγίσιμη στο (1 , 4) ώστε να ισχύει f(1) = f(4) . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 4) ∶ 2f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 0 16.20 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [1 , 4] → ℝ με f(1) = 1 , f(4) = 2 Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 4) ∶ f ′ (ξ1) + 2f ′ (ξ2) = 1 16.21 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(22) = f(2) + 4 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (2 , 22) : f ′ (ξ1) + 3f ′ (ξ2) + 6f ′ (ξ3) = 2 . 16.22 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = 4, f(10) = 9 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (1 , 10) 2f ′ (ξ1) + 3f ′ (ξ2) + 4f ′ (ξ3) = 5 16.23 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) ώστε f(0) = 1 , f(1) = 0 . Να αποδείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ f(x0) = x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 1) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 1 . 16.24 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 0 , f(1) = 1 Να αποδείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ f(x0) = 1 − x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 1) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 1 16.25 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) με f(α) = α , f(β) = β . Να δείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f(x0) = α + β − x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (α , β) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 1 16.26 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) με f(α) = 2β , f(β) = 2α Να δείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f(x0) = 2x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (α , β) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 4 16.27 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(3) = f(1) + 4 . Να αποδείξετε ότι : α) η εξίσωση f(x) = f(1) + 3 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 3) β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 4 γ) η εξίσωση f ′ (x) = 2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 3) 16.28 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 3 , f(2) = 5 Να αποδείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (0 , 2) ∶ f(x0) = 4 β) ∃ ξ1 , ξ2 , ξ ∈ (0 ,2) ∶ 1 f ′ (ξ1) + 1 f ′ (ξ2) = 2 16.29 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x . Να αποδείξετε ότι : α) η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ β) ∃ x0 ∈ (−1 , 1) ∶ f(x0) = 0 β) ∃ ξ1 , ξ2 , ξ ∈ (−1 , 1) ∶ 1 f ′ (ξ1) + 1 f ′ (ξ2) = 2 3
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 73 16.30 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1 , 3] → ℝ ώστε f(1) = −2 , f(3) = 2. Να δείξετε ότι : α) υπάρχει αριθμός ξ ∈ (1 , 3) ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ( ξ , f(ξ) ) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 2018 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 4 16.31 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε για την συνάρτηση f(x) = � α − x , x ≤ 0 β ∙ e− x , x > 0 να ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [−1 , 1] Γ. Θ.Μ.Τ. και άλλα Θεωρήματα 16.32 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε για την συνάρτηση f(x) = � x2 + β , x < 0 x3 + α ∙ (x − 1) , x ≥ 0 να ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [−2 , 2] 16.33 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = 3 , f(3) = 7 , f(5) = 11 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (1 , 5) ∶ f′′ (ξ) = 0 16.34 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0 , 1] με f(0) = 0 και f(x) > 0 ∀x ∈ (0 , 1). Να αποδείξετε ότι : α) ∃ ξ ∈ (0 , 1) ∶ f(ξ) = (1 − ξ) ∙ f ′ (ξ) . β) ∃ x0 ∈ (0 , ξ) ∶ f ′ (x0) < f ′ (ξ) ξ 16.35 Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ [0 , 2] → ℝ με f(0) = 0 , f(1) = 2 , f(2) = 4 . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f′′ (ξ) = 0 16.36 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(2) = f(0) + 4 και f(4) = f(3) + 2 . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 4) ∶ f′′ (ξ) = 0 . 16.37 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(1) + f(4) = f(2) + f(3) Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (1 , 4) ∶ f′′ (ξ) = 0 . 16.38 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [2 , 6] για την οποία ισχύει 2f(4) = f(2) + f(6). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f′′ (x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (2 , 6) . 16.39 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε οι αριθμοί f(−1), f(0), f(1) να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (−1 , 1) ∶ f′′ (ξ) = 0 16.40 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση f ∶ [−1 , 1] → ℝ με f(1) = 1 Να αποδείξετε ότι : α) υπάρχουν ξ1 ∈ (−1 , 0) και ξ2 ∈ (0 , 1) τέτοια , ώστε f ′ (ξ1) = f ′ (ξ2) = 1 β) υπάρχει ∃ x0 ∈ (−1 , 1): f ′′(x0) + f ′(x0) = 1 16.41 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0 , 1] για την οποία ισχύει f2(1) − f2(0) > 1 . Να αποδείξετε ότι : ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) ∙ f(x0) > 1 2 16.42 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε 2f(α + 1) = f(α) + f(α + 2) . Να αποδείξετε ότι η f ′ δεν είναι 1-1 16.43 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f(α + 1) + f(α + 2) = f(α) + f(α + 3) . Να αποδείξετε ότι η f ′ δεν είναι 1-1 16.44 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν τα σημεία Α(1 , f(1)) , Β(2 , f(2)) , Γ(3 , f(3)) είναι συνευθειακά , τότε να δείξετε ότι η f ′ δεν είναι 1-1 . 16.45 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : f(2) + f(3) < f(1) + f(4) . 16.46 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : f(1) < f(0) + f(2) 2 16.47 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ , να δείξετε ότι f(x + 1) + f(x + 2) > f(x) + f(x + 3) , ∀x ∈ ℝ 16.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : f(x2 + 1) + f(x2 + 2) < f(x2) + f(x2 + 3) .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 74 16.49 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : x ∙ (f(x) − f(1)) < f(x2) − f(x) , x > 1 16.50 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x ∙ lnx . Να δείξετε ότι : α) η συνάρτηση f ′ είναι γνησίως αύξουσα β) ∀x > 1: (x − 1) ∙ f ′ (1) < 𝑓𝑓(x) < (x − 1) ∙ f ′ (x) 16.51 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x ∙ (lnx − 1) + x2 Να δείξετε ότι : α) η συνάρτηση f ′ είναι γνησίως αύξουσα β) ∀x > 0: f(x + 2) + f(x + 4) < f(x) + f(x + 6) 16.52 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με συνεχή παράγωγο ώστε f(3) ≠ 0 , 3f(1) = 9f(3) = f(5) . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (ξ) = 0 . 16.53 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 3] , παραγωγίσιμη στο (0 , 3) με f(0) + f(2) = f(1) + f(3) . α) Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 3) : f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 0 β) Αν η f ′ είναι 1-1 και συνεχής να δείξετε ότι η εξίσωση f ′ (x)= 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0 , 3) 16.54 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή παράγωγο ώστε να ισχύουν f(1) = −6 , f(3) = −2 και f(5) = 22 . Να δείξετε ότι: α) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (ξ1) = 2 , f ′ (ξ2) = 12 . β) ∃ x0 ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (x0) = 2x0 16.55 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α , β] για την οποία ισχύει f ′(x) ≠ 0. Να αποδείξετε ότι : α) f(α) ≠ f(β) β) ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ 5f(x0) = 2f(α) + 3f(β) γ) ∃ ξ1 , ξ2 , ξ ∈ (α , β) ∶ 3 f ′ (ξ1) + 2 f ′ (ξ2) = 5 f ′ (ξ) 16.56 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) με f(x) > 0 , ∀x ∈ [α , β]. Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (α , β) : f ′ (ξ1) f(ξ1) + f ′ (ξ2) f(ξ2) = 2 f ′ (ξ0) f(ξο ) 16.57 Δίνεται συνάρτηση f(x) = � x2 + α , x ≤ 1 x3 − αx + β , x > 1 . Αν ισχύει το Θ.Μ.Τ. για την f στο [−1 , 2] τότε : α) να βρεθούν οι τιμές των α και β . β) να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο Α( ξ , f(ξ) ) με ξ∈ [−1 , 2] στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία ε ∶ 2x − y + 3 = 0 . 16.58 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) , Β(−2 , 1) να λύσετε την εξίσωση f−1 �−4 + f(x2 − 8)� = −2 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της Cf , στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην ευθεία ε : y = − 3 4 x + 2 16.59 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 2005) , Β(−2 , 1) να λύσετε την εξίσωση f−1 �−2004 + f(x2 − 8)� = −2 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της Cf , στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην ευθεία ε : y = − 1 668 x + 2005 . ( ΘΕΜΑ 2005 Ε ) 16.60 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 2] με f(0) = 3 και ∀ x ∈ (0 , 2) ισχύει − 2 ≤ f ′ (x) ≤ 3 . Να δείξετε ότι : −1 ≤ f(2) ≤ 9 . Δ. Διπλές Ανισώσεις και Θ.Μ.Τ. 16.61 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 2] με f(1) = 3 και ∀ x ∈ (1 , 2) ισχύει 3 ≤ f ′ (x) ≤ 5 . Να δείξετε ότι : 6 ≤ f(2) ≤ 8 16.62 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f(0) = 1 και ισχύει 4 ≤ f ′ (x) ≤ 5 . Να δείξετε ότι : 9 ≤ f(2) ≤ 11 16.63 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 5] με f(1) = −2 και για κάθε x ∈ (1 , 5) ισχύει |f ′ (x)| ≤ 2 . Να δείξετε ότι : −10 ≤ f(5) ≤ 6
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 75 Mean Value Theorem Θεώρημα Μέσης Τιμής στα Αγγλικά 16.64 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f(1) = 1 και |f ′ (x)| ≤ 2 Να δείξετε ότι : −7≤ f(5) ≤ 9 16.65 Αν η συνάρτηση f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και f(0) = 0. Να δείξετε ότι : f ′ (1) < f(1) < f ′ (0) 16.66 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι f ′ (1) < f(2)− f(1) < f ′ (2) 16.67 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ γνησίως αύξουσα . Να δείξετε ότι f ′ (x) < f(x+1)− f(x) < f ′ (x+1) . 16.68 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ γνησίως αύξουσα . Να δείξετε ότι 2f(x) < 𝑓𝑓(x − 1) + f(x + 1) 16.69 Δίνεται συνάρτηση f(x) = � x lnx , x > 0 0 , x = 0 . Να δείξετε ότι ισχύει f ′ (x + 1) > 𝑓𝑓(x + 1) − f(x) , ∀x > 0 ( ΘΕΜΑ 2008 ) 16.70 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύουν f(x) − e− f(x) = x − 1 , f(0) = 0 . α) Να εκφραστεί η f ′ ως συνάρτηση της f β) Να δείξετε ότι x 2 < 𝑓𝑓(x) < x f ′ (x) , ∀ x > 0 ( ΘΕΜΑ 2002 ) 16.71 Να δείξετε ότι : 2 − e 2 < ln2 < 2 e 16.72 Να δείξετε ότι : 2 5 < ln 5 3 < 2 3 . 16.73 Να δείξετε ότι : 1 x + 1 < ln(x + 1) − lnx < 1 x , x > 0 . 16.74 Να δείξετε ότι : x − 1 x < lnx < x − 1 , x > 1 16.75 Να δείξετε ότι : 1 + x < ex < 1 + ex , x ∈ (0 , 1) . 16.76 Να δείξετε ότι : 1 x + 1 < 𝑙𝑙𝑙𝑙 �1 + 1 x � < 1 x , x > 0 . 16.77 Να δείξετε ότι : eα + eα ∙ (β − α) < eβ < eα + eβ ∙ (β − α) με α < 𝛽𝛽 16.78 Να δείξετε ότι : 1 < ex− 1 x < ex , x > 0 . 16.79 Να δείξετε ότι : 1 συν 2α < εφα − εφβ α − β < 1 συν 2β , 0 < α < β < π 2
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 76 17.1 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ώστε να ισχύει f′′ (x) + f(x) = 0, ∀x ∈ ℝ . Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g(x) = f2(x) + �f′ (x)� 2 είναι σταθερή. Α. Σταθερή Συνάρτηση 17.2 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) = f(x) , f(0) = 1 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) ex είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.3 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) = 2f(x) , f(0) = 1 , f(x) > 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = lnf(x) − 2x είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.4 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ, με f ′ (0) = 2 και ισχύει f(0) = 1 , f ′ (x) = 2f(x)(x + 1) , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) ex2+ 2x είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.5 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(2) = 3 και x ∙ f ′ (x) = 3x − 2f(x) για κάθε x > 0. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x2 f(x) − x3 είναι σταθερή . β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.6 παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και f ′ (x) = e−f(x) α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ef(x) − x είναι σταθερή . β) Να βρείτε τον τύπο της f 17.7 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [0, +∞) → ℝ με f(4) = 4e−2 , 2√x f′ (x) + f(x) = e−√x . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = e√x f(x) − √x είναι σταθερή στο [0, +∞) β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.8 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (0) = 1 και f(0) = 0 για την οποία ισχύει f′′ (x) − 4f′ (x) + 4f(x) = 0 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι f(x) = x ∙ e2x 17.9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (0) = 3 και f(0) = 1 για την οποία ισχύει f′′ (x) − 6f′ (x) + 9f(x) = 0 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι f(x) = e3x 17.10 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f στο ℝ με f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ και f ′ (x) = −2xf2(x) . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = 1 f(x) − x2 , x ∈ ℝ είναι σταθερή . β) Να δείξετε ότι f(x) = 1 1 + x2 ( ΘΕΜΑ 2001 ) 17.11 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) = f(x) f(x) − x , x ∈ ℝ , f(0) = 3 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = (f(x))2 − 2xf(x) , x ∈ ℝ είναι σταθερή . β) Να δείξετε ότι f(x) = x + √x2 + 9 . ( ΘΕΜΑ 2010 ) 17.12 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = x3 + 3x2 Β. Πόρισμα Σταθερής Συνάρτησης 17.13 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 3 , f ′ (x) = ex − ημx , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.14 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [0, +∞) → ℝ με f(1) = 3 , f ′ (x) = 1 2√x + 1 x − 1 x2 ∀x > 0 . Να βρείτε την f . 17.15 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 0 , f ′ (x) = 2x − e−x . 17.16 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = e2x + συν2x . 17. Συνέπειες Θ.Μ.Τ
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 77 17.17 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = −1 , f ′ (x) = 3x + 1 x2 , ∀x > 0 . 17.18 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f � π 2 � = 1 , f ′ (x) = 3ημ2 x ∙ συνx 17.19 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 6 , x ∙ f ′ (x) = 3x3 − 4x2 + 2x 17.20 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f ′ (x) = ex � lnx + 1 x � , f(1) = −1 . Να βρείτε την f . 17.21 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 2 , f ′ (x) = 2xex + x2 ex 17.22 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = ημx + x ∙ συνx − e−x 17.23 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = συνx − x ∙ ημx 17.24 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 0 , f ′ (x) = 2 lnx x , x > 0 17.25 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 0 , f ′ (x) = 2 x x2+ 1 17.26 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 0 , f ′ (x) ∙ √x2 + 1 = x , x ∈ ℝ 17.27 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = e , f ′ (x) = 2x ∙ � 1 x2+1 + ex2+1� 17.28 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 3 , f ′ (x) = x �x2+4 + 2x ∙ ln2 17.29 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (0) = 1 , f(1) = −3 , f′′ (x) = 6x + 2 , x ∈ ℝ . 17.30 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (0) = 2 , f(1) = 2 , f′′ (x) = 6x + 4e2x 17.31 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (0) = −1 , f(0) = 2 , f′′ (x) = e−x − συνx 17.32 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) = f(x) x − 1 + ex(x − 1) , x > 1 με f(2) = e2 17.33 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(x) + xf ′ (x) = 3x2 + 1 , f(1) = 2 , x > 0 17.34 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(x) + xf ′ (x) = συνx , f(π) = 1 π , x > 0 17.35 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν 2f(x) + xf ′ (x) = 1 x2 , f(1) = 0 , x > 0 17.36 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν xf ′ (x) + x2 = f(x) + x2 ex , f(1) = e − 1, x > 0 17.37 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν (x2 + 1) ∙ f ′ (x) + 2x ∙ f(x) = 1 , f(0) = 2 . 17.38 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν (x2 − x) ∙ f ′ (x) + x ∙ f(x) = 1 , x > 0 17.39 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν x ∙ f ′ (x) + f(x) = ex , x ≥ 0 17.40 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν xf ′ (x) − f(x) = x2 ημx + x3 συνx και f � π 2 � = π2 4 , x > 0 . 17.41 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f ′ (x) + 2xf(x) = 0 , x ∈ ℝ , f(0) = 1 , f(x) ≠ 0 . 17.42 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ώστε να ισχύει f(0) = f ′ (0) = 1 και τέτοια ώστε f′′ (x) − f ′ (x) = 6x − 3x2 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.43 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ώστε να ισχύει f(x) > 0 με f′′ (x) − 2xf ′ (x) = 2f(x) και f ′ (0) = 0 , f(2) = e . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.44 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, +∞) → (0, +∞) με f(2) = e5 και xf ′ (x) + f(x)lnf(x) = 2xf(x) , x > 0 . Να βρείτε τον τύπο της f .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 78 17.45 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f(e) = −2 , ef(x) (x f′ (x) + 1) = − 1 x2 , x > 0 Να βρείτε τον τύπο της f 17.46 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 0 , f ′ (x) − 4x3 ∙ e−f(x) = 0 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.47 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) = (2x + 1) ∙ e−f(x) , f(0) = 0 . 17.48 Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (0, +∞) ώστε 2f ′ (x) = � 1 x2 − 1� ∙ ef(x), f(1) = 0 17.49 Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (0, +∞) ώστε να ισχύει f ′ (x) = (3x2 + 2x) ∙ e–f(x) και η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(2, f(2)) να είναι παράλληλη στην ευθεία δ : 4x − 3y + 8 = 0 17.50 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f(1) = 1 , f ′ (x) x +1 = e x−f(x) , x > 0 Να δείξετε ότι f(x) = lnx + x , x > 0 . 17.51 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x)f(x) = x , f(0) = 1 . 17.52 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = −2 , f ′ (x) ∙ f(x) = 2x3 , x > 0 17.53 Δίνεται παραγωγίσιμη f: ℝ → ℝ με f(0) = −2 , f ′ (x)f(x) = e2x + x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.54 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν e−2x ∙ f ′ (x) ∙ f(x) − 1 = 0 , f(0) = 1. 17.55 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) f(x) = 2x , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.56 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) f(x) = 2x x2+1 +1 , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.57 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) 2∙ �f(x) = 2x , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.58 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f ′ (x) + 2xf2(x) = 0 , x ∈ ℝ , f(0) = 1 , f(x) ≠ 0 17.59 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) f2(x) = 1 − ex , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.60 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 2 , f ′ (x) + 2f(x) = 0 , x ∈ ℝ . 17.61 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(ln2) = 1 , f ′ (x) + f(x) = x + 1 . 17.62 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) − f(x) = e2x . 17.63 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(−1) = −2 , f ′ (x) = (2x + 1)f(x) , x ∈ ℝ . 17.64 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) + 3x2 ∙ f(x) = x2 19.65 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 3 e , 2xf(x) + f ′ (x) = 2x ∙ e−x2 17.66 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = 2x ∙ (1 + f(x)) . 17.67 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = e2 , f ′ (x) − f(x) = lnx − 1 x , x > 0 . 17.68 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(1) = e , f ′ (x) = f(x) + ln2 x − 2 lnx x , x > 0 17.69 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 2 , f ′ (2x − 1) = 4x . 17.70 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 2e , f ′ (lnx) = 2x + 1 , x > 0 . 17.71 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 2 , f ′ (ex) = x + 1 , x > 0 . 17.72 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με (f(x) + x) ∙ (f ′ (x) + 1) = x , f(0) = 1 Να δείξετε ότι f(x) = √x2 + 1 − x . 17.73 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν (f(x) + 2x) ∙ (f ′ (x) + 2) = 4x , f(0) = 1 , x ∈ ℝ 17.74 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f ′ (x) = � 2x , x < 1 2 x , x ≥ 1 , f(1) = 0 . Να βρείτε τον τύπο της f
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 79 17.75 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f ′ (x) = � 3x + 1 , x < 0 2x2 + 1 , x ≥ 0 , f(1) = 2 3 . Να βρείτε τον τύπο της f 17.76 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (−∞, 1) → ℝ με f(0) = 0 , f ′ (0) = 1 για την οποία ισχύει f ′′(x) = [f ′ (x)]2 , x < 1 . Να δείξετε ότι f(x) = −ln⁡ (1 − x) 17.77 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 1 , f ′ (0) = −1 και f′′ (x) + 2f ′ (x) + f(x) = 0 , x ∈ ℝ. Να βρείτε τον τύπο της f 17.78 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(0) = f ′ (0) = 1 , f′′ (x) + 2f ′ (x) + f(x) = 0 17.79 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(1) = 2 , f ′ (x) + f(x) = 1 α) Να δείξετε ότι f(x) = 1 + e1− x β) Να δείξετε ότι ∀α , β ∈ ℝ με α < 𝛽𝛽 ισχύει (α − β)e1− α < e1− β − e1− α < (α − β)e1− β 17.80 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 , f ′ (1) = 2 για την οποία ισχύει x2 ∙ f ′′(x) + 1 = x . Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g(x) = f(x) − lnx και h(x) = x ∙ lnx είναι ίσες για κάθε x > 0 17.81 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 και 3f ′ (x) = e x−f(x) α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης . 17.82 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και f ′ (x) + f(x) x = 1 x2 α) Να δείξετε ότι η f(x) = lnx x β) Να βρείτε το όριο lim x→+∞ [f(x2) ∙ συν2x] 17.83 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f ′ (0) = f(0) = 0 και ικανοποιεί τη σχέση ex(f ′ (x) + f′′ (x) − 1) = f ′ (x) + xf′′ (x) , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f(x) = ln(ex − x) . ( ΘΕΜΑ 2011 ) 17.84 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 , 2f ′ (x) = ex − f(x) , x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2005 ) 17.85 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0,2] → ℝ για την οποία ισχύουν 3x2 − f ′ (x)− 2 f(x) e 2x = 0 και f(1) = e2 . Να βρείτε τον τύπο της f . ( ΘΕΜΑ 2009 Ε ) 17.86 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 1 και f ′ (x) + 2x = 2x(f(x) + x2) , x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2010 Ε ) 17.87 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και 2f ′ (x) = � 1 x2 − 1� ef(x) με x > 0 . Να δείξετε ότι f(x) = ln � 2x x2 + 1 � ( ΘΕΜΑ 2012 Ε ) 17.88 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 1 και (f(x) + x)(f ′ (x) + 1) = x , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι f(x) = √x2 + 1 − x . ( ΘΕΜΑ 2013 ) 17.89 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με 2xf(x) + x2(f ′ (x) − 3) = −f ′ (x) , x ∈ ℝ , f(1) = 1 2 . Να δείξετε ότι f(x) = x3 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2013 Ε ) 17.90 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x)�ef(x) + e−f(x) � = 2 , x ∈ ℝ , f(0)=0 . Να δείξετε ότι f(x) = ln�x + √x2 + 1� ( ΘΕΜΑ 2015 ) 17.91 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 1 , (x2 − x)f ′ (x) + xf(x) = 1 , ∀ x > 0 . Να δείξετε ότι f(x) = � lnx x − 1 , 0 < x ≠ 1 1 , x = 1 ( ΘΕΜΑ 2015 Ε )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 80 Constant function Σταθερή συνάρτηση στα Αγγλικά 17.92 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(0) = 3 , f′ (x) − x3 = f(x) − 3x2 , x ∈ ℝ . Γ. Η Ιδιότητα 𝐟𝐟 ′ (𝐱𝐱) = 𝐟𝐟(𝐱𝐱) 17.93 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 και για κάθε x ∈ ℝ ισχύει (x2 + 2)f′ (x) + 2xf(x) = (x2 + 2) ∙ f(x) 17.94 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 2 και για κάθε x ∈ ℝ ισχύει (x2 + x + 1)f′ (x) − (2x + 1)f(x) = (x2 + x + 1)f(x) 17.95 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(x) > 0 , f′ (x) = f(x) ∙ lnf(x) , f(0) = 1 , x ∈ ℝ . 17.96 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f′ (x) ∙ συνx + f(x) ∙ ημx = f(x) ∙ ημx , f(0) = 4 . 17.97 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ με f′′ (x) = f(x) , x ∈ ℝ . Επίσης η εφαπτομένη της Cf στο Α(0,f(0)) έχει εξίσωση y = 3x − 1 . Να βρείτε την f . 17.98 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύουν f(0) = f′ (0) = e , f(x) ≠ 0 , x ∈ ℝ και f(x) ∙ f′′ (x) − f(x) ∙ f′ (x) = (f′ (x))2 . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.99 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύουν f(1) = 2 , f′ (1) = −1 και 2xf′ (x) + x2 f′′ (x) = −f′ (x) , x > 0 . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.100 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = √2 , f(x) ≠ x , για κάθε x ∈ ℝ και 2f′ (x) = 2 + f(x) − x − 1 f(x) − x . Να βρείτε τον τύπο της f .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 81 18.1 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x2 − 8x + 5 Α. Μελέτη Μονοτονίας 18.2 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x3 + 3x2 − 9x + 5 . 18.3 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = −x3 + 3x2 18.4 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x4 − 2x2 + 2018 18.5 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x 2 x + 1 18.6 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x 3 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2013 Ε ) 18.7 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x + 1 x − 1 18.8 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x x2 + 1 18.9 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex x 18.10 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = lnx x2 18.11 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x − lnx 18.12 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x2 − 2lnx 18.13 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x ∙ lnx . 18.14 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x2 ∙ ex 18.15 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x ∙ ημx + συνx − x2 18.16 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = (2x2 − 8x) ∙ lnx − x2 + 8x + 2 18.17 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = √2x − x2 18.18 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = √ x2 − 6x + 8 18.19 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex3−12x 18.20 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 2 ∙ ln(x2 + 4) 18.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 + ln(3x + 21) α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f . β) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f 18.22 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex−1 − lnx 18.23 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ημ(2x) + 4x2 − 2x − 3 18.24 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 3ex + x2 − 3x + 7 18.25 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 4ex + 2x2 − 4x 18.26 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex + xlnx − (e + 1)x 18.27 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 2ex−1 − x2 + 3 18.28 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = √x − lnx 2√x 18.29 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � xlnx , x > 0 0 , x = 0 18. Μονοτονία Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 82 18.30 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � e lnx x , x > 0 0 , x = 0 18.31 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � x2 , x ≤ 0 x + 1 − ex , x > 1 18.32 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � x2 , x ≤ 1 x − 2lnx , x > 1 18.33 Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f(x) = ex + 2x − 1 e lnx x 18.34 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex − ln⁡ (x + 1) ( ΘΕΜΑ 2009 ) 18.35 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = e x − e lnx ( ΘΕΜΑ 2007 Ε ) 18.36 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = � ex − 1 x , x ≠ 0 1 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 και στη συνέχεια ότι είναι γνησίως αύξουσα . ( ΘΕΜΑ 2014 ) 18.37 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με 2xf(x) + (x2 + 1)f(x) = ex , f(0) = 1 . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f 18.38 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f5(x) + f3(x) + f(x) = x3 + x2 + x − 3 , x ∈ ℝ Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f 18.39 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f3(x) + e f(x) = 1 − x − x3 , x ∈ ℝ . Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f 18.40 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με 3f(x) + συν(f(x)) = x , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ 18.41 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f′′ (x) > 0 , ∀x ∈ ℝ . Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης g(x) = f(x + 3) − f(x + 2) 18.42 Να λυθεί η εξίσωση : 3x2 + 2x = 5 − lnx . Β. Επίλυση Εξισώσεων με Μονοτονία 18.43 Να λυθεί η εξίσωση : ex−1 + x3 = 3 − x . 18.44 Να λυθεί η εξίσωση : x2 + 6lnx = 4x − 3 . 18.45 Να λυθεί η εξίσωση: x2 2 −4x + 4lnx + 7 2 = 0 18.46 Να λυθεί η εξίσωση : 2x + 5x = 7x . 18.47 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + 3lnx και g(x) = 4x − 3 + lnx . Να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν μοναδικό σημείο τομής. 18.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f3(x) + ln[f(x)] + ef(x) = x3 + x2 + 2x − 1, f(x) > 0 α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την εξίσωση : f(lnx) = f(1 − x2 ) . 18.49 Να λυθεί η εξίσωση : lnx = x − 1 . 18.50 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 8x . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την εξίσωση (5x − 1)3 + 85x−1 = (11 − 7x)3 + 811−7x 18.51 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + ex2 − e . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την εξίσωση ex2 − e9 = ln 3 x 18.52 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x − lnx . α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να λύσετε την εξίσωση : e x = lnx . γ) Να λύσετε την εξίσωση : e |x| + 3 − e 2|x| + 1 = ln |x| + 3 2|x| + 1 18.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 7x5 + 3ex − 10 α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να λύσετε την εξίσωση : 7(2x − 3)5 + 3e2x−3 = 7(4 − 5x)5 + 3e4−5x δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 7x5 + 3ex = 10 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , 1)
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 83 18.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x2+ 1 α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β) Να λύσετε την εξίσωση : f(x4 + 1) = f �2ex2− 1� γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f � 1 x � = x ln 2 x + 1 έχει μοναδική ρίζα στο (1 , e) 18.55 Δίνεται η f(x) = x3 − x2 + 2x − 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f (f(x) − 2016) = 1 έχει μοναδική λύση . δ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf −1 18.56 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 2 ln2 x . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης . γ) Να λύσετε την ανίσωση f − 1 � f(x) − e + 3 2 � > 1 . 18.57 Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε : f(x) = −f(2 − x) , f′ (x) ≠ 0 . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. ( ΘΕΜΑ 2003 Ε ) 18.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + ln(x2 + 1) α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f β) Να λύσετε την εξίσωση 2(x2 − 3x + 2) = ln � (3x − 2)2 + 1 x 4 + 1 � ( ΘΕΜΑ 2010 ) 18.59 Να αποδείξετε ότι : ex ≥ 1 − √x , x ≥ 0 . Γ. Απόδειξη Ανισώσεων με Μονοτονία 18.60 Να δείξετε ότι : 2(x − 1) x + 1 < lnx , x > 1 18.61 Να δείξετε ότι : x − x2 2 < ln(1 + x) , x > 0 18.62 Να δείξετε ότι : ln(x + 1) < ex − 1 , x > 0 18.63 Να αποδείξετε ότι : ln(x + 1) > 2x x +2 , x > 0 18.64 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2lnx − x2 . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να αποδείξετε ότι : f (ex) < f �1 + x + x2 2 � , x > 0 . 18.65 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xex . α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να αποδείξετε ότι : e α − β > β α , α > β > 0 18.66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x6 ex α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να αποδείξετε ότι : e α − β > � α β � 6 , α > β > 6 18.67 Έστω f συνεχής στο [0, +∞) , παραγωγίσιμη (0, +∞) ώστε να ισχύει f′ (x) > − f(x) x , x > 0 . Να δείξετε ότι f(x) > 0 , x > 0 18.68 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (1, +∞) → ℝ ώστε να ισχύει f′ (x) > 1 x∙lnx , x > 1 . Να δείξετε ότι f(3) − f(e) > ln⁡ (ln3) 18.69 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 + e x 1 + e x + 1 α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f . β) Για κάθε x < 0 να αποδείξετε ότι : f(5x) + f(7x) < f(6x) + f(8x) ( ΘΕΜΑ 2006 Ε )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 84 Monotonic function Μονότονη συνάρτηση στα Αγγλικά 18.70 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση β) Να δείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει f (ημx) > f � x − 1 6 x3 � ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 18.71 Να λύσετε την ανίσωση : ex − 1 < 1 − lnx Δ. Επίλυση Ανισώσεων με Μονοτονία 18.72 α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία η συνάρτηση f(x) = lnx + ex β) Να βρείτε τις τιμές του λ > 0 ∶ ln λ 2 > e2 − eλ 18.73 Να λύσετε την ανίσωση : eα − eβ + α − β < συνβ − συνα 18.74 Να λυθεί η ανίσωση f(5(x2 + 1)3 − 8) ≤ f(8(x2 + 1)2) αν f(x) = x 3 x2 + 1 γνησίως αύξουσα . ( ΘΕΜΑ 2013 Ε ) 18.75 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = e− x , x ∈ ℝ α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την ανίσωση : f (2x + x) − f (4 − x3) < 0 18.76 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x2 + 1) − 2x . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την ανίσωση : f�f(x)� < 0 18.77 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 1 2 � x − x . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε τις ανισώσεις : i) � 1 2 � x ≤ x + 6 ii) � 1 2 � 2x2 + 3x − � 1 2 � x2 + 10 > x2 + 3x − 10 iii) � 1 2 � συνx − � 1 2 � x + 1 < συνx − x − 1 18.78 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − 2(x −1) x +1 α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την ανίσωση √x < e x − 1 x + 1 , x > 0 . 18.79 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= lnx + x – 1 . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της fof γ) Να λύσετε την ανίσωση (fof)(x) − f(x) ≤ 0 . 18.80 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει x ∙ f′ (x) = x + 1 , x > 0 . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f γ) Να λύσετε την ανίσωση ln x2 + x + 1 x2 + 2 ≥ 1 − x
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 85 Ο Πιερ Ντε Φερμά(1601-1665) ήταν Γάλλος Νομικός και ερασιτέχνης Μαθηματικός. Μαζί με τον Ρενέ Ντεκάρτ(1596-1650) , ο Fermat θεωρείται ένας από τους δύο κορυφαίους Μαθηματικούς του πρώτου μισού του 17ου αιώνα. Α. Εύρεση Ακροτάτων Συνάρτησης 19.1 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 . 19.2 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 3 19.3 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x4 − 2x2 + 3 19.4 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = e2x − 2x 19.5 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = e x2 − x∙lnx 19.6 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x − 2) ∙ ex 19.7 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = ex(x2 − 7x + 13) 19.8 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x2 − 8 lnx 19.9 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2 lnx − x2 19.10 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = ln(x2 − 2x + 5) 19.11 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = 2x x2+ 9 19.12 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = ex x + 1 19.13 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = 2x lnx 19.14 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f στο [−1 , 3] με f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 5 19.15 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 10x x2 + 1 , x ∈ [−2 , 2] 19.16 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2x + 11 x + 1 , x ∈ [2 , 8] 19.17 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x + 4 x , x ∈ [1 , 3] 19.18 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = √x2 + 1 19.19 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = √x2 − 2x − 3 19.20 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = √8x − x2 19.21 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (2x − 1)lnx − x 19.22 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x − 1)lnx 19.23 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = lnx − e x − 1 + 2 19.24 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 2 lnx x + x δεν έχει ακρότατα 19.25 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g ∶ (0, +∞) → (0 , +∞) με g ′ (x) > 0 , ∀𝑥𝑥 > 0 και g(e) = e . Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f(x) = lng (x) g(x) 19. Ακρότατα Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 86 19.26 Δίνεται η παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 , f ′(x) − f(x) = 2xex . α) Να αποδείξετε ότι f(x) = x2 ex β) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 19.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x2 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf 19.28 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = ln(ex − x) ( ΘΕΜΑ 2011 ) 19.29 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x2 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2016 ) 19.30 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = x3 + 2x − 5 , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. 19.31 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με 2f3(x) + 6f(x) = 2x3 + 6x + 1 , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. 19.32 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + 3f(x) = x3 + 2x + 1 , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. 19.33 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + βf2(x) + γf(x) = x3 − 2x2 + 6x − 1 με β2 < 3γ , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . ( ΘΕΜΑ 2001 ) 19.34 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ για τα οποία ισχύουν : − H f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +∞) − f(1) = 1 − lim h→0 f(1 + 5h) − f(1 − h) h = 0 Να αποδείξετε ότι : α) f ′ (1) = 0 β) Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 = 1 ( ΘΕΜΑ 2013 ) 19.35 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f′′ (x) < 0 , ∀ x ∈ ℝ . Αν η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 , να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο . 19.36 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = � x2 lnx , x > 0 0 , x = 0 19.37 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 − 3x + 1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x = −1 και x = 1 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. Β. Εύρεση Παραμέτρων στα Ακρότατα 19.38 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 + 12x + 1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x =1 και x = 2 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. 19.39 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + βlnx παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x = 1 και x = 3 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. 19.40 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 − 12x − 7 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x = −2 και x = 1 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. 19.41 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 + 3x + 4 παρουσιάζει ακρότατο στο 1 με τιμή ίση με 2 . 19.42 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = 2αlnx + βx2 + 3x + 2 παρουσιάζει ακρότατο στο 1 το 3. 19.43 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = 2αlnx − β x + 3α παρουσιάζει ακρότατο στο 1 το 5. 19.44 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = (αx + β) ∙ ex παρουσιάζει ακρότατο στο 1 με τιμή ίση με – e , για x ≥ 0 .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 87 19.45 Δίνεται η f(x) = αlnx − x2 , α ∈ ℝ η οποία παρουσιάζει ακρότατο στο x = 1 . α) Να βρείτε την τιμή του α β) Να λύσετε την ανίσωση : (3|x| + 1)2 − (|x| + 9)2 < 2 ln 3|x| + 1 |x| + 9 19.46 Να αποδείξετε ότι : x2 ≥ 1 + 2lnx , x > 0 Γ. Ανισώσεις και Ακρότατα 19.47 Να αποδείξετε ότι : x2 ≥ x + lnx , x > 0 19.48 Να αποδείξετε ότι : lnx ≤ x − 1 , x > 0 19.49 Να αποδείξετε ότι : lnx ≥ 1 − 1 x , x > 0 19.50 Να δείξετε ότι : ln(1 + x) ≥ x 1 + x , x > −1 19.51 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x2 ∙ e− x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι e2 ∙ f(x) ≤ 12 19.52 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 1 x , x > 0 . α) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f . β) Να δείξετε ότι ∀α , β , γ > 0 ∶ α 1 α +β 1 β +γ 1 γ 3 ≤ e 1 e 19.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 6lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf η οποία διέρχεται από το σημείο Α(0 , −8) 19.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι f (ex) ≥ f (1 + x) , x ∈ ℝ . ( ΘΕΜΑ 2003 ) 19.55 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − elnx . Να δείξετε ότι f(x) ≥ e, ∀ x > 0 ( ΘΕΜΑ 2007 Ε ) 19.56 Δίνεται η f(x) = x2 − 2lnx , x > 0 . Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ 1 , x > 0 ( ΘΕΜΑ 2008 Ε ) 19.57 Να λυθεί η εξίσωση e x2 − x2 − 1 = 0 . ( ΘΕΜΑ 2016 ) 19.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες που άγονται από το Α � π 2 , − π 2 � , τις οποίες και να βρείτε . ( ΘΕΜΑ 2017 ) 19.59 Αν για κάθε x > 0 ισχύει x2 + x ≥ 2 + αlnx , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α . Δ. Από Ανίσωση σε Ισότητα (ΠΟΤΑΜΙ) 19.60 Αν ισχύει ex ≥ αx + 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α 19.61 Αν για κάθε x > 0 ισχύει x3 ≥ x2 + αlnx , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α . 19.62 Αν για κάθε x > 0 ισχύει αlnx ≤ x − 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α . 19.63 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = 1 , 2f(x) − x2 ≤ 2lnx + 1 , x > 0 . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο Α(1 , f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 3 . 19.64 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ με f(x2 − x + 1) − f(1) ≥ x − x2 , x > 0 . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο Α(1 , f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = −x 19.65 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x)≤ ex + ln(x2 + 1) , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(0 , 1) . 19.66 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ με f(1) = 3 , f(x) + g(x) ≤ x3 + x2 + 5 , x ∈ ℝ . Αν η εφαπτομένη της Cg στο Μ(1 , g(1)) έχει εξίσωση y = 3x + 1 , τότε να βρείτε : α) τις τιμές g(1) , g ′ (1) . β) την εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Β(1 , f(1)) 19.67 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) = 2x + mx − 4x − 5x , m ∈ ℝ , m > 0 . Να βρείτε τον m ώστε f(x) ≥ 0 , x ∈ ℝ . ( ΘΕΜΑ 2004 Ε )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 88 19.68 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx − ln(x + 1) , α > 0 , α ≠ 1 . Αν ισχύει f(x) ≥ 1 , για x > −1 να βρείτε το α ( ΘΕΜΑ 2009 ) 19.69 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης lnx + x2 − 3x + 12 = 0 . Ε. Πλήθος Ριζών – Σύνολο Τιμών 19.70 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4x3 − 3x − 1 2 = 0 έχει ακριβώς 3 πραγματικές ρίζες. 19.71 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x2 – x + 1 x − 1 19.72 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = 1 + e− x2 19.73 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2x3 − 6x + 1 = 0 . 19.74 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x + 2 , x ∈ [−2 , 0] . Να βρείτε : α) τα κρίσιμα σημεία της f β)τα ακρότατα της f καθώς και το σύνολο τιμών 19.75 Δίνεται η f(x) = 1 − e2x ∙ (1 + 2x) . Να βρείτε : α) τα ακρότατα της f β) το σύνολο τιμών της f γ) το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2x = e−2x − 1 19.76 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2lnx + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f �f(x) − 3 2 � = 2 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες . 19.77 Δίνεται η f(x) = (x − 1) ∙ lnx − 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xx−1 = e2018 , έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες 19.78 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − lnx x α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 1 + 2018 ∙ x = lnx 19.79 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 , f ′(x) + f(x) = e−x . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x − 2018 ∙ ex = 0 19.80 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x − 1 − lnx . Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2015 Ε ) 19.81 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x2 + 1 α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f �e 3 − x(x2 + 1)� = e2 5 έχει ακριβώς μια ρίζα. ( ΘΕΜΑ 2015 ) 19.82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = �e x lnx , x > 0 0 , x = 0 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 . β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f ( ΘΕΜΑ 2014 Ε ) 19.83 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x2 lnx ( ΘΕΜΑ 2004 ) 19.84 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 1 x − 1 − lnx . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες . ( ΘΕΜΑ 2006 ) 19.85 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � xlnx , x > 0 0 , x = 0 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 . β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2008 ) 19.86 Δίνεται η f(x) = ln(x + 1) − ln⁡ (x + 2) . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . ( ΘΕΜΑ 2009 Ε )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 89 19.87 Δίνεται η f(x) = (x − 2)lnx + x − 3 . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. ( ΘΕΜΑ 2010 Ε ) 19.88 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + π 2 μια σταθερά . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς τρεις ρίζες . ( ΘΕΜΑ 2007 ) 19.89 Δίνεται η f(x) = (x − 1)lnx − 1 , x > 0 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση x x − 1 = e 2013 έχει ακριβώς 2 θετικές ρίζες . ( ΘΕΜΑ 2012 ) 19.90 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) . Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το [−1 , 2] και f(α) = 0 , f(β) = 1 να δείξετε ότι : α) ∃ x1 , x2 ∈ (α, β) ∶ f ′ (x1) = f ′ (x2) = 0 . β) Η εξίσωση f ′ (x) = (x2 + 1)f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α , β) αν η f ′ είναι συνεχής . Ζ. Συνδυαστικές Ασκήσεις στα Ακρότατα 19.91 Δίνεται η f ∶ ℝ → ℝ με f(x) > 0 , (f′ (x))2 ≠ f(x)f′′ (x) . Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = lnf(x) έχει το πολύ ένα ακρότατο . 19.92 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f: [1 , 4] → ℝ με f(2) < 𝑓𝑓(1) < 𝑓𝑓(4) < 𝑓𝑓(3) . Να αποδείξετε ότι : α) η συνάρτηση f παρουσιάζει ένα ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο β) ∃ x0 ∈ (1 , 4) ∶ f′′ (x0) = 0 19.93 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f: [0 , 3] → ℝ με f(1) < 𝑓𝑓(0) < 𝑓𝑓(3) < 𝑓𝑓(2) Να αποδείξετε ότι : ∃ x0 ∈ (0 , 3) ∶ f′′ (x0) = 0 19.94 Έστω η συνάρτηση f: [α , β] → ℝ και γ , δ ∈ (α , β) ώστε f(γ) < 𝑓𝑓(α) < 𝑓𝑓(β) < 𝑓𝑓(δ) Αν η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη , να δείξετε ότι η εξίσωση f′′ (x)=0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (α , β) . 19.95 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ τρεις φορές παραγωγίσιμη ώστε να ισχύει 2f(x) ≥ f(1) + f(2) , με x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) f(1) = f(2) β) ∃ x0 ∈ (1 , 2) ∶ f′′′ (x0) = 0 . γ) η εξίσωση f′′ (x) = f ′ (x) έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο (1 , 2) . 19.96 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ τρεις φορές παραγωγίσιμη ώστε να ισχύει 2f(x) ≥ f(3) + f(4) , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) f(3) = f(4) β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (3 , 4) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf ′′ στο σημείο Μ(ξ , f′′ (ξ) ) να είναι παράλληλη στον άξονα x’x 19.97 Έστω η συνάρτηση f ∶ [1 , 4] → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη ώστε f(2) < 𝑓𝑓(1) < 𝑓𝑓(4) < 𝑓𝑓(3) . Να δείξετε ότι : α) η εξίσωση f ′ (x) =0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (1 , 4) . β) η εξίσωση f′′ (x) +2x f ′ (x) =0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (1 , 4) . 19.98 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) ≤ 2 − x + f(1) + f(3) 2 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι: α) f(1) − f(3) = 2 . β) η εξίσωση f ′ (x) = −1 έχει τουλάχιστον τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες . 19.99 Έστω η συνάρτηση f ∶ [1 , 4] → ℝ , με συνεχή f ′ στο [1 , 4] , η οποία έχει σύνολο τιμών το [−3 , 2] και f(1) = −2 , f(4) = 1 . Να αποδείξετε ότι : α) υπάρχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη της Cf κάθετη στην ευθεία ζ : 2x + 2y − 2016 = 0 . β) η εξίσωση f ′ (x) =0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (1 , 4) . γ) η εξίσωση f′ (x) = (ex + x2) ∙ f(x) έχει μία τουλάχιστον λύση στο (1 , 4) . 19.100 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη ώστε να ισχύει f(1) = f(3) , f′′ (x) > 0 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό ακρότατο , του οποίου να βρείτε το είδος .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 90 19.101 Δίνεται η f(x) = ⎩ ⎨ ⎧ lnx x + 1 , 0 < x < 1 1 , x = 1 lnx x − 1 , x > 1 α) Να αποδείξετε ότι το x0 = 1 είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0, +∞) ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 19.102 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγοώστε να ισχύει e f(x) + x = f�f(x)� + ex x ∈ ℝ και f′ (0) = 1 . Να δείξετε ότι : α) η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ℝ β) η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ ( ΘΕΜΑ 2016 ) 19.103 Δίνεται η f(x) = � √x4 3 , x ∈ [−1 , 0) ex ∙ ημx , x ∈ [0 , π] α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο [−1 , π] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να λύσετε την εξίσωση 16 ∙ e− 3π 4 ∙ f(x) − e− 3π 4 ∙ (4x − 3π)2 = 8√2 ( ΘΕΜΑ 2017 ) 19.104 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β)Να βρείτε , αν υπάρχουν , τα όρια : lim x→1 f(x) , lim x→3 f(x) , lim x→5 f(x) , lim x→7 f(x) , lim x→9 f(x) γ) Να βρείτε , αν υπάρχουν , τα όρια : lim x→2 1 f(x) , lim x→6 1 f(x) , lim x→8 f �f (x)� δ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής ε) Να βρείτε τα σημεία x0 του πεδίου ορισμού της f ώστε να ισχύει f ′ (x0) = 0 ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 19.105 Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν 16 cm2 να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει την μικρότερη περίμετρο . Η. Προβλήματα Μεγίστων – Ελαχίστων 19.106 Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με περίμετρο 16 , να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν . 19.107 Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει περίμετρο 400 m . Αν το μήκος του είναι x m , τότε να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν του οικοπέδου γίνεται μέγιστο , καθώς και ποια είναι η μέγιστη τιμή του εμβαδού .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 91 Absolute Extrema Ολικά Ακρότατα Local Extrema Τοπικά Ακρότατα 19.108 Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο 20 cm και μήκος x cm . Να βρείτε για ποια τιμή του x η διαγώνιος του παραλληλογράμμου έχει το ελάχιστο μήκος . 19.109 Δίνεται η f(x) = ex2 − 4αx + 16α με α ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει ελάχιστη τιμή . β) Να βρείτε για ποια τιμή του α ∈ ℝ , η ελάχιστη τιμή της f γίνεται μέγιστη . 