Γιώργος Ασημακόπουλος, αποκλειστικά στο lisari

1. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
1
100
ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
(ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ)
ΘΕΜΑ 1ο
a) Δίνεται η δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση
f , με ( ) 0 fx  , για κάθε x¡ . Αν 1 2 3 4 , , , a a a a είναι
διαδοχικοί όροι μιας γνησίως αύξουσας αριθμητικής προόδου, να
δειχτεί ότι:
1 4 2 3 f (a )  f (a )  f (a )  f (a )
b) Να λυθεί στο ¡ η εξίσωση: 6 5 4 3 0 x x x x    
ΘΕΜΑ 2ο
α) Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο   0,  για την οποία
ισχύει:
( ) 2 x x x e f x  e  e , για κάθε x0,.
Να δειχτεί ότι lim ( ) 2
x
f x


ΘΕΜΑ 3ο
a.) Να δειχτεί ότι η εξίσωση
2 1 0 x e  x  x   έχει το πολύ
τρεις ρίζες πραγματικές.
b) Αν οι αριθμοί 1 2 , ,..., v a a a είναι πραγματικοί και οι αριθμοί
1 2 , ,...,     είναι θετικοί και ικανοποιείται η σχέση:
1 1 2 2 1 2 ... ... v a   
            

2. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f f

xf x
f x x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
2
1 2   ...  1
    
για κάθε χ ¡ να δειχτεί ότι: 1 2
ΘΕΜΑ 4ο
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ¡ και ισχύει
4 xf (x)  3x  2x  (x 1) x,x¡ , να βρεθεί το
(0) f
ΘΕΜΑ 5ο
α) Αν η συνάρτηση : f ¡¡ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη
και ( ) ( ) , 0 f x f x a a    για κάθε x¡ , να αποδειχθεί ότι
η f δεν έχει σημεία καμπής.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : ¡ ¡ που είναι παραγωγίσιμη
και
ισχύει (0) 0 f  . Να δειχτεί ότι υπάρχει 0 0,
4
x
  
 
 
τέτοιος,
ώστε:
0
0 0
0
1
( ) ( )
1

 


 

.
ΘΕΜΑ 6ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( 1,+ ) ¡ για
την οποία
ισχύει
( )
( ) ln
2
 
Να δειχτεί ότι:
i) Η συνάρτηση
2 g(x)  f (x) ln x είναι σταθερή στο
1,.
ii) Αν f (e)  3, να βρεθεί η συνάρτηση f .

3. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
g g a


 
g a x a g x
x x
P x  P  xP  P  P
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
3
iii) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία.
ΘΕΜΑ 7ο
α) i)΄Εστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει
( ) ( ) 0 f a f  και ( ) 0 fx  , για κάθε χ
  , a . Να δειχτεί ότι ( ) 0fx , για κάθε
 , .
ii) Αν ( ) 0gx  , για κάθε   , x  να δειχτεί ότι
( ) ( )
( )  (  ) 
( )

,
για κάθε , .
β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ¡ και ισχύει:
( ) 1 2 x xf x   e  x
για κάθε x  ¡ , να δειχτεί ότι f (0) =3.
γ) Αν η συνάρτηση ( ) 2005 x f x  e x  παρουσιάζει στο
σημείο 0 xa ακρότατο, τότε ισχύει
2002 2003 2004 2005 a  a  a  a  0
ΘΕΜΑ 8ο
α) Να δειχτεί ότι κάθε πολυώνυμο Ρ(Χ) βαθμού 3 παίρνει τη μορφή:
2 3
( ) (0) (0) (0) (0).
2 6

4. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
  με
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
4
β) Δίνεται η συνάρτηση
1
f (x) ln x
x
2 xe,e  . Να
δειχτεί ότι υπάρχει μοναδικός
2
0 x e,e  τέτοιος, ώστε
0
3
()
2
fx 
ΘΕΜΑ 9o
α) Έστω ότι η ευθεία 25είναι ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης μιας συνάρτησης f στο  . Να βρείτε τα όρια:
ι)
()
lim
x
fx
 x
και   lim( ) 2
x
f x x

 .
ιι) Να βρεθεί ό πραγματικός αριθμός μ, αν
f ( x ) 4
x

lim
x ( ) 2 2
3
xf x x x


=1
 
β) Να δειχτεί ότι:
ι) 1 0 x e x    για κάθε x¡
ίί) Η εξίσωση 2 2 2 2 x e x x    έχει ακριβώς μια λύση στο ¡ τη
χ=0.
ΘΕΜΑ 10ο
Δίνεται o θετικός πραγματικός αριθμός α και η συνάρτηση:
2 f (x)  ax  2xln x, με x0,.
ι) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.
ίί) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f στο σημείο Α(1, f (1)) και να προσδιορίσετε το
α, ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των
αξόνων.

5. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
 
  , για κάθε x0,
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
5
ΘΕΜΑ 11ο
Θεωρούμε τις συναρτήσεις 3 2 () x f x e   και 2 ( ) ln g x x  ,
ορισμένες
στα σύνολα ¡  και 1,e4  αντιστοίχως.
ί) Να εξεταστεί αν ορίζεται η συνάρτηση h  g o f
ιι) Να βρεθεί τό
2
0
( ) 4
lim
x
h x  
 
ΘΕΜΑ 12ο
ι) Να δειχτεί ότι η συνάρτηση 3 ( ) 3 f x x x a    είναι γνησίως
φθίνουσα στο διάστημα   1,1 
ίί) Να βρεθεί τo σύνολο τιμών της f στο διάστημα   1,1 
ιιι) Αν -2<α< 2, να δειχτεί ότι η εξίσωση 3 x 3x a  0 έχει μια
ακριβώς λύση στο (-1,1).
ΘΕΜΑ 13ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση
2 f (x)  x ln x.
ί) Να δειχτεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής της
παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ.
ιί) Να δειχτεί ότι
2 1
ln
2
x x
e
ΘΕΜΑ 14ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : ¡ ¡ παραγωγίσιμη σ’ όλο το πεδίο
ορισμού της, για την οποία ισχύει ότι:

6. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f x f x
( ) (2 )
lim , lim
x x 2
 x  x
1 1
    και
f (x) f (x)
x x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
6
f (x  y)  ex f (y)  ey f (x) , για κάθε x, y πραγματικούς αριθμούς
και f (0)  2
ι) Να αποδείξετε ότι f (0)  0 και 2 (3 ) 3 ( ), x f x  e f x για κάθε
x  ¡
ιι) Να βρείτε τα
0 0
ιιι) Να βρεθεί η ( ). fx
ΘΕΜΑ 15ο
Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση   :,fa  ¡
με α>0 και ( ) ( ) 0 f a f . Να δειχτεί ότι
i) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (α,β) τέτοιο ώστε ( ) ( ) ff     .
ii) Αν ( ) 0 f x   για κάθε χ(α,β), τότε το ξ είναι μοναδικό.
iii) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Μ(ξ, f (ξ))
περνά από την αρχή των αξόνων.
ΘΕΜΑ 16ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : a, ¡ με f (x)  0, για κάθε
xa,  και f (a)  f ( ). Να δειχτεί ότι f (a) f ( )  0
ΘΕΜΑ 17ο
Να βρεθεί μια συνάρτηση f , ορισμένη στο (0,2π) για την οποία
ισχύουν οι σχέσεις
2
2
( ) 0
4
f


(Ολοκλήρωμα).

7. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f a f a
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
7
ΘΕΜΑ 18ο
ι) Αν 2  ea  2  e τότε είναι α = β.
ίί) Να λυθεί στο ¡ η εξίσωση
2 2 2 2 x x e e x x     
ΘΕΜΑ 19o
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση f με (0) 0 f  .
Υποθέτουμε ότι για κάθε x  ¡ ισχύει ότι ( ) 8 7 x f x  e  x  ,
να υπολογισθεί το
0
()
lim
x
fx
 x
.
ΘΕΜΑ 20ο
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : a,a¡ ) με α>0 , που
είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (-α,α) ,
με
( ) ( )
(0)
2
f
 
 . Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (-α,α)
ώστε f ( )  0.
ΘΕΜΑ 21o
ι) Δίνεται η συνάρτηση f : ¡ ¡ για την οποία ισχύει:
2 2 f (x  y)  f (x)  f (y)
για κάθε x, y¡ με f (0)  0. Να δειχτεί ότι f είναι συνεχής.
ίί) Δίνεται η συνάρτηση g : ¡ ¡ για την οποία ισχύει:
3 g (x)  g(x)  x
Να δειχτεί ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και ότι η
1 g
είναι
συνεχής.

8. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης

Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
8
ΘΕΜΑ 22o
α) Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση f : a, ¡ με
( ) ( ) ff . Αν κ,λ 
 ¡ να δειχτεί ότι υπάρχει ξ   ,  ώστε
( ) ( )
( )
f f
f
   

 


β) Δίνεται η συνάρτηση : f  ¡ ¡ για την οποία υπάρχει η fκαι
είναι ( ) 0 fx  , για κάθε x   ¡ με (0) 0 f   . Να δειχτεί ότι η f
στρέφει τα κοίλα άνω στο [0,+ ) και τα κοίλα κάτω στο (- ,0].
ΘΕΜΑ 23o
α) Να λυθεί η εξίσωση: 2 ln(x 1)  x  x 6  0
β) Θεωρούμε τις συνεχείς στο [α,β] συναρτήσεις , fg , που είναι
παραγωγίσιμες στο (α,β), με ( ) 0fx , για κάθε   , x a   και
ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) f a f g g a      . Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ(α,β)
τέτοιος, ώστε f ()  f ()g() 0
ΘΕΜΑ 24ο
α) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ , για την οποία
f (1) 1 και
3 2 3 4 ( ) ( ) 5 x x f x f x    , για κάθε χ ¡ . Να βρεθεί
η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
Μ(1, 1).
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : 1,¡ , με f ( x) x f (x) x e  , για
κάθε x 1 . Να βρεθεί η f (x) .

9. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
  . Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f και κατόπιν το
lim ( )
x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
9
ΘΕΜΑ 25ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : ¡ που είναι δυο φορές
παραγωγίσιμη ώστε f (x)  0, για κάθε x. Θεωρούμε και τη
συνάρτηση   : gf¡ που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, με
g(x)  0 και g(x)  0, για κάθε x f () . Να δειχτεί ότι η
συνάρτηση gfo στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ.
ΘΕΜΑ 26ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f :  ¡¡ που είναι παραγωγίσιμη στο
 ¡
και ισχύει xf (x)  (x 1) f (x) , για κάθε x   ¡ και (1) fe ,
1
f ( 1)
e
0
fx
 
.
ΘΕΜΑ 27ο
Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ .
Υποθέτουμε ότι η f  είναι κυρτή και ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.
Να δειχτεί ότι η f  είναι 1-1.
ΘΕΜΑ 28ο
α) Αν για τη συνάρτηση f : ¡ ¡ ισχύουν τα εξής: f (x)  0,
για κάθε x  ¡ και f (0)  0, να δειχτεί ότι το σημείο 0, f (0)
είναι σημείο καμπής του διαγράμματος της f .
β) Η συνάρτηση f : ¡ ¡ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ¡
με  2
( ) ( ) g x f x  . Αν οι συναρτήσεις f και g παρουσιάζουν καμπή
στο σημείο 0 x , τότε είναι   0 f  x  0.

10. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης

x f x
    , για κάθε x¡ και f (ln3)  3.
f A e
f x
xf x g x
f x  x  f  x .
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
10
ΘΕΜΑ 29ο
α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ ,
με f (x)  f (x)  0, για κάθε x¡ και f (0)  f (0)  0. Να
βρεθεί ο τύπος της f
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση : f ¡¡ . Να βρεθεί το
lim ( )
x
0
fx

και να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία, αν
( )
( ) (0, ), 1
( )
ΘΕΜΑ 30ο
Θεωρούμε τις συναρτήσεις ,:fg ¡¡. Αν ισχύουν οι ισότητες:
 
2
lim ( ) 2 ( ) 3
x

  και
lim ( ) 1 4 ( ) 5
x
2
f x  g x

    
  .
Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα
f x g x
lim ( ), lim ( )
.
x x
 
2 2
ΘΕΜΑ 31ο
α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ , με
f (2)  2 και f (2)  3. Θεωρούμε και τη συνάρτηση g : ¡ ¡ ,
με 2 ( ) (3 ) g x f x x   , για κάθε x¡ . Να βρεθεί η (1). g
β) Έστω : f  ¡ ¡ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, με f γνησίως
αύξουσα στο ¡ . Να δειχτεί ότι
( 1) ( 1) ( ) ( ), f x f x f x f x        για κάθε x¡
ΘΕΜΑ 32ο
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ για την
οποία ισχύουν
2 ( ) 1 ( ) x f x  x e   f  x
και
1
( ) ( )
4
ι) Να δειχτεί ότι lim ( )
x
f x

 
ιι) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
f στο σημείο Μ(0, f (0)).

11. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
1
   και ότι η εφαπτόμενη της γραφικής της
g x g
( ) , (0) 2
 x
x

 είναι παράλληλη στην ευθεία με
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
11
ιιι) Να δειχτεί ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ
ιν) Να δειχτεί ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και κυρτή στο
¡ .
ΘΕΜΑ 33ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση : 0,
2
g
  
 
 
¡ για την οποία ισχύουν
2
( )
παράστασης στο σημείο 0 4
εξίσωση 2 3 0    . Να δειχτεί ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής.
ΘΕΜΑ 34ο
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : a, ¡ , για την οποία
ισχύει ( ) ( ) 0 f f     . Να δειχτεί ότι η f έχει ένα τουλάχιστον
σημείο μηδενισμού στο [α,β].
ΘΕΜΑ 35ο
Θεωρούμε την συνάρτηση f : 0,¡ με
2 ( ) 2 ln f x x a x   , με a   ¡ .
ι) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει
εφαπτομένη παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ.
ιι) Να δειχτεί ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα
σημεία με τετμημένη 0 x  0 για τις διάφορες τιμές του a   ¡
περνούν από το ίδιο σημείο.
ΘΕΜΑ 36ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση   2 f (x) x ax e   με
, ¡ ,  0 . Να δειχτεί ότι έχει δυο κρίσιμα σημεία.

12. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
  
f f
f f
 

 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
12
ΘΕΜΑ 37ο
Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο
[0,1] με f (0)  0 και f (x)  0, για κάθε x(0,1). Να δειχτεί ότι
υπάρχει ξ0,1 ώστε
( ) (1 )
2
( ) (1 
)
.
ΘΕΜΑ 38ο
Εστω   , : 0,1fg¡ δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις ώστε
( ) 0, ( ) 0 f x g x  για κάθε   0,1 x  και (0) (1) 0fg
αποδείξτε ότι υπάρχει ξ   0,1  , ώστε
 
f ( ) g
( )
f g
 
 
  .
0
( ) ( )
ΘΕΜΑ 39ο
Η συνάρτηση :[1,4] f ¡ είναι παραγωγίσιμη στο [1,4]. Για κάθε
x[0,4] ισχύει ότι (4 ) 4 ( ) f x f x  και
25
1
100
f
 
  
 
