Συνδυαστικές 2017

1. Φροντιστήρια 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
ΘΕΜΑ 1
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 4= − −f x x
α) Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( )2 1 8Α = + + +f x f x , αν 2 3< <x
β) Να λύσετε τις εξισώσεις:
i) ( ) 2=f x
ii) ( ) ( )
2
3 2 16 0− − − =x f x
γ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 5<f x
δ) Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f
ε) Δίνεται η ευθεία ( ): = +y xε λ , όπου ( )10= fλ . Να βρείτε την εξίσωση της
ευθείας ( )η που διέρχεται από το σημείο ( )2, 1Α − και είναι παράλληλη στην
ευθεία ( )ε
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
2= − − −f x x xκ λ της οποίας η γραφική παράσταση
διέρχεται από τα σημεία ( )1, 4Α − − και ( )4,6Β
α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ
Για 1=κ και 4=λ
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της fC με τους άξονες
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα
′x x
δ) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )1 2 1 2 8+ + − = −f f
ε) Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση ( )
( )
2
3
3
−
=
+ −
x x
g x
f x x
i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο
της
ii) Να λύσετε την εξίσωση ( )
2
5
=g x
iii) Να λύσετε την ανίσωση ( )
1
2
≤g x

2. Φροντιστήρια 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
ΘΕΜΑ 3
Δίνεται η εξίσωση ( )2
2 1 0+ − − + =x xλ λ , ∈ℝλ
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ∈ℝλ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις 1 2,x x
β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση 2 2
1 2 1 21 7< + + <x x x x
γ) Έστω ,α β οι ρίζες της εξίσωσης για 3=λ με <α β
i) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων την ευθεία 1( ): = +y xε α β και να βρείτε
το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η 1( )ε με τους άξονες
ii) Να βρείτε τις τιμές του ∈ℝκ ώστε η ευθεία 1( )ε να είναι παράλληλη με την
ευθεία ( )4 2
2( ) : 8 11 2017= − − +y xε κ κ
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση 2 2
3 0− − =x x λ και η συνάρτηση ( ) = −f x xλ , ∈ℝλ
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε ∈ℝλ
β) Αν 1 2,x x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες
ισχύει η σχέση 2 2
1 2 27+ =x x
γ) Για 2=λ
i) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς
1 12 1= −xρ και 2 22 1= −xρ
ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να λύσετε την εξίσωση
( )
8
( ) 16=f x
iii) Να αποδείξετε ότι
( )( ) ( )( )
2 2
1 1 1 1
3
4 4
+ − − −
+ =
f f
ΘΕΜΑ 5
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
1 , -2 1
, 1 3
− < ≤
= 
+ < ≤
x x
f x
ax ax x
β
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τις τιμές των , ∈ℝα β αν ισχύει ότι ( )1 3− = −f και ( )2 6=f

3. Φροντιστήρια 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
γ) Για 1=α και 2=β θεωρούμε την αριθμητική πρόοδο ( )να με
( )1 2 0 15= − +fα και ( )3 3 9= +fα
i) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου
ii) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 155
iii) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο ν , ώστε 2
=να ν
ΘΕΜΑ 6 (για δυνατούς λύτες)
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 1 3
4
 
= − + + 
 
f x x xα
α
, *
∈ℝα
α) Να αποδείξετε ότι
1
2+ ≥α
α
, για κάθε *
∈ℝα . Για ποιες τιμές του α ισχύει
ως ισότητα;
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0=f x έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε *
∈ℝα
γ) Έστω 1 2,x x είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( ) 0=f x με 1 2<x x . Να υπολογίσετε
το άθροισμα 1 2+x x και να εξετάσετε αν μπορεί να ισχύει 1 =x α και 2
1
=x
α
δ) Αν 1=α , τότε:
i) Να λύσετε τις ανισώσεις ( ) 0≤f x
ii) Να αποδείξετε ότι τα άκρα , , ,κ λ µ ν των διαστημάτων [ ],κ λ και [ ],µ ν , με
<λ µ , που είναι λύσεις των ανισώσεων του προηγούμενου ερωτήματος, είναι
διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.