1. Γ Λυκείου
4ο ΓΛΧ
2015 ‐ 2016
M.Ι.Παπαγρηγοράκης
Χανιά
[Μαθηματικά]
και Στοιχεία Στατιστικής
15.07

2. Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου
Γενική Παιδεία
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
Έκδοση 15.07
Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου
προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της
Μίλτος Παπαγρηγοράκης
Μαθηματικός MEd
Χανιά 2015
Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

3. Γ Λυκείου –
1 ΣΥΝ
1.01 Βρ
συναρτήσεω
Γ)   x
4x
f x
e

Ε)  
x
f x
x

Ζ)  f x
x


1.02 Να
συναρτήσεω
 k x 12 
 r x x 
1.03 Να
των: Α) f
Γ) f
Ε) s
1.04 Να
όταν: Α) f
Β)  f x 1 
1.05 Να
με τις γραφι
A)  f x 2
Γ)  f x l
1.06 Η
3
f(x) αx 5 
τα σημεία 
και να λυθεί
Μαθηματικά
ΝΑΡΤΗΣΕ
ρείτε τα πεδία
ων Α) f(x) l
x
2
1


x 1
x 1


5
3 1 
α βρείτε τα π
ων:   2
1
f x
x

2
x x 
2
x 1
α γίνουν οι γ

1
x
x
 
 x
x e 2 
x ln x 
α ορίσετε τις
  x ln x 1 
2
x x 1, 
α βρείτε τα κ
ικές παραστά
3 2
2x x 5x  
 ln 2 x
γραφική παρ
2
5x β x 1 
2,25 και 1
ί η ανίσωση
ά Γενικής Παι
ΕΙΣ
α ορισμού τω
2
og(9 x ) Β
Δ)  f x
η

Στ)  g x 
Η) f(x) 
πεδία ορισμού

1
ln x 2
x
 

x
φ(x)
ln x

 t x log(2
γραφικές πα
Β) p
Δ) g
Ζ) g
συναρτήσεις
1 και  g x
,4 και g x
κοινά σημεία
άσεις των συν
2 B f
Γ f
ράσταση της
, α,β R , δ
1,0 . Να βρε
f(x) 0
ιδείας
ων
Β) f(x) 1 
2εφx
ημx ημ2x
2x² 5x
x 4


1 ln x
ύ των
2
2 log x)
αραστάσεις
 p x x 1  
  2
g x 1 x 
 g x 2ημx
ς f g ,
f
g
4 x 
x x
α των αξόνων
ναρτήσεων
  x 2
x e 1
 
 x ημ2x
ς συνάρτησης
ιέρχεται από
εθούν οι α, β
x
ν
1
ς
ό
1
γρ
f
1
ώ
1
ση
1
f
1
f
1
2
1
y
1
Ν
απ
α
1
συ
h
λ
.07 Να β
ραφικών πα
  3
x x x  κ
.08 Αν f
στε η fC να
.09 Αν
ημείων Α1,
.10 Αν f
1
f(x)
x
 
  
 
κ
.11 Για μ
   2
x f x 
.12 Για μ
 
1
f x 3f
x
 
  
 
.13 Να β
 2
y λ 2λ x 
.14 Δίνε
Να βρεθεί το π
ποδείξετε ότι
fα,β D
.15 Nα ε
υναρτήσεων
  2x 1
h x e 

  2
λ x x
βρεθούν τα κ
αραστάσεων τ
και   2
g x x
 f x α x 
διέρχεται απ
 
2
f x
x
 , να
,f(1) και Β 
 
x 1
f x
x 1



και
1
f
x
 
  
 
μια συνάρτη
x , x R να
μια συνάρτη
2
x



, x  0. Ν
βρείτε το λ 
x 1 και y  
εται η συνάρτ
πεδίο ορισμο
ι    f α f β
εξετάσετε την
 f x 2x 
κοινά σημεία
των συναρτή
2
1
3 τότε να βρ
πό το M 4,2
α βρεθεί η απ
 1,f( 1) 
τότε να απο
1
f(x)
 
ηση f ισχύει
βρείτε τα f
ηση f ισχύει
Να βρείτε το
R αν οι ευ
1 είναι παρ
τηση  f x 
ού της f και ν
α β
f
1 αβ
 
  
 
γ
ν μονοτονία
2 g x
 
2
k x ,
x


 μ x x 1 
α των
ήσεων
ρεθεί το α

πόσταση των
δείξετε ότι
0 ,  f 1
ο  f 2
θείες
ράλληλες
1 x
log
1 x


.
να
για κάθε
των
  x ln 1 x 
x>0
1
3

4. 4
http://users.s
Όρια - Συν
1.16 Nα
A)
x
lim

Γ)
x
lim

1.17 Nα
Α)
t
lim

1.18 Nα
Α)
3
3x 1
x x
lim
x x


Γ)
3
x 1
x 5
lim


1.19 Nα
Α)
π
x
2
σ
lim
1 
Γ)
x 3
lim
x 
1.20 Nα
Α)
2
2x 1
x
lim
x
Γ)
x 3
lim
2 x 
1.21 Nα
Α) 3x 0
lim
x 
Γ)
x 2
lim

2
x
x
1.22 Nα
Α)
x
lim

Γ)
x
lim

sch.gr/mipapa
νέχεια
α υπολογίσετ
2
3
x 9
m
x 3


3
1
x 1
m
x 1


α υπολογίσετ
3 2
2
t 4t 4
m
(t 2)(t 3
 
 
α υπολογίσετ
2
2
x 2x 2
x 3x 3
 
 
2
2
5x 8x 4
x 1
 

α υπολογίσετ
3
2
υν x
ημ x
2
x 9
1 7 x

  
α υπολογίσετ
4x 3
x 2 2
 
  
3 x
6 3 x 1

  
α υπολογίσετ
x
1 1 
5 x 1
x 2 x
  
 
α υπολογίσετ
0
x
m
x 3 3  
2
x 2
m
2 x


agr
τε τα παρακά
B) 2x 3
(x
lim
x

Δ)
2
2x 5
x
lim
x


τε τα παρακά
4t
3)
Β)
x
l
τε τα παρακά
Β)
x 2
x
lim
x
Δ)
x 2
lim

τε τα παρακά
Β) 2x 4
3
lim
x

Δ)
x 4
x 1
lim


τε τα παρακά
Β)
x
li

Δ)
x
li

τε τα παρακά
Β)
x
li

Δ)
x
li

τε τα παρακά
3
Β)
x
l
Δ)
x
li

άτω όρια:
2
3)
9


7x 10
2x 15
 
 
άτω όρια:
x 2
im

2
2
x 5x
x 4
 

άτω όρια:
5
4
x 32
x 16


3
x 3x 2
x 2
 

άτω όρια:
2
x 5
16


1 x 5
x 4
 

άτω όρια:
25
x x x 5
m
x 6x 5

 
21
3 x 3
im
x x


άτω όρια:
2
1
x 3x 2
m
x 4 x 3
 
 
20
x 5 5
im
x 4 4
 
 
άτω όρια:
x 5
x 5
im
x 5


2
2x 4
im
2 2x


6
5
5
2
3
5
4
1
Α
Γ)
1
Α
Γ)
1
Α
Ε)
1
Α
Γ)
1
Α
Γ)
1
Α
συ
Β)
ώ
.23 Nα υ
Α)
x 1
lim

)
x 1
lim

.24 Nα υ
Α)
x 2
x 7
lim
x 2


)
x 1
lim

2
x
x

.25 υπολ
Α)
x 0
lim

1 x
x

)
2
2x 4
x
lim
2x


.26 Nα υ
Α)
2
x 5
x 3
lim
2( x


)
x 0
lim

1 x
.27 Nα υ
Α)
x 3
lim
 2
x 
) 2x 3
x 1
lim
x

.28 Αν f
Α) Να β
υνάρτησης
) Να β
στε η συνάρτ
υπολογίσετε
2
2
1 x
x 3 2

 
Β
2
x 1
x 1


Δ
υπολογίσετε
3
2

Β
3 2x
1
 

Δ
λογίσετε τα π
x 1
Β
3x 8
7x 4


Σ
υπολογίσετε
x 10
4 3)

 
Β
1 x
x
 
Γ
υπολογίσετε
2
x 9
3x x 3

  
x 1
9
 

2
16 x
f(x) 4 x
α 2
 

 
 
βρεθεί το πεδ
βρεθεί ο πρα
τηση να είνα
τα παρακάτ
Β) 2x 4
x 2
lim
x 1


Δ)
2
x 3
x 9
lim
x 3


τα παρακάτ
Β)
x 0
x²
lim
4 x 
Δ)
x 3
x
lim
x 1 
παρακάτω όρ
Β)
2
x 7
x
lim
x²

Στ)
2
x 3
x
lim
x

τα παρακάτ
Β)
2
x 2
2x
lim
x


Γ)
x 5
lim

2x
5


τα παρακάτ
Β)
x
lim

2
x
x 4
x
2α x 4


δίο ορισμού
αγματικός αρ
αι συνεχής στ
Ανάλυσ
τω όρια:
2
6
9
3
τω όρια:
²
x² 2
3
1 x 1

 
ρια:
7x
7


4x 3
3
 

τω όρια:
3x 2
2x

10
5x
τω όρια:
3
x 3
m
x 1 2

 
τότε
της
ριθμός α
το 4
ση

5. Γ Λυκείου –
Πράγωγος
1.29 Ν
συναρτήσεω
A)  f x 2x
B)  f x x 
Δ)  f x 3 
Στ)   2
f x x
Η)  
x
f x
x

1.30 Να
συναρτήσεω
Α)  
2
f x
x

Γ)  f x 3η
Ε)   f x x x
Στ)  
x
f x 
1.31 Να
συναρτήσεω
A)  
2
3
e
f x
e

Γ)  f x ln
Ε)  
1
f x η
3

Ζ)  f x ημ
1.32 Να
συναρτήσεω
Α)  f x ημ
Β)  f x ln
Δ)  f x xe



1.33 Να
συναρτήσεω
Μαθηματικά
ς – Κανόνε
α βρείτε τις π
ων:
3 2
x 3x x  
ln x
2ημx συνx 
2 x
ημx e ημx
x
2xe
α
1


, α 
α βρείτε τις π
ων:
2
1 3
x x
 
2
ημxσυνθ x
2 3
x 1 x 2 
2
x
x α
e

,α R
α βρείτε τις π
ων:
x
x
1
1


n(x² e)
3 21
ημ x συν
2

 μ συν2x
α βρείτε τις π
ων:
  μ 2x συν 2
x
e 1
x
 
  
 
1
x
 
 
 
α βρεθεί η δε
ων   3
f x x ln
ά Γενικής Παι
ες παραγώγ
πρώτες παρα
ln 2
Γ) f x
x Ε) f x
x Ζ) f x
R Θ) f x
πρώτες παρα
Β) f
, θ R Δ) f(
2x ημθ , 
R ` Ζ) f
πρώτες παρα
B) f
Δ) f
2
x Στ) f
Η) f
πρώτες παρα
2x 3
Γ)  
1
f x
2

Ε)  f x
1

εύτερη παράγ
n x και g(x)
ιδείας
γισης
αγώγους των
 2
x x ln x
 3
x 2 x x 

 2
2
x x 1
x
x 1




2
x
x
x 1


γώγους των
  2
x ln x
x
x 1



x
x
(x)
e 1


R
 
xημx
x
1 εφx


γώγους των
 
x
4x
e
x
1 2e


 x εφx
  2
f x x συν
  x ln ln x
γώγους των
 x x
e e

ημx
συνx
γωγος των
) ln(ημx)
ν
x

x
1
ν
x
x
1
συ
x
2
f
1
x
A
B)
1
Ν
f
1
ώ
1
ευ
χρ
Α
Β)
1
όρ
1
όρ
1
1
h
li
.34 Αν f
υναρτήσεις σ
R , να απο
 2
x g (x) g 
.35 Έστω
R
A) Nα α
) Λύσ
.36 Έστω
Να βρείτε: Τις
   x 2f x 
.37 Βρεί
στε να ισχύε
.38 Η θέ
υθύγραμμη κ
ρόνου t από
Α) Τη μέση τα
) Τη στιγμια
.39 Αν f
ριο

h 0
f 1
lim


.40 Αν f
ριο

x 0
f x
lim


.41 Αν f
.42 Να υπ
1 h
0
e e
im
h



,
f,g είναι πα
στο R και ισχ
οδείξετε ότι
  2
g(x) g x
ω η συνάρτη
αποδείξετε ότ
τε την εξίσωσ
ω η συνάρτη
ς τιμές του α,
 3f x , για
ίτε πολυώνυμ
ι  P 0 1 , P
έση ενός κινη
κίνηση δίνετα
τον τύπο S
αχύτητα του
αία ταχύτητά
 2
x x x  
  h f 1
h
 
 x
x x e e  
1 1
x
 
x ln x 1  β
πολογίσετε τα
x 1
x 0
e e
lim
x



,
αραγωγίσιμες
χύει:
1
f(x) g

 f (x) f(x) 
ηση 2
f(x) e
ότι f (x) 4f( 
ση
1
f(x) f
2

ση f με  f x
, ώστε να ισχ
α κάθε x  R.
μο  P x δευτέ
 P 1 6 , P
ητού που εκτ
αι συναρτήσ
  2
t 3t t  .
κινητού στο
ά του όταν t 
1 να υπολ
e να υπολογ
βρείτε το
x
lim

α όρια
,
x 0
x
lim


 

ς
x
1 1
g(x) e
 ,
x 2x
e
 ,
x)
2
x
f (x) 2e 
αx
e , α R 
χύει η σχέση
έρου βαθμού
 0 3 
τελεί
σει του
Να βρείτε:
ο  2,4
3
ογίσετε το
γίσετε το
 
0
f x 1 1
m
x
 
1
2
x
 
 

5
.
ύ

6. 6
Παράγωγο
1.43 Να
παράστασης
εφαπτόμενες
Α) 2
f(x) x
1.44 Αν
να βρείτε τα
της g να έχε
των x στα ση
1.45 Αν
βρείτε τις εξι
γραφικής πα
στην ευθεία
1.46 Έσ
x R . Να β
fC , που σχη
1.47 Δίν
Α) Τη γωνία
fC στο σημε
Β) Το σημεί
παράλληλη
1.48 Έσ
3
f(x) x 3x 
Α) Να
της γραφική
το ρυθμό μετ
αυτά.
Β) Στ
τετμημένη ν
1.49 Δίν
  x
f x αe
 
Α) τα α,β ώσ
 0,1 να είν
Β) την εξίσω
ος –Εφαπτ
α βρείτε τα σ
ς της συνάρτη
ς είναι παρά
6x 1  Β) f
ν 2
g(x) x 
α α, β έτσι ώσ
ει εφαπτομέν
ημεία με τετμ
ν   31
f x x
3

ισώσεις των ε
αράστασης τη
y x 3  .
στω η συνάρ
ρείτε την εξί
ηματίζει με το
νεται η  f x
α που σχηματ
είο της A 1,f
ίο όπου η εφ
στο x´x
στω η συνάρτ
2
x 3x 10 
α βρείτε τα σ
ής παράσταση
ταβολής της
ο σημείο (του
να βρεθεί η εξ
νεται η συνά
β x 1  x
στε η εφαπτο
ναι παράλληλ
ωση της παρα
τομένη
σημεία της γρ
ησης f στα ο
άλληλες στον
 
x
f x
ln x
 Γ
αx βln(x 
στε η γραφική
νη παράλληλ
μημένες x 0
2
x 2x 1  
εφαπτομένω
ης f, που είνα
ρτηση  f x 
σωση της εφ
ον x΄x γωνία
2
x ln x . Να
τίζει η εφαπτ
f(1) ,με τον
απτόμενη είν
τηση
σημεία όπου η
ης της f , έχε
παραγώγου
υ α ερωτ.) με
ξίσωση της εφ
άρτηση f με
R , α,β R
ομένης της C
λη στην y 
απάνω εφαπτ
ραφικής
οποία οι
x x όταν
Γ)  
x
e
f x
x

1) , x 1  ,
ή παράσταση
λη στον άξονα
0 και x 1,5
, x R , να
ν της
αι παράλληλ
2
x 3x 1  ,
απτομένης τη
α 135.
α βρείτε :
τομένη (ε) τη
άξονα x x .
ναι
η εφαπτομέν
ει κλίση ίση μ
f στα σημε
ε τη μικρότερ
φαπτομένης.
R . Nα βρείτε
fC στο σημείο
2x 1
τομένης
,
η
α
5
λες
της
ς
νη
με
εία
ρη
.
ο
1
f
α
γρ
τε
1
γρ
ση
1
πρ
A
τη
συ
1
πα
Ν
τη
1
f
τη
συ
1
βρ
εί
1
x
ση
C
.50 Δίνε
  2
x 2x α 
α,β ώστε η y
ραφικής παρ
ετμημένη 2 .
.51 Να α
ραφικής παρ
ημεία που τέ
.52 Αν
ροσδιορίσετε
 A 2, 10 να
ης f και η εφα
υντελεστή δι
.53 Έστω
αραγωγίσιμη
Να βρείτε την
ης   g x f ln
.54 Δίνε
 : 0, R 
ην εφαπτομέν
υνάρτησης f
.55 Έστω
ρεθούν οι τιμ
ίναι εφαπτομ
.56 Έστω
0 . Αν η f
ημείων Α κα
fC στο Μ 1,f
εται η συνάρ
x β , α,β 
3x 1  να ε
ράστασης της
αποδείξετε ότ
ράστασης τη
μνει τους άξο
  3
f x αx 
ε τα α, β R
ανήκει στη γ
απτομένη της
εύθυνσης τον
ω ότι η συνάρ
η στο R και
ν εξίσωση της
n(x) στο ox
εται η παραγ
R με  2
f x 4
νη της γραφ
στο σημείο A
ω η  f x ln
μές των α, β
μένη της fC σ
ω τα σημεία
 x εκφράζει
ι Β, να βρείτ
f(1)
ρτηση f με
R . Να υπολ
είναι εφαπτο
ς f στο σημε
ότι οι εφαπτο
ης  
x
f x
x



ξονες είναι πα
2
βx 9x 12 
ώστε το σημ
γραφική παρ
ς C στο σημε
ν αριθμό 3
ρτηση f είνα
είναι  f 1 
ς εφαπτομένη
e
γωγίσιμη συν
 3
4x x ln x 
φικής παράστ
 A 5,f(5) .
 
