Δείτε μια όμορφη συλλογή επαναληπτικών θεμάτων που μας προσφέρει ο αγαπητός συνάδελφος Γιώργος Μαυρίδης, τον οποίο και ευχαριστώ πολύ.

1. Επαναληπτικά Θέματα 319
Επαναληπτικά Θέματα
1. Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( )
α
f x βln 2 x
x
=+ −
όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε:
i) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii) τη συνάρτηση ( )f x′
iii) τους α και β ώστε η εφαπτομένη ( )ε της καμπύλης της f στο σημείο της
( )Μ 1,2 να είναι κάθετη στην ευθεία ( )n με εξίσωση
1
y x
3
=
iv) για α 2= και β 1= , το όριο
( ) ( )x 2
lim x 2 f x .
→
′− ⋅
2. Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( ) x
f x αx 1 e , x−
=+ ∈
όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. Η εφαπτομένη της καμπύλης της συ-
νάρτησης f στο σημείο της ( )( )Α 0,f 0 σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία
π
.
4
i) Να αποδείξετε ότι
α 2= .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f
στο σημείο
1 1
Β ,f .
2 2
  
  
  
iii) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f.
iv) Να υπολογίσετε το όριο
( ) x
23
x
2
f x e
lim .
4x 9→
′′ ⋅
−

2. 320 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου
3. Δίνεται η συνάρτηση
( ) 4x
αx β
f x , x
e
+
= ∈
όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Η γραφική παράσταση της συνάρτη-
σης f τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο με τετμημένη
1
4
− και τον άξονα y y′
στο σημείο με τεταγμένη 1.
i) Να αποδείξετε ότι
α 4= και β 1.=
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συ-
νάρτησης f στο σημείο της ( )( )Μ 0,f 0 .
iii) Να αποδείξετε ότι
( ) ( ) 4x
4
f x 4f x
e
′ + =για κάθε x .∈ 
iv) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
v) Να αποδείξετε ότι
( )f x 1≤ για κάθε x .∈
4. Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( )2
f x ln x α= +
όπου α ένας σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός.
i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
ii) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
iii) Αν η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο της ( )( )Α 1,f 1 σχηματίζει
με τον άξονα x x′ γωνία 45°, να αποδείξετε ότι:
α) α 1=
β) η συνάρτηση
( ) ( )g x f x x= −
είναι γνησίως φθίνουσα.

3. Επαναληπτικά Θέματα 321
5. Δίνεται η συνάρτηση
( ) 2
f x αx βx 3= + + , x ∈ 
όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί με α 0.≠
i) Να βρείτε τους α, β, ώστε η συνάρτηση f να έχει στη θέση
x 1=
τοπικό ακρότατο ίσο με 4. Τι είδους ακρότατο είναι αυτό;
ii) Για α 1= − και β 2,= να βρείτε:
α) την εξίσωση της εφαπτομένης ( )ε της καμπύλης της συνάρτησης f στο
σημείο της ( )Μ 2,3
β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ( )ε με τους άξονες x x′
και y y.′
6. Δίνεται η συνάρτηση
( ) 2
f x x= , x ∈ 
και το σημείο ( )Μ x,y της γραφικής της παράστασης.
i) Nα αποδείξετε ότι η απόσταση d του σημείου Μ από το σημείο ( )Α 3,0 δί-
νεται από τον τύπο
( ) 4 2
d x x x 6x 9= + − + για κάθε x .∈ 
ii) Nα βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ για τις οποίες η απόσταση
( )d x γίνεται ελάχιστη.
iii) Nα υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της απόστασης ( )d x .
iv) Αν η απόσταση ( )d x είναι ελάχιστη, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΑ είναι
κάθετη στην εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο Μ.
7. Δίνεται η συνάρτηση
( ) 5 2
f x x 80x 144x 1=− + − + , x ∈ 
i) Nα βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης ( )λ x της εφαπτομένης της καμπύλης
της συνάρτησης f σε κάθε σημείο της ( )( )M x,f x .
ii) Nα αποδείξετε ότι για
x 2=
o συντελεστής διεύθυνσης ( )λ x γίνεται μέγιστος.
iii) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f
στο σημείο της με τετμημένη
x 2.=
iv) Nα υπολογίσετε το όριο
( ) ( )
h 0
f 2 h f 2
lim .
h→
+ −

