Δείτε αποκλειστικά από το lisari τα δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά και πολύ γνωστά σχολεία της Αττικής

1. Αθηνών
Γενικό Λύκειο Γ 2017-2018
ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
Θέμα A
Α1.
Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ'ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α,β], τότε
ί β
f(t)dt = 0(β) -G(a)
•
'α
Μονάδες 7
Α2. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό.
«Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Κ, αν για κάποιο χ
0 6 Κ ισχύει
f"(x0) = 0, τότε το χ0 είναι θέση σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f»
α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στην κόλλα σας το γράμμα Α, αν είναι
αληθής ή το γράμμα Ψ αν είναι ψευδής (Μονάδα1)
(Μονάδες 3)β)Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α).
Μονάδες 4
A3. Να γράφετε στην κόλλα σας το γράμμα που αντιστοιχεί στην φράση η οποία συμπληρώνει
σωστά την ημιτελή πρόταση.
Για κάθε αντιστρέψιμη και συνεχή συνάρτηση f:[α, β] 1 αν γ μεταξύ των f(a), f(β) ,τότε
α) η εξίσωση f(x) = γ είναι αδύνατη στο (α,β)
β) η εξίσωση f(x) = γ έχει τουλάχιστον μια λύση στο (α,β)
γ) η εξίσωση f(x) = γ έχει μοναδική λύση στο (α,β)
δ) δεν μπορούμε ναβγάλουμε συμπέρασμα για το πλήθος λύσεων της εξίσωσης f(x) = γ
Μονάδες 4
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4

2. Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα
notj αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναισωστή ή Λάθος αν η πρόταση
είναι λανθασμένη.
α) Λν η συνάρτηση 1 είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναιαντιστρέψιμη τότε υπάρχει κλειστό
διάστημα [α,β] στο σποίο εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle για τη συνάρτηση f.
β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] με f(a)>0 και υπάρχει ξ e (α,β) με Γ(ξ) = 0 τότε
κατ'ανάγη θα ισχύει ί(β)<0
β Υ
γ) Αν για την συνεχή συνάρτηση f στο R ισχύειf f(x)dx = fa f(x)dx τότε θα ισχύειβ=γ
Λ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο [α,β],τότε η f δεν έχει ακρότατα στο [α,β]
ίίϊ]ε) Αν για την συνάρτηση f ισχύει lim e R* ,τότε η γραφική παράσταση της f έχει πάντα
*-»
— χ
πλάγια ασύμπτωτη στο +<»
Μονάδες 10
θέμα Β
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f στο
διάστημα [0,3J,
= (3, 9)
β
β
?
22Q3&-4 -2 0 4
V
I- 2
m
Αν για την f γνωρίζουμε επιπλέον ότι
2 | 4
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. • π f είναιδύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,3)
• f(0) = 0
" •(©,)= •(©;)=
^2Ê}= 3
Β1.Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία καινα βρείτε το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 5
Β2.Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείως καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f
Μονάδες 6
f(x)Β3.Να υπολογίσετε τα όριο lim
χ->3 χ 2
- 3χ
Μονάδες 7
Β4.Να αποδείξετε ότιυπάρχουν ξ1( ξ2 6 (1,3) με ξχ Ψ ξ2 τέτοια ώστε f'(ξ2) = —2f'(
^)
Μονάδες 7
Θέμα Γ
Δίνεταιη παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [1,+οο) —» Πδ.,για την οποία ισχύουν
• xf'(x) + 2x2
lnx = 2x2
f(x) + ex ,για κάθε χ > 1
• f'(l) = 3e
• f(x) > χ2
+1,για κάθε χ > 1
Γ1. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα στο διάστημα [1,+°ο)
Μονάδες 10
Γ2.Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του πραγματικού αριθμού κ έτσιώστε η εξίσωση f(x) = κ,να μην
είναιαδύνατη.
Μονάδες 7
Γ3. Να δείξετε ότι f(x) > 2χ2
+lnx,για κάθε χ > 1
Μονάδες 8
Θέμα Δ
Δίνεταιη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: Μ. -» Κ* ,για την οποία ισχύουν
. f(o)=i, f'(0)=-i
• f(x) f"(x) - 2[f'(x)]2
= -exf3 (χ),για κάθε x £ R
3 | 4
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4. 1
Δ1. Να αποδείξετε όχι f(χ )= , χ e R
ex + 1
Μονάδες 8
Δ2. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της
γραφικής της παράστασης
Μονάδες 5
af'(a)- f(2a)+ f(a) 4f(a)+a - 2 _
^Δ3. Αν α>0, να δείξετε ότι η εξίσωση
χ - 2χ - 1
έχει μοναδική λύση στο διάστημα (1,2)
Μονάδες 5
Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f, τους άξονες χ'χ και y'y και την ευθεία χ=λ με λ>0 (Μονάδες 5 ) και να
υπολογίσετε το lim Ε(λ) (Μονάδες 2 )
λ->-κο
Μονάδες 7
ΟΔΗΓΙΕΣ (via τους εξεταζομένους )
1. Στο τετράδιο να γράψε.τε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία,
εξεταζόμενο μάθημα ). Να unv αντιγράφετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράφετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να νράφετε καμιά άλλη
σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο
και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Να γράφετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και
πίνακες.
5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ.
6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μιάμιση ώρα (1,5 ώρες) μετά την διανομή
των φωτοαντιγράφων.
ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
4 | 4
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4

5. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ’ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ’ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 2018
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η 𝑓 είναι συνεχής στο
Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ ισχύει 𝑓′
(𝑥) = 0, να αποδείξετε ότι
η 𝑓 είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 8
Α2. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Αν η συνάρτηση 𝑓 στρέφει τα κοίλα άνω στο ℝ με 𝑥1 < 𝑥2 τότε
𝑓′
(𝑥1) < 𝑓′
(
𝑥1 + 𝑥2
2
) < 𝑓′
(𝑥2)».
α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο
τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ,
αν είναι ψευδής. (μονάδα 1)
β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3)
Μονάδες 4
Α3. Δίνεται συνάρτηση 𝑓 ορισμένη στο ℝ. Πότε η ευθεία 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝛽 λέγεται
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της 𝑓 στο +∞; Μονάδες 3
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5

6. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ’ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν ισχύει lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = −∞ τότε 𝑓(𝑥) < 0 για τις τιμές του 𝑥 κοντά
στο 𝑥0.
β) Αν η συνάρτηση 𝑓 ∶ (𝛼, 𝛽) → ℝ είναι συνεχής και μη σταθερή, τότε το
σύνολο τιμών της είναι πάντα ανοικτό διάστημα.
γ) Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑅 και δεν είναι αντιστρέψιμη,
τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [𝛼, 𝛽] στο οποίο η 𝑓 ικανοποιεί τις
προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle.
δ) Η πλάγια και η οριζόντια ασύμπτωτη μπορούν να τέμνουν τη γραφική
παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα ή περισσότερα σημεία.
ε) Αν 𝑓, 𝑔 είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [𝛼, 𝛽] για τις οποίες
ισχύει ∫
𝛽
𝛼
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝛽
𝛼
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 τότε ισχύει πάντα 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση 𝑓 με τύπο 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 −
√
1 − 𝑥.
Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 𝑓 και να δείξετε ότι η 𝑓 αντιστρέφεται.
Μονάδες 6
Β2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 𝑓 και τις ασύμπτωτες της γραφικής της παρά-
στασης.
Μονάδες 7
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5
x0

7. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ’ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
Β3. Να υπολογίσετε το όριο: lim
𝑥→0
(𝑥2
𝑓−1
(𝑥)).
Μονάδες 5
Β4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα-
ράσταση της 𝑓, τον άξονα 𝑥′
𝑥 και τις ευθείες 𝑥 =
1
𝑒
, 𝑥 = 1.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Η συνάρτηση 𝑓 ∶ (0, +∞) → ℝ είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν:
• 𝑓(1) = 1 και
• 𝑥2
𝑓′
(𝑥) = 2𝑥2
− 𝑥𝑓(𝑥) − 1 για κάθε 𝑥 > 0
Γ1. Να δείξετε ότι:
𝑓(𝑥) =
𝑥2
− ln 𝑥
𝑥
, 𝑥 > 0.
Μονάδες 6
Γ2. Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το
σύνολο τιμών της.
Μονάδες 6
Γ3. Να δείξετε ότι:
∫
2
1
2
ln 𝑥
𝑥 𝑑𝑥 ≤
1
ln 2
, 𝑥 > 0.
Μονάδες 7
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5

8. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ’ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
Γ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική
παράσταση της 𝑓, την πλάγια ασύμπτωτή της στο +∞ και την ευθεία 𝑥 = 𝑒.
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓 ∶ (0, +∞) → ℝ για την οποία ισχύουν:
• ∫
𝑓(1)
0
𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 0
• 𝑓(𝑒 𝑓′
(𝑥)
) + ln [𝑥 ⋅ 𝑓′
(𝑥)] = 𝑓 (𝑒
1
𝑥 ) για κάθε 𝑥 > 0
Δ1. Να δείξετε ότι:
i) 𝑓(1) = 0 (μονάδες 3)
ii) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥, 𝑥 > 0 (μονάδες 5)
Μονάδες 8
Δ2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό 𝑘 > 𝑒 , ώστε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από την γραφική παράσταση της 𝑓, τον άξονα 𝑥′
𝑥 και τις ευθείες
𝑥 = 𝑘 και 𝑥 = 𝑘2
, να είναι ίσο με 15 ln 3 − 6.
Μονάδες 6
Δ3. Να δείξετε ότι για κάθε 0 < 𝛼 < 𝛽 υπάρχουν 𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝛼, 𝛽)
τέτοια ώστε:
𝑓 [(
𝛼 + 𝛽
2
)
𝑥1+𝑥2
] = 𝑥1 𝑓(𝛼) + 𝑥2 𝑓(𝛽).
Μονάδες 5
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5

9. ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ’ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
Δ4. Ένα κινητό Μ κινείται στην καμπύλη 𝑦 = 𝑓(𝑥). Καθώς το Μ περνάει από το
σημείο 𝐴 (
√
𝑒,
1
2
) η τετμημένη 𝑥 ελαττώνεται με ρυθμό 2 μονάδες/sec. Να
βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας ̂𝜃 = Μ ̂𝑂𝑥, τη χρονική στιγμή που το
κινητό Μ διέρχεται από το σημείο Α (όπου Ο η αρχή των αξόνων).
Μονάδες 6
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώ-
φυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην
αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το
εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη
γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν
θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να πα-
ραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με
μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει
η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ .
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 10.30 π .μ.
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
17.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5