22
n x 1 α 
ώστε η y 2
στο ox 0
 Α ln x,0 κ
ει την απόστα
τε την εφαπτο
Ανάλυσ
ογίσετε τα
ομένη της
είο της με
μένες της
4
2
στα
αράλληλες
2 , να
μείο
ράσταση C
είο Α να έχει
.
αι
 2f 1 e  .
ης στη γ.π.
νάρτηση
x . Να βρείτε
τασης της
αx β . Να
21x 35 να
και  x
B 0,e ,
αση των
ομένη της
ση

7. Μ
Γ Λυκείου –
Μονοτονί
1.57 Να
τα ακρότατα
Α) f
Β) g(
1.58 Να
τα ακρότατα
Α) f
Γ) f
1.59 Έσ
α R
Α) Αποδείξτ
B) Να βρείτ
 1,f(1) να ε
Γ) Για την τι
f ως προς τη
1.60 Δί
  2
f x κx 
Α) Να
θέση ox 1
1.61 Αν
Α) Να
τους οποίους
Β) Αν
ακρότατα τη
1.62 Δίν
Α) Να βρείτ
Β) Να αποδ
1.63 Αν
και q θετικ
έχει τη μέγισ
Μαθηματικά
ία - Ακρότα
α μελετήσετε
α κάθε μια απ
 4 2
x x 8x 
2
x
2x x
x)
e


α μελετήσετε
α κάθε μια απ
x x 6 x 

ln x 2
x
x


στω η συνάρτ
τε ότι  f΄΄ x
τε το α ώστε
είναι παράλλ
ιμή του α πο
μονοτονία κ
ίνεται η συνά
λx 3 , x R
α βρείτε τα κ
τοπικό ακρό
ν   3
f x αx 
α βρείτε τους
ς ισχύει f 
ν α=1 και β=
ης f .
νεται η συνά
τε τα ακρότα
δείξετε ότι 1
ν  V r 100p
κές σταθερές,
στη τιμή του
ά Γενικής Παι
ατα
ως προς τη μ
πό τις συναρ
5
Γ)  f x
ως προς τη μ
πό τις συναρ
Β)  f x
Δ) f(x)
τηση  f x e
 f x 2 
η εφαπτόμεν
ληλη στον x΄
ου βρήκατε, ν
και τα ακρότ
άρτηση f με
R , κ, λ R .
κ, λ ώστε η f
ότατο ίσο με
2
βx 3x 1  
ς αριθμούς α
  1 f 1 0  
0, τότε να βρ
άρτηση  f x 
ατά της
x 1 x
xe 2e 
 
p(1 ln r) 1 
να αποδείξε
όταν
p
r
q
 .
ιδείας
μονοτονία κα
ρτήσεις:
 2 2
x (1 x) 
μονοτονία κα
ρτήσεις:
 2 x
x e

2
2
3x
4x 5


x 2
e x 5x α 
  x
f΄ x e
νη στο σημεί
x.
να μελετηθεί
τατα.
να έχει στη
2 .
1 τότε
α,β R για
0 .
ρείτε τα τοπικ
x x
xe 2e 
1
, x R
00qr , όπου p
ετε ότι το V
αι
αι
α
ίο
η
κά
p
1
θε
ελ
1
Α
μο
Β)
ln
1
Α
Β)
1
πα
εφ
δι
1
Α
μο
Β)
1
Α
Β)
1
Α
μο
Β)
1
f
Ν
f
.64 Έστω
ετικοί πραγμ
λάχιστη τιμή
.65 Δίνετα
Α) Να με
ονοτονία κα
) Αν 0 
 
α β
n αβ
αβ


.66 Δίνετα
Α) Να βρ
) Να απ
.67 Σε π
αράστασης τ
φαπτομένη έχ
ιεύθυνσης;
.68 Δίνετα
Α) Να με
ονοτονία κα
) Να απ
.69 Έστω
Α) Να με
) Να απ
.70 Έστω
Α) Να με
ονοτονία κα
) Να απ
.71 Έστω
  2
x x λx 
Να βρείτε για
παίρνει τη μ
ω   x
f x αe
ματικοί αριθμ
της f είναι
αι η συνάρτη
ελετήσετε την
ι τα ακρότατ
α β  , να α
β
2
αι η συνάρτη
ρείτε τα ακρό
ποδείξετε ότι
ποιο σημείο τ
της συνάρτησ
χει τον ελάχι
αι η συνάρτη
ελετήσετε την
ι τα ακρότατ
ποδείξετε ότι
η συνάρτηση
ελετήσετε τη μ
ποδείξετε ότι
η συνάρτηση
ελετήσετε την
ι τα ακρότατ
ποδείξετε ότι
η συνάρτηση
λ, λ R  .
ποια τιμή το
μέγιστη τιμή
x x
βe
 , όπο
μοί. Να αποδ
2 αβ .
ηση  f x ln
ν f ως προς
τα
αποδείξετε ό
ηση  f x xe
ότατά της
ι x 1
1 xe 2
 
της γραφικής
σης  f x xl
ιστο συντελε
ηση  
x
f x
ln

ν f ως προς
τα.
ι 2015
2016 2
η   x
f x e 
μονοτονία τ
ι 3 2
e e 
η  
x
e
f x
x 2


ν f ως προς
τα
ι
βα
e e
α 2 β 2

 
η
ου λ η ελάχ
ή της.
ου α,β
δείξετε ότι η
1
n x
x

τη
ότι
x x
e 2e
x 1
2e 
ς
2
ln x η
εστή
x
nx
.
τη
2016
2015
x 1 , x R
της f
3 2
2
, x 2 
τη
2
2 e

ιστη τιμή της
7
ς

8. 8
Προβλήμα
1.72 Σώ
ακολουθώντ
  3
x t t 6t 
Α Πο
το σώμα βρί
Β Πό
Ποια η θέση
Γ. Πο
πρώτα 2sec τ
1.73 Οι
αυτοκινήτου
t
1000
f(t)
1 e 


χρόνος σε μή
Να προσδιο
οποία ο ρυθμ
πωλήσεων γ
τιμή του.
1.74 Να
τρίγωνα, πο
ακτίνας R, τ
1.75 Εν
km με σταθε
κοστίζουν 0
2
x
2
400
 lt/h
φορτηγού αν
Α) να
αυτής ως συν
Β) βρ
το φορτηγό ,
Γ) πό
1.76 Δίν
το σημείο τη
το σημείο A
ατα
ώμα κινείται
τας τη συνάρ
2
t 9t 5  (t
οια η ταχύτη
ίσκεται στη θ
ότε το σώμα έ
και η επιτάχ
οιο διάστημα
της κίνησης τ
ι συνολικές π
υ δίνονται απ
10
0
10
 , όπο
ήνες από την
ρίσετε τη χρο
μός αύξησης
γίνεται μέγιστ
α αποδείξετε
υ είναι εγγεγ
ο ισόπλευρο
να φορτηγό δ
ερή ταχύτητα
0,8 €/lt και κ
h . Αν τα υπό
νέρχονται σε
α εκφράσετε τ
νάρτηση της
ρείτε την ταχύ
, ώστε τα έξο
όσα είναι τα ε
νεται η ευθεί
ης ευθείας αυ
 A 9,4 τη μικ
σε οριζόντιο
ρτηση θέσης
σε sec, x σε m
τα και η επιτ
θέση 25m;
έχει μηδενική
χυνση αυτή τ
α διένυσε το σ
του;
πωλήσεις ενό
πό τη συνάρ
ου  t 0,20
ν έναρξη των
ονική στιγμή
ς των συνολικ
τος καθώς κα
ότι από όλα
γραμμένα σε
έχει μεγαλύ
διανύει καθη
α x km/h . Τ
καταναλώνο
όλοιπα έξοδα
ε 9 € την ώρ
το κόστος της
ς ταχύτητας x
ύτητα που πρ
οδά του να εί
ελάχιστα αυτ
ία y 2x 3  
υτής το οποίο
κρότερη δυνα
ο άξονα
m)
τάχυνση ότα
ή ταχύτητα.
τη στιγμή;
σώμα τα
ς μοντέλου
τηση
είναι ο
ν πωλήσεων.
ή κατά την
κών
αι τη μέγιστη
α τα ισοσκελή
ε κύκλο
τερο εμβαδό
μερινά 100
Τα καύσιμα
νται με ρυθμ
α του
ρα, τότε:
ς διαδρομής
x ,
ρέπει να έχει
ίναι ελάχιστα
τά έξοδα;
3 . Να βρείτε
ο απέχει από
ατή απόστασ
αν
η
ή
ό.
μό
ι
α,
ε
ση.
1
πο
1
24
1
πα
1
ση
Ο
1
βά
δί
σε
Α
επ
συ
Β)
ση
Γ)
1
ευ
τα
O
τα
O
( t
Α
O
Β)
E
εί
.77 Απ’
οιο είναι εκε
.78 Από
4cm βρείτε εκ
.79 Να β
αραβολής y
.80 Βρεί
ημείο  3,4
Οx και Oy τ
.81 Η θέ
άλλεται, με φ
ίνεται από το
ε sec)
Α) Να β
πιτάχυνση το
υμπεραίνετε
) Να β
ημείου και το
) Σε π
.82 Δίνε
υθύγραμμο τ
α άκρα A κα
Oy και Ox α
αχύτητα u 
Ox δίνεται απ
t ο χρόνος σε
Α) Να β
OAB ως συνά
) Ποιο
 E t τη στιγμ
ίναι 6 m;
όλα τα ορθο
ίνο που έχει
ό όλα τα ορθο
κείνο με το μ
βρεθεί το πλη
2
x στην ευ
ίτε την ευθεία
και σχηματίζ
ρίγωνο ελαχ
έση ενός υλικ
φορά προς τα
ον τύπο  y t
βρείτε την τα
ου σημείου ότ
για την κίνη
βρείτε την αρ
ο μέγιστο ύψ
ποια στιγμή τ
εται ορθή γων
τμήμα AB μή
αι B ολισθαί
αντίστοιχα. Τ
m
2
sec
και η
πό την συνάρ
ε sec)
βρεθεί το εμβ
άρτηση του t
ος είναι ο ρυ
ή κατά την ο
ογώνια με εμ
τη μικρότερ
ογώνια με πε
μεγαλύτερο ε
ησιέστερο ση
υθεία y 3x
α που διέρχε
ζει με τους η
χίστου εμβαδ
κού σημείου
α πάνω, από
  5t 20 t 
αχύτητα και
όταν t 11se
ησή του τη στ
ρχική ταχύτη
ψος στο οποίο
το ύψος του
ωνία xOy κα
ήκους 10 m
ίνουν πάνω
Το σημείο B
θέση του στο
ρτηση  S t 
βαδό  E t το
t
υθμός μεταβο
οποία το μήκ
Ανάλυσ
βαδό 2
64m
η περίμετρο.
ερίμετρο
εμβαδόν.
ημείο της
5 .
ται από το
μιάξονες
δού.
που
το έδαφος
(t ο χρόνος
την
ec. Τι
τιγμή αυτή;
ητα του
ο φτάνει.
είναι 375 m
αι το
m του οποίου
στις πλευρές
κινείται με
ον άξονα
 ut,t 0,5 
ου τριγώνου
ολής του
κος του OA
ση
.
ς
m
ς

9. Γ Λυκείου –
Γενικές Ασ
1.83 Έστω
σημεία: A(1
Α) Να β
Β) Να β
Γ) Βρεί
τριγώνου πο
Δ) Δείξ
Ε) Να β
Στ) Να υ
1.84 Αν
παράλληλη
Α) Να
Β) Να
1.85 Διν
Α) Τα
Γ) Να
Δ) Να
1.86 Έσ
A) Να
B) Nα
1.87 Έν
sec) να δίνετ
Α) την
Β) τις
1.88 Θεωρο
   f 2 f 2 
A) Αν η ε
είναι παράλ
συνάρτησης
B) Να βρ
Μαθηματικά
σκήσεις στ
ω η συνάρτη
3
,e ) και B(
βρεθεί ο τύπο
βρεθεί το σημ
ίτε την εξίσω
ου ορίζει αυτ
ξτε ότι f"(x) 
βρεθεί ο ρυθ
υπολογίσετε
ν η εφαπτομέ
στην ευθεία
α βρείτε τον
α αποδείξετε
νεται η συνα
α σημεια όπυ
α βρεθει το f
α βρεθει η εξι
στω ότι  f x
α βρείτε την
α βρείτε τα δ
να σώμα κινε
ται από τον τ
ν ταχύτητα τ
ς χρονικές στ
ούμε τη συνά
   f 4 f 4 
εξίσωση της ε
λληλη στην ευ
ς g στο σημε
ρεθεί η εξίσω
ά Γενικής Παι
τις Συναρτ
ση f με f(x)
1,e) :
ος της
μείο τομής τη
ση της εφαπτ
τή με τους άξ
f´(x) 4x 1  
μός μεταβολ
το
2 1
x 0
e
lim


ένη  ε στη γ
x y 2 0  
 f 1
ότι η  ε εφ
αρτηση f(x) 
η fC τεμνει
e
f
2
  
 
ισωση της εφ
2 x
1 x e ,
  
εξίσωση της
ιαστήματα μ
είται ευθύγρα
τύπο  x t t
του κινητού τ
τιγμές που το
άρτηση g µε
 4 .
εφαπτομένης
υθεία  ε : y
είο  B 1,g(1)
ωση της ευθεία
ιδείας
τήσεις
2
αx βx
) e 
 με
ης fC με τον
τόμενης της
ξονες.
2
1 4 f(x) 
λής του συντε
  2
x 1 x 3
e
x
  

γραφική παρ
τότε:
φάπτεται στη
ln(2x) . Να
ι τους αξονες
φαπτομενης τ
, x R
εφαπτομένη
μονοτονίας κ
αμμα πάνω σ
3 2
t 12t 45 
τη χρονική σ
ο σώμα είναι
τύπο  g x 
ς της γραφικ
1 , να απο
, είναι παρά
ας η οποία εφ
α,β R , τη
ν άξονα yy´
fC στο παρα
ελεστή διεύθυ
ράσταση μια
gC με  g x
βρείτε :
ς και το διάα
της fC που ε
ης της fC στο
και τα τοπικά
σε άξονα ώστ
5t σε μέτρα (m
στιγμή t
ακίνητο και
  f x f x
κής παράστα
δείξετε ότι η
άλληλη στον
φάπτεται στη
ης οποίας η γ
απάνω σημεί
υνσης της εφ
ας συνάρτηση
 2
f x x 1  
αστημα στο ο
είναι παράλλ
ο σημείο της
ά ακρότατα τ
τε η θέση του
m). Να βρείτ
ι την απόστα
x , x 0, 
σης της συνά
εφαπτομένη
άξονα x x .
η gC της g
γραφική παρά
ο καθώς και
φαπτόμενης γ
ης f : R R
1 1 στο ση
οποιο η fC ε
ληλη στην y
 A 1,f(1) .
της f .
υ την τυχαία
τε:
αση των θέσεω
 ,   f x 0
άρτησης f στ
η της γραφική
στο σημείο Γ
άσταση διέρ
το εμβαδόν
για x 2
στο A 1,f(1
ημείο της B 0
είναι πανω α
2
x 3
e
 
χρονική στι
ων τις στιγμέ
0, ,
το σημείο A
κής παράστασ
 Γ 4,g(4) .
χεται από τα
του
1) είναι
0,g(0)
από την y=e
γμή t (σε
ές αυτές
 1,f(1)
σης της
9
α

10. 10
1.89 Η
Ο ιδιοκτήτης
Το κόστος γι
να επιλεγούν
ιδιοκτήτης θ
1.90 Δίν
Α) την
Β) τα
1.91 Δίν
Α. Να
Β. Να
Γ. Με
περίμετρο Π
Δ. Να
Ε. Να
Στ. Να
1.92 Δίν
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
Ε) Να
Ε) Να
Στ) Να
1.93 Μί
πλήθους x τ
μονάδα προ
βρεθεί πόσες
πλευρά ΑΔ ο
ς πρόκειται ν
ια τις πλευρέ
ν οι διαστάσ
θα διαθέσει 1
νονται οι συν
ν εξίσωση τη
α,β ώστε η
νεται η συνά
α υπολογίσετ
α υπολογίσετ
ε διαστάσεις
Π και το εμβα
α βρεθεί το π
α βρεθεί για
α βρεθεί για
νεται η συνά
α βρείτε το π
α βρείτε τη μ
α υπολογίσετ
α προσδιορίσ
α μελετήσετε
α αποδείξετε
α λύσετε την
ία βιομηχανί
των μονάδων
οϊόντος είναι
ς μονάδες πρ
ορθογωνίου
να περιφράξ
ές ΑΒ, ΓΔ είν
σεις του οικοπ
20 ευρώ για
ναρτήσεις f
ης εφαπτομέν
 ε να εφάπ
άρτηση f(x) 
τε το όριο
x
lim

τε την τιμή το
x και f(x) κα
αδόν Ε του ο
πεδίο ορισμού
ποιά τιμή το
ποιά τιμή το
άρτηση f(x) 
εδίο ορισμού
μονοτονία τη
τε το συντελε
σετε το πρόση
την f ως προ
ότι xln(x 
εξίσωση xln
ία καθορίζει
ν παραγωγή
20€ και επιπ
ροϊόντος θα π
οικοπέδου Α
ξει τις πλευρέ
ναι 3 ευρώ αν
πέδου ώστε α
την περίφρα
   2
x ln x 
νης  ε της C
πτεται στη C
2
9x – x , x
9
f(x)
m
f'(x) 3
 
ου κ R ώστ
ατασκευάζου
ορθογωνίου ω
ύ αυτών των
ου x η περίμετ
ου x το εμβαδ
xln(1 x)– x 
ύ της f, την f’
ς f’
εστή διεύθυν
ημο της f’
ος τη μονοτο
1)– x ln(x 
n(x 1)– x ln 
την τιμή πώ
ς σύμφωνα μ
πλέον η βιομ
πρέπει να πα
ΑΒΓΔ μεταβλ
ές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ
νά μέτρο, ενώ
αυτό να έχει
αξη;
x 1  και g
fC στο σημεί
gC στο σημείο
R και η συ
3
στε η g να είν
υμε ορθογώνι
ως συνάρτησ
ν συναρτήσεω
ετρος γίνεται
δόν γίνεται μ
x ln(1 x)– 
’ και την f’’
νσης της εφαπ
ονία και δείξτ
2 3
x x
1)
2 6
  
2
x
n(x 1)
2
 
ώλησης  Π x
με τον τύπο:
μηχανία πληρ
αράγει η βιομ
λητών διαστά
Δ.
ώ για την ΒΓ
το μέγιστο εμ
  2
g x x αx 
ίο της A 1,f(
ο της B 2,g(
υνάρτηση g
ναι συνεχής σ
ιο παραλληλ
ση του x.
ων.
ι μέγιστη.
μέγιστο.
2 3
x x
–
2 6
 .
πτομένης της
τε ότι η f έχει
3
για κάθε x
3
x
6

 κάθε μονάδ
Π(x) 195 
ρώνει φόρο 6
μηχανία ώστ
άσεων συνορ
είναι 4 ευρώ
μβαδόν, με δ
x β , α,β R
(1)
2) .
 
t 1
g x
lim




 


στο ox =9
λόγραμμο. Ν
ς Cf στην αρχ
ι ολ. ελάχιστο
x > – 1.
δας προϊόντο
2
x
3
 € . Το κό
6 € για κάθε
τε να έχει το μ
ρεύει με ένα π
ώ ανά μέτρο.
δεδομένο ότι
R . Να βρείτε
3 2
2
f(x)
f'(x) 3
t 3t 2t
t 1
 
 

Να εκφράσετε
χή των αξόνω
ο το οποίο ν
ος συναρτήσ
όστος παραγ
ε μονάδα προ
μέγιστο δυνα
Ανάλυσ
ποτάμι.
Πώς πρέπει
ι ο
ε:
,x 9
,x 9


ε την
ων
α βρείτε
ει του
γωγής ανά
οϊόντος. Να
ατό κέρδος.
ση

11. Γ Λυκείου –
2 ΣΤΑ
2.01 Να
ΠΙΝΑΚΑΣ 1
ix
1x
2x
3x
4x
5x
ΑΘΡ
ΠΙΝΑΚΑΣ 2
ix
-2
0
1
3
5
ΑΘΡ
ΠΙΝΑΚΑΣ 3
ix
1
2
3
5
ΑΘΡ
ΠΙΝΑΚΑΣ 4
ix
-5
-3
0
1
ΑΘΡ
ΠΙΝΑΚΑΣ 5
ix iν
1 5
2
3
4 4
5
6
ΑΘ
Μαθηματικά
ΑΤΙΣΤΙΚΗ
α συμπληρωθ
iν
18
10
0
iν
160
iν
12
24
iν
8
iN if
25
50
ά Γενικής Παι
Η
θούν οι πίνα
if f
0,2
0,16
if
if f
0,05
if f
0,05
0,2
iF if %
ιδείας
ακες
if %
4
if %
15
25
40
15
if %
40
if %
40
iF %
16
60
ΠΙ
ΠΙ
ΠΙ
Π
Π
ΙΝΑΚΑΣ 6
ix
-1
0
2
3
ΑΘΡ 4
ΙΝΑΚΑΣ 7
ix ν
2
5
7 1
8
ΑΘΡ
ΙΝΑΚΑΣ 8
ix iν
0
10
20
30 5
40
ΑΘ
ΙΝΑΚΑΣ 9
ix iν
10 5
20
30 12
40
Σ
ΙΝΑΚΑΣ 10
ix iν
1 8
2
3 5
4
5
Σύν
iν if %
30
6
40
iν if
0,4
2
if if %
0,15
if if %
30
if iΝ
0,4
10
0,25 15
iN
4 0
iN F
2
60
iN iF
0,6
20
iN iF
0,675
iF if %
0,9
10
1
iF
0,1
iF %
20
iF %
10
60
iF %
% iF %
11

12. 12
2.02 Σε
Οι
Οι
Οι
Πέ
Το
Να κάνετε το
2.03 Σε
18
Το
Το
11
Το
Να κάνετε το
2.04 Έσ
και i
1
f
2(i


2.05 Έσ
1 2 3 4f ,f ,f ,f
2.06 Έσ
Α) Αν
Β) Αν
2.07 Έσ
δείγμα μεγέθ
Α) Να
Β) Για
2.08 Έσ
δείγμα μεγέθ
Α) Να
μια τάξη Λυ
ι 20 μαθητές
ι 18 έχουν το
ι 19 έχουν το
έντε οικογένε
ο 15% των οικ
ον πίνακα κ
μια πόλη η μ
ημέρες είχαν
ο 85% του πλή
ο πλήθος των
ο 55% του πλή
ον πίνακα κ
στω 1 2x , x ,...
1)
, i 2,3,4
στω 1 2 3x , x ,x
στω 1 2 3x ,x ,x
ν 2
iν i 2i 
ν i 2
1
f
i 1