19.110 Δίνεται η f(x) = 8lnx + x2 − 3x + 2 . Να βρείτε σε ποιο σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f , ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται ελάχιστος . 19.111 Δίνεται η f(x) = −x3 + 6x2 − 9x + 1 . Να βρείτε σε ποιο σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f , ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος . 19.112 Δίνεται η f(x) = 2x3 − 6x2 + 8x + 1 . Να βρείτε σε ποιο σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f , ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται ελάχιστος 19.113 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + 2lnx . Να βρείτε για ποια τιμή του x , ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς x , γίνεται ελάχιστος . 19.114 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 και το σημείο Α(2 , 0). Να βρείτε σημείο Μ της Cf που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση. 19.115 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 3x + 2 και έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο σημείο της A�2 , f(2)� . Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου M(x , y) της εφαπτομένης (ε) έτσι ώστε η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων να γίνεται ελάχιστη . 19.116 Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός προϊόντος είναι K(x) = x2 + 50x + 100 σε ευρώ με 0 ≤ x ≤ 150 . Η είσπραξη από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος είναι 450−x σε ευρώ . Να βρείτε την ημερήσια παραγωγή x του εργοστασίου για την οποία το κέρδος είναι μέγιστο και πόσο είναι αυτό 19.117 Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός προϊόντος είναι K(x) = 1 3 x3 − 20x2 + 600x + 1000 σε ευρώ με 6 ≤ x ≤ 50 . Η είσπραξη από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος είναι 420−2x σε ευρώ . Να βρείτε την ημερήσια παραγωγή x του εργοστασίου για την οποία το κέρδος είναι μέγιστο και πόσο είναι αυτό .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 92 20.1 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + x Α. Εύρεση Κυρτότητας - Σημείων Καμπής 20.2 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την f(x) = x4 + 2x3 − 12x2 − 5x + 4 20.3 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x4 − 6x2 + 7x − 2 20.4 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x2 ∙ ( 2lnx − 5 ) 20.5 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x ∙ e − x 20.6 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = ln(x2 + 4) 20.7 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = ex (x2 − 4x + 5) 20.8 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = (x + 1) ∙ lnx 20.9 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = 2x + x ∙ lnx − ex−1 20.10 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 και f′ (x) + f(x) = e−x . Να βρείτε : α) τον τύπο της συνάρτησης β) την μονοτονία και τα ακρότατα της f γ) το σύνολο τιμών της f δ) την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f 20.11 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f δ) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f 20.12 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f δ) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f 20. Κυρτότητα Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 93 20.13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f δ) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f 20.14 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f β) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f γ) το lim h→0 f(2+h)−f(2) h δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (4 , 9) τέτοιο, ώστε : f ′′(ξ) = 1 5 20.15 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με ef(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη . 20.16 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x ( ΘΕΜΑ 2003 ) 20.17 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x2 ∙ lnx ( ΘΕΜΑ 2006 ) 20.18 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + π 2 μια σταθερά . Να δείξετε ότι η f έχει ένα σημείο καμπής . ( ΘΕΜΑ 2007 ) 20.19 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = e x − ln⁡ (x + 1) ( ΘΕΜΑ 2009 ) 20.20 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = 2x + ln⁡ (x2 + 1) ( ΘΕΜΑ 2010 ) 20.21 Να δείξετε ότι η f(x) = ln(e x − x) έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής . ( ΘΕΜΑ 2011 ) 20.22 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x − ln( e x + 1 ) ( ΘΕΜΑ 2014 ) 20.23 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = ln�x + √x2 + 1� ( ΘΕΜΑ 2015 ) 20.24 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την f(x) = x2 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2016 ) 20.25 Αν f(x)= e x2 − x2 − 1 , να δείξετε ότι η f είναι κυρτή . ( ΘΕΜΑ 2016 ) 20.26 Αν f(x)= ex ex +1 , να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής ( ΘΕΜΑ 2017 )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 94 20.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 . Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει σημείο καμπής το Α(−1 , 4) Β. Εύρεση Παραμέτρων στην Κυρτότητα 20.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + αx2 + βx . Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει σημείο καμπής το Α(1 , 0) 20.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2 − ln2 x + β Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει σημείο καμπής το Α(1 , 5) 20.30 Δίνεται η f(x) = x4 − αx3 + βx2 + 2 . Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει καμπή για x = 1 και x = 2 20.31 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 + 6x Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο −1 και καμπή στο 1 2 , να βρείτε τα α , β . 20.32 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e 2x + x4 . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 0 γ) Να δείξετε ότι e 2x ≥ 1 + 2x − x4 , x ∈ ℝ . Γ. Κυρτότητα και Εφαπτομένη 20.33 Δίνεται f ∶ (−∞ , 0] → ℝ με f(x) = x2 ex α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = −1 γ) Να δείξετε ότι f(x) + 2e + 3ex ≥ 0 20.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x ∙ lnx α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι f(x) − e ∙ x ≥ x − 1 20.35 Δίνεται η f(x) = (x + α ∙ lnx)2 , α ∈ ℝ . Η εφαπτομένη (ε) της Cf στο Α(1 , f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : 8x − 2y + 2016 = 0. α) Να βρείτε τον αριθμό α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα γ) Να δείξετε ότι 3 + (x + lnx)2 ≥ 4x , x > 0 . 20.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x + 1) ∙ lnx α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι 1 2 ∙ lnx < x − 1 x + 1 , x ∈ (0 , 1) 20.37 Δίνεται η f(x) = (x2 − 4x − 6)e x − 1 . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι e x − 1 ≥ x + 2 x2 − 4x + 6 , x ∈ ℝ . 20.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex+ex . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 0 γ) Να δείξετε ότι ex+ex−1 ≥ 2x + 1 , x ∈ ℝ 20.39 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − ln(ex + 1) α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση 2f(x) = x − ln4 20.40 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x4 − lnx α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να λύσετε την εξίσωση x = ex4−3x+2 20.41 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ex−1 − x + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι f(x) − x ≥ 1 δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf 20.42 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με lim x →1 f(x) − 3x x − 1 = 4 α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 β) Αν η f είναι κοίλη στο ℝ , να δείξετε ότι f(x) − 7x + 4 ≤ 0 , x ∈ ℝ 20.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x − lnx . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι lnx ≤ 1 x +2x − 3 , ∀ x > 0 . δ) Να λύσετε την εξίσωση x x ∙ e3x − 2x2 − 1 = 1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 95 Convex function Κυρτή συνάρτηση Concave function Κοίλη συνάρτηση Inflection point Σημείο καμπής 20.44 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και f ′ (x) = 1 + f(x) x , ∀ x > 0 α) Να δείξετε ότι f(x) = x ∙ lnx β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x − 1 ε) Να βρείτε το όριο lim x → 1 1 x∙lnx − x + 1 20.45 Δίνεται η f(x) = � e x – 1 x , x ≠ 0 1 , x = 0 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α�0 , f(0)� . Στη συνέχεια , αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή , να δείξετε ότι η εξίσωση 2f(x) = x + 2 , x ∈ ℝ έχει ακριβώς μια λύση . ( ΘΕΜΑ 2012 Ε ) 20.46 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] και ε : y = x − π εφαπτομένη της. Να βρείτε το όριο lim x →π x − ημ x π – x − ημ x ( ΘΕΜΑ 2017 ) 20.47 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f είναι κοίλη , να δείξετε ότι 2 f(x) > 𝑓𝑓 (x + 1) + f(x − 1) , x ∈ ℝ . Δ . Κυρτότητα και άλλα Θεωρήματα 20.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ. Αν η f είναι κοίλη και f(1) = f(2) = 0. Να δείξετε ότι : α) υπάρχει μοναδικός ξ ∈ (1 , 2) ∶ f ′(ξ) = 0 β) η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση ξ γ) αν επιπλέον ισχύει f ′(1) = 1 , να δείξετε ότι f(ξ) < 1 20.49 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Η f είναι κυρτή και η εφαπτομένη της Cf στο Α(0 , f(0)) έχει εξίσωση y = 2x + 4 α) Να βρείτε τις τιμές f′ (0) , f(0) β) Να αποδείξετε ότι f(−3) + f(3) > 8 γ) Να αποδείξετε ότι f(x + 2) − f(x) > 4 , x > 0 20.50 Έστω οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f′′ (x) < −4f(x) + 4f′ (x) , x ∈ ℝ και g(x) = f(x) e 2x α) Να δείξετε ότι η g είναι κοίλη στο ℝ β) Αν η Cg εφάπτεται στον άξονα x’x να δείξετε ότι f(x) ≤ 0 , x ∈ ℝ .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 96 Graph of a function Γραφική Παράσταση συνάρτησης 21.1 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x3 − 3x και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.2 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 4 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.3 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x2− x + 2 x + 1 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x x + 1 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.5 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x − 1 + 1 x – 1 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.6 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = lnx x και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.7 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = 1 + 2lnx x και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.8 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + 4 x − 1 , α , β ∈ ℝ της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +∞ στην ευθεία y = − x + 2 . α) Να βρείτε τα α , β β) Να μελετήσετε την συνάρτηση και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f�√3� = 2 , 2xf(x) + x2 f′ (x) = −3f′ (x) , x ∈ ℝ . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 x2 + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα . β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής . γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση ( ΘΕΜΑ 2016 ) 21.11 Αν f(x)= ex ex +1 , να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής , να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες και να κάνετε την γραφική της παράσταση ( ΘΕΜΑ 2017 ) 21. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 97 Οι αρχές της ολοκλήρωσης διατυπώθηκαν από Νεύρωνα και Λάιμπνιτς στο τέλος του 17ου αιώνα. Ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός του ολοκληρώματος δόθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Μπέρναρντ Ρίμαν(1826-1866) Το σύμβολο της ολοκλήρωσης είναι ένα επίμηκες S Το S σημαίνει άθροισμα, από την Λατινική λέξη sum 22.1 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x2 − 4x + 3)dx β) ∫ (3x2 − 4x)dx 1 −2 2 1 γ) ∫ (4x3 − 6x2 + 2x)dx δ) ∫ √x dx 9 4 −1 −2 Α. Υπολογισμός Βασικών Ολοκληρωμάτων 22.2 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (ex + x)dx 1 0 β. ∫ (2ημx + 3συνx) π 2 0 dx γ) ∫ 3x2 √x 4 1 dx δ . ∫ 12x(x − 1)2 dx 2 −1 22.3 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (ex + 2ημx)dx π 2 0 β. ∫ � 1 x − 2 ημ2x � π 2 1 dx γ. ∫ �3x − 5 x2� dx δ . ∫ �συνx + 1 συν2x � dx π 3 0 2 1 22.4 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (3x2 − x − 1)dx 1 0 β. ∫ (−ημπx + ex) 1 0 dx γ. ∫ �2x + 3x+2 x2 � dx δ . ∫ �x − 1 x � 2 dx 2 1 2 1 22.5 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ 2x ∙ ex dx 1 0 β. ∫ xex2 dx 1 0 γ. ∫ (ex − e−x)dx 1 0 δ. ∫ x√x−1 √x 4 1 dx 22.6 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x2 + x – 1 x 2 1 dx β) ∫ x3 − 5x2 + 1 x 2 1 dx γ) ∫ (x − 1)(x + 1)(x + 2) x2 2 1 dx δ) ∫ x + 1 √x 4 0 dx 22.7 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x + 1)ex 2 −1 dx β) ∫ (2xσυνx − x2 ημx) π 0 dx γ) ∫ xσυν x – ημ x x 3 π π 2 dx δ) ∫ xex − 2ex x 3 2 1 dx 22.8 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (ημx + xσυνx)dx β. ∫ x2 ex(x + 3)dx 1 0 π 2 0 γ. ∫ �lnx ∙ συνx + ημx x � dx δ. ∫ xex(2 + x) 1 0 dx 2π π 22.9 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x ημ x –x2συν x ημ 2x π 4 π 6 dx β) ∫ συν x – ημ x ex π 0 dx γ) ∫ 1 – lnx x2 e 1 dx δ) ∫ lnx – 1 ln2x e 2 dx 22.10 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x x2+1 1 0 dx β) ∫ lnx x e 1 dx γ) ∫ συν x �ημ x+3 π 2 0 dx δ) ∫ 1 x√lnx e 2 dx 22. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 98 Definite integral Ορισμένο Ολοκλήρωμα στα Αγγλικά Β. Υπολογισμός Ολοκληρώματος 22.11 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 2x – 6 5 4 dx β) ∫ ex + 2x ex + x2 1 0 dx γ) ∫ x3 x4 + 1 2 1 dx ∫ 𝐟𝐟(𝐱𝐱) 𝐠𝐠(𝐱𝐱) 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝛃𝛃 𝛂𝛂 22.12 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x + 1 x2 + 2x + 3 1 0 dx β) ∫ 2x + 1 x2 + x 2 1 dx γ) ∫ 1 1 + e−x 1 0 dx 22.13 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x − 5 x2 − 3x + 2 4 3 dx β) ∫ 2 x2 − 2x – 3 5 4 dx 22.14 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 x2 – 4 4 3 dx β) ∫ 2x − 3 x2 – x 3 2 dx 22.15 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x + 1 x2 + 3x + 2 3 2 dx β) ∫ 4x−1 2x2 − x – 3 1 0 dx 22.16 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x+1 x2 – 4x+3 0 −1 dx β) ∫ 2x + 1 x2− 5x + 6 1 0 dx 22.17 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 4 x3−4x 3 2 dx β) ∫ 1 x∙(x+1) 2 1 dx 22.18 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x − 2 x + 3 1 0 dx β) ∫ 3x – 1 x − 1 3 2 dx 22.19 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x2 x −1 0 −1 dx β) ∫ x2−2x+4 (x−1)2 0 −1 dx 22.20 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x3 − 3x2 + 5x – 5 x2 − 3x + 2 4 3 dx β) ∫ 2x3 − 5x2 − 16x + 22 x2 − 2x − 8 6 5 dx 22.21 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x3+x2−2x−1 x2−x 3 2 dx β) ∫ x2−x−2 x+3 3 2 dx 22.22 Να βρεθούν τα ολοκληρώματα α) ∫ 3x−5 x2 − 3x + 2 0 −1 dx β) ∫ 6x − 5 3x – 2 2 1 dx γ) ∫ 1−ημ x x + συν x π 0 dx 22.23 Να υπολογίσετε το όριο lim α→+∞ �∫ ex + 1 ex + x dx − α α 0 � 22.24 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x2 − 3x)ex dx 2 1 β) ∫ x2 + x ex 1 0 dx Γ. Παραγοντική Ολοκλήρωση 22.25 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x ∙ 5x dx 2 1 β) ∫ x ημx dx π 2 0 22.26 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x ∙ e−x dx 1 0 β) ∫ x2 ∙ e−x dx 1 0 22.27 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ xσυν2x dx β) ∫ x3 lnx dx e 1 π 2 0 22.28 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ lnx x2 2 1 dx β) ∫ ln2 x dx e 1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 99 22.29 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ln(x + 1)dx 1 0 β) ∫ lnx √x 4 1 dx 22.30 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x συν 2x π 3 0 dx β) ∫ (3x2 − 2ex)lnx dx e 1 22.31 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ex ημx dx π o β) ∫ συν x ex π 0 dx 22.32 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ xημx dx π 2 0 β) ∫ (x − 1)ημ2x dx π 2 0 22.33 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x2 + 1)e2x dx 1 0 β) ∫ (2x + 2)lnx dx 2 1 22.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + 1) . Να υπολογίσετε : α) το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx α 0 β) το όριο lim α→+∞ � 1 α2 ∙ ∫ f(x)dx α 0 � 22.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4x ∙ lnx . Να υπολογίσετε : α) το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx α 1 β) το όριο lim α→1 ∫ f(x)dx α 1 (α−1)2 22.36 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ xe 2x dx 2 1 ( ΘΕΜΑ 2009 Ε ) 22.37 α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι(α) = ∫ (2x2 − 3x)ex dx 0 α β) Να βρείτε το όριο lim α→−∞ Ι(α) ( ΘΕΜΑ 2004 ) 22.38 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x − 1)3 dx β) ∫ (x − 1)3(2x − 1)dx 1 0 2 1 Δ. Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση 22.39 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (2x + 1)4 dx 1 0 β) ∫ (x2 − x + 2)3(2x − 1)dx 1 −1 22.40 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x√x + 1 dx β) ∫ √1 + ex dx 3ln2 ln3 3 0 22.41 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x√x2 + 1 dx 1 0 β) ∫ x√1 − x dx 0 −1 22.42 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 3x + 1 1 0 dx β) ∫ e4x−8 2 1 dx 22.43 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 (3x + 1)2 1 0 dx β) ∫ e3x−9 3 0 dx 22.44 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x √ x + 3 6 1 dx β) ∫ συν (lnx ) x 3 1 dx 22.45 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 1 + ex ln2 0 dx β) ∫ ex e2x + 3ex + 2 ln2 0 dx 22.46 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ e√x √x 4 1 dx β) ∫ (2x + 1)ex2+x dx 1 0 22.47 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (1 − ημx)4 συνx dx π 2 0 β) ∫ 12(3x + 1)3 dx 1 0 22.48 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ex 1+ ex 1 0 dx β) ∫ (lnx )2017 x e 1 dx 22.49 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ex √1+ex 1 0 dx β) ∫ x √x2+5 2 0 dx γ) ∫ lnx x∙√1+lnx e 1 dx
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 100 22.50 Να βρεθούν τα ολοκληρώματα α) ∫ x(x + 1)7 dx 0 −1 β) ∫ x√x + 2 dx −1 −2 γ) ∫ συν (lnx ) x 3 1 dx 22.51 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 x ∙ ln3x 2e e dx β) ∫ x+3 (x2+6x)5 1 0 dx 22.52 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1+lnx √3+xlnx e4 e dx β) ∫ x−1 √x2−2x+3 1 0 dx 22.53 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι συνεχής . Να δείξετε ότι : α) ∫ f(x − 2)dx = ∫ f(x)dx −1 −2 1 0 β) ∫ f(2x)dx = 1 2 ∫ f(x)dx 2 0 1 0 22.54 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) + f(−x) = 1 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ f(x)dx 2 −2 22.55 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με ∫ f(x)dx 4 0 = 9 . Να βρείτε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x ∙ f(x2)dx 2 0 β) ∫ f(lnx ) x e4 1 dx 22.56 Να αποδείξετε ότι : α) ∫ f(lnx ) x e 1 dx = ∫ f(x)dx 1 0 β) ∫ ex f(1 − ex)dx = ∫ f(x)dx −2 −1 ln3 ln2 22.57 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με ∫ (x f′ (x2) + 1)dx = 4 2 0 . Να δείξετε ότι α) υπάρχει ρ ∈ (0 , 4) ∶ f′ (ρ) = 1 . β) υπάρχει ξ ∈ (0 , 4) ∶ f′ (ξ) = ξ 2 22.58 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ x [2x + ln(x2 + 1)] dx 1 −1 ( ΘΕΜΑ 2010 ) 22.59 Δίνεται η f(x) = � 2x + 3 , x ≤ 1 3x2 − 6x + 8 , x > 1 α) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής β) Να βρείτε τα ολοκληρώματα Α = ∫ f(x)dx −2 −4 , B = ∫ f(x)dx 4 2 , Γ = ∫ f(x)dx 3 −1 . Ε. Ιδιότητες Ορισμένου Ολοκληρώματος 22.60 Δίνεται η f(x) = � 2x + 3 , x ≤ 0 ex + 2 , x > 0 α) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ f(x)dx 1 −1 22.61 Δίνεται η f(x) = � x ∙ ex , x ≤ 0 ln(x + 1) , x > 0 . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx 1 −1 22.62 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (|x + 1| + x − 4)dx 2 −2 β) ∫ (3|x2 − 2x − 3| + 4)dx 4 −2 22.63 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ |x − 1|dx 2 0 β) ∫ |x2 − 4|dx 3 1 γ) ∫ √x2 − 8x + 16 dx 1 0 22.64 Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ |ex + 4x3 − 1|dx 1 −1 22.65 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1 , f(1)). γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ |f(x) − x + 1|dx 2 1 22.66 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει ∫ (4x + 6) dx = 36 α −α . 22.67 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο ισχύει ∫ 4x2−3x−5 x2 + 4 dx + ∫ 3x2−3x−9 x2+4 λ+3 λ2+1 λ2+1 λ+3 dx = ∫ 2 dx 1 −1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 101 22.68 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει ∫ ex + x3 – x x2 + 1 dx = ∫ α dx + ∫ ex + x3 − x x2 + 1 dx 1 3 1 −3 3 1 . 22.69 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο ισχύει ∫ lnx + 6 x2 + 2 dx − ∫ 2dx = ∫ 3x2 – lnx x2 + 2 dx λ 3λ+2 4 −5 3λ+2 λ . 22.70 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) = � ex + α , x ≤ 1 β ∙ lnx x , x > 1 . Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής και να ισχύει ∫ f(x)dx = 1 e 0 22.71 Να δείξετε ότι : 2 ∫ f(x) ∙ f′ (x)dx = [f(β)]2 − [f(α)]2 β α . 22.72 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (0 , +∞) με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = 2 . Να βρείτε τα ολοκληρώματα : α) Α = ∫ (f(x) + x ∙ f′ (x))dx 1 0 β) Β = ∫ � 1 f(x) − x ∙ f ′ (x) f2(x) � 1 0 dx 22.73 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε να ισχύουν f(1) = 3 e , f(0) = 1 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι=∫ ex(f(x) + f′ (x))dx 1 0 . 22.74 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο . Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 2) και Β(2 , 1) να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ x�2f(x) + xf′ (x)�dx 2 1 22.75 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = 5 , ∫ f(x)dx = 2 . 1 0 Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x f′ (x)dx 1 0 22.76 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή δεύτερη παράγωγο , για την οποία ισχύουν f(1) = 1 , f ′(1) = 1 . Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) Α = ∫ 2x ∙ f(x)dx + ∫ x2 ∙ f ′(x)dx 1 0 1 0 β) Β = ∫ (f′ (x) + x ∙ f′′ (x))dx 1 0 γ) Γ = ∫ �f ′ (x) ∙ ln(x + 1) + f(x) x+1 � 1 0 dx 22.77 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = ln2 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ �1 + x ∙ f ′ (x)� 1 0 ∙ ef(x) dx 22.78 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή δεύτερη παράγωγο , για την οποία ισχύουν f(1) = 3 , f ′(1) = 2 και ∫ f(x)dx = 5 . 1 0 Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x2 f ′′ (x)dx 1 0 22.79 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Οι εφαπτόμενες της Cf στα Α(1 , 2) και Β(3 , 9) τέμνονται στο σημείο Γ(4 , 11) . Να βρείτε : α) τις τιμές f′ (1) , f′ (3) β) το ολοκλήρωμα ∫ xf′′ (x)dx 3 1 22.80 Δίνεται η f(x) = x3 + αx2 + 3x + 1 , αϵℝ για την οποία ισχύει ∫ f(x)dx = 1 0 15 4 Να βρείτε : α) τον πραγματικό αριθμό α β) το ολοκλήρωμα ∫ f(x) f ′ (x) 3 1 dx 22.81 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + γ , για την οποία ισχύει ∫ f(x)dx = 12 1 −1 ενώ η εφαπτομένη της Cf στο Μ(1 , f(1)) έχει εξίσωση y = 2x + 2 . Να βρείτε τις τιμές των α , β ,γ ∈ ℝ 22.82 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οποία ισχύει f(2) = e3 f(1) . Να βρείτε το ολοκλήρωμα : A = ∫ f ′ (x) + 4f(x) f(x) 2 1 dx
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 102 22.83 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = 5 , ∫ (xf′ (x) + f(x))dx = 1 2 1 . Να βρείτε : α) την τιμή f(2) β) το ολοκλήρωμα ∫ x2( 3f(x) + xf′ (x) )dx 2 1 22.84 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια , ώστε ∫ �xf′ (x) + 2f(x)�dx = 0 1 0 να δείξετε ότι ∫ f(x) 1 0 dx = −f(1) 22.85 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια , ώστε ∫ f(x)dx = f(0) 1 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0 , 1) τέτοιο , ώστε : ∫ xf′ (x) 1 0 dx = f′ (ξ) 22.86 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει f′′ (x) = −2f(x). Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο α και στο β , να δείξετε ότι ∫ x2 f(x)dx = βf(β) β α − αf(α) 22.87 Έστω μια συνάρτηση g με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0 , π] . Αν g(π) = 1 και ισχύει ∫ [g(x) + g′′ (x)] ∙ ημ π 0 x dx = 3 , να βρείτε το g(0) 22.88. Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οποία ισχύει f(0) = 1 , ∫ f ′ (x) f(x) 1 0 dx = 1 Να βρείτε : α) την τιμή f(1) β) το ολοκλήρωμα ∫ 2xf2(x)+ex f(x)−ex f ′ (x) f2(x) 1 0 dx 22.89 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 − x . Να αποδείξετε ότι : α) f ′ (x)√x2 + 1 + f(x) = 0 β) ∫ 1 √x2 + 1 1 0 dx = ln�√2 + 1� ( ΘΕΜΑ 2003 Ε ) 22.90 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ ώστε ∫ �∫ f(x)dx 1 0 � 1 0 ∙ f(x)dx = ∫ f(x)dx + 2 1 0 , f(x) > 0. Να βρείτε το ολοκλήρωμα A = ∫ f(x)dx 1 0 22.91 Δίνεται η συνεχής f ∶ ℝ → (0 , +∞) με ∫ f(x) 1 0 �∫ f(x)dx 1 0 � dx = 2 ∫ f(x)dx + 3 1 0 . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = ∫ f(x)dx 1 0 22.92 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει e∫ f(x)dx 1 0 = ∫ (f(x) + 3x2) 1 0 dx Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx 1 0 . 22.93 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ex ∙ ∫ f(t)dt 1 0 +x2 − x ≥ 1 , x ∈ ℝ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(t)dt 1 0 22.94 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = x + 2 ∫ f(x)dx , x ∈ ℝ . 1 0 Να βρείτε την f . 22.95 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = 2x + ∫ f(x)dx , x ∈ ℝ . 2 0 Να βρείτε την f . 22.96 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = 9x2 − ∫ 2xf(t)dt , x ∈ ℝ . 1 −1 Να βρείτε την f . 22.97 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ η οποία είναι συνεχής και τέτοια , ώστε να ισχύει f(x) = 1 x +2 ∫ t f(t) dt 2 1 , x > 0 . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 22.98 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ∫ f(t)dt = f(x) + 6 π 6 0 . Να βρείτε την f και το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx 2014 2016 22.99 Να βρείτε συνεχή f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ∫ ημx ∙ f(x)dx = f(x) + συνx π 3 0 , x ∈ ℝ
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 103 22.100 Δίνεται η παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 2 , f′ (x) = f(x) − ∫ (f(x) − ex) 1 0 dx . Να δείξετε ότι f(x) = ex + 1 22.101 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ∫ e1 − x f(x) dx = f(x) + ex 1 0 . Να βρείτε την f . 22.102 Δίνεται η συνεχής f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = (10x3 + 3x) ∫ f(t)dt − 45 . 2 0 Να δείξετε ότι f(x) = 20x3 + 6x − 45 . ( ΘΕΜΑ 2008 ) 22.103 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e + 1 1 ΣΤ. Εύρεση Ολοκληρώματος Αντίστροφης 22.104 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x + 3 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 6 0 22.105 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + 2x3 − 3 α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 0 −3 22.106 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x + 1 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 3 1 22.107 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 και g ∶ ℝ → ℝ συνεχής και άρτια συνάρτηση . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x)g(x)dx 1 −1 ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 22.108 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (1, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f�√e� = 2, xf′ (x)lnx + f(x) = 0 , x > 1 α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 γ) Να ορίσετε την αντίστροφη δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ 1 lnx dx e2 0 + ∫ e 1 x dx 1 2 1 . 22.109 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 1 −1 22.110 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e 0 22.111 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e+1 1 22.112 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + 2x − 5 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e−3 −4 22.113 Δίνεται η f(x) = lnx − x − ex , x > 1 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . f(e) f(2) 22.114 Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο [1 , 10] της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 8) και Β(10 , 13). Να δείξετε ότι : ∫ f(x)dx 10 1 + ∫ f−1(x)dx = 122 13 8 22.115 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ παραγωγίσιμη , που ικανοποιεί την σχέση f3(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να ορίσετε την αντίστροφη γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα I = ∫ f(x)dx 2 0
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 104 22.116 Δίνεται η f ∶ ℝ → ℝ παραγωγίσιμη , που ικανοποιεί την σχέση ef(x) + f(x) = x + 1 , x ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να ορίσετε την αντίστροφη γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα I = ∫ f(x)dx e 0 22.117 Αν Ιν = ∫ lnν x dx e 1 να δείξετε ότι Ιν + ν ∙ Ιν−1 = e . Ζ. Εύρεση Αναγωγικού Τύπου 22.118 Αν Ιν = ∫ xν ex dx 2 0 να δείξετε ότι Ιν = 2νe2 − ν ∙ Ιν−1 , ν ≥ 2 22.119 Δίνεται το ολοκλήρωμα Ιν = ∫ xν συνx dx , ν ∈ ℕ∗ π 0 . α) Να δείξετε ότι Ιν = −νπν − 1 − ν(ν − 1)Ιν−2 για κάθε ν ≥ 4 β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ x5 συνx dx π 0 22.120 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xlnx − x + 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι ∫ x x dx > e − 1 2 1 Η. Ανισότητες και Ολοκληρώματα 22.121 Να δείξετε ότι 2 ≤ e4 ∙ ∫ ex 3 − 3x2 dx ≤ 2e4 . 2 0 22.122 Να δείξετε ότι 1 ≤ ∫ √x2 + 1 dx ≤ √2 1 0 22.123 Να δείξετε ότι 12 ≤ ∫ √x2 + 9 dx ≤ √20 4 0 . 22.124 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x2 + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία . β) Να δείξετε ότι e – 1 e ≤ ∫ 1 x2 + 1 dx ≤ e – 1 2 1 0 22.125 Να αποδείξετε ότι : α) lnx x ≤ 1 e , x > 0 β) ∫ xe dx < ∫ ex dx 17 1 17 1 22.126 Να αποδείξετε ότι : α) lnx ≥ 1 − 1 x , x > 0 β) ∫ xx dx ≥ e − 1 . 2 1 22.127 α) Να αποδείξετε ότι : x2 lnx + 2 > x , x > 1 β) Να αποδείξετε ότι : ∫ x2 lnxdx > 2 4 2 22.128 Να αποδείξετε ότι : α) (x + 1) ∙ ln(x + 1) ≥ x , x > −1 β) ∫ (x + 1)x+1dx > 𝑒𝑒 − 1 1 0 22.129 Να αποδείξετε ότι : α) x – 1 x ≤ lnx ≤ x − 1 , x > 1 β) 1 < ∫ 1 lnx dx < e e+1 2 22.130 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + 1 x α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι ∫ xx dx > e − 1 2 1 22.131 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x2 . α) Να δείξετε ότι f είναι κυρτή . β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1 , f(1)). γ) Να δείξετε ότι ∫ e x2 dx > 2e . 2 0 22.132 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι κυρτή και ισχύει f(0) = 0 , f ′ (0) = 1 . Να αποδείξετε ότι ∫ f(x)dx > 1 0 1 2 22.133 Έστω f : [0 , 1] → ℝ με f(0) = 0 , παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει f′ (x) + f(x) > 2xe−x , x ∈ [0 , 1] . Να δείξετε ότι 3 ∫ ex f(x)dx > 1 . 1 0 22.134 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ παραγωγίσιμη , f(0)=0 και να ισχύει f′ (x) + 2xf(x) > 2xe−x2 , x ∈ ℝ Να δείξετε ότι ∫ f(x)dx > 1 0 e−1 e .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 105 22.135 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη τέτοια , ώστε f(0) = 0 , f(1) = 3 και f′ (x) > 2 , ∀ x ∈ [0 , 1] . Να δείξετε ότι : 1 ≤ ∫ f(x)dx ≤ 2 . 1 0 22.136 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα , με συνεχή δεύτερη παράγωγο , f(0)=0 , f(π)=π . Να δείξετε ότι 0 < ∫ f(lnx ) x dx < eπ 1 π2 ( ΘΕΜΑ 2016 ) 22.137 Δίνεται η f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] και ε : y = x − π εφαπτομένη της . Να αποδείξετε ότι ∫ f(x) x dx > e 1 e − 1 − π ( ΘΕΜΑ 2017 ) 22.138 Έστω F μια παράγουσα στο ℝ της συνάρτησης f(x) = 1 1 + x2 με F(1) = 0 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα : A = ∫ F(x)dx 1 0 Θ. Συνδυαστικές με Αρχικές 22.139 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν επιπλέον η F είναι μια παράγουσα της f με F(1) = 0 και η ευθεία ε : y = 2x − 2 είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 1 , να βρείτε το όριο lim x→1 F(x) x2−2x+1 22.140 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = F(1) = 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = F(x) έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα . 22.141 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e lnx x και F μια παράγουσα της f στο (0, +∞) . Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (2 , 4) ∶ f ′ (ξ)F(ξ) = f(ξ) �√2 − f(ξ)� 22.142 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε ∫ f(x)dx = 1 1 0 . Έστω επίσης F μια παράγουσα της f για την οποία ισχύει F(0) = 0 . Να αποδείξετε ότι : α) υπάρχει x0 ∈ (0 , 1) ∶ F(x0) = 1 − x0 β) υπάρχουν ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 1) με ξ1 < ξ2 ώστε f(ξ1) ∙ f(ξ2) = 1 22.143 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 0 που ικανοποιεί τη σχέση 2f(x) − e x − F(x) = 0 , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f 22.144 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(1) = 3 που ικανοποιεί τη σχέση f(x) = (2x + 1)ex2+x − F(x) , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f 22.145 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 1 που ικανοποιεί τη σχέση F(x) f(x) = −e−2x , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f 22.146 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 1 που ικανοποιεί τη σχέση f(x) = ex + F(x) Να βρείτε τον τύπο της f 22.147 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 1 που ικανοποιεί τη σχέση (F(x) − x) ∙ (f(x) − 1) = x Να βρείτε τον τύπο της f 22.148 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ και F μια παράγουσά της στο (0, +∞) με F(1) = 0 Αν ισχύει F(x) ≤ e − x2 lnx , ∀x > 0 , να δείξετε ότι f(1) = 1 e 22.149 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ , με f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . Αν επιπλέον η F είναι μια παράγουσα της f και για τη συνάρτηση G(x) = F(x) − x2 + 3 , ισχύει G(x) ≥ G(1) , να βρείτε τη μονοτονία της F
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 106 Primitive function Αρχική συνάρτηση Anti-derivative function Παράγουσα συνάρτηση 22.150 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και έστω F η αρχική της f ώστε να ισχύει F(1)=0 και (x − 2)F(x) ≤ ex − 2 − x + 1 , ∀x ∈ ℝ . α) Να βρείτε το ∫ f(t)dt 2 1 . β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (1 , 2) ∶ f(ξ) + F(ξ) = 0 . 22.151 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 1 , f′ (x) = − 2x x2 + 1 ∙ f(x) , ∀x ∈ ℝ . α) Να βρείτε τον τύπο της f . β) Αν F(x) είναι αρχική της f(x) με F(1)=0 να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ F(x)dx 1 0 22.152 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή f ′ (x) και έστω F η αρχική της f ώστε να ισχύει F(1)=0 και x F(x) ≥ xex − ex − x + 1 ∀x ∈ ℝ . α)Να αποδείξετε ότι f(1) = e − 1 , ∫ f(t)dt = 1 1 0 . β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ x f′ (x)dx 1 0 . γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + F(x) = e−x έχει τουλάχιστον μια λύση στο (0 , 1). 22.153 Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ και έστω F η παράγουσα της f . Να αποδείξετε ότι 3 ∙ F(x) < 𝐹𝐹(2x) + 2F � x 2 � , ∀x > 0 22.154 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f ∶ [1 , +∞) → ℝ και έστω F η παράγουσα της f . Να αποδείξετε ότι (x + 1) ∙ F(x) > 𝑥𝑥 ∙ 𝐹𝐹(1) + F(x2) , ∀x > 1 22.155 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και έστω F η παράγουσα της f . Αν η συνάρτηση F δεν είναι 1-1 , τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα .
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 107 Στην προσπάθειά μας να υπολογίσουμε το εμβαδόν κάτω από καμπύλες, φθάσαμε στην έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος. Η βασικότερη εφαρμογή του ορισμένου ολοκληρώματος είναι ο υπολογισμός εμβαδών χωρίων που σχηματίζουν οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. 23.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − x − 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 και x = 3 . Α. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐂𝐟𝐟 και άξονα x’x 23.2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4x − x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 2 23.3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 3 23.4 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 6x + 8 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 3 . 23.5 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −x2 + 2x + 3 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 και x = 4 . 23.6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − e−x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 23.7 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 και x = ln2 23.8 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 3 . 23.9 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e−x ∙ (x + 1) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 και x = 0 23.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x – 2 x , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = e . 23.11 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 – lnx x , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = e . 23.12 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.13 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.14 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 3x + 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23. Εμβαδόν Χωρίου
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 108 23.16 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x2 + 2x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x 23.17 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x − 3)lnx . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.18 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3−x2−4x+4 x+1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.19 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 1 . 23.20 Δίνεται η f(x) = x√x + 1 , x > −1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 3 23.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 2 . 23.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln2 x , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = e . 23.23 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 1 + 1 x + 1 . α) Να μελετήσετε την f ως προς μονοτονία και ακρότατα β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 2 και x = 5. 23.24 Δίνεται η f(x) = � x ∙ ex , x ≤ 0 x x2+ 1 , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −1 , x = 1 23.25 Δίνεται η f(x) = � 3x2 , x ≤ 0 e−x − 1 , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 , x = 1 . 23.26 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � −x2 + 2x + 3 , x < 2 −x + 5 , x ≥ 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −1 , x = 5 . 23.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − x − 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 1 . 23.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + 1 − 1 x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 2 . 23.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −x2 + 4x − 3 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x ,να βρείτε την τιμή του α ∈ (1 , 3) έτσι, ώστε η ευθεία x = α να χωρίζει το Ε σε δύο ισοεμβαδικά χωρία 23.30 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − x2 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x ,να βρείτε την τιμή του α ∈ (−1 , 1) έτσι, ώστε η ευθεία x = α να χωρίζει το Ε σε δύο ισοεμβαδικά χωρία 23.31 Δίνεται η f(x) = � α + lnx , 0 < x ≤ 1 1 + √x − 1 , x > 1 Να βρείτε : α) την τιμή του α αν η f είναι συνεχής β) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 2 , x = 2 23.32 Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από την f(x) = x2 − 5x + 7 τον άξονα x’x και τις ευθείες x = α , x = α + 3
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 109 The area of the region delimited by the graph Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση 23.33 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ με f(1) = 5 , xf′ (x) = 2(1 − f(x)) , x > 0 α) Να δείξετε ότι f(x) = 1 + 4 x2 , x > 0 β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = λ με 0 < 𝜆𝜆 ≠ 1 γ) Αν λ > 1 και το λ αυξάνεται με ρυθμό 3 μον/s , τότε να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(λ) τη στιγμή που είναι λ = 2 23.34 Δίνεται η f(x) = � αx2 , x ≤ 3 1 − e x − 3 x − 3 , x > 3 . Να βρείτε : α) την τιμή του α αν η f είναι συνεχής β) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α�4 , f(4)� γ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 , x = 2 ( ΘΕΜΑ 2001 ) 23.35 Αν ισχύει ότι x 2 < f(x) < xf′ (x) , ∀ x > 0 και αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 να δείξετε ότι 1 4 < 𝐸𝐸 < 1 2 f(1) ( ΘΕΜΑ 2002 ) 23.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x − 1)lnx . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = e . ( ΘΕΜΑ 2012 ) 23.37 Δίνεται η h(x) = x − ln(ex + 1) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της φ(x) = ex(h(x) + ln2) , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 1 ( ΘΕΜΑ 2014 ) 23.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x + 1 , γνησίως αύξουσα για x < 1 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = x0 με x0 < 1 να δείξετε ότι Ε = − x0 2 − 2x0 + 2 2 ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 23.39 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 − 4x − 5 και g(x) = x + 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = −2 και x = 2 . Β. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐂𝐟𝐟 , 𝐂𝐂𝐠𝐠 23.40 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx − 1 και g(x) = 2x + 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 1 και x = e 23.41 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex − 2x − 2 και g(x) = x2 − ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = −1 και x = 1 23.42 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x x2+1 , x ∈ ℝ και g(x) = 1 x , x > 0 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 1 και x = 2 23.43 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + 4x και g(x) = x + 4 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 110 23.44 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 και g(x) = 4x − x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.45 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + x και g(x) = −x2 + 3x + 4 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.46 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 3x3 − 2x και g(x) = 2x − x3 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.47 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 + 2x και g(x) = 3x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.48 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x + 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτομένη της στο σημείο με τετμημένη x = 3 και τον άξονα y’y . 23.49 α) Να δείξετε ότι e3x ≥ x + 1 , ∀ x ≥ 0 . β) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex και g(x) = e−2x (x + 1) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.50 α) Αν ισχύει ότι lnx ≥ α∙(x−1) x , ∀ x > 0 , να δείξετε ότι α = 1 β) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 ∙ lnx και g(x) = x2 − x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 1 , x = 2 23.51 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln⁡ (1 + x) και g(x) = x − x2 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και x = 1 23.52 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex − 1 και g(x) = ln⁡ (1 + x). Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 0 , x = 1 23.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − lnx x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την πλάγια ασύμπτωτή της στο +∞ και την ευθεία x = 2 . 23.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ex−1 − x + 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την πλάγια ασύμπτωτή της στο −∞ , την ευθεία x = 1 και τον άξονα y’y. 23.55 Δίνεται η f(x) = 3x + 1 2x2 . Να βρείτε : α) τις ασύμπτωτες της Cf β) το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την πλάγια ασύμπτωτή της στο +∞ και των ευθειών x = 1 , x = α , α > 1 γ) το όριο lim α→+∞ Ε(α) 23.56 α) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f(x) = x + 1 + 4 (x−1)2 της πλάγιας ασύμπτωτής της στο +∞ και των ευθειών x = 3 , x = λ με λ > 3 . β) Να βρείτε το όριο lim λ→+∞ Ε(λ) 23.57 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g δύο φορές παραγωγίσιμες στο ℝ για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις : f′′ (x) = g′′ (x) + ex , f′ (0) = g′ (0) + 1 και f(0) = g(0) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και την ευθεία x = 1 23.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ e−x2 α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο με τετμημένη x = 0 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτομένη και των ευθειών x = −1 και x = 1 23.59 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − x4 α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο με τετμημένη x = 1 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτομένη και των ευθειών x = 1 και x = 2
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 111 23.60 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln⁡ (2x − 1) , g(x) = e2x−2 − 1 α) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των Cf , Cg στο κοινό τους σημείο Α(1 , 0) β) Να μελετήσετε τις f , g ως προς την κυρτότητα γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και x = 2 23.61 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = eλx , λ > 0 . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων , είναι η y = λe ∙ x . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου , το οποίο περικλείεται από την Cf , της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y’y , είναι Ε(λ)= e – 2 2λ δ) Να βρείτε το όριο lim λ→+∞ λ2∙ Ε(λ) 2+ημλ ( ΘΕΜΑ 2005 ) 23.62 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + π 2 μια σταθερά. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και την ευθεία y = −2x − 2ημ2 θ ( ΘΕΜΑ 2007 ) 23.63 Δίνεται η f(x) = � √x4 3 , x ∈ [−1 , 0) ex ∙ ημx , x ∈ [0 , π] . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg με g(x) = e5x τον άξονα y’y και την ευθεία x = π ( ΘΕΜΑ 2017 ) 23.64 Δίνεται συνάρτηση f(x) = ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την εφαπτομένη ευθεία ε της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και την ευθεία x = −1 . Γ. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐂𝐟𝐟 , 𝐂𝐂𝐠𝐠 , 𝐂𝐂𝐡𝐡 23.65 Δίνεται συνάρτηση f(x) = ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την εφαπτομένη ευθεία ε της Cf στο σημείο της Α(1 , e) και την ευθεία x = −1 . 23.66 Δίνεται συνάρτηση f(x) = −x2 − x + 2 . α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x = −1 β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την εφαπτομένη . 23.67 Δίνεται συνάρτηση f(x) = −x2 + 3x . α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x = 1 β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την εφαπτομένη 23.68 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x2 − 6x + 5 α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf που είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : x −2y + 2016 = 0 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την εφαπτομένη και τον άξονα y’y. 23.69 Δίνεται συνάρτηση f(x) = ex και (ε) η εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από το Ο(0 , 0). Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την (ε) και την ευθεία x = −1 . 23.70 Δίνεται η f(x) = x2 + x + α , α ∈ ℝ . Αν η εφαπτομένη (ε) της Cf στο σημείο τομής της με την ευθεία x = 2 τέμνει τον άξονα y’y στο y0 = −3 , τότε να βρείτε : α) το α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) β) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f , της εφαπτομένης (ε) , του άξονα x’x και της ευθείας x = 3 5 ( ΘΕΜΑ 2006 Ε )
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 112 23.71 Δίνεται η f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] και δύο εφαπτόμενες που άγονται από το Α � π 2 , − π 2 � έχουν εξισώσεις ε1: y = x και ε2: y = x − π . Αφού σχεδιάσετε την Cf και τις εφαπτόμενες , να αποδείξετε ότι Ε1 Ε2 = π2 8 − 1 , όπου Ε1 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τις ευθείες ε1 , ε2 και Ε2 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και του άξονα x’x ( ΘΕΜΑ 2017 ) 23.72 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 , x = 3 . Δ. Εμβαδό και Αντίστροφη Συνάρτηση 23.73 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + 2x − 3 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , την ευθεία x = −6 και τους άξονες x’x και y’y 23.74 Δίνεται η f(x) = x3 − 6x2 + 12x − 6 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 23.75 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 3 4 x α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 23.76 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2007 + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 και τις ευθείες x = −1 , x = 1 23.77 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 3x . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με την διχοτόμος της πρώτης γωνίας των αξόνων γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 23.78 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 , x = e . 23.79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 + lnx . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 , x = e 23.80 Να δειχθεί ότι η f(x) = ln(x + 1) + x αντιστρέφεται και να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από Cf−1 , τον άξονα x’x και την ευθεία x = e 23.81 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ , παραγωγίσιμη ώστε f3(x) + f(x) = 2x , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε την αντίστροφη . γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την ευθεία x = 1 και τους άξονες x’x και y’y . 23.82 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ , παραγωγίσιμη ώστε f3(x) + f(x) = x + 2 , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε την αντίστροφη . γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τους άξονες x’x και y’y . 23.83 Δίνεται η f(x) = x2 + 2x , x ≥ −1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f , f−1 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f , f−1 23.84 Δίνεται η f(x) = x2 − 2x + 2 , x ≥ 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f , f−1 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f , f−1
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 113 23.85 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [0 , 1] για την οποία ισχύει f3(x) + 2f(x) = 3x , xϵ[0 , 1] . α) Να δείξετε ότι f(0) = 0 , f(1) = 1 β) Να βρείτε την αντίστροφη ,αν ορίζεται γ) Να δείξετε ότι ∫ f−1(x)dx = 1 − ∫ f(x)dx 1 0 1 0 δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις f , f−1 και των ευθειών x = 0 και x = 1 23.86 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 1 α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f−1 του άξονα x’x και της ευθείας x=e . γ) Αν η f−1 είναι παραγωγίσιμη να βρείτε την εφαπτομένη της f−1 στο x0=0 23.87 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 2ex − x2 + 1 . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να δείξετε ότι f ( [0 , 1] )= [ 3 , 2e] γ) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη δ) Αν η f−1 είναι συνεχής , να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x=3 , x=2e . 23.88 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(x) = �∫ f(t)dt + 20 3 0 � ex−3 − x2 − 2x , xϵ ℝ α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 2ex − x2 − 2x β) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης δ) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της αντίστροφης, τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 2 e2 , x = 2 . 23.89 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 3 . ( ΘΕΜΑ 2003 ) 23.90 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει ef(x)(f2(x) − 2f(x) + 3) = x α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της . β) Να μελετήσετε την αντίστροφη ως προς την κυρτότητα . Στη συνέχεια να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της αντίστροφης , την εφαπτομένη της αντίστροφης στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y’y και την ευθεία x=1 ( ΘΕΜΑ 2014 Ε )

