ANTONIS MARKAKIS

1. «ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΟΥ ΑΓΑΠΗΣΑ»
ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΡΚΑΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι
: (5)ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ
ΘΕΜΑ Α
1.Α Να γράψετε τις ιδιότητες των πράξεων στο σύνολο R των πραγματικών
αριθμών.
5Μονάδες
2.Α α) Ποιες εξισώσεις ονομάζονται διτετράγωνες;
β) Ποια τεχνική ακολουθούμε για την επίλυση μιας διτετράγωνης εξίσωσης;
10Μονάδες
3.Α ,Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο
τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη
Σωστό, ,αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
.λανθασμένη
)α Υπάρχουν σημεία του ορθοκανονικού (καρτεσιανού) συστήματος
συντεταγμένων που δεν βρίσκονται σε κανένα τεταρτημόριό του.
)β Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι πάντα θετικός αριθμός.
)γ Αν η υπόθεση μιας συνεπαγωγής είναι ψευδής και το συμπέρασμά της είναι
αληθές, τότε η συνεπαγωγή αυτή είναι ψευδής.
)δ Αν για τα σύνολα Α και Β είναι { }053xx6xxΑ 22
=+−++∈= R και
{ }015x2x6xxΒ 27
=+−−∈= R , τότε ΒΑ ⊆ .
)ε Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
4
α
xxf(x) 2
+−= , με R∈x και
2
51
1α
+
≥− , δεν εφάπτεται του άξονα x΄x.
10Μονάδες

2. ΘΕΜΑ Β
1.Β Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού x για τις οποίες ο
πραγματικός αριθμός
1x
1x
−
+
είναι τουλάχιστον ίσος με 2.
3Μονάδες
2.Β Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x, με την ιδιότητα
1xx 2
+= .
2Μονάδες
3.Β Θεωρούμε τα σημεία ( )02,αΑ 2
−− και ( )01,βΒ −− με α, β ∈ R.
)α Να γράψετε την εξίσωση της (οριζόντιας) ευθείας που διέρχεται από τα
σημεία Α και Β.
2Μονάδες
)β Να γράψετε τις εξισώσεις των κατακόρυφων ευθειών που διέρχονται από τα
σημεία Α και Β.
2Μονάδες
)γ Να αποδείξετε ότι οι κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Α
και Β βρίσκονται αριστερά του άξονα y΄y.
4Μονάδες
)δ Να αποδείξετε ότι αν τα σημεία Α και Β συμπίπτουν, τότε ο αριθμός α είναι
ρίζα της εξίσωσης 20122011βx2
=++− (1).
5Μονάδες
)ε Αν ισχύει 1β1 ≤≤− και τα σημεία Α και Β συμπίπτουν, τότε να αποδείξετε
ότι η εξίσωση (1) του )δ υποερωτήματος έχει μία διπλή ρίζα και να βρείτε ποια
είναι αυτή. Γράψτε τις συντεταγμένες του σημείου Α.
7Μονάδες
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο
x1
x1
1
1x
x1
1x
1x
f(x)
−
+
−
+
−
+
−
+
= .
1.Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
5Μονάδες

3. 2.Γ Να αποδείξετε ότι
1x
2
f(x)
+
= .
5Μονάδες
3.Γ Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
4Μονάδες
4.Γ Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης x
α
1x
2x
γβxαxg(x)
2
2
⋅
+
+++= , με
7x1 ≤≤ και α, β, γ ∈ R*
, δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x, τότε:
)α Να λύσετε την εξίσωση [ ] [ ]02012
g(x)f(x)1g(x)f(x) −=+− .
2Μονάδες
)β Να αποδείξετε ότι 0α < .
2Μονάδες
)γ Αν το σύνολο { }7x1xΩ ≤≤∈= R είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R,
ώστε να έχει νόημα η συνάρτηση g και είναι
1111
11
1)11111g(1g(1)
+++
−=+++++++ , να βρείτε τον τύπο της g.
7Μονάδες
ΘΕΜΑ Δ
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f (Cf) είναι η παραβολή που
απεικονίζεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x΄x σε δύο
διαφορετικά σημεία Α και Β (όπως φαίνεται στο σχήμα) με 0xx 21
<< . Η Cf
τέμνει και τον άξονα y΄y στο σημείο Γ του σχήματος.
Το σημείο Κ είναι η κορυφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και το
Ο είναι η αρχή των αξόνων.
Είναι γνωστό ότι ο άξονας συμμετρίας της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f είναι η ευθεία ε, με εξίσωση (ε):
4
5
x −= .