,
στω 1 2x ,x ,...,
θους ν . Αν
α βρεθεί ο κ
α
15
κ
2
 να
στω 1 2x ,x ,...,
θους ν . Αν
α βρεθεί ο κ
υκείου όπου
ς έχουν κανέν
ουλάχιστον 1
ο πολύ 3 αδέ
ειες των μαθη
κογενειών τη
ατανομής συ
μικρότερη θε
ν θερμοκρασ
ήθους των ημ
ν ημερών με θ
ήθους των ημ
ατανομής συ
4.,x οι τιμές
4 να βρεθεί
3 4,x οι τιμές
3 οι τιμές μια
, i 1,2,3 ν
i 2,3 να β
5,x με 1x x
ισχύει if
2

βρείτε την F
5,x με 1x x
ισχύει iF % 
δεν υπάρχου
να ή 1 ή 2 ή 3
1 αδερφό
ρφια
ητών έχουν 3
ην μαθητών έ
υχνοτήτων: ν
ερμοκρασία
σία το πολύ 1
μερών η θερμ
θερμοκρασία
μερών η θερμ
υχνοτήτων: ν
μιας μεταβλη
η 1f
ς μιας μεταβλ
ας μεταβλητή
να βρεθεί ο ν
βρεθεί την 1f
2 5x ... x  οι
i
2κ
, i 1,2,..
3F %
2 5x ... x  οι
i
κ
 , i 1,2,.
Β) Για
υν συμμαθητ
3 ή 4 αδέρφι
3 ή 4 παιδιά
έχουν 4 τουλ
i i iν , f , f %, N
επί 20 συνεχ
15
μοκρασία ήτ
α 13ήταν διπ
μοκρασία ήτ
i i i iν , f , N , F
λητής Χ ως πρ
λητής Χ ενός
ής Χ ως προς
ν
ι τιμές μιας μ
.,5
Γ) Αν
ι τιμές μιας μ
..,5 τότε:
1
κ
20
 να β
τές που να είν
α
λάχιστον παι
i i iN , F , F %
χείς ημέρες ή
ταν τουλάχισ
λάσιο του πλ
ταν 13 ή 15
i i i, f %, F %
ρος την οποί
ς δείγματος. Α
την οποία εξ
μεταβλητής Χ
3N 30 να
μεταβλητής Χ
βρείτε την 2f
ναι αδέρφια
διά
ήταν 10, 11, 1
στον 11
λήθους των η
α εξετάζουμε
Αν 1 2f 2f 
ξετάζουμε έν
Χ ως προς τη
βρείτε το μέγ
Χ ως προς τη
α:
15, 13 και 16
ημερών με θε
ε ένα δείγμα
3 43f 4f  να
να δείγμα με
ην οποία εξετ
γεθος του δεί
ην οποία εξετ
Στατιστικ
ερμοκρασία
α μεγέθους ν
α βρείτε τις
γέθους ν
τάζουμε ένα
ίγματος.
τάζουμε ένα
κή

13. Γ Λυκείου –
http://users.s
Γραφικη π
2.09 Η
διπλανό πίν
σχετικών συχ
2.10 Στ
Να κατασκε
συχνοτήτων
2.11 Σ
το έτος 1980
είναι 180. Τ
τετραπλάσιε
ραβδόγραμμ
2.12 Σε
επιχείρησης
Λυκείου
Γ΄ Κατηγορ
εργαζόμενος
Στην Α΄ κατ
αντιστοιχεί σ
κατηγορίας
Α. Να
Β. Να
2.13 Σε
900 ατόμων
κυκλικού το
ξανθά μαλλι
συμπληρώσε
ραβδόγραμμ
2.14 Ο α
μιας περιοχή
διάγραμμα σ
Α το
επισκέψεις ε
Β τον
επισκέψεις ε
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
παρασταση
βαθμολογία
νακα. Να κάν
χοτήτων
ο διπλανό πί
ευάσετε ραβδ
ν
Σε ένα κυκλικ
ανάλογα με
Το 14% της αξ
ες σε αξία απ
μα σχετικών
ένα κυκλικό
σε τέσσερις κ
ρία: Πτυχιού
ς ανήκει σε μ
τηγορία ανήκ
στους εργαζό
είναι εξαπλά
α υπολογίσετ
α μετατρέψετ
ένα κυκλικό
ν. Το 30% τω
μέα για τα κ
ιά είναι διπλ
ετε τον διπλα
μα συχνοτήτ
αριθμός των
ής στα διάφο
σχετικών συχ
ποσοστό επί
ετησίως,
ν αριθμό των
ετησίως.
ά Γενικής Παι
agr
η κατανομη
μιας ομάδα
νετε το διάγρ
ίνακα φαίνο
δόγραμμα συ
κό διάγραμμ
ε το μέσο μετα
ξίας των εξαγ
πό αυτές που
συχνοτήτων
ό διάγραμμα
κατηγορίες.
ύχοι Ανωτάτη
μία μόνον απ
κει το 25% τω
όμενους της
άσιοι των εργ
τε τον αριθμό
τε το κυκλικό
ό διάγραμμα
ων ατόμων έχ
καστανά μαλλ
λάσια από αυ
ανό πίνακα
των.
ν ετήσιων επι
ορα μουσεία
χνοτήτων. Ν
ί τοις εκατό τ
ν μαθητών π
ιδείας
ης συχνοτη
ς φοιτητών σ
ραμμα συχνο
ονται τα βιβλ
υχνοτήτων κα
α παριστάνο
αφοράς. Η γ
γωγών έγινε
έγιναν “αερ
ν.
α παριστάνετ
Α΄ Κατηγορ
ης Εκπαίδευσ
πό τις κατηγο
ων εργαζομέν
Δ΄ κατηγορί
γαζομένων τ
ό των εργαζο
ό διάγραμμα
α, παριστάνετ
χουν μαύρα
λιά είναι 3α
υτά με κόκκιν
και να κατασ
σκέψεων ενό
της χώρας δ
Να βρείτε:
των μαθητών
που κάνει δύο
ητων
σε ένα μάθημ
οτήτων και τ
λία που έχει μ
αι κυκλικό δ
ονται οι εξαγ
γωνία του κυ
ε “σιδηροδρο
ροπορικώς”. Ν
ται το μορφω
ρία: Απόφοιτ
σης Δ΄ Κατ
ορίες αυτές.
νων της επιχ
ίας είναι 18.
της Γ΄ κατηγο
ομένων κάθε
α σε ραβδόγρ
ται το χρώμα
μαλλιά. Η γ
ο
3 144 . Τα
να μαλλιά. Ν
σκευάσετε το
ός δείγματος
ίνεται από το
ν που κάνει α
ο τουλάχιστο
μα φαίνεται σ
ο πολύγωνο
μια βιβλιοθή
διάγραμμα
γωγές της χώρ
κλικού τομέα
ομικώς”. Οι μ
Να μετατρέψ
ωτικό επίπεδο
τοι Γυμνασίο
τηγορία: Κάτ
χείρησης. Η γ
Οι εργαζόμε
ορίας.
ε κατηγορίας
ραμμα συχνο
α μαλλιών
ωνία του
άτομα με
Να
ο
ς 80 μαθητών
ο διπλανό
ακριβώς δύο
ον
στο Β
ήκη. Είδο
Ισ
Λογ
Μα
Τα
Εγκυ
ρας μας αξία
α για μέσο μ
μεταφορές πο
ψετε το κυκλι
ο των 400 εργ
ου Β΄ Κ
τοχοι Μεταπ
γωνία του κυ
ενοι της επιχ
ς.
οτήτων.
Χρώμα μαλλιών
Κόκκινα
Μαύρα
Καςτανά
Ξανθά
Σύνολο:
ν
Βαθμός Π
4
5
6
7
8
ος βιβλίων
στορικά
ογοτεχνικά
αθηματικά
αξιδιωτικά
υκλοπαιδικά
ας 97.000.000
μεταφοράς “θ
ου έγιναν “ο
ικό διάγραμ
γαζομένων μ
Κατηγορία: Α
πτυχιακού Τί
υκλικού τομέ
χείρησης της
iν
1
Πλήθος φοιτητών
2
3
7
5
3
Πλήθος βιβλίων
2
30
36
24
18
0 euro κατά
θαλασσίως”
οδικώς” ήταν
μα σε
μιας
Απόφοιτοι
τλου . Κάθε
έα που
Β΄
if % iα
13
ν

14. 14
Ομαδοποί
2.15 Να
κλάσεις ίσου
Κλάσεις 
…-…
…-…
…-…
…-…
2.15.1.1.1
2.16 Η
πίνακα:
Α) Να κατα
Β) Να βρείτε
α)
β)
Γ)Το ποσοστ
2.17 Στ
ομαδοποιημ
έγιναν από τ
i) Πό
ii) Να
α)τ
β)τ
iii) Πό
α)
2.18 Στ
σχετικών συ
Να βρείτε:
i) Το βαθμό
α) το 70% τ
ii) Το ποσοσ
2.19 Το
από τις ευθεί
B) Να
2.20 Έν
Δίνεται το π
A) Να
B) Να
Γ) Αν
ίηση Παρατ
α συμπληρώσ
υ πλάτους
 .. ..
…
…
…
…
βαθμολογία
ασκευάσετε το
ε το βαθμό κ
Το 20% των
Το 40% των
τό των μαθη
ο σχήμα είνα
μένων πωλήσ
τους πωλητές
όσοι είναι οι
α κατασκευά
το ιστόγραμμ
το πολύγωνο
όσοι πωλητές
60000 euro;
ο σχήμα έχου
υχνοτήτων μ
κάτω από το
των μαθητών
στό των μαθη
ο πολύγωνο σ
ίες y x 1 
α βρεθεί το π
να δείγμα ομ
πολύγωνο if %
α εκφράσετε
α βρείτε τα c,
ν 1f % 25 , ν
τηρήσεων
σετε τους πα
ix
6
…
…
18
40 μαθητών
ο πολύγωνο
άτω από το ο
ν μαθητών
ν μαθητών.
τών που έχει
αι το πολύγω
σεων σε δεκά
ς μια εταιρεί
πωλητές;
άσετε:
μα συχνοτήτ
ο αθροιστικώ
ς έκαναν πωλ
β) 50000 eu
υμε το πολύγ
ιας βαθμολο
ον οποίο πήρ
ν β) το
ητών που πήρ
συχνοτήτων
και y x  
πλάτος και τα
μαδοποιήθηκ
% το οποίο έχ
το c συναρτή
, κ.
να κατασκευά
ρακάτω πίνα
Κλάσεις ..
5-..
..-..
…-23
..-..
ν σε ένα διαγ
αθροιστικών
οποίο έχει:
ι γράψει: του
ωνο συχνοτήτ
δες χιλιάδες
ίας σε ένα έτο
των
ών συχνοτήτω
λήσεις κάτω
uro; γ) 45000
γωνο αθροισ
ογίας μαθητώ
ρε:
ο 30% των μ
ρε βαθμό μέχ
μιας ομαδοπ
13 . A)
α άκρα κάθε
κε σε κ κλάσει
χει σχήμα τρ
ήσει του κ.
άσετε το ιστό
ακες στους οπ
.. ix
γώνισμα φαί
ν σχετικών σ
υλάχιστον 14
των των
euro που
ος.
ων
από:
0 euro;
στικών
ών
μαθητών
χρι 13
ποιημένης κα
Να βρεθε
κλάσης. Γ)
ις, ίσου πλάτ
ριγώνου.
όγραμμα if %
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100αριθμόςπωλητών
ποίους έχουμ
Κλάσε
…
…
…
1
ίνεται στο διπ
συχνοτήτων %
4
ατανομής με
ί το πλήθος τ
Να βρεθ
τους c.
.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 4
μαθητές
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1 1
με ομαδοποιή
ις  .. ..
…-.…
…-…
…-…
7-…
πλανό
%
Β
5 ισοπλατεί
του δείγματο
θεί η συχνότη
8 12
βαθμολογί
3 5
πω λήσεις
ιήσει τρία δεί
ix
…
11
…
…
Βαθμός  ,
 0,4
 4,8
 8,12
 12,16
 16,20
ίς κλάσεις απ
ος.
ητα κάθε κλά
Στατιστικ
16 20
α
7 9
ίγματα σε
μαθητές
4
8
16
10
2
ποτελείται
άσης.
κή

15. Μ
Γ Λυκείου –
http://users.s
Μέση τιμή
2.20.1.1.1
2.21 Οι
20 λεπτά. Τ
τουλάχιστον
2.22 Στ
Να βρείτε τα
2.23 Μι
Α) Να
α)
β)
γ)
Β) Αν
μηνιαίος μισ
2.24 Σε
ότι οι 10 πα
τις υπόλοιπε
παρατηρήσε
2.25 Μι
βαθμών των
παιδιών ήτα
2.26 Σε
πήραν αύξη
καθένας. Αν
εργαζόμενοι
2.27 Σε
A) Το
γίνει ίσος με
B) Για
αυτοί έχουν
Γ ) Αν
2.28 Έν
υπαλλήλους
μισθό 3600
Αν προσληφ
τμήματα δεν
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
ή
ι χρόνοι που
ο 20% κάνει
ν 16 λεπτά. Ν
ο διπλανό πί
α α, β αν η
ια βιοτεχνία
α βρείτε το μ
ένας εργαζό
προσληφθο
πάρει σύντα
ν προσληφθε
σθός όλων να
20 παρατηρ
αρατηρήσεις
ες είχαν υποε
εων αυτών.
ια τάξη έχει
ν αγοριών ήτ
αν 14,5 , να
μια επιχείρη
ση στο μηνια
ν η μέση τιμή
ι του κάθε τμ
μια εταιρία
ο 20% των υπ
ε τη μέση τιμή
α λόγους μείω
μέσο μηνιαί
ν σε όλους το
να εργοστάσι
ς στο Τμήμα Β
€. Να βρεθεί
φθούν 2 υπά
ν μεταβληθού
ά Γενικής Παι
agr
κάνουν οι μ
ι χρόνους κά
Να βρείτε το
ίνακα φαίνε
μέση βαθμολ
έχει 10 εργα
έσο μισθό ότ
όμενος με 12
ύν δύο εργα
αξη ένας με μ
εί ένας εργαζ
α είναι 1210
ρήσεις μιας μ
από αυτές εί
εκτιμηθεί κατ
12 αγόρια κ
ταν 14 , ενώ
βρεθεί το πλ
ηση είναι 50
αίο μισθό 10
ή όλων των μ
μήματος.
οι 200 υπάλλ
παλλήλων έχε
ή , ποια θα ε
ωσης του κόσ
ίο μισθό 2800
ους υπάλληλο
ιο απασχολεί
Β με μέσο μη
ί ο μέσος μην
άλληλοι στο Τ
ύν, να βρεθε
ιδείας
μαθητές ενός
άτω από 8 λε
ο μέσο χρόνο
ται η βαθμολ
λογία είναι 5
αζόμενους μ
ταν:
200 μισθό π
ζόμενοι ακόμ
μισθό 1190
ζόμενος , ποιο

μεταβλητής X
ίχαν εσφαλμ
τά 10 μονά
και άγνωστο
των κοριτσιώ
λήθος των κορ
εργαζόμενο
00 ο καθένα
ηνιαίων μισθ
ληλοι έχουν
ει μέσο μισθό
ίναι η νέα μέ
στους απολύ
0 € . Να βρεθ
ους δοθεί αύ
ί 5 υπαλλήλ
ηνιαίο μισθό
νιαίος μισθός
Τμήμα A , 4
ί η νέα μέση
σχολείου να
επτά το 50%
ο των μαθητώ
λογία 20 φο
5,9
με μέσο μηνια
πάρει σύνταξ
μη με μισθό
και προσλη
ος πρέπει να
X βρήκαμε μ
ένα υπερεκτ
άδες η κάθε μ
αριθμό κορι
ών ήταν 14,
ριτσιών.
οι στα τμήμα
ας, ενώ στο τ
θών αυξήθηκ
μέσο μισθό 2
ό 1800 € .Αν
έση τιμή του
ύεται το 15%
θεί η νέα μέσ
ξηση 3,5% π
λους στο Τμή
2800 € και
ς όλων των υ
4 στο Τμήμα
τιμή .
α πάνε από το
% κάνει χρόν
ών.
οιτητών σε έν
αίο μισθό 12
ξη.
850 ο καθ
ηφθούν τρεις
α είναι ο μηνι
μέση τιμή x
ιμηθεί κατά
μια. Να βρείτ
ιτσιών. Σε έν
875 . Αν η μέ
ατα A και B
τμήμα B πήρ
κε κατά 70
2500 €.
ο μισθός αυτ
υ μισθού ;
των υπαλλήλ
ση τιμή του μ
οια η νέα μέσ
ήμα A με μέσ
4 υπαλλήλο
υπαλλήλων .
Γ και οι μέσ
ο σπίτι στο σχ
ους κάτω απ
να μάθημα.
00.
ένας.
ς με μισθό 85
ιαίος μισθός
60 . Διαπισ
5 μονάδες κ
τε τη σωστή μ
α διαγώνισμ
έση τιμή των
. Οι εργαζόμ
ραν αύξηση
, να βρείτε π
τών των υπαλ
λων της εται
μισθού .
ση τιμή του μ
σο μηνιαίο μ
ους στο Τμήμ
σες τιμές των
σχολείο είναι
πό 12 λεπτά κ
Βαθμός
4
5
6
8
50 ο καθένα
ς του ώστε ο μ
στώθηκε όμω
κάθε μια ενώ
μέση τιμή των
μα η μέση τιμ
ν βαθμών όλω
μενοι στο τμή
στο μισθό, 5
πόσοι είναι ο
αλλήλων αυξ
ιρίας . Οι υπά
μισθού ;
μισθό 2490 €
μα Γ με μέσο
ν μισθών στα
1
από 4 έως
και το 15%
Φοιτητές
2
α
8
β
ας
μέσος
ως στο τέλος
ώ οι 9 από
ν
μή των
ων των
ήμα A
50 ο
οι
ξηθεί ώστε να
άλληλοι
€, 6
ο μηνιαίο
α δύο αυτά
15
α

16. 16
2.29 Η
βρεθεί η μέσ
2.30 Σε
βαθμολογία
17,1 Να βρεθ
2.31 Ο μ
Επειδή συγκ
αποφάσισε ν
είναι τώρα η
2.32 Οι
διαγωνίσματ
Α) Να
Β) Αν
το μέσο όρο
2.33 Η
Να βρείτε τη
Α) 1t
2.34 Σ’
τετράμηνο ή
μονάδες ο κα
βρείτε πόσοι
βαθμολογία
2.35 Έν
2.36 Αν
2.37 Σ
2.38 Να
η μέση τιμή
μέση τιμή 10
ση τιμή των υ
ένα Λύκειο
α 17,5 το δεύτ
θεί η μέση βα
μέσος όρος β
κριτικά με το
να δώσει μια
η νέα μέση τι
ι αριθμοί α, β
τα. Δίνεται ό
α βρείτε τους
ν οι συντελεσ
των βαθμών
μέση τιμή τω
η μέση τιμή τ
2λ,t λ,..., 
ένα Λύκειο φ
ήταν 15. Στο
αθένας, ενώ
ι μαθητές βελ
α όλων στο Β’
να δείγμα έχε
ν είναι
5
i=1
x

Στη διπλανή κ
α υπολογίσετ
τους είναι x
00 αριθμών
υπολοίπων.;
τα τρία τμήμ
τερο 27 μαθη
αθμολογία τω
βαθμολογίας
ους μέσους όρ
α μονάδα σε ό
ιμή της βαθμ
β, 17 , γ έχου
ότι το εύρος τ
ς βαθμούς το
στές βαρύτητ
ν του μαθητή
ων παρατηρή
των παρατηρ
ν,t λ
φοιτούν 300
ο Β’ τετράμην
οι υπόλοιπο
λτίωσαν τη β
’ τετράμηνο έ
ει μέγεθος ν
ix 3 και
5
i=

κατανομή να
τε το πλήθος
ln2004
ν

είναι 24 και
ματα της Πρώ
ητές και μέση
ων μαθητών
ς 1ου τετραμή
ρους άλλων μ
όλους τους μ
ολογίας
υν διαταχθεί
των βαθμών
υ μαθητή.
τας των βαθμ
ή.
ήσεων 1 2t ,t ,.
ρήσεων:
Β) 1λt ,
0 μαθητές κα
νο, ένας ορισ
ι μείωσαν τη
βαθμολογία τ
έγινε 17.
8 ,
8
i 1
(2x