4. 322 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου
8. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μετα-
βλητής Χ με κάποιες από τις αντίστοιχες συχνό-
τητες. Η σχετική συχνότητα της τιμής x4 είναι
4f 0,4.=
H συχνότητα 1ν και η μέση τιμή x είναι το τοπι-
κό ελάχιστο και το τοπικό μέγιστο αντίστοιχα της
συνάρτησης
( ) 3 2
f x 2x 3x 6 x, x= − + − ∈ 
i) Nα βρείτε το μέγεθος ν του δείγματος.
ii) Να αποδείξετε ότι
1ν 2= και x 3.=
iii) Να βρείτε τη συχνότητα 3ν .
iv) Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος.
9. Έστω οι παρατηρήσεις
1 2 νt , t , ..., t
ενός δείγματος μεγέθους ν, οι οποίες δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους και έχουν
μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Έστω επίσης η συνάρτηση
( ) 4
f x x 4sx x, x= − + ∈ 
η οποία παρουσιάζει για
x s=
ελάχιστο ίσο με 7.
i) Nα αποδείξετε ότι
s 0.≠
ii) Να βρείτε την τυπική απόκλιση s.
iii) Nα βρείτε τη μέση τιμή x.
iv) Nα εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.
ix iν
1
2 2
3
4 6
Σύνολο ν

5. Επαναληπτικά Θέματα 323
10. Έστω οι παρατηρήσεις
1 2 3 4 5t , t , t , t , t
ενός δείγματος μεγέθους 5 με μέση τιμή
x 0≠
και τυπική απόκλιση s. Έστω επίσης η συνάρτηση
( )
3
x 3x 2
, x 1
f x x 1
x 10s, x 1
 − +
≠
= −
 − =
η οποία είναι συνεχής.
i) Nα αποδείξετε ότι
( ) 2
f x x x 2= + − για κάθε x 1.≠
ii) Nα εξετάσετε αν το παραπάνω δείγμα είναι ομοιογενές.
iii) Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( )ε που εφάπτεται στη καμπύλη της
συνάρτησης f στο σημείο ( )( )Μ 1,f 1 .
iv) Aν η ευθεία ( )ε διέρχεται από το σημείο
x
K s,
5
 
 
 
, να αποδείξετε ότι:
α) x 30= και s 3=
β) 1 2 3 4 5t t t t t 150+ + + + =
γ) 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5t t t t t 4545.+ + + + =
11. Οι τιμές σε ευρώ ενός προϊόντος σε 50 διαφορετικά καταστήματα ακολουθούν
την κανονική κατανομή και έχουν διάμεσο
δ = 40 ευρώ.
i) Nα βρείτε τη μέση τιμή.
ii) Aν το άθροισμα των τετραγώνων των τιμών του προϊόντος στα 50 καταστή-
ματα είναι 80200, να βρείτε:
α) τη διακύμανση
β) το συντελεστή μεταβολής.
iii) Aν στην περίοδο των εκπτώσεων οι τιμές του παραπάνω προϊόντος μειωθούν
σε κάθε κατάστημα κατά 20%, τότε:
α) να βρείτε τη νέα μέση τιμή
β) να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής.

6. 324 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου
12. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μετα-
βλητής X με τις αντίστοιχες συχνότητες και σχε-
τικές συχνότητες
iν , i 1, 2, 3, 4=
και
if , i 1, 2, 3, 4= .
Οι αριθμοί α και β είναι οι θέσεις των τοπικών
ακροτάτων της συνάρτησης
( ) 3 25 11
f x x x 2x 1
3 2
= − + + , x ∈ .
i) Nα αποδείξετε ότι
α 2= και β 0,2.=
ii) Nα συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.
iii) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο.
iv) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( )ε της καμπύλης της συνάρτησης
f στο σημείο της ( )( )Μ 0,f 0 .
v) Oι τετμημένες 10 σημείων της εφαπτομένης ( )ε έχουν μέση τιμή
x 2,3=
και τυπική απόκλιση
s 0,1.=
Nα βρείτε τη μέση τιμή y και την τυπική απόκλιση ys των τεταγμένων αυ-
τών των σημείων.
13. Οι παρατηρήσεις
1 2 νt , t , , t
ενός δείγματος μεγέθους ν έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Η συνάρτηση
( ) ( ) x
f x x s e 2x, x= − + ∈
παρουσιάζει για
x 0=
ελάχιστο ίσο με 9.
i) Να αποδείξετε ότι
s 1= και x 5.=
ii) Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές
iii) Aν έχουμε κανονική κατανομή και 135 από τις παρατηρήσεις βρίσκονται στο
διάστημα ( )3,4 να βρείτε:
α) το μέγεθος ν του δείγματος
β) το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα ( )5,7 .
iv) Προσθέτουμε σε κάθε μία από τις παρατηρήσεις
1 2 νt , t , ,t
την ίδια θετική ποσότητα c. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της c ώστε το δείγ-
μα των παρατηρήσεων που προκύπτουν να είναι ομοιογενές.
ix iν if
1 α β
2 2α
3 α+1
4
Σύνολο