. Να δειχτεί ότι
υπάρχουν   1 2 3 x , x , x  1,4 ώστε 1 2 3 f (x )  f (x )  f (x ) 12.
ΘΕΜΑ 40ο
Θεωρούμε την συνάρτηση f : ¡ ¡ που είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη ( ) ( ) f x f x    για κάθε x¡ . Αν η f παρουσιάζει
για 0 0 x  τοπικό ακρότατο το (0) 0 f  να δειχτεί ότι:
ι) Αν 0x  ,τότε ( ) ( ) f x f x  
ιι) Αν 0x  , τότε ( ) ( ) f x f x  
ΘΕΜΑ 41ο
α) Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,2¡
με f (0)  f (2) 0 και
g(x)  f (1)(2x  x 2 )
ι) Να δειχτεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία 1 2 1 2  , (  )
του (0,2) ώστε 1 1 g( )  f ( ) και 2 2 g( )  f ( )
ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (0,2) τέτοιο ώστε
1
f (1)   f  (  )
.
2

13. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
x
f x f
c c
lim ( ) 0
x
lim ( ) 0
x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
13
β) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ που
στρέφει τα κοίλα άνω στο ¡ . Αν υπάρχει 0 x  ¡ ώστε 0 f (x )  0,
τότε lim ( )
x
f x

  .
ΘΕΜΑ 42ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση : f ¡¡ που η γραφική
της παράσταση στρέφει τα κοίλα άνω και περνά από την αρχή των
αξόνων. Να δειχτεί ότι για κάθε x  ¡ ισχύει
3
x
3 ( ) 4 ( )
4
f x f 
ΘΕΜΑ 43ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση : f ¡¡ .
Αν
0
( )
3
lim ,
x  2
x
 
  
 
 ¡ , να δειχτεί ότι   03fc  .
ΘΕΜΑ 44ο
Θεωρούμε την συνάρτηση f : ¡ ¡ που είναι παραγωγίσιμη στο 0
και για την οποία ισχύει  
f  x  f  y

1 ( ) ( )
f x y

f x f y
 

για κάθε , xy¡ . Αν για κάθε , xy¡ ισχύει ότι ( ) ( ) 1 f x f y  ,
να δειχτεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη.
ΘΕΜΑ 45ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, ¡ για την
οποία ισχύει  2
f (x)  x 1 .
Να αποδειχθεί ότι:
ι) f (1)  0.
ιι)
1
f x

 
ιιι)
2
f



 

14. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f f

 

      και
f x f x f x

xf x
fx 

xf x
fx 
 

xf x x
( ) 5 1
 
lim
x ( ) 2 3 3
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
14
ίν)
2
( ) (1)
f
2 (1) lim
 

x  2 x 

2
ΘΕΜΑ 46ο
Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : f ¡¡ για την
οποία ισχύουν lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x
  
()
lim 2
() x


.
Να δειχτεί οτι
()
lim 0
() x
 .
ΘΕΜΑ 47ο
ι) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : f ¡¡ με τις ιδιότητες
(0) 0 f  ,και
2 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ), , 0,
2
f x x a x x x x a

     
 
        
 
Να βρεθεί ο τύπος της f .
ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει  (, ) τέτοιος ώστε εφ(ξ — β) =
2
2


.
ΘΕΜΑ 48ο
Αν το διάγραμμα της συνάρτησης f : ¡ ¡ έχει πλάγια ασύμπτωτη
τήν ευθεία ψ = 2χ+ 1 όταν χ  να υπολογιστεί
το
2
2 3 2
 x f x x x
  
.
ΘΕΜΑ 49o
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ για την
οποία ισχύει:

15. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
g x x
 
  με g(2) 1. Να δειχτεί ότι
lim ( ) 0
x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
15
(x2 1) f (x)  4xf (x)  2 f (x)  0για κάθε x¡
ι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης φ:¡ ¡ για την οποία ισχύει
φ( 2 x)  2xf (x)  (x 1) f (x) .
ιι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν γνωρίζουμε ότι η γραφική
της παράσταση περνά από την αρχή των αξόνων και ότι η εφαπτομένη
της στην αρχή των αξόνων είναι κάθετη στην ευθεία :x  2y 1 0.
ΘΕΜΑ 50ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, )   ¡ , για την οποία
ισχύουν 2 x f (ln x)  xx 2 x
και (0) 1 f   . Να δειχτεί ότι

 .
2
()
e
f
e


ΘΕΜΑ 51ο
α) Δίνεται η συνάρτηση F με 3 2 F(x)   x  x  x, που
παρουσιάζει στο σημείο 1 x  τοπικό μέγιστο και στο σημείο 2 x 
καμπή.
Να δειχτεί ότι:   6,  9 .
β) Δίνεται η συνάρτηση f : ¡ ¡ που είναι συνεχής στο 0 και για
την οποία ισχύει f (x  y)  f (x) y  f (y) x . Να δειχτεί
ότι η f είναι συνεχής.
ΘΕΜΑ 52ο
ι) Αν η συνάρτηση f : ¡ ¡ είναι παραγωγίσιμη και
f (x)  f (x)  0, τότε είναι ( ) ( : x f x ce c   σταθερά).
Ιι) Δίνεται η συνάρτηση g : (1,)¡ για την οποία ισχύει:
( )(ln 1)
( )
ln
x
x
g x
x
g x

 .

16. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
 
 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
16
ΘΕΜΑ 53ο
Να δειχτεί ότι ln x2  x2 1.
ΘΕΜΑ 54ο
x x a
Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( )
2
f x

 με α,β >0 και α  β. Να
δειχτεί ότι:
ι) Η f είναι κυρτή στο ¡ .
ιι) Αν () f x x  για κάθε x  ¡ , τότε αβ = 2 e
ΘΕΜΑ 55ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση f για την οποία ισχύ
ει f (lna)  f (ln ). Αν ισχύει ln  ln  ln , με α, β, γ >0 και
2 e
  ,να δειχθεί ότι υπάρχουν αριθμοί 1 2 ,  τέτοιοι ώστε
1 2 f ( )  f  )  0.
ΘΕΜΑ 56ο
Θεωρούμε την συνεχή στο διάστημα   , e e    συνάρτηση f για την
οποία ισχύει:
2 2 2 2 2 x  f (x)  e .
ι) Να δειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα
(-πe , π e).
ii) Αν f ()  0 για κάθε x e, e, να δειχθεί ότι η f  είναι
συνεχής στο  e, e.
ΘΕΜΑ 57ο
Θεωρούμε την συνεχή στο ¡ συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

17. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
fx
 x
g x
 .
lim .
( ) 2 x x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
17
ex 1 1 (x 1) f (x)  (x 1)       για κάθε x  ¡ . Αν είναι
2
()
lim 2
2 x


,τότε:
ι) Να βρεθούν οι αριθμοί ( 1) f  και (2)f .
ιι) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με
την γραφική παράσταση της συνάρτησης
2 2 1 ( ) ( 1) x x g x x e     ένα
τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη 0 x (1,2).
ΘΕΜΑ 58ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο
  0,  και τη συνάρτηση ( ) 2 ( ) x h x f x  . Αν ισχύει
( ) 2 (ln 2) ( ) x f x x f x     , τότε:
ι) Να υπολογιστεί ο τύπος της f αν είναι γνωστό ότι παρουσιάζει
τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 1. x 
ιι) Να δειχθεί ότι η h δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη.
ΘΕΜΑ 59ο
Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο ¡ συναρτήσεις f και για τις οποίες
ισχύει: ( ) ( ) ( ) x e f  x  g x  g x και g(0)  f (0)  0.
ι) Να δειχθεί ότι
( )
( )
x
f x
e
ιι) Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στην περιοχή του  την ευθεία
( ) 1
y  x 2, να δειχθεί ότι
2
g x
 xg x x e


ΘΕΜΑ 60ο

18. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
fx
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
18
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο x0  2 για την οποία ισχύει
2 f (x)  ln(x 1)  (x  2) για κάθε x 1
ΘΕΜΑ 61ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση f για την οποία ισχύει
()
()
2
fx

 για κάθε x  ¡ . Να δειχθεί ότι:
ι) Η συνάρτηση 2 ( ) ( ) x h x f x e  έχει παράγωγο μηδέν.
ιι) Αν (0) 1945 f  , η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν
(0) 2000 f   , η f είναι γνησίως αύξουσα.
ΘΕΜΑ 62ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο ¡ με ( ) 0 fx και
f (x)  0,x¡ και ισχύει: f (xy)  f (x) f (y),x, y¡ .
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση g για την οποία
ισχύει:   2 ( ) ( ) ( ) 1 ln ( ) g x f x f x f x     με (0) 0g . Να δειχθεί
ότι υπάρχει (0,1)   τέτοιος ώστε ( ) . fe 
ΘΕΜΑ 63ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει
( ) 2ln ( ) ( ) x f x x f x f x e e     
για κάθε x0, και f (0)  0. Να δειχθεί ότι:
ι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατο σε κανένα σημείο του διαστήματος
0,.

19. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
e

y x
  
e
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
19
ιι)Το θεώρημα του Rolle δεν ισχύει σε κανένα διάστημα της μορφής
  0 0, x
ιιι) Η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες.
ίν) Η ευθεία (ε):
3 1
1
3 
3
είναι κάθετη στην εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της f στο σημείο x0 1.
ΘΕΜΑ 64ο
Θεωρούμε τη θετική συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο   , e 
και για την οποία ισχύει: f (x) f (x) ex  και ( ) 0 fe  . Να δειχθεί ότι:
ι) Η f αντιστρέφεται.
ιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα σημείο,
ενώ δεν συναντά τον άξονα ψ΄ψ.
ΘΕΜΑ 65ο
Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση f για την
οποία ισχύει ( ) ( ) 0 f a f    και ( ) 0fc για ένα c που ανήκει
στο διάστημα (α, β). Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β)
τέτοιο ώστε f ( )  0.
ΘΕΜΑ 66o
Αν f :[, ] ¡ είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και
παραγωγίσιμη στο (α, β) και 1 2 x , x (με 1 2 x  x ) είναι δύο διαδοχικές
ρίζες της f  , να δειχθεί ότι:
ι) Υπάρχει το πολύ μια ρίζα της f στο διάστημα   1 2 x , x .
ιι) Αν 1 2 f (x ) f (x )  0, τότε υπάρχει ακριβώς μια ρίζα της f στο
διάστημα   1 2 x , x .

20. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
20
ΘΕΜΑ 67ο
Να βρεθεί ο τύπος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης
f : (0,)¡ για την οποία ισχύει: xf (x)  f (x)ln f (x)  0,
με ( ) 1 fx ,
για κάθε   0, x   και (1) fe .
ΘΕΜΑ 68ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f διάστημα [α, β] (με α,β
(1, )   ) για την οποία ισχύει ( ) 0 fx για κάθε x  [α, β]. Αν
1 2 ( ), ( ) ff είναι αντίστοιχα το ελάχιστο και το μέγιστο της f στο
διάστημα [α, β] και ισχύει
f ( 2 ) f ( 1) e   

  και ακόμα για τη συνάρτηση
h(x)  f (x) ln x ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος
του Rolle , να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(α,β) τέτοιο ώστε
f ( )  0.
ΘΕΜΑ 69ο
ι) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f : 
 ¡ ¡ για την όποία
ισχύουν:
( ) ( ) (1 ( ) ( )) ( ) 0 f x xf x e f x f x xf x x          (1)
και 1 f (x)  0 για κάθε x(0,).
ιι) Αν () y f x  είναι η λύση της (1) που δεν είναι εκθετική συνάρτηση
και για την οποία είναι f (1)  0, να δειχθεί ότι μεταξύ δύο ριζών της
εξίσωσης f (x) 1 0 υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της
εξίσωσης ln 0 x  x  x  x  .
ΘΕΜΑ 70ο

21. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f (x ) f (x ) x
 ορισμενη στο [ ,)e 
 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
21
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση f για την οποία
ισχύει:
2 2 4 2 1 4 2 1 f (2 ) f (2 ) e e          .Να δειχθεί οτι υπάρχει
0 (2,2) x  τέτοιο ώστε
2 1 0 0 0
0
e
x
 

(δίνεται ότι 0 (α , β)).
ΘΕΜΑ 71ο
Να υπολογισθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f που
είναι παραγωγίσιμη στο 
 ¡ όταν ισχύει:
2 2 ( ) ( )
1
 
xf x x f x
x
e
 και
(1) 1 f  .
ΘΕΜΑ 72ο
Δίνεται η συνάρτηση
ln
( )
x
f x
x
ι) Να δειχθεί ότι: 1821 ( 1821) x x x x   
ιι) Να δειχθεί ότι:
1821 1821
[1 ]. 

ΘΕΜΑ 73ο
Αν οι συναρτήσεις f και φ και οι παράγωγοί τους f  και  είναι
συνεχείς στο [ , ]  , η συνάρτηση f f      είναι θετική στο
διάστημα αυτό και η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] , να δειχθεί
ότι μεταξύ 2 ριζών της εξίσωσης f (x)  0 υπάρχει μια ρίζα της
φ(χ)=0.
ΘΕΜΑ 74ο
Θεωρούμε την τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορι
σμένη στο 0,1 για την οποία ισχύει f (x)  2, για κάθε x0,1

22. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
x
g x  f x  που είναι ορισμένη στο 0,1 βρίσκεται πάνω από
f   f   f  .
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
22
.Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης
3
( ) ( )
3
τον άξονα χ΄χ. Δίνεται ότι
1
(0) 0, (0) 0, (1)
3
ΘΕΜΑ 75ο
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο ¡ με συνεχή
e
 
παράγωγο σε αυτό και για την οποία ισχύουν: ( ) 2
1
x
x
fx
e

και
(0) ln2 f 
Να δειχθεί ότι:
ι)
lim ( ) ,
lim ( )
x
x
fx
fx


 
 
ιι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.
ιιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα
ακριβώς σημείο.
ιν) f (1)  ln(1e)2
ΘΕΜΑ 76ο
Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( ) ( ) , g x f x g x e  όπου ()gx είναι
παραγωγίσιμη στο [α,β] συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο σ’ αυτό.
Υποθέτουμε ότι:
( )(1 ( )) 0 g x g x    , για κάθε x[α,β]
Να δειχθεί ότι:
ι) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β].
ιι) Αν g()  g( ), να δειχθεί ότι υπάρχει   0    , τέτοιος,
ώστε 0 f (x )  0.
ιιι) Αν είναι ( ) 0 f x   , για κάθε x[α,β] , να δειχθεί ότι η εξίσωση
f (x)  0 έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα (α ,β).

23. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
   να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο
f x f x
 
 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
23
ΘΕΜΑ 77ο
Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει το θεώρημα του Rolle
στο διάστημα [α, β] και που έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα αυτό.
Αν ακόμα ισχύει ( ) ( ) g x xf x  , για κάθε x [α,β] και
lim ( ) lim ( )
x x
 
ώστε ( ) 0g   .
ΘΕΜΑ 78ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα   0,  .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει δύο κοινά σημεία με την
πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης
2 21
()
x
gx
x

 . Να αποδειχθεί ότι
υπάρχει ένας τουλάχιστον θετικός αριθμός 0x τέτοιος, ώστε:
0 0 0 f (x )  x f (x ).
ΘΕΜΑ 79ο
Να προσδιοριστεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
f (x  y)  f (x) yln xcy , για κάθε x  0, y¡ ,c ¡ και
(1) 0 f  και () f e e  .
ΘΕΜΑ 80
α) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  , ¡ που είναι δύο
φορές παραγωγίσιμη στο (α, β), με f ()  f ( )  0 και η οποία
παρουσιάζει ακρότατο σε ένα σημείο x του (α, β). Με ποια προϋπόθεση
0 μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, που f ( )  0;
β) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το ¡ και
f (x)  0, g(x)  0,, για κάθε x¡ , να δειχθεί ότι:
 2
8 f 2 (x)  g 2 (x) 16 f 3 (x)g(x) , για κάθε x¡ .

24. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
( ) ln[ ( )]
 
f x x x
f x x x
lim ( ) 0
x
f f f f
f f f f
   
 
  
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
24
ΘΕΜΑ 81ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [α, β] συνάρτηση f με f (x)  0, για
κάθε   , x  , για την οποία ισχύει: 2 2  ln f ( )  ln f ( )
Να δειχθεί ότι υπάρχει   0 , x  τέτοιος, ώστε
2
0 0
0
0
( )
f x f x
f x
x
 
είναι α,β 
  ¡ .
ΘΕΜΑ 82ο
Δίνεται η συνάρτηση : (1, ) f 
   ¡ για την οποία ισχύει:
( ) 1 ln
( ) ln
 και
( ) e f e  e .
ι) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων των
οποίων οι γραφικές παραστάσεις, με κοινό πεδίο ορισμού το (1,  ), δεν
έχουν κοινά σημεία.
ιι) Να δειχθεί ότι:
1
f x
 

ΘΕΜΑ 83ο
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ¡ ¡ και οι α
ριθμοί α, β, γ, δ για τους οποίους υποθέτουμε ότι α<β<γ<δ και
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )

   
 
. Να δείξετε ότι η εξίσωση
f (x)  0 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.
ΘΕΜΑ 84ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

25. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f x  f x  για κάθε x¡ . Να δειχθεί ότι:
f x
lim ( ) ln 2
x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
25
2 2 1
( ) ( )
4
ι) Η f δεν αντιστρέφεται.
ιι) Υπάρχει ξ (0,1) τέτοιος, ώστε f  (ξ)= 0.
ιιι)
0
2 ( ) 1
lim 0
x  2
x

 .
ΘΕΜΑ 85ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ¡
και για την οποία ισχύει η σχέση
2000 1997 2 [ ( )] 2 ( ) 2(2 1) x x x f  x  xf  x  
για κάθε x  ¡ .
ι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0 0 ( 0) xx , να βρεθεί το
είδος του ακρότατου.( Υπόδειξη: Με κριτήριο 2ης παραγώγου, το οποίο
είναι εκτός ύλης)
Ιι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0, να δειχθεί ότι
0
f x

  .
ΘΕΜΑ 86ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x)  ln f (x), που είναι ορισμένη στο
διάστημα   0, με ( ) 0fx , για κάθε   0, x  και ()f e e  .
Η f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη, με f (x)  0,για κάθε x0, .
ι) Να βρεθεί ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης
f x
ln ( )
( )
 .
( )
g x
f x
ιι) Έστω 0 x το στάσιμο σημείο(σημεία μηδενισμού της 1ης παραγώγου)
της συνάρτησης g . Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών
παραστάσεων των συναρτήσεων ln f (x) και f (x) στα σημεία
1 0 0 M (x , ln f (x )) και 2 0 0 M (x , f (x )) αντίστοιχα, τέμνονται σε ένα
σημείο που βρίσκεται στον άξονα χ΄χ.

26. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
26
ΘΕΜΑ 87ο
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο ¡ και για την οποία
ισχύει: ( ) 2 v v v v f x x x x     , για κάθε x¡
όπου ν είναι φυσικός περιττός αριθμός διάφορος του 1. Να δειχθεί ότι:
Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0.
ΘΕΜΑ 88ο
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο ¡ και για την οποία
ισχύει: f (x  y)  f (x) f (y)xy  x
για κάθε x  ¡ με λ ¡ . Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο
( ) 
( )
0, με f (0)  3 και η συνάρτηση 0
0
( )
f x f x
h x
x x


είναι
συνεχής στο σημείο 0x να δειχθεί ότι η εξίσωση
( ) 1821 4 0 h x x    έχει μία τούλάχιστον ρίζα στο ¡ .
ΘΕΜΑ 89ο
Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο διάστημα [0,1] συναρτήσεις f και g
για τις οποίες ισχύουν:
2 g(x)  f (x) ,
 
g (0) f
(1)
1, ( (1) 0).
(1) (0)
f
g f
 
 
Να δείξετε ότι: .
ι) f (0)  f (1)
ιι) Υπάρχουν   1 2 3  , ,  0,1 τέτοιοι ώστε:
1 2 3 f ( )  f ( )  f ( )  0.
ΘΕΜΑ 90ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β] συνάρτηση f .
Θεωρούμε το σημείο ξ (α,β), που είναι το σημείο που εφαρμόζονται τα

27. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
27
συμπεράσματα των θεωρημάτων μέσης τιμής και Fermat . Να δειχθεί
ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle. Το ίδιο σημείο
είναι σημείο εφαρμογής του συμπεράσματος του θεωρήματος του Rolle
;
ΘΕΜΑ 91ο
Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες στο ¡ συναρτήσεις f και για τις οποίες
ισχύει : f (x) g(x)2( 2)x  0,( ¡ ) . Να δειχθεί ότι η
εξίσωση ( ) 0 gx  έχει μία τουλάχιστον ρίζα πραγματική στις εξής
περιπτώσεις:
ι) 2 2 f (x)  (ax  x  ) ln(x  2000),  0.
ιι) Για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο
διάστημα [κ,μ] και για τον μιγαδικό αριθμό z  2000 f ()i
ισχύει 0 z  .
ΘΕΜΑ 92ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση g , με ( ) 0 gx  , για κάθε
x  ¡ . Να δειχθεί ότι:
ι) Υπάρχει ξ   0,1  τέτοιο, ώστε να ισχύει:
2
 
 
g ( ) e 2
e
g ( )
e e
 


 2


.
ιι) Υπάρχει   1   1,2 , τέτοιο, ώστε
2 4
1 h( )  g(2)(e  e ) , όπου
h είναι κατάλληλη συνάρτηση που ορίζεται από το (ι) ερώτημα.
ΘΕΜΑ 93ο
ι) Να δειχθεί ότι: 4 3 2 3x 8x 6x 24x 19 0 ,για κάθε
x1,.
ιι) Να δειχθεί ότι η εξίσωση: 4 3 2 12x 14x 3x 5  0 έχει μόνο
μία θετική ρίζα.
ιιι) Να δειχθεί ότι: 4 3 2 12x 14x 3x 5  0, για κάθε x1, .
ΘΕΜΑ 94ο
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g , που είναι ορισμένες στο 0,3 και
για τις οποίες ισχύει g(x)  2xf (x), για κάθε x0,3. Αν οι f

28. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης

ff
ff

f x
f f f
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
28
και g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο x0  2 και η f παρουσιάζει
ακρότατο στο σημείο 0 x  2, να δειχθεί ότι: g(2) 2 f(2)
ΘΕΜΑ 95ο
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
διάστημα [α,β] , με ( ) ( ) 0 f x f x   για κάθε x[α,β] . Δίνεται
ακόμα ότι:
( ) ( )
( ) ( )




. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιος,
ώστε να ισχύει ( ) ( ) 0 ff  .
ΘΕΜΑ 96ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο ¡ συνάρτηση f για την οποία
ισχύει:
2 ( )
3 3,
x
x x
e
   με (0) 2 f  .
ι) Να δειχθεί ότι: f (1997)  f(2000) .
ιι) Να δειχθεί ότι για τη συνάρτηση f δεν ισχύει το θεώρημα του
Bolzano σε κανένα κλειστό διάστημα του ¡ .
ΘΕΜΑ 97ο
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,1¡ για την οποία ισχύει:
2 2 (1) (0) 2 (0) 5
( )
2
f x
  
 
για κάθε   0,1 x  . Να βρείτε:
α) τους αριθμούς (0) f και (1) f ,
β) τον τύπο της f .
ΘΕΜΑ 98
1. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,¡ ,
με f (0)  f (0)  0,για την οποία ισχύει f (x)  f (x) για
κάθε x0,Να αποδείξετε ότι:

29. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
x
x  , να αποδείξετε ότι ( ) ,
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
29
α. Η συνάρτηση h :[0,)¡ με τύπο ( ) ( ) x h x f x e  , είναι
γνησίως αύξουσα και
β. Να αποδείξετε ότι η 2 f είναι κυρτή.
2. Να βρείτε τον a   ¡ , αν οι γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων 2 ()f x ax  και ( ) ln g x x  έχουν κοινή
εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο.
ΘΕΜΑ 99
Αν   : 0, f ¡ παραγωγίσιμη συνάρτηση, ώστε η
εφαπτομένη της f C σε τυχαίο σημείο της Μ  0 0 x , f (x ) να
τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ στα σημεία Α  1 ,0 x και Β( 1 0, y ),
με 1
0 2
c
f x c
¡ σταθερά.
x
ΘΕΜΑ 100
1. Αν f συνεχής στο   ,  , με ()f aa και ( ) f    ,
ώστε f (x)  1,x , , να αποδείξετε ότι
f (x)  x, x , .
2. Να αποδείξετε ότι
2
, 0,

2
  

 
   
.
 
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

30. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
30
ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ALIGNIAC
ALIGNIAC 36 44α 70 93β
1 6 37 42α 71 96α
2 8a 38 47 72 100α
3 11αβ 39 148α 73 108α
4 17β/8γ 40 150α 74 109α
5 27 41 151 75 122
6 147β 42 152α 76 123
7 28/124γ 43 155α 77 149
8 29 44 158 78 169β
9 33 45 159 79
10 34 46 165α 80 178α/181β
11 35β 47 166α 81 176β
12 38β 48 177α
100
82 85
13 37γ 49 178α 83 70
14 36β 50 184β 84 52
15 160β 51 179α
16 58β 51 190β
17 39β 52 189α 85 39
18 174γ 53 194α 86 124α
19 54 169β 87 129
20 74α DENIDOVICH
55 10A 88 130
21 196 56 12a 89 139
22 185β 57 14α 90 141β
23 65 58 18αγ 91 142 10
24 78β 59 28α 92 35
25 75β 60 34β 93 30α
26 79α 61 41β 94 31
27 82α 62 46β 95 27
28 93α 63 60α 96 11αβ
29 98 64 61α 97
30 104β 65 66γ
31 100β 66 67α
32 99β 67 72α
33 115β 68 84α

31. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
31
34 122α 69 86β