5
2
i
1
x 23
 , να
α υπολογίσετ
ν των παρα
ι η μέση τιμή
ώτης Τάξης έ
η βαθμολογί
της Πρώτης
ήνου 20 μαθη
μαθημάτων η
μαθητές, εκτό
σε αύξουσα
είναι 2, η διά
μών είναι 0,
ν...,t μιας με
2 ν, λt ,..., λt
αι η μέση βαθ
σμένος αριθμ
η βαθμολογία
τους και πόσ
ix 6) 752  κ
α υπολογίσετ
τε τη μέση τι
ατηρήσεων x
ή των 60 πρώ
έχουν: Το πρ
ία 18,2 το τρ
τάξης
ητών ενός τμή
η βαθμολογί
ός από δυο μ
σειρά και είν
άμεσος και η
5 0,7 1
εταβλητής Χ
Γ) 1λt κ, λt
θμολογία του
μός μαθητών
α τους κατά
σοι την χειρο
και S 2 . Ν
τε τα 
5
i=1
x

μή
1 2x ln2, x
ώτων από αυ
ρώτο 25 μαθη
ρίτο 23 μαθητ
ήματος στη σ
ία θεωρήθηκε
μαθητές που ε
ναι οι βαθμο
η μέση τιμή 1
1 και 0,8
ενός δείγματ
2 νt κ,..., λt 
υς στα Μαθη
αύξησε τη βα
2 μονάδες ο
τέρευσαν, αν
Να βρείτε η
ix 10 και
3
ln
2
 , 3x 
υτούς είναι 1
ητές και μέση
τές και μέση
στατιστική ε
ε χαμηλή, ο κ
είχαν εικοσά
οί ενός μαθητ
16.
8 αντίστοιχα
τος μεγέθους
κ
ηματικά στο Α
αθμολογία τ
ο κάθε μαθητ
ν γνωρίζουμ
x και το
8
i

 
5
i
i=1
2x 3

x
3
4
5
9
ν
4
ln , ,x
3
 
Στατιστικ
16 . Να
η
βαθμολογία
ίναι 14,4.
καθηγητής
άρια. Ποια
τή σε τέσσερα
α να βρείτε
ς ν είναι x .
Α’
του κατά 4
τής. Να
ε ότι η μέση
8
2
i
1
x

 .
2
ix iv
3 3
4 2
5
9 2
ν 1
ln
ν

 , αν
κή
α
α
ν

17. 2
σ
σ
Α
Β
Γ Λυκείου –
http://users.s
Διάμεσος
2.39 Να
2.40 Να
ένα διαγώνι
2.41 Αν
αυτούς είναι
2.41.1.1.1
2.42 Στ
αθροιστικές
μέση τιμή 5,
2.43 Σ’ έ
σε 200 ερωτή
στην ερώτησ
Α) Να εκτιμή
Β) Να εκτιμή
2.44 Οι
2.45 Το
μαθητής δεν
υπερβαίνει τ
2.46 Δίν
δείγματος (τ
2.47 Το
ανάστημα μ
2.48 Να
ΠΙ
Χρόνo
8
9
10
11
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Fi%
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
α βρείτε τη δ
α βρείτε τη δ
ισμα αν τα π
ν η μέση τιμή
ι οι 0, 1, 5,
ο διπλανό πί
σχετικές συχ
,5
ένα τεστ πήρ
ήσεις. Η βαθμ
ση. Ο επόμενο
ήσετε γραφικ
ήσετε το ποσ
ι παρατηρήσε
ο μέσο ύψος τ
ν έχει ανάστη
τα 180 cm.
νεται ο αριθμ
των 9 αριθμ
ο μέσο ύψος τ
μικρότερο των
α βρείτε το α
ΙΝΑΚΑΣ 1
oς Μαθητέ
5
7
8
7
0 4 8
βαθμός
ά Γενικής Παι
agr
ιάμεσο των χ
ιάμεσο των β
ολύγωνα αθ
ή πέντε αριθμ
21, να βρείτ
ίνακα φαίνο
χνότητές τους
ραν μέρος 10
μολογία είνα
ος πίνακας δ
κά τη διάμεσ
σοστό των μα
εις ενός δείγμ
των 30 μαθητ
ημα μικρότερ
μός α R κα
μών) είναι x
των 30 μαθητ
ν 160 cm. Ν
 α 0,1,2 ώ
Π
Χρό
8
9
10
11
ς
12 16 20
ς
ιδείας
χρόνων φαίν
βαθμών των
ροιστικών σχ
μών είναι διπ
τε τον πέμπτο
ονται οι τιμές
ς. Να βρείτε
0 μαθητές πρ
αι 1 ή 0, ανάλ
δείχνει τα απ
σο.
αθητών που έ
ματος είναι
τών και μαθη
ρο των 160 c
αι επιπλέον
64 κ αι ισχ
τών μιας τάξ
Να αποδείξετε
ώστε οι αριθμ
ΠΙΝΑΚΑΣ 2
νος Μαθητ
8 7
9 6
0 10
1 3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
Fi%
νονται στους
μαθητών της
χετικών συχν
πλάσια της δ
ο αριθμό.
ς μιας μεταβλ
τους α, β, γ
ροκειμένου ο
λογα αν ο μα
ποτελέσματα
έγραψαν από
4, 8, 3, x, α,
ητριών μιας
cm. Να αποδ
8 διαδοχικο
χύει α 50,
ξης είναι 170
ε ότι η διάμε
μοί α - 2, α 
τές
Π
Χρό
8
9
10
11
4 8 12
βαθμός
ς παραπάνω
ς Α΄ Λυκείου
νοτήτων είνα
διαμέσου δ
λητής Χ με τι
γ αν η διάμε
ο καθένας να
αθητής απαντ
της βαθμολο
ό 80 ως 110
24 2x, 5 κ
τάξης είναι
δείξετε ότι η δ
οί περιττοί ακ
,80 , να βρε
0 cm Υποθέτο
εσος του δείγ
2 3
1, α 1, α
ΠΙΝΑΚΑΣ 3
όνος Μαθη
8 30
9 25
0 35
1 10
16 20
Fi%
πίνακες.
υ του κάθε τμ
αι τα παρακά
με 0 δ 5 
ις αντίστοιχε
εσος είναι 6
α απαντήσει
τάει ή όχι
ογίας
και έχουν δ 
170 cm Υπο
διάμεσος του
κέραιοι. Αν η
θεί η διάμεσο
ουμε ότι καν
γματος δεν υπ
1 , να έχου
Χρτές
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
3 6 9
μήματος που
άτω
και οι τέσσε
ες
και η
x
2
3
5
7
9
Βαθμοί
 60,80
 80,100
 100,120
 120,140
 140,160
 160,180
8 . Βρείτε τ
οθέτουμε ότι κ
υ δείγματος δ
η μέση τιμή τ
σος του δείγμ
νένας μαθητή
περβαίνει τα
υν διάμεσο δ
ΠΙΝΑΚΑΣ 4
ρόνος Μαθ
8 3
9 2
10 4
11 1
9 12 15 1
βαθμός
1
υ πήραν σε
ερις από
ix iF %
2 10
3 30
5 α
7 β
9 γ
Συχνότη
5
20
 26
 30
 15
 4
η x και το α
κανένας
δεν
του
ματος
ής δεν έχει
α 180 cm.
δ 1
4
θητές
30
20
40
10
8
17
α

18. 18
Τυπική Απ
2.49 Οι
στο διπλανό
2.50 Έν
μία νέα τιμή
τυπική απόκ
2.51 Ρω
κυμαίνονταν
τέσσερις μαθ
μια λογοτεχν
2.52 Η
για τις δεκαε
2.53 Αν
2.54 H τ
x η μέση τιμ
2.55 Έσ
τυπική απόκ
Α) τη
Β) την
2.56 Θε
πλήθος αριθ
Α. Η
2.57 Τέσ
A) Να
B) Αν
Γ) Aν
1 2 3x , x , x , x
απόκλιση τω
πόκλιση
ι χρόνοι αναμ
ό πίνακα. Να
να δείγμα με
ή της μεταβλη
κλιση του νέο
ωτήθηκαν 40
ν από 0 έως
θητές πάνω α
νική σειρά δ
μέση τιμή κα
εννέα τιμές ι
ν για ένα σύν
τυπική απόκ
μή, δείξτε ότι
στω t1, t2, …,t
κλιση s1 = 2, ε
μέση τιμή το
ν τυπική από
εωρούμε 1α τ
θμών που έχο
μέση τιμή τω
σσερις αριθμ
α αποδείξετε
ν η διακύμαν
ν στους παρα
4 5 6x , x , x τέτ
ων 10 αριθμώ
μονής σε στά
α βρείτε την τ
εγέθους ν 3
ητής και δημ
ου δείγματος
0 μαθητές ενό
ς και 20 . Οκ
από 16 και δ
δωρεάν , πόσα
αι η διακύμα
ισχύει 
19
i 1
x


νολο παρατη
κλιση μιας με
ι 1 2t t ...  
100 οι τιμές μ
ενώ οι υπόλο
ου συνόλου,
όκλιση s του
το πλήθος αρ
ουν διακύμαν
ων 1 2α α αρ
μοί x,y,z,w
ότι x 1 κα
νση των τεσσ
απάνω τέσσερ
τοιους ώστε

ών.
άση λεωφορε
τυπική απόκλ
35 έχει μέση
μιουργούμε έ
ς.
ός Λυκείου π
κτώ μαθητές α
δέκα πάνω απ
α τουλάχιστο
ανση των 20
2
ix x 79  ,
ηρήσεων ισχύ
εταβλητής Χ
vt =x .
ιας μεταβλητ
οιπες έχουν μ
υ συνόλου.
ριθμών που έ
νση 2
2s και τη
ριθμών είναι
με x y z  
αι w 5
σάρων αριθμώ
ρις αριθμούς
6
i
i 1
x 38


 κ
είων 20 ατόμ
κλιση.
τιμή x και τ
ένα δείγμα μ
πόσα λογοτεχ
απάντησαν κ
πό 12 . Αν γ
ον βιβλία πρ
τιμών ενός
, να βρεθεί η
ύει ότι
ν
i 1
x


είναι ίση με
τής. Οι πρώτ
μέση τιμή 2x
έχουν διακύμ
ην ίδια μέση
ι x και η δια
w έχουν μέ
ών είνα
5
2
ν
ς προσθέσουμ
και
6
2
i
i 1
x



μων φαίνετα
τυπική απόκ
εγέθους ν 
χνικά βιβλία
κάτω από 4
για τους 2 πο
ρέπει να έχει
δείγματος εί
εικοστή τιμή
2
i 88 , s 
το μηδέν. Αν
τες 20 παρατη
2 = 20 και s2 =
μανση 2
1s και
τιμή x . Να
ακύμανση του
έση τιμή 3, δ
να βρείτε του
με και άλλου
244 να βρε
ι Χρόν
1,3
3,5
5,7
7,9
λιση s . Παίρ
36 . Να βρεθ
α έχουν διαβά
, είκοσι μαθη
ου διαβάζουν
διαβάσει κά
ίναι x 6 κα
ή.
7 , x 2 , να
ν 1 2 vt ,t ,...,t
ηρήσεις έχου
= 5. Να βρείτ
ι μέση τιμή x
α αποδείξετε ό
υς είναι 2
s 
ιάμεσο 3 και
υς αριθμούς y
υς 6 αριθμού
είτε την μέση
νος
3
5
7
9
ρνουμε την μ
θεί η μέση τιμ
άσει . Οι απ
ητές κάτω απ
ν ποιο πολύ
άποιος για να
αι 2
s 4 , αν
α βρεθεί το v
είναι οι τιμ
υν μέση τιμή
τε:
. Όμοια θεω
ότι:
2 2
1 1 2 2
1 2
α s α s
α α



ι εύρος 4.
y και z .
ύς τους
η τιμή και την
Στατιστικ
Μαθητές
6
8
4
2
μέση τιμή ως
μή και η
αντήσεις
πό 8 ,
τους δοθεί
α κερδίσει;
ντίστοιχα. Αν
v
ές της x και
1x = 10 με
ωρούμε 2α το
ν τυπική
κή
ς
ν

19. Γ Λυκείου –
http://users.s
CV
2.58 Σε
2.59 Έν
να βρείτε το
2.60 Οι
πόσοι είναι ο
2.61 Στ
σχετικών συχ
σε ένα μάθημ
Δίνεται ότι 2
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
ομοιογενές ω
2.62 Σε
Α. Αν
των υπαλλήλ
Β. Θε
α)
34600000 ευ
β)
γ)
μέσος μισθός
κάνει η εταιρ
2.63 Τα
μαθητές. Σε
αS 2,5 και
A) Απ
B) Να
2.64 Θε
, Μ τον στα
0,1α 0,1β
2
21 s α  
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
ένα δείγμα ι
να σύρμα μήκ
συντελεστή
ι βαθμοί των
οι μαθητές το
ο διπλανό σχ
χνοτήτων τη
μα. Η βαθμο
20 μαθητές έ
α αποδείξετε
α βρείτε τη δ
α εξετάσετε α
ως προς την
μια εταιρεία
ν οι εργάτες ε
λων (εργατώ
εωρούμε ότι η
Αν η τυπική
υρώ ,τότε να
Να εξετάσετ
Η εταιρεία
ς των υπαλλή
ρεία.
α δύο τμήματ
ένα κοινό δι
ι του B είναι
πό τις βαθμολ
α βρείτε την τ
εωρούμε το δ
αθμικό μέσο τ
0,1γ
β γ δ  να
ά Γενικής Παι
agr
ισχύει ότι x 
κους 20 c 
μεταβολής τ
μαθητών εν
ου τμήματος
χήμα δίνεται
ης βαθμολογί
ολογία κυμαί
έχουν βαθμό
ότι ο αριθμό
ιάμεσο.
αν το δείγμα
βαθμολογία
α ο μηνιαίος
είναι τετραπλ
ών και στελεχ
η εταιρεία έχ
ή απόκλιση τ
βρείτε τον α
τε αν υπάρχε
αποφασίζει ν
ήλων ,να μην
τα της Γ΄ τάξη
ιαγώνισμα, η
ι βS 1,5 ,ενώ
λογίες των δ
τυπική απόκ
δείγμα α, β,
του δείγματο
0,1δ και s
βρείτε τα μ
ιδείας
4s 0  . Να
cm κόβεται σ
των 1 2, ,... 
ός τμήματος
ς;
ι το πολύγων
ίας μιας ομά
ίνεται από 0
ό μικρότερο τ
ός των μαθητ
των 80 μαθη
.
μισθός των ε
λάσιοι σε αρ
χών) της εται
χει ν υπαλλήλ
των μισθών ε
αριθμό των υπ
ει ομοιογένει
να αυξήσει κ
ν υπερβαίνει
η ενός λυκείο
η τυπική από
ώ η μέση βαθ
δύο τμημάτων
κλιση της βαθ
γ, δ με α β
ος με αντίστο
s τη τυπική α
, s, CV
βρείτε το συ
σε δέκα κομμ
10., .
ς έχουν μέση
νο αθροιστικ
άδας μαθητών
0 έως 20 .
του 6 .
τών είναι 80
ητών είναι
εργατών είνα
ριθμό από τα
ιρείας.
λους με μισθ
είναι 140 ευρ
παλλήλων π
ια στους μισ
κατά α ευρώ
ει τα 900 ευρ
ου έχουν:το τ
όκλιση της βα
θμολογία τω
ν, ποια έχει τ
θμολογίας όλ
β γ δ  . Ον
οιχους συντε
απόκλιση του
Fi%
υντελεστή μετ
μάτια με μήκη
τιμή 12 και
κών
ν
αι 750 € ενώ
στελέχη της
θούς ix ,όπου
ρώ και το άθ
που απασχολε
θούς των υπα
τους μισθούς
ρώ. Να βρείτε
τμήμα A έχε
αθμολογίας τ
ων δύο τμημά
τη μεγαλύτερ
λων των μαθ
νομάζουμε μ
λεστές στάθμ
υ δείγματος .
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 4
ταβολής.
η 1 2, ,...,  
CV 0,25 .
ώ των στελεχ
εταιρείας ,να
υ i 1,2,...,v
θροισμα των
εί η εταιρεία
αλλήλων.
ς των εργατώ
ε την μέγιστη
ει 18 μαθητέ
των μαθητών
άτων είναι η
ρη ομοιογένε
θητών της τάξ
τον αριθμη
μισης
. Αν μ Μ 2 
8 12
βαθμολογία
10 Αν 
10
i 1



. Αν
ν
2
i
i 1
x


χών είναι 110
να βρείτε το μ
v .
τετραγώνων
α.
ών ,έτσι ώστε
η αύξηση ,πο
ές και το τμή
ν του τμήματ
ίδια.
εια;
ξης αυτής.
ητικό μέσο το
21 και
1
16 20
2
i 2 90   ,
3060
00 €
μέσο μισθό
ν τους είναι
ε ο νέος
ου μπορεί να
ήμα B 22
τος A είναι
ου δείγματος
19
,
α
ς

20. 20
2.65 Οι
2
s 4 . Να β
1 2 νx , x ,...,x
2.66 Έσ
μέση τιμή 8
1 2A , A ,...,A
2.67 Έσ
βρείτε πόσες
να είναι ομο
2.68 Τα
εργοστάσιο σ
Να βρείτε: τη
και τον συντ
2.69 Η
αντίστοιχα.
Β) πό
2.70 Οι
Α) να
Β) πρ
Γ) αν
ατόμων
2.71 Δεί
σειρά είναι :
Α) Να
αν προστεθε
2.72 Δίν
ιστόγραμμα
Α Να
Β Να
Γ Να
Δ Να
ι παρατηρήσε
βρείτε το συν
αν ελαττώσ
στω ευθεία (ε
8 και τυπική
9A .
στω 1 2x , x ,...
ς μονάδες -το
οιογενές.
α χρόνια εργα
σχηματίζουν
η διάμεσο, τη
τελεστή μετα
μέση τιμή κα
Αν για τις εν
όσες μονάδες
ι σημερινές η
α βρεθεί η μέσ
ριν πόσα χρό
ν το άθροισμα
ίγμα μεγέθου
3, s 1, 5, μ
α αποδείξετε
εί σε κάθε μια
νεται ότι 2F %
α
α συμπληρωθ
α βρεθούν μέ
α βρεθούν μέ
α εξετασθεί α
εις 1 2x , x ,...
ντελεστή μετα
σουμε κάθε μ
ε) : y=-3x+2
ή απόκλιση 2
ν.,x οι παρα
ουλάχιστον-
ασίας ενός δ
ν το διπλανό
η μέση τιμή,
αβολής ύστερ
αι ο συντελεσ
ννέα τιμές ισ
τουλάχιστον
ηλικίες κάποι
ση σημερινή
νια από σήμ
α των τετράγ
υς 10 έχει εύ
μ, μ, μ 1, μ
ότι μ δ
α από τις παρ
% 30 και το
θεί ο πίνακα
έτρα απόλυτη
έτρα σχετική
αν το δείγμα
ν,x ενός δείγ
αβολής των π
μια κατά 20%
και τα σημεί
2 . Να βρείτε
ατηρήσεις ενό
πρέπει να αυ
είγματος εργ
ό πολύγωνο α
την τυπική α
α από 5 χρό
στής μεταβολ
σχύει ότι:
9
i 1

ν πρέπει να α
ιων ατόμων έ
τους ηλικία
μερα το δείγμ
γωνων των σ
ύρος R , μέση
1, 10, 11, μ
Β) Να
ρατηρήσεις τ
ο παρακάτω
ς κατανομής
ης διασπορά
ς διασποράς
είναι ομοιογ
Y cX c 
γματος μεγέθ
παρατηρήσε
% και μετά π
ία της 1A , A
ε το συντελεσ
ός δείγματος
υξήσουμε την
γαζομένων σ
αθροιστικών
απόκλιση
όνια.
λής των 10 τ
 2
i
1
x x 3 