4. 1.Δ Τι συμπέρασμα προκύπτει για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f;
1Μονάδα
2.Δ Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το παραπάνω σχήμα και να σχεδιάσετε
επιπλέον την ευθεία ε. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια του σχήματος, να
προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f και να εξηγήσετε
το είδος του ακροτάτου που αυτή παρουσιάζει. Βρείτε τη θέση στην οποία η
συνάρτηση f παρουσιάζει το ακρότατο αυτό.
2Μονάδες
3.Δ )α Να αποδείξετε ότι 





−≤
4
5
ff(x) για κάθε R∈x . Σε ποια περίπτωση
ισχύει το ίσον;
)β Δίνονται τα σημεία ( ) 











−
4
5
f,10fΕ 10
, ( ) ( )( )3f,10fΖ 10
−− , 











−





4
3
f,
4
5
fΗ και
( ) ( )( )21
xf,xfΘ .
Να συγκρίνετε την τετμημένη και την τεταγμένη καθενός από τα παραπάνω
σημεία.
4Μονάδες
4.Δ Να υπολογίσετε το άθροισμα 21
xxS += .
7Μονάδες
y΄
y
x΄ x
ΟΑ
Κ
Γ
Β
Cf
1Μονάδα

5. 5.Δ Έστω επιπλέον ότι οι αριθμοί 1x και 2x ικανοποιούν τη σχέση
4
17
xx 22
21 =+ .
)α Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1
x και 2
x είναι αντίστροφοι.
2Μονάδες
)β Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις 0f(x) = και
2,5
x
2,5
2,5
x
20
+=− έχουν ακριβώς τις
ίδιες λύσεις στο σύνολο R.
Στη συνέχεια, να βρείτε έναν αλγεβρικό τύπο για τη συνάρτηση g(x), τέτοιον
ώστε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g με
τον άξονα x΄x να συμπίπτουν.
4Μονάδες
)γ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β έχουν συντεταγμένες: ( )02,Α − και






− 0,
2
1
Β .
2Μονάδες
)δ Αν ακόμη το σημείο Γ έχει συντεταγμένες: 2)Γ(0, − , να αποδείξετε ότι ο
τύπος της συνάρτησης f είναι ( ) 





+⋅+−=−−−=
2
1
x2x225x2xf(x) 2
και κατόπιν να
γράψετε τις συντεταγμένες (τετμημένη και τεταγμένη) του σημείου Κ.
2Μονάδες

6. 5.Δ Έστω επιπλέον ότι οι αριθμοί 1x και 2x ικανοποιούν τη σχέση
4
17
xx 22
21 =+ .
)α Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1
x και 2
x είναι αντίστροφοι.
2Μονάδες
)β Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις 0f(x) = και
2,5
x
2,5
2,5
x
20
+=− έχουν ακριβώς τις
ίδιες λύσεις στο σύνολο R.
Στη συνέχεια, να βρείτε έναν αλγεβρικό τύπο για τη συνάρτηση g(x), τέτοιον
ώστε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g με
τον άξονα x΄x να συμπίπτουν.
4Μονάδες
)γ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β έχουν συντεταγμένες: ( )02,Α − και






− 0,
2
1
Β .
2Μονάδες
)δ Αν ακόμη το σημείο Γ έχει συντεταγμένες: 2)Γ(0, − , να αποδείξετε ότι ο
τύπος της συνάρτησης f είναι ( ) 





+⋅+−=−−−=
2
1
x2x225x2xf(x) 2
και κατόπιν να
γράψετε τις συντεταγμένες (τετμημένη και τεταγμένη) του σημείου Κ.
2Μονάδες