7. Επαναληπτικά Θέματα 325
14. Έστω οι συνάρτηση
( ) x
f x e x 39, x= − + ∈ 
και οι παρατηρήσεις
( ) ( ) ( )1 2 100f x f x ...f x< <
οι οποίες έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Aν το δείγμα των παραπάνω
παρατηρήσεων δεν είναι ομοιογενές, να αποδείξετε ότι:
i) η ελάχιστη τιμή της f είναι 40
ii) x 40>
iii) s 4>
iv) η συνάρτηση
( ) 3 2
g x x 6x 3s x x, x= + + ⋅ + ∈ 
είναι γνησίως αύξουσα.
15. Έστω ο δειγματικός χώρος
{ }Ω 1, 2, 3, ...,19, 20=
ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Έστω επίσης Α, Β δύο ενδε-
χόμενα του Ω τέτοια, ώστε
{ }Α Β 2, 3, 5, 7,11∪ = ,
{ }Β Α 2, 7− =
και
{ }Α Β 5∩ = .
i) Nα βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β.
ii) Nα βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α και όχι το Β.
iii) Nα βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β.
iv) Aν x είναι η μέση τιμή και 2
s η διακύμανση των αριθμών
3α, 5α, 7α
όπου α Ω∈ να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου
{ }2
Γ α Ω /s 8x= ∈ < .

8. 326 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου
16. Δίνεται η συνάρτηση
( ) 2
2x
f x
x 4x λ
=
+ +
όπου λ ένας αριθμός που επιλέγουμε τυχαία από το σύνολο
{ }Ω 1, 2, 3, ..., 99,100 .=
i) Nα βρείτε τη συνάρτηση ( )f x .′
ii) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: “ η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού σύνολο . ”
Β: “ η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο της με τετμημένη
0
λ
x
2
=
σχηματίζει με τον άξονα x x′ οξεία γωνία. ”
17. Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( )f x x α ημx, x=+ ∈ 
όπου α αριθμός που επιλέγουμε τυχαία από το σύνολο
{ }Ω 1, 2, 3, 4, 5 .=
i) Nα βρείτε τη συνάρτηση ( )f x′ .
ii) Nα αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ( )ε της γραφικής παράστασης της f στο ση-
μείο της ( )Ο 0,0 έχει εξίσωση
y αx= .
ii) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: “ η ευθεία ( )ε είναι παράλληλη στην ευθεία ( )η με εξίσωση
y 2x 7= + ”.
Β: “ η ευθεία ( )ε διέρχεται από το σημείο ( )Μ α,4α 3− ”.

9. Επαναληπτικά Θέματα 327
18. Έστω ο δειγματικός χώρος
{ }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6=
του πειράματος ρίψης ενός αμερόληπτου ζαριού. Έστω επίσης η συνάρτηση
( ) ( ) αx
f x 4 α e αx 4, x= − + − ∈ 
όπου α Ω.∈
i) Nα βρείτε τις συναρτήσεις ( )f x′ και ( )f x′′ .
ii) Nα αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ( )ε της καμπύλης της f στο σημείο της
( )( )Μ 0, f 0 έχει εξίσωση
( )y α 5 α x α.= − ⋅ −
iii) Για α 4= να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f′ είναι σταθερή.
iv) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: “ η ευθεία ( )ε είναι παράλληλη στην ευθεία ( )η με εξίσωση y 4x= ”
Β: “ η συνάρτηση f′ είναι γνησίως φθίνουσα ”.
19. Έστω ο δειγματικός χώρος
{ }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6=
ενός πειράματος τύχης. Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω ισχύ-
ουν οι σχέσεις
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ 2 Ρ 3 Ρ 4 Ρ 5 Ρ 6
Ρ 1
2 3 4 5 6
= = = = = .
i) Nα βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω.
ii) Nα υπολογίσετε τη μέση τιμή x, τη διάμεσο δ και το εύρος R των παραπάνω
πιθανοτήτων.
iii) Δίνεται η συνάρτηση
( )
α
f x xln x , x 0
x
= − >
όπου α Ω∈ και τα ενδεχόμενα:
( )
1
Α α Ω / f 1
δ
 ′=∈ < 
 