αυξηθεί κάθε
έχουν 1CV 
μα των ηλικιώ
σημερινών ηλ
η τιμή μ , τυ
μ 5 R 
βρείτε τα μ,
του παραπάν
πολύγωνο σ
ς.
άς.
ς.
γενές.
θους ν έχουν
ων 1 2y , y ,..
ροσθέσουμε
2 9A ,...,A με τ
στή μεταβολή
ς που έχουν μ
ν κάθε μια α
σε ένα
συχνοτήτων
τιμών ενός δε
3975 να βρεί
ε τιμή του δε
0,05 ενώ πρ
ών τους ήταν
λικιών είναι
πική απόκλι
s, R Γ) Να
νω δείγματος
συχνοτήτων α
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
Ni
ν μέση τιμή x
ν.,y που προ
σε κάθε μια
τετμημένες x
ής των τεταγ
μέση τιμή και
από τις παρατ
ν.
είγματος είνα
ίτε: Α)
είγματος ώστ
ριν από 16 χ
ν για πρώτη
1604 να βρε
ση s και οι τ
α βρείτε τον
ς αυτό θα μετ
από
6 12 18
χρόνια εργασία
x 3 και δια
οκύπτουν απ
το 1,6
1 2 9x , x ,...,x π
γμένων των σ
αι διακύμανσ
τηρήσεις ώστ
αι x 80 κα
τη δέκα
τε να γίνει ομ
χρόνια είχαν
φορά ομογεν
εθεί το πλήθο
τιμές του κατ
ελάχιστο φυ
τατραπεί σε
Στατιστικ
8 24 30
ας
ασπορά
πό τις
που έχουν
σημείων
ση 4. Να
τε το δείγμα
αι CV 25%
τη τιμή
μοιογενές
ν 2CV 25%
νές;
ος των
τά αύξουσα
σικό κ που
ομοιογενές .
κή

21. Γ Λυκείου –
http://users.s
Κανονική
2.73 Οι
παρατηρήσε
παρατηρήσε
2.74 Η
βαθμό το πο
να να εξετά
2.75 Τα
κατανομή. Δ
πόσα άτομα
2.76 Οι
παρατηρήσε
Α) Να
Β) Να
2.77 Έσ
–περίπου- R
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
2.78 Έν
Αν
10
i
i 1
x



2.79 Η
μηχανή, ότα
δείγματος εί
Α) Να
Γ) Θε
βρέθηκαν 15
2.80 Έν
των βιδών ω
το 95% περί
cm τότε
Α) Να
Β) Αν
ελαττωματικ
Γ) Σε
ελαττωματικ
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
κατανομή
ι παρατηρήσε
εων είναι μεγ
εων από 20 ε
βαθμολογία
ολύ 12 και 5
άσετε αν το δε
α νούμερα τω
Δέκα άτομα φ
φοράνε παπ
ι παρατηρήσε
εις είναι μικρ
α βρείτε κατά
α εξετάσετε α
στω μεταβλητ
R 36 και CV
α υπολογίσετ
α αποδείξετε
α βρείτε τη μ
να δείγμα έχε
2,4 και
10
i 1

διάρκεια ζωή
αν λειτουργεί
ίναι 20 και 2
α εξετάσετε α
εωρούμε μια
5 ηλεκτρικές
να μηχάνημα
ως προς το μή
ίπου των βιδ
α βρείτε το π
ν μία βίδα έχ
κή. Να βρείτε
ποιοτικό έλε
κές. Η πρότα
ά Γενικής Παι
agr
ή
εις μιας μετα
γαλύτερες το
εως 35
200 μαθητώ
5 μαθητές το
είγμα των βα
ων παπουτσιώ
φοράνε παπο
πούτσια από
εις μια μεταβ
ρότερες του 1
ά προσέγγιση
αν το δείγμα
τή Χ η οποία
V 20%
τε το ποσοστό
ότι αν οι τιμ
μικρότερη τιμ
ει μέγεθος ν=
0
2
i
1
x 4,86
 τ
ής (σε χιλιάδ
ί κανονικά,
200 ηλεκτρικ
αν το δείγμα
συσκευή ελα
ς συσκευές πο
α κατασκευάζ
ήκος τους, είν
δών που κατα
οσοστό των
χει μήκος μικ
ε το ποσοστό
εγχο 10000 β
αση: «Το μηχά
ιδείας
αβλητής X α
υ 30 και το
ών σε ένα δια
υλάχιστον 1
αθμών είναι
ών ενός δείγμ
ούτσια με νο
νούμερο 37
βλητής X με
18 και 128 μ
η το εύρος το
των παρατη
α παίρνει θετ
ό των ατόμω
μές της Χ αυ
μή του ω , ώσ
=10 και η μετ
τότε να βρείτ
δες ώρες) ενό
ακολουθεί κ
κές συσκευές
είναι ομοιογ
αττωματική ό
ου έχουν διά
ζει βίδες. Ότ
ναι κανονική
ασκευάζει το
βιδών που έχ
κρότερο ή ίσο
ό των ελαττω
βιδών που κα
άνημα παρο
ακολουθούν τ
84% μεγαλύ
αγώνισμα είν
16 . Να βρείτ
ομοιογενές.
ματος 400 α
ούμερο τουλά
7 έως 43
εγέθους 800
μεγαλύτερες
ου δείγματος
ηρήσεων είνα
τικές τιμές, α
ων που η τιμή
υξηθούν κατά
στε το δείγμα
ταβλητή ακολ
τε το συντελε
ός δείγματος
κανονική ή π
έχουν ζωή το
γενές.
όταν έχει διά
άρκεια ζωής κ
ταν το μηχάν
ή με μέση τιμ
ο παραπάνω
χει μήκος μετ
ο των 5,4 cm
ωματικών βιδ
ατασκευάζει
ουσιάζει πρόβ
την κανονική
ύτερες του 15
ναι περίπου
τε πόσοι μαθ
ατόμων ακολ
άχιστον 43 κ
ακολουθούν
του 36 .
ς.
αι ομοιογενές
ακολουθεί τη
ή τους είναι μ
ά ω 0 , ο C
α να γίνει ομ
λουθεί την κ
εστή CV
8000 ηλεκτρ
περίπου κανο
ουλάχιστον
άρκεια ζωής κ
κάτω από 17
νημα λειτουρ
μή x (σε cm)
μηχάνημα έχ
ταξύ 5,8 cm
m ή μεγαλύτε
δών.
ι το μηχάνημ
βλημα λειτου
ή κατανομή.
5 να βρείτε τ
κανονική. Εκ
ητές έχουν β
λουθούν περί
και 64 άτομα
ν την κανονικ
ς.
ν κανονική κ
μεταξύ 24 κα
V θα μειωθε
οιογενές.
ανονική κατ
ρικών συσκευ
ονική κατανο
22
κάτω από 17
7 , εξετάστε α
ργεί σωστά, η
και τυπική α
χουν μήκος μ
m και 6 cm
ερο ή ίσο των
μα, 45 βίδες
υργίας» είνα
. Αν το 2,5%
το ποσοστό τω
κατό μαθητέ
βαθμό από 8
ίπου την καν
α το πολύ 37
ική κατανομή
κατανομή κα
αι 42
εί
τανομή.
υών που παρ
ομή. Η διάμε
7 . Αν στο δεί
αν η μηχανή
η κατανομή σ
απόκλιση s
μεταξύ 5,6 c
ν 6,6 cm τότ
βρίσκονται
αι Σωστή ή Λ
2
% των
ων
ές έχουν
έως 16 και
νονική
7 . Να βρείτε
ή. Είκοσι
αι έχει εύρος
ράγει μια
εσος του
ίγμα
έχει βλάβη.
συχνοτήτων
(σε cm). Αν
cm και 6,4
τε θεωρείται
άθος;
21

22. 22
3 ΠΙΘ
Δειγματικ
3.01 Σ’
(Λ). Να βρεθ
Α) Επ
Β) Επ
Γ) Επ
3.02 Μ
βρεθούν 2 ελ
Α) Το
Β) Τα
3.03 Δύ
τελειώνουν
αγώνες ανεξ
α) Το
β) Τα
γ) Πό
δ) Τι
Ερωτή
3.04 * Ρ
αντίστοιχα α
αυτού είναι:
Δ.
3.05 * Ε
Ο δειγματικ
Α. Ω = {Κ, Σ}
3.06 * Έ
αποτέλεσμα
Α. Α  Β.
3.07 * Τ
Η φράση «το
Α. α  Α΄.
παραπάνω.
ΘΑΝΟΤΗΤ
κός χώρος
ένα κουτί υπ
θεί ο δειγματ
πιλέγουμε τυχ
πιλέγουμε τυχ
πιλέγουμε τυχ
Μια δισκογρα
λαττωματικά
ο δειγματικό
α ενδεχόμενα
ύο ομάδες Ο1
ποτέ με ισοπ
ξαρτήτως σει
ο δειγματικό
α ενδεχόμενα
όσους αγώνε
παρατηρείτε
ήσεις πολλαπλ
Ρίχνουμε μια
ανά δύο έδρε
Α. Ω = {3}.
Ω = {1,1, 1,2,
Ελέγχουμε δι
κός χώρος Ω τ
}. Β. Ω
Έστω Α = {1,
της ρίψης εί
Β. Α΄.
Τα Α και Β εί
ο Α πραγματ
Β. α 
ΤΕΣ
- Ενδεχόμ
πάρχουν 4 ομ
τικός χώρος τ
χαία ένα μολ
χαία ένα μολ
χαία ένα μολ
αφική εταιρεί
ά CD ή όταν
χώρο Ω.
α: α) Α
β) τουλ
γ) το πο
1, Ο2 παίζουν
παλία). Νική
ράς. Να βρεί
χώρο Ω των
α: i) Ακ
ii) τουλ
ς το πολύ θα
ε για τα ενδε
λής επιλογής
α φορά έναν
ες του και κα
, 1,3, 2,1, 2,2,
ιαδοχικά βιβ
του πειράματ
= {ΚΚ, ΚΣ}.
3, 5} και Β =
ίναι ο αριθμό
Γ. Β.
ίναι ενδεχόμε
τοποιείται»
 Α΄ - Β.
μενα
μοιόμορφα μ
του πειράμα
λύβι.
λύβι, το τοπο
λύβι και μετά
ία ελέγχει τα
έχουν ελεγχθ
Ακριβώς 2 ελα
λάχιστον 2 ελ
ολύ 2 ελαττω
ν μεταξύ του
ήτρια θεωρεί
ίτε:
αποτελεσμά
κριβώς μία ν
λάχιστον μία
α είχε μία τέτο
εχόμενα β(ii)
κύβο ο οποίο
αταγράφουμε
Β. Ω = {1, 2
, 2,3, 3,3}.
βλία μέχρι να
τος είναι
Γ. Ω = {ΚΚ
{2, 4, 6} δύο
ός 3 τότε πρα
Δ. Α
ενα ενός πειρ
διατυπωμένη
Γ. α 
μολύβια 1 κό
ατος στις ακόλ
οθετούμε ξαν
ά επιλέγουμε
α compact dis
θεί 4 CD. Να
αττωματικά C
λαττωματικά
ωματικά CD
ς σε μια σχο
ίται η ομάδα
άτων των αγώ
νίκη της ομάδ
α νίκη της ομ
οια ποδοσφα
και β(iii);
ος έχει καθέν
ε το αποτέλε
2, 3}.
Ε. {1
α βρούμε ένα
Κ, ΣΣ}. Δ. Ω
ενδεχόμενα
αγματοποιείτ
Α  Β.
ράματος τύχ
η σε γλώσσα
Α΄  Β.
όκκινο (Κ), 1
λουθες περιπ
νά στο κουτί
ε άλλο ένα (χ
sks (CD) που
α βρείτε:
CD,
ά CD,
.
ολική ποδοσφ
α που θα νική
ώνων της συν
δας Ο1,
άδας Ο1.
αιρική συνάν
ναν από τους
σμα. Ο δειγμ
Γ. Ω = {1
1,2, 2,1, 1,3, 3
α κακοτυπωμ
Ω = {Κ, ΣΚ, Σ
της ρίψης εν
ται το ενδεχό
Ε. Β΄  Α
χης και α ένα
α συνόλων είν
Δ. α  Α
πράσινο (Π)
πτώσεις: (μας
και μετά επιλ
χωρίς επανα
υ παράγει. Ο
φαιρική συνά
ήσει σε δύο α
νάντησης.
ντηση;
ς αριθμούς 1,
ματικός χώρο
1,1, 2,2, 3,3}.
3,1}.
μένο (Κ) ή δύ
ΣΣ}. Ε. {Κ,
νός ζαριού μι
όμενο
Α΄.
α αποτέλεσμα
ναι ισοδύναμ
Α. Ε. κ
), 1 μαύρο (Μ
ς ενδιαφέρει
ιλέγουμε άλλ
ατοποθέτηση)
Ο έλεγχος στα
άντηση (οι α
αγώνες στη σε
, 2, 3 γραμμέ
ος Ω του πειρ
ύο σωστά τυπ
,ΣΣ}.
μια φορά. Αν
α του πειράμ
μη με την
κανένα από τ
Στατιστικ
Μ), 1 λευκό
το χρώμα)
λο ένα
).
αματά όταν
αγώνες δεν
ειρά ή σε δύο
ένους
ράματος
πωμένα (Σ).
ν το
ατος αυτού.
τα
κή
ο

23. Γ Λυκείου –
http://users.s
Ερωτή
3.08 Ο
Χαρακτηρή
Α  Β
Γ  Δ  Α
(Γ  Δ)  Α
Ερωτη
3.08.1.1.1
Ερωτή
3.10 Σ
πίνακα γρά
για τα ενδε
ενός πειράμ
γράφονται
ισχυρισμοί
γλώσσα τω
αποτέλεσμα
αυτού). Αν
κατάλληλα
στήλης Α μ
στήλης Β.
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
ήσεις «Σωστό
Οι παρακάτω
ήστε κάθε μια
Β  Α
Β  Γ =
Α = Α (Γ 
ησεις συμπληρ
3.09 Συ
πίνακα βάζο
Β τον χαρακ
(σωστό) ή Λ
βάλατε Λ (λ
συμπληρώσ
τη σωστή σχ
το δεξιό μέλ
αντίστοιχης
ήσεις αντιστοί
Στη στήλη Α τ
άφονται ισχυ
εχόμενα Α κα
ματος. Στη σ
ι ισοδύναμοι
ί διατυπωμέν
ν συνόλων (w
α του πειράμ
ντιστοιχίστε
α κάθε στοιχε
με ένα μόνο τ
ά Γενικής Παι
agr
- Λαθος»
ω σχέσεις ανα
α από αυτές
Γ  Β
= Β Β  Γ
 Δ)  Α = Β
ρωσης
υμπληρώστε
οντας στη στ
κτηρισμό Σ
Λ (λάθος). Όπ
λάθος)
στε στη στήλη
χέση διορθών
λος της
ς ισότητας.
ίχισης
του
υρισμοί
αι Β
στήλη Β
ι
νοι στη
w ένα
ματος
είo της
της
1
2
πρ
3
κα
4
5
πρ
6
7
8
9
ιδείας
αφέρονται στ
ως (Σ) ή (Λ)
Δ  Γ
Γ  Δ = Α
Β  Δ =
τον
τήλη
που
η Γ
ντας
Α  Α
Α  
Α  
Α΄  Α
Α΄  Α
Ω΄ = Ω
(Α΄)΄ =
Α  Β
΄ = Ω
Αν Α
Α΄  Α
Α΄  Α
(Α΄)΄ =
Αν Α
Σ
Το Α δεν πραγ
Ένα τουλάχιστ
ραγματοποιείτα
Πραγματοποιο
αι το Β.
Το Α πραγματ
Κανένα από τα
ραγματοποιείτα
Πραγματοποιε
Το Β πραγματο
Πραγματοποιε
Πραγματοποιε
το διπλανό δ
Γ Γ  Δ
Α  Β = Β
= Δ
Α = A
 = Α
 = Α
Α = Ω
Α = 
Ω
= Ω
= Β  Α
Ω
 Β τότε Α 
Α = Ω
Α = 
= Α
 Β τότε Α 
Στήλη Α
γματοποιείται.
τον από τα Α κ
αι.
ούνται συγχρόν
τοποιείται.
α Α και Β δεν
αι.
είται μόνο το Α
οποιείται
είται μόνο το Α
είται μόνο το Β
ιάγραμμα το
Δ  Α Γ
Α  Β = Β
(Γ  Β
Β = Β
Β = Α
αι Β
νως και το Α
ή μόνο το Β.
Α.
Β.
ου Venn.
 Δ  Β
Β
)  Α = Γ
Α) w  A
Β) w  (A 
Γ) w  ( A΄ -
Δ) w  (A 
Ε) w  (A 
Ζ) w  A΄
Η) w  (A 
Θ) w (Α 
Ι) w  Β
Κ) w (Α 
Λ) w (Β 
Μ) w  (B 
Ν) w  (A 
Ξ) w  (A΄
Ω
A Γ
Στήλη Β
 B΄)
- Α)
 Β)
 Β)
 B)΄
Β΄) (Α΄  
Β΄)
Α΄)
 A)΄
B)΄
 Β)
2
B
Γ Δ
Β)
23

24. 24
ΠΙΘΑΝΟΤ
Ισοπίθανα
3.11 Έσ
τυχαία ένα σ
Α) στο
3.12 Ρίχ
3.13 Έσ
όπου: Α το ε
3.14 Σε
πιθανότητα
βρείτε: Α)
Β)
Γ)
3.15 Η
επέλεξαν το
βόλεϋ είναι
3.16 Έν
πιθανότητα:
3.17 Σ
ένα μάθημα
βαθμό:
3.18 Σ
Αν εκλέξου
Α) λιγό
Γ) Κάτ
ΤΗΤΕΣ
α ενδεχόμε
στω τα σύνολ
στοιχείο του
ο Α και όχι σ
χνουμε δύο ζ
στω το σύνολ
ενδεχόμενο η
ένα Λύκειο
να είναι μαθ
το πλήθος ό
το πλήθος τ
την πιθανότ
Α΄τάξη Λυκε
βόλεϋ. Επιλέ
0,4 να βρείτ
να κουτί περι
: Α)
Β)
Γ)
Στο διπλανό π
α. Αν εκλέξο
Α) 8
Β) Το
Γ) Του
Δ) 5 ή
Στο διπλανό π
υμε τυχαία έν
ότερο από 2
τω από 15 απ
ενα
λα: Ω 1,2,
Ω , να βρείτ
στο Β Β)
ζάρια μαζί Ν
λο Ω 1,0, 
η εξίσωση 2
x
οι μαθητές τ
θητής της Α τ
όλων των μαθ
των μαθητών
τητα να είνα
είου έχει 50
έγουμε τυχαί
τε: Την
ιέχει 2 άσπρε
να είναι δύ
να είναι η π
να είναι κα
πίνακα έχου
ουμε τυχαία έ
πολύ 6
υλάχιστον 5
ή 7
πίνακα έχου
να μαθητή το
0 απουσίες
πουσίες
3,4,5 , Α 
ε τις πιθανότ
σε ένα το π
Να βρείτε την
1,2 . Εκλέγο
2x λ 0  
ης Α τάξης ε
τάξης είναι 0
θητών του Λ
ν της Β τάξης
αι ένας μαθητ
αγόρια και κ
ία ένα άτομο
πιθανότητα
ες και 3 κόκκ
ύο κόκκινες
πρώτη άσπρη
αι οι δύο άσπ
με τη βαθμολ
ένα φοιτητή
με τις απουσ
ου τμήματος
Β) Το
Δ) Το
ω Ω /ω 
τητες να ανή
πολύ από τα
ν πιθανότητ
ουμε τυχαία
έχει δύο ρίζε
είναι 54 . Αν
0,36 και η π
Λυκείου
τής που εκλέξ
κορίτσια. Το
ο. Αν η πιθαν
να είναι κορ
κινες σφαίρες
η και η δεύτε
πρες
ολογία μιας ο
να βρείτε τη
σίες των μαθη
να βρείτε τη
ουλάχιστον
ουλάχιστον
4 , B ω 
ήκει:
Α και Β
α να φέρουμ
ένα λ Ω ,
ες άνισες
εκλέξουμε τυ
ιθανότητα ν
ξαμε τυχαία
ο 20% των αγ
νότητα να είν
ρίτσι και να μ
ς. Βγάζουμε δ
ερη κόκκινη
ομάδας φοιτη
ν πιθανότητ
ητών ενός τμ
ην πιθανότητ
10 απουσίες
23 απουσίες
Ω /ω περιττ
με 6 στο ένα
να βρείτε τη
υχαία ένα μα
να είναι της Β
μαθητής της
γοριών και τ
ναι αγόρι κα
μην επέλεξε β
διαδοχικά δύ
ητών σε
α να έχει
Β
4
5
6
7
μήματος.
τα να έχει:
ς
ς.
τός . Αν εκλ
α και 5 στο
ην πιθανότητ
αθητή του Λυ
Β τάξης είναι
ς Γ τάξης.
τα
2
5
των κο
αι να μην επέ
βόλεϋ
ύο σφαίρες. Ν
Βαθμός
4
5
6
7
Απουσίες
 0,10
 10,20
 20,30
 30,40
Πιθανότητε
λέξουμε
άλλο
τα του  Ρ Α
υκείου η
ι 0,34 . Να
ριτσιών
έλεξε το
Να βρεθεί η
Φοιτητές
2
6
8
4
Μαθητές
5
10
20
15
ες

25. Λ
Γ Λυκείου –
http://users.s
Λογισμός
3.19 Έσ
i)  P A B
ii) η πιθανότ
3.20 Αν
   P Β P Α
3.21 Αν
τότε βρείτε τ
3.22 Θε
 
2
P A
3
  , P
3.23 Αν
να υπολογίσ
3.24 Αν
υπολογίσετε
3.25 Αν
3.26 Αν
υπολογίσετε
3.27 Αν
  P A 2P Β
3.28 Δύ
βρεθεί η πιθα
3.29 Εσ
και  Ρ Β β
 P A B 
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
Πιθανοτή
στω Α, Β ενδε
  P A P A 
τητα να πραγ
ν Α,Β ενδεχ
1
3
 να βρεθ
ν Α,Β ενδεχ
τις πιθανότητ
εωρούμε τα ε
 
1
P A B
4
 
ν για δύο ενδ
σετε την πιθα
ν για δύο ενδ
ε την πιθανότ
ν
3 2
Ρ(Α ) Ρ(Α


ν για δύο ενδ
ε την πιθανότ
ν για δύο ενδ
Β 1 και 2P
ύο συμπληρω
ανότητα του
στω A, B δύο
β . Να βρεθού
 P A B 
ά Γενικής Παι
agr
των
εχόμενα ενός
A B , P A
γματοποιηθε
όμενα ενός δ
θούν οι πιθα
όμενα ενός δ
τες P A B 
ενδεχόμενα A
1
4
. Να βρείτε
δεχόμενα A,
ανότητα P A
δεχόμενα A,
τητα P Β Α
25
Α) 6
 να β
δεχόμενα A,
τητα  P Β
δεχόμενα A,
 P A B 1 
ωματικά ενδε
υ καθενός
ο ενδεχόμενα
ύν οι πιθανό
P A
ιδείας
ς δειγματικού
  A B P B 
εί ένα μόνο α
δειγματικού
ανότητες P A
δειγματικού
 και P A 
A,B ενός πει
τις πιθανότη
B ενός δειγμ
A B
B ενός δειγμ
Α
βρείτε τις P A
B ενός δειγμ
B ενός δειγμ
να υπολογίσ
εχόμενα ενός
α ενός δειγμα
ότητες:
B P A
ύ χώρου Ω .
  P A B 
από τα ενδεχ
χώρου Ω κα
A ,  P Β , P
χώρου Ω κα
B .
ιράματος τύχ
ητες:  P A ,
ματικού χώρ
ματικού χώρ
A και P A
ματικού χώρ
ματικού χώρ
σετε τις πιθα
ς δειγματικού
ατικού χώρο
A B
Να αποδειχ
.
χόμενα A, B
αι ισχύουν Α
 Α Β και
αι ισχύουν P
χης, με πιθαν
 P B , P A 
ρου Ω ισχύου
ρου Ω ισχύου

ρου Ω ισχύει
ρου Ω ισχύει
νότητες P Α
ύ χώρου έχου
ου Ω για τα ο
θεί ότι:
είναι  P A
Α Β ,  P A 
 P Α Β .
 