More Related Content

PDF
Ασκήσεις στα Όρια-Συνέχεια Συνάρτησης Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
PDF
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
συνολο τιμων συναρτησησ
byChristos Loizos
 
PDF
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
όρια γ λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Φύλλα εργασίας Β Γυμνασίου 2020
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Απόλυτη τιμή (Εκπαιδευτικό σενάριο)
byZinosGiannakis
 
Ασκήσεις στα Όρια-Συνέχεια Συνάρτησης Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
byΘανάσης Δρούγας
 
συνολο τιμων συναρτησησ
byChristos Loizos
 
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
όρια γ λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Φύλλα εργασίας Β Γυμνασίου 2020
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Απόλυτη τιμή (Εκπαιδευτικό σενάριο)
byZinosGiannakis
 

What's hot

PDF
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
byLamprini Zourka
 
PDF
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
διαγωνισμα τριγωνομετρια β λυκειου 2
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPT
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
bydimandres
 
PDF
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
PDF
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPT
Συνάρτηση "1-1"
byperi2005
 
PDF
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Προτάσεις χωρίς απόδειξη (Οδηγίες Υπουργείου Παιδείας 2019)
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Test Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης 1.4: Συντεταγμένες διανύσματος
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Ραψωδια Γ
byEvangelia Patera
 
PDF
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
byChristos Loizos
 
PDF
ΑΡΧΑΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΞΕΝΟΦΩΝΤΑ
byGeorgia Sofi
 
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
byLamprini Zourka
 
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
byΜάκης Χατζόπουλος
 
διαγωνισμα τριγωνομετρια β λυκειου 2
byΘανάσης Δρούγας
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
bydimandres
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
byΘανάσης Δρούγας
 
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Συνάρτηση "1-1"
byperi2005
 
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Προτάσεις χωρίς απόδειξη (Οδηγίες Υπουργείου Παιδείας 2019)
byΜάκης Χατζόπουλος
 
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Test Β΄ Λυκείου κατεύθυνσης 1.4: Συντεταγμένες διανύσματος
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Ραψωδια Γ
byEvangelia Patera
 
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
byChristos Loizos
 
ΑΡΧΑΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΞΕΝΟΦΩΝΤΑ
byGeorgia Sofi
 

Similar to Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης

PDF
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
byDina Kiourtidou
 
PDF
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Σημειώσεις γεννητριών- ΠΛΗ 20
byAnna Korfiati
 
PDF
Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20 (v.2)
byAnna Korfiati
 
PDF
Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20
byAnna Korfiati
 
PDF
Ακολουθίες - Α.Π - Γ.Π 2021
byGeneral Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
PDF
Επαναληπτικές ασκήσεις με λύσεις για τη Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPTX
Φρανσουά Βιετ | Σωτήρης Συριόπουλος
byΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ
 
PDF
Prosomoiwsh 1 xenos
byChristos Loizos
 
PDF
ΙΦΕ - Μαθηματικά - Μάθημα 1 - Σύνολα
byAnna Korfiati
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
byDina Kiourtidou
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
byChristos Loizos
 
Σημειώσεις γεννητριών- ΠΛΗ 20
byAnna Korfiati
 
Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20 (v.2)
byAnna Korfiati
 
Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20
byAnna Korfiati
 
Ακολουθίες - Α.Π - Γ.Π 2021
byGeneral Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
Επαναληπτικές ασκήσεις με λύσεις για τη Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Φρανσουά Βιετ | Σωτήρης Συριόπουλος
byΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ
 
Prosomoiwsh 1 xenos
byChristos Loizos
 
ΙΦΕ - Μαθηματικά - Μάθημα 1 - Σύνολα
byAnna Korfiati
 

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

PDF
Γεωμετρία Α Λυκείου - Ν. Ράπτης
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
B gymnasioy 2014_teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
25 askiseis algebra_a_lykeiou
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Θαύματα Παναγίας Γοργοϋπηκόου
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
G gymnasioy 2014_τελικο
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
264 squares(4)
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
201441
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του Αγιορείτου
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
DOCX
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Bg lykeioy 2014_teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
A lykeioy 2014_teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
201441 (1)
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
201443
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
201442
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
60x
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
áêïëïõèéá áãéïõ óùêñáôïõó
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
για τον λεοναρντ οϋλερ
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Γεωμετρία Α Λυκείου - Ν. Ράπτης
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
B gymnasioy 2014_teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
25 askiseis algebra_a_lykeiou
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Θαύματα Παναγίας Γοργοϋπηκόου
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
G gymnasioy 2014_τελικο
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
264 squares(4)
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
201441
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του Αγιορείτου
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Bg lykeioy 2014_teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
A lykeioy 2014_teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
201441 (1)
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
201443
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
201442
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
60x
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
áêïëïõèéá áãéïõ óùêñáôïõó
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
για τον λεοναρντ οϋλερ
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 

Recently uploaded

PDF
Principles and Practices of GST 2.0 Study material
bySri Ramakrishna College of Arts and science
 
PDF
Orchard Floor Managment.pdf Orchard Floor Management
bybisensharad
 
PDF
Nutrients & Role in Horticulture.pdf, Dr. Sharad Bisen Horticulture
bybisensharad
 
PPTX
Details of Muscular-and-Nervous-Tissues.pptx
byAshish Umale
 
PPTX
Rectal Surgery in Senior Citiizens .pptx
byJohn Thanakumar
 
PPTX
Searching in PubMed andCochrane_Practical Presentation.pptx
bySystematic Reviews Network (SRN)
 
PPTX
Vitamins and mineral deficiency , signs and symptoms associated with exercise
byvirupa chandrika reddy
 
PPTX
15 December 2025 Education for human flourishing Michael Stevenson .pptx
byEduSkills OECD
 
PDF
BỘ TEST KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1 - TIẾNG ANH 6-7-8-9 GLOBAL SUCCESS - PHIÊN BẢN...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
PDF
NAVIGATE PHARMACY CAREER OPPORTUNITIES.pdf
byMd. Zakaria Faruki
 
PPTX
MACSYMA introduction,working,application
bymanahilraees49
 
PDF
Unit-III pdf (Basic listening Skill, Effective Writing Communication & Writin...
bySayyadTarannum
 
PDF
The Tale of Melon City poem ppt by Sahasra
bybitrasahasra
 
PPTX
ELEMENTS OF COMMUNICATION (UNIT 2) .pptx
byPOOJA KARVANDE
 
PDF
All Students Workshop 25 Yoga Wellness by LDMMIA
by©LDMMIA, ©Reiki Yoga
 
PPTX
Limpitlaw "Licensing: From Mindset to Milestones"
byNational Information Standards Organization (NISO)
 
PDF
Projecte de la porta de primer B: L'antic Egipte
byeduardrubio1
 
PDF
Blue / Green: Troop Leading Procedure (TLP) Overview.pdf
byBlue / Green Training
 
PDF
Projecte de la porta d'i5B: Els animals marins
byeduardrubio1
 
DOCX
Mobile applications Devlopment ReTest year 2025-2026
byDr. Mazin Mohamed alkathiri
 
Principles and Practices of GST 2.0 Study material
bySri Ramakrishna College of Arts and science
 
Orchard Floor Managment.pdf Orchard Floor Management
bybisensharad
 
Nutrients & Role in Horticulture.pdf, Dr. Sharad Bisen Horticulture
bybisensharad
 
Details of Muscular-and-Nervous-Tissues.pptx
byAshish Umale
 
Rectal Surgery in Senior Citiizens .pptx
byJohn Thanakumar
 
Searching in PubMed andCochrane_Practical Presentation.pptx
bySystematic Reviews Network (SRN)
 
Vitamins and mineral deficiency , signs and symptoms associated with exercise
byvirupa chandrika reddy
 
15 December 2025 Education for human flourishing Michael Stevenson .pptx
byEduSkills OECD
 
BỘ TEST KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1 - TIẾNG ANH 6-7-8-9 GLOBAL SUCCESS - PHIÊN BẢN...
byNguyen Thanh Tu Collection
 
NAVIGATE PHARMACY CAREER OPPORTUNITIES.pdf
byMd. Zakaria Faruki
 
MACSYMA introduction,working,application
bymanahilraees49
 
Unit-III pdf (Basic listening Skill, Effective Writing Communication & Writin...
bySayyadTarannum
 
The Tale of Melon City poem ppt by Sahasra
bybitrasahasra
 
ELEMENTS OF COMMUNICATION (UNIT 2) .pptx
byPOOJA KARVANDE
 
All Students Workshop 25 Yoga Wellness by LDMMIA
by©LDMMIA, ©Reiki Yoga
 
Limpitlaw "Licensing: From Mindset to Milestones"
byNational Information Standards Organization (NISO)
 
Projecte de la porta de primer B: L'antic Egipte
byeduardrubio1
 
Blue / Green: Troop Leading Procedure (TLP) Overview.pdf
byBlue / Green Training
 
Projecte de la porta d'i5B: Els animals marins
byeduardrubio1
 
Mobile applications Devlopment ReTest year 2025-2026
byDr. Mazin Mohamed alkathiri
 

Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης

  • 1.
    ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ– ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Επιμέλεια Νίκος Κ. Ράπτης 1.600 Ασκήσεις
  • 2.
  • 3.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Η Έννοια της συνάρτησης ………………………………………………σελ. 4 2. Σύνθεση συναρτήσεων ………………………………………………….. σελ. 11 3. Μονοτονία συνάρτησης ………………………………………………… σελ. 14 4. Αντίστροφη συνάρτηση ………………………………………………… σελ. 18 5. Όριο Συνάρτησης στο 𝐱𝐱𝐨𝐨 ∈ ℝ ………………………………………. σελ. 26 6. Μη Πεπερασμένο Όριο στο 𝐱𝐱𝟎𝟎 ∈ ℝ ……………………………….. σελ. 33 7. Όριο συνάρτησης στο άπειρο …………………………………………..σελ.35 8. Κανόνας του De L’ Hospital …………………………………………….σελ. 39 9. Συνέχεια συνάρτησης ………………………………………………………σελ. 40 10. Ασύμπτωτες ……………………………………………………………………σελ. 43 11. Θεώρημα BOLZANO …………………………………………………………σελ. 47 12. Η Έννοια της Παραγώγου……………………… …….……………… σελ. 55 13. Εφαπτόμενες………………………………………………….. ……………. σελ. 59 14. Ρυθμός Μεταβολής ………………………………………………… ……..σελ. 63 15. Θεώρημα Rolle ………………………………………………… …………….σελ. 66 16. Θεώρημα Μέσης Τιμής ………………………………………. ………….σελ. 71 17. Συνέπειες Θ.Μ.Τ. ……………………………….. ……………………………σελ. 76 18. Μονοτονία Συνάρτησης …………………………………………………...σελ.81 19. Ακρότατα Συνάρτησης…… ……………………………………………… σελ. 85 20. Κυρτότητα Συνάρτησης ………………………………………………… σελ. 92 21. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης ………………………………… σελ. 96 22. Ορισμένο Ολοκλήρωμα ……………………………………………………. σελ.97 23. Εμβαδόν Χωρίου……………………………………………………………. . σελ. 107
  • 4.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 4 Domain of definition ή απλώς domain το πεδίο ορισμού στα Αγγλικά 1.1 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = 2x − 1 x2 + 2x − 3 β. f(x) = x + 4 |2x − 3|− 5 γ. f(x) = √x2 − 3x − 4 δ. f(x) = ln(−x2 + 3x + 10) ε. f(x) = 5x − 4 �3− |x + 1| ζ. f(x) = ex ln(x − 2) A. Εύρεση πεδίου ορισμού συνάρτησης 1.2 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = 5x x 3 − x 2 − 2x β. f(x) = √x + 1 + √3 − x γ. f(x) = � x − 5 x + 2 δ. f(x) = 5 3− |x − 2| 1.3 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = �5 − |x + 1| β. f(x) = �|2x + 1| − 7 γ. f(x) = ln � x + 2 x − 4 � δ. f(x) = x + 1 x3 − 3x2 + x + 2 1.4 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = 1 x2 – x − 2 + 5 x − 3 β. f(x) = √x2 − 4 γ. f(x) = √12 − x − x2 δ. f(x) = ln(1 − x2) 1.5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = x−2 e2x − ex − 2 β. f(x) = 4 ln(x − 1) – 1 γ. f(x) = ln(ex − 1) δ. f(x) = � ex − 1 ex − 2 1.6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α. f(x) = �4− |3 − x| lnx β. f(x) = log(|x| − 3) γ. f(x) = ex e x − e − x δ. f(x) = �√x − 1� √x − 2 1.7 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α) f(x) = √x − 7 x2− 9x + 8 β) f(x) = √x3 − 8 2x − 16 γ) f(x) = √x − 2 x2− 9x + 8 +ln(81 − x2) 1.8 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α) f(x) = ln x − 1 x + 2 β) f(x) = x2+ 1 lnx − 1 γ) f(x) = �ln(x − 3) Η έννοια της συνάρτησης εισήχθηκε στα μαθηματικά από τον Leibniz το 1694. Στον Euler ,το 1748, οφείλεται ο όρος “συνάρτηση” (function) καθώς και ο συμβολισμός f(x). Ο LEONARD EULER (1707–1783) ήταν ο μεγαλύτερος μαθηματικός του 18ου αιώνα και ο παραγωγικότερος όλων των εποχών 1. Η έννοια της Συνάρτησης
  • 5.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 5 1.9 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 1 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και τις τιμές f(−3) και f(f(2)). β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 8 . γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης f(α+ β)− f(α− β) αβ με α , β ≠ 0 B. Τιμή Συνάρτησης στο 𝐱𝐱𝟎𝟎 1.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + 10x + 2α x3+ α για την οποία ισχύει f(1)=3 . α) Να βρείτε την τιμή του α και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≤ 1. 1.11 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + α) ln(β − x) για την οποία ισχύει f(−1) = 1 και f(−6) = 0 . Να βρείτε: α) τους αριθμούς α και β β) το πεδίο ορισμού της f 1.12 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 2x − 3 , αν x ≤ 4 x2 − 1 , αν 4 < x ≤ 10 . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές f(−3) , f(4) , f(10). Γ. Συναρτήσεις Πολλαπλού Τύπου 1.13 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x + α , αν − 6 ≤ x < −1 x2 + β , αν − 1 ≤ x < 7 για την οποία ισχύει f(−2) = 5 και f(5) = 24 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β γ) Να βρείτε τις τιμές f(−1) και f(f(−3)) δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3 . 1.14 Δίνεται η f(x) = � αlnx + β , αν x > 0 αex − β , αν x ≥ 0 για την οποία ισχύει f(0) = −1 και f(1) = 3 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β 1.15 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: 3f(x) − 2f � 1 x � = 5x2 , ∀ x ≠ 0 . Δ. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης – Συναρτησιακές Σχέσεις 1.16 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + x ≤ 2x2 ≤ f(x + 1) − 3x − 1 , x ∈ ℝ . 1.17 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + 2f(3 − x) = 2x − 1 , x ∈ ℝ . 1.18 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + x ≤ x2 ≤ f(x + 1) − x , x ∈ ℝ. 1.19 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x)+3 f(2−x)=−4x , x ∈ ℝ . Να βρείτε : α) την τιμή f(1) β) τον τύπο της συνάρτησης f 1.20 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f(x) + 3x ≤ x2 ≤ f(x − 2) + 7x − 10 , x ∈ ℝ 1.21 Έστω συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f(x ∙ y) = f(x) + f(y) , x , y > 0. Να δείξετε ότι: α) f(1)=0 β) f(y) = −f � 1 y � , y > 0 γ) f � x y � = f(x) − f(y) , x , y > 0 1.22 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει : f(x − 3) − 2f(1 − x) = x2 − 2x , x ∈ ℝ . 1.23 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f για την οποία ισχύει: f2(x) = 4ex(f(x) − ex) , x ∈ ℝ . 1.24 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f : ℝ − {0 , 1} → ℝ με f(x) + 3f � 1 x � = 2x + 1 x − 1 , x ∈ ℝ − {0 , 1}
  • 6.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 6 1.25 Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = x2 + 2x − 8 β. f(x) = |2x − 1| − 5 γ. f(x) = ln(x − 2) δ. f(x) = ex + 2 ε. f(x) = x2 + x − 6 x − 2 Ε. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 1.26 Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α. f(x) = ln2 x − lnx β. f(x) = x3 − 3x2 + 4 γ. f(x) = e2x − 3ex + 2 δ. f(x) = ex2−x−2 − 1 1.27 Να βρείτε την σχετική θέση με τον άξονα x’x των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = −2x2 + 5x + 3 β) f(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6 γ) f(x) = 9x2 − 9x − 4 3x + 1 1.28 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x : α) f(x) = x3 − 4x β) f(x) = 1 − lnx γ) f(x) = 2ex − 2 1.29 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = x3 + 3x2 − 2x + 1 και g(x) = x2 + x + 1 β) f(x) = x3 και g(x) = x2 + x − 1 γ) f(x) = x lnx − 2x και g(x) = x δ) f(x) = 32x+5 και g(x) = 3x+2 + 2 1.30 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f(x) = x2 − 3x + 2 , g(x) = 6 x β) f(x) = x + 1 + 1 x + 1 , g(x) = x2 + x + 2 1.31 Να βρείτε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων f και g : α) f(x) = x3 + x και g(x) = 3x2 − 2 β) f(x) = ln2 x και g(x) = lnx + 2 γ) f(x) = g(x) + x2 − 1 , x ∈ ℝ . 1.32 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg όταν : α) f(x) = x2 και g(x) = 6x − 8 β) f(x) = x3 − 3x2 − 2 και g(x) = x2 − 4x + 1 γ) f(x) = x2 − ex και g(x) = x2 ex − 1 1.33 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 x2 – x − 12 . Να βρεθούν: α) το πεδίο ορισμού της f β) τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τους άξονες γ) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x 1.34 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + x + 3 x − 2 και g(x) = x2 + 2x . Να βρεθούν: α) τα κοινά σημεία των Cf , Cg β) τα διαστήματα που η Cg βρίσκεται πάνω από την Cf 1.35 Δίνονται οι συναρτήσεις : f(x) = 4x − 2x+1 και g(x) = 2x+2 − 8 . Να βρεθούν: α) τα κοινά σημεία των Cf , Cg β) τα διαστήματα που η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg 1.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x + 2 και η ευθεία ε : 6x − y − 4 = 0. Να βρεθούν: α) τα κοινά σημεία των Cf και της ε β) τα διαστήματα Cf βρίσκεται πάνω από την ε . 1.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � ex − 1 , αν x ≤ 0 lnx , αν x > 0 Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf : α) με τον άξονα x’x β) με την ευθεία y = 1 1.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = λx + 5 x2 + λx + 1 α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το ℝ β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η Cf διέρχεται από το σημείο Α(1 , λ + 1) 1.39 Δίνονται οι συναρτήσεις : f(x) = x3 + 2α και g(x) = 2βx2 + 5x , α, β ∈ ℝ . Να βρεθούν οι αριθμοί α , β ώστε οι Cf και Cg να έχουν κοινά σημεία πάνω στις ευθείες x = 1 και x = −2. Κατόπιν να βρεθούν όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων Cf , Cg
  • 7.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 7 1.40 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + αx + β και g(x) = x3 − 3x2 + β − 6α , με α , β ∈ ℝ . Αν η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο −3 και η Cg τέμνει τον άξονα y’y στο −6 να βρείτε : α) τους αριθμούς α και β β) τα σημεία τομής των Cf , Cg 1.41 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (x − α)ex + β τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο με τεταγμένη 1 και την ευθεία x = 1 στο σημείο με τεταγμένη 2 . Να βρείτε : α) τις τιμές των α και β β) τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία y = 2x 1.42 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + α − 4 , α ∈ ℝ . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−3 , 5) , να βρείτε : α) τον πραγματικό αριθμό α β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ) τα σημεία τομής της Cf με την γραφική παράσταση της g(x) = −4x + 1 1.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln⁡ (x2 − 2x + α) , α ∈ ℝ . Αν η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων , να βρείτε: α) τον πραγματικό αριθμό α β) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f γ) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x δ) τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y = 2ln3 . 1.44 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2 + α , x ≤ 1 |x − 2| + α + 1 , x > 1 . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−3 , 5) , να βρείτε : α) τον πραγματικό αριθμό α β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες 1.45 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ∗ → ℝ ώστε : 2xf(x) − x f � 1 x � = x2 − 3x − 4 , x ∈ ℝ∗ . Να βρείτε : α) τον τύπο της συνάρτησης f β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x 1.46 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f � x e � ≤ lnx ≤ f(x) − 1 , x > 0 Να βρείτε : α) τον τύπο της συνάρτησης f β) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες 1.47 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(8 − 3x) + f(x) = 2g(x) , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι οι Cf , Cg έχουν κοινό σημείο β) Αν 3f(x) − 2f(2 − x) = 2x − x2 , ∀x ∈ ℝ , να βρείτε τους τύπους των f , g και το κοινό σημείο . 1.48 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f3(x) − 2f2(x) + 5f(x) = −e2x − ex , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x 1.49 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το f(−1) δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0 ε) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x)>0 και f(x)<0 . ζ) Να εξετάσετε αν το −1 είναι τιμή της συνάρτησης .
  • 8.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 8 1.50 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το f(2) δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 ε) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x) > 0 και f(x) < 0 . ζ) Να εξετάσετε αν το 0 είναι τιμή της συνάρτησης . 1.51 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x) = 0 , f(x) = 2 και f(x) = −2 , δ) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x) > 0 και f(x) < 0 , f(x) ≤ 2 , f(x) < −2 1.52 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε την τιμή f�f(−2)� δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2 ε) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≥ 0 και την f(x) < 2 1.53 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε τις τιμές f(7) , f�f(4)� και f�f(6)� δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 , f(x) = −2 ε) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0
  • 9.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 9 1.54 Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών των συναρτήσεων f , g β) Να βρείτε τις τιμές f�g(0)� , g�f(0)� γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x) δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > g(x) ε) Να λύσετε την ανίσωση g(x) ≤ 0 1.55 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις α) f(x) = e3x − 2xex xex και g(x) = e 2x x −2 β) f(x) = x2− 4 x2 + 2|x| , g(x) = 1 − 2 |x| ΣΤ. Ισότητα Συναρτήσεων 1.56 Να αποδείξετε ότι είναι ίσες οι συναρτήσεις f(x) = x3 − 8 x2+ 2x + 4 , g(x) = (x + 3)2 − x2 − 5x − 11 1.57 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g. Στην περίπτωση που είναι f ≠ g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του ℝ στο οποίο να ισχύει f(x) = g(x) α. f(x) = √x2 − x − 6 και g(x) = √x + 2√x − 3 β. f(x) = x2 + 4x + 3 x2− 1 , g(x) = x2 − 9 x2 − 4x + 3 γ. f(x) = ln � x2 1 − x � και g(x) = 2lnx − ln⁡ (1 − x) 1.58 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει (f(x) + g(x))2 = 4f(x) ∙ g(x). Να δείξετε ότι f = g 1.59 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ∗ → ℝ για τις οποίες ισχύει : �f(x)� 2 +�g(x)� 2 2x = f(x) + g(x) − x , ∀ x ≠ 0 . Να δείξετε ότι f = g 1.60 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f2(x) + g2(x) + 8x2 ≤ 4x(f(x) + g(x)) . Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f , g είναι ίσες. 1.61 Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ για τις οποίες οι συναρτήσεις f(x) = αx2(x − 1) + βx(x − 2) + γ και g(x) = x3 + 3x2 − 8x + 5 είναι ίσες . 1.62 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = (λ + 1)x − 2λ − 1 x − 2λ2 + λ − 2 και g(x) = [(1 − λ)8+ λ]x + (λ − 3)5 − 4 x − λ2− 2λ Να βρείτε για ποια τιμή του λ οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. 1.63 Να βρεθεί ο λ ∈ ℝ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις f(x) = −λx3+ 3x – 4 x2− λx + 4 και g(x) = −λx − 1 1.64 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ , ώστε οι συναρτήσεις f(x) = x2− αx + β x – α + 2 και g(x) = x2 –(α + β − 1)x + 2α − 3 x + β−1 να είναι ίσες. 1.65 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ , ώστε οι συναρτήσεις f(x) = 2x + 5 x2− 7x + 10 και g(x) = α x − 2 + β x − 5 να είναι ίσες
  • 10.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 10 1.66 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √x − 1 και g(x) = x2− 4 x2− 3x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g Ζ. Πράξεις μεταξύ Συναρτήσεων 1.67 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √x − 1 και g(x) = √6 − x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.68 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √x − 1 και g(x) = √2 − x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.69 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2− 9 x + 2 και g(x) = x − 1 x2− x − 6 Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.70 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x lnx και g(x) = √1 − 2x . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g , f ∙ g , f g 1.71 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx − 3 , g(x) = ex − 2 . Να λύσετε την ανίσωση: � f g � (x) ≥ 0
  • 11.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 11 2.1 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √2 − x και g(x) = x2 + 2x − 6 . Να ορίσετε την fog . Α. Ορισμός Σύνθεσης Συναρτήσεων 2.2 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x + 1 x + 2 , g(x) = x − 3 x − 2 Να ορίσετε, αν ορίζονται, τις συναρτήσεις fog , gof , fof. 2.3 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x − 1 x + 1 , g(x) = x − 1 x . Ισχύει fog = gof ; 2.4 Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x + 3 x − 2 . Να ορίσετε την συνάρτηση gog . 2.5 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √2 − x και g(x) = lnx . Να ορίσετε, αν ορίζονται, τις συναρτήσεις fog και gof 2.6 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = x 1 − x . Να ορίσετε την fog . ( ΘΕΜΑ 2017 ) 2.7 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = √2x − 1 και g(x) = ln(9 − x2) . Να ορίσετε την συνάρτηση gof . 2.8 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex ex – 1 και g(x) = ln⁡ (x − 1) Να ορίσετε τις συναρτήσεις fog , gof , fof. 2.9 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x − 1 και g(x) = x2 − 2x + 3 . Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fog και gof . 2.10 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x + α και g(x) = 3x + 2α , α ∈ ℝ . Αν οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται πάνω στην ευθεία x=1 , να βρείτε τον αριθμό α και να δείξετε ότι fog = gof 2.11 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ . Να αποδείξετε ότι : α) αν οι συναρτήσεις f , g είναι περιττές , τότε και η fog είναι περιττή . β) αν η συνάρτηση f είναι άρτια και η g είναι περιττή , τότε η fog είναι άρτια . 2.12 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2− 4x + 3 x – 3 και g(x) = ln⁡ (x − 1) α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και να απλοποιήσετε τον τύπο της f β) Να βρείτε την συνάρτηση gof γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cgof βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x 2.13 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + α x + 1 , α ∈ ℝ της οποίας η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−2 , 3). α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να ορίσετε την συνάρτηση fof γ) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις (fof)(x) και g(x) = −x − 1 x2+ x είναι ίσες . 2.14 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α − 5 − α |x| , α ∈ ℝ της οποίας η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−3 , −1) . α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης καθώς και τον αριθμό α . β)Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ)Να βρείτε για ποια τιμή του x η Cf βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g(x) = |x| − 4 . δ) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f και h(x) = x2 − 36 x2 + 6|x| είναι ίσες . 2. Σύνθεση Συναρτήσεων
  • 12.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 12 Composite function of f and g , η σύνθεση της f με την g στα Αγγλικά 2.15 Έστω συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει 2f(x) − f � 1 x � = lnx3 , x > 0. α) Να βρείτε τη συνάρτηση f . β) Αν g(x) = ex + 2 ex − 1 να βρείτε τη συνάρτηση gof καθώς και τα σημεία τομής της με τους άξονες . 2.16 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε (fog)(x) = 3x2 − 6x + 10 και f(x) = 3x + 1 Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . Β. Αποσύνθεση Συναρτήσεων 2.17 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει (gof)(x) = 4x2 + 4 και f(x) = 2x − 1 . Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . 2.18 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g : ℝ → ℝ ώστε (fog)(x) = 2x + 1 και f(x) = lnx , x > 0 . Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . 2.19 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = x + 8 και f(x) = ex+1 . Να βρείτε την συνάρτηση g(x) . 2.20 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = 4x2 − 14x + 13 και g(x) = 2x − 3 . Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . 2.21 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = 2x2 − 11x + 16 και g(x) = x − 3 . Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . 2.22 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει (fog)(x) = 2 − x 2 + x , x > 0 και g(x) = lnx . Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . 2.23 Να βρείτε την συνάρτηση g(x), αν (gof)(x) = x 2x2+ 2x + 1 και f(x) = 2x + 1 2.24 Να βρείτε την συνάρτηση f(x), αν (gof)(x) = 2x − 1 x2− x + 1 και g(x) = x − 2 2.25 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ώστε να ισχύει (fog)(x) = 4x2 − 1 και g(x) = 2x + 1 α) Να βρείτε την συνάρτηση f(x) . β) Να ορίσετε την συνάρτηση fof 2.26 Να βρείτε την συνάρτηση f(x) αν f(ex) = 3x2 − 2x + 4 , x ∈ ℝ 2.27 Να βρείτε την συνάρτηση f(x) αν f(2x − 1) = 4x2 − 6x + 3 , x ∈ ℝ 2.28 Να βρείτε την συνάρτηση f(x) αν f(lnx) = x2 + 3lnx + 1 , x > 0 2.29 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ με (gof)(x) = 3x2 − 6x + 10 και g(x) = 3x − 2 . Να βρείτε : α) τη συνάρτηση f β) τα x για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg 2.30 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = α − x x + 3 , α ∈ ℝ Αν η Cg διέρχεται από το σημείο Α(−5 , −4) : α) να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α β) να ορίσετε την συνάρτηση fog γ) να αποδείξετε ότι η fog είναι περιττή . 2.31 Δίνεται η συνάρτηση f : [−2 , 1] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(2x − 3) Γ. Εύρεση Πεδίου Ορισμού Σύνθεσης 2.32 Δίνεται η συνάρτηση f : [0 , 1] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(lnx) . 2.33 Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , 1] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α) f(3x − 2) β) f(lnx) γ) f(ex) 2.34 Δίνεται η συνάρτηση f : [−1 , 4] → ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=f(x2 − 5)
  • 13.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 13 2.35 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x − 2 , x ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή f(1). Δ. Εύρεση τιμής 𝐟𝐟(𝐱𝐱𝐨𝐨) όταν είναι γνωστή η fof 2.36 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = x2 + x , x ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή f(0). 2.37 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → (0 , +∞) για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x2 + 2x − 80 , x ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή f(5). 2.38 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x + 4 , x ∈ ℝ . α. Να δείξετε ότι �f(3x + 4)� = 3f(x) + 4 , x ∈ ℝ . β. Να υπολογίσετε την τιμή f(−2) . 2.39 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = αx − 1 και g(x) = 7x − α , α ∈ ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι συναρτήσεις fog και gof είναι ίσες. Ε. Εύρεση Μεταβλητών στην Σύνθεση 2.40 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = αx + 1 , g(x) = (3α − 2)x + α2 − 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του α ισχύει fof = g . 2.41 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x − 1 και g(x) = 3αx + 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι συναρτήσεις fog και gof είναι ίσες. 2.42 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x + 3, g(x) = αx2 + βx + γ , h(x) = 4x2 + βx + 2γ . Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α , β , γ για τους οποίους ισχύει gof = h 2.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 − αx 2 − x . Να βρεθεί ο α ∈ ℝ ώστε για κάθε x ≠ 2 να ισχύει (fof)(x) = x .
  • 14.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 14 3.1 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = 3x + 7 β) f(x) = x2 + 5x + 2016 γ) f(x) = x3 + 4x2 − 2x + 1 δ) f(x) = 3ex + 2lnx + 7√x ε) f(x) = 3συνx + 2ημx + 4 x −2x Α. Υπολογισμός Παραγώγων Βασικών Συναρτήσεων 3.2 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = xex β) f(x) = xlnx γ) f(x) = x2 ημx δ) f(x) = x3 lnx ε) f(x) = (x2 − 2x)ex 3.3 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = 2x x + 1 β) f(x) = 3x − 1 2x + 5 γ) f(x) = x2 − 3x 2x + 3 δ) f(x) = x2 ex ε) f(x) = x – 3 ex ζ) f(x) = x lnx η) f(x) = ημ x συν x 3.4 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων α) f(x) = ln(x2 − 3x) β) f(x) = ημ(2x + 3) γ) f(x) = συν(x2 + 5x) δ) f(x) = ex2 + 5x − 3 ε) f(x) = √4x − 5 ζ) f(x) = (3x − 2)5 3.5 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = 2x3 + 6x − 1 β) f(x) = ex + lnx γ) f(x) = −x5 − x3 − lnx Β. Μελέτη Μονοτονίας 3.6 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = 1 − 3x + √1 − 2x β) f(x) = 4e3−x + 2017 γ) f(x) = x5 − 1 2x 3.7 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = x2 + √x β) f(x) = 2 x −lnx + 1 γ) f(x) = � 2 3 � x − 4x 3.8 Να μελετηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία : α) f(x) = ln(x − 1) − e2−x β) f(x) = 1 − x 1 + x γ) f(x) = √x − 1 + 2√x 3.9 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ . Να αποδείξετε ότι : α) αν οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως αύξουσες , τότε και η fog είναι γνησίως αύξουσα . β) αν οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως φθίνουσες τότε η fog είναι γνησίως αύξουσα . 3.10 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → (0, +∞). Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h = f g είναι γνησίως φθίνουσα . 3.11 Έστω οι συναρτήσεις f , g που είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα . 3.12 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία : α) Α(2 , 5) και Β(4 , 3) β) Γ(−1 , 6) και Δ(3 , 8) 3.13 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Αν η Cf τέμνει τους άξονες x’x , y’y στα σημεία με τετμημένη −2 και τεταγμένη 1 αντίστοιχα . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Αν g γνησίως φθίνουσα στο ℝ , να εξετάσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις gog , fog . 3. Μονοτονία Συνάρτησης
  • 15.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 15 Strictly increasing (decreasing) function η γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) συνάρτηση στα Αγγλικά 3.14 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + 2f(x) = 5x + 2 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ 3.15 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + ef(x) = 2x − 3 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ 3.16 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x −lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 1 x2 + 5 − 1 2x2 + 1 < ln x2 + 5 2x2 + 1 . Γ. Μονοτονία και Ανισώσεις 3.17 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση ln(x2 + x + 1) + x2 < ln(x + 2) + 1. 3.18 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2007 + 2007x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 2007 3x – 1 − 2007 x + 3 > (x + 3)2007 − (3x − 1)2007 . 3.19 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση (x3 + x2)3 − (x + 1)3 > 2(x + 1 − x3 − x2) 3.20 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 2 3 � x − 2x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση � 4 9 � x − � 2 3 � x < 2x 3.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 4x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 21−x + 4 < 4x + 6 3.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x − √x . α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 1 2x2 + 3 − 1 x2 + 2x + 6 > √2x2 + 3 − √x2 + 2x + 6 3.23 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln(1 + ex) α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση (x − 1)2 > 𝑙𝑙𝑙𝑙 1 + e2x 1 + ex2 3.24 Να λύσετε την ανίσωση e1−x < 1 + lnx 3.25 Να λύσετε την ανίσωση 5x3 + lnx < 2 x + 3 3.26 Να λύσετε την ανίσωση ex + 3x > � 1 2 � x 3.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να βρείτε για ποια τιμή του x η Cf βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της ευθείας y = 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση (3|x| + 1)2 − (2|x| + 3)2 > ln 2|x| + 3 3|x| + 1 3.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln(x + 2) α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f(x4 + 1) − f(x2 + 1) > 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση ln 3x x2+ 2 < 𝑥𝑥2 − 3x + 2
  • 16.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 16 3.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + e x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι e3 − ex < 𝑙𝑙𝑙𝑙 x 3 για κάθε x > 3 3.30 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 8e2 − x − 2x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 4 γ) Να λύσετε την ανίσωση 8�e2 − x2 − e2 − x � > −2x(1 − x) 3.31 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και η Cf διέρχεται από το σημείο Α(−2 , −3) , να λύσετε την ανίσωση 2 f (x2 − 3x) + 6 ≤ 0 . 3.32 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f στο ℝ . Να λύσετε την ανίσωση : (fof)(x2 + x) < (fof)(x + 1) 3.33 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1 , 5) και Β(−2 , 7) τότε : α) να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) να λυθεί η ανίσωση f (f(|x| − 4) − 6) − 5 < 0 . 3.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx3 + 2αx − 3 , α ∈ ℝ . Aν η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο 1 : α) να βρείτε τον αριθμό α β) να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία γ) να λύσετε την ανίσωση f (f(x) + 3x2 + 3) + 3 > 0 . 3.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 1 3 � x + αx , α ∈ ℝ. Aν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(−2 , 13) : α) να βρείτε τον αριθμό α β) να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία γ) να λύσετε την ανίσωση 3x(2x + 5) < 1 . 3.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx5 + αx + 2 , α ∈ ℝ . Aν η Cf διέρχεται από το σημείο Κ(−1 , 4): α) να βρείτε τον αριθμό α β) να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία γ) να λύσετε την ανίσωση (fof)(x) > 2 . 3.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx − lnx , x > 0 , α ∈ (0 , 1) α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση αx2+x+4 − αx2+9 < ln(x2 + x + 4) − ln(x2 + 9) 3.38 Δίνεται η f(x) = αx + x + 1 , α > 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση αx2−9 − αx−3 < 6 + x − x2 3.39 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(−4 , 3) και Β(3 ,−2 ) τότε : α) να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) να βρείτε το είδος μονοτονίας της fof γ) να λυθεί η ανίσωση f �f (ex−1 − 5)� > −2 . 3.40 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(5 , 13) και Β(7 , 11 ) τότε : α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) Να λύσετε την ανίσωση f(f(x) − 6) < f(7) + 2 3.41 Δίνεται η f(x) = ex + ln(x + 1) − 1 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση ex2 + ln(x2 + 1) > 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση e x2 − e x + 2 > 𝑙𝑙𝑙𝑙 x + 3 x2 + 1 3.42 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει ln x2+ 1 2x > e2x − ex2+ 1 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει ln � x + 1 x � x > 𝑥𝑥(ex − ex + 1) δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g(x) = f(x + α) − f(x + β) , α > β > 0 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x 3.43 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) − x είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ β) Να λυθεί η ανίσωση f(x2 − 2x) − f(3x − 6) > x2 − 5x + 6
  • 17.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 17 3.44 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f(2) = 8 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x3 − f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ β) Να λυθεί η ανίσωση 8x3 < f(2x) 3.45 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + √5x + 1 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λυθεί η ανίσωση (3x + 18)3 − (7x + 12)3 < 57x+12 − 53x+18 √57x+12+1 + √53x+18+1 3.46 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − e− x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι 1 ex − 1 ex2+ 1 > ln x x2+ 1 , x > 0 γ) Για κάθε x , y > 0 με x > y , να δείξετε ότι : 3lnx + e−y3 < 3𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + e−x3 δ) Για κάθε x > 0 να αποδείξετε ότι ln �1 + 1 x � > 1 ex+1 − 1 ex 3.47 Έστω συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι f(x) + f(3x) < f(2x) + f(7x) 3.48 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x −lnx α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Για κάθε θετικό ακέραιο ν , να αποδείξετε ότι : f(5ν) + f(7ν) > 𝑓𝑓(6ν) + f(8ν) γ) Για κάθε θετικό ακέραιο ν , να αποδείξετε ότι : f(2x) + 1 > f(3x) + f(ex) 3.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 8x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Για κάθε x > 1 να αποδείξετε ότι : f(x3) + f(2x) > 𝑓𝑓(x2) + f(2) γ) Για κάθε x < 0 να αποδείξετε ότι : f(3x) + f(5x) > 𝑓𝑓(2x) + f(4x) 3.50 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ β) Να λύσετε την ανίσωση f(x3) < 𝑓𝑓(3x − 2) 3.51 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e− x − x3 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β)Να λυθούν οι ανισώσεις : β1) ex(x3 + 1) < 1 β2) f�f(x)� < 1 e −1 β3) e− x − 1 2 < x3 − ln3 2 3.52 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο ℝ . Aν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(2 , −1) και Β(5 , 2 ) τότε : α) να βρείτε το είδος μονοτονίας της f β) να λύσετε την ανίσωση 2f 2(x) ≤ 4 ∙ 2f(x) 3.53 Να λυθεί η εξίσωση 2x5 + 3ex = 3 . Δ. Μονοτονία και Εξισώσεις 3.54 Να λυθεί η εξίσωση x3 + lnx − 1 = 0 . 3.55 Να λυθεί η εξίσωση 2 x = 1 + ln(x − 1) . 3.56 Να λυθεί η εξίσωση e3 − x − 1 = ln(x − 2) 3.57 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − 1 x +1 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να λυθεί η εξίσωση ln(2x + 3) + 1 = 1 2x + 3 γ) Να λυθεί η ανίσωση 2x2 lnx + x2 < 1
  • 18.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 18 4.1 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x) = 3ex−3 −5 β) f(x) = 3 lnx − 2 4 γ) f(x) = 3 − x x + 1 δ) f(x) = 1 − √3 − 2x ε) f(x) = 2 ln(x + 1) − 3 στ) f(x) = 2 ex − 1 ex + 2 Α. Συνάρτηση 1-1 4.2 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x) = 2x + 3 x − 1 β) f(x) = 2 + √3x − 4 γ) f(x) = 3x2 − 6x + 1 , x ≥ 1 4.3 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x) = �3 − √2 − x β) f(x) = ln � 1 + x 1− x � γ) f(x) = 1 − 2x − 3ex δ) f(x) = e−2x − x 4.4 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) f(x)= 2 x5 + 7x3 + 3x − 5 β) f(x) = 3ex + 2 lnx − 1 γ) f(x)= � 1 2 � x − 4x3 δ) f(x)= 5 x − 3 lnx 4.5 Να αποδείξετε ότι δεν είναι 1-1 οι συναρτήσεις : α) f(x) = x2− 1 x2+ 1 β) f(x) = (x − 3)(x − 4) + 2017 γ) f(x) = ln(|x| + 1) 4.6 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2)f(x − 3) − (x − 3)f(x) = 1 , για κάθε x ∈ ℝ α) Να βρείτε τις τιμές f(0) , f(2) β) Να εξετάσετε αν η f είναι 1-1 4.7 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει 6f(x2) − f2(x) ≥ 9 , για κάθε x ∈ ℝ . α) Να βρείτε τις τιμές f(0) , f(1) β) Να εξετάσετε αν η f είναι 1-1 4.8 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + f(x) + 1 ≤ 3f(x2 − x) για κάθε x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1 4.9 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) + f3(x) = 3x − 2 , για κάθε x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.10 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + 4f(x) = 2x + 3 , για κάθε x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.11 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις ώστε να ισχύει (gof)(x) = x3 + 3f(x) + 2 , για κάθε x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.12 Έστω η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + 3f(x) = ln(2x + 1) , x > 0 . Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.13 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις, όπου η συνάρτηση gof είναι 1-1 . Να δείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι 1-1. 4.14 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 4. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. β) Να εξετάσετε αν η f είναι 1-1 4.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + α x2 + 1 , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(−1, −1). Να βρείτε : α) τον αριθμό α. β) το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y’y γ) αν η συνάρτηση f είναι 1-1. 4.16 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις ώστε η fog να είναι 1-1 α) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1 β) Αν για κάθε x > 0 ισχύει g( f(lnx) + 1 ) = g(x + 2) να βρείτε την f(x) . 4. Αντίστροφη Συνάρτηση
  • 19.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 19 4.17 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : f(x − y) = f(x) − f(y) , ∀ x , y ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι f(0) = 0 β) Να αποδείξετε ότι f(−x) = −f(x) γ) Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα το 0 , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 4.18 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |f(x) − f(y)| ≥ |x − y| , ∀ x , y ∈ ℝ Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 4.19 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ex − e−x είναι 1-1 β) Αν για την συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ ισχύει ef(x) − e−f(x) = elnx − 1 x , x > 0 , να βρείτε την f 4.20 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x + lnx είναι 1-1 β) Αν για την συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ισχύουν x + ex = f(x) + lnf(x) , f(x) > 0 , να βρείτε την f 4.21 Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln(x − 1)= 2− x β) 3x = 5 – 2x Β. Εξισώσεις και συναρτήσεις 1-1 4.22 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x)+ f3(x) = 2x + 3 , για κάθε x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(2x3 + x) − f(4 − x) = 0 4.23 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x)+ f3(x) = 2x + 5 , για κάθε x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(2x3 + x − 2) = f(2 − x) 4.24 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = f(x) + ex−1 , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x3 − 5x) = f(2x − 6) 4.25 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ημf(x) + f3(x) − 2x = π3 , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(et + 1) − f(2e−t) = 0 4.26 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ∗ με (fof)(x)=(x−2) f(x) , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(3) γ) Να λύσετε την εξίσωση f�x + 1 − f(|x| − 1)� − f(x − 2) = 0. 4.27 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) − f(x) = −x + 2 , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(2) γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα δ) Να λύσετε την εξίσωση f�4 − f(|x| − 1)� = 2 4.28 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) − f(x) = 2x + 2 , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(−1) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x2 + x − 1) + 2(x + 1) = f�f(x)� 4.29 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) − f(x) = x , x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(0) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x3 + ex) = f(1) 4.30 Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x + 3 e x − 2 καθώς και η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (gof)(x) = 8 − 3 e x − 2 για κάθε x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1 β) Να βρείτε την τιμή f(2) γ) Να λύσετε την εξίσωση f( f(|x| − 3) + ex − 1) − f(ex + 1)=0. 4.31 Έστω f , g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις α) Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση fog είναι 1-1 τότε και η συνάρτηση g είναι 1-1 β) Αν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει f�g(x)� = 2x + ex τότε να λύσετε την g�ex2 − e2x � = g(4x − 2x2) 4.32 Θεωρούμε συνάρτηση f ορισμένη και γνησίως φθίνουσα στο (0 , +∞) καθώς και την συνάρτηση g(x) = f(x) − 2lnx , x > 0 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα β) Αν το σημείο Α(1 , 2) ανήκει στην γραφική παράσταση της f , τότε να λύσετε : β1) την εξίσωση f(x − 1) = 2 + 2ln(x − 1) β2) την ανίσωση ln(lnx)2 < 𝑓𝑓(lnx) − 2
  • 20.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 20 4.33 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ α) Να δείξετε ότι η g : ℝ → ℝ , με g(x) = f(x) −x είναι γνησίως φθίνουσα. β) Να λυθεί η εξίσωση f(x2 − 3x) − f(2x − 6) = x2 − 5x + 6. 4.34 Έστω f, g : ℝ → ℝ δύο συναρτήσεις , για τις οποίες ισχύει (gof)(x)= 2x5 + ef(x) +1 , x ∈ ℝ. α) Να δείξετε ότι f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(lnx) = f(1 − x3). 4.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx − x , 0 < α < 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση ακ2− 4 − ακ − 2 = (κ2 − 4) − (κ − 2) 4.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση �ex + √x� 3 + ex = �√x + 1� 3 + 1 4.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + √x − 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση √2x2 − x + 1 − √x2 + 7 = 6 + x − x2 4.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √ex + 1 + lnx α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) �ex2 + 1 + 2lnx = √e + 1 β2) √e3x + 1 + ln3 + lnx = 3 + ln(ln8) β3) √x + 1 + ln(lnx) = f � e x � 4.39 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + lnx + x − 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση ex2+ 1 − e2x = ln2x − ln(x2 + 1) − x2 + 2x − 1 4.40 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x − 3 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση x5 + x3 + x = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση e5x + e3x + ex < 3 . 4.41 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e−x − lnx . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση lnα = 1 eα2 − 1 eα 4.42 Να λύσετε την εξίσωση ln ex + 1 e−x + 1 = 7(e−x + 1)3 − 7(ex + 1)3 . 4.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex−1 + x + 1 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση ex−1 + x − 2 > 0 4.44 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln(x + 1). α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση f(ex + x − 1) = 0 στο A = [0, +∞) . 4.45 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x −lnx + 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση lnxx + x = 1 , x > 0 γ) Να λυθεί η εξίσωση ln x2+ 1 3x2+ 2 = 2x2+ 1 (x2+ 1)(3x2+ 2) 4.46 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x + x3 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση 3x2− 4x − 3−x + 4 = −(x2 − 4x)3 + (−x + 4)3 4.47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e3 − x − x + 2 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) x − e3−x = 2 β2) e3− x2+ 1 − x2 + 1 = −2 β3) e−x2+ 4x + 3 − e9 − x + 5x = x2 + 6 4.48 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + e x − 1 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) f(x) = e β2) f(x2 − 6x + 8) = 0 β3) (x + 3)3 − (x2 + 1)3 = ex2+1 − ex+3 β4) ln3 x + x = e1−x − (x − 1)3 4.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + x − 1 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : β1) ef(x) + f(x) = 1 β2) (x − 1)2 = e2x − ex2 + 1 β3) f�ex2 − 4x� = f(e4x − x2) β4) ex2+2x+2 + (x + 1)2 = e β5) ex2−3x + x2− 3x ex = 1
  • 21.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 21 4.50 Έστω η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(x) − f(y) = f � x y �. Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα τότε : α) Να δείξετε ότι η είναι f 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x2 + 3) = f(x2 + 1) + f(x + 1) 4.51 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(x ∙ y) = f(x) + f(y) , ∀ x , y > 0 Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα τότε : α) Να δείξετε ότι f(1) = 0 β) Να δείξετε ότι f � 1 x � = −f(x) γ) Να δείξετε ότι η είναι f 1-1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x2 + 1) = f(x + 8) 4.52 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(x) − f(y) = f � x y � , ∀ x , y > 0 α) Να βρείτε το f(1) β) Να δείξετε ότι f � 1 x � = −f(x) , ∀ x > 0 γ) Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα τότε : γ1) Να δείξετε ότι η είναι f 1-1 γ2) Να λύσετε την εξίσωση f(x2) + f(2) = f(12x − 16) 4.53 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται, τις αντίστροφες των συναρτήσεων : α) f(x) = 2x + 5 β) f(x) = 3x – 2 x + 1 Γ. Εύρεση Αντίστροφης Συνάρτησης 4.54 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται, τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = x3 − 2 β) f(x) = x − 1 x − 2 4.55 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται ,τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 1 + ln(x − 3) β) f(x) = 2 + √x − 1 4.56 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται ,τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 2ex−3 − 1 β) f(x) = 2 + √ex − 1 4.57 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 1 − ex−1 β) f(x) = 2 − √3 − x 4.58 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = x2 − 4x + 5 , x ≥ 2 β) f(x) = x2 − 8x + 10 , x ≤ 4 4.59 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = 8x3 − 3 β) f(x) = ex + 1 ex 4.60 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = e x − 1 e x + 1 β) f(x) = ln x − 1 x – 2 4.61 Να βρείτε, εφόσον ορίζονται , τις αντίστροφες των συναρτήσεων α) f(x) = ln x 1 − x ( ΘΕΜΑ 2017 ) β) f(x) = 1 − 2ex e x + 1 4.62 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f(x) = e− x − e x 2 4.63 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει 2f3(x) + 4f(x) = x + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη της f. 4.64 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει f3(x) − 3f2(x) + f(x) + x = 2017 , ∀x ∈ ℝ. Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη της f. 4.65 Έστω η συνάρτηση f ∶ ℝ → (1 , +∞) για την οπoία ισχύει f2(x) − 2 f(x) = e2x − 1. Να βρείτε : α) τον τύπο της f(x) β) τον τύπο της f−1 (x) . 4.66 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 4x + 2 , g(x) = 2f−1(x) + 1 . Να βρείτε την g−1 . Inverse Function η αντίστροφη στα Αγγλικά
  • 22.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 22 4.67 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx + β , α ≠ 0. Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν f(x) = f−1(x) + 3 . 4.68 Αν f(x) = (2α − 1)x − 3β , να βρεθούν τα α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει f = f−1 4.69 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ex − 1 , α∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) Αν ισχύει f−1(4) = 1 , τότε : β1) Να βρείτε το α β2) Να βρείτε την αντίστροφη 4.70 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α – x 1 + x , α ∈ ℝ. Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Κ(−3 , −2) τότε α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη γ) Να δείξετε ότι f = f−1 4.71 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex + 1 και g(x) = ex + 1 ex − 1 α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι περιττή γ) Να βρείτε τη συνάρτηση gof−1 4.72 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε το f−1 (−3) γ) Να λύσετε την εξίσωση f−1( f (x2 − 5) + 15 ) = 2 Δ. Εξισώσεις-Ανισώσεις και Αντίστροφη 4.73 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 − x − lnx . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1 γ) Να λύσετε την ανίσωση x+ lnx >1 4.74 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 6) και Β(4 , 3). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f ( f−1 (x2 − 5x) + 2 ) = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 − x) − 3 ) < 4 . 4.75 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(−1 , 5) και Β(2 , 4). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f−1[3 + f(x2 − 3x − 3)] = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση f �2 + f−1 � 2x + 10 x − 1 �� ≤ 8 . 4.76 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(−1 , 5) και Β(6 , 4). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f−1 �−1 + f(x2 − 2x − 4)� < 6 4.77 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) και Β(3 , 8). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f ( f−1 (x2) − 3 ) = 5 4.78 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 1) και Β(3 , 8). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f (−1 + f−1 (x2 + 2x) ) = 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f(f−1(lnx) + 1) < 8 4.79 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(3 , 2) και Β(5 , 9). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f�2 + f−1(x2 + x)� = 9 γ) Να λύσετε την ανίσωση f(f(x2 − 4x) − 6) < 2 4.80 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 5) και Β(3 , 2). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τις τιμές f−1(5) και f−1 (2) γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1 �3 + f (x2 + 2x)� > 2
  • 23.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 23 4.81 Δίνεται η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο ℝ και για την οποία ισχύει : �f(0)� 2 + �f(1)� 2 + 13 = 6f(0) + 4f(1) α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f(f−1(x3 − 3x + 4) − 1) > 3 4.82 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 4) και Β(2 , 12). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f�1 + f−1(3x − 17)� > 12 γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : K = f−1 �24 − f�5f−1(12) − 8f−1(4)�� 4.83 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη, της οποίας η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(5 , 9) και Β(2 , 3). α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β)Να λύσετε την εξίσωση f�3 + f−1(x2 + 2x)� = 9 γ)Να λύσετε την εξίσωση f−1 � x − ln 2 x + 1� = 2 δ) Να λύσετε την ανίσωση f2(x) ≤ 12 f(x) − 27 ε) Να λύσετε την ανίσωση f (x + lnx + 4) > 9 4.84 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (fof)(x) = 3x − 5 με f(2) = 10 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε το f−1 (2) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(f−1(|x| − 2) − 5) = 2 4.85 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e1−x − x . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f−1(1 − x) > 𝑥𝑥 . 4.86 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −2 x3 − 3x + 1 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 − 4) − 22) < 2. 4.87 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x3 + x + 1 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση ex2 − x + (x2 − x)3 + x2 − 2x = e x + 3 + (x + 3)3 + 3 4.88 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f−1(x) = x − 1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1(x) ≥ x − 1 4.89 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2e−2x − 3x − 2e2 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f(f−1(x − 2e2) − 1) = 3 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x) − 1 − 2e2) < 0 . 4.90 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x5 + 2x3 − 1 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f �f−1(4συνx + 2)� = 4 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 + 2x + 2) − 5) > 0 4.91 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για τον οποία ισχύει (fof)(x) + f(x) = 3x − 4 με f(3) = 8 α) Να βρείτε το f(8) β) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 γ) Να βρείτε το f−1 (3) δ) Να λύσετε την εξίσωση f ( f−1 (x2 − 4x) − 3 ) = 3. 4.92 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = 27x3 + 8 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση f( ln2 x) = f(2 lnx + 3). 4.93 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f(x) = e x − 1 + 2x − 3 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f−1(x) = 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1(lnx) < 1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f �1 + f−1(x + 1)� = 0 4.94 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + 1) − e−x + 2x , f(A) = ℝ. α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να λύσετε την ανίσωση f−1( ex − 2) < 0 . γ) Να λύσετε την εξίσωση f−1( x − 1) = x στο (−1 , +∞) 4.95 Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : f (ex + 2) + f (x + 3) = x , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι f η είναι αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x’x γ) Να λύσετε την ανίσωση f� 6 − f−1(x2 − 4)� > 0 .
  • 24.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 24 4.96 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex ex – 1 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να εξετάσετε αν η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες x’x , y’y β) Να αποδείξετε ότι f η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη γ) Να λύσετε την εξίσωση f−1 � 1 1 – e + 2 − f (lnx)� = −1 . 4.97 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ef(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε την f(1) γ) Να λύσετε την e x − 4 − e 2x + 1 = x + 5 4.98 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ef(x) + f(x) = x + 2 , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f(lnx) = f � e x � γ) Να βρείτε την αντίστροφη της f δ) Να λύσετε την ανίσωση (x3 − 8)(ex − 3) < 𝑓𝑓(−1) . 4.99 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex e x + 1 και g(x) = 1 − lnx α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη β) Να βρείτε τη συνάρτηση (f−1 og)(x) και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία. γ) Αν 1 < 𝛼𝛼 < 𝛽𝛽 < e , να δείξετε ότι 1 − lnα 1 − lnβ > lnα lnβ . 4.100 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + αx + 2 , α ∈ ℝ . Η γραφική παράσταση της fof τέμνει τον άξονα y’y στο 14 . α) Να βρείτε τον αριθμό το α β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf , Cf−1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f ( f(x2 − 4) + x − 1) − f(x + 1) = 0 . ε) Να λύσετε την ανίσωση f ( f(|x| − 2) − 5) < f−1(14) . 4.101 Έστω συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f(1) + f(e) = 2e + 3 , f(x) − f(y) = ln x y + 2(x − y) α) Να βρείτε τα f(1) , f(e) β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται δ) Να λύσετε την ανίσωση 4(x2 − 1) < ln x2 + 10 3x2 + 8 4.102 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x − 2 + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 Ε. Κοινά Σημεία Γραφικών Παραστάσεων 𝐟𝐟 , 𝐟𝐟−𝟏𝟏 4.103 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = − x3 − x + 12 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1 ( f (|x| − 1) + 8 ) < 1 . 4.104 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x − 2 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Π= f−1(1) + f−1(10) γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf−1 και της ευθείας y = x 4.105 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 4x − 4 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( x2 − 13) < 2 . 4.106 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x5 + x + 3 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (x2 − 3) − 4 ) > 0 . 4.107 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x − e x α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1
