1. 1
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΑΝΑΛΥΣΗ
ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΡΕΙΣ (3) ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ Α
Θεωρούμετους μιγαδικούςαριθμούς wz, για τουςοποίους ισχύει | 𝑧| = 1 και
2
21



z
z
w .
α) Να βρείτετο γεωμετρικότόποτωνεικόνων του μιγαδικούαριθμού w στομιγαδικόεπίπεδο.
β) Να αποδείξετεότιισχύει 









2
2
Re1
2
)( 2
z
zwz
.
γ) Να βρεθούνοι μιγαδικοίαριθμοί wz, για τουςοποίους το |𝑧 − 𝑤| γίνεταιμέγιστο.
Μονάδες(8+8+9)
ΘΕΜΑ Β
Δίνoνταιοι μιγαδικοίαριθμοί 𝑧, 𝑤 καιη συνεχήςσυνάρτηση 𝑓 για την οποία ισχύει:
𝑓( 𝑥) = {
𝑒 𝑥+1 + | 𝑧 + 𝑤|2 𝑥 − 2, 𝑥 ∈ (−∞,−1)
2𝑥2 − | 𝑧 − 𝑤|2, 𝑥 ∈ [−1,0)
| 𝑧 − 𝑤|2 𝜂𝜇𝑥− 7𝜎𝜐𝜈𝑥 + 2 ln( 𝑥 + 1), 𝑥 ∈ [0, +∞)
Επίσης, ο γεωμετρικόςτόποςτων εικόνωντουμιγαδικούαριθμού 𝑧 στομιγαδικόεπίπεδο,περιγράφεταιαπότη
σχέση 2𝑥2 + 2𝑦2 = 5.
α) Να βρείτετο γεωμετρικότόποτωνεικόνων του μιγαδικούαριθμού 𝑤 στομιγαδικόεπίπεδο.
β) Να βρείτετηνμέγιστηκαιτην ελάχιστηαπόστασητων δύοπαραπάνωγεωμετρικών τόπων των μιγαδικών
αριθμών 𝑧, 𝑤 στο μιγαδικόεπίπεδο.
γ) Να δείξετεότιισχύει | 𝑤 + 2| = |4𝑤 + 2|.
Μονάδες(10+9+6)

2. 2
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεταιο μιγαδικόςαριθμός z με 3)(  ze και η δύοφορέςπαραγωγίσιμησυνάρτηση :f ,για την
οποία ισχύει, )('' xf >0 και )2()1( 22
 xfxf )1( , με )3()2( ff  καιη συνάρτηση





 








 x
x
x
z
zz
xg
1
|1|
|23|||
)(
2
, με *
x .
α) Να βρείτετις ρίζες 21, xx της εξίσωσης )1( .
β) Για τις παραπάνωρίζες 21, xx της εξίσωσης,να δείξετεότιισχύει 0)()( 21  xgxg .
γ) Να βρείτετομέτροτου μιγαδικούαριθμού z ,αν το σημείο 𝑀(1,0) ανήκειστηγραφικήπαράσταση 𝐶 𝑔 της
συνάρτησης g .
δ) Να αποδείξετεότι 2)1( g .
Μονάδες(8+5+5+7)
ΘΕΜΑ Δ
Θεωρούμετους μιγαδικούςαριθμούς 𝑧 = 𝑎 + 𝛽𝑖 με 𝑎, 𝛽 ∈ ℝ, καθώςκαι τη δύοφορέςπαραγωγίσιμησυνάρτηση
𝑓: ℝ → ℝ, για την οποία ισχύει, η σχέση
3𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥| 𝑧 − 𝑒 𝑎+𝛽| + 2015, με 𝑓(𝑥) ≠ 0.
α) Να αποδείξετεότιη συνάρτηση 𝑓 διατηρείσταθερόθετικόπρόσημοστο ℝ.
β) Να αποδείξετεότιησυνάρτηση 𝑓 είναιγνησίωςαύξουσα στο ℝ.
γ) Αν η συνάρτηση 𝑓 παρουσιάζειστηθέση 𝑥0 = 0 εφαπτομένημεεξίσωση:
𝑦 = 𝑥 +
3
2015
και ισχύει ότι 𝛼 + 𝛽 = 1, να βρείτετογεωμετρικότόποτων εικόνων τουμιγαδικούαριθμού 𝑧 στο
μιγαδικόεπίπεδο.
δ) Να υπολογίσετετοπαρακάτωόριο:
lim
𝑥→0
𝑒
𝑓′′( 𝑥)−𝜂𝜇( 𝑓′′( 𝑥))−1−2𝑥2
√1 + (2𝑥)3 − 1
ε) Να υπολογίσετετα παρακάτωολοκληρώματα:
𝛪 = ∫
𝑥2
(𝜎𝜐𝜈𝑥+ 𝑥𝜂𝜇𝑥)2 𝑑𝑥
𝜋
0
𝐽 = ∫ √ln(𝑥 + 1)𝑑𝑥
𝑒 𝑒2−1
𝑒−1
+ ∫ ( 𝑒 𝑥2
− 1) 𝑑𝑥
𝑒
1
Μονάδες(5+5+5+5+5)