1
P A B
4
  ,
νότητες τέτοι
B  .
υν:  P A B
υν:  
1
P A
2
 
:  3P A B 
ότι:  P A 
Α Β , P Β 
υν γινόμενο
οποία ισχύου
  P B 2P 
 
5
P Β
12
  κ
,  
1
P A
3
 ,
ιες ώστε: P A

2
5
 ,  P A
1
2
,  P A B
1 3Ρ Α  
 3P Α ,
Α , P A 
πιθανοτήτω
υν A B Ω 
2
 A B .
και
 
2
P B
3
 ,

3
A B
4
  ,
 
11
P Β
10
 

5
6
 να
Β να
B 
ων
2
9
. Να
Ω ,  Ρ Α α ,
25
,

26. 26
3.30 Αν
 P A B 
3.31 Αν
και P A Β
Α)  P A Β
3.32 Δίν
1
P(A B)
4
 
πραγματοπο
3.33 Δίν
P(A B) P 
3.34 Να
διαδοχικοί ό
3.35 Έσ
ισχύει ότι: Ρ
3.36 Έσ
Να πραγματ
συγχρόνως κ
Α) ένα
Γ) κα
Ε) μό
3.37 Έσ
 
1
P A B
6
 
Α) Γ. «
Β) Δ:
3.38 Έσ
 
1
Ρ Β
2
  . Ν
ν A, B ενδεχ
 A B  
ν A,B είναι

2
Β
15
 , να βρ
 Β) P
νονται δύο ε
, P(A B)
4

οιηθεί μόνο έ
νονται τα εν
(A B) 0,5 
α αποδείξετε
όροι αριθμητ
στω Α,Β δύο
   Ρ Α Ρ Α 
στω Α,Β δύο
τοποιείται το
και τα δύο εί
α τουλάχιστο
ανένα από τα
όνο ένα από τ
στω Α, Β ενδε
1
6
. Να βρεθο
«Πραγματοπ
«Δεν πραγμ
στω Α,Β δύο
Να βρείτε την
χόμενα ενός
1
6
, να βρείτε
ενδεχόμενα
ρείτε τις
 A Γ) P
ενδεχόμενα A
1
20
 και P
ένα από τα εν
νδεχόμενα A
5 και  P A
ότι αν οι πιθ
τικής προόδο
ο ενδεχόμενα
  2
Ρ Α Ρ Β 
ο ενδεχόμενα
ο Α είναι
1
5
ίναι
1
6
. Να β
ον από τα Α
α Α και Β
τα Α και Β
εχόμενα ενός
ούν οι πιθανό
ποιείται ένα
ατοποιείται
ο ενδεχόμενα
ν πιθανότητα
δειγματικού
ε την πιθανότ
ενός δειγματ
 B Δ) P
A και B ενό
 
1
B A
2
   .
νδεχόμενα Α
,B,Γ του ίδι
 0,8 . Να β
θανότητες P
ου , τότε τα εν
α ενός δειγμα
Β . Να αποδ
α ενός δειγμα
, Να μην πρ
βρείτε την πι
και Β
ς δειγματικού
ότητες των εν
μόνο από τα
ούτε το A ο
α ενός δειγμα
α να μην πρα
ύ χώρου Ω κ
τητα P A
τικού χώρου
 P A Β 
ός δειγματικο
Να βρείτε τ
Α και Β .
ιου δειγματικ
βρείτε την P
P(A), P A B
νδεχόμενα Α
ατικού χώρου
δείξετε ότι το
ατικού χώρου
ραγματοποιε
ιθανότητα να
Β) το π
Δ) μόν
ΣΤ) Το Α
ύ χώρου Ω τ
νδεχομένων.
α A και B ».
ούτε το B ».
ατικού χώρου
αγματοποιεί
αι ισχύουν P
B .
Ω και ισχύο
Ε) P A
ού χώρου Ω
την πιθανότη
κού χώρου Ω
 B .
B , P(B), είνα
Α,Β είναι ισοπ
υ Ω με μη μη
Α είναι βέβ
υ Ω για τα ο
είται το Β είν
α πραγματοπ
πολύ ένα από
νο το Α
Α ή να μην
τέτοια, ώστε
υ Ω για τα ο
ίται κανένα
 
2
P A B
3
 
ουν οι ισότητ
A Β
για τα οποία
ητα του ενδεχ
Ω για τα οπο
αι με τη σειρ
πίθανα.
ηδενικές πιθ
βαιο ενδεχόμ
οποία ισχύει
ναι
3
5
και να
ποιείται: :
ό τα Α και Β
πραγματοπο
 
1
Ρ Α
3
 , Ρ
οποία ισχύει
από τα Α κ
2
3
και
τες  
1
P A
6

α ισχύουν:
χομένου να
οία ισχύει :
ρά που δίνον
θανότητες, γι
μενο και το Β
ι ότι η πιθανό
α πραγματοπ
οιείται το Β
 
1
Ρ Β
4
 και
ι ότι: Ρ Α Β
και Β
Πιθανότητε
1
6
,  
1
P A
6

νται ,
ια τα οποία
Β αδύνατο.
ότητα::
ποιούνται
ι

1
Β
4
 και
ες

27. Γ Λυκείου –
http://users.s
3.39 Αν
ότι: Α) P
3.40 Έσ
Να μην πρα
Να πραγματ
Να βρείτε τη
3.41 Στη
μπάσκετ και
πιθανότητα:
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
3.42 Απ
μπάσκετ και
πιθανότητα:
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
3.43 Στη
στην πενθήμ
Α) Να
Β) Να
3.44 Σε
έχει κινητό κ
είναι
1
5
, να
3.45 Η
πήγαν την π
κορίτσι και ν
έχει πάει στη
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
ν Α, Β ενδεχό
  A B P 
στω Α,Β δύο
αγματοποιείτ
τοποιείται μό
ην πιθανότητ
η Γ τάξη ενό
ι το 20% με τ
:
α μην ασχολε
α μην ασχολε
α ασχολείται
α ασχολείται
πό τους 50 μ
ι καθένας ασ
:
α μην ασχολε
α ασχολείται
α ασχολείται
η Γ τάξη ενό
μερη εκδρομή
α είναι αγόρι
α είναι κορίτ
ένα σχολείο
και Η/Υ. Επ
βρείτε την π
Β τάξη ενός Λ
προηγούμενη
να μην έχει π
ην συναυλία
ά Γενικής Παι
agr
όμενα ενός δ
  A P B
ο ενδεχόμενα
ται κανένα α
όνο ένα από
τα να πραγμ
ός Λυκείου τ
το ποδόσφαι
είται με το μ
είται ούτε με
ι με το μπάσκ
ι με ένα το πο
μαθητές της
σχολείται με τ
είται με το π
ι με το ποδόσ
ι με το ποδόσ
ς Λυκείου υπ
ή της τάξης τ
ι και να μην
τσι ή να μην
ο το 50% των
πιλέγουμε τυχ
πιθανότητα ν
Λυκείου έχει
η μέρα σε μια
πάει στην συ
.
ιδείας
ειγματικού χ
Β)
α ενός δειγμα
πό τα Α και
τα Α και Β
ματοποιείται
το 40% των μ
ιρο και με το
πάσκετ
ε το ποδόσφα
κετ και να μη
ολύ από τα π
Γ τάξης ενός
το ποδόσφαι
οδόσφαιρο
σφαιρο και μ
σφαιρο αλλά
πάρχουν 15
τους. Επιλέγο
έχει πάει εκδ
έχει πάει εκδ
ν μαθητών έχ
χαία ένα μαθ
να μην έχει Η
ι 40 αγόρια
α συναυλία. Ε
ναυλία είναι
χώρου Ω τέτ
P A B
ατικού χώρου
ι Β είναι
1
4
Β είναι
2
3
ένα το πολύ
μαθητών ασχ
ο μπάσκετ. Επ
αιρο ούτε με
ην ασχολείτα
παραπάνω α
ς Λυκείου οι
ιρο ή το μπάσ
με το μπάσκετ
ά όχι με το μπ
αγόρια και
ουμε τυχαία
δρομή
δρομή.
χει κινητό τη
θητή. Αν η
Η/Υ ούτε κιν
και κορίτσια
Επιλέγουμε τ
ι 30% , να βρ
τοια, ώστε P
   P A P 
υ Ω για τα ο
ύ από τα Α κ
χολείται με τ
πιλέγουμε τυ
το μπάσκετ
αι με το ποδό
θλήματα.
ι 20 ασχολού
σκετ. Επιλέγ
τ
πάσκετ
20 κορίτσια
ένα άτομο. Ν
ηλέφωνο ή δε
η πιθανότητα
νητό.
α. Τα
2
5
των
τυχαία ένα ά
ρείτε την πιθ
  A B P A 
 B
οποία ισχύει
και Β
ο ποδόσφαιρ
υχαία ένα μα
όσφαιρο
ύνται με το π
ουμε τυχαία
α. Τα
4
5
των
Να βρείτε την
εν έχει Η/Υ κ
α να έχει κιν
αγοριών κα
άτομο. Αν η π
ανότητα να
  A P B , να
ι ότι η πιθανό
ρο, το 30% μ
αθητή, να βρε
ποδόσφαιρο,
α ένα μαθητή
αγοριών συ
ν πιθανότητ
και το 25% τ
νητό και να μ
αι το 20% τω
πιθανότητα ν
είναι αγόρι
2
αποδειχθεί
ότητα:
με το
εθεί η
, οι 40 με το
, να βρεθεί η
μμετείχαν
α:
των μαθητών
μην έχει Η/Υ
ων κοριτσιών
να είναι
και να μην
27
η
ν
Υ

28. 28
Παραμετρ
3.46 Αν
 
2
x
Ν Α
2


3.47 Αν
αποδείξετε ό
3.48 Εν
του  κ με κ
3.49 Έσ
   P A P B
τέτοιος ώστε
 P A ,  P Β
3.50 Έσ
ενδεχομένων
αριθμός. Να
3.51 Έσ
 1 2 3ω ,ω ,ω
και οι πιθαν
3.52 `Εσ
Να υπολογίσ
3.53 Έσ
 
3 4
P κ
7 7
 
 
 
ρικές
ν Ω δειγματι
4
,  
x
P B
6

ν A,B ασυμβ
ότι
1 1
λ
4 2
 
να μη αμερόλ
κ 1,2,3,...,6
στω Ω ένας δ
  P Γ 1  ό
ε   P A P Β
,  P Γ και
στω  1Ω ω ,ω
ν του ικανοπ
α βρεθούν:
Β) οι πιθ
στω  1Ω ω ,
και Β= 1ω ,
νότητες 2P(ω
στω ο δειγμα
σετε τις πιθα
στω ν θετικός
κ 1



κ 1,2,
ικός χώρος ε
x
6
, με A, B σ
βίβαστα ενδε
ληπτο ζάρι εί
6 . Να βρείτε
δειγματικός χ
όπου  P A ,

1
Β
3θ
 , P Β
 P A B  .
2 3ω ,ω ένας
ποιούν τις σχ
Α)
θανότητες τω
2 3 4ω ,ω ,ω ο
3ω . Αν ισχύ
4),P(ω ).
ατικός χώρος
ανότητες: Ρ
ς ακέραιος κα
,3,...,ν . Να υ
Β)
Γ)
ενός πειράμα
συμπληρωμα
εχόμενα ενός
ίναι έτσι φτια
ε τη πιθανότ
χώρος και A
 P Β ,  P Γ
  
5
Β P Γ
4
 
δειγματικός
χέσεις 1ωP 2
οι πιθανότ
ων ενδεχομέν
ο δειγματικό
ύουν :  Ρ Α
ς Ω 0,1,2,
0 και Ρ Α
αι ο δειγματ
υπολογίσετε
την πιθανό
την πιθανό
ατος τύχης με
ατικά ενδεχόμ
ς δειγματικο
αγμένο ώστε
τητα εμφάνισ
A,B,Γ ενδεχ
 οι πιθανότη
θ
4
και  P Γ 
ς χώρος του ο
2 3ω ω2P 7P 
τητες 1ω ωP ,P
νων  1Α ω ,
ός χώρος ενό
1
κ
 ,  Ρ Β 
3,...,10 και
Α , όπου A 
τικός χώρος Ω
Α) την
ότητα  P A
ότητα  P Β
ε ισοπίθανα α
μενα, να βρε
ού χώρου Ω
ε η εμφάνιση
σης κάθε αρι
χόμενά του ξέ
ητες των ενδ
 P Α θ  , ν
οποίου οι πιθ
θ και 1ω6P 
2 3ω,P ,
2,ω , Β ω
ς πειράματο
2κ 1
2κ

 και
ι οι πιθανότη
0,2,4,...,1
Ω 1,2,3,...
πιθανότητα
όταν Α 1
του ενδεχομ
απλά ενδεχό
εθούν τα P A
με   2
P A λ
κάθε αριθμο
ιθμού.
ένα ανά δύο,
εχομένων Α
να υπολογίσε
θανότητες ωP
2 3ω ω3P 4P 
2 3ω ,ω , Α 
ς τύχης και τ
ι 4
1
P(ω )
3


ητες  P κ

 

0
.,ν . Δίνοντα
 P 0 ,
1,2 ,
μένου Β x
όμενα με Ν Ω
A και  P B
2
,   2
P B 7λ
ού  κ να είν
, ώστε
Α,Β,Γ και υπ
ετε τις πιθαν
iω , i 1,2,3
5θ , όπου
Β  και Α 
τα ενδεχόμεν
κ
3κ

, να βρεθ
κ
1
, κ 1,2
3
 

 
αι οι πιθανότ
x Ω/x 3 
Πιθανότητε
Ω 30 και
.
2
6λ 2  , να
ναι ανάλογη
πάρχει θ 0
νότητες
3 των απλών
υ θ φυσικός
Β .
νά του Α=
θεί ο κ R *
2,..,10
τητες
ες
α
η
ν

29. Α
Γ Λυκείου –
http://users.s
Ανισότητε
3.54 Αν
Α) 0 
Δ) P(
E) 2P
3.55 Έσ
Α) Τα
3.56 Έσ
 
3
P A B
3
 
3.57 Έσ
Α) Να
3.58 Έσ
3.59 Έσ
τα A , B δεν
3.60 Έσ
1
P(A B)
6
 
3.61 Έσ
αποδείξετε ό
3.62 Έσ
Α) 3Ρ
3.63 Αν
0 α β 1  
3.64 Αν
 P B .
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
ες
ν Α,Β είναι εν
P(A)P(A΄) 
(A B) P(A 
P(A B) P( 
στω A , B δύο
α ενδεχόμενα
στω A, B ενδ
33
35
,  P A P 
στω A , B δύο
α εξετάσετε α
στω Α, Β ενδε
στω A , B δύο
ν είναι ασυμβ
στω A , B δύο
1
)
2

στω A , B δύο
ότι:
1
P(A
6
 
στω Α,Β,Γ ε
  Ρ Γ 2Ρ Α 
ν Α,Β ενδεχ
, να αποδειχ
ν A, B συμπ
ά Γενικής Παι
agr
νδεχόμενα εν
1
4
 Β)
1
2
A) P(A Β)
A) P(B) 2 
ο ενδεχόμενα
α A και B δ
δεχόμενα ενό
 
6
P B
7
  . Ν
ο ενδεχόμενα
αν τα A , B ε
εχόμενα ενός
ο ενδεχόμενα
βίβαστα
ο ενδεχόμενα
ο ενδεχόμενα
5
B)
6
 
νδεχόμενα ε
 Β Ρ Α 
όμενα ενός δ
χθεί ότι β α
πληρωματικά
ιδείας
νός δειγματι
  2
P(A) 
P(A) P(Β 
2P(A B)
α ενός δειγμα
εν είναι ασυμ
ός δειγματικο
Να βρείτε τις π
α ενός δειγμα
ίναι ασυμβίβ
ς δειγματικού
α ενός δειγμα
α ενός δειγμα
α ενός δειγμα
νός δειγματι
 Β 3Ρ Α 
δειγματικού χ
 α Ρ Α Β
ά ενδεχόμενα
ικού χώρου Ω
2
P(A΄) 1
) 1 Ρ Α  
ατικού χώρο
μβίβαστα
κού χώρου Ω
πιθανότητες
ατικού χώρο
βαστα Β)
ύ χώρου με Ρ
ατικού χώρο
ατικού χώρο
ατικού χώρο
ικού χώρου
Β
χώρου Ω κα
  Ρ Α Β 
α και 2
25P A
Ω , να αποδε
Γ) P(A
Β
ου Ω με P(A
Β)
, ενός πειρά
ς των ενδεχομ
ου Ω με P(A
Να απο
 
1
Ρ Α
3
 , Ρ
ου Ω με P(A
ου Ω με P(A
ου Ω με 2P(A
Ω τέτοια, ώσ
Β)
αι ισχύουν P
.
 A 8 29P 
είξετε ότι:
A B) P(A)P 
1
A)
2
 , P(B)
1 6P(A B 
ματος τύχης
μένων A B
A) 0,32 , P(
δείξετε ότι: 0
 
3
Α Β .
4
 
1
A)
2
 , P(B )
1
A)
2
 , P(B )
A) 3P(B) κ
στε Γ Α Β
 Ρ Α Β Ρ 
 P A α  και
  A P B , ν
P(B) P((A 
2
3
 . Αποδε
B) 3
ς για τα οποία
, A B 
(B) 0,78 .
0,1 P(A B 
Δείξτε ότι
5
12
1
)
2
 . Να απ
2
3
 . Να απ
και 2P(A ) 
Β . Να αποδε
  Ρ Α Ρ Β
ι P(Β) β , όπ
να βρεθούν ο
2
Β) ).
είξτε ότι:
α ισχύει
B) 0,32
 