  • 25.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 25 4.108 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με 2f3(x) + f(x) = x + 16 , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε την f−1 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf και της ευθείας y = x 4.109 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = x − 8 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf , Cf−1 4.110 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f3(x) + 3f(x) = x + 3 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) 4.111 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → (0 , +∞) με f(x) + lnf(x) = x , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf , Cf−1 4.112 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x − e x − 1 + 1 x > 0 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 . 4.113 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με ef(x) + f(x) = x + 1 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρείτε την f−1 γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) 4.114 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να λύσετε την εξίσωση f−1(x) = 1 γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf−1 δ) Να λύσετε την ανίσωση ef2(x)−3f(x) ≤ 1 4.115 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x − 1 α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε το διάστημα που η Cf−1 βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = x 4.116 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x + x − 9 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τo f−1(−5) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) δ) Να λύσετε την ανίσωση f−1( f (lnx) − 3) > 0 4.117 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x − 8 . α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να βρείτε τα f−1(−6) και f−1(2) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x) δ) Να λύσετε την εξίσωση f (x2 − 8) = −6 ε) Να λύσετε την ανίσωση f−1(logx2) ≤ 2 4.118 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + lnx + x − e2 − x α) Να δείξετε ότι η είναι f αντιστρέψιμη . β) Να λύσετε την εξίσωση x + xe−x − e2 − 2x = e−x , x > 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f−1 (x)
  • 26.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 26 5.1 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν : lim x→2− f(x) = λ(λ − 1), lim x→2+ f(x) = 5λ − 9 Να βρεθεί το λ ∈ ℝ αν υπάρχει το όριο lim x→2 f(x) Α. Έννοια του ορίου 5.2 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν: lim x→ 3− f(x) = λ2 − 3λ + 2 , lim x→3+ f(x) = 2λ − 4 Να βρεθεί το λ𝜖𝜖ℝ αν υπάρχει το όριο lim x→3 f(x) 5.3 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν : lim x→α− f(x) = κ3 + 3, lim x→α+ f(x) = 2κ − 2κ2 Να βρεθεί το κ ∈ ℝ αν υπάρχει το όριο lim x→α f(x) 5.4 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−2+ f(x) β) lim x→−1− f(x) γ) lim x→−1+ f(x) δ) lim x→1− f(x) ε) lim x→1+ f(x) ζ) lim x→2 f(x) η) lim x→3− f(x) θ) f(1) ι) f(−1) 5.5 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−2 f(x) β) lim x→−1 f(x) γ) lim x→0 f(x) δ) lim x→1 f(x) ε) lim x→2 f(x) Το Όριο είναι μια έννοια που συναντάται στο πεδίο του Απειροστικού Λογισμού, με την βοήθεια του οποίου ορίστηκαν έννοιες όπως η παράγωγος και το ολοκλήρωμα. Ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass (1815-1897) εισήγαγε τον συμβολισμό lim x→x0 5. Όριο Συνάρτησης στο 𝐱𝐱𝐨𝐨 ∈ ℝ
  • 27.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 27 The limit of f as x approaches 𝐱𝐱𝟎𝟎 το όριο της f όταν το x τείνει στο x0 στα Αγγλικά 5.6 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−2 f(x) β) lim x→0 f(x) γ) lim x→2 f(x) δ) lim x→3 f(x) ε) lim x→4 f(x) 5.7 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) lim x→−3+ f(x) β) lim x→−2 f(x) γ) lim x→0 f(x) δ) lim x→1 f(x) ε) lim x→2 f(x) ζ) lim x→3 f(x) η) lim x→4 f(x) θ) lim x→5 f(x) ι) lim x→6 f(x) 5.8 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim h→0 f(1+h) − 1 h = 3 . Να βρείτε το όριο lim h→0 f(1+2h) − f(1−2h) h 5.9 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim h→0 f(1+h) − 2 h = 5 . Να βρείτε το όριο lim h→0 f(1+3h) − f(1−2h) h 5.10 Αν ισχύει ότι lim x→2 f(x) − 2 x − 1 = 3 , να βρείτε το όριο lim h→0 f(2+h) − f(2−h) h 5.11 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→2 x2 − 4 x − 2 β) lim x→ −3 x2− 9 x2 + 3x γ) lim x→1 x2 + 4x − 5 x2 − 1 δ) lim x→1 1 − x 2x2 − 7x + 5 ε) lim x→ −2 x3 + x2 – 2x x4 − 16 2. Όριο Ρητής Συνάρτησης (0/0) 5.12 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→−1 2x2 – 3x − 5 x3+ 1 β) lim x→ 2 2x2− 5x + 2 x2 − 5x + 6 γ) lim x→−1 x3− 7x − 6 x2 − 1 δ) lim x→1 3x4 − 2x − 1 4x2+ x − 5 ε) lim x→ 1 2 8x3− 1 2x2+ 7x − 4 5.13 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim x→2 � 1 x − 2 − 4 x3 − 2x2� β) lim x→−1 � 1 x + 1 + 2 x2 − 1 � γ) lim x→3 � 1 x − 3 − 2 x2 − 4x + 3 � δ) lim x→1 � 1 x2+ x − 2 − x x3 − 1 � ε) lim x→1 1 x – x x – 3 + 2 x
  • 28.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 28 5.14 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) − 3f2(x) + 3f(x) = x + 9 . Να βρείτε το όριο : lim x→3 f−1(x) x2 − 5x + 6 5.15 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν lim x→α f(x) x = 3 , lim x→α (f(x) − 3x) = 5 . Να βρείτε το όριο : lim x→α xf(x) + f2(x) + 5x2 x2f(x) − 3x3+ x2 5.16 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→2 √3 − x – 1 2 − x β) lim x→ −1 √x + 5 − 2 x2 + x γ) lim x→1 x − 1 √x2 + 3 – 2 Γ. Όριο Άρρητης Συνάρτησης (0/0) 5.17 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→2 √3 − x – 1 √x+7 − 3 β) lim x→ −2 √ 5 − 2x − 3 2x + √3x2 + 4 5.18 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→−2 f(x) = 2 . Να βρείτε το όριο lim x→−2 f3(x) − 8 4 − �f2(x) + 12 5.19 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→3 f(x) = 2. Να βρείτε το όριο lim x→3 f2(x) − 4 �f(x) + 7− 3 5.20 Δίνεται η συνάρτηση 0 < x < 1 f(x) = � x − 1 √x + 3 − 2 , x > 1 3x2− 5x + 2 x 2− x , 0 < x < 1 . Να βρεθεί αν υπάρχει το lim x→1 f(x) Δ. Όριο Συνάρτησης Πολλαπλού Τύπου 5.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2− 6x + 5 x − 1 , x > 1 x − 1 √x − 1 , 0 < x < 1 . Να βρεθεί αν υπάρχει το lim x→1 f(x) 5.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x2+ 2x √x + 4 − 2 , − 4 ≤ x < 0 x3+ 2x2− 8x 2x2 − 4x , 0 < x < 2 x2 – x − 2 x2− 3x + 2 , x > 2 . Να βρεθούν, αν υπάρχουν τα lim x→0 f(x) , lim x→2 f(x) 5.23 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 3x − α , x ≤ −1 x2 − αx + β , − 1 ≤ x < 1 x3 − αx2 + γ , x ≥ 1 . Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ∈ ℝ για τις οποίες υπάρχει το όριο lim x→−1 f(x) και ισχύει lim x→1 f(x) = 1 . 5.24 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2 + 4βx + 1 , x < 0 √x+1 − 1 x − α − 1 2 , x > 0 όπου lim x→8 f(x) = β .Να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε να υπάρχει το όριο lim x→0 f(x) 5.25 Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια : α) lim x→2 |x − 3|− |x − 1| x 2− 2x β) lim x→ −1 �x3− 3x − 1�+ x |x3 + 5x + 4|− 2 γ) lim x→ −2 �x2− 4�− �x2 + 5x + 6� |x2 + 3x| + x Ε. Όριο Συνάρτησης με Απόλυτες Τιμές 5.26 Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια : α) lim x→3 �x2− x� − 6 |x − 4| − 1 β) lim x→ 1 |x − 2| − 1 |x| − 1
  • 29.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 29 5.27 Αν ισχύει lim x→1 f(x) = 2 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 |f(x)+1|+|f(x)−3x|−4 x − 1 β) lim x→1 �f(x)−3x2�+|f(x)+1|−4 x − 1 5.28 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (−1 , +∞) για την οποία ισχύει lim x→2 f(x) = 3 . Να βρείτε το όριο : lim x→2 |f(x) − 2|− �f2(x) − 5 f(x)� + 5 �f(x) + 1 − 2 5.29 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) − 2 f(x) ≤ x2 − 5x + 6 , ∀x ∈ ℝ και το όριο lim x→2 f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim x→2 f(x) Ζ. Όριο Συνάρτησης σε Ανίσωση 5.30 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2) f(x) ≤ x2 − 7x + 10 , ∀x ∈ ℝ και το όριο lim x→2 f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim x→2 f(x) 5.31 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 1)f(x) ≤ x2 + x − 2 , ∀x ∈ ℝ και το όριο lim x→1 f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το lim x→1 f(x) 5.32Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→3 f(x) − 2x + 4 x − 3 = 10 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→3 f(x) β) lim x→3 f(x) − 2 x2 − 3x Η. Όριο με χρήσης Βοηθητικής Συνάρτησης 5.33 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→2 [ f(x) − 3x2 + x − 2] = −4 Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x) 5.34 Να βρείτε το όριο lim x→−2 f(x) αν ισχύουν : α) lim x→ −2 [ 2 f(x) + 1 − x] = 3 β ) lim x→ −2 f(x) − 1 x + 2 = 3 5.35 Αν ισχύει ότι lim x→0 f(x) − 2 ημ x = 3 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x)+ 2x − 2 x 5.36 Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x) αν ισχύει lim x→2 5f(x) − 1 f(x) + 3 = 8 5.37 Αν για την συνάρτηση f ισχύει lim x→0 f(x) − 4 �f(x) + 2 = 1 , τότε να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.38 Αν ισχύει lim x→1 f(x )− x3 x2 − 1 = 2 , να βρείτε το όριο lim x→1 f(x) − x √x − 1 5.39 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 f(x) − x √x2+ 5 − 3 = 4 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) β) lim x→2 f(x) + x − 4 |x − 3| − 1 5.40 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→2 [ x f(x) + x2 − 8 ] = 6 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) β) lim x→2 f2(x) − 5 f(x) �f(x) − 1 − 2 5.41 Να βρείτε το όριο lim x→ −1 [ f(x) ∙ g(x)] , όταν ισχύουν lim x→ −1 f(x) x + 1 = 2 και lim x→ −1 [ g(x)(x2 − x − 2)] = −3 5.42 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→1 f(x) − 4 x − 1 = 3 . Να υπολογίσετε το όριο lim x→1 f2(x) – f(x) − 12 x2 + x − 2 5.43 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 f(x) – 2 + (x−1)2 x − 1 = 100 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 f(x) − 2 x − 1 γ) lim x→1 |f(x) − 3| − 1 x − 1
  • 30.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 30 Το Κριτήριο Παρεμβολής είναι γνωστό ως squeeze theorem ή ως sandwich rule/theorem Σε πολλές γλώσσες αναφέρεται και ως το θεώρημα των «Δύο Αστυνομικών και του ενός μεθυσμένου» 5.44 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν lim x→ 0 f(x) − 2 x = −5 , lim x→ 1 f(x) − 1 x − 1 = 3 . Να βρείτε τα όρια : α) τα lim x→0 f(x) και lim x→1 f(x) β) το lim x→ 0 (f(x)−2)(f(2x+1)−1) 2x2 5.45 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2+ αx − 2 x − 1 . Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α , αν υπάρχει το lim x→1 f(x) και είναι πραγματικός αριθμός Θ. Προσδιορισμός Παραμέτρων 5.46 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ , μ ώστε να ισχύει lim x→ −1 2 x2+ λ x + μ x2 + 3x + 2 = 5 . 5.47 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ −1 α x2 + β x − 6 x2 − 1 = 4 . 5.48 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ −1 √x2+3 − αx x − 1 = β 5.49 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ −1 x3 + αx2+ β x + 1 = 5 . 5.50 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ 1 αx3 + βx x − 1 = 2 . 5.51 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β ώστε να ισχύει lim x→ 4 α∙|x + 3|+β∙|x−5| − 3 x2− 5x + 4 = 7 . 5.52 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=� x2− 1 √x + 3− 2 , αν − 3 ≤ x < 1 x2+ αx + β x2− 3x + 2 , αν 1 < x < 2 Να βρείτε τους αριθμούς α , β ∈ ℝ ώστε να υπάρχει το όριο lim x→1 f(x) . Ι. Κριτήριο Παρεμβολής 5.53 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε 2x2 − 7x + 5 ≤ f(x) ≤ x2 − x − 4 , x ∈ (2 , 6) . Να βρείτε τα όρια: α) lim x→3 f(x) β) lim x→3 f(x) − 2 x − 3 5.54 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x2 + x ≤ f(x) ≤ 12√x + 3 − 22 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 f(x) − f(1) x − 1 5.55 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − x + 2| ≤ x2 − 2x + 1 για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→1 f(x) 5.56 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |xf(x) − 2f(x) − x2 + 4| ≤ x2 − 4x + 4 , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x) 5.57 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f2(x) ± 4f(x) ≤ x2 − 4 , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.58 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) ≤ 2x2 f(x) , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x)
  • 31.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 31 Ο όρος Τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό Μαθηματικό Bartholomaeus Pitiscus Εντούτοις η Τριγωνομετρία αναπτύχθηκε και ήταν μέρος των Μαθηματικών από την Αρχαιότητα. 5.59 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + συν2 x ≤ 2 f(x) για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.60 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 6 f(x) x + 3 ≤ x − 3 για x > −3 . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.61 Αν ισχύει 2√x + 2 ≤ f(x) ≤ x + 3 , x ≥ −2 , να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→−1 f(x) β) lim x→−1 f(x) − 2 x + 1 γ) lim x→−1 2f2(x) − 8 x2+ 3x + 2 5.62 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύουν : lim x→1 f(x) x − 1 = 2 , |g(x) − 1| ≤ |f(x)| για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 g(x) γ) lim x→1 f�g(x)� �g(x) − 1 Κ. Τριγωνομετρικά Όρια 5.63 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→0 ημ x x2 + x β) lim x→0 ημ x √x + 4 – 2 γ) lim x→0 ημ 3x x 5.64 Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim x→0 x + ημ x 2x + 3ημ x β) lim x→0 x + ημ x 2x + ημ 5x γ) lim x→0 ημ 3x √7x + 9−3 5.65 Να υπολογίσετε τα όρια α) lim x→0 �x ∙ ημ 1 x � β) lim x→0 �ημx ∙ συν 1 x � γ) lim x→0 �x2 ∙ συν 1 x � 5.66 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει ημ2 x ≤ f(x) + 2x συνx ≤ x2 για κάθε x ∈ ℝ. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) + 2x x2 5.67 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f2(x) − 2xf(x) ≤ ημ2 x − 2x ημx , για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια: α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) x 5.68 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |x2 f(x) − ημ2 x| ≤ x4 . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.69 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 2x ∙ ημx ≤ 2x ∙ f(x) + ημ2 x . Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 5.70 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim x→0 f(x) x = λ και f3(x) + f(x)ημ2 x = 2x2 ημx για κάθε x ∈ ℝ . Να βρείτε το λ . 5.71 Δίνεται η f ∶ ℝ → ℝ με lim x→0 f(x) x = λ και f3(x) + f2(x)ημx + x3 f(x) = 2x2 ημx , x ∈ ℝ . α) Να βρείτε το λ β) Να βρείτε το όριο lim x→0 f2(x) + xf(x) + x ημ x f2(x) + x2+ ημ 2x . 5.72 Αν ισχύει lim x→0 f(x) − 3 x = 4 , να βρείτε το lim x→0 f(x) και το lim x→0 f2(x) − 5f(x) + 6 2x + ημ x
  • 32.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 32 5.73 Αν ισχύει lim x→0 f(x) x = 2 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) + f(2x) x β) lim x→0 x2f(x) + xf2(x) f3(x) + x3 γ) lim x→0 f(x) + συν x − 1 f(x) + ημ x 5.74 Αν ισχύει lim x→0 f(x) x = 1 , να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(2x) + f(3x) x β) lim x→0 xf(x) + x2 f2(x) + ημ 2x γ) lim x→0 f(x) + √x + 1 − 1 f(x) + εφx 5.75 Αν ισχύει lim x→0 f(x) x = 2 , να βρείτε τον α ≠ 0, αν ισχύει lim x→0 xf(2x) + f(x)∙ημα x 2x2− ημ 2x = 8 5.76 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f4(x) + 2006f(x) = 2x + 6 , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f γ) Να βρείτε το όριο lim x→0 2f−1(x) + ημ x + 6 x 5.77 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim h→0 f(1+h) h = 2 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) β) lim x→1 �f2(x)−1� + f(x) − 1 f(x) γ) lim x→1 ημ f(x) − εφf(x) ημ f(x) + εφf(x)
  • 33.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 33 6.1 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 x – 2 x2 β) lim x→2 2x − 7 |x − 2| γ) lim x→3 2x − 1 x2 − 6x + 9 Α. Εύρεση Ορίου α/0 6.2 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 x3− 5x − 1 4 − 4x + x2 β) lim x→−1 x2− 2x − 5 |x + 1| γ) lim x→0 2x − 3 x3− 2x2 6.3 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 1 x4+ x3− 2 x2 β) lim x→3 1 √x2− 6x + 9 γ) lim x→0 x − 1 x4+ x2 δ) lim x→−2 2x + 1 x2+ 4x + 4 6.4 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→5 x − 1 x3−10 x2+ 25x β) lim x→0 ημ x x3 γ) lim x→0 2x + 1 x6+ x2 6.5 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→4 x + 5 x − 4 β) lim x→3 4 x − 7 x2 − 9 γ) lim x→ −2 x + 5 x2 − 2x – 8 6.6 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 4x + 5 x2 − 4 β) lim x→5 3x + 1 x2 − 25 γ) lim x→ 2 x2+ x x − 2 6.7 Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε να ισχύει lim x→2 x − 3 x2 + λx + λ + 8 = −∞ Β. Εύρεση Παραμέτρων στην μορφή α/0 6.8 Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε να ισχύει lim x→2 x2− 3x x2 + κx + 4 = −∞ 6.9 Να βρείτε το lim x→1 f(x) ώστε να ισχύει lim x→1 2x − 1 f(x) = +∞ Γ. Χρήση Βοηθητικής Συνάρτησης στο α/0 6.10 Να βρείτε το lim x→1 f(x) ώστε να ισχύει lim x→1 f(x) − 2 x + 4 = +∞ 6.11 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 [ x2 f(x)] = 3. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 [ f(x)ημx ημ3x ] 6.12 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 x∙f(x) ημ x + x = +∞.Να βρείτε τα όρια: α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) ∙ ημ 1 f(x) γ) lim x→0 (συν 1 f(x) −1) ∙ f(x) δ) lim x→0 f2(x) ∙ ημ 1 f(x) ∙ (συν 1 f(x) −1) 6.13 Να βρείτε το lim x→2 f(x) ώστε να ισχύει : α) lim x→2 x − 3 f(x) = +∞ β) lim x→2 f(x) x + 1 = −∞ γ) lim x→2 [ (3x + 1) ∙ f(x)] = +∞ 6. Μη Πεπερασμένο Όριο στο 𝐱𝐱𝟎𝟎 ∈ ℝ
  • 34.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 34 6.14 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) − 1 f(x) + 1 β) lim x→0 (f2(x) − f(x) + 1) γ) lim x→0 �f2(x) + 1 f(x) Δ. Το Τέχνασμα του Κοινού Παράγοντα 6.15 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την ο ποία ισχύει lim x→2 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 1 f(x) β) lim x→2 f2(x) − 3 f(x) f(x) + 2 γ) lim x→2 4f3(x) − 3f(x) + 1 2f 3(x) + 5f2(x) – 6 δ) lim x→2 f2(x) − 4f(x) + 3 f 3(x) − 2f2(x) + f(x) – 3 6.16 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 [ |x − 1|f(x) ] = 1 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 f(x) + 1 f2(x) + f(x) + 1 6.17 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 [ (x2 − 4x + 4)f(x) ] = −8 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) β) lim x→2 3f2(x) + f(x) + 4 5f3(x) + 1 6.18 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→3 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→3 1 f(x) β) lim x→3 f2(x) − 2 f(x) f(x) + 1 γ) lim x→2 3f4(x) − 2f2(x) + 3 5f 4(x) – 3f(x) + 1 δ) lim x→3 f2(x) − 2f(x) + 8 f 3(x) + 2f2(x) − 4f(x) + 1 ε) lim x→3 �3f2(x) − 5f(x) + 1 f(x) + 6 6.19 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 f(x) = +∞ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) + 1 f(x) − 1 β) lim x→1 f2(x) − f(x) + 1 f2(x) + f(x) + 1 γ) lim x→1 (f2(x) − f(x) + 2) δ) lim x→1 �f2(x)+ f(x) + 1 f(x) 6.20 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 f(x) = +∞ . . Να βρείτε το όριο lim x→2 x2 − 4 |3 − x f(x)| − |2 f(x) − 3| Ε. Όριο με Απόλυτες Τιμές στο α/0 6.21 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x2 f(x) ≥ x + 3 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(x) β) lim x→0 [ ( f(x) − 2010 ) ημ 1 f(x) ] Ζ. Όριο α/0 και Διάταξη 6.22 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x2 − 4x + 4) f(x) ≥ x − 3 , ∀x ≠ 2 . Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x)
  • 35.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 35 7.1 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (4x3 − 2x2 + 5x − 3) β) lim x→+∞ (−2x3 + 5x − 1) γ) lim x→−∞ (2x5 + 3x2 − 1) δ) lim x→−∞ (3x2 − 5x + 7) Α. Όριο Πολυωνυμικής Συνάρτησης 7.2 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (3x2 − x + 2) β) lim x→+∞ (−x4 + 4x2 − 2017) γ) lim x→−∞ (−4x3 + 2x2 + x − 4) δ) lim x→−∞ (−2x2 + x + 3) 7.3 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 6 x3 − 5x2+ 7x − 4 2x2 − 3x + 5 β) lim x→−∞ 4x5 − 5x2 + 2x − 6 2x3 + 5x2 − x − 6 γ) lim x→−∞ −3x6 + 4x2 − 5x −3 −6x3 + 2x2 + 7x + 4 Β. Όριο Ρητής Συνάρτησης 7.4 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ x3 + 2x2+ 3x − 5 2x3 + x + 2017 β) lim x→−∞ 4x5 − x2 + 3x − 1 2x8 + 5x2 − 2 x + 6 γ) lim x→+∞ 4x2 − 5x −3 x5 + 2x2 + 3x + 1 7.5 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ ( 2x2 x − 1 + 3x x + 1 ) β) lim x→−∞ ( x3 x − 2 + x2 x + 3 ) 7.6 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ |3x2 − 5x + 6| β) lim x→−∞ |2x3 − 3x2 + 6x − 1| γ) lim x→+∞ |−5x2 + 6x − 1| Γ. Όριο με Απόλυτες Τιμές 7.7 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ �x2− 5x + 4� − 6x2 |x3− 3x2 + 5| − x3 β) lim x→−∞ �x3 + 4x2 − 3x + 5�+ x3 |x2 − 2x −3|− x2 7.8 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (|x3 − x2 + 2| − |x3 + x2 + 4|) β) lim x→−∞ �x5− x2+ 1� − �x5− x� x2+ x + 1 7.9 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ (|x2017 − x2 + 3x − 4|) β) lim x→+∞ �x2017 − x3� – x ∙ �x2016 − x2− 1� + 1 x − 1 7.10 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ √x2 − 3x + 2 β) lim x→−∞ √3x2 − 5x + 2 γ) lim x→+∞ 3x − 2 √4 x2 + 7 Δ. Όριο Άρρητης Συνάρτησης 7.11 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 3 √x2+ 5 β) lim x→+∞ � 16x2+ 3 9x2− 2x + 1 γ) lim x→+∞ √4x2 − x − 5 3 7. Όριο Συνάρτησης στο Άπειρο
  • 36.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 36 7.12 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (√4x2 − 3x + 2 + x) β) lim x→−∞ �√x2 + 4 − 2x� γ) lim x→−∞ �√9x2 − 4x + 5 − 3x� 7.13 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 2 √x2+ 3 + x β) lim x→+∞ �√x2 + 3 + √4x2 − 2� γ) lim x→−∞ 3x + 5 √x2+ 3− 2 x 7.14 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ � 3x − √9x2 + 1 � β) lim x→+∞ ( √4x2 + x + 1 − 2x + 1 ) 7.15 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ � 2x + √4x2 + 3x − 1 � β) lim x→+∞ ( √4x2 + 2x + 3 − √4x2 + x + 2 ) 7.16 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 3x + 3∙2x 3x − 2x β) lim x→−∞ 3x+1 + 5∙ ex 2∙ 3x − ex γ) lim x→+∞ 4∙ 5x+2 + 5∙ 3x+1 2∙5x+1 − 3x+2 δ) lim x→+∞ 5∙ex + 22x 2∙ex+1 − 22x+3 Ε. Όριο Εκθετικής Συνάρτησης 7.17 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ ex2 β) lim x→−∞ ex3− x γ) lim x→0 e 1 x2 δ) lim x→+∞ (e3x − 4e2x + 5ex − 3) 7.18 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 3 x3− 5x + 3 x − 4 β) lim x→−∞ e x2+ 5x x + 2 γ) lim x→−∞ e √x2+ 3+ x 7.19 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ ln(2x + 3) β) lim x→−∞ ln(x2 + 3) γ) lim x→+∞ (ex + 2) δ) lim x→+∞ �x + √x2 + 2� Ζ. Όριο Λογαριθμικής Συνάρτησης 7.20 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 (2ln2 x − 3lnx + 5) β) lim x→0 lnx x2 γ) lim x→+∞ ln2x − lnx + 5 2 ln2x + 3 lnx + 5 7.21 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ 8 ln2x − 4 lnx + 5 2 ln2x + 5 lnx − 2 β) lim x→0+ 9 ln3x − 4 ln2x + 8 3 ln2x + 5 lnx + 7 γ) lim x→0+ 3lnx +2 4 ln3x + ln2x + 1 7.22 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ [ln(x3 + 2x) − ln(x2 − 1)] β) lim x→+∞ [ln(x + 2) − ln(x2 + 3x)] 7.23 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ [2 ln(x2 + 1) − ln(x2 − 3x)] β) lim x→+∞ [ln(3x + 5x) − x] 7.24 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ [ln(x4 + 5) − ln(x2 + 3)] β) lim x→+∞ [ln(ex + 2) − 3x] 7.25 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ �lnx − √x2 + 2x + 3 � β) lim x→+∞ [ln(ex+2 + 3) − x − 2] 7.26 Δίνεται η f(x) = ln(2x − 4x) − e 2 − x3 x2+ x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το όριο lim x→−∞ f(x)
  • 37.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 37 7.27 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (x + 2ημx) β) lim x→+∞ x ημ x x2 + 3 γ) lim x→+∞ x + 2ημ x x + ημ x Η. Τριγωνομετρικά Όρια στο Άπειρο 7.28 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ x − ημ x x β) lim x→+∞ 4x −3 ημ x 5x + 3 γ) lim x→+∞ 4x + 3 ημ x 5x − 3 συν x δ) lim x→+∞ x ημ x x2 − 5x + 3 ε) lim x→+∞ [�√x2 + 2 − x�ημ4x] 7.29 Να βρεθούν τα όρια α) lim x→+∞ x2 ημ 1 x 2x + 3 β) lim x→+∞ ( x2 + 4x − 3 x + 2 ∙ ημ 1 x ) γ) lim x→+∞ [�√4x2 + 2 − √x2 + x �ημ 1 x ] 7.30 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ 3 2x − 3 ημ x 2x + συν x β) lim x→+∞ [ln(x2 + συνx) − lnx] 7.31 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 + x . Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ f(x) ∙ ημ 1 f(x) γ) lim x→+∞ �f(x) − f(x) ∙ συν 1 f(x) � δ) lim x→+∞ f2(x) ∙ �1 − συν 1 f(x) � ∙ ημ 1 f(x) 7.32 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 − x . Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→−∞ f(x) β) lim x→−∞ f(x) ∙ ημ 1 f(x) γ) lim x→−∞ �ημf(x) ∙ ημ 1 f(x) � 7.33 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με : 6x3 − 5x2 + 2 ≤ f(x) ≤ 6x3 + 2x2 + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→−∞ f(x) x2 +3x − 5 γ) lim x→−∞ f(x) 2x3 – x + 25 δ) lim x→+∞ f(x) x4 − 2x3 + x Θ. Κριτήριο Παρεμβολής στο Άπειρο 7.34 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |(x2 + 1)f(x) − x| ≤ 1, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f(x) 7.35 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |f(x) + x| ≤ e − 1 x2 , ∀ x ≠ 0 Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) 7.36 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : |(x3 + 1)f(x) − 2x3| ≤ x2 + 1, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τα όρια: α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ � f(x) x ∙ ημx� 7.37 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ x f(x) − √x2+ x + 2 2x + 1 = 3 . Να βρείτε το lim x→+∞ f(x) Ι. Με Χρήση Βοηθητικής Συνάρτησης 7.38 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ xf(x) − ημ x x + 1 = 3 . Να βρείτε το lim x→+∞ f(x) 7.39 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ [f(x) − 3x] = −2 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ f(x) x γ) lim x→+∞ x f(x) + x2 + 1 x f(x)− 3 x2 + 2
  • 38.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 38 7.40 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ [f(x) − 4x] = 3 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ f(x) β) lim x→+∞ f(x) x γ) lim x→+∞ 2 f(x) + 7x x f(x) − 4 x2 + 2x + 1 7.41 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→+∞ � x2+3 x−2 + αx + β� = 5 7.42 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→−∞ � 2x3+ 1 x2+ 2 − αx − β� = 0 Κ. Προσδιορισμός Παραμέτρων 7.43 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→−∞ �√4x2 + 8x − 5 + αx + β� = −5 7.44 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει : lim x→−∞ �√x2 + 6x + αx + β� = 2 7.45 Έστω η συνάρτηση f : (−∞, 0) → ℝ για την οποία ισχύουν: lim x→−∞ f(x) x = 2 και lim x→−∞ [f(x) − 2x] = 3. Να βρείτε το λ ∈ ℝ∗ ώστε να ισχύει lim x→−∞ 2 f(x) + λ x −1 x f(x) − 2x2 + 1 = 1 7.46 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ∈ ℝ, να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ [(α − 2)x3 + (1 − α)x2 − 2x + 3] β) lim x→+∞ [(α − 1)x3 − 2αx2 + 3x − 1] 7.47 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ∈ ℝ να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ (α−2)x2+ 2x + 3 αx + 1 β) lim x→+∞ (α−1)x2− 2x + 1 2αx + 1 7.48 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ∈ ℝ να βρείτε τα όρια : α) lim x→−∞ (2α+3)x3− 3x + 1 (α−2)x2+ 2 β) lim x→+∞ (2−α)x3+ x2+ 3 αx2− 3x + 5 7.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + x + 1 − α ∙ x , x ∈ ℝ. Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f(x) για τις διάφορες τιμές του α ∈ ℝ 7.50 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx + 3− 3x + 5 αx + 3x − 8 , α > 0 . Να βρείτε τις τιμές του α αν ισχύει lim x→+∞ f(x) = 64
  • 39.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 39 Guillaume Francois Antoine μαρκήσιος του de L’ Hospital (1661-1704) Γάλλος Μαθηματικός 8.1 Να βρεθούν τα όρια: α) lim x→0 ex − 1 x β) lim x→1 lnx x − 1 γ) lim x→0 3x +5 ημ x 2x − ημ x δ) lim x→1 x − ex−1 x – lnx − 1 Α. Απροσδιόριστη Μορφή 0/0 , ∞/∞ 8.2 Να βρεθούν τα όρια: α) lim x→1 ex − e lnx β) lim x→0 √x+1 − 1 x γ) lim x→0 ex − x − 1 x2 δ) lim x→0 ημ x − x x2 8.3 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ lnx ex β) lim x→+∞ x2 ex γ) lim x→0+ lnx e 1 x δ) lim x→+∞ 4x2 + lnx x2 + 2lnx 8.4 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ x2+ x + 1 ex β) lim x→+∞ ln(x2+ 1) 2x γ) lim x→+∞ lnx x2+ x + 1 δ) lim x→+∞ ln(1+ex ) x 8.5 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→−∞ (x ex) β) lim x→0+ �x ∙ e 1 x� Β. Απροσδιόριστη Μορφή 𝟎𝟎 ∙ (±∞) 8.6 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→0 (x2 ∙ lnx) β) lim x→0 �√x ∙ lnx� 8.7 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (x ∙ e − x) β) lim x→1+ �(x − 1) ∙ ln 1 x − 1 � 8.8 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ �x ln �1 + 1 x �� β) lim x→+∞ [e1−2x(x2 − 5x + 2)] 8.9 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (x − lnx) β) lim x→+∞ (ex − x) Γ. Απροσδιόριστη Μορφή (∞ − ∞) 8.10 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (ex − lnx) β) lim x→+∞ (x2 + x − ex) 8.11 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→+∞ (ln(1 + x) − x) β) lim x→−∞ ( x − e − x) 8.12 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→1+ � x x − 1 − 1 lnx � β) lim x→0+ � 1 x − 1 ημ x � 8.13 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→1+ (x − 1)lnx β) lim x→0+ (ex − 1)x γ) lim x→1− x 1 1− x Δ. Απροσδιόριστη Μορφή 𝟎𝟎𝟎𝟎 , 𝟏𝟏±∞ , ±∞𝟎𝟎 8.14 Να βρεθούν τα όρια : α) lim x→0 x2x β) lim x→+∞ (x2 + 1) 1 x 8. Κανόνας του De L’ Hospital
  • 40.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 40 9.1 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x2 − x √x2 + 3 − 2 , x ≠ 1 2 , x = 1 είναι συνεχής στο 1 . Α. Εξέταση Συνέχειας Συνάρτησης 9.2 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x ημ 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . 9.3 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x2 + x − 2 x − 1 , x < 1 3x + lnx , x ≥ 1 είναι συνεχής . 9.4 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � x2 − 1 x − 1 , x ≤ 0 ημ 2x x , x > 0 είναι συνεχής . 9.5 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ημ x 2x , x < 0 1 2 , x = 0 √x + 1 − 1 x , x > 0 είναι συνεχής στο 0 9.6 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � xlnx , x > 0 0 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . (ΘΕΜΑ 2008) 9.7 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � ex − 1 x , x ≠ 0 1 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . (ΘΕΜΑ 2014) 9.8 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � e lnx x , x > 0 0 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 . (ΘΕΜΑ 2014 E) 9.9 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = � lnx x + 1 , 0 < x < 1 1 , x = 1 lnx x – 1 , x > 1 είναι συνεχής στο (0, +∞) (ΘΕΜΑ 2016 E) 9.10 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = � √x4 3 , x ∈ [−1 , 0) ex ∙ ημx , x ∈ [0 , π] είναι συνεχής στο [1 , π] (ΘΕΜΑ 2017 ) 9.11 Να βρεθεί το α ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � 2 x2 – x − 1 x − 1 , x ≠ 1 α , x = 1 Β. Εύρεση Παραμέτρων 9.12 Να βρεθεί το α ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � √x2+1 − 1 x , x ≠ 0 α2 − 1 , x = 0 9.13 Να βρεθούν τα α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής με f(x) = � α x2+ β x − 1 x − 1 , x ≠ 1 2 , x = 1 9.14 Να βρεθούν τα α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής με f(x) = � α x2+2β x − 6 x − 2 , x > 2 αx + 3β , x ≤ 2 9. Συνέχεια Συνάρτησης
  • 41.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 41 9.15 Να βρεθεί το κ ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � lnx x2 −2lnx , x > 0 κ , x = 0 (ΘΕΜΑ 2008 E) 9.16 Να βρεθεί το α ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � α ∙ ημ (x−1) x − 1 , x < 1 α2 + x − 1 , x ≥ 1 9.17 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής με f(x) = � x2 − αx + 6 , x < 1 αx + β , 1 ≤ x ≤ 3 x2 − 4x + 3 √x − 2 − 1 , x > 3 9.18 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει lim x→1 f(x) − 2 x − 1 = 3 . Να βρείτε το f(1) . Γ. Συνέχεια − Βοηθητική Συνάρτηση 9.19 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και ισχύει lim x→0 x f(x) − ημ 3x x2 + x = 2 . Να βρείτε το f(0) . 9.20 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει lim x→0 f(x) − e2x + 1 ημ 2x = 5. Να βρείτε το f(0) . 9.21 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 ημ x − xf(x) ημ x + x = 2 . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Α(0 , −3) , να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 . 9.22 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x2 f(x) = ημx ∙ ημ3x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(0) . Δ. Εύρεση Τιμής Συνάρτησης 9.23 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) = √x2 + 5 + 2f(x) − 3, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(2) . 9.24 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) ≤ x2 + x + ημx , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(0). 9.25 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2) f(x) ≤ x3 − 6x + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(2). 9.26 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |xf(x) − ημx| ≤ x2 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(0). 9.27 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει (x − 2)f(x) = 5x2 + 3x − 26, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το f(2) . 9.28 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει lim x→3 7f(x) − 5 2f(x) − 3 = 4 . Να βρείτε το f(3) . 9.29 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει x f(x) = ημ3x + √x2 + x + 1 − 1 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . Ε. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης 9.30 Να βρείτε συνεχή συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ στο x0 = 1 , για την οποία ισχύει : x f(x) + 2 = f(x) + √x2 + 3 , ∀x ∈ ℝ . 9.31 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − 2| ≤ √ex − x − 1 . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 . Ζ. Συνέχεια − Κριτήριο Παρεμβολής 9.32 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − 3x + 2| ≤ x2 , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 . 9.33 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + 6f(x) + 9συν2 x ≤ 0, ∀x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 .
  • 42.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 42 Continuous function η συνεχής συνάρτηση στα Αγγλικά 9.34 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4xf(x) ≤ −3x2 − 2x + 1 , ∀x ∈ ℝ. α) Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 1 . β) Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f(x) x2 9.35 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + f(x) = x , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 0 . 9.36 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) = x , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 0 . 9.37 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + f(x) + 1 = ex , ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f συνεχής στο 0 9.38 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − f(y)| ≤ α ∙ |x − y| , α > 0 , ∀x , y ∈ ℝ Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ℝ .
  • 43.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 43 10.1 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x − 5 |x − 2| β) f(x) = lnx x Α. Κατακόρυφη Ασύμπτωτη 10.2 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = ex 1 − x β) f(x) = lnx 1 + lnx 10.3 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = lnx β) f(x) = ln(x − 3) γ) f(x) = e 1 x 10.4 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = � �|x| , x ≤ 0 x + 1 x , x > 0 10.5 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της f(x) = � lnx x + 1 , 0 < x < 1 1 , x = 1 lnx x – 1 , x > 1 (ΘΕΜΑ 2016 Ε) 10.6 Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = � x2 , x ≤ 0 e 1 x ∙ ημx x , x > 0 10.7 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 5 x2 − 3x + 4 x2 + 3 β) f(x) = √x2 − x + 2 x − 3 Β. Οριζόντια Ασύμπτωτη 10.8 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 3 x2 x2 + 1 β) f(x) = 2x √x2+ 3 10.9 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 5 x2 − 3x + 4 x2 + 3 β) f(x) = √x2 − x + 2 x − 3 10.10 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = ex − 1 ex + 1 β) f(x) = lnx − 1 lnx + 1 10.11 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης φ(x) = ex ex + 1 ( ΘΕΜΑ 2017 ) 10.12 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 5ex − 6 ex + 3 10.13 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x ∙ ex β) f(x) = (x2 − x) ∙ ex 10.14 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = ln x − 1 x − 2 β) f(x) = 1 + ημ x x 10.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex ημx + 2015 . Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο − ∞ και να δείξετε ότι η Cf τέμνει την παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία. 10.16 Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = � 2x x + 1 , x < −1 1 x2+ 1 , x ≥ −1 10. Ασύμπτωτες Συνάρτησης
  • 44.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 44 Asymptote η ασύμπτωτη στα Αγγλικά 10.17 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 x2 − 7x + 2 x − 3 . Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = 3x + 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ Γ. Πλάγια Ασύμπτωτη 10.18 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = 2 x2 − 3x + 1 x + 1 β) f(x) = 2 x3 + 3x2 − 5 x2 – x + 1 10.19 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = √9x2 + 8x + 5 10.20 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x2 − 6x + 3 x − 3 β) f(x) = x2 − 4 |x| 10.21 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων : α) f(x) = x ∙ e 1 x β) f(x) = x ∙ ln �e + 1 x � 10.22 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x − 1 + 2 x − 3 10.23 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 3x − 5 + 7 ex + x2 10.24 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 2x − 3 + lnx x 10.25 Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 3x + ημ x x 10.26 Να εξετάσετε αν έχει πλάγια ασύμπτωτη μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει : 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x3+ 3x2+ 1 x2 10.27 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2 + 5x − 2 x − 1 Δ. Εύρεση Ασύμπτωτων 10.28 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2− 1 x 10.29 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x lnx 10.30 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = √x2+ 1 2x 10.31 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = (x + 2) ∙ e 1 x 10.32 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = (x − 2)lnx + x − 3 (ΘΕΜΑ 2010) 10.33 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2 − 2 lnx (ΘΕΜΑ 2008) 10.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − ln(ex + 1) .Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ και την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο −∞ (ΘΕΜΑ 2014) 10.35 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = x2 x2+ 1 (ΘΕΜΑ 2016) 10.36 Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f(x) = 3x2 ex
  • 45.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 45 10.37 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ x f(x) − 2 x2 √4 x2 + x + 1 = −3. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ Ε. Ασύμπτωτες και Βοηθητική Συνάρτηση 10.38 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→+∞ [x f(x) − x2 + 3x] = 4 . Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ 10.39 Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει 3x + ημ x x ≤ f(x) ≤ 3x + 1 x , για κάθε x > 0 . Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf Ζ. Ασύμπτωτες και Κριτήριο Παρεμβολής 10.40 Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει 2x2 − 1 ≤ x f(x) ≤ 2x2 − ημx , x > 0 . Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf 10.41 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + 1 x − 2 να έχει ασύμπτωτη στο −∞ την ευθεία y = 2x + 3 Η. Προσδιορισμός Παραμέτρων 10.42 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + 3 2x + 1 να έχει ασύμπτωτη στο −∞ την ευθεία y = 3x − 1 10.43 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx x − 2 να έχει ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y = 2x − 1 10.44 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = (α−1)x2 + (β−2)x − 2 x + 1 να έχει ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y = 3x − 7 10.45 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = (αx + β) ∙ ex 1 + ex να έχει ασύμπτωτη στο −∞ την ευθεία y = 2x − 1 10.46 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = βx2 − 2x − 1 x − 3 να έχει ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y = α x + 7 10.47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + x + 1 − μx , μ ∈ ℝ . Αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη την ευθεία y = λ στο +∞ , τότε να αποδείξετε ότι μ = 1 , λ = 1 2 10.48 Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f(x) = (α−1)x2 + βx + 5 3x + γ να έχει ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις x = −2 και y = 3 10.49 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε να ισχύει lim x→+∞ � 2 x2 − 5x + 1 x − 1 − αx − β� = 0 10.50 Η ευθεία y = 4x + 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ x2f(x) − 4 x3 x f(x) − 2015 β) lim x→+∞ f(x) (x + 1) − 4x2 3x − 2015 Θ. Ασύμπτωτες και Όρια 10.51 Η ευθεία y = 2x + 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ (x3 f(x) − 2x4 + 4x3 + 5) β) lim x→+∞ x2f(x)+ 3x3+ 1 x3f(x)− 2x4+ 4x3+ 5 10.52 Η ευθεία y = 2x + 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→+∞ x∙f(x) + f2(x) x2+ ημ 2x β) lim x→+∞ ��√x2 + 1 − x� ∙ f(x)� γ) lim x→+∞ �f2(x) − 2xf(x) ∙ ημ 1 x �
  • 46.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 46 10.53 Η ευθεία y = 2x − 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε το όριο : lim x→+∞ 6 x f(x) + x ημ x x2 f(x) − 2x3 + 2015 10.54 Η ευθεία y = 4x + 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε το όριο : lim x→+∞ f(x)− 8x + ημ x f(x)+xf(x)− 4x2− 3x + 3 10.55 Η ευθεία y = 2018x + 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε το όριο : lim x→+∞ x2 f(x) + x3+ 1 x3 f(x) − 2018x4 − 5 10.56 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 2 + x2 ex α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x + 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ β) Να βρείτε τα όρια : β1) lim x→+∞ f(x) x β2) lim x→+∞ (f(x) − x) β3) lim x→+∞ �f(x) − √x2 + 1� 10.57 Η ευθεία y = 2x + 5 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ισχύει lim x→+∞ μ f(x) + 4x x f(x) − 2x2 + 3x = 1 10.58 Η ευθεία y = 3x − 5 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ισχύει lim x→+∞ (μ2−1)f(x) − 5μx + 7 xf(x) − 3x2 + (μ+2)x − 3 = 1 10.59 Η ευθεία y = 2x − 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ αν ισχύει lim x→+∞ λf(x) + 201 7 xf(x) − 2x2 + 7x = 1 10.60 Η ευθεία y = 3x − 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ισχύει lim x→+∞ (μ−3)f(x) + √9 x2 − 16x + x x f(x) − 3x2 + ημ 4x = 2 10.61 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f(x) − g(x) = x − 4 , x ∈ ℝ . Αν η ευθεία y = 3x − 7 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ τότε : α) Να βρείτε τα όρια lim x→+∞ g(x) x και lim x→+∞ g(x) + 5x + ημ 2x x f(x) − 3x2 + 1 β) Να δείξετε ότι η ευθεία y = 2x − 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο +∞ 10.62 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f(x) − g(x) = x − 2 , x ∈ ℝ . Αν η ευθεία y = 2x + 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ τότε : α) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο +∞ β) Να βρείτε τα όρια lim x→+∞ g(x) x και lim x→+∞ g(x) + 2x + lnx x f(x) − 2x2 + ημ x
  • 47.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 47 Ο Bernand Bolzano(1781-1848) ήταν Βοημός μαθηματικός, φιλόσοφος και καθολικός ιερέας. Το ομώνυμο θεώρημα το απέδειξε το 1817 . 11.1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x5 − 3x = 2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 2) Α. Τουλάχιστον μια Ρίζα Εξίσωσης 11.2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5x5 = 2ex − 1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex = xex + x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x x + 1 + 3x x − 2 = 2018 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (−1 , 2) 11.5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex x − 1 + lnx x − 2 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 11.6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex2 x − 2 + x2 x − 1 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 11.7 Έστω f , g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο ℝ και τέτοιες, ώστε f(1) ∙ g(2) > 0 . Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x) x − 2 + f(x) x − 1 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 11.8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) και Β(3 , 2). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 3x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 3) . 11.9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 4 − 2x x2− 2x + 3 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 2) . 11.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � −x2 + 4x − 3 , x ≤ 2 2x − 3 , x > 2 . Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [0 , 4] και να βρείτε το ξ ∈ (0 , 4) ∶ f(ξ) = 0 11.11 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x4 − 20x3 = 25x2 + x − 1 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (−1 , 1) . Β. Τουλάχιστον Δύο Ρίζες Εξίσωσης 11.12 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 = 6x2 − 1 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (−1 , 1) . 11.13 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x ∙ ex2− 4 = 1 − x2 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (−2 , 2) . 11.14 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3συνx = x + 2 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (− π 2 , π 2 ) . 11.15 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex x − 1 + x2 + 1 x − 2 + ημ x + 2 x − 3 = 0 έχει δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες 11.16 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (x − 2)(x − 3) + 4(x − 1)(x − 3) + 7(x − 1)(x − 2) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (1, 3) 11. Θεώρημα BOLZANO
  • 48.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 48 11.17 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [2 , 6] → ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) + 1 x − 2 + 1 x − 4 + 1 x − 6 = 0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (2 , 6) . 11.18 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 + 3x + 1 = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (−1 , 0) . Γ. Μοναδική Ρίζα Εξίσωσης 11.19 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex + 5x = 5 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , 1) . 11.20 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2lnx − ee − x = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (1 , e) . 11.21 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2lnx + e ∙ x = 0 έχει μοναδική ρίζα στο ( 1 e , 1) 11.22 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση εφx + 4x = 1 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , π 4 ) 11.23 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση −2lnx + 3συνx = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , π) . 11.24 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ , γνησίως μονότονη για την οποία ισχύει f2(2) + f2(3) − 2f(2) + 4f(3) + 5 = 0 α) Να βρείτε τις τιμές f(2) , f(3) . β) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο ℝ . 11.25 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 2 . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’ x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (0 , 1). Δ. Η 𝐂𝐂𝐟𝐟 Τέμνει τον Άξονα x’x 11.26 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2lnx + x − 2 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να αποδείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα μοναδικό σημείο με τετμημένη στο διάστημα (1 , e). 11.27 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 − 2x και g(x) = 15 − 5x . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο (2 , 3). Ε. Τουλάχιστον ένα κοινό σημείο 𝐂𝐂𝐟𝐟 , 𝐂𝐂𝐠𝐠 11.28 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = 1 x Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο ( 1 e , e). 11.29 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex−1 + x2 + 1 και g(x) = x2 + 2 − ex−1 . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο (0 , 1). 11.30 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1] ώστε να ισχύει 3x2 ≤ f(x) + x ≤ 3x , ∀x ∈ [0 , 1] . Να αποδείξετε ότι η Cf και η ευθεία ε ∶ 4x − y − 1 = 0 έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής στο (0 , 1) 11.31 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) και Β(4 , 2) . Να αποδείξετε ότι η Cf και η ευθεία ε ∶ x − y = 0 έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής 11.32 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [1 , 5] → ℝ της οποίας η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 3) και Β(5 , 2) . Να αποδείξετε ότι η Cf και η ευθεία ε ∶ y = x έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής 11.33 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι 1-1 και ισχύει f(0) ∙ f(2) < 2𝑓𝑓(0) . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f−1 , έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο .
  • 49.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 49 11.34 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 2] → ℝ της οποίας η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισχύει lim x→2 f(x)− 1 ημ (x−2) = 16 α) Να αποδείξετε ότι η Cf και η γραφική παράσταση της g(x) = x3 − x − 2 τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο β) Να βρείτε το όριο lim x→2 f(x)− 1 x2− 5x + 6 11.35 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x3 + 3x − 1 = 0 έχει ακριβώς μια θετική ρίζα . Ζ. Bolzano Χωρίς Διάστημα 11.36 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex − 1 x = 0 έχει ακριβώς μια θετική ρίζα . 11.37 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x = 3 + ημx έχει μια τουλάχιστον ρίζα . 11.38 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση lnx + 2 = e x έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα . 11.39 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (1 , e) ∶ x0 ∙ lnx0 + lnx0 = e Η. Θεωρητικές Ασκήσεις στο Bolzano 11.40 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ με f(α) ≠ f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α , β) τέτοιο ώστε f(ξ) = f(α) + 2f(β) 3 11.41 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ με f(α) ≠ f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (α , β) ∶ f(α) 3 + f(β) 2 = 5 6 f(x0) 11.42 Δίνεται συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ , συνεχής με f(α) = 2015β2 , f(β) = 2015α2 . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f(x0) = 2015 x0 2 . 11.43 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [1,5] → (1,3) Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (1 , 3) ∶ f(x0) = 3 x0 11.44 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1]. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0 , 3) και Β(1 , 2) τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0 , 1) ∶ f(x0) x0 = 3 11.45 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει 0 < f(x) < 4 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f2(x) − 4f(x) + 5x = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) . 11.46 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει 0 < f(x) < 2 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f2(x) + 2x = 2f(x) έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 2) . 11.47 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → (−1 , 0) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈ (0 , 1) : f2(ξ) + f(ξ) + ξ = 0 11.48 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ για την οποία ισχύει f2(α) + (f(β) − 1) ∙ f(α) + 1 = 0 . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο. 11.49 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ συνεχείς, με f(x) − g(x) = 2 x −2x , ∀ x > 0 . Αν ρ1 , ρ2 ρίζες της g με 0 < 𝜌𝜌1 < 1 < ρ2 τότε να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ1 , ρ2) 11.50 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ συνεχείς, για τις οποίες ισχύει αf(x) + βg(x) + γx = 0 , ∀x ∈ ℝ , α , β , γ ∈ ℝ∗ . Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία με τετμημένες ρ1 < 0 < ρ2 . Να αποδείξετε ότι και η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο.
  • 50.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 50 11.51 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 4] → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο με τεταγμένη −2. Ισχύει: 4√x − 8 ≤ (x − 4)f(x) ≤ x − 4 , ∀x ∈ [0 , 4] . Να αποδείξετε ότι και η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο. 11.52 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) = 4x − 1 , για κάθε x ∈ ℝ Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα (0 , 1). 11.53 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f3(x) − 2f2(x) + 3f(x) = 2 − x3 για κάθε x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (−1 , 2) 11.54 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + βf2(x) + γf(x) = x3 − 2x2 + 6x − 1 για κάθε x ∈ ℝ , με β , γ ∈ ℝ με β2 < 3γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα (0 , 1). ( ΘΕΜΑ 2001 ) 11.55 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ για την οποία ισχύει : x2 + x − 2 + ημ(1 − x) ≤ (x − 1)f(x) ≤ x2 − 1 α) Να βρείτε την τιμή f(1) β) Να δείξετε ότι η εξίσωση (x + 2)f(x) = 7x + 1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.56 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει xf(x) + 2 = f(x) + √3x2 + 1 , ∀x ∈ ℝ Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ 4f(x0) = 7x0 . 11.57 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει x + 1 ≤ f(x) ≤ ex , ∀x ∈ ℝ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = e2 x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.58 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει x + 2 ≤ f(x) < ex + 2 , ∀x ∈ ℝ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = e3 x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 11.59 Δίνεται η συνεχής f ∶ (0 , +∞) → ℝ ώστε 2lnx − x < f(x) < ln2 x + x , ∀x > 0 Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = (e2 + 1)lnx − x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , e) 11.60 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ , γνησίως μονότονη και τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 3) και Β(3 , 2) . Θεωρούμε επίσης συνάρτηση g ∶ ℝ → ℝ ώστε g(x) = f(2x − f(x)) − x , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως φθίνουσες β) η εξίσωση f(x) + f−1(x) = 2x έχει μοναδική ρίζα στο (2 , 3) 11.61 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f στο [1 , 4] με f(1) + f(2) = f(3) + f(4), f(1) ≠ f(2) , f(3) ≠ f(4) Να δείξετε ότι : α) υπάρχει ξ∈ (1 , 2) ∶ f(ξ) = f(1) + f(2) 2 β) η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται 11.62 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1]. Αν ισχύει f(0) + f(1) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 1]. Θ. Θεώρημα Bolzano σε Κλειστό Διάστημα 11.63 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β]. Αν ισχύει f(α) + f(β) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [α , β]. 11.64 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1]. Αν ισχύει 3f(0) + 5f(1) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 1]. 11.65 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1]. Αν ισχύει 3f(0) + f(1) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 1]. 11.66 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β]. Αν ισχύει 7f(α) + 9f(β) = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [α , β]. 11.67 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] με α , β ≠ 0 . Αν ισχύει e−α ∙ f(α) + e−β ∙ f(β) = 0 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [α , β].
