Επιμέλεια: Εκπαιδευτήρια Δούκα αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. 1
Σχολικό έτος 2019-2020
Τάξη : Α΄ Λυκείου
Μάθημα : Άλγεβρα
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ A Μονάδες 15+10=25
A1. Να αποδείξετε ότι:     =  με α, β  .
A2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην
κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί
σε κάθε πρόταση:
1. Η εξίσωση 0x  + = για κάθε α,β έχει λύση την : x


= − .
2. Αν α<β<0 τότε ισχύει :
α β

1 1
.
3. Η εξίσωση x x x x− = − είναι ταυτότητα στο
4. Για κάθε α,β ισχύει ότι α β α β+ = +
5. Αν α β  0 τότε : α β α β = 
21.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 6

2. 2
ΘΕΜΑ B Μονάδες 9+8+8=25
Β1. Να λύσετε την εξίσωση:
k k k
k k k k
+ − −
+ − =
− −
2
2
2 1 3 1 2
0
1
Β2. Να λύσετε την εξίσωση:
2
( 2) 2 2 3 0 − + − − =
Β3. Αν για τους λ,k που βρήκατε στα ερωτήματα Β1 και Β2 ισχύει επιπλέον
ότι : (α k) β λ γ− + − − + =2
2 0, να βρείτε τους α,β,γ.
ΘΕΜΑ Γ Μονάδες (6+4)+8+7=25
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύουν :
α α α−  −
3 2
1 (1) και β − 3 1 (2) , να δείξετε ότι :
Γ1. Ισχύει : -1<α<1 και 2<β<4
Γ2. Η τιμή της παράστασης:
Ν α β α β= + − + + − −2 2 2
2 3 5 1 είναι θετική.
Γ3. Η απόσταση των αριθμών 2α και 3-β είναι μικρότερη του 3.
21.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 6

3. 3
ΘΕΜΑ Δ Μονάδες (3+7)+(5+5)+5=25
Δίνεται η εξίσωση
2 2
4 ( 4 5) ( 5) (2 ) +  − =   + + x x x x  ως προς x
με παράμετρο τον πραγματικό αριθμό λ.
Δ1. i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
(4 λ) (4 λ) x 5 (4 λ)−  +  =  + (1)
ii) Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ να λύσετε την εξίσωση.
Δ2. i) Να βρείτε για ποια/ποιες τιμές (αν υπάρχουν) της παραμέτρου λ
η εξίσωση έχει λύση x 5= .
ii) Να βρείτε για ποια/ποιες τιμές (αν υπάρχουν) της παραμέτρου λ
η εξίσωση έχει μοναδική λύση
5
8
x = .
Δ3. Αν x ,x1 2 οι μοναδικές λύσεις της εξίσωσης (1) που προκύπτουν για τις
τιμές λ ,λ1 2 της παραμέτρου λ με λ λ+ =1 2 8, να αποδείξετε ότι x x+ =1 2 0
Μαρούσι 16 - 01 - 2020
Οι καθηγητές Ο Διευθυντής
21.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 6