5 3
Ρ Β
2 4
 
οδείξετε ότι
ποδείξετε ότι:
3P(B) . Να
ειχθεί ότι
Γ 
που
οι  P A και
29

30. 30
Γενικές ασ
3.65 Έν
πιθανότητα
Α) να είναι
άσπρες
3.66 Σε
διακοπές σε
καλοκαίρι σ
3.67 Μέ
Επιλέγουμε
βρείτε :
Α) Τις
Α:
Γ: ¨
Β) Τις
3.68 Έσ
 Ρ Α Β είν
3.69 Σε
Επιλέγουμε
έτσι ώστε η π
3.70 Έσ
ότι  P A B
3.71 Έσ
μηδενικές πι
αποδείξετε ό
3.72 Έσ
 Ρ Β 1 ln 
3.73 Έσ
μηδενικές πι
αποδείξετε ό
3.74 Έσ
αποδείξετε ό
σκήσεις στ
να κουτί περι
δύο κόκκινε
μια έρευνα π
«νησί», Το
σε «νησί» και
έσα σε ένα κο
την μία μπά
ς πιθανότητε
¨Οι μπάλες π
¨Από τις μπά
ς πιθανότητε
στω A,B δύο
ναι ρίζες της
ένα εκτροφε
στην τύχη έν
πιθανότητα τ
στω A,B ενδ
   και ότι
στω A, B ενδ
ιθανότητες τ
ότι τα ενδεχό
στω Α, Β ενδ
 n κ 1 όπου
στω A, B ενδ
ιθανότητες τ
ότι τα ενδεχό
στω A, B ενδ
ότι αν P A 
τις πιθανότ
ιέχει 3 άσπρε
εςΒ) να είνα
που έγινε με
50% θα πάει
ι σε «βουνό»
ουτί υπάρχου
άλα μετά από
ες των ενδεχο
που επιλέξαμ
άλες που επιλ
ες των ενδεχο
ο ενδεχόμενα
ς εξίσωσης: 2
είο αλόγων υ
να άλογο. Να
το άλογο που
δεχόμενα ενό
ι ισχύει P A
δεχόμενα ενό
ων στοιχειωδ
όμενα Α και
δεχόμενα ενό
υ κ Ν * , λ
δεχόμενα ενό
ων στοιχειωδ
όμενα A και
δεχόμενα ενό
 B P A B 
τητες
ες και 2 κόκκ
ι η πρώτη άσ
ταξύ των μα
ι το καλοκαί
ενώ τρείς μα
υν 5 μπάλες
ό την άλλη μέ
ομένων:
με ήταν του ί
λέξαμε οι κόκ
ομένων : Α 
α ενός δειγμα
2 3x 2x 1 
υπάρχουν 4ν
α βρείτε πόσ
υ επιλέξαμε ν
ός δειγματικο
  P B  .
ός πεπερασμ
δών ενδεχομ
ι Β είναι συμ
ός δειγματικο
Ν . Να απ
ός πεπερασμ
δών ενδεχομ
ι B είναι συμ
ός πεπερασμ
B τότε P A
κινες σφαίρες
σπρη και η δ
αθητών μιας τ
ίρι διακοπές
αθητές δεν θα
ς από τις οπο
έχρι να μείνο
ίδιου χρώμα
κκινες ήταν π
Β,Β Γ,Γ  
ατικού χώρου
 1 3x 1 0 
ν θηλυκά κα
α θηλυκά κα
να είναι θηλυ
ού χώρου Ω
μένου δειγμα
μένων. Αν P
μπληρωματικ
κού χώρου Ω
ποδείξετε ότι
μένου δειγμα
μένων. Αν P
μπληρωματικ
μένου δειγμα
  A P B
ς. Βγάζουμε δ
εύτερη κόκκι
τάξης έδειξε
σε «βουνό»Τ
α πάνε πουθε
οίες οι 3 είνα
ουν στο κουτ
ατος.¨ Β: «Στ
περισσότερες
 Α΄, Α Β 
υ Ω . Αν οι π
0 , να βρείτε τ
αι 2
ν 2ν 4 
αι πόσα αρσε
υκό , να είνα
με P(A B)
τικού χώρου
  A P A 
κά.
ώστε: 2P A
ι κ 1, λ 0 
τικού χώρου
  B P A 
κά.
τικού χώρου
διαδοχικά δύ
ινη Γ) ν
ότι Το 50%
Το 10% θα π
ενά. Πόσα ά
αι άσπρες κα
τί μπάλες του
το κουτί έμειν
ς από τις άσπ
΄.
πιθανότητες
την πιθανότη
4 αρσενικά ά
ενικά άλογα υ
αι η μέγιστη .
1 και P(A
υ Ω , ενός πει
B και  P B
 A 1 P A 
0 και ότι ln
υ Ω , ενός πει
B και P B
υ Ω , ενός πει
ύο σφαίρες. Ν
να είναι και
θα πάει το κ
πάει διακοπές
άτομα έxει η τ
αι οι 2 κόκκι
υ ίδιου χρώμ
νε μόνο μία
πρες.
 Ρ Α , Ρ Α
ητα  Ρ B
άλογα με ν 
υπάρχουν στ
.
A) P(B) 1  .
ιράματος τύχ
  P A B
 3 4λ  κα

e
P A B
2
 
ιράματος τύχ
  P A B 
ιράματος τύχ
Πιθανότητε
Να βρεθεί η
οι δύο
αλοκαίρι
ς το
τάξη;
ινες.
ματος. Να
μπάλα.»
Β ,
Ν * .
το εκτροφείο
Nα δειχθεί
χης με μη
 , να
αι

3 2
e e
ln
2


χης με μη
. Να
χης. Να
ες
ο

31. Γ Λυκείου –
http://users.s
4 ΣΥΝ
4.01 Η
αριθμό των π
Δεν
Η
Το
Το
παιδί
Οι
Να συμπληρ
4.02 Μι
συνόλου της
Α) Να
Β) Να
α το δείγμα
4.03 Α)
Β) Έν
των βαθμών
α)
β)
νέους μέσου
γ)
0 λ 5  , να
4.04 Δίν
παρατηρήσε
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
4.05 Έσ
τιμές τις α, 0
να βρεθούν
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
ΝΔΥΑΣΤΙΚ
ανάλυση των
παιδιών των
ν υπήρχαν υ
μέση τιμή τω
ο ποσοστό τω
ο ποσοστό τω
ι υπάλληλοι π
ρωθεί ο πίνα
ια βιομηχανί
ς παραγωγής
α βρείτε το μέ
α βρείτε αν υ
α της παραγω
Να αποδείξ
να σχολείο έχ
ν στο Α τμήμ
Να βρείτε τ
Αν φύγουν
ς των βαθμώ
Αν για τα τμ
α βρείτε ποιο
νεται η συνά
εις ενός δείγμ
α αποδείξετε
α αποδείξετε
α βρείτε το ση
στω η συνάρτ
0, γ, β, 3 . Αν
οι αριθμοί α
ά Γενικής Παι
agr
ΚΕΣ ΑΣΚΗ
ν δεδομένων
ν υπαλλήλων
υπάλληλοι με
ων παιδιών π
ων υπαλλήλω
ων υπαλλήλω
που είχαν τρ
κας σχετικών
ία παράγει τ
ς της με αντίσ
έσο κόστος αν
υπάρχουν τ
ωγής γίνεται
ξετε ότι 2
s 

χει δύο τμήμα
α είναι 9 ενώ
το μέσο όρο τ
δύο μαθητές
ών των τμημά
μήματα Α κα
ο από τα δύο
άρτηση  f x 
ματος με τυπ
ότι  f x  
ότι η f είνα
ημείο x στο
τηση f με f
ν η f είναι σ
α,β,γ και ο σ
ιδείας
ΗΣΕΙΣ
ν που προέκυ
ν μια εταιρεία
ε πέντε ή περ
που είχαν οι υ
ων που είχαν
ων με ένα παι
ρία παιδιά ήτ
ν και σχετικώ
τα προϊόντα
στοιχο κόστο
νά μονάδα π
τιμές του α ,
ι ομοιογενές
κ
2 2
i i
i 1
x f x



ατα στην Γ τ
ώ ο μέσος όρο
των βαθμών
ς από το τμήμ
άτων.
αι Β ισχύουν
τμήματα έχε
  3
1t x  
πική απόκλισ
 2
3ν x 2x x  
αι γνήσια φθί
οποίο η f έχ

3
x αx
x
 

 


συνεχής στο
συντελεστής
υψαν από στ
ας έδειξε ότι:
ρισσότερα πα
υπάλληλοι τ
ως και δύο π
ιδί ήταν ίσο μ
ταν τριπλάσι
ών αθροιστικ
A,B,Γ,Δ σε
ος 14, 12, 10,
προϊόντος της
για τις οπο
ς.
.
άξη τα Α και
ος των βαθμώ
του τμήματο
μα Α με βαθ
ν αντίστοιχα
ει μεγαλύτερ
 3
2t x ...  
ση s 0 και μ
  22
x s x 
ίνουσα στο R
χει το μέγιστ
2 2 3
x α x α
x α
β
 

α και η μετ
μεταβολής τ
τατιστική έρε
:
αιδιά
ης εταιρείας
παιδιά ήταν
με αυτό των
ιοι από αυτο
κών συχνοτή
ε ποσοστό 10
, 8 € ανά μο
ς παραγωγής
οίες, αν το κό
ι Β με 10 και
ών και στα δ
ος Β
μό 11 και ο έ
ότι
κ
2
i i
i 1
x f


ρη ομοιογένε
 3
νt x  , x
μέση τιμή x .

R
το ρυθμό μετ
, x α
x α
 
 
με
ταβλητή X έ
των παρατηρ
ευνα η οποία
υπολογίστηκ
80%
υπαλλήλων
ύς που είχαν
των.
0% , 20% , 30
νάδα προϊόν
.
όστος κάθε π
5 μαθητές αν
δύο τμήματα
ένας πάει στο
85 , 0 κ
ια βαθμών.
R όπου 1t
.
αβολής.
ε α 0 , β 1
έχει μέση τιμ
ρήσεων της με
α είχε ως αντι
κε ότι ήταν 1
που δεν είχα
ν τέσσερα πα
0% , 40% επί
ντος.
προϊόντος α
αντίστοιχα. Ο
είναι 10.
ο τμήμα Β, ν
10 και
λ
i 1

1 2 ν,t ,...,t οι
1 και η μετα
μή και διάμεσ
μεταβλητής x
3
ικείμενο τον
1,65
αν κανένα
αιδιά
ί του
υξηθεί κατά
Ο μέσος όρος
α βρείτε τους
2
i i
1
x f 148
 ,
αβλητή x με
σο ίσες με 1 ,
x .
31
ς
,

32. 32
4.06 Δίν
αντίστοιχα ε
Α) Να
ομοιογενές.
Β) Να
Γ) Αν
δείγματος.
∆) Να
υποθέσουμε
τιμών του δε
4.07 ∆ίν
των παρατη
σημείο B 1,
A. Να
Β. Αν
α. Να
β. Να
4.08 Δίν
με τιμή 20 .
Α) Απ
Β) Να
Γ) Αν
να βρείτε τη
Δ) Να
παρατηρήσε
μεταβολής 1
4.09 Θε
ν ν νM x ,f(x
1 2M ,M ,...,M
A) Βρ
στα σημεία M
Β) Αν
τετμημένων
Γ) Αν
νεται η συνά
ενός δείγματ
α υπολογίσετ
α βρείτε τα α
ν είναι γνωστ
α βρείτε το π
ότι η καμπύ
είγματος.
νεται η συνά
ρήσεων ενός
f(1) είναι π
α δείξετε ότι
ν η συνάρτησ
α βρείτε την
α βρείτε την
νονται οι αρ
ποδείξτε ότι η
α αποδείξετε
ν 2
s είναι η δ
ν 2
s και να
α αποδείξετε
εις με τιμή 2
10% .
εωρούμε τη σ
ν ) της γραφ
νM είναι 40
ρείτε τη μέση
1 2M ,M ,...,M
ν  2
1x 401
των σημείων
ν 2 2
ν 1x x 80 
άρτηση  f x
τος με x 0 .
τε το συντελε
ακρότατα της
τό ότι x s
lim f

οσοστό των π
ύλη κατανομή
άρτηση  f x 
ς δείγματος μ
παράλληλη σ
το δείγμα είν
ση f έχει ελά
μέση τιμή κα
εξίσωση εφα
ριθμοί 13 , 19
η μέση τιμή
ότι
k 4
i
i 1
(t



διακύμανση
αποδείξετε ό
ότι το σύνολ
20 χρειάζετα
συνάρτηση f
φικής της πα
1 .
τιμή των συν
νM
 2 2
2x 401 
ν 1 2M ,M ,...,
02 να βρείτε
2x
x s x
2
   
Aν η γραφικ
εστή μεταβολ
ς f στο R .
x 1 να υπ
παρατηρήσε
ής του δείγμ
2
10 s x x   
μεγέθους ν (μ
στην ευθεία y
ναι ομοιογεν
άχιστη τιμή ί
αι την τυπική
απτομένης στ
9 , 21 , 27 . Σ
x των κ 4
4
2
i 1
x) (

 

των τεσσάρω
ότι
2
2 4 s
s
k 4

 

λο 13 , 19 , 2
αι να προσθέσ
με  
5
f x
2

ράστασης, µε
ντελεστών δι
2
ν... x 4  
ν,M .
ε το εύρος του
x 1 όπου x
κή παράστασ
λής CV του
πολογίσετε τη
εων του δείγμ
ατος είναι πε
x x 11  , x
με x 0, s 0 
y 1821 , τότ
νές και ότι η
ίση με 1 τότ
ή απόκλιση.
το σημείο B .
Συμπληρώνο
αριθμών είν
2
i(t x)
ων αριθμών
2
4
21 , 27 , δεν ε
σουμε σε αυτ
25
x ln 2
2
 κα
ε 1 20 x x 
ιεύθυνσης τω
2
401 2500
υ δείγματος
x και s η μέσ
ση της f διέρ
δείγματος κα
η μέση τιμή x
ματος που πε
ερίπου κανο
R όπου x η
0 ). Αν η εφα
τε:
f παρουσι
τε:
.
υμε το σύνολ
ναι ίση με τη
και 2
s είναι
είναι ομοιογ
τό, ώστε να γ
ι τα σημεία M
ν... x  . Αν
ων εφαπτομέ
ν , να βρείτε
των τεταγμέ
ση τιμή και η
ρχεται από το
αι να εξετάσε
x και την τυπ
εριέχονται στ
νική καθώς κ
η μέση τιμή κ
απτομένη της
ιάζει ελάχιστ
λο των αριθμ
η μέση τιμή τ
ι η διακύμαν
ενές και να β
γίνει ομοιογε
1 1 1M x ,f(x )
ν η μέση τιμή
νων της γρα
ε την τυπική
νων των σημ
Γεν
η τυπική από
το  A 1,1 τό
ετε αν το δείγ
πική απόκλισ
το διάστημα
και το εύρος
και s η τυπικ
ς καμπύλης τ
το.
μών με κ πα
των τεσσάρων
νση των κ 
βρείτε πόσες
ενές με συντε
 , 2 2M x ,f(
ή των τετμημ
αφικής παράσ
απόκλιση τω
μείων 1M ,M
νικές Ασκήσει
όκλιση
τε:
γμα είναι
ση s του
 1,5 εάν
R των
κή απόκλιση
της f στο
αρατηρήσεις
ν αριθμών
4 αριθμών,
ς
ελεστή
2(x ) , … ,
μένων των
στασης της f
ων
2 νM ,...,M
ις
f

33. Γ Λυκείου –
http://users.s
ΣΥΝΔΥΑΣ
4.10 Ρίχ
δειγματικός
 Χ x,y 
 Y x,y 
Να βρείτε τι
4.11 Αν
τότε
Α) Να
Β) Αν
4.12 Έσ
παρατηρήσε
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
4.13 Σε
Διαπιστώσα
περίπου καν
Α. Να
Γ. Να
∆. Αν
Ε. Αν
60kg ;
4.14 Σε
άλλα είναι σ
επιλέξουμε σ
ρούχα είναι
Α) Να
και την κατη
Β) Να
α)
β)
γ)
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
ΣΤΙΚΕΣ: Α
χνουμε δύο ζ
χώρος αυτού
Ω /το σημεί
Ω /το σημεί
ις πιθανότητε
ν Ω 1,2,3,
α βρείτε τις π
ν Ε λ Ω / 
στω ο δειγματ
εις   P A , P
α υπολογίσετ
α αποδείξετε
α αποδείξετε
κάποια σχολ
αμε ότι το βάρ
νονική.
α βρείτε τη μ
α εξετάσετε ε
ν το άθροισμ
ν επιλέξουμε
μια βιοτεχνί
σακάκια και
στην τύχη σα
ο
90 , τότε:
α κάνετε τον
ηγορία» και
α βρείτε τις π
σακάκι ή μα
σακάκι και
ή μόνο παν
ά Γενικής Παι
agr
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ζάρια και ση
ύ του πειράμ
 ίο x,y ανή
 ίο x,y ανή
ες:  P X , P
,4,5 είναι ο
πιθανότητες τ
/λ θέση τοπι
τικός χώρος
  B , P A B
τε τη μέση τιμ
ότι η διακύμ
ότι η πιθανό
λική τάξη πή
ρος τους κυμ
μέση τιμή, τη
εάν το δείγμα
μα όλων των
τυχαία ένα μ
ία έχουμε 20
δεν υπάρχει
ακάκι είναι 4
πίνακα κατα
ι να παραστή
πιθανότητες ν
αύρο ρούχο.
άσπρο ρούχ
ντελόνι ή μόν
ιδείας
ΣΕ ΟΛΗ Τ
μειώνουμε τ
ματος τύχης,
κει στην ευθε
κει στην γρα
 Y , P X Y
ο δ.χ. ενός πε
των απλών ε
ικού ακροτά
Ω και δύο ε
  , P A B
μή και τη διά
μανσή τους ε
ότητα να πρα
ήραμε ένα δε
μαίνεται από
διάμεσο το
α είναι ομοιο
βαρών είναι
μαθητή, ποια
00 ρούχα άσ
άλλο είδος ρ
40% και η γω
ανομής συχν
ήσετε γραφικ
να αγοράσει
ο.
νο άσπρο ρού
ΤΗΝ ΥΛΗ
τις ενδείξεις τ
θεωρούμε τα
εία y 2x-1
αφική παράσ
Y
ειράματος τύ
ενδεχομένων
 άτου της f x
ενδεχόμενά τ
.
άμεσό τους.
είναι 2 1
s
2
 
αγματοποιηθ
είγμα μαθητ
ό 45 kg έως 7
εύρος και τη
ογενές.
ι 1800kg να
α η πιθανότη
σπρα και μαύ
ρούχου. Αν υ
ωνία του κυκ
νοτήτων για
κά
ι:
ύχο.
τους σε ένα δ
α ενδεχόμενα
σταση της y 
ύχης με  P 2
ν του Ω
3 2
x -6x 9x 
του A, B , με
 
2
P A B   
θεί μόνο το ε
ών και το εξε
75 kg και η κ
η διασπορά τ
βρείτε το μέ
ητα το βάρος
ύρα από τα ο
υπάρχουν 50
κλικού διαγρ
τη μεταβλητ
διατεταγμένο
α:
2
x
 2P 1 και
x 2 , να βρ
ε   P A P B
 
1
P A B
2

ενδεχόμενο A
ετάσαμε ως π
ατανομή των
των βαρών
γεθος του δε
ς του να είνα
ποία μερικά
0 άσπρα σακ
ράμματος πο
ή Χ:"είδος ρο
ο ζεύγος. Αν
ι  
1
P κ
κ
 γ
ρεθεί η  P E

1
B
2
 . Θεωρ
1
8

A είναι ίση μ
προς το βάρο
ν βαρών του
είγματος.
αι μεταξύ 50
ά είναι παντε
κάκια , η πιθ
ου αντιστοιχε
ούχου ως πρ
3
Ω ο
για κ 2 ,
.
ρούμε τις
με s 2
ος τους.
υς είναι
kg και
λόνια και τα
ανότητα να
εί στα μαύρα
ος το χρώμα
33
α
α