  • 51.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 51 11.68 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση 2f(x) = �f(0) + f(2)� ∙ x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0 , 2]. 11.69 Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες και συνεχείς στο ℝ . Αν ισχύει f(α) + f(β) = g(α) + g(β) με α < β , να αποδείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής , με τετμημένη στο [α , β] . 11.70 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f(1) + f(2) = 7. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) + x2 = 4x , έχει τουλάχιστον μια λύση στο [1 , 2] 11.71 Δίνεται συνεχής f :[2 , 3] →[2 , 3] . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [2 , 3] ∶ f(ξ) = 6 ξ 11.72 Δίνεται συνεχής f :[0 , 1] →[0 , 3] . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [0 , 1] ∶ f(ξ) = ξ2 + 1 11.73 Δίνεται συνεχής f :[0 , 2] →[0 , 1] . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [0 , 2] ∶ f2(ξ) + ξ2 = 2f(ξ) + 3 11.74 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[0 , 4] → ℝ ώστε f(0) = f(4) . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [0 , 2] ∶ f(ξ) = f(ξ + 2) 11.75 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ℝ → ℝ ώστε f(1) = f(5) . Να δείξετε ότι ∃ ξ ϵ [1 , 3] ∶ f(ξ) = f(ξ + 2) 11.76 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει (x2 − 4x + 2)f(x) ≤ f(0) + f(4) . Να αποδείξετε ότι α) f(0) = f(4) β) ∃ ξ ∈ [0 , 2] ∶ f(ξ2) = ξ ∙ f(2ξ) 11.77 Έστω συνάρτηση f ∶ [−2 , 2] → ℝ συνεχής συνάρτηση ώστε 3(x2 − 1) + 2f2(x) = 9 , xϵ[−2 , 2] . Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (−2 , 2) Ι. Σταθερό Πρόσημο Συνάρτησης 11.78 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f(x) ≠ 0, ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε το όριο lim x→−∞ f(1) x5 − 4x3 + 2x − 1 f(3)x2 − 5x + 3 11.79 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η εξίσωση x f(x) = (x2 − 4)ex έχει τουλάχιστον μια λύση στο (−2 , 2). 11.80 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [−1 , 2] → ℝ , f(x) ≠ 0 με x ∈ [−1 , 2] . α)Να δείξετε ότι η εξίσωση x3(1 − f(x)) = x2 + 2x έχει τουλάχιστον μια λύση στο (−1 , 2) β) Να βρείτε το lim x→−∞ f(0)x5 − 3x2 + 1 f(1)x2 − 2x + 5 11.81 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = ex + 1 , f(0) = √2 . 11.82 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = x2 + 1 , f(0) = 1 . 11.83 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [−3 , 3] → ℝ για την οποία ισχύει x2 + f2(x) = 9 , ∀x ∈ [−3 , 3] α) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0 β) Αν η Cf τέμνει τον άξονα y’y στο Μ(0 , 3) να βρείτε τον τύπο της f 11.84 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 2 x f(x) = 5 , ∀x ∈ ℝ . Αν η Cf διέρχεται από το Μ(2 , f(−1)) να βρείτε τον τύπο της f . 11.85 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4f(x) ∙ ημx = x2 + 4συν2 x , ∀x ∈ ℝ . Αν η Cf τέμνει τον άξονα y’y στο Μ(0 , 2) να βρείτε τον τύπο της f . 11.86 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν [f(x) + 2][f(x) − 2] = x2 , f(0) = 2 11.87 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία f(x)[f(x) − 2x] = e2x − x2 , f(0) = −1 . 11.88 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = 4xf(x) + 4 , f(0) = 1 . 11.89 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , +∞) → ℝ με f2(x) + xf(x) = 4 , f(3) = −4 . Να βρείτε την f
  • 52.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 52 11.90 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) + 2f(x) = ημ2 x , f(0) = −2 . 11.91 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) = 2xf(x) + 1 , f(0) = −2 . 11.92 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : ef(x) − 1 ef(x) = 2x , f(0) = 0 . 11.93 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : ef(x) − 4x − 4e−f(x) = 0 , f(0) = ln2 11.94 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f2(x) + 2f(x)ημx = x2 + συν2 x , με f(0) = 1 11.95 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4 ex + 1 = ex με f(0) = −3 . Να βρείτε : α) τον τύπο της f β) το όριο lim x→+∞ f(x) + 4 x + 2 3x + 4x 11.96 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f2(x) − 4x = x2 + 4 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε την f . 11.97 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει ln(f(x) − x) + ln(f(x) + x) = 0,∀x ∈ ℝ α)Να δείξετε ότι f(0) = 1 β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 11.98 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει: f2(x) = 1 , ∀x ∈ ℝ . 11.99 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει: f2(x) = e2x , ∀x ∈ ℝ . 11.100 Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες και συνεχείς στο ℝ με f(x) = (x2 − 5x + 6) ∙ g(x) για κάθε x ∈ [2 , 3] . Αν οι αριθμού 2 , 3 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 , να δείξετε ότι g(2) ∙ g(3) ≥ 0 11.101 Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων : α) f(x) = x3 + 5x − 1 , x ∈ [1 , 2] β) f(x) = −x5 − 3x + 2 , x ∈ [0 , 2] Κ. Σύνολο Τιμών Συνάρτησης 11.102 βρεθούν τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων : α) f(x) = x3 + x − 10 , x ∈ (−∞ , 1] β) f(x) = lnx + 2ex , x ∈ (0 , 1] 11.103 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 21 − x + 1 x , x ∈ [1 , 2] . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . 11.104 Δίνεται η f(x) = √x − 1 − √5 − x . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . 11.105 Δίνεται η f(x) = √4 − x − √2 + x . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . 11.106 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 1 x − lnx , 0 < x ≤ 1 ex−1 + lnx , x > 1 α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 11.107 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln � x + 1 2 − x � . Να βρείτε : α) το σύνολο τιμών της f β) τις ασύμπτωτες της Cf 11.108 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ η οποία είναι συνεχής , γνησίως αύξουσα και ισχύει : x3 + x2 + 2 ≤ f(x) − x ≤ x3 + 2x2 + 2 , ∀x > 0 . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 11.109 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x − ln(9 − x) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση √x − ln(9 − x) = e έχει ακριβώς μια λύση . 11.110 Δίνεται η f(x) = 2 − lnx − ex , x ∈ (0 , 1] α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση lnx + ex = 2 έχει ακριβώς μια θετική λύση μικρότερη της μονάδας .
  • 53.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 53 11.111 Δίνεται η f(x) = e−x − lnx − √x − 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα ακριβώς σημείο . 11.112 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3√x + lnx . Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα ακριβώς σημείο . 11.113 Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 + ln(1 − ex) = ex έχει ακριβώς μια λύση 11.114 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + ex − 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα x0 ώστε να ισχύει lnx0 + ex0 = 1 . γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2016 έχει ακριβώς μια θετική ρίζα. 11.115 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − e− x . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ln x 2018 −e− x = 0 έχει ακριβώς μια λύση . 11.116 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , 1] → ℝ , f(x) = 1 x − lnx α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα x0 τέτοιο , ώστε 2x0lnx0 = 2 − 3x0 . 11.117 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (1 , +∞) → ℝ , f(x) = xlnx − 1 x α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς x0 : x0 x0 = e 1 x0 11.118 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (1 , +∞) → ℝ , f(x) = 1 lnx − x α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς x0 > 1 ∶ x0 x0 = e 11.119 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √1 − x − ex α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ��2 + √1 − x�e−x − 1� = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα . 11.120 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ με f(x) = 2 x +ln �e + 1 x � α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ > 0 τέτοιος , ώστε : � e∙ξ +1 ξ � ξ = ee∙ξ − 2 11.121 Δίνεται η f(x) = lnx + ex + x − 1 α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε το α ώστε να ισχύει eα2+4 − e4α = ln4α − ln(α2 + 4) + 4α − α2 − 4 11.122 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � ln(x − 1) + x2 , x ≥ 2 e2 − x − x3 + 11 , x < 2 α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 − f(α) x − 1 + 3 − f(β) x − 3 = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 3) , ∀α , β ∈ ℝ δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = λ , για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ 11.123 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ , f(x) = 4lnx − 1 x α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης . 11.124 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + 2) + ln(x − 2) − 3 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη . 11.125 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − ln(1 − ex) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2050 έχει μοναδική ρίζα γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης και τον τύπο της δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f−1 δεν έχουν κοινά σημεία .
  • 54.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 54 Intermediate Value Theorem το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών στα Αγγλικά 11.126 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x 1 + 3x α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη . γ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f−1 τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x0 ∈ (0 , 1) 11.127 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + ex − 3 + 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να λύσετε την ανίσωση f−1 �x5 + ex − 3 + 245 + 1 e3� > 3 δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f�e3 − x(x5 + 10)� = 1 e4 11.128 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [2 , 5] → ℝ Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ [2 , 5] ∶ 10f(x0) = 7f(3) + 3f(4) . Λ. Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών και Θ.Μ.Ε.Τ. 11.129 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [0 , 2] → ℝ Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ [0 , 2] ∶ f(x0) = f(0) + 5f(1) + 4f(2) 10 11.130 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [0 , 3] → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ [0 , 3] : 10 ∙ f(x0) = f(0) + 2f(1) + 3f(2) + 4f(3) . 11.131 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [1 , 3] → ℝ Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ [1 , 3] ∶ f(x0) = 1 20 �4f � 1 4 � + 5f � 1 5 � + 11f � 1 11 �� 11.132 Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f ∶ [1 , 3] → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (1 , 3) ∶ 3f(x0) = f(1) + f(2) + f(3). 11.133 Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f ∶ [1 , 2] → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ x0 ∈ (1 , 2) ∶ 4f(x0) = f(1) + 3f(2).
  • 55.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 55 Η έννοια της Παραγώγου σαν μια εφαπτόμενη ευθεία ήταν γνωστή στους Αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες όπως στον Ευκλείδη και Αρχιμήδη Η σύγχρονη ανάπτυξη του Διαφορικού Λογισμού πιστώνεται στους Ισαάκ Νεύτων(1643-1727) Γκόντφριντ Λάιμπνιτς(1646-1716) 12.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � x2 + x , x ≤ 2 −x2 + 9x − 8 , x > 2 . Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 Α. Εύρεση Παραγώγου με χρήση Ορισμού 12.2 Δίνεται η f(x) = � x2 + 3x , x < 0 2x + ημx , x ≥ 0 Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . 12.3 Δίνεται η f(x) = �√x + 3 − 4 , x ≥ 1 x2 − x − 2 , x < 1 . Να δείξετε ότι : α) η f είναι συνεχής στο 1 β) η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1 12.4 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = |x + 2| − 3x + 1. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο −2. 12.5 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = |x − 1| + 2x . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1. 12.6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = |x − 2| + 2x − 2. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 2. 12.7 Δίνεται η f(x) = x2 + 5|x − 3| + 4x − 1. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 12.8 Δίνεται η f(x) = �x e 1 x , x < 0 x − ημx , x ≥ 0 . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.9 Δίνεται η f(x) = � ημ2 x ∙ συν 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.10 Δίνεται η f(x) = � x2 ∙ συν 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 12.11 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � − 3 4 x + λ , x ≤ 1 x2 − 8x + 4 4x , x > 1 α) Να δείξετε ότι λ = 0 αν f συνεχής στο 1 β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1. 12.12 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(h + 2) = 3 ∙ συνh + h2 − h , ∀h ∈ ℝ . Να βρείτε τα f(2) , f ′(2) 12.13 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(h + 1) = h2 + 4h + 3 , ∀h ∈ ℝ . Να βρείτε τα f(1) , f ′(1) 12.14 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(h + 1) = 2ημh + (h − 1)2 , ∀h ∈ ℝ . Να βρείτε τα f(1) , f ′(1) 12.15 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ημx − 3x2 ≤ f(x) ≤ ημx + 5x2 , ∀x ∈ ℝ . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. Β. Παράγωγος και Κριτήριο Παρεμβολής 12. Η Έννοια της Παραγώγου
  • 56.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 56 12.16 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ημx − x2 ≤ f(x) ≤ ημx + x2 , ∀x ∈ ℝ . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.17 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει συνx − x2 ≤ f(x) + 1 ≤ συνx + x2 , ∀x ∈ ℝ . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 12.18 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει |f(x) − ημx| ≤ √x2 + 4 − 2 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ότι f ′(0) =1 12.19 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f(x) ≤ g(x) ≤ f(x) + (x − e)3 , ∀x ∈ ℝ . Αν για την f ισχύει f ′(e) = 3 , να δείξετε ότι g ′(e) = 3 12.20 Δίνεται η f(x) = � α x3 + 1 , x ≤ 1 βx + 3 , x > 1 . Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 . Γ. Παράγωγος και Συνέχεια 12.21 Δίνεται η f(x) = � 2x2 + 5β , x ≤ 1 α + β√x , x > 1 . Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 . 12.22 Δίνεται η f(x) = � α + ημx , x ≤ 0 βx + √x2 + 4 , x > 0 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . 12.23 Δίνεται f(x) = � x2 − x + 1, x ≤ 0 α ∙ ημx + β ∙ συνx , x > 0 Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . 12.24 Δίνεται η f(x) = � x2 + αx + β , x ≤ −2 3x2 + 5x − α , x > −2 . Να βρείτε τα α , β ∈ ℝ αν η f είναι παραγωγίσιμη στο −2 . 12.25 Δίνεται η f(x) = � α ∙ ex − x + 1 , x ≤ 0 x2 ∙ lnx + β , x > 0 α) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ , να δείξετε ότι α = 1 , β = 2 β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της Cf 12.26 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ παραγωγίσιμη στο 0 για την οποία ισχύει f3(x) + 8x ∙ ημxf(x) = x ∙ ημ2 3x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε : α) το f(0) β) το f ′(0) Δ. Παράγωγος και Όρια 12.27 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ παραγωγίσιμη στο 0 για την οποία ισχύει f(x) ∙ �x2 + f2(x)� = 2x3 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε : α) το f(0) β) το f ′(0) 12.28 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει lim x→1 f(x) − 2 x − 1 = 3 , να βρείτε τα f(1) , f ′(1) . 12.29 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2 και ισχύει lim x→2 f(x) + x2 x − 2 = 3 , να βρείτε τα f(2) , f ′(2) . 12.30 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει lim x→0 f(x) − e 2x + 1 ημ 2x = 5 α) Να βρείτε το f(0) β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . ( ΘΕΜΑ 2000 Ε ) 12.31 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 3 και ισχύει lim x→3 f(x) – 6x x2− 9 = 10 α) Να βρείτε το f(3) β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 3 γ) Να βρείτε το όριο lim x→3 f(x) – 2x2 4x2− 12x 12.32 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και ισχύει lim x→0 f(x) – 2x x2 = 1 α) Να βρείτε το f(0) β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 γ) Να βρείτε το όριο lim x→0 f(x) + x∙ημ x − 2x 1 −συν x
  • 57.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 57 12.33 Έστω συνάρτηση f με f(1) = 2 , f ′(1) = −1 Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f 2(x) − 2f(x) x2 + x − 2 β) lim x→1 f(x) − 2x x2 − x 12.34 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→0 f(x) − x x2 = 2005 α) Να αποδείξετε ότι f(0)=0 , f ′(0) = 1 β) Να βρείτε το λ ώστε lim x→0 x2 + λ(f(x))2 2x2 + (f(x))2 = 3 12.35 Έστω συνάρτηση f με f(2) = 3 , f ′(2) = 4. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→2 f(x) − 3 x2 − 2x β) lim x→2 f2(x) − 9 x2 − 4 γ) lim x→2 f(x) + 1 − x2 x − 2 δ) lim x→2 f(x) – √x + 7 x2 − 3x + 2 12.36 Δίνεται f: ℝ → ℝ με f(1) = 1 , f ′(1) = 1. Να βρείτε τα όρια : α) lim x→1 f(x) − 1 x2 − 1 β) lim h→0 f2(1+h) − 1 h γ) lim h→0 (1+h)∙f(1+h) − 1 h δ) lim x→1 f2(x) – 3f(x) + 2 x2 − 3x + 2 12.37 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f ′(0) = 5 . Να βρείτε τα όρια : α) lim x→0 f(3x) − f(0) x β) lim x→0 f(3x) − f(x) x 12.38 Έστω συνάρτηση f με f ′(1) = 2. Να βρείτε το όριο : lim h→0 f(1+2h) − f(1−3h) h 12.39 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ, συνεχής στο 1 με lim h→0 f(1+h) − 2 h = 3 . Να βρείτε : α) το f ′(1) β) το όριο lim x→1 f(x) + x2− x − 2 x2 − 1 12.40 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ, συνεχής στο 1 με lim h→0 f(1+h) + 3 h = 5 . Να βρείτε : α) το f ′(1) β) το όριο lim x→1 2f(x) + x2+ x + 4 x2 − 1 12.41 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = ex + 2x3 − lnx β) f(x) = (x2 + 1)ex γ) f(x) = x2 x − 1 δ) f(x) = 3x2 − 2x ex Ε. Κανόνες Παραγώγισης 12.42 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = x2 ∙ lnx β) f(x) = (x − 4) ∙ lnx − 5 γ) f(x) = x2 ∙ συνx δ) f(x) = x ∙ 2x 12.43 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = x2 ex β) f(x) = lnx x γ) f(x) = ημ x x δ) f(x) = x x2+ 1 12.44 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (5x2 + 1)4 β) f(x) = ημ3 x − 3ln2 x γ) f(x) = √x2 + 2x + 3 δ) f(x) = e x2+ 3x ε) f(x) = συν(x2 − 2x + 1) ζ) f(x) = ln⁡ (3x2 − 4) 12.45 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (x − 3x2)4 β) f(x) = ex3 γ) f(x) = −2ln2 x δ) f(x) = συνex ε) f(x) = 4ημ3 x ζ) f(x) = 5x2−2x 12.46 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (ex − x)3 β) f(x) = √x − 3 − lnx γ) f(x) = e 1 x 12.47 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = (x2 + x)x β) f(x) = �x + 1 x � x γ) f(x) = xlnx δ) f(x) = (x2 + 3)√x 12.48 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f(x) = √x2 3 β) f(x) = √x5 4 12.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � ημx , x ≤ 0 x2 + x , x > 0 Να βρείτε την παράγωγο της f . 12.50 Δίνεται η f(x) = � x2 − x , x ≤ 0 x3 + x , x > 0 . Να βρείτε την παράγωγο της f . 12.51 Δίνεται η f(x) = � x2 + 1 , x ≤ 0 συνx , x > 0 . Να βρείτε την παράγωγο της f .
  • 58.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 58 Differentiable function Παραγωγίσιμη συνάρτηση Derivative Παράγωγος στα Αγγλικά 12.52 Δίνεται η f(x) = � 2ημx + συνx , x ≤ 0 x2 + 2 x + 1 , x > 0 . Να βρείτε την παράγωγο της f 12.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � (x − 1)2 + lnx + 1 , 0 < 𝑥𝑥 < 1 x + (x − 1)3 , x ≥ 1 . Να βρείτε την παράγωγο της f 12.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + |x − 2| . Να βρείτε την παράγωγο της f . 12.55 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x ∙ (x2 − 2x) . Να λύσετε την εξίσωση f ′(x) = 0 12.56 Δίνεται η f(x) = e x ∙ (x2 − 2x + 3) . Να λύσετε την ανίσωση f ′(x) > 0 12.57 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x3 . Να βρείτε το όριο lim x→1 f(x) − f(1) x − 1 12.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x −2 ex . Να βρείτε το όριο lim x→+∞ f ′ (x) f(x) 12.59 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + x . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την (f−1)′ (1) 12.60 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την (f−1)′ (3) 12.61 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + x + 2 . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης β) Να βρείτε την (f−1)′ (1) 12.62 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x − 8 . α)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης β) Να βρείτε την (f−1)′ (4) 12.63 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f5(x) + 3f(x) = x − 2 , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την (f−1)′ (1) 12.64 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g : α) g(x) = f(2x3 + 7) β) g(x) = f(−3x) + f � 4 x � γ) g(x) = f3 �e−4x� 12.65 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g : α) g(x) = f(x2 + 3x + 1) β) g(x) = x2 ∙ f � 1 x � γ) g(x) = f2(ex − x) 12.66 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f(x2) + x ∙ f(x) = 4x2 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές f(1), f ′(1) 12.67 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x . Να δείξετε ότι x ∙ f ′′(x) + 2f ′(x) = xf(x) , x ≠ 0 . 12.68 Δίνεται η f(x) = ex ∙ (ημx + συνx). Να δείξετε ότι f ′′(x) − 2f ′(x) + 2f(x) = 0 . 12.69 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ e2x. Να δείξετε ότι f ′′(x) − 4f ′(x) + 4f(x) = 0 . 12.70 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 ∙ lnx . Να δείξετε ότι 2f(x) − x ∙ f ′(x) + x2 = 0 . 12.71 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = eλx . Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες ισχύει 2f′′ (x) − 3f(x) = f ′(x), ∀x ∈ ℝ .
  • 59.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 59 13.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 5x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . Α. Με γνωστό το Σημείο Επαφής 13.2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ ex . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(0, f(0)) . 13.4 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x + 3 x − 2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(3, f(3)) . 13.5 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(e, f(e)) . 13.6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex2− 5x + 4 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.7 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x2 + 1) . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1 , f(1)) . 13.8 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 16x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf στα σημεία τομής της με τον άξονα x’x 13.9 Δίνεται η f(x) = � x2 − x + 2 , x ≤ −2 2x2 + 3x + 6 , x > −2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(−2 , f(−2)) . 13.10 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει 3x − 2 ≤ f(x) ≤ 2x2 − 5x + 6 , ∀x ∈ ℝ .Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . 13.11 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f3(x) + f(x) − 2x = 8x3 , ∀x ∈ ℝ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(0, f(0)) . 13.12 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f(e− x) = x2 − 2x + 4 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.13 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0 , +∞) → ℝ ώστε να ισχύει f(x3) + f(x) = 4lnx + 2 , x > 0 . α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) β) Να βρείτε το όριο lim x→1 f(x)− x x − 1 13.14 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (2 , +∞) → ℝ ώστε να ισχύει ef(x) + (x − 2)f(x) = x2 − 8.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(3, f(3)) 13.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 1 . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf −1 στο σημείο με τετμημένη 3 . 13.16 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 3x . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf −1 στο σημείο με τετμημένη 4 . 13.17 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία : 2f(x + 1) + 2f(1 − x) = συν2x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x η εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 13.18 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2 και ισχύει lim x→2 f(x) + x3 − 5 x − 2 = 7 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . 13. Εφαπτόμενες
  • 60.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 60 13.19 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→1 f(x)− 2x + 1 x − 1 = 0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . 13.20 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim x→2 f(x)− 2x + 3 x − 2 = 0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(2, f(2)) . 13.21 Δίνεται η f(x) = xlnx . Να βρείτε : α) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(e, f(e)) . β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες. 13.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 x . Να βρείτε : α) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες. 13.23 Δίνεται f: ℝ → ℝ με f(x + συνx) = ex + e2x α) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες. 13.24 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(4) = 1 και lim x→1 f(x) – 3x x − 1 = 2 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) . β) Να δείξετε ότι η ευθεία y = x + 1 τέμνει την Cf σε σημείο x0 ∈ (1 , 4) 13.25 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − x . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο x0 ∈ (0 , 2) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α�x0 , f(x0)� να διέρχεται από το Μ(1 , 0) 13.26 Δίνεται η f(x) = −x2 + 3x + e−x2 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο x0 ∈ (0 , 1) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α�x0 , f(x0)� να διέρχεται από το Μ(0 , 2) 13.27 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f(x) = � x + ημx x , x ≠ 0 α , x = 0 α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(0, f(0)) γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ 13.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 6x + 11 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(1 , 6) . Β. Να διέρχεται από Γνωστό Σημείο 13.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(3 , 5) . 13.30 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 7 − 2x 3 − x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(3 , 0) . 13.31 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 1 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(0 , 2) . 13.32 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(−2 , 2) . 13.33 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 13.34 Δίνεται η f(x) = x3 − 2x2 + x + 2 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf οι οποίες είναι: α) παράλληλες στην ευθεία δ: 5x − y + 2 = 0 β) κάθετες στην ευθεία ζ: x + y = 0 Γ. Εφαπτομένη με Γνωστή Κλίση
  • 61.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 61 13.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x + 1 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: x − 4y + 12 = 0 13.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ex + x2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: 2x − y + 1 = 0 13.37 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 1 + lnx x Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία δ: y = 2x 13.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων . 13.39 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4x − x ∙ lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf η οποία είναι κάθετη προς την ευθεία δ: x + 3y + 5 = 0 13.40 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x2 − 10x + 5 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που σχηματίζουν με τον άξονα x’x γωνία 135° . 13.41 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − lnx . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που σχηματίζουν με τον άξονα x’x γωνία 45° . 13.42 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 12x + 2 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που είναι παράλληλες με τον άξονα x’x . 13.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + 6 . Η εφαπτομένη της Cf στο Μ(4 , f(4)) είναι κάθετη στην ευθεία δ: 2x + 6y − 2016 = 0. Να βρείτε α) την τιμή του α β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(3 , −1) Δ. Εύρεση Παραμέτρων στις Εφαπτομένες 13.44 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + βx + γ . Η εφαπτομένη της Cf στο Μ(−1 , 6) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ: 5x + y − 2016 = 0. Να βρείτε α) την τιμή των β , γ β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(4 , 5) 13.45 Δίνεται η f(x) = αx3 + βx2 − 9x − 12 . Η εφαπτομένη της Cf στο Κ(2 , −10) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ: y = −3x + 5. Να βρείτε: α) την τιμή των α , β β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που είναι παράλληλες στην ευθεία δ: 48x − 2y + 6 = 0. 13.46 Δίνεται η f(x) = αx3 + βx2 + 9x − 2 . Η εφαπτομένη της Cf στο Κ(2 , −10) είναι κάθετη στην ευθεία δ ∶ x − 3y + 1 = 0 . Να βρείτε την τιμή των α , β 13.47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + β . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(1 , f(1)) έχει εξίσωση ζ: y = 2x + 6. Να βρείτε την τιμή των α , β 13.48 Δίνεται η f(x) = x3 + αx2 + βx + 3 . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(2 , f(2)) έχει εξίσωση ζ: y = −3x − 1. Να βρείτε : α) την τιμή των α , β β) τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που είναι παράλληλες στην ευθεία δ: 12x − 2y + 2016 = 0. 13.49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + β . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(−3 , f(−3)) έχει εξίσωση την ζ: y = −4x − 8. Να βρείτε : α) την τιμή των α , β β)τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf που διέρχονται από το σημείο Α(−1, −1) 13.50 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση στο Α(4 , f(4)) έχει εφαπτομένη την ευθεία y = x − 1. Να βρείτε το όριο lim x→4 f2(x ) − 9 √x − 2 . 13.51 Δίνεται η f(x) = x3 − x2 + αx + β . Η εφαπτομένη της Cf στο Α(−1 , 6) σχηματίζει γωνία π 4 με τον άξονα x’x , να βρείτε τα α , β .
  • 62.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 62 Tangent line to a curve Εφαπτομένη ευθεία σε μια καμπύλη 13.52 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x2 − 7x + 7 και g(x) = x2 − 3x + 3. Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Ε. Κοινές Εφαπτομένες 13.53 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 − 3x + 4 και g(x) = 3(x2 − x). Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 13.54 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 4 x και g(x) = 6 − 2x2 . Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση 13.55 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = −2x2 + 3x και g(x) = 1 x . Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg στο κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 13.56 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = αx2 + βx + 3 και g(x) = x2 − αx − β. Να βρείτε τα α , β ώστε οι Cf , Cg να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη x0 = 1 . 13.57 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 − x + α και g(x) = βx2 − 2αx + β. Να βρείτε τα α , β ώστε οι Cf , Cg να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη x0 = 1 13.58 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x ∙ lnx και g(x) = αx2 + βx + 1. Να βρείτε τα α , β ώστε οι Cf , Cg να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη x0 = 1 .
  • 63.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 63 14.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 1. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής : α) της f ως προς x στο σημείο 𝐱𝐱𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 β) του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο Μ�x , f(x)� ως προς x στο x0 = 2 14.2 Δίνεται η f(x) = 2x3 + αx2 + 8x − 9 . Να βρείτε τον αριθμό α αν ο αριθμός μεταβολής της f ως προς x , όταν x = 2 είναι 12 . 14.3 Η θέση x(t) ενός υλικού σημείου που κινείται πάνω σε άξονα , δίνεται από τη σχέση : x(t) = 2t3 − 12t2 + 18t − 5 , t ∈ [0 , 4] ο χρόνος σε s . Να βρείτε : α) την ταχύτητα και την επιτάχυνση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t=2 s β) ποιες χρονικές στιγμές το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο γ) σε ποια χρονικά διαστήματα το σημείο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και σε ποια προς την αρνητική δ) το ολικό διάστημα που διένυσε το σημείο κατά τα πρώτα 4 s 14.4 Η θέση x(t) ενός υλικού σημείου που κινείται πάνω σε άξονα , δίνεται από τη σχέση : x(t) = −t3 + 12t2 − 36t , t ο χρόνος σε s . Να βρείτε : α) την ταχύτητα και την επιτάχυνση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t = 1 s β) ποιες χρονικές στιγμές το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο γ) σε ποια χρονικά διαστήματα το σημείο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και σε ποια προς την αρνητική δ) το ολικό διάστημα που διένυσε το σημείο κατά τα πρώτα 7 s 14.5 Δίνονται τα σημεία Α(x , 4) , Β(−1 , x + 7) . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α και Β ως προς x , όταν x = 5 . 14.6 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει περίμετρο 14 cm και η πλευρά του ΑΒ έχει μήκος x cm. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ΑΒΓΔ ως προς x , όταν x = 5 . 14.7 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) , Α(2x , 0) , B(0 , ex ) , x > 0 . Αν το x αυξάνει με ρυθμό 2 cm/s , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου , όταν x = 1 cm . 14.8 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) , Α(x , 0) , B(0 , lnx) , x > 1 . Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 4 cm/s , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου , όταν x = e2 cm . 14.9 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) , Α(x , 0) , B(0 , xex ) , x > 0 . Αν το x αυξάνει με ρυθμό 1 cm/s , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου , όταν x = ln2 cm . 14.10 Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ=16 cm μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/s . Αν τη χρονική στιγμή t0 το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ απόσταση 6 cm , να βρείτε : α) τον ρυθμό μεταβολής των ίσων πλευρών β) τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ 14.11 Η πλευρά ενός τετραγώνου α(t) σε cm τη χρονική στιγμή t > 0 (σε s ) ενός τετραγώνου δίνεται από την σχέση α(t) = t2 + 2t + 3 . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τετραγώνου , τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 11 cm. 14.12 Το εμβαδό ενός τετραγώνου αυξάνεται με ρυθμό 24 cm2 /s τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 4 cm . Σε αυτή τη χρονική στιγμή , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της διαγωνίου του τετραγώνου 14.13 Το μήκος ενός ορθογωνίου αυξάνεται με ρυθμό 10 cm/min και το πλάτος του ελαττώνεται με ρυθμό 6 cm/min . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής : α) του εμβαδού του ορθογωνίου τη χρονική στιγμή t0 που το μήκος του είναι 4 cm και το πλάτος του είναι 2 cm β) της διαγωνίου του ορθογωνίου τη στιγμή που το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο εμβαδού 9 cm2 14. Ρυθμός Μεταβολής
  • 64.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 64 14.14 Το μήκος ενός ορθογωνίου μειώνεται με ρυθμό 1 cm/s και το πλάτος του αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Κάποια χρονική στιγμή t0 το μήκος του είναι 8 cm και το πλάτος του 6 cm. Τη χρονική στιγμή t0 , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής : α) της περιμέτρου του ορθογωνίου β) του εμβαδού του ορθογωνίου γ) της διαγωνίου του ορθογωνίου 14.15 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = 2x2 + 1 έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με −1 14.16 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x ∙ ex έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με 1 14.17 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ln(x2 + 1) έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με 1 14.18 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ex έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 1 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή t0 που η τετμημένη του ισούται με 0 14.19 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = 1 x , x > 0. Τη χρονική στιγμή t0 που το σημείο Μ περνάει από το σημείο (1 , 1) η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής : α) της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 β) της απόστασης του Μ από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή t0 14.20 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = 2 x , x > 0. Τη χρονική στιγμή t0 που το σημείο Μ περνάει από το σημείο (2 , 1) η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/s . Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής : α) της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t0 β) της απόστασης του Μ από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή t0 14.21 Ένα κινητό Κ κινείται πάνω στην καμπύλη με εξίσωση y = x3 + 2 6 α) Τη χρονική στιγμή που το κινητό βρίσκεται στο σημείο Α(−2 , −1) , η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 μον/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του κινητού τη χρονική στιγμή που διέρχεται από το σημείο Α . β) Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του κινητού είναι πάντα θετικός . Να βρείτε σε ποια σημεία της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης είναι οκταπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης . 14.22 Ένα κινητό Κ ξεκινά από την αρχή των αξόνων Ο και κινείται κατά μήκος της παραβολής y = x2 + 2x έτσι , ώστε η τετμημένη του x να αυξάνεται με ρυθμό 2 μον/s . Η προβολή του σημείου K πάνω στον άξονα x’x είναι το σημείο Α α) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΚ , όταν το σημείο Κ έχει τετμημένη ίση με 1 2 . β) Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y του Κ είναι ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του x ; 14.23 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x3 , x ≥ 0 , με x = x(t), y = y(t) . Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x(t) , αν υποτεθεί ότι x ′(t) > 0 , ∀t ≥ 0 . ( ΘΕΜΑ 2016 Ε )
  • 65.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 65 Rate of change Ρυθμός μεταβολής στα Αγγλικά 14.24 Ένα σημείο Μ ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 από ένα σημείο Α�x0 , f(x0)� με x0 < 0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 , με x = x(t), y = y(t), t ≥ 0 και f κυρτή συνάρτηση. Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του σημείου Μ είναι διπλάσιος από τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y(t),αν υποτεθεί ότι x′ (t) > 0 , ∀t ≥ 0 . ( ΘΕΜΑ 2014 ) 14.25 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = √x3 + 17 , x ≥ 0 . Όταν το σημείο βρίσκεται στην θέση (2 , 5) , η τεταγμένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του τη στιγμή που το σημείο βρίσκεται στην θέση (2 , 5) 14.26 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ex−1 + x ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 3 m/min . Αν τη χρονική στιγμή t0 η τεταγμένη του είναι ίση με 2 , τότε να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη στιγμή t0 14.27 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ex−1 + lnx , y ≥ 0 ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 2 m/min . Αν τη χρονική στιγμή t0 η τεταγμένη του είναι ίση με 1 , τότε να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη στιγμή t0
  • 66.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 66 Ο Michel Rolle (1652-1719) ήταν Γάλλος Μαθηματικός. Το 1691 διατύπωσε το ομώνυμο θεώρημα. Το θεώρημά του είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού. 15.1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x3 = 4x + 1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (−1 , 0) . Α. Τουλάχιστον ένα 𝐱𝐱𝟎𝟎 ∈ (𝛂𝛂 , 𝛃𝛃) 15.2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x3 + 3x2 + 1 = 6x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 15.3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4αx3 + 2βx = α + β έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) . 15.4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2017x2016 − 2016(α + 1)x2015 + α = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) . 15.5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex − 3ex2 + 6x − 2 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 15.6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex − 3ex2 + 4x − 1 = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0 , 1) 15.7 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) − f(0) = e . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) − 2x = ex έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0 , 1) . 15.8 Δίνεται f συνεχής στο [0 , 1] , παραγωγίσιμη στο (0 , 1). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = 2 ∙ �f(1) − f(0)� ∙ x έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0 , 1) 15.9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1,2] → ℝ ώστε να ισχύει f(1) = f(2) − 3 2 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = 1 + 1 x2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) 15.10 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y’y στο 2 και τον άξονα x’x στο π 4 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συν2 x ∙ f ′(x) + √2συν3 x + 1 = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0 , π 4 ) . 15.11 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x ∙ f(x) + (x2 − 4) ∙ f ′(x) = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες . 15.12 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = 10 , f(3) = 12 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f ′(ξ) = 2ξ − 3 . 15.13 Δίνεται f συνεχής στο [0 , 2] , παραγωγίσιμη στο (0,2) με f(2) − f(0) = 6 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f ′(ξ) = 3ξ2 − ξ . 15.14 Δίνεται f συνεχής στο [0 , 1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) με f(1) − f(0) = 1 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ f ′(ξ) = 3ξ3−2ξ2+ ξ ξ 15.15 Δίνεται f συνεχής στο [1 , 2] , παραγωγίσιμη στο (1,2) με f(2) − f(1) = 3 − ln2. Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ (1 , 2) ∶ x0 ∙ f ′(x0) = 2x0 2 − 1 . 15.16 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0,4] → ℝ για την οποία ισχύει f(1) − f(4) = 14 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 4) ∶ 2�ξ ∙ f ′(ξ) = 1 − 4ξ�ξ . 15. Θεώρημα του Rolle
  • 67.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 67 15.17 Δίνεται παραγωγίσιμη και άρτια συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (−2 , 2) ∶ f ′(ξ) = 2ξ ∙ eξ 2 15.18 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = f � π 2 � . Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ �0 , π 2 � ∶ f ′(x0) = x0 ∙ ημx0 − συν x0 . 15.19 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = e2 − e , f(2) = e2 2 Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ ξ2 ∙ f ′(ξ) + eξ ∙ ξ − eξ = 0 . 15.20 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0 , +∞) έτσι ώστε να ισχύει f(1) − f(e) = 1 e . Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ (1 , e) ∶ x0 2 ∙ f ′(x0) + 1 − lnx0 = 0 . 15.21 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1 , 2] → ℝ . Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 2) τέτοιο ώστε (ξ − 1) ∙ f ′(ξ) + f(ξ) = f(2) 15.22 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = 2x∙f(x) 1− x2 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ℝ 15.23 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f � π 2 � = 2 π Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ �0 , π 2 � : f ′(ξ) = συνξ − f(ξ) ξ 15.24 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο με τετμημένη 1 . Να δείξετε ότι η εξίσωση (x − 2) ∙ f ′(x) + f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (1 , 2) . 15.25 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0 , 2] → ℝ με f(0) = 0 Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 2) τέτοιο ώστε f ′(ξ) = f(ξ) 2 − ξ 15.26 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0, π] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0 , π) με f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ (0 , π) . Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (0 , π) ∶ f ′ (x0) f(x0) + σφx0 = 0 . 15.27 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [α , β] → (0, +∞) για την οποία ισχύει lnf(β) − lnf(α) = β − α . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f ′(ξ) = f(ξ) . 15.28 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(6) = 3f(2) . Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (2 , 6) ∶ ξf ′(ξ) = f(ξ) . 15.29 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(2) = 2f(1) . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x ∙ f ′(x) − f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 2) . 15.30 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0 , 1) με 2f(0) = f(1) . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1): f ′(ξ) = 2ξ ξ 2 +1 ∙ f(ξ) . 15.31 Δίνεται συνάρτηση f ∶ [−1 , 1] → ℝ η οποία είναι συνεχής στο [−1 , 1] και παραγωγίσιμη στο (−1 , 1) . Να αποδείξετε ότι ∃ ξ ∈ (−1 , 1) : f ′ (ξ) = � 1 1− ξ − 1 1+ξ � f(ξ) . 15.32 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = e6 ∙ f(3) . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) + 3f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 3) . 15.33 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = f(2) = 0 Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ f ′(ξ) − f(ξ) = 0 15.34 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(3) = f(4) = 0 Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (3 , 4) ∶ f ′(ξ) + 3ξ2 f(ξ) = 0 15.35 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(α) = f(β) = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) + συνx ∙ f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α , β) 15.36 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(2) f(1) = √e . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ ξ2 ∙ f ′(ξ) = f(ξ) . 15.37 Δίνεται παραγωγίσιμη και άρτια συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (−2 , 2) ∶ f ′(ξ) + 2ξ f(ξ) = 0
  • 68.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 68 15.38 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ για την οποία ισχύει f ′ (α) = f ′ (β) = 0 . Να αποδείξετε ότι ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f′′ (x0) + �f ′ (x0)� 2 = 0 . 15.39 Δίνεται παραγωγίσιμη h στο [0,1] : h2(0) + h2(1) = 0 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ h′ (ξ) = −2015 ∙ h(ξ) . 15.40 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ με f(0) = 0 , f(1) = 1. Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ 3f ′(ξ) = 4 1 + f 2 (ξ) . 15.41 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = 2 , f(0) = 1. Να δείξετε ό ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ 2f ′(ξ) ∙ (f(ξ) − 1) = 3ξ2 . 15.42 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [α , β] → ℝ με f2(α) − f2(β) = α2 − β2 . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f(ξ) ∙ f ′(ξ) = ξ 15.43 Δίνεται f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [0 , 1] με f(1) = ef(0) και f(x) > 0 ∀x ∈ [0 , 1]. Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ f ′(ξ) = f(ξ) 2 �ξ 15.44 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0 , 1) με 1 f(0) − 1 f(1) = 1 . Αν f(x) ≠ 0, ∀x ∈ [0 , 1] να αποδείξετε ότι : ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) = 2x0 ∙ f2(x0) . 15.45 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 0 και f(1) = ln2 . Να δείξετε ότι : ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) = 2x0 ∙ e−f(x0) . 15.46 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 0 και f(1) = 1 . Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) = e x0− f(x0) . 15.47 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [−1,1] → (0, +∞) ώστε να ισχύει f(−1) = f(1). Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (−1 , 1) ∶ f ′(ξ) ∙ συνf(ξ) = 2ξ3 . 15.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [−1 , 1] → (0, +∞) για την οποία ισχύει f(−1) = f(1). Να αποδείξετε ότι ∃ξ ∈ (−1 , 1) ∶ f ′(ξ) ef 2 (ξ) = ξ f(ξ) 15.49 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [2 , 3] , παραγωγίσιμη στο (2 , 3) και ισχύει f(3) = 2f(2) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (2 , 3) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(ξ , f(ξ) ) , να διέρχεται από το σημείο Α(1 , 0) . 15.50 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [1 , 3] , παραγωγίσιμη στο (1 , 3) και ισχύει 3f(1) = f(3) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1 , 3) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(ξ , f(ξ) ) , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 15.51 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g: [1 , 2] → ℝ με g(x) = f(x) x όπου f παραγωγίσιμη στο [1 , 2] με f(2) = 4f(1) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1 , 2) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(ξ , f(ξ) ) , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 15.52 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α , β] με α > 0 και β ∙ f(α) − α ∙ f(β) = 0. Να δείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (α , β): f ′ (x0) = f(x0) x0 β) υπάρχει εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 15.53 Αν x1 , x2 με x1 < x2 είναι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 2012 , να αποδείξετε ότι ∃ x0 ∈ (x1 , x2) ∶ f ′ (x0) + f(x0) = 2012 ( ΘΕΜΑ 2012 ) 15.54 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0 , 2] → ℝ για την οποία ισχύουν f′ (0) = 2f(2) , f ′(2) = 2f(2) + 12e4 . Να αποδείξετε ότι : α) η g(x) = 3x2 − f ′ (x) − 2 f(x) e2x , 0 ≤ x ≤ 2 ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0 , 2] β) ∃ ξ ∈ (0 , 2) ∶ f ′′ (ξ) + 4f(ξ) = 6 ξ e2ξ + 4f ′ (ξ) . ( ΘΕΜΑ 2009 Ε ) 15.55 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = f � 3 2 � = 0 . Να αποδείξετε ότι ∃ ξ ∈ �0 , 3 2 � ∶ f ′ (ξ) = −f(ξ) . ( ΘΕΜΑ 2004 )
  • 69.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 69 15.56 Να δείξετε ότι η εξίσωση x5 − 5x + α = 0 έχει το πολύ μια ρίζα στο (−1 , 1) . Β. Το Πολύ Μια Ρίζα 15.57 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f2(x) + 4f(x) − 2x = ex − 3, ∀x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ένα το πολύ σημείο . 15.58 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1 , 2] → ℝ για την οποία ισχύουν f(2) = 2f(1) και f′′ (x) ≠ 0 , ∀ x ∈ (1 , 2) . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x f ′ (x) έχει μοναδική ρίζα στο (1 , 2). 15.59 Δίνεται η f(x) = (1 − 2α) ∙ lnx − 2αx + 2 . Να βρείτε την τιμή του α , ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [1 , e] Γ. Γενικές-Συνδυαστικές Ασκήσεις στο Rolle 15.60 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � αx2 − 4x + 1 , − 2 ≤ x < 0 x2 + (β − 2)x + 1 , 0 ≤ x ≤ 4 . Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [−2 , 4] 15.61 Δίνεται η f(x) = � x2 + αx + β , x < 0 3 + (γ − α)x , x ≥ 0 . Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [−1 , 1] 15.62 Δίνεται η f(x) = � x2 + αx + β , x ≤ 0 γx2 + 4x + 4 , x > 0 . Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο [−1 , 1] 15.63 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) η f είναι 1-1 β) η εξίσωση f (4x3 + 3(α − 3)x2) − f (2(3α + β)x − 3β) = 0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0 , 3) . 15.64 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α , β] με f(α) = f ′ (α) = 0 , f(β) = 0 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f′′ (ξ) = 0 15.65 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία με τετμημένες 1 , 2 , 3 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f′′ (ξ) = 0 15.66 Δίνεται 3 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [2 , 6] → ℝ με f(2) = f(6) και f ′ (2) = f ′ (6) = 0 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (2 , 6) ∶ f′′′ (ξ) = 0 15.67 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 1 , f(1) = e − 1, f(2) = e2 − 8 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f′′ (ξ) + 6ξ = eξ 15.68 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = 1 , f(2) = 4 − ln2 , f(e) = e2 − 1 . Να δείξετε ότι ∃ξ ∈ (1 , e) ∶ f′′ (ξ) − 2 = 1 ξ2 15.69 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Η ευθεία y = 2016 τέμνει την Cf στα σημεία με τετμημένες 1 , 2 , 3 . Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση f ′ (x) = 0 έχει 2 τουλάχιστον ρίζες στο (1 , 3) β) ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f′′ (ξ) = f ′ (ξ) . 15.70 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = f(1). Να αποδείξετε ότι: α) ∃x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′ (x0) = 0 . β) ∃ξ ∈ (0 , 1) ∶ 2 ∙ f ′ (ξ) + ξ ∙ f ′′(ξ) = 0 . 15.71 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύει f(3) − f(0) = 9 , f ′ (0)>0 . Να αποδείξετε ότι : α) ∃x0 ∈ (0 , 3) ∶ f ′ (x0) = x0 2 . β) ∃ξ ∈ (0 , 3) ∶ f ′ (ξ) = 3ξ . 15.72 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f(0) = −1 , f(1) = 2 , f(2) = 0 . Να αποδείξετε ότι ∃x0 ∈ (0 , 2) ∶ f ′ (x0) = 0 15.73 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f(3) < 0 < f(4) και f(4) ∙ f(5) < 0 . Να αποδείξετε ότι η Cf έχει μια τουλάχιστον εφαπτομένη παράλληλη προς τον άξονα x’x
  • 70.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 70 15.74 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f(0) = 0 , f(5) = 5 , f(6) = 2 Να αποδείξετε ότι α) υπάρχει x0 ∈ (0 , 5) ∶ f(x0) = 2 β) ∃ξ ∈ ℝ ∶ f ′ (ξ) = 0 15.75 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(3) = f(1) + f(2) 2 , f(1) ≠ f(2) . Να αποδείξετε ότι : α) ∃ξ ∈ (1 , 2) ∶ 2f(ξ) = f(1) + f(2) β) ∃x0 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (x0) = 0 . 15.76 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [1 , 2] → ℝ με 1 < f(x) < 2 ∀x ∈ [1 , 2] , f ′ (x) ≠ 0 ∀x ∈ [1 , 2] . Να δείξετε ότι : α) υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (1 , 2) ∶ f(x0) = x0 . β) η εξίσωση x f ′ (x)+f(x)=f ′ (x)+2x −1 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (1 , 2) . 15.77 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β) Να λύσετε την εξίσωση f(x2 − 2x) = f(x − 2) . γ) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 3) και Β(−2 , 9) , να λύσετε την εξίσωση f−1( f(x) − 6 e) = 1 .