και
( ){ }Β α Ω / f 3 0′′=∈ < .
α) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα Α
και Β.
β) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.
γ) Να εξετάσετε αν η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται
την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β.
δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων
Α, Β, Α Β.−

10. 328 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου
20. Δίνεται η συνάρτηση
( ) 3 2 1
f x 4x 3x , x
2
= − + ∈
και δυο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι πιθανότητες ( )Ρ Α
και ( )Ρ Α Β∪ των ενδεχομένων Α και Α Β∪ είναι διαφορετικές μεταξύ τους
και συμπίπτουν με τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f, να βρείτε τις πιθανό-
τητες των ενδεχομένων:
i) A και Α Β∪
ii) Β Α−
iii) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β
iv) Α Β,− αν είναι γνωστό ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως
τα Α,Β είναι ίση με
1
.
8
21. Δίνεται η συνάρτηση
( )f x x 1 x= + −
και δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω.
i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f.
iii) Να αποδείξετε ότι
( ) ( )Ρ Α Ρ Β 2.+ ≤
22. Έστω ο δειγματικός χώρος
{ }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7=
ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω. Έστω επίσης, η συνάρ-
τηση
( ) ( )3 2
f x 2x 3x 6P A x 4, x= − + ⋅ − ∈  .
i) Nα βρείτε τις συναρτήσεις ( )f x′ και ( )f x .′′
ii) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f′ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
iii) Να αποδείξετε ότι
( ) ( )
3
f x 6P A
2
′ ≥ − για κάθε x .∈ 
iv) Aν τα απλά ενδεχόμενα του Ω είναι ισοπίθανα και ισχύει η σχέση
( ){ }Α Β x Ω / f x 20′′∩ = ∈ < ,
να αποδείξετε ότι:
α) ( )
2
Ρ Α Β
7
∩ =
β) ( )
1
Ρ Α
4
>
γ) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

11. Επαναληπτικά Θέματα 329
23. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το πολύγωνο
αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων το
οποίο αναφέρεται στις ηλικίες των καθη-
γητών ενός σχολείου. Οι ηλικίες κυμαίνο-
νται από 26 έως 56 έτη. Επίσης, 12 καθη-
γητές έχουν ηλικία τουλάχιστον 38 και λι-
γότερο από 44 έτη.
i) Να αποδείξετε ότι στο σχολείο
υπάρχουν 30 καθηγητές.
ii) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και
το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.
iii) Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ των ηλικιών των καθηγητών.
iv) Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους παραπάνω καθηγητές. Να βρείτε την πιθα-
νότητα ο καθηγητής αυτός να είναι:
α) μικρότερος των 44 ετών
β) τουλάχιστον 41 ετών
γ) τουλάχιστον 35 και μικρότερος των 50 ετών.
24. Έστω ο δειγματικός χώρος
{ }Ω 1, 2, 3, ..., ν=
ενός πειράματος τύχης, με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Η διάμεσος δ και το εύ-
ρος R των αριθμών
1, 2, 3, ..., ν
συνδέονται με τη σχέση
R δ 4= + .
i) Nα αποδείξετε ότι
ν 11.=
ii) Eκλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο Ω. Να βρείτε την πιθανό-
τητα η μέση τιμή των αριθμών
α, α 2, α 4, α 6+ + +
να είναι μεγαλύτερη από τη διασπορά τους.
Ο 26 32 38 44 50 56
iF %
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