4. 1
Σχολικό έτος 2018-2019
Τάξη: Α΄ Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Μαΐου 2019
ΘΕΜΑ A Μονάδες (7+8)+10=25
Α1. Αν η εξίσωση 2
αx βx γ 0+ + = με α 0 και α,β,γ έχει δύο λύσεις 1 2x ,x να
αποδείξετε ότι : 1 2
β
x x
α
+ = − και 1 2
γ
x x
α
= .
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο
απαντήσεών σας τη λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε
κάθε πρόταση.
1. Το τριώνυμο
2
f(x) αx βx γ= + + με ρίζες 1 2x ,x , 1 2(x x ) είναι ομόσημο του α
στο διάστημα 1 2(x ,x ).
2. Τα σημεία Α(α,β) και Β(α,β) είναι συμμετρικά ως τον άξονα χ’χ.
3. Ένα σημείο Κ(μ,ν) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y=f(x) αν και
μόνο αν ισχύει f(μ)=ν.
4. Αν οι ευθείες 1 1 1(ε ): y α x β= + και 2 2 2(ε ): y α x β= + είναι παράλληλες τότε
1 2α α= .
5. Αν α β τότε α β α− .
Σχολικό έτος: 2019-2020
Τάξη : Γ Λυκείου
Μάθημα : Μαθηματικά προσανατολισμού
Διαγώνισμα εξοκείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = xν
, ν ∈ N − {0, 1} είναι παραγωγίσιμη στο R και
ισχύει f (x) = ν · xν−1
Μονάδες 7
Α2. ΄Εστω f μία συνάρτηση και A(x0, f(x0)) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης . Αν η f
είναι παραγωγίσιμη στο x0 να δώσετε τον ορισμό της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f στο σημείο Α.
Μονάδες 4
Α3. Δίνεται ο παρακάτω ισχυρισμός:
῾῾Κάθε συνάρτηση που είναι 1-1 είναι και γνησίως μονότονη᾿᾿
(αʹ) Να χαρακτηρίσετε τον παρακάτω ισχυρισμό ως ΑΛΗΘΗ ή ΨΕΥΔΗ.
(βʹ) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο (α) ερώτημα.
Μονάδες 6
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων δίπλα
στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή
ή ΛΑΘΟΣ , αν η πρόταση είναι λανθασμένη
(αʹ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g συνεχής στο f(x0) τότε
και η συνάρτηση f ◦ g είναι σε κάθε περίπτωση συνεχής στο x0.
(βʹ) Αν για μία συνάρτηση f : [a, β] → R και για τον πραγματικό αριθμό k ισχύει
f(a) < k < f(β) , τότε πάντα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ (a, β) ώστε f(x0) = k.
1
21.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 6

5. (γʹ) Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 , τότε για καθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της , η
εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x.
(δʹ) Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο [a, β] , τότε η f παίρνει μία μέγιστη τιμή M και
μία ελάχιστη τιμή m.
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln
1 − x
1 + x
και g(x) = −
ex
ex + 1
Β1. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της συνάρτηση .
Μονάδες 8
Β2. (αʹ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f−1
και g.
Μονάδες 6
(βʹ) Να βρείτε το lim
x→+∞
(f−1
(x) − g(x))
Μονάδες 3
Β3. Να αποδείξετε ότι η f ◦ g ορίζεται (μονάδες 4) . Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα
lim
x→−∞
(f ◦ g)(x) και lim
x→+∞
(f ◦ g)(x) (μονάδες 4)
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη και συνεχή στο ∆ = [0, 2] με f(∆) = [0, 4] για την οποία
ισχύει lim
x→0
x · f(x) − ημ2x
συνx + x − 1
= −1
Γ1. (αʹ) Να αποδείξετε ότι f(0) = 1
Μονάδες 4
(βʹ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη.
Μονάδες 6
Γ2. (αʹ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης K(x) = f(
√
x) + f(x)
Μονάδες 3
2
21.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 6

6. (βʹ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Κ τέμνει την ευθεία y = 4x
σε ένα τουλάχιστον σημείο M(x1, y1) με x1 ∈ (0, 2) .
Μονάδες 5
Γ3. Αν η συνάρτηση g(x) = |x − 1|f(x) , x ∈ [0, 2] είναι παραγωγίσιμη στο x = 1 , τότε να
αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x = 1 .
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει:
f2
(x) − 2f(x) = (x4
+ 4x2
)2
− 1 για κάθε x ∈ R με f(−1) = f(1) = 6
Δ1. Να δείξετε ότι f(x) = x4
+ 4x2
+ 1 , x ∈ R
Μονάδες 7
Δ2. Να υπολογίσετε το όριο lim
x→0
xημ
1
x
+ 1
συνx − f(x)
Μονάδες 5
Δ3. Αν a > 1 , να αποδείξετε ότι η ευθεία ε με εξίσωση y = a τέμνει τη γραφική παράσταση της
f σε δύο ακριβώς σημεία με αντίθετες τετμημένες.
Μονάδες 6
Δ4. Να βρείτε τα σημεία του άξονα y y από τα οποία δε διέρχεται εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f.
Μονάδες 7
Μαρούσι 9-1-2020
Ο Διευθυντής Οι καθηγητές
3
21.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 6