  • 71.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 71 Το ΘΜΤ στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τον Γάλλο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ(1789-1857) Είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στην Μαθηματική Ανάλυση αφού με την βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Το ΘΜΤ είναι επακόλουθο του θεωρήματος Rolle 16.1 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(3) = 5f(1) . Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ) = 2f(1) . Α. Να Δείξουμε ότι 𝐟𝐟 ′ (ξ) = 𝛂𝛂 16.2 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0,2], παραγωγίσιμη στο (0,2) ώστε f(2) = f(0) + 4 Να δείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f ′ (ξ) = 2 16.3 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 7) και Β(2 , 1). Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της Cf κάθετη στην ευθεία x − 6y + 1 = 0 . 16.4 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [4 , 10] με f(4) = 6 και f(10) = 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξ ∈ (4 , 10) ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α( ξ , f(ξ) ) να σχηματίζει γωνία 135° με τον άξονα x’x . 16.5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [1 , 3] με f(3) = 12 και f(1) = 4 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της εφαπτομένης της Cf στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 4x − 2 16.6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [0 , 1] με f(0) = 2 και f(1) = 4 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξ ∈ (0 , 1) ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ( ξ , f(ξ) ) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 2000 . ( ΘΕΜΑ 2000 ) 16.7 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1 , f(1)) έχει εξίσωση y = 3x − 5 και στο σημείο Β(3 , f(3)) έχει εξίσωση y = − x + 7 . α) Να βρείτε τις τιμές f(1) , f ′ (1) , f(3) , f′ (3) . β) Να δείξετε ότι ∃ ξ ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ) = 3 γ) Να δείξετε ότι ∃x0 ∈ (1 , 3) ∶ f′′ (x0) = −2 16.8 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) και f(x) > 0 , ∀x ∈ [α , β] Να αποδείξετε ότι: ∃ξ ∈ (α , β) ∶ f ′ (ξ) = ln f(β) f(α) ∙ f(ξ) β – α 16.9 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [1 , 2] → ℝ με f(x) > 0 , ∀𝑥𝑥 ∈ [1 , 2] . Να αποδείξετε ότι: ∃ξ ∈ (1 ,2) ∶ f(2) f(1) = e f ′(ξ) f(ξ) 16.10 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(6) = f(2) + 10. Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (2 , 6) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 5 . Β. Χωρισμός Διαστήματος ( ∃ 𝛏𝛏𝟏𝟏 , 𝛏𝛏𝟐𝟐 , … 𝛏𝛏𝛎𝛎 ) 16.11 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 5], παραγωγίσιμη στο (1,5) ώστε 5f(1) = f(5) = 2 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 4 5 16.12 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0,9], παραγωγίσιμη στο (0,9) ώστε f(0) = f(9) Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (0 , 9) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) + f ′ (ξ3) = 0 16. Θεώρημα Μέσης Τιμής
  • 72.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 72 16.13 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 3], παραγωγίσιμη στο (1,3) ώστε f(1) < f(3) . Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) > 0 16.14 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 2], παραγωγίσιμη στο (0,2) ώστε f(0) > f(2) . Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 2) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) < 0 16.15 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = f(2) 5 = − f(6) 3 . Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 6) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 0 . 16.16 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [0 , 3] → ℝ με f(0) = α , f(2) = 2α , f(3) = 5α 2 Να δείξετε ότι: ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = α 16.17 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 6], παραγωγίσιμη στο (1 , 6) ώστε να ισχύει f(1) = f(6) . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 6) ∶ f ′ (ξ1) + 4f ′ (ξ2) = 0 . 16.18 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [1 , 8] → ℝ με f(8) = 2f(1). Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 8) ∶ 2f ′ (ξ1) + 5f ′ (ξ2) = f(1) . 16.19 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 4], παραγωγίσιμη στο (1 , 4) ώστε να ισχύει f(1) = f(4) . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 4) ∶ 2f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 0 16.20 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [1 , 4] → ℝ με f(1) = 1 , f(4) = 2 Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 4) ∶ f ′ (ξ1) + 2f ′ (ξ2) = 1 16.21 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(22) = f(2) + 4 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (2 , 22) : f ′ (ξ1) + 3f ′ (ξ2) + 6f ′ (ξ3) = 2 . 16.22 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(1) = 4, f(10) = 9 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (1 , 10) 2f ′ (ξ1) + 3f ′ (ξ2) + 4f ′ (ξ3) = 5 16.23 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) ώστε f(0) = 1 , f(1) = 0 . Να αποδείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ f(x0) = x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 1) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 1 . 16.24 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 0 , f(1) = 1 Να αποδείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ f(x0) = 1 − x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 1) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 1 16.25 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) με f(α) = α , f(β) = β . Να δείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f(x0) = α + β − x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (α , β) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 1 16.26 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) με f(α) = 2β , f(β) = 2α Να δείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ f(x0) = 2x0 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (α , β) ∶ f ′ (ξ1) ∙ f ′ (ξ2) = 4 16.27 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(3) = f(1) + 4 . Να αποδείξετε ότι : α) η εξίσωση f(x) = f(1) + 3 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 3) β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 4 γ) η εξίσωση f ′ (x) = 2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1 , 3) 16.28 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(0) = 3 , f(2) = 5 Να αποδείξετε ότι : α) ∃ x0 ∈ (0 , 2) ∶ f(x0) = 4 β) ∃ ξ1 , ξ2 , ξ ∈ (0 ,2) ∶ 1 f ′ (ξ1) + 1 f ′ (ξ2) = 2 16.29 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x . Να αποδείξετε ότι : α) η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ β) ∃ x0 ∈ (−1 , 1) ∶ f(x0) = 0 β) ∃ ξ1 , ξ2 , ξ ∈ (−1 , 1) ∶ 1 f ′ (ξ1) + 1 f ′ (ξ2) = 2 3
  • 73.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 73 16.30 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [1 , 3] → ℝ ώστε f(1) = −2 , f(3) = 2. Να δείξετε ότι : α) υπάρχει αριθμός ξ ∈ (1 , 3) ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ( ξ , f(ξ) ) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 2018 β) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 3) ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 4 16.31 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε για την συνάρτηση f(x) = � α − x , x ≤ 0 β ∙ e− x , x > 0 να ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [−1 , 1] Γ. Θ.Μ.Τ. και άλλα Θεωρήματα 16.32 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ ώστε για την συνάρτηση f(x) = � x2 + β , x < 0 x3 + α ∙ (x − 1) , x ≥ 0 να ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [−2 , 2] 16.33 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = 3 , f(3) = 7 , f(5) = 11 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (1 , 5) ∶ f′′ (ξ) = 0 16.34 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0 , 1] με f(0) = 0 και f(x) > 0 ∀x ∈ (0 , 1). Να αποδείξετε ότι : α) ∃ ξ ∈ (0 , 1) ∶ f(ξ) = (1 − ξ) ∙ f ′ (ξ) . β) ∃ x0 ∈ (0 , ξ) ∶ f ′ (x0) < f ′ (ξ) ξ 16.35 Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ [0 , 2] → ℝ με f(0) = 0 , f(1) = 2 , f(2) = 4 . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 2) ∶ f′′ (ξ) = 0 16.36 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(2) = f(0) + 4 και f(4) = f(3) + 2 . Να αποδείξετε ότι : ∃ξ ∈ (0 , 4) ∶ f′′ (ξ) = 0 . 16.37 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(1) + f(4) = f(2) + f(3) Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (1 , 4) ∶ f′′ (ξ) = 0 . 16.38 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [2 , 6] για την οποία ισχύει 2f(4) = f(2) + f(6). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f′′ (x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (2 , 6) . 16.39 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε οι αριθμοί f(−1), f(0), f(1) να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (−1 , 1) ∶ f′′ (ξ) = 0 16.40 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση f ∶ [−1 , 1] → ℝ με f(1) = 1 Να αποδείξετε ότι : α) υπάρχουν ξ1 ∈ (−1 , 0) και ξ2 ∈ (0 , 1) τέτοια , ώστε f ′ (ξ1) = f ′ (ξ2) = 1 β) υπάρχει ∃ x0 ∈ (−1 , 1): f ′′(x0) + f ′(x0) = 1 16.41 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0 , 1] για την οποία ισχύει f2(1) − f2(0) > 1 . Να αποδείξετε ότι : ∃ x0 ∈ (0 , 1) ∶ f ′(x0) ∙ f(x0) > 1 2 16.42 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε 2f(α + 1) = f(α) + f(α + 2) . Να αποδείξετε ότι η f ′ δεν είναι 1-1 16.43 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f(α + 1) + f(α + 2) = f(α) + f(α + 3) . Να αποδείξετε ότι η f ′ δεν είναι 1-1 16.44 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν τα σημεία Α(1 , f(1)) , Β(2 , f(2)) , Γ(3 , f(3)) είναι συνευθειακά , τότε να δείξετε ότι η f ′ δεν είναι 1-1 . 16.45 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : f(2) + f(3) < f(1) + f(4) . 16.46 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : f(1) < f(0) + f(2) 2 16.47 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ , να δείξετε ότι f(x + 1) + f(x + 2) > f(x) + f(x + 3) , ∀x ∈ ℝ 16.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : f(x2 + 1) + f(x2 + 2) < f(x2) + f(x2 + 3) .
  • 74.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 74 16.49 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , να δείξετε ότι : x ∙ (f(x) − f(1)) < f(x2) − f(x) , x > 1 16.50 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x ∙ lnx . Να δείξετε ότι : α) η συνάρτηση f ′ είναι γνησίως αύξουσα β) ∀x > 1: (x − 1) ∙ f ′ (1) < 𝑓𝑓(x) < (x − 1) ∙ f ′ (x) 16.51 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x ∙ (lnx − 1) + x2 Να δείξετε ότι : α) η συνάρτηση f ′ είναι γνησίως αύξουσα β) ∀x > 0: f(x + 2) + f(x + 4) < f(x) + f(x + 6) 16.52 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με συνεχή παράγωγο ώστε f(3) ≠ 0 , 3f(1) = 9f(3) = f(5) . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (ξ) = 0 . 16.53 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 3] , παραγωγίσιμη στο (0 , 3) με f(0) + f(2) = f(1) + f(3) . α) Να δείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 3) : f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2) = 0 β) Αν η f ′ είναι 1-1 και συνεχής να δείξετε ότι η εξίσωση f ′ (x)= 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0 , 3) 16.54 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή παράγωγο ώστε να ισχύουν f(1) = −6 , f(3) = −2 και f(5) = 22 . Να δείξετε ότι: α) ∃ ξ1 , ξ2 ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (ξ1) = 2 , f ′ (ξ2) = 12 . β) ∃ x0 ∈ (1 , 5) ∶ f ′ (x0) = 2x0 16.55 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α , β] για την οποία ισχύει f ′(x) ≠ 0. Να αποδείξετε ότι : α) f(α) ≠ f(β) β) ∃ x0 ∈ (α , β) ∶ 5f(x0) = 2f(α) + 3f(β) γ) ∃ ξ1 , ξ2 , ξ ∈ (α , β) ∶ 3 f ′ (ξ1) + 2 f ′ (ξ2) = 5 f ′ (ξ) 16.56 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) με f(x) > 0 , ∀x ∈ [α , β]. Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (α , β) : f ′ (ξ1) f(ξ1) + f ′ (ξ2) f(ξ2) = 2 f ′ (ξ0) f(ξο ) 16.57 Δίνεται συνάρτηση f(x) = � x2 + α , x ≤ 1 x3 − αx + β , x > 1 . Αν ισχύει το Θ.Μ.Τ. για την f στο [−1 , 2] τότε : α) να βρεθούν οι τιμές των α και β . β) να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο Α( ξ , f(ξ) ) με ξ∈ [−1 , 2] στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία ε ∶ 2x − y + 3 = 0 . 16.58 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 5) , Β(−2 , 1) να λύσετε την εξίσωση f−1 �−4 + f(x2 − 8)� = −2 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της Cf , στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην ευθεία ε : y = − 3 4 x + 2 16.59 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f′ (x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 2005) , Β(−2 , 1) να λύσετε την εξίσωση f−1 �−2004 + f(x2 − 8)� = −2 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της Cf , στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην ευθεία ε : y = − 1 668 x + 2005 . ( ΘΕΜΑ 2005 Ε ) 16.60 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 2] με f(0) = 3 και ∀ x ∈ (0 , 2) ισχύει − 2 ≤ f ′ (x) ≤ 3 . Να δείξετε ότι : −1 ≤ f(2) ≤ 9 . Δ. Διπλές Ανισώσεις και Θ.Μ.Τ. 16.61 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 2] με f(1) = 3 και ∀ x ∈ (1 , 2) ισχύει 3 ≤ f ′ (x) ≤ 5 . Να δείξετε ότι : 6 ≤ f(2) ≤ 8 16.62 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f(0) = 1 και ισχύει 4 ≤ f ′ (x) ≤ 5 . Να δείξετε ότι : 9 ≤ f(2) ≤ 11 16.63 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 5] με f(1) = −2 και για κάθε x ∈ (1 , 5) ισχύει |f ′ (x)| ≤ 2 . Να δείξετε ότι : −10 ≤ f(5) ≤ 6
  • 75.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 75 Mean Value Theorem Θεώρημα Μέσης Τιμής στα Αγγλικά 16.64 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f(1) = 1 και |f ′ (x)| ≤ 2 Να δείξετε ότι : −7≤ f(5) ≤ 9 16.65 Αν η συνάρτηση f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και f(0) = 0. Να δείξετε ότι : f ′ (1) < f(1) < f ′ (0) 16.66 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι f ′ (1) < f(2)− f(1) < f ′ (2) 16.67 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ γνησίως αύξουσα . Να δείξετε ότι f ′ (x) < f(x+1)− f(x) < f ′ (x+1) . 16.68 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ γνησίως αύξουσα . Να δείξετε ότι 2f(x) < 𝑓𝑓(x − 1) + f(x + 1) 16.69 Δίνεται συνάρτηση f(x) = � x lnx , x > 0 0 , x = 0 . Να δείξετε ότι ισχύει f ′ (x + 1) > 𝑓𝑓(x + 1) − f(x) , ∀x > 0 ( ΘΕΜΑ 2008 ) 16.70 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύουν f(x) − e− f(x) = x − 1 , f(0) = 0 . α) Να εκφραστεί η f ′ ως συνάρτηση της f β) Να δείξετε ότι x 2 < 𝑓𝑓(x) < x f ′ (x) , ∀ x > 0 ( ΘΕΜΑ 2002 ) 16.71 Να δείξετε ότι : 2 − e 2 < ln2 < 2 e 16.72 Να δείξετε ότι : 2 5 < ln 5 3 < 2 3 . 16.73 Να δείξετε ότι : 1 x + 1 < ln(x + 1) − lnx < 1 x , x > 0 . 16.74 Να δείξετε ότι : x − 1 x < lnx < x − 1 , x > 1 16.75 Να δείξετε ότι : 1 + x < ex < 1 + ex , x ∈ (0 , 1) . 16.76 Να δείξετε ότι : 1 x + 1 < 𝑙𝑙𝑙𝑙 �1 + 1 x � < 1 x , x > 0 . 16.77 Να δείξετε ότι : eα + eα ∙ (β − α) < eβ < eα + eβ ∙ (β − α) με α < 𝛽𝛽 16.78 Να δείξετε ότι : 1 < ex− 1 x < ex , x > 0 . 16.79 Να δείξετε ότι : 1 συν 2α < εφα − εφβ α − β < 1 συν 2β , 0 < α < β < π 2
  • 76.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 76 17.1 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ώστε να ισχύει f′′ (x) + f(x) = 0, ∀x ∈ ℝ . Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g(x) = f2(x) + �f′ (x)� 2 είναι σταθερή. Α. Σταθερή Συνάρτηση 17.2 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) = f(x) , f(0) = 1 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) ex είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.3 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) = 2f(x) , f(0) = 1 , f(x) > 0 , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = lnf(x) − 2x είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.4 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ, με f ′ (0) = 2 και ισχύει f(0) = 1 , f ′ (x) = 2f(x)(x + 1) , ∀x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) ex2+ 2x είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.5 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(2) = 3 και x ∙ f ′ (x) = 3x − 2f(x) για κάθε x > 0. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x2 f(x) − x3 είναι σταθερή . β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.6 παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και f ′ (x) = e−f(x) α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ef(x) − x είναι σταθερή . β) Να βρείτε τον τύπο της f 17.7 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ [0, +∞) → ℝ με f(4) = 4e−2 , 2√x f′ (x) + f(x) = e−√x . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = e√x f(x) − √x είναι σταθερή στο [0, +∞) β) Να βρείτε τον τύπο της f . 17.8 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (0) = 1 και f(0) = 0 για την οποία ισχύει f′′ (x) − 4f′ (x) + 4f(x) = 0 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι f(x) = x ∙ e2x 17.9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (0) = 3 και f(0) = 1 για την οποία ισχύει f′′ (x) − 6f′ (x) + 9f(x) = 0 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι f(x) = e3x 17.10 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f στο ℝ με f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ και f ′ (x) = −2xf2(x) . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = 1 f(x) − x2 , x ∈ ℝ είναι σταθερή . β) Να δείξετε ότι f(x) = 1 1 + x2 ( ΘΕΜΑ 2001 ) 17.11 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x) = f(x) f(x) − x , x ∈ ℝ , f(0) = 3 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = (f(x))2 − 2xf(x) , x ∈ ℝ είναι σταθερή . β) Να δείξετε ότι f(x) = x + √x2 + 9 . ( ΘΕΜΑ 2010 ) 17.12 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = x3 + 3x2 Β. Πόρισμα Σταθερής Συνάρτησης 17.13 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 3 , f ′ (x) = ex − ημx , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.14 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [0, +∞) → ℝ με f(1) = 3 , f ′ (x) = 1 2√x + 1 x − 1 x2 ∀x > 0 . Να βρείτε την f . 17.15 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 0 , f ′ (x) = 2x − e−x . 17.16 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = e2x + συν2x . 17. Συνέπειες Θ.Μ.Τ
  • 77.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 77 17.17 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = −1 , f ′ (x) = 3x + 1 x2 , ∀x > 0 . 17.18 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f � π 2 � = 1 , f ′ (x) = 3ημ2 x ∙ συνx 17.19 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 6 , x ∙ f ′ (x) = 3x3 − 4x2 + 2x 17.20 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f ′ (x) = ex � lnx + 1 x � , f(1) = −1 . Να βρείτε την f . 17.21 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 2 , f ′ (x) = 2xex + x2 ex 17.22 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = ημx + x ∙ συνx − e−x 17.23 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = συνx − x ∙ ημx 17.24 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 0 , f ′ (x) = 2 lnx x , x > 0 17.25 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 0 , f ′ (x) = 2 x x2+ 1 17.26 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 0 , f ′ (x) ∙ √x2 + 1 = x , x ∈ ℝ 17.27 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = e , f ′ (x) = 2x ∙ � 1 x2+1 + ex2+1� 17.28 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 3 , f ′ (x) = x �x2+4 + 2x ∙ ln2 17.29 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (0) = 1 , f(1) = −3 , f′′ (x) = 6x + 2 , x ∈ ℝ . 17.30 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (0) = 2 , f(1) = 2 , f′′ (x) = 6x + 4e2x 17.31 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (0) = −1 , f(0) = 2 , f′′ (x) = e−x − συνx 17.32 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) = f(x) x − 1 + ex(x − 1) , x > 1 με f(2) = e2 17.33 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(x) + xf ′ (x) = 3x2 + 1 , f(1) = 2 , x > 0 17.34 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(x) + xf ′ (x) = συνx , f(π) = 1 π , x > 0 17.35 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν 2f(x) + xf ′ (x) = 1 x2 , f(1) = 0 , x > 0 17.36 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν xf ′ (x) + x2 = f(x) + x2 ex , f(1) = e − 1, x > 0 17.37 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν (x2 + 1) ∙ f ′ (x) + 2x ∙ f(x) = 1 , f(0) = 2 . 17.38 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν (x2 − x) ∙ f ′ (x) + x ∙ f(x) = 1 , x > 0 17.39 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν x ∙ f ′ (x) + f(x) = ex , x ≥ 0 17.40 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν xf ′ (x) − f(x) = x2 ημx + x3 συνx και f � π 2 � = π2 4 , x > 0 . 17.41 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f ′ (x) + 2xf(x) = 0 , x ∈ ℝ , f(0) = 1 , f(x) ≠ 0 . 17.42 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ώστε να ισχύει f(0) = f ′ (0) = 1 και τέτοια ώστε f′′ (x) − f ′ (x) = 6x − 3x2 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.43 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ώστε να ισχύει f(x) > 0 με f′′ (x) − 2xf ′ (x) = 2f(x) και f ′ (0) = 0 , f(2) = e . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.44 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, +∞) → (0, +∞) με f(2) = e5 και xf ′ (x) + f(x)lnf(x) = 2xf(x) , x > 0 . Να βρείτε τον τύπο της f .
  • 78.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 78 17.45 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f(e) = −2 , ef(x) (x f′ (x) + 1) = − 1 x2 , x > 0 Να βρείτε τον τύπο της f 17.46 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 0 , f ′ (x) − 4x3 ∙ e−f(x) = 0 , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.47 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) = (2x + 1) ∙ e−f(x) , f(0) = 0 . 17.48 Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (0, +∞) ώστε 2f ′ (x) = � 1 x2 − 1� ∙ ef(x), f(1) = 0 17.49 Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (0, +∞) ώστε να ισχύει f ′ (x) = (3x2 + 2x) ∙ e–f(x) και η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(2, f(2)) να είναι παράλληλη στην ευθεία δ : 4x − 3y + 8 = 0 17.50 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f(1) = 1 , f ′ (x) x +1 = e x−f(x) , x > 0 Να δείξετε ότι f(x) = lnx + x , x > 0 . 17.51 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x)f(x) = x , f(0) = 1 . 17.52 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = −2 , f ′ (x) ∙ f(x) = 2x3 , x > 0 17.53 Δίνεται παραγωγίσιμη f: ℝ → ℝ με f(0) = −2 , f ′ (x)f(x) = e2x + x , ∀x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.54 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν e−2x ∙ f ′ (x) ∙ f(x) − 1 = 0 , f(0) = 1. 17.55 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) f(x) = 2x , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.56 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) f(x) = 2x x2+1 +1 , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.57 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) 2∙ �f(x) = 2x , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.58 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f ′ (x) + 2xf2(x) = 0 , x ∈ ℝ , f(0) = 1 , f(x) ≠ 0 17.59 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f ′ (x) f2(x) = 1 − ex , f(0) = 1 , f(x) > 0 17.60 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 2 , f ′ (x) + 2f(x) = 0 , x ∈ ℝ . 17.61 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(ln2) = 1 , f ′ (x) + f(x) = x + 1 . 17.62 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) − f(x) = e2x . 17.63 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(−1) = −2 , f ′ (x) = (2x + 1)f(x) , x ∈ ℝ . 17.64 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) + 3x2 ∙ f(x) = x2 19.65 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 3 e , 2xf(x) + f ′ (x) = 2x ∙ e−x2 17.66 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 , f ′ (x) = 2x ∙ (1 + f(x)) . 17.67 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = e2 , f ′ (x) − f(x) = lnx − 1 x , x > 0 . 17.68 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(1) = e , f ′ (x) = f(x) + ln2 x − 2 lnx x , x > 0 17.69 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 2 , f ′ (2x − 1) = 4x . 17.70 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 2e , f ′ (lnx) = 2x + 1 , x > 0 . 17.71 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(1) = 2 , f ′ (ex) = x + 1 , x > 0 . 17.72 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με (f(x) + x) ∙ (f ′ (x) + 1) = x , f(0) = 1 Να δείξετε ότι f(x) = √x2 + 1 − x . 17.73 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν (f(x) + 2x) ∙ (f ′ (x) + 2) = 4x , f(0) = 1 , x ∈ ℝ 17.74 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f ′ (x) = � 2x , x < 1 2 x , x ≥ 1 , f(1) = 0 . Να βρείτε τον τύπο της f
  • 79.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 79 17.75 Δίνεται συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f ′ (x) = � 3x + 1 , x < 0 2x2 + 1 , x ≥ 0 , f(1) = 2 3 . Να βρείτε τον τύπο της f 17.76 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (−∞, 1) → ℝ με f(0) = 0 , f ′ (0) = 1 για την οποία ισχύει f ′′(x) = [f ′ (x)]2 , x < 1 . Να δείξετε ότι f(x) = −ln⁡ (1 − x) 17.77 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 1 , f ′ (0) = −1 και f′′ (x) + 2f ′ (x) + f(x) = 0 , x ∈ ℝ. Να βρείτε τον τύπο της f 17.78 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(0) = f ′ (0) = 1 , f′′ (x) + 2f ′ (x) + f(x) = 0 17.79 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(1) = 2 , f ′ (x) + f(x) = 1 α) Να δείξετε ότι f(x) = 1 + e1− x β) Να δείξετε ότι ∀α , β ∈ ℝ με α < 𝛽𝛽 ισχύει (α − β)e1− α < e1− β − e1− α < (α − β)e1− β 17.80 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 , f ′ (1) = 2 για την οποία ισχύει x2 ∙ f ′′(x) + 1 = x . Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g(x) = f(x) − lnx και h(x) = x ∙ lnx είναι ίσες για κάθε x > 0 17.81 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 και 3f ′ (x) = e x−f(x) α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης . 17.82 Δίνεται παραγωγίσιμη f: (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και f ′ (x) + f(x) x = 1 x2 α) Να δείξετε ότι η f(x) = lnx x β) Να βρείτε το όριο lim x→+∞ [f(x2) ∙ συν2x] 17.83 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f ′ (0) = f(0) = 0 και ικανοποιεί τη σχέση ex(f ′ (x) + f′′ (x) − 1) = f ′ (x) + xf′′ (x) , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι f(x) = ln(ex − x) . ( ΘΕΜΑ 2011 ) 17.84 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 , 2f ′ (x) = ex − f(x) , x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2005 ) 17.85 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ [0,2] → ℝ για την οποία ισχύουν 3x2 − f ′ (x)− 2 f(x) e 2x = 0 και f(1) = e2 . Να βρείτε τον τύπο της f . ( ΘΕΜΑ 2009 Ε ) 17.86 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 1 και f ′ (x) + 2x = 2x(f(x) + x2) , x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2010 Ε ) 17.87 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και 2f ′ (x) = � 1 x2 − 1� ef(x) με x > 0 . Να δείξετε ότι f(x) = ln � 2x x2 + 1 � ( ΘΕΜΑ 2012 Ε ) 17.88 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f(0) = 1 και (f(x) + x)(f ′ (x) + 1) = x , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι f(x) = √x2 + 1 − x . ( ΘΕΜΑ 2013 ) 17.89 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με 2xf(x) + x2(f ′ (x) − 3) = −f ′ (x) , x ∈ ℝ , f(1) = 1 2 . Να δείξετε ότι f(x) = x3 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2013 Ε ) 17.90 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f ′ (x)�ef(x) + e−f(x) � = 2 , x ∈ ℝ , f(0)=0 . Να δείξετε ότι f(x) = ln�x + √x2 + 1� ( ΘΕΜΑ 2015 ) 17.91 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 1 , (x2 − x)f ′ (x) + xf(x) = 1 , ∀ x > 0 . Να δείξετε ότι f(x) = � lnx x − 1 , 0 < x ≠ 1 1 , x = 1 ( ΘΕΜΑ 2015 Ε )
  • 80.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 80 Constant function Σταθερή συνάρτηση στα Αγγλικά 17.92 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(0) = 3 , f′ (x) − x3 = f(x) − 3x2 , x ∈ ℝ . Γ. Η Ιδιότητα 𝐟𝐟 ′ (𝐱𝐱) = 𝐟𝐟(𝐱𝐱) 17.93 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 1 και για κάθε x ∈ ℝ ισχύει (x2 + 2)f′ (x) + 2xf(x) = (x2 + 2) ∙ f(x) 17.94 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν ισχύουν f(0) = 2 και για κάθε x ∈ ℝ ισχύει (x2 + x + 1)f′ (x) − (2x + 1)f(x) = (x2 + x + 1)f(x) 17.95 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f(x) > 0 , f′ (x) = f(x) ∙ lnf(x) , f(0) = 1 , x ∈ ℝ . 17.96 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν f′ (x) ∙ συνx + f(x) ∙ ημx = f(x) ∙ ημx , f(0) = 4 . 17.97 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ με f′′ (x) = f(x) , x ∈ ℝ . Επίσης η εφαπτομένη της Cf στο Α(0,f(0)) έχει εξίσωση y = 3x − 1 . Να βρείτε την f . 17.98 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύουν f(0) = f′ (0) = e , f(x) ≠ 0 , x ∈ ℝ και f(x) ∙ f′′ (x) − f(x) ∙ f′ (x) = (f′ (x))2 . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.99 Δίνεται 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύουν f(1) = 2 , f′ (1) = −1 και 2xf′ (x) + x2 f′′ (x) = −f′ (x) , x > 0 . Να βρείτε τον τύπο της f . 17.100 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = √2 , f(x) ≠ x , για κάθε x ∈ ℝ και 2f′ (x) = 2 + f(x) − x − 1 f(x) − x . Να βρείτε τον τύπο της f .
  • 81.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 81 18.1 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x2 − 8x + 5 Α. Μελέτη Μονοτονίας 18.2 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x3 + 3x2 − 9x + 5 . 18.3 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = −x3 + 3x2 18.4 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x4 − 2x2 + 2018 18.5 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x 2 x + 1 18.6 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x 3 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2013 Ε ) 18.7 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x + 1 x − 1 18.8 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x x2 + 1 18.9 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex x 18.10 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = lnx x2 18.11 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x − lnx 18.12 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x2 − 2lnx 18.13 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x ∙ lnx . 18.14 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x2 ∙ ex 18.15 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x ∙ ημx + συνx − x2 18.16 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = (2x2 − 8x) ∙ lnx − x2 + 8x + 2 18.17 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = √2x − x2 18.18 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = √ x2 − 6x + 8 18.19 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex3−12x 18.20 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 2 ∙ ln(x2 + 4) 18.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 + ln(3x + 21) α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f . β) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f 18.22 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex−1 − lnx 18.23 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ημ(2x) + 4x2 − 2x − 3 18.24 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 3ex + x2 − 3x + 7 18.25 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 4ex + 2x2 − 4x 18.26 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex + xlnx − (e + 1)x 18.27 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = 2ex−1 − x2 + 3 18.28 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = √x − lnx 2√x 18.29 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � xlnx , x > 0 0 , x = 0 18. Μονοτονία Συνάρτησης
  • 82.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 82 18.30 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � e lnx x , x > 0 0 , x = 0 18.31 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � x2 , x ≤ 0 x + 1 − ex , x > 1 18.32 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = � x2 , x ≤ 1 x − 2lnx , x > 1 18.33 Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f(x) = ex + 2x − 1 e lnx x 18.34 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ex − ln⁡ (x + 1) ( ΘΕΜΑ 2009 ) 18.35 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = e x − e lnx ( ΘΕΜΑ 2007 Ε ) 18.36 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = � ex − 1 x , x ≠ 0 1 , x = 0 είναι συνεχής στο 0 και στη συνέχεια ότι είναι γνησίως αύξουσα . ( ΘΕΜΑ 2014 ) 18.37 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με 2xf(x) + (x2 + 1)f(x) = ex , f(0) = 1 . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f 18.38 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f5(x) + f3(x) + f(x) = x3 + x2 + x − 3 , x ∈ ℝ Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f 18.39 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f3(x) + e f(x) = 1 − x − x3 , x ∈ ℝ . Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f 18.40 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με 3f(x) + συν(f(x)) = x , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ 18.41 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ με f′′ (x) > 0 , ∀x ∈ ℝ . Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης g(x) = f(x + 3) − f(x + 2) 18.42 Να λυθεί η εξίσωση : 3x2 + 2x = 5 − lnx . Β. Επίλυση Εξισώσεων με Μονοτονία 18.43 Να λυθεί η εξίσωση : ex−1 + x3 = 3 − x . 18.44 Να λυθεί η εξίσωση : x2 + 6lnx = 4x − 3 . 18.45 Να λυθεί η εξίσωση: x2 2 −4x + 4lnx + 7 2 = 0 18.46 Να λυθεί η εξίσωση : 2x + 5x = 7x . 18.47 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + 3lnx και g(x) = 4x − 3 + lnx . Να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν μοναδικό σημείο τομής. 18.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ ώστε f3(x) + ln[f(x)] + ef(x) = x3 + x2 + 2x − 1, f(x) > 0 α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την εξίσωση : f(lnx) = f(1 − x2 ) . 18.49 Να λυθεί η εξίσωση : lnx = x − 1 . 18.50 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 8x . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την εξίσωση (5x − 1)3 + 85x−1 = (11 − 7x)3 + 811−7x 18.51 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + ex2 − e . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την εξίσωση ex2 − e9 = ln 3 x 18.52 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x − lnx . α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να λύσετε την εξίσωση : e x = lnx . γ) Να λύσετε την εξίσωση : e |x| + 3 − e 2|x| + 1 = ln |x| + 3 2|x| + 1 18.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 7x5 + 3ex − 10 α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να λύσετε την εξίσωση : 7(2x − 3)5 + 3e2x−3 = 7(4 − 5x)5 + 3e4−5x δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 7x5 + 3ex = 10 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , 1)
  • 83.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 83 18.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x2+ 1 α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β) Να λύσετε την εξίσωση : f(x4 + 1) = f �2ex2− 1� γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f � 1 x � = x ln 2 x + 1 έχει μοναδική ρίζα στο (1 , e) 18.55 Δίνεται η f(x) = x3 − x2 + 2x − 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f (f(x) − 2016) = 1 έχει μοναδική λύση . δ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf , Cf −1 18.56 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 2 ln2 x . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης . γ) Να λύσετε την ανίσωση f − 1 � f(x) − e + 3 2 � > 1 . 18.57 Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε : f(x) = −f(2 − x) , f′ (x) ≠ 0 . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. ( ΘΕΜΑ 2003 Ε ) 18.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + ln(x2 + 1) α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f β) Να λύσετε την εξίσωση 2(x2 − 3x + 2) = ln � (3x − 2)2 + 1 x 4 + 1 � ( ΘΕΜΑ 2010 ) 18.59 Να αποδείξετε ότι : ex ≥ 1 − √x , x ≥ 0 . Γ. Απόδειξη Ανισώσεων με Μονοτονία 18.60 Να δείξετε ότι : 2(x − 1) x + 1 < lnx , x > 1 18.61 Να δείξετε ότι : x − x2 2 < ln(1 + x) , x > 0 18.62 Να δείξετε ότι : ln(x + 1) < ex − 1 , x > 0 18.63 Να αποδείξετε ότι : ln(x + 1) > 2x x +2 , x > 0 18.64 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2lnx − x2 . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να αποδείξετε ότι : f (ex) < f �1 + x + x2 2 � , x > 0 . 18.65 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xex . α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να αποδείξετε ότι : e α − β > β α , α > β > 0 18.66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x6 ex α) Να βρείτε την μονοτονία της f . β) Να αποδείξετε ότι : e α − β > � α β � 6 , α > β > 6 18.67 Έστω f συνεχής στο [0, +∞) , παραγωγίσιμη (0, +∞) ώστε να ισχύει f′ (x) > − f(x) x , x > 0 . Να δείξετε ότι f(x) > 0 , x > 0 18.68 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (1, +∞) → ℝ ώστε να ισχύει f′ (x) > 1 x∙lnx , x > 1 . Να δείξετε ότι f(3) − f(e) > ln⁡ (ln3) 18.69 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 + e x 1 + e x + 1 α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f . β) Για κάθε x < 0 να αποδείξετε ότι : f(5x) + f(7x) < f(6x) + f(8x) ( ΘΕΜΑ 2006 Ε )
  • 84.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 84 Monotonic function Μονότονη συνάρτηση στα Αγγλικά 18.70 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση β) Να δείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει f (ημx) > f � x − 1 6 x3 � ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 18.71 Να λύσετε την ανίσωση : ex − 1 < 1 − lnx Δ. Επίλυση Ανισώσεων με Μονοτονία 18.72 α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία η συνάρτηση f(x) = lnx + ex β) Να βρείτε τις τιμές του λ > 0 ∶ ln λ 2 > e2 − eλ 18.73 Να λύσετε την ανίσωση : eα − eβ + α − β < συνβ − συνα 18.74 Να λυθεί η ανίσωση f(5(x2 + 1)3 − 8) ≤ f(8(x2 + 1)2) αν f(x) = x 3 x2 + 1 γνησίως αύξουσα . ( ΘΕΜΑ 2013 Ε ) 18.75 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = e− x , x ∈ ℝ α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την ανίσωση : f (2x + x) − f (4 − x3) < 0 18.76 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x2 + 1) − 2x . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την ανίσωση : f�f(x)� < 0 18.77 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � 1 2 � x − x . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε τις ανισώσεις : i) � 1 2 � x ≤ x + 6 ii) � 1 2 � 2x2 + 3x − � 1 2 � x2 + 10 > x2 + 3x − 10 iii) � 1 2 � συνx − � 1 2 � x + 1 < συνx − x − 1 18.78 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − 2(x −1) x +1 α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να λύσετε την ανίσωση √x < e x − 1 x + 1 , x > 0 . 18.79 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= lnx + x – 1 . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της fof γ) Να λύσετε την ανίσωση (fof)(x) − f(x) ≤ 0 . 18.80 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει x ∙ f′ (x) = x + 1 , x > 0 . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f γ) Να λύσετε την ανίσωση ln x2 + x + 1 x2 + 2 ≥ 1 − x
  • 85.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 85 Ο Πιερ Ντε Φερμά(1601-1665) ήταν Γάλλος Νομικός και ερασιτέχνης Μαθηματικός. Μαζί με τον Ρενέ Ντεκάρτ(1596-1650) , ο Fermat θεωρείται ένας από τους δύο κορυφαίους Μαθηματικούς του πρώτου μισού του 17ου αιώνα. Α. Εύρεση Ακροτάτων Συνάρτησης 19.1 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 . 19.2 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 3 19.3 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x4 − 2x2 + 3 19.4 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = e2x − 2x 19.5 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = e x2 − x∙lnx 19.6 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x − 2) ∙ ex 19.7 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = ex(x2 − 7x + 13) 19.8 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x2 − 8 lnx 19.9 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2 lnx − x2 19.10 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = ln(x2 − 2x + 5) 19.11 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = 2x x2+ 9 19.12 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = ex x + 1 19.13 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = 2x lnx 19.14 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f στο [−1 , 3] με f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 5 19.15 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 10x x2 + 1 , x ∈ [−2 , 2] 19.16 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2x + 11 x + 1 , x ∈ [2 , 8] 19.17 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x + 4 x , x ∈ [1 , 3] 19.18 Nα βρείτε τα ακρότατα της f(x) = √x2 + 1 19.19 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = √x2 − 2x − 3 19.20 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = √8x − x2 19.21 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (2x − 1)lnx − x 19.22 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x − 1)lnx 19.23 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = lnx − e x − 1 + 2 19.24 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 2 lnx x + x δεν έχει ακρότατα 19.25 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g ∶ (0, +∞) → (0 , +∞) με g ′ (x) > 0 , ∀𝑥𝑥 > 0 και g(e) = e . Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f(x) = lng (x) g(x) 19. Ακρότατα Συνάρτησης
  • 86.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 86 19.26 Δίνεται η παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 , f ′(x) − f(x) = 2xex . α) Να αποδείξετε ότι f(x) = x2 ex β) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 19.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x2 α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf 19.28 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = ln(ex − x) ( ΘΕΜΑ 2011 ) 19.29 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x2 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2016 ) 19.30 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + f(x) = x3 + 2x − 5 , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. 19.31 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με 2f3(x) + 6f(x) = 2x3 + 6x + 1 , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. 19.32 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + 3f(x) = x3 + 2x + 1 , x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. 19.33 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f3(x) + βf2(x) + γf(x) = x3 − 2x2 + 6x − 1 με β2 < 3γ , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . ( ΘΕΜΑ 2001 ) 19.34 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ για τα οποία ισχύουν : − H f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +∞) − f(1) = 1 − lim h→0 f(1 + 5h) − f(1 − h) h = 0 Να αποδείξετε ότι : α) f ′ (1) = 0 β) Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 = 1 ( ΘΕΜΑ 2013 ) 19.35 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f′′ (x) < 0 , ∀ x ∈ ℝ . Αν η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 , να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο . 19.36 Nα βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = � x2 lnx , x > 0 0 , x = 0 19.37 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 − 3x + 1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x = −1 και x = 1 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. Β. Εύρεση Παραμέτρων στα Ακρότατα 19.38 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 + 12x + 1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x =1 και x = 2 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. 19.39 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = x2 + αx + βlnx παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x = 1 και x = 3 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. 19.40 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 − 12x − 7 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x = −2 και x = 1 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων. 19.41 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 + 3x + 4 παρουσιάζει ακρότατο στο 1 με τιμή ίση με 2 . 19.42 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = 2αlnx + βx2 + 3x + 2 παρουσιάζει ακρότατο στο 1 το 3. 19.43 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = 2αlnx − β x + 3α παρουσιάζει ακρότατο στο 1 το 5. 19.44 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ℝ για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = (αx + β) ∙ ex παρουσιάζει ακρότατο στο 1 με τιμή ίση με – e , για x ≥ 0 .
  • 87.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 87 19.45 Δίνεται η f(x) = αlnx − x2 , α ∈ ℝ η οποία παρουσιάζει ακρότατο στο x = 1 . α) Να βρείτε την τιμή του α β) Να λύσετε την ανίσωση : (3|x| + 1)2 − (|x| + 9)2 < 2 ln 3|x| + 1 |x| + 9 19.46 Να αποδείξετε ότι : x2 ≥ 1 + 2lnx , x > 0 Γ. Ανισώσεις και Ακρότατα 19.47 Να αποδείξετε ότι : x2 ≥ x + lnx , x > 0 19.48 Να αποδείξετε ότι : lnx ≤ x − 1 , x > 0 19.49 Να αποδείξετε ότι : lnx ≥ 1 − 1 x , x > 0 19.50 Να δείξετε ότι : ln(1 + x) ≥ x 1 + x , x > −1 19.51 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x2 ∙ e− x α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι e2 ∙ f(x) ≤ 12 19.52 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 1 x , x > 0 . α) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f . β) Να δείξετε ότι ∀α , β , γ > 0 ∶ α 1 α +β 1 β +γ 1 γ 3 ≤ e 1 e 19.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 6lnx . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf η οποία διέρχεται από το σημείο Α(0 , −8) 19.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι f (ex) ≥ f (1 + x) , x ∈ ℝ . ( ΘΕΜΑ 2003 ) 19.55 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − elnx . Να δείξετε ότι f(x) ≥ e, ∀ x > 0 ( ΘΕΜΑ 2007 Ε ) 19.56 Δίνεται η f(x) = x2 − 2lnx , x > 0 . Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ 1 , x > 0 ( ΘΕΜΑ 2008 Ε ) 19.57 Να λυθεί η εξίσωση e x2 − x2 − 1 = 0 . ( ΘΕΜΑ 2016 ) 19.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες που άγονται από το Α � π 2 , − π 2 � , τις οποίες και να βρείτε . ( ΘΕΜΑ 2017 ) 19.59 Αν για κάθε x > 0 ισχύει x2 + x ≥ 2 + αlnx , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α . Δ. Από Ανίσωση σε Ισότητα (ΠΟΤΑΜΙ) 19.60 Αν ισχύει ex ≥ αx + 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α 19.61 Αν για κάθε x > 0 ισχύει x3 ≥ x2 + αlnx , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α . 19.62 Αν για κάθε x > 0 ισχύει αlnx ≤ x − 1 , α ∈ ℝ . Να βρείτε την τιμή του α . 19.63 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(1) = 1 , 2f(x) − x2 ≤ 2lnx + 1 , x > 0 . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο Α(1 , f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 3 . 19.64 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ με f(x2 − x + 1) − f(1) ≥ x − x2 , x > 0 . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο Α(1 , f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = −x 19.65 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x)≤ ex + ln(x2 + 1) , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(0 , 1) . 19.66 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ με f(1) = 3 , f(x) + g(x) ≤ x3 + x2 + 5 , x ∈ ℝ . Αν η εφαπτομένη της Cg στο Μ(1 , g(1)) έχει εξίσωση y = 3x + 1 , τότε να βρείτε : α) τις τιμές g(1) , g ′ (1) . β) την εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Β(1 , f(1)) 19.67 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) = 2x + mx − 4x − 5x , m ∈ ℝ , m > 0 . Να βρείτε τον m ώστε f(x) ≥ 0 , x ∈ ℝ . ( ΘΕΜΑ 2004 Ε )
  • 88.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 88 19.68 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx − ln(x + 1) , α > 0 , α ≠ 1 . Αν ισχύει f(x) ≥ 1 , για x > −1 να βρείτε το α ( ΘΕΜΑ 2009 ) 19.69 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης lnx + x2 − 3x + 12 = 0 . Ε. Πλήθος Ριζών – Σύνολο Τιμών 19.70 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4x3 − 3x − 1 2 = 0 έχει ακριβώς 3 πραγματικές ρίζες. 19.71 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x2 – x + 1 x − 1 19.72 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = 1 + e− x2 19.73 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2x3 − 6x + 1 = 0 . 19.74 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x + 2 , x ∈ [−2 , 0] . Να βρείτε : α) τα κρίσιμα σημεία της f β)τα ακρότατα της f καθώς και το σύνολο τιμών 19.75 Δίνεται η f(x) = 1 − e2x ∙ (1 + 2x) . Να βρείτε : α) τα ακρότατα της f β) το σύνολο τιμών της f γ) το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2x = e−2x − 1 19.76 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2lnx + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f �f(x) − 3 2 � = 2 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες . 19.77 Δίνεται η f(x) = (x − 1) ∙ lnx − 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xx−1 = e2018 , έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες 19.78 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − lnx x α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 1 + 2018 ∙ x = lnx 19.79 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 , f ′(x) + f(x) = e−x . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x − 2018 ∙ ex = 0 19.80 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x − 1 − lnx . Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2015 Ε ) 19.81 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x2 + 1 α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f �e 3 − x(x2 + 1)� = e2 5 έχει ακριβώς μια ρίζα. ( ΘΕΜΑ 2015 ) 19.82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = �e x lnx , x > 0 0 , x = 0 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 . β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f ( ΘΕΜΑ 2014 Ε ) 19.83 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x2 lnx ( ΘΕΜΑ 2004 ) 19.84 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 1 x − 1 − lnx . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες . ( ΘΕΜΑ 2006 ) 19.85 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � xlnx , x > 0 0 , x = 0 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 . β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . ( ΘΕΜΑ 2008 ) 19.86 Δίνεται η f(x) = ln(x + 1) − ln⁡ (x + 2) . Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . ( ΘΕΜΑ 2009 Ε )
  • 89.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 89 19.87 Δίνεται η f(x) = (x − 2)lnx + x − 3 . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. ( ΘΕΜΑ 2010 Ε ) 19.88 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + π 2 μια σταθερά . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς τρεις ρίζες . ( ΘΕΜΑ 2007 ) 19.89 Δίνεται η f(x) = (x − 1)lnx − 1 , x > 0 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση x x − 1 = e 2013 έχει ακριβώς 2 θετικές ρίζες . ( ΘΕΜΑ 2012 ) 19.90 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , παραγωγίσιμη στο (α , β) . Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το [−1 , 2] και f(α) = 0 , f(β) = 1 να δείξετε ότι : α) ∃ x1 , x2 ∈ (α, β) ∶ f ′ (x1) = f ′ (x2) = 0 . β) Η εξίσωση f ′ (x) = (x2 + 1)f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α , β) αν η f ′ είναι συνεχής . Ζ. Συνδυαστικές Ασκήσεις στα Ακρότατα 19.91 Δίνεται η f ∶ ℝ → ℝ με f(x) > 0 , (f′ (x))2 ≠ f(x)f′′ (x) . Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = lnf(x) έχει το πολύ ένα ακρότατο . 19.92 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f: [1 , 4] → ℝ με f(2) < 𝑓𝑓(1) < 𝑓𝑓(4) < 𝑓𝑓(3) . Να αποδείξετε ότι : α) η συνάρτηση f παρουσιάζει ένα ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο β) ∃ x0 ∈ (1 , 4) ∶ f′′ (x0) = 0 19.93 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f: [0 , 3] → ℝ με f(1) < 𝑓𝑓(0) < 𝑓𝑓(3) < 𝑓𝑓(2) Να αποδείξετε ότι : ∃ x0 ∈ (0 , 3) ∶ f′′ (x0) = 0 19.94 Έστω η συνάρτηση f: [α , β] → ℝ και γ , δ ∈ (α , β) ώστε f(γ) < 𝑓𝑓(α) < 𝑓𝑓(β) < 𝑓𝑓(δ) Αν η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη , να δείξετε ότι η εξίσωση f′′ (x)=0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (α , β) . 19.95 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ τρεις φορές παραγωγίσιμη ώστε να ισχύει 2f(x) ≥ f(1) + f(2) , με x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) f(1) = f(2) β) ∃ x0 ∈ (1 , 2) ∶ f′′′ (x0) = 0 . γ) η εξίσωση f′′ (x) = f ′ (x) έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο (1 , 2) . 19.96 Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ τρεις φορές παραγωγίσιμη ώστε να ισχύει 2f(x) ≥ f(3) + f(4) , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι : α) f(3) = f(4) β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (3 , 4) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf ′′ στο σημείο Μ(ξ , f′′ (ξ) ) να είναι παράλληλη στον άξονα x’x 19.97 Έστω η συνάρτηση f ∶ [1 , 4] → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη ώστε f(2) < 𝑓𝑓(1) < 𝑓𝑓(4) < 𝑓𝑓(3) . Να δείξετε ότι : α) η εξίσωση f ′ (x) =0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (1 , 4) . β) η εξίσωση f′′ (x) +2x f ′ (x) =0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (1 , 4) . 19.98 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) ≤ 2 − x + f(1) + f(3) 2 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι: α) f(1) − f(3) = 2 . β) η εξίσωση f ′ (x) = −1 έχει τουλάχιστον τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες . 19.99 Έστω η συνάρτηση f ∶ [1 , 4] → ℝ , με συνεχή f ′ στο [1 , 4] , η οποία έχει σύνολο τιμών το [−3 , 2] και f(1) = −2 , f(4) = 1 . Να αποδείξετε ότι : α) υπάρχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη της Cf κάθετη στην ευθεία ζ : 2x + 2y − 2016 = 0 . β) η εξίσωση f ′ (x) =0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (1 , 4) . γ) η εξίσωση f′ (x) = (ex + x2) ∙ f(x) έχει μία τουλάχιστον λύση στο (1 , 4) . 19.100 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη ώστε να ισχύει f(1) = f(3) , f′′ (x) > 0 , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό ακρότατο , του οποίου να βρείτε το είδος .
