Χιουμοριστικά SOS του Αντώνη Μαρκάκη για το lisari.blogspot.gr

1. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2015
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΤΙ ΘΕΩΡΩ SOS ΓΙΑ ΤΗ ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΟ ΠΡΩΪ...
Επιμέλεια: Αντώνης Μαρκάκης
Γενικά Σχόλια-Ανασκόπηση των θεμάτων:
Μη αναμενόμενα, πρωτότυπα και πολύ όμορφα θέματα. Μακράν τα δυσκολότερα της
15ετίας που θα θυμίζουν περισσότερο μαθηματικό διαγωνισμό παρά εξετάσεις γενικού
λυκείου….…και θα έχουν «αέρα» από Μαθηματικά Δέσμης της δεκαετίας του 1990… !!!!!!!!

2. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat.
Α2. Να απαντήσετε με συντομία και σαφήνεια στις παρακάτω ερωτήσεις:
α) Να διατυπώσετε τον ορισμό του συνόλου C των μιγαδικών αριθμών.
Τι οδήγησε στην εισαγωγή της έννοιας του μιγαδικού αριθμού;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση f και το σημείο 0x . Τι μορφή θα πρέπει να έχει το πεδίο
ορισμού της f, ώστε να έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου της f στο σημείο 0x ;
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα
στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή
Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Υπάρχουν άπειρες πραγματικές συναρτήσεις που είναι ταυτόχρονα άρτιες και περιττές.
β) Το σύμβολο  οφείλεται στον Leibniz.
γ) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z, με 0z  , ισχύει 0)zRe(z  .
δ) Το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος του
Bolzano.
ε) Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.
Α4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x)=logx, x>0.
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε την πραγματική συνάρτηση f της πραγματικής μεταβλητής x, με τύπο:
  2
1
f(x) 1
x
.
Β1. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f. Να χρησιμοποιηθεί το
χαρτί μιλιμετρέ που σας δίνεται.

3. Β2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf, τον άξονα x΄x
και τις ευθείες x=2 και x=4.
Στο σχήμα σας, του προηγούμενου ερωτήματος Β1, να γραμμοσκιάσετε με μολύβι το
ζητούμενο εμβαδόν.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση g(x)=………..
Β3. Να αποδείξετε ότι π.χ. g(x)=f(x+κ)-λ (κ, λ >0 σταθερές) και, στη συνέχεια, να
εξηγήσετε από ποιες μετατοπίσεις της Cf προκύπτει η Cg.
Β4. Ρυθμός μεταβολής: κίνηση πάνω στην καμπύλη y=g(x)………….
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Θεωρούμε την εξίσωση 0γβuαu2
 (1), όπου Rγβ,α, και 0α  , την οποία
θέλουμε να λύσουμε (ως προς u) στο σύνολο C.
α) Να δικαιολογήσετε γιατί η εξίσωση (1) έχει πάντα λύση στο σύνολο C των μιγαδικών
αριθμών.
β) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της (1) είναι ίση με P4ααβS 2
 , δηλαδή ότι
P4ααβSΔ 2
 , όπου S το άθροισμα και P το γινόμενο των ριζών της.
γ) Αν ισχύει ότι: 02016P4ααβS 2
 , τότε να δείξετε ότι η (1) δεν έχει πραγματικές
λύσεις.
Γ2. (Βλ. το θέμα 2.39, σελ. 53 από το βιβλίο «Η επανάληψη» του Β. Παπαδάκη, Εκδ.
Σαββάλας)
Μιγαδικοί με χρήση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
Θα δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, στον οποίο θα ανήκουν οι εικόνες Α, Β, Γ
των μιγαδικών z1, z2, z3 αντίστοιχα. (θα δίνεται εννοείται ότι z1, z2, z3C*)
Οι μιγαδικοί αυτοί θα είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, οπότε θα ορίζουν τρίγωνο ΑΒΓ το
οποίο θα είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο, ρ).
Αν η εικόνα ενός άλλου μιγαδικού αριθμού z ανήκει στην ευθεία ΒΓ, τότε η ελάχιστη
τιμή του μέτρου της διαφοράς των μιγαδικών z και z1 ισούται με το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ.

4. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωμετρία για το εμβαδόν του τριγώνου
ΑΒΓ :

22
)(





(I) (Δ είναι η προβολή του Α πάνω στην πλευρά ΒΓ)

4
)(

 (II) ( όπου ρ, όπως είπαμε, είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ).
Αν τώρα εξισώσουμε τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) (αφού υπολογίζουν το ίδιο «πράγμα»!) και
λύσουμε ως προς το ύψος ΑΔ, προκύπτει :

2
1
. Ομώς είναι min1zz  , 21 zz  και 31 zz  .
Άρα, ισχύει ότι : 3121min1
2
1
zzzzzz 

που είναι και το ζητούμενο.
ΠΡΟΣΟΧΗ !!! Μην «ψαρώσετε» αν η επιτροπή αντί για z1, z2, z3 …, αποφασίσει να
συμβολίσει τους μιγαδικούς αριθμούς με α, β, γ, ……… κ.λπ. Η ίδια ακριβώς άσκηση
παραμένει.
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Θεωρούμε τους σταθερούς πραγματικούς αριθμούς α και β, με βα  και έστω f μια
συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα  βα, .
α) Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί  βα,γ και  βα,δ , με δγ  , έτσι ώστε
)f(γ )f(δ δγ2δγ 22
 , να αποδείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
0f(x)  στο διάστημα  βα, .
β) Στο παρακάτω σχήμα έχουμε σχεδιάσει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (Cf)
στο κλειστό διάστημα  βα, :

5. i) Να βρείτε πόσες ακριβώς ρίζες έχει η εξίσωση 0f(x)  στο διάστημα  βα, .
ii) Στο πιο πάνω σχήμα με τα σημεία βx...xxxα v210  έχουμε χωρίσει το
διάστημα  βα, σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους
ν
αβ
Δx

 . Επίσης, έχουμε επιλέξει
αυθαίρετα ένα  κ1κκ x,xξ  για κάθε v}...,2,{1,κ . Να υπολογίσετε το άθροισμα Riemann
για την f στο κλειστό διάστημα  βα, .
Με ποιον τύπο συνδέεται το ορισμένο ολοκλήρωμα 
β
α
f(x)dx με το άθροισμα Riemann για
την f στο κλειστό διάστημα  βα, ;
Δ2. Θα δίνεται συναρτησιακή σχέση με x και y και θα ζητείται π.χ. απόδειξη ότι η
συνάρτηση είναι «1-1» ή/και η εύρεση του τύπου της αντίστροφης……
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΚΑΙ ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΤΕ ΠΟΤΕ ΟΤΙ ΤΑ ΔΥΣΚΟΛΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΙΝΑΙ ΔΥΣΚΟΛΑ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ…
Ο,ΤΙ ΚΑΙ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, ΔΕΝ ΑΞΙΖΕΙ ΝΑ ΧΑΣΕΤΕ ΤΗΝ
ΨΥΧΡΑΙΜΙΑ ΣΑΣ!