12. 330 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου
25. Ο διπλανός πίνακας αφορά την κατανομή
των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του
ύψους των μαθητών ενός Λυκείου. Τα δε-
δομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις.
Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους παραπά-
νω μαθητές. Αν η πιθανότητα ο μαθητής να
ανήκει στη δεύτερη κλάση είναι ίση με την
πιθανότητα να έχει ύψος τουλάχιστον 177
cm, να βρείτε:
i) τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες 2F και 4F
ii) το μέσο ύψος των παραπάνω μαθητών
iii) την πιθανότητα ο μαθητής να έχει ύψος λιγότερο από 177 cm
iv) την πιθανότητα ο μαθητής να έχει ύψος τουλάχιστον 172 cm και λιγότερο από
187 cm.
26. Δίνεται η συνάρτηση
( ) 3 2
f x 4x 5x 2x 6, x= − + + ∈
και τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε οι πιθανότητες
( )Ρ Α Β∩ και ( )Ρ Α Β∪
να είναι οι θέσεις των τοπικών ακρότατων της συνάρτησης f.
i) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
ii) Να βρείτε τις πιθανότητες
( )Ρ Α Β∩ και ( )Ρ Α Β∪ .
iii) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ , Ρ Α , Ρ Β , Ρ Α Β , Ρ Α Β , Ρ Ω .∅ ∩ ∪
Ύψος
σε cm
[ )−
Αθροιστική σχετική
συχνότητα
iF
157–167 0,2
167–177
177–187 0,9
187–197

13. Επαναληπτικά Θέματα 331
27. Έστω
{ }Ω 1, 2, 3, 4, 5=
ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση
( )
1
f x αln x x , x 0
x
=− + − > όπου α Ω∈ .
Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχόμενων των Ω ισχύουν οι σχέσεις
( )
( ) ( ) ( ) ( )Ρ 2 Ρ 3 Ρ 4 Ρ 5
Ρ 1
2 3 4 5
= = = ≤ .
Επίσης, η μέση τιμή των πιθανοτήτων των απλών ενδεχομένων του Ω είναι ίση
με τη διάμεσό τους.
i) Nα βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχόμενων του Ω.
ii) Να βρείτε τη συνάρτηση ( )f x′
iii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να υπάρχει εφαπτομένη της καμπύλης της
f παράλληλη στον άξονα x x.′
28. Έστω ο δειγματικός χώρος
{ }1 2 3Ω ω ,ω ,ω=
ενός πειράματος τύχης. Οι πιθανότητες
( )1P ω , ( )2P ω και ( )3P ω
είναι μη μηδενικές και τέτοιες, ώστε
( ) ( )
( )3 2
1
P ω P ω 1
P ω
3 2 2
+ + =.
Έστω επίσης η συνάρτηση
( ) ( ) ( ) ( )3 2
3 2 1f x 2P ω x 3P ω x 6P ω x= ⋅ + ⋅ + ⋅ , x ∈  .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της
( )( )M 1,f 1 .
ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f′ έχει ένα μόνο ακρότατο. Ποιο είναι το
είδος αυτού του ακρότατου;
iii) Αν η συνάρτηση f′ παρουσιάζει το ακρότατο στο σημείο
0
1
x
3
= − ,
να βρείτε:
α) τις πιθανότητες
( )1P ω , ( )2P ω , ( )3P ω
β) τα στοιχεία του ενδεχομένου Α του δειγματικού χώρου Ω για το οποίο
ισχύει
( )
2
P A
3
= .

14. 332 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου
29. Δίνεται η συνάρτηση
( )f x x ln x= − , x 0>
και τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει
( )P A B 0∩ ≠ .
i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να αποδείξετε ότι
( )P A B 0∪ > .
iii) Να αποδείξετε ότι
( ) ( )P A B 1 ln P A B∪ ≥ + ∪   .
iv) Να αποδείξετε ότι
( )
( )
( )
P A
ln P A B
P A B
 
≥ − 
∩  
.
30. Δίνεται ένας δειγματικός χώρος Ω ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα απλά
ενδεχόμενα πεπερασμένου πλήθους και δύο ενδεχόμενά του Α και Β για τα ο-
ποία ισχύει
( )
1
P A B
3
∩ =.
Δίνεται επίσης η συνάρτηση
( ) ( ) ( ) ( )3 2
f x x 3N A x N A N Ω x 8= + ⋅ + ⋅ ⋅ + , x ∈ 
η οποία δεν έχει ακρότατα.
i) Να αποδείξετε ότι
( )N A 0> .
ii) Να βρείτε την πιθανότητα ( )P A .
iii) Αν η καμπύλη της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο ( )M 1,1− ,
να υπολογίσετε:
α) το πλήθος των απλών ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω
β) το όριο
( )
( )x 2
f x
lim
f x→− ′
.