  • 90.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 90 19.101 Δίνεται η f(x) = ⎩ ⎨ ⎧ lnx x + 1 , 0 < x < 1 1 , x = 1 lnx x − 1 , x > 1 α) Να αποδείξετε ότι το x0 = 1 είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0, +∞) ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 19.102 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγοώστε να ισχύει e f(x) + x = f�f(x)� + ex x ∈ ℝ και f′ (0) = 1 . Να δείξετε ότι : α) η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ℝ β) η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ ( ΘΕΜΑ 2016 ) 19.103 Δίνεται η f(x) = � √x4 3 , x ∈ [−1 , 0) ex ∙ ημx , x ∈ [0 , π] α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο [−1 , π] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να λύσετε την εξίσωση 16 ∙ e− 3π 4 ∙ f(x) − e− 3π 4 ∙ (4x − 3π)2 = 8√2 ( ΘΕΜΑ 2017 ) 19.104 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . β)Να βρείτε , αν υπάρχουν , τα όρια : lim x→1 f(x) , lim x→3 f(x) , lim x→5 f(x) , lim x→7 f(x) , lim x→9 f(x) γ) Να βρείτε , αν υπάρχουν , τα όρια : lim x→2 1 f(x) , lim x→6 1 f(x) , lim x→8 f �f (x)� δ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής ε) Να βρείτε τα σημεία x0 του πεδίου ορισμού της f ώστε να ισχύει f ′ (x0) = 0 ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 19.105 Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν 16 cm2 να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει την μικρότερη περίμετρο . Η. Προβλήματα Μεγίστων – Ελαχίστων 19.106 Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με περίμετρο 16 , να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν . 19.107 Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει περίμετρο 400 m . Αν το μήκος του είναι x m , τότε να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν του οικοπέδου γίνεται μέγιστο , καθώς και ποια είναι η μέγιστη τιμή του εμβαδού .
  • 91.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 91 Absolute Extrema Ολικά Ακρότατα Local Extrema Τοπικά Ακρότατα 19.108 Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο 20 cm και μήκος x cm . Να βρείτε για ποια τιμή του x η διαγώνιος του παραλληλογράμμου έχει το ελάχιστο μήκος . 19.109 Δίνεται η f(x) = ex2 − 4αx + 16α με α ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει ελάχιστη τιμή . β) Να βρείτε για ποια τιμή του α ∈ ℝ , η ελάχιστη τιμή της f γίνεται μέγιστη . 19.110 Δίνεται η f(x) = 8lnx + x2 − 3x + 2 . Να βρείτε σε ποιο σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f , ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται ελάχιστος . 19.111 Δίνεται η f(x) = −x3 + 6x2 − 9x + 1 . Να βρείτε σε ποιο σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f , ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται μέγιστος . 19.112 Δίνεται η f(x) = 2x3 − 6x2 + 8x + 1 . Να βρείτε σε ποιο σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f , ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης γίνεται ελάχιστος 19.113 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + 2lnx . Να βρείτε για ποια τιμή του x , ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς x , γίνεται ελάχιστος . 19.114 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 και το σημείο Α(2 , 0). Να βρείτε σημείο Μ της Cf που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση. 19.115 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 3x + 2 και έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο σημείο της A�2 , f(2)� . Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου M(x , y) της εφαπτομένης (ε) έτσι ώστε η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων να γίνεται ελάχιστη . 19.116 Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός προϊόντος είναι K(x) = x2 + 50x + 100 σε ευρώ με 0 ≤ x ≤ 150 . Η είσπραξη από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος είναι 450−x σε ευρώ . Να βρείτε την ημερήσια παραγωγή x του εργοστασίου για την οποία το κέρδος είναι μέγιστο και πόσο είναι αυτό 19.117 Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός προϊόντος είναι K(x) = 1 3 x3 − 20x2 + 600x + 1000 σε ευρώ με 6 ≤ x ≤ 50 . Η είσπραξη από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος είναι 420−2x σε ευρώ . Να βρείτε την ημερήσια παραγωγή x του εργοστασίου για την οποία το κέρδος είναι μέγιστο και πόσο είναι αυτό .
  • 92.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 92 20.1 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + x Α. Εύρεση Κυρτότητας - Σημείων Καμπής 20.2 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την f(x) = x4 + 2x3 − 12x2 − 5x + 4 20.3 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x4 − 6x2 + 7x − 2 20.4 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x2 ∙ ( 2lnx − 5 ) 20.5 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x ∙ e − x 20.6 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = ln(x2 + 4) 20.7 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = ex (x2 − 4x + 5) 20.8 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = (x + 1) ∙ lnx 20.9 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = 2x + x ∙ lnx − ex−1 20.10 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 0 και f′ (x) + f(x) = e−x . Να βρείτε : α) τον τύπο της συνάρτησης β) την μονοτονία και τα ακρότατα της f γ) το σύνολο τιμών της f δ) την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f 20.11 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f δ) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f 20.12 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f δ) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f 20. Κυρτότητα Συνάρτησης
  • 93.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 93 20.13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f δ) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f 20.14 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f . Να βρείτε : α) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f β) την κυρτότητα και τα Σ.Κ. της f γ) το lim h→0 f(2+h)−f(2) h δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (4 , 9) τέτοιο, ώστε : f ′′(ξ) = 1 5 20.15 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με ef(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ . Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη . 20.16 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x ( ΘΕΜΑ 2003 ) 20.17 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x2 ∙ lnx ( ΘΕΜΑ 2006 ) 20.18 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + π 2 μια σταθερά . Να δείξετε ότι η f έχει ένα σημείο καμπής . ( ΘΕΜΑ 2007 ) 20.19 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = e x − ln⁡ (x + 1) ( ΘΕΜΑ 2009 ) 20.20 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = 2x + ln⁡ (x2 + 1) ( ΘΕΜΑ 2010 ) 20.21 Να δείξετε ότι η f(x) = ln(e x − x) έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής . ( ΘΕΜΑ 2011 ) 20.22 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = x − ln( e x + 1 ) ( ΘΕΜΑ 2014 ) 20.23 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την συνάρτηση f(x) = ln�x + √x2 + 1� ( ΘΕΜΑ 2015 ) 20.24 Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ. την f(x) = x2 x2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2016 ) 20.25 Αν f(x)= e x2 − x2 − 1 , να δείξετε ότι η f είναι κυρτή . ( ΘΕΜΑ 2016 ) 20.26 Αν f(x)= ex ex +1 , να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής ( ΘΕΜΑ 2017 )
  • 94.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 94 20.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 . Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει σημείο καμπής το Α(−1 , 4) Β. Εύρεση Παραμέτρων στην Κυρτότητα 20.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + αx2 + βx . Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει σημείο καμπής το Α(1 , 0) 20.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2 − ln2 x + β Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει σημείο καμπής το Α(1 , 5) 20.30 Δίνεται η f(x) = x4 − αx3 + βx2 + 2 . Να βρείτε τα α , β ώστε η Cf να έχει καμπή για x = 1 και x = 2 20.31 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 + 6x Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο −1 και καμπή στο 1 2 , να βρείτε τα α , β . 20.32 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e 2x + x4 . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 0 γ) Να δείξετε ότι e 2x ≥ 1 + 2x − x4 , x ∈ ℝ . Γ. Κυρτότητα και Εφαπτομένη 20.33 Δίνεται f ∶ (−∞ , 0] → ℝ με f(x) = x2 ex α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = −1 γ) Να δείξετε ότι f(x) + 2e + 3ex ≥ 0 20.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x ∙ lnx α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι f(x) − e ∙ x ≥ x − 1 20.35 Δίνεται η f(x) = (x + α ∙ lnx)2 , α ∈ ℝ . Η εφαπτομένη (ε) της Cf στο Α(1 , f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : 8x − 2y + 2016 = 0. α) Να βρείτε τον αριθμό α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα γ) Να δείξετε ότι 3 + (x + lnx)2 ≥ 4x , x > 0 . 20.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x + 1) ∙ lnx α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι 1 2 ∙ lnx < x − 1 x + 1 , x ∈ (0 , 1) 20.37 Δίνεται η f(x) = (x2 − 4x − 6)e x − 1 . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι e x − 1 ≥ x + 2 x2 − 4x + 6 , x ∈ ℝ . 20.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex+ex . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 0 γ) Να δείξετε ότι ex+ex−1 ≥ 2x + 1 , x ∈ ℝ 20.39 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − ln(ex + 1) α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση 2f(x) = x − ln4 20.40 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x4 − lnx α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να λύσετε την εξίσωση x = ex4−3x+2 20.41 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ex−1 − x + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι f(x) − x ≥ 1 δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf 20.42 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με lim x →1 f(x) − 3x x − 1 = 4 α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 β) Αν η f είναι κοίλη στο ℝ , να δείξετε ότι f(x) − 7x + 4 ≤ 0 , x ∈ ℝ 20.43 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x − lnx . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 γ) Να δείξετε ότι lnx ≤ 1 x +2x − 3 , ∀ x > 0 . δ) Να λύσετε την εξίσωση x x ∙ e3x − 2x2 − 1 = 1
  • 95.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 95 Convex function Κυρτή συνάρτηση Concave function Κοίλη συνάρτηση Inflection point Σημείο καμπής 20.44 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1) = 0 και f ′ (x) = 1 + f(x) x , ∀ x > 0 α) Να δείξετε ότι f(x) = x ∙ lnx β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x0 = 1 δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x − 1 ε) Να βρείτε το όριο lim x → 1 1 x∙lnx − x + 1 20.45 Δίνεται η f(x) = � e x – 1 x , x ≠ 0 1 , x = 0 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α�0 , f(0)� . Στη συνέχεια , αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή , να δείξετε ότι η εξίσωση 2f(x) = x + 2 , x ∈ ℝ έχει ακριβώς μια λύση . ( ΘΕΜΑ 2012 Ε ) 20.46 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] και ε : y = x − π εφαπτομένη της. Να βρείτε το όριο lim x →π x − ημ x π – x − ημ x ( ΘΕΜΑ 2017 ) 20.47 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f είναι κοίλη , να δείξετε ότι 2 f(x) > 𝑓𝑓 (x + 1) + f(x − 1) , x ∈ ℝ . Δ . Κυρτότητα και άλλα Θεωρήματα 20.48 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ. Αν η f είναι κοίλη και f(1) = f(2) = 0. Να δείξετε ότι : α) υπάρχει μοναδικός ξ ∈ (1 , 2) ∶ f ′(ξ) = 0 β) η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση ξ γ) αν επιπλέον ισχύει f ′(1) = 1 , να δείξετε ότι f(ξ) < 1 20.49 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Η f είναι κυρτή και η εφαπτομένη της Cf στο Α(0 , f(0)) έχει εξίσωση y = 2x + 4 α) Να βρείτε τις τιμές f′ (0) , f(0) β) Να αποδείξετε ότι f(−3) + f(3) > 8 γ) Να αποδείξετε ότι f(x + 2) − f(x) > 4 , x > 0 20.50 Έστω οι συναρτήσεις f , g ∶ ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f′′ (x) < −4f(x) + 4f′ (x) , x ∈ ℝ και g(x) = f(x) e 2x α) Να δείξετε ότι η g είναι κοίλη στο ℝ β) Αν η Cg εφάπτεται στον άξονα x’x να δείξετε ότι f(x) ≤ 0 , x ∈ ℝ .
  • 96.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 96 Graph of a function Γραφική Παράσταση συνάρτησης 21.1 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x3 − 3x και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.2 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 4 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.3 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x2− x + 2 x + 1 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x x + 1 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.5 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = x − 1 + 1 x – 1 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.6 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = lnx x και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.7 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) = 1 + 2lnx x και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση 21.8 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + 4 x − 1 , α , β ∈ ℝ της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +∞ στην ευθεία y = − x + 2 . α) Να βρείτε τα α , β β) Να μελετήσετε την συνάρτηση και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε f�√3� = 2 , 2xf(x) + x2 f′ (x) = −3f′ (x) , x ∈ ℝ . α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση . 21.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 x2 + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα . β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής . γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση ( ΘΕΜΑ 2016 ) 21.11 Αν f(x)= ex ex +1 , να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής , να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες και να κάνετε την γραφική της παράσταση ( ΘΕΜΑ 2017 ) 21. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
  • 97.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 97 Οι αρχές της ολοκλήρωσης διατυπώθηκαν από Νεύρωνα και Λάιμπνιτς στο τέλος του 17ου αιώνα. Ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός του ολοκληρώματος δόθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Μπέρναρντ Ρίμαν(1826-1866) Το σύμβολο της ολοκλήρωσης είναι ένα επίμηκες S Το S σημαίνει άθροισμα, από την Λατινική λέξη sum 22.1 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x2 − 4x + 3)dx β) ∫ (3x2 − 4x)dx 1 −2 2 1 γ) ∫ (4x3 − 6x2 + 2x)dx δ) ∫ √x dx 9 4 −1 −2 Α. Υπολογισμός Βασικών Ολοκληρωμάτων 22.2 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (ex + x)dx 1 0 β. ∫ (2ημx + 3συνx) π 2 0 dx γ) ∫ 3x2 √x 4 1 dx δ . ∫ 12x(x − 1)2 dx 2 −1 22.3 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (ex + 2ημx)dx π 2 0 β. ∫ � 1 x − 2 ημ2x � π 2 1 dx γ. ∫ �3x − 5 x2� dx δ . ∫ �συνx + 1 συν2x � dx π 3 0 2 1 22.4 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (3x2 − x − 1)dx 1 0 β. ∫ (−ημπx + ex) 1 0 dx γ. ∫ �2x + 3x+2 x2 � dx δ . ∫ �x − 1 x � 2 dx 2 1 2 1 22.5 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ 2x ∙ ex dx 1 0 β. ∫ xex2 dx 1 0 γ. ∫ (ex − e−x)dx 1 0 δ. ∫ x√x−1 √x 4 1 dx 22.6 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x2 + x – 1 x 2 1 dx β) ∫ x3 − 5x2 + 1 x 2 1 dx γ) ∫ (x − 1)(x + 1)(x + 2) x2 2 1 dx δ) ∫ x + 1 √x 4 0 dx 22.7 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x + 1)ex 2 −1 dx β) ∫ (2xσυνx − x2 ημx) π 0 dx γ) ∫ xσυν x – ημ x x 3 π π 2 dx δ) ∫ xex − 2ex x 3 2 1 dx 22.8 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α. ∫ (ημx + xσυνx)dx β. ∫ x2 ex(x + 3)dx 1 0 π 2 0 γ. ∫ �lnx ∙ συνx + ημx x � dx δ. ∫ xex(2 + x) 1 0 dx 2π π 22.9 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x ημ x –x2συν x ημ 2x π 4 π 6 dx β) ∫ συν x – ημ x ex π 0 dx γ) ∫ 1 – lnx x2 e 1 dx δ) ∫ lnx – 1 ln2x e 2 dx 22.10 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x x2+1 1 0 dx β) ∫ lnx x e 1 dx γ) ∫ συν x �ημ x+3 π 2 0 dx δ) ∫ 1 x√lnx e 2 dx 22. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
  • 98.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 98 Definite integral Ορισμένο Ολοκλήρωμα στα Αγγλικά Β. Υπολογισμός Ολοκληρώματος 22.11 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 2x – 6 5 4 dx β) ∫ ex + 2x ex + x2 1 0 dx γ) ∫ x3 x4 + 1 2 1 dx ∫ 𝐟𝐟(𝐱𝐱) 𝐠𝐠(𝐱𝐱) 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝛃𝛃 𝛂𝛂 22.12 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x + 1 x2 + 2x + 3 1 0 dx β) ∫ 2x + 1 x2 + x 2 1 dx γ) ∫ 1 1 + e−x 1 0 dx 22.13 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x − 5 x2 − 3x + 2 4 3 dx β) ∫ 2 x2 − 2x – 3 5 4 dx 22.14 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 x2 – 4 4 3 dx β) ∫ 2x − 3 x2 – x 3 2 dx 22.15 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x + 1 x2 + 3x + 2 3 2 dx β) ∫ 4x−1 2x2 − x – 3 1 0 dx 22.16 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 2x+1 x2 – 4x+3 0 −1 dx β) ∫ 2x + 1 x2− 5x + 6 1 0 dx 22.17 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 4 x3−4x 3 2 dx β) ∫ 1 x∙(x+1) 2 1 dx 22.18 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x − 2 x + 3 1 0 dx β) ∫ 3x – 1 x − 1 3 2 dx 22.19 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x2 x −1 0 −1 dx β) ∫ x2−2x+4 (x−1)2 0 −1 dx 22.20 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x3 − 3x2 + 5x – 5 x2 − 3x + 2 4 3 dx β) ∫ 2x3 − 5x2 − 16x + 22 x2 − 2x − 8 6 5 dx 22.21 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x3+x2−2x−1 x2−x 3 2 dx β) ∫ x2−x−2 x+3 3 2 dx 22.22 Να βρεθούν τα ολοκληρώματα α) ∫ 3x−5 x2 − 3x + 2 0 −1 dx β) ∫ 6x − 5 3x – 2 2 1 dx γ) ∫ 1−ημ x x + συν x π 0 dx 22.23 Να υπολογίσετε το όριο lim α→+∞ �∫ ex + 1 ex + x dx − α α 0 � 22.24 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x2 − 3x)ex dx 2 1 β) ∫ x2 + x ex 1 0 dx Γ. Παραγοντική Ολοκλήρωση 22.25 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x ∙ 5x dx 2 1 β) ∫ x ημx dx π 2 0 22.26 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x ∙ e−x dx 1 0 β) ∫ x2 ∙ e−x dx 1 0 22.27 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ xσυν2x dx β) ∫ x3 lnx dx e 1 π 2 0 22.28 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ lnx x2 2 1 dx β) ∫ ln2 x dx e 1
  • 99.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 99 22.29 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ln(x + 1)dx 1 0 β) ∫ lnx √x 4 1 dx 22.30 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x συν 2x π 3 0 dx β) ∫ (3x2 − 2ex)lnx dx e 1 22.31 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ex ημx dx π o β) ∫ συν x ex π 0 dx 22.32 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ xημx dx π 2 0 β) ∫ (x − 1)ημ2x dx π 2 0 22.33 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x2 + 1)e2x dx 1 0 β) ∫ (2x + 2)lnx dx 2 1 22.34 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x + 1) . Να υπολογίσετε : α) το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx α 0 β) το όριο lim α→+∞ � 1 α2 ∙ ∫ f(x)dx α 0 � 22.35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4x ∙ lnx . Να υπολογίσετε : α) το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx α 1 β) το όριο lim α→1 ∫ f(x)dx α 1 (α−1)2 22.36 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ xe 2x dx 2 1 ( ΘΕΜΑ 2009 Ε ) 22.37 α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι(α) = ∫ (2x2 − 3x)ex dx 0 α β) Να βρείτε το όριο lim α→−∞ Ι(α) ( ΘΕΜΑ 2004 ) 22.38 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (x − 1)3 dx β) ∫ (x − 1)3(2x − 1)dx 1 0 2 1 Δ. Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση 22.39 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (2x + 1)4 dx 1 0 β) ∫ (x2 − x + 2)3(2x − 1)dx 1 −1 22.40 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x√x + 1 dx β) ∫ √1 + ex dx 3ln2 ln3 3 0 22.41 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x√x2 + 1 dx 1 0 β) ∫ x√1 − x dx 0 −1 22.42 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 3x + 1 1 0 dx β) ∫ e4x−8 2 1 dx 22.43 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 (3x + 1)2 1 0 dx β) ∫ e3x−9 3 0 dx 22.44 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x √ x + 3 6 1 dx β) ∫ συν (lnx ) x 3 1 dx 22.45 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 1 + ex ln2 0 dx β) ∫ ex e2x + 3ex + 2 ln2 0 dx 22.46 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ e√x √x 4 1 dx β) ∫ (2x + 1)ex2+x dx 1 0 22.47 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (1 − ημx)4 συνx dx π 2 0 β) ∫ 12(3x + 1)3 dx 1 0 22.48 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ex 1+ ex 1 0 dx β) ∫ (lnx )2017 x e 1 dx 22.49 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ ex √1+ex 1 0 dx β) ∫ x √x2+5 2 0 dx γ) ∫ lnx x∙√1+lnx e 1 dx
  • 100.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 100 22.50 Να βρεθούν τα ολοκληρώματα α) ∫ x(x + 1)7 dx 0 −1 β) ∫ x√x + 2 dx −1 −2 γ) ∫ συν (lnx ) x 3 1 dx 22.51 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1 x ∙ ln3x 2e e dx β) ∫ x+3 (x2+6x)5 1 0 dx 22.52 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ 1+lnx √3+xlnx e4 e dx β) ∫ x−1 √x2−2x+3 1 0 dx 22.53 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι συνεχής . Να δείξετε ότι : α) ∫ f(x − 2)dx = ∫ f(x)dx −1 −2 1 0 β) ∫ f(2x)dx = 1 2 ∫ f(x)dx 2 0 1 0 22.54 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) + f(−x) = 1 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ f(x)dx 2 −2 22.55 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με ∫ f(x)dx 4 0 = 9 . Να βρείτε τα ολοκληρώματα : α) ∫ x ∙ f(x2)dx 2 0 β) ∫ f(lnx ) x e4 1 dx 22.56 Να αποδείξετε ότι : α) ∫ f(lnx ) x e 1 dx = ∫ f(x)dx 1 0 β) ∫ ex f(1 − ex)dx = ∫ f(x)dx −2 −1 ln3 ln2 22.57 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με ∫ (x f′ (x2) + 1)dx = 4 2 0 . Να δείξετε ότι α) υπάρχει ρ ∈ (0 , 4) ∶ f′ (ρ) = 1 . β) υπάρχει ξ ∈ (0 , 4) ∶ f′ (ξ) = ξ 2 22.58 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ x [2x + ln(x2 + 1)] dx 1 −1 ( ΘΕΜΑ 2010 ) 22.59 Δίνεται η f(x) = � 2x + 3 , x ≤ 1 3x2 − 6x + 8 , x > 1 α) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής β) Να βρείτε τα ολοκληρώματα Α = ∫ f(x)dx −2 −4 , B = ∫ f(x)dx 4 2 , Γ = ∫ f(x)dx 3 −1 . Ε. Ιδιότητες Ορισμένου Ολοκληρώματος 22.60 Δίνεται η f(x) = � 2x + 3 , x ≤ 0 ex + 2 , x > 0 α) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ f(x)dx 1 −1 22.61 Δίνεται η f(x) = � x ∙ ex , x ≤ 0 ln(x + 1) , x > 0 . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx 1 −1 22.62 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ (|x + 1| + x − 4)dx 2 −2 β) ∫ (3|x2 − 2x − 3| + 4)dx 4 −2 22.63 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α) ∫ |x − 1|dx 2 0 β) ∫ |x2 − 4|dx 3 1 γ) ∫ √x2 − 8x + 16 dx 1 0 22.64 Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ |ex + 4x3 − 1|dx 1 −1 22.65 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x . α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1 , f(1)). γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α = ∫ |f(x) − x + 1|dx 2 1 22.66 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει ∫ (4x + 6) dx = 36 α −α . 22.67 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο ισχύει ∫ 4x2−3x−5 x2 + 4 dx + ∫ 3x2−3x−9 x2+4 λ+3 λ2+1 λ2+1 λ+3 dx = ∫ 2 dx 1 −1
  • 101.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 101 22.68 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει ∫ ex + x3 – x x2 + 1 dx = ∫ α dx + ∫ ex + x3 − x x2 + 1 dx 1 3 1 −3 3 1 . 22.69 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο ισχύει ∫ lnx + 6 x2 + 2 dx − ∫ 2dx = ∫ 3x2 – lnx x2 + 2 dx λ 3λ+2 4 −5 3λ+2 λ . 22.70 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με f(x) = � ex + α , x ≤ 1 β ∙ lnx x , x > 1 . Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής και να ισχύει ∫ f(x)dx = 1 e 0 22.71 Να δείξετε ότι : 2 ∫ f(x) ∙ f′ (x)dx = [f(β)]2 − [f(α)]2 β α . 22.72 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (0 , +∞) με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = 2 . Να βρείτε τα ολοκληρώματα : α) Α = ∫ (f(x) + x ∙ f′ (x))dx 1 0 β) Β = ∫ � 1 f(x) − x ∙ f ′ (x) f2(x) � 1 0 dx 22.73 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε να ισχύουν f(1) = 3 e , f(0) = 1 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι=∫ ex(f(x) + f′ (x))dx 1 0 . 22.74 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο . Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 2) και Β(2 , 1) να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ x�2f(x) + xf′ (x)�dx 2 1 22.75 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = 5 , ∫ f(x)dx = 2 . 1 0 Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x f′ (x)dx 1 0 22.76 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή δεύτερη παράγωγο , για την οποία ισχύουν f(1) = 1 , f ′(1) = 1 . Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) Α = ∫ 2x ∙ f(x)dx + ∫ x2 ∙ f ′(x)dx 1 0 1 0 β) Β = ∫ (f′ (x) + x ∙ f′′ (x))dx 1 0 γ) Γ = ∫ �f ′ (x) ∙ ln(x + 1) + f(x) x+1 � 1 0 dx 22.77 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = ln2 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ �1 + x ∙ f ′ (x)� 1 0 ∙ ef(x) dx 22.78 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή δεύτερη παράγωγο , για την οποία ισχύουν f(1) = 3 , f ′(1) = 2 και ∫ f(x)dx = 5 . 1 0 Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x2 f ′′ (x)dx 1 0 22.79 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Οι εφαπτόμενες της Cf στα Α(1 , 2) και Β(3 , 9) τέμνονται στο σημείο Γ(4 , 11) . Να βρείτε : α) τις τιμές f′ (1) , f′ (3) β) το ολοκλήρωμα ∫ xf′′ (x)dx 3 1 22.80 Δίνεται η f(x) = x3 + αx2 + 3x + 1 , αϵℝ για την οποία ισχύει ∫ f(x)dx = 1 0 15 4 Να βρείτε : α) τον πραγματικό αριθμό α β) το ολοκλήρωμα ∫ f(x) f ′ (x) 3 1 dx 22.81 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + γ , για την οποία ισχύει ∫ f(x)dx = 12 1 −1 ενώ η εφαπτομένη της Cf στο Μ(1 , f(1)) έχει εξίσωση y = 2x + 2 . Να βρείτε τις τιμές των α , β ,γ ∈ ℝ 22.82 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οποία ισχύει f(2) = e3 f(1) . Να βρείτε το ολοκλήρωμα : A = ∫ f ′ (x) + 4f(x) f(x) 2 1 dx
  • 102.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 102 22.83 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε f(1) = 5 , ∫ (xf′ (x) + f(x))dx = 1 2 1 . Να βρείτε : α) την τιμή f(2) β) το ολοκλήρωμα ∫ x2( 3f(x) + xf′ (x) )dx 2 1 22.84 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια , ώστε ∫ �xf′ (x) + 2f(x)�dx = 0 1 0 να δείξετε ότι ∫ f(x) 1 0 dx = −f(1) 22.85 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια , ώστε ∫ f(x)dx = f(0) 1 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0 , 1) τέτοιο , ώστε : ∫ xf′ (x) 1 0 dx = f′ (ξ) 22.86 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει f′′ (x) = −2f(x). Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο α και στο β , να δείξετε ότι ∫ x2 f(x)dx = βf(β) β α − αf(α) 22.87 Έστω μια συνάρτηση g με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0 , π] . Αν g(π) = 1 και ισχύει ∫ [g(x) + g′′ (x)] ∙ ημ π 0 x dx = 3 , να βρείτε το g(0) 22.88. Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οποία ισχύει f(0) = 1 , ∫ f ′ (x) f(x) 1 0 dx = 1 Να βρείτε : α) την τιμή f(1) β) το ολοκλήρωμα ∫ 2xf2(x)+ex f(x)−ex f ′ (x) f2(x) 1 0 dx 22.89 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √x2 + 1 − x . Να αποδείξετε ότι : α) f ′ (x)√x2 + 1 + f(x) = 0 β) ∫ 1 √x2 + 1 1 0 dx = ln�√2 + 1� ( ΘΕΜΑ 2003 Ε ) 22.90 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ ώστε ∫ �∫ f(x)dx 1 0 � 1 0 ∙ f(x)dx = ∫ f(x)dx + 2 1 0 , f(x) > 0. Να βρείτε το ολοκλήρωμα A = ∫ f(x)dx 1 0 22.91 Δίνεται η συνεχής f ∶ ℝ → (0 , +∞) με ∫ f(x) 1 0 �∫ f(x)dx 1 0 � dx = 2 ∫ f(x)dx + 3 1 0 . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = ∫ f(x)dx 1 0 22.92 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει e∫ f(x)dx 1 0 = ∫ (f(x) + 3x2) 1 0 dx Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx 1 0 . 22.93 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ex ∙ ∫ f(t)dt 1 0 +x2 − x ≥ 1 , x ∈ ℝ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(t)dt 1 0 22.94 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = x + 2 ∫ f(x)dx , x ∈ ℝ . 1 0 Να βρείτε την f . 22.95 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = 2x + ∫ f(x)dx , x ∈ ℝ . 2 0 Να βρείτε την f . 22.96 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = 9x2 − ∫ 2xf(t)dt , x ∈ ℝ . 1 −1 Να βρείτε την f . 22.97 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ η οποία είναι συνεχής και τέτοια , ώστε να ισχύει f(x) = 1 x +2 ∫ t f(t) dt 2 1 , x > 0 . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 22.98 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ∫ f(t)dt = f(x) + 6 π 6 0 . Να βρείτε την f και το ολοκλήρωμα ∫ f(x)dx 2014 2016 22.99 Να βρείτε συνεχή f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ∫ ημx ∙ f(x)dx = f(x) + συνx π 3 0 , x ∈ ℝ
  • 103.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 103 22.100 Δίνεται η παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 2 , f′ (x) = f(x) − ∫ (f(x) − ex) 1 0 dx . Να δείξετε ότι f(x) = ex + 1 22.101 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ∫ e1 − x f(x) dx = f(x) + ex 1 0 . Να βρείτε την f . 22.102 Δίνεται η συνεχής f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f(x) = (10x3 + 3x) ∫ f(t)dt − 45 . 2 0 Να δείξετε ότι f(x) = 20x3 + 6x − 45 . ( ΘΕΜΑ 2008 ) 22.103 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + x . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e + 1 1 ΣΤ. Εύρεση Ολοκληρώματος Αντίστροφης 22.104 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x + 3 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 6 0 22.105 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + 2x3 − 3 α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 0 −3 22.106 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x + 1 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 3 1 22.107 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 και g ∶ ℝ → ℝ συνεχής και άρτια συνάρτηση . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x)g(x)dx 1 −1 ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 22.108 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (1, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει f�√e� = 2, xf′ (x)lnx + f(x) = 0 , x > 1 α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 γ) Να ορίσετε την αντίστροφη δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ 1 lnx dx e2 0 + ∫ e 1 x dx 1 2 1 . 22.109 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . 1 −1 22.110 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e 0 22.111 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e+1 1 22.112 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + 2x − 5 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . e−3 −4 22.113 Δίνεται η f(x) = lnx − x − ex , x > 1 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ f−1(x)dx . f(e) f(2) 22.114 Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο [1 , 10] της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 8) και Β(10 , 13). Να δείξετε ότι : ∫ f(x)dx 10 1 + ∫ f−1(x)dx = 122 13 8 22.115 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ παραγωγίσιμη , που ικανοποιεί την σχέση f3(x) + f(x) = x , x ∈ ℝ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να ορίσετε την αντίστροφη γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα I = ∫ f(x)dx 2 0
  • 104.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 104 22.116 Δίνεται η f ∶ ℝ → ℝ παραγωγίσιμη , που ικανοποιεί την σχέση ef(x) + f(x) = x + 1 , x ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να ορίσετε την αντίστροφη γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα I = ∫ f(x)dx e 0 22.117 Αν Ιν = ∫ lnν x dx e 1 να δείξετε ότι Ιν + ν ∙ Ιν−1 = e . Ζ. Εύρεση Αναγωγικού Τύπου 22.118 Αν Ιν = ∫ xν ex dx 2 0 να δείξετε ότι Ιν = 2νe2 − ν ∙ Ιν−1 , ν ≥ 2 22.119 Δίνεται το ολοκλήρωμα Ιν = ∫ xν συνx dx , ν ∈ ℕ∗ π 0 . α) Να δείξετε ότι Ιν = −νπν − 1 − ν(ν − 1)Ιν−2 για κάθε ν ≥ 4 β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ x5 συνx dx π 0 22.120 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xlnx − x + 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι ∫ x x dx > e − 1 2 1 Η. Ανισότητες και Ολοκληρώματα 22.121 Να δείξετε ότι 2 ≤ e4 ∙ ∫ ex 3 − 3x2 dx ≤ 2e4 . 2 0 22.122 Να δείξετε ότι 1 ≤ ∫ √x2 + 1 dx ≤ √2 1 0 22.123 Να δείξετε ότι 12 ≤ ∫ √x2 + 9 dx ≤ √20 4 0 . 22.124 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex x2 + 1 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία . β) Να δείξετε ότι e – 1 e ≤ ∫ 1 x2 + 1 dx ≤ e – 1 2 1 0 22.125 Να αποδείξετε ότι : α) lnx x ≤ 1 e , x > 0 β) ∫ xe dx < ∫ ex dx 17 1 17 1 22.126 Να αποδείξετε ότι : α) lnx ≥ 1 − 1 x , x > 0 β) ∫ xx dx ≥ e − 1 . 2 1 22.127 α) Να αποδείξετε ότι : x2 lnx + 2 > x , x > 1 β) Να αποδείξετε ότι : ∫ x2 lnxdx > 2 4 2 22.128 Να αποδείξετε ότι : α) (x + 1) ∙ ln(x + 1) ≥ x , x > −1 β) ∫ (x + 1)x+1dx > 𝑒𝑒 − 1 1 0 22.129 Να αποδείξετε ότι : α) x – 1 x ≤ lnx ≤ x − 1 , x > 1 β) 1 < ∫ 1 lnx dx < e e+1 2 22.130 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + 1 x α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι ∫ xx dx > e − 1 2 1 22.131 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x2 . α) Να δείξετε ότι f είναι κυρτή . β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1 , f(1)). γ) Να δείξετε ότι ∫ e x2 dx > 2e . 2 0 22.132 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ η οποία είναι κυρτή και ισχύει f(0) = 0 , f ′ (0) = 1 . Να αποδείξετε ότι ∫ f(x)dx > 1 0 1 2 22.133 Έστω f : [0 , 1] → ℝ με f(0) = 0 , παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει f′ (x) + f(x) > 2xe−x , x ∈ [0 , 1] . Να δείξετε ότι 3 ∫ ex f(x)dx > 1 . 1 0 22.134 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ παραγωγίσιμη , f(0)=0 και να ισχύει f′ (x) + 2xf(x) > 2xe−x2 , x ∈ ℝ Να δείξετε ότι ∫ f(x)dx > 1 0 e−1 e .
  • 105.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 105 22.135 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ [0 , 1] → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη τέτοια , ώστε f(0) = 0 , f(1) = 3 και f′ (x) > 2 , ∀ x ∈ [0 , 1] . Να δείξετε ότι : 1 ≤ ∫ f(x)dx ≤ 2 . 1 0 22.136 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα , με συνεχή δεύτερη παράγωγο , f(0)=0 , f(π)=π . Να δείξετε ότι 0 < ∫ f(lnx ) x dx < eπ 1 π2 ( ΘΕΜΑ 2016 ) 22.137 Δίνεται η f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] και ε : y = x − π εφαπτομένη της . Να αποδείξετε ότι ∫ f(x) x dx > e 1 e − 1 − π ( ΘΕΜΑ 2017 ) 22.138 Έστω F μια παράγουσα στο ℝ της συνάρτησης f(x) = 1 1 + x2 με F(1) = 0 . Να βρείτε το ολοκλήρωμα : A = ∫ F(x)dx 1 0 Θ. Συνδυαστικές με Αρχικές 22.139 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ . Αν επιπλέον η F είναι μια παράγουσα της f με F(1) = 0 και η ευθεία ε : y = 2x − 2 είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 1 , να βρείτε το όριο lim x→1 F(x) x2−2x+1 22.140 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = F(1) = 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = F(x) έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα . 22.141 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e lnx x και F μια παράγουσα της f στο (0, +∞) . Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (2 , 4) ∶ f ′ (ξ)F(ξ) = f(ξ) �√2 − f(ξ)� 22.142 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε ∫ f(x)dx = 1 1 0 . Έστω επίσης F μια παράγουσα της f για την οποία ισχύει F(0) = 0 . Να αποδείξετε ότι : α) υπάρχει x0 ∈ (0 , 1) ∶ F(x0) = 1 − x0 β) υπάρχουν ξ1 , ξ2 ∈ (0 , 1) με ξ1 < ξ2 ώστε f(ξ1) ∙ f(ξ2) = 1 22.143 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 0 που ικανοποιεί τη σχέση 2f(x) − e x − F(x) = 0 , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f 22.144 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(1) = 3 που ικανοποιεί τη σχέση f(x) = (2x + 1)ex2+x − F(x) , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f 22.145 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 1 που ικανοποιεί τη σχέση F(x) f(x) = −e−2x , ∀ x ∈ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f 22.146 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 1 που ικανοποιεί τη σχέση f(x) = ex + F(x) Να βρείτε τον τύπο της f 22.147 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και F μια παράγουσα της f στο ℝ ώστε F(0) = 1 που ικανοποιεί τη σχέση (F(x) − x) ∙ (f(x) − 1) = x Να βρείτε τον τύπο της f 22.148 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: (0, +∞) → ℝ και F μια παράγουσά της στο (0, +∞) με F(1) = 0 Αν ισχύει F(x) ≤ e − x2 lnx , ∀x > 0 , να δείξετε ότι f(1) = 1 e 22.149 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ , με f(x) ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ . Αν επιπλέον η F είναι μια παράγουσα της f και για τη συνάρτηση G(x) = F(x) − x2 + 3 , ισχύει G(x) ≥ G(1) , να βρείτε τη μονοτονία της F
  • 106.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 106 Primitive function Αρχική συνάρτηση Anti-derivative function Παράγουσα συνάρτηση 22.150 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και έστω F η αρχική της f ώστε να ισχύει F(1)=0 και (x − 2)F(x) ≤ ex − 2 − x + 1 , ∀x ∈ ℝ . α) Να βρείτε το ∫ f(t)dt 2 1 . β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (1 , 2) ∶ f(ξ) + F(ξ) = 0 . 22.151 Δίνεται παραγωγίσιμη f ∶ ℝ → ℝ με f(0) = 1 , f′ (x) = − 2x x2 + 1 ∙ f(x) , ∀x ∈ ℝ . α) Να βρείτε τον τύπο της f . β) Αν F(x) είναι αρχική της f(x) με F(1)=0 να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ F(x)dx 1 0 22.152 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ με συνεχή f ′ (x) και έστω F η αρχική της f ώστε να ισχύει F(1)=0 και x F(x) ≥ xex − ex − x + 1 ∀x ∈ ℝ . α)Να αποδείξετε ότι f(1) = e − 1 , ∫ f(t)dt = 1 1 0 . β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ x f′ (x)dx 1 0 . γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + F(x) = e−x έχει τουλάχιστον μια λύση στο (0 , 1). 22.153 Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ και έστω F η παράγουσα της f . Να αποδείξετε ότι 3 ∙ F(x) < 𝐹𝐹(2x) + 2F � x 2 � , ∀x > 0 22.154 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f ∶ [1 , +∞) → ℝ και έστω F η παράγουσα της f . Να αποδείξετε ότι (x + 1) ∙ F(x) > 𝑥𝑥 ∙ 𝐹𝐹(1) + F(x2) , ∀x > 1 22.155 Δίνεται συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ και έστω F η παράγουσα της f . Αν η συνάρτηση F δεν είναι 1-1 , τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα .
  • 107.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 107 Στην προσπάθειά μας να υπολογίσουμε το εμβαδόν κάτω από καμπύλες, φθάσαμε στην έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος. Η βασικότερη εφαρμογή του ορισμένου ολοκληρώματος είναι ο υπολογισμός εμβαδών χωρίων που σχηματίζουν οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. 23.1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − x − 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 και x = 3 . Α. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐂𝐟𝐟 και άξονα x’x 23.2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4x − x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 2 23.3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 3 23.4 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 6x + 8 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 3 . 23.5 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −x2 + 2x + 3 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 και x = 4 . 23.6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − e−x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 23.7 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 και x = ln2 23.8 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = 3 . 23.9 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e−x ∙ (x + 1) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 και x = 0 23.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x – 2 x , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = e . 23.11 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 – lnx x , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = e . 23.12 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.13 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.14 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 3x + 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23. Εμβαδόν Χωρίου
  • 108.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 108 23.16 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − x2 + 2x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x 23.17 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x − 3)lnx . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.18 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3−x2−4x+4 x+1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x . 23.19 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 1 . 23.20 Δίνεται η f(x) = x√x + 1 , x > −1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 3 23.21 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 2 . 23.22 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln2 x , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = e . 23.23 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 1 + 1 x + 1 . α) Να μελετήσετε την f ως προς μονοτονία και ακρότατα β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 2 και x = 5. 23.24 Δίνεται η f(x) = � x ∙ ex , x ≤ 0 x x2+ 1 , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −1 , x = 1 23.25 Δίνεται η f(x) = � 3x2 , x ≤ 0 e−x − 1 , x > 0 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −2 , x = 1 . 23.26 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = � −x2 + 2x + 3 , x < 2 −x + 5 , x ≥ 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = −1 , x = 5 . 23.27 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − x − 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 1 . 23.28 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + 1 − 1 x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 2 . 23.29 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = −x2 + 4x − 3 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x ,να βρείτε την τιμή του α ∈ (1 , 3) έτσι, ώστε η ευθεία x = α να χωρίζει το Ε σε δύο ισοεμβαδικά χωρία 23.30 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − x2 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον άξονα x’x ,να βρείτε την τιμή του α ∈ (−1 , 1) έτσι, ώστε η ευθεία x = α να χωρίζει το Ε σε δύο ισοεμβαδικά χωρία 23.31 Δίνεται η f(x) = � α + lnx , 0 < x ≤ 1 1 + √x − 1 , x > 1 Να βρείτε : α) την τιμή του α αν η f είναι συνεχής β) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 2 , x = 2 23.32 Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από την f(x) = x2 − 5x + 7 τον άξονα x’x και τις ευθείες x = α , x = α + 3
  • 109.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 109 The area of the region delimited by the graph Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση 23.33 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ (0 , +∞) → ℝ με f(1) = 5 , xf′ (x) = 2(1 − f(x)) , x > 0 α) Να δείξετε ότι f(x) = 1 + 4 x2 , x > 0 β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = λ με 0 < 𝜆𝜆 ≠ 1 γ) Αν λ > 1 και το λ αυξάνεται με ρυθμό 3 μον/s , τότε να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(λ) τη στιγμή που είναι λ = 2 23.34 Δίνεται η f(x) = � αx2 , x ≤ 3 1 − e x − 3 x − 3 , x > 3 . Να βρείτε : α) την τιμή του α αν η f είναι συνεχής β) την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α�4 , f(4)� γ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 , x = 2 ( ΘΕΜΑ 2001 ) 23.35 Αν ισχύει ότι x 2 < f(x) < xf′ (x) , ∀ x > 0 και αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 να δείξετε ότι 1 4 < 𝐸𝐸 < 1 2 f(1) ( ΘΕΜΑ 2002 ) 23.36 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x − 1)lnx . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την ευθεία x = e . ( ΘΕΜΑ 2012 ) 23.37 Δίνεται η h(x) = x − ln(ex + 1) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της φ(x) = ex(h(x) + ln2) , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 1 ( ΘΕΜΑ 2014 ) 23.38 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x + 1 , γνησίως αύξουσα για x < 1 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 και x = x0 με x0 < 1 να δείξετε ότι Ε = − x0 2 − 2x0 + 2 2 ( ΘΕΜΑ 2016 Ε ) 23.39 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 − 4x − 5 και g(x) = x + 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = −2 και x = 2 . Β. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐂𝐟𝐟 , 𝐂𝐂𝐠𝐠 23.40 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx − 1 και g(x) = 2x + 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 1 και x = e 23.41 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex − 2x − 2 και g(x) = x2 − ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = −1 και x = 1 23.42 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x x2+1 , x ∈ ℝ και g(x) = 1 x , x > 0 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 1 και x = 2 23.43 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + 4x και g(x) = x + 4 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg
  • 110.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 110 23.44 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 και g(x) = 4x − x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.45 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 + x και g(x) = −x2 + 3x + 4 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.46 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 3x3 − 2x και g(x) = 2x − x3 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.47 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 + 2x και g(x) = 3x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.48 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x + 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτομένη της στο σημείο με τετμημένη x = 3 και τον άξονα y’y . 23.49 α) Να δείξετε ότι e3x ≥ x + 1 , ∀ x ≥ 0 . β) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex και g(x) = e−2x (x + 1) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg . 23.50 α) Αν ισχύει ότι lnx ≥ α∙(x−1) x , ∀ x > 0 , να δείξετε ότι α = 1 β) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 ∙ lnx και g(x) = x2 − x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 1 , x = 2 23.51 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln⁡ (1 + x) και g(x) = x − x2 2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και x = 1 23.52 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex − 1 και g(x) = ln⁡ (1 + x). Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x = 0 , x = 1 23.53 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − lnx x2 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την πλάγια ασύμπτωτή της στο +∞ και την ευθεία x = 2 . 23.54 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ex−1 − x + 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την πλάγια ασύμπτωτή της στο −∞ , την ευθεία x = 1 και τον άξονα y’y. 23.55 Δίνεται η f(x) = 3x + 1 2x2 . Να βρείτε : α) τις ασύμπτωτες της Cf β) το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την πλάγια ασύμπτωτή της στο +∞ και των ευθειών x = 1 , x = α , α > 1 γ) το όριο lim α→+∞ Ε(α) 23.56 α) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f(x) = x + 1 + 4 (x−1)2 της πλάγιας ασύμπτωτής της στο +∞ και των ευθειών x = 3 , x = λ με λ > 3 . β) Να βρείτε το όριο lim λ→+∞ Ε(λ) 23.57 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g δύο φορές παραγωγίσιμες στο ℝ για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις : f′′ (x) = g′′ (x) + ex , f′ (0) = g′ (0) + 1 και f(0) = g(0) . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και την ευθεία x = 1 23.58 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ∙ e−x2 α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο με τετμημένη x = 0 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτομένη και των ευθειών x = −1 και x = 1 23.59 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx − x4 α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο με τετμημένη x = 1 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτομένη και των ευθειών x = 1 και x = 2
  • 111.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 111 23.60 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln⁡ (2x − 1) , g(x) = e2x−2 − 1 α) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των Cf , Cg στο κοινό τους σημείο Α(1 , 0) β) Να μελετήσετε τις f , g ως προς την κυρτότητα γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και x = 2 23.61 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = eλx , λ > 0 . α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων , είναι η y = λe ∙ x . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου , το οποίο περικλείεται από την Cf , της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y’y , είναι Ε(λ)= e – 2 2λ δ) Να βρείτε το όριο lim λ→+∞ λ2∙ Ε(λ) 2+ημλ ( ΘΕΜΑ 2005 ) 23.62 Δίνεται η f(x) = x3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + π 2 μια σταθερά. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και την ευθεία y = −2x − 2ημ2 θ ( ΘΕΜΑ 2007 ) 23.63 Δίνεται η f(x) = � √x4 3 , x ∈ [−1 , 0) ex ∙ ημx , x ∈ [0 , π] . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg με g(x) = e5x τον άξονα y’y και την ευθεία x = π ( ΘΕΜΑ 2017 ) 23.64 Δίνεται συνάρτηση f(x) = ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την εφαπτομένη ευθεία ε της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και την ευθεία x = −1 . Γ. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐂𝐟𝐟 , 𝐂𝐂𝐠𝐠 , 𝐂𝐂𝐡𝐡 23.65 Δίνεται συνάρτηση f(x) = ex . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την εφαπτομένη ευθεία ε της Cf στο σημείο της Α(1 , e) και την ευθεία x = −1 . 23.66 Δίνεται συνάρτηση f(x) = −x2 − x + 2 . α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x = −1 β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την εφαπτομένη . 23.67 Δίνεται συνάρτηση f(x) = −x2 + 3x . α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο x = 1 β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x και την εφαπτομένη 23.68 Δίνεται συνάρτηση f(x) = x2 − 6x + 5 α) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf που είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : x −2y + 2016 = 0 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την εφαπτομένη και τον άξονα y’y. 23.69 Δίνεται συνάρτηση f(x) = ex και (ε) η εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από το Ο(0 , 0). Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον άξονα x’x , την (ε) και την ευθεία x = −1 . 23.70 Δίνεται η f(x) = x2 + x + α , α ∈ ℝ . Αν η εφαπτομένη (ε) της Cf στο σημείο τομής της με την ευθεία x = 2 τέμνει τον άξονα y’y στο y0 = −3 , τότε να βρείτε : α) το α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) β) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f , της εφαπτομένης (ε) , του άξονα x’x και της ευθείας x = 3 5 ( ΘΕΜΑ 2006 Ε )
  • 112.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 112 23.71 Δίνεται η f(x) = −ημx , x ∈ [0 , π] και δύο εφαπτόμενες που άγονται από το Α � π 2 , − π 2 � έχουν εξισώσεις ε1: y = x και ε2: y = x − π . Αφού σχεδιάσετε την Cf και τις εφαπτόμενες , να αποδείξετε ότι Ε1 Ε2 = π2 8 − 1 , όπου Ε1 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τις ευθείες ε1 , ε2 και Ε2 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και του άξονα x’x ( ΘΕΜΑ 2017 ) 23.72 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 1 , x = 3 . Δ. Εμβαδό και Αντίστροφη Συνάρτηση 23.73 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + 2x − 3 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , την ευθεία x = −6 και τους άξονες x’x και y’y 23.74 Δίνεται η f(x) = x3 − 6x2 + 12x − 6 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 23.75 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 3 4 x α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 23.76 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2007 + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 και τις ευθείες x = −1 , x = 1 23.77 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 − 3x2 + 3x . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με την διχοτόμος της πρώτης γωνίας των αξόνων γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf−1 23.78 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 , x = e . 23.79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 + lnx . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 0 , x = e 23.80 Να δειχθεί ότι η f(x) = ln(x + 1) + x αντιστρέφεται και να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από Cf−1 , τον άξονα x’x και την ευθεία x = e 23.81 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ , παραγωγίσιμη ώστε f3(x) + f(x) = 2x , x ∈ ℝ . α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε την αντίστροφη . γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την ευθεία x = 1 και τους άξονες x’x και y’y . 23.82 Δίνεται η συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ , παραγωγίσιμη ώστε f3(x) + f(x) = x + 2 , x ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε την αντίστροφη . γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τους άξονες x’x και y’y . 23.83 Δίνεται η f(x) = x2 + 2x , x ≥ −1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f , f−1 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f , f−1 23.84 Δίνεται η f(x) = x2 − 2x + 2 , x ≥ 1 . α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f , f−1 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f , f−1
  • 113.
    ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣΣελίδα 113 23.85 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [0 , 1] για την οποία ισχύει f3(x) + 2f(x) = 3x , xϵ[0 , 1] . α) Να δείξετε ότι f(0) = 0 , f(1) = 1 β) Να βρείτε την αντίστροφη ,αν ορίζεται γ) Να δείξετε ότι ∫ f−1(x)dx = 1 − ∫ f(x)dx 1 0 1 0 δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις f , f−1 και των ευθειών x = 0 και x = 1 23.86 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x − 1 α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται . β) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f−1 του άξονα x’x και της ευθείας x=e . γ) Αν η f−1 είναι παραγωγίσιμη να βρείτε την εφαπτομένη της f−1 στο x0=0 23.87 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 2ex − x2 + 1 . α) Να βρείτε την μονοτονία της f β) Να δείξετε ότι f ( [0 , 1] )= [ 3 , 2e] γ) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη δ) Αν η f−1 είναι συνεχής , να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f−1 , τον άξονα x’x και τις ευθείες x=3 , x=2e . 23.88 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ∶ ℝ → ℝ ώστε να ισχύει f(x) = �∫ f(t)dt + 20 3 0 � ex−3 − x2 − 2x , xϵ ℝ α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 2ex − x2 − 2x β) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης δ) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της αντίστροφης, τον άξονα x’x και τις ευθείες x = 2 e2 , x = 2 . 23.89 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x5 + x3 + x . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf−1 , τον άξονα x’x και την ευθεία x = 3 . ( ΘΕΜΑ 2003 ) 23.90 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύει ef(x)(f2(x) − 2f(x) + 3) = x α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της . β) Να μελετήσετε την αντίστροφη ως προς την κυρτότητα . Στη συνέχεια να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της αντίστροφης , την εφαπτομένη της αντίστροφης στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y’y και την ευθεία x=1 ( ΘΕΜΑ 2014 Ε )