34. 34
4.15 Έσ
Εκλέγουμε έ
γραφική παρ
4.16 Θε
ώστε:  f A 
Α) 0 
Β) f Ω
Γ) f A
4.17 Α)
Β) Έσ
α)
β)
γ)
4.18 Δίν
Α) Να
Β) Έσ
στοιχειωδών
αποδείξετε ό
4.19 Δίν
Α. Να
Β. Αν
Γ. Αν
των θετικών
α)
β)
4.20 Έσ
  2
f x 4x P
Α) Να
Β) Αν
x x να βρείτ
στω Ω 0,1,
ένα απλό ενδ
ράσταση της
εωρούμε ένα
 1
α
P A
α β


 f A 1  γι
Ω 1
 A B f A 
Να εξετάσετ
στω τα ενδεχό
 f P(A B)
Αν A B τ
Αν  P A 
νεται η συνά
α μελετήσετε
στω Ω ο δειγ
ν ενδεχομένω
ότι το B είνα
νεται η συνά
α εξετάσετε τ
ν A   και
ν η εφαπτομέ
ν ημιαξόνων
να βρείτε τη
να αποδείξε
στω A,B δύο
  2
A Β ln  
α βρείτε τη δ
ν η εφαπτομέ
τε την πιθαν
,2,3,4,5 έν
δεχόμενο λ 
ς να έχει στ
δειγματικό χ
 2
β
P A
α β


ια κάθε A 
  A f B όταν
τε τη συνάρτ
όμενα A κα
 e 1 
τότε  P B e
1
2
τότε 1 2
άρτηση  f x 
την f ως πρ
γματικός χώρ
ων του και A
αι βέβαιο ενδ
άρτηση  f x 
ην f ως προ
A B να απ
ένη στη καμπ
τότε:
ην πιθανότητ
ετε ότι f P(A
ο ενδεχόμενα
2
x P A Β
εύτερη παρά
ένη της γραφ
νότητα P B 
ας δειγματικ
Ω . Αν  f x
το σημείο τη
χώρο Ω και
A για κάθε A
Ω
ν A B   .
τηση  f x e
ι B ενός δειγ
 
 P A
e P A 
 2f P(A B) 
 2
1 ln x  
ρος τη μονοτ
ρος ενός πειρ
A, B δύο ενδε
δεχόμενο και
ln x x  , x
ος τη μονοτον
ποδείξετε ότι
πύλη της f σ
τα  P A .

ln(
A B)  
α ενός δειγμα
, με x 0
άγωγο της f
φικής παράστ
A
κός χώρος πο
3 2
x 2λx  
ς με τετμημέ
τις πιθανότη
A Ω με α
.
x
e x , x R
γματικού χώρ
 P B
e
2 e
1 , x R
τονία και τα α
ράματος τύχη
εχόμενά του
ι το A αδύνα
0 και τα εν
νία.
ι:
P(A)
ln P
P(B)

στο ox P(A
(4e)
2
για A 
ατικού χώρου
τασης της f
ου αποτελείτα
2
λ x 1 2λ  
νη , εφαπτ
ητες 1P , 2P . Ο
0 και β 0
ως προς τη μ
ρου Ω . Να α
ακρότατα.
ης, με μη μη
υ για τα οποία
ατο ενδεχόμε
νδεχόμενα Α
P(A) P(B)
) είναι παρά
B   .
υ Ω και η συ
στο σημείο
αι από ισοπί
λ , να βρείτε
όμενη παράλ
Ορίζουμε μια
0 . Να αποδε
μονοτονία.
αποδείξετε ότ
δενικές πιθα
α ισχύει η σχ
ενο.
Α, Β ενός δειγ
άλληλη στη
υνάρτηση
ox 1 είναι
Γεν
ίθανα ενδεχό
τη πιθανότη
λληλη στον ά
α συνάρτηση
είξετε ότι:
τι:
ανότητες των
χέση  f P(A)
ιγματικού χώ
διχοτόμ
παράλληλη
νικές Ασκήσει
όμενα.
ητα η
άξονα x x .
η f τέτοια
  P B . Να
ώρου Ω .
μο της γωνίας
στον άξονα
ις
α
ς

35. Γ Λυκείου –
http://users.s
4.21 Έσ
2
x
f(x)
 

 


Α) Να
Β) Να
4.22 Έσ
δείγματος.
Α. Να
Β. Να
Γ. Αν
4.23 Έσ
  f x xP A
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Αν
4.24 Δίν
Α) Αν
α,β Ν * .
Β) Έσ
ενδεχόμενα,
41
g(x) x
12

E λ Ω/ 
4.25 Θε
δειγματικού
και Γ , ικανο
Α) Να
Β) Να
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
στω A , B δύο
xP(A ) P(A
x 1
3
P(B)
2
 


α αποδείξετε
α βρείτε τη μ
στω Α ένα ενδ
α βρείτε την
α αποδείξετε
ν  
4
P A
8


στω τα ενδεχό

 P B
A
x 1


α βρείτε το π
α βρείτε την
α αποδείξετε
ν ο ρυθμός με
νεται η συνά
ν η εφαπτομέ
στω Ω ={ α,
, όπου τα α,β
31
(λ 1)x
3
 
η συνάρτηση
εωρούμε τα α
ύ χώρου Ω , ώ
οποιούν τις σ
α υπολογίσετ
α εξετάσετε α
ά Γενικής Παι
agr
ο ενδεχόμενα
A)
αν x 1
αν x 1


ότι P(A) P
μέση τιμή και
δεχόμενο του
μέση τιμή κα
ότι: 2 1
s
8

2
8
να αποδ
όμενα A κα
εδίο ορισμού
παράγωγο f
ότι η f είνα
εταβολής της
άρτηση f(x) 
ένη της fC σ
α β 3α-β
,
2 3

β έχουν τις τ
2
2x 2001 
η g είναι γνη
ασυμβίβαστα
ώστε P(Α)
σχέσεις P(A)
τε τις πιθανό
αν υπάρχει το
ιδείας
α ενός δειγμα
1
1
η οποία είν
1
P(B)
2

ι τη διάμεσο
υ δ.χ. Ω και
αι τη διάμεσο
 2
2P(A) 1 
δείξετε ότι το
ι B ενός δειγ
ύ της f
 f x
αι γνησίως αύ
ς f ως προς
2
αx βx
x 2



μ
στο σημείο τη
β 8α-β
,
2
}, δει
τιμές που προ
με xR, λ 
ησίως αύξου
α ανά δύο ενδ
Ρ(Β) Ρ(Γ) 
 2
) P(B) P(
ότητες των εν
ο όριο
x 1
x
lim

ατικού χώρο
ναι συνεχής σ
των αριθμών
ι  P A , P A
ο των παρατη
1
8

ο δείγμα δεν
γματικού χώρ
ύξουσα στο 
x για x 2
με  x R 2 
ης  A 3,f(3)
ιγματικός χώ
οκύπτουν απ
Ω , και το εν
υσα στο R . N
δεχόμενα Α
1 . Οι πιθαν
 2
(B) P(A) κ
νδεχομένων A
2
x 20P(B)x
x 5P(A)
 

ου και η συνά
στο ox 1 .
ν: P(A), P(B
A ,  P  , P
ηρήσεων.
είναι ομοιογ
ρου Ω με A
 1,
είναι 1 , να
.
είναι η ευθε
ώρος που απο
πό το ερώτημ
νδεχόμενο
Nα βρεθεί η π
Α,Β και Γ , δ
νότητες πραγ
και P A B
A, B και Γ.
3
.

άρτηση
), P(A B),
 P Ω οι παρα
γενές.
,B   και η
αποδείξετε ό
ία ε: y 7x 
οτελείται από
μα α). Θεωρο
πιθανότητα τ
ιάφορα του κ
γματοποίηση
 P(Γ) 0,2 
P(A B)
ατηρήσεις εν
η συνάρτηση
ότι  P A P
x 12 , να βρ
ό ισοπίθανα
ούμε την συν
του ενδεχομέ
κενού , του ί
ης των ενδεχο
2.
3
νός
 B
είτε τα
απλά
νάρτηση
ένου E .
ίδιου
ομένων Α,Β
35

36. 36
4.26 Έσ
 f x P(A) 
εφαπτομένη
Α) Να
Β) Αν
Γ) Αν
4.27 Δίν
Α) Να
Β) Αν
x 2 και τυ
καμπύλη της
Γ) Αν
 8f P(A B)
4.28 Έσ
3
x
f(x) P(A
3

στον άξονα
Α) Να
Β) Να
4.29 Έσ
3λ
f(x) x
3
  
Α) Να
Β) Να
Γ) Αν
Δ) Για
παραγώγου
Ε) Να
4.30 Δίν
δύο διαδοχικ
συνάρτηση
στω συνάρτησ
 f x P(B) 
της γραφική
α αποδείξετε
ν το σημείο K
ν

x 1
f x P(A
lim


νεται η συνά
α μελετήσετε
ν οι τετμημέν
υπική απόκλι
ς f στα σημε
ν A, B δύο ε
 13 0  .
στω A , B εν
2
x
A) P(B)
2
 
x x .
α αποδείξετε
α αποδείξετε
στω το ενδεχό
21 3
x
2 16
   
α αποδείξετε
α βρείτε την
ν η συνάρτησ
α την τιμή το
της συνάρτη
α υπολογίσετ
νεται η συνά
κών ρίψεων
f να είναι συ
ση f παραγω
 x P A B 
ής παράστασ
ότι P A B
1
K 0,
4
 
 
 
ανή
 A) f x P(B
x P(A)
 

άρτηση  f x
την f ως πρ
νες των σημε
ιση s 3 να
εία 1 2A ,A ,..
ενδεχόμενα ε
δεχόμενα εν
xP(A B)  
ότι P A B
ότι: 2x 1
f (x
lim
x


όμενο Α και
x 2, με λ
ότι  P A 
f (x) και την
ση f παρουσ
ου λ που βρή
ησης f καθώ
τε τις πιθανό
άρτηση f με
ενός αμερόλ
υνεχής στο σ
ωγίσιμη στο
 P A B  με
σης της f στο
 0
κει στη γραφ
B) 8
3
 , να α
 31
x 2
3
  
ρος τη μονοτ
είων 1 1A x ,f
βρείτε τη μέσ
10.,A
ενός δειγματ
ός δειγματικ
1 . Αν η εφα
 0 .
x)
2P(A)
x
 

Α΄ το αντίθε
λ 0
1
2
και  P A΄
ν .
σιάζει ακρότα
ήκατε στο πρ
ώς επίσης και
ότητες  P Α
3
f(x)
2αx

 

ληπτου ζαριο
σημείο με τετμ
R τέτοια ώσ
ε A,B μη κεν
ο σημείο εί
φική παράστ
αποδείξετε ότ
x ,
τονία και τα α
1f(x ) 2 2A x
ση τιμή των
τικού χώρου
κού χώρου Ω
απτομένη στη
P(B)
ετο του, με P

1
2
 .
ατα για 1x 
ροηγούμενο
τα ακρότατα
και  P A΄ .
3 2
α β
3βx x

  
ού, αντίστοιχ
τμημένη ox 
στε
νά ενδεχόμεν
ίναι παράλλ
αση της f , ν
τι  P A B 
ακρότατα.
2 2,f(x ) ,…,A
συντελεστών
με  
1
P A
2

Ω και η συνά
η καμπύλη τη
   P A P A΄
 P A και x
ερώτημα να
α της παραγ
αν x 1
1 αν x 1


χα. Να βρείτε
1
να ενός δειγμ
ηλη στην ευθ
να αποδείξετε
5
6
 και P B
10 10 10A x ,f(x
ν διεύθυνσης
1
2
να αποδείξ
άρτηση
ης f στο ox
. Δίνεται ακό
 2x P A΄ να
βρείτε το είδ
ώγου.
1
1
όπου α,β ε
ε την πιθανό
Γεν
γματικού χώρ
θεία y x 1 
ε ότι  P A 

1
3

0 ) έχουν μέσ
ς των εφαπτό
ξετε ότι
1 είναι πα
όμα η συνάρ
α αποδείξετε
δος της μονο
είναι τα απο
ότητα του ενδ
νικές Ασκήσει
ρου Ω . Αν η
1 τότε:
1
2

ση τιμή
όμενων στην
αράλληλη
ρτηση
ε ότι λ 1 .
οτονίας της
οτελέσματα
δεχομένου, η
ις
η

37. Γ Λυκείου –
http://users.s
4.31 Έσ
 
x
P B΄
x 1


Α) Να
Β) Να
Γ) Να
4.32 Δίν
δειγματικός
A) Να
B) Αν
ακροτάτων τ
α)
β)
γ)
4.33 Έσ
Α) Να
Β) Έσ
απόσταση απ
Γ) Έσ
τεταγμένων
Δ) Έσ
όπου κ είνα
ενδεχόμενα.
4.34 Έσ
1 2 νx ,x ,...,x
  2
g x 4x 
τότε:
Α Να
Β Να
Γ Επ
μεταξύ 1,7
Δ Αυ
ώστε το δείγ
Μαθηματικά
sch.gr/mipapa
στω A, B δύο
1
,  P A B 
α υπολογίσετ
α βρείτε το ρυ
α βρείτε την
νονται οι συν
χώρος Ω εν
α βρείτε τις ε
ν τα A, B είν
της f και P(
Να αποδείξ
Να βρείτε τ
Να βρείτε τ
στω η συνάρτ
α βρείτε την
στω το σημείο
πό το B
στω 1 1K x ,y
των σημείων
στω η ευθεία
αι στοιχείο το
Να βρείτε τ
στω X μια ποσ
οι παρατηρή
 3
x x 10   
α βρείτε τη μ
α εξετάσετε α
πιλέγουμε στη
και 2,3 αν η
υξάνουμε κά
γμα να είναι ο
ά Γενικής Παι
agr
ο ενδεχόμενα
x
x 1


, x
τε τις πιθανό
υθμό μεταβο
ελάχιστη τιμ
ναρτήσεις f,
νός πειράματ
εξισώσεις των
ναι ενδεχόμε
7
(A B)
12
  ,
ξετε ότι P A
την πιθανότη
την πιθανότη
τηση  f x x
εξίσωση της
ο  B 10,0 . Ν
1y , 2 2K x ,y
ν είναι 11 , ν
 η παράλλ
ου δειγματικ
την πιθανότη
σοτική μεταβ
ήσεις με μέση
s , x R . Α
μέση τιμή x
αν το δείγμα
ην τύχη μια π
η κατανομή θ
θε παρατήρη
ομοιογενές.
ιδείας
α ενός δειγμ
 0,1 .
ότητες των εν
ολής της P A
μή της P A 
,g με f(x) 
τος τύχης.
ν εφαπτομένω
ενα του Ω με
, τότε:
B 0  .
ητα να μην π
ητα να πραγμ
2
x 2 , x R
εφαπτομένη
Να βρείτε το
2y , … , νK
να βρείτε τη μ
ληλη στην εφ
κού χώρου Ω
ητα του ενδεχ
βλητή ως προ
η τιμή x και
Αν η  g x πα
και την τυπ
είναι ομοιογ
παρατήρηση
θεωρηθεί καν
ηση κατά την
ατικού χώρο
νδεχομένων A
A B όταν x
B .
3 27
4x x x
2
 
ων των fC ,C
ε P(A) P(B
πραγματοποι
ματοποιείται
ης  ε , της C
σημείο M τ
 ν νx ,y σημ
μέση τιμή x
απτομένη ε
Ω 0,1,2,...,2
χομένου Δ: η
ος την οποία
ι τυπική από
αρουσιάζει γ
ική απόκλισ
γενές.
η από τις ν π
νονική;
ν ίδια ποσότη
ου Ω για τα
A B , B A
1
x
2

x 2001 και
gC στο κοινό
B) , με πιθανό
ιείται κανένα
ι ακριβώς έν
f στο σημείο
της εφαπτομέ
εία της εφαπ
των τετμημέ
ε η οποία δι
20 ο οποίος
η ευθεία  η
α εξετάζουμε
όκλιση s . Θεω
για x 1 ελά
ση s .
αρατηρήσεις
ητα λ 0 . Ν
οποία ισχύου
,  A B ΄ .
3
g(x) 3x 
ό τους σημείο
ότητες τις θέσ
α από τα A,B
α από τα A,
ο  A 1,f(1)
ένης  ε το ο
πτομένης  ε
ένων τους.
ιέρχεται από
ς αποτελείται
να διέρχεται
ένα δείγμα μ
ωρούμε τη σ
άχιστο με ελ
ς. Ποια η πιθ
Να βρείτε την
υν  P A΄ 1
25
x 11x
2
  
ο.
σεις των τοπι
B .
B .
οποίο απέχει
. Αν η μέση
ό το σημείο 
αι από ισοπίθ
ι από το σημ
μεγέθους ν κ
συνάρτηση
λάχιστη τιμή
θανότητα να
ν μικρότερη τ
3
1 x ,
2009 και ο
ικών
ελάχιστη
τιμή y των
2
0, κ 4  ,
θανα απλά
είο  B 10,0
και
 g 1 1 
βρίσκεται
τιμή του λ
37
.

38. 38
4.35 Στ
συχνοτήτων
βαθμών σε κ
Α) Να
Β) Να
α)
β)
if %
γ)
δ)
ένας μαθητή
ε) Α
4.36 Έσ
ενδεχόμενα.
η f να μην
4.37 Α)
Β) Οι
κυλικείο. Δίν
Α)
Β)
ισχύει ότι 2
1t
κανο-νική κ
τουλάχιστον
4.38 Τ
ομαδοποιή
πίνακα. Έσ
Α) ν
Β) Ν
Γ) Ν
Δ) Ε
ελάχιστη θε
το σχήμα είν
ν που αναφέρ
κλάσεις ίσου
α βρείτε το c
α κατασκευά
το ιστόγραμ
το κυκλικό δ
Να βρείτε τη
Αν δοθεί έπα
ής για να πάρ
Αν επιλέξουμ
στω Ω 0,1,
Εκλέγουμε έ
έχει τοπικά
Να αποδείξ
ι μαθητές της
νεται ότι το δ
να βρείτε τη
Για s 10
2 2 2
2 ν, t ,...,t 4
ατανομή. Αν
ν 120 euro
Τις ελάχιστες
ήσαμε σε πέντ
στω ότι η διάμ
α βρείτε το π
Να συμπληρώ
Να εξετάσετε
Επιλέγουμε τυ
ερμοκρασία
ναι το πολύγω
ρεται σε ομαδ
πλάτους c.
άσετε:
μμα συχνοτήτ
διάγραμμα σ
η διάμεσο
αινος στο 2,5
ρει έπαινο;
με τυχαία έν
,2,3,4,5,6,7
ένα απλό ενδ
ακρότατα.
ξετε ότι 2
s 

ς Γ τάξης ξόδ
δείγμα των π
η μεγαλύτερη
i) αν t
404000 να βρ
ii) Έστω ότ
ν επιλέξουμε
θερμοκρασίε
τε κλάσεις πλ
μεσος είναι
πλάτος c των
ώσετε τον πίν
αν το δείγμα
υχαία μια ημ
μικρότερη α
ωνο σχετικών
δοποίηση τω
των
σχετικών συχ
5% των μαθη
να μαθητή, πο
,8,9 ένας δ
δεχόμενο λ 
ν
2 2
i
i 1
t x


 .
εψαν ετησίω
ποσών που ξό
η τιμή της τυ
1 2 ν, t ,...,t εί
ρείτε πόσους
τι τα ποσά πο
ε τυχαία ένα
ες για 200 σ
λάτους c όπ
13 και η μέσ
ν κλάσεων
νακα
α είναι ομοιο
μέρα. Να βρε
από o
15 C
ν
ων
χνοτήτων
ητών με την κ
οια είναι η π
δειγματικός x
Ω . Αν f x
ως κατά μέσο
όδεψε κάθε μ
υπικής απόκλ
ίναι τα ποσά
ς μαθητές έχε
ου ξόδεψαν
μαθητή, να β
συνεχείς ημέρ
ως φαίνεται
ση τιμή 11 .
ογενές
είτε την πιθα
-0,1
0,4
-2
αριθμόςμαθητών
καλύτερη βαθ
πιθανότητα ν
xώρος που α
 3 2
x x 2λx 
όρο 100 eur
μαθητής είνα
λισης
ά του ξόδεψα
ει η τάξη.
οι μαθητές τη
βρείτε την πι
ρες τις
στο διπλανό
ανότητα να εί
2 6
θμολογία, τι
να έχει βαθμό
ποτελείται α
2
6x λ  , να
o αγοράζοντ
αι ομοιογενές
ν οι ν μαθη
ης Γ τάξης ακ
ιθανοτητα αυ
ό
ίχε
 ,
12-
Συνολο
Γεν
10 14
βαθμοί
ι βαθμό πρέπ
ό από 10 έως
από ισοπίθαν
α βρείτε την π
τας διάφορα
ς.
ητές του σχολ
κολουθούν π
υτός να ξόδε
ix iν
6 30
νικές Ασκήσει
18 22
πει να έχει
ς 17;
να απλά
πιθανότητα
α είδη από το
λείου και
περίπου την
εψε
if % iF %
40
ις
%