επαναληπτικό θέμα

1. ΘΕΜΑ_thanasis kopadis_ (γεωμετρικό)
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση ( ): , 1−∞ − → ℝf η γραφική παράσταση της
οποίας διέρχεται από το σημείο
3
3,
2
 
Κ − 
 
και η κλίση της σε οποιοδήποτε σημείο
( ), ( )x f x δίνεται από τον τύπο
( )
2
1
1+x
α) Να αποδείξετε ότι ( )
1
=
+
x
f x
x
, 1< −x
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική
της παράσταση.
γ) Έστω (ε) η εφαπτομένη της fC σε τυχαίο σημείο της ( )0 0, ( )Μ x f x
i. Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της (ε) με τους άξονες ′x x και ′y y
αντίστοιχα.
ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ έτσι ώστε το άθροισμα των
αποστάσεων της αρχής των αξόνων Ο από τα σημεία Α και Β να γίνεται ελάχιστο
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( )Ε λ του χωρίου που περικλείεται από την fC ,
τον άξονα ′x x και τις ευθείες 0=x x και =x λ , όπου ( )2, 1∈ − −λ και 0x η
τετμημένη του σημείου που βρήκατε στο ερώτημα γ)ii. Στη συνέχεια να βρείτε το
όριο ( )1
lim−
→−
Ε
λ
λ

2. Λύση – Θανάσης Κοπάδης – Γεωμετρικό
α) Κ∈Cf , άρα
3
f ( 3)
2
− =.
Είναι f παραγωγίσιμη στο Α=(-∞,-1) , με
( )
2
1 1
f '(x) f '(x) ,x 1
x 1x 1
′ 
= ⇔ = − < − 
+ +
Άρα υπάρχει c∈R τέτοιο, ώστε
1
f (x) c , x 1
x 1
−
= + < −
+
Για x=-3 προκύπτει c=1
Οπότε
1 x
f (x) 1 f (x) , x<-1
x 1 x 1
−
= + ⇔ =
+ +
.
β) Η γραφική παράσταση προκύπτει εύκολα, χωρίς μελέτη, αν μετατοπίσω τη
γραφική παράσταση της
1
(x)
x
−
θ = κατά μία μονάδα προς τα αριστερά και κατά
μία μονάδα προς τα πάνω.
σελ. 1

3. Για τη μελέτη έχουμε:
x
f(x) , x<-1
x 1
=
+
παραγωγίσιμη δύο φορές στο Α.
Με
( )
2
1
f '(x) 0
x 1
= >
+
, άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο Α, επομένως δεν
παρουσιάζει ακρότατα.
Επίσης: 3
2
f ''(x) 0
(x 1)
=− >
+
, άρα η f θα είναι κοίλη στο Α, επομένως δεν
παρουσιάζει σημεία καμπής.
Τέλος,
x
lim f (x) 1
→−∞
= , άρα έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -∞ την ευθεία y=1
και
x 1
lim f (x)−
→−
= +∞ , άρα έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=-1.
γ) i) Στο τυχαίο σημείο ( )o ox ,f (x ) , άρα με xo<-1,η εφαπτομένη (ε) της Cf θα
είναι :
o o o o2
o o
1 1
y f (x ) f '(x )(x x ) y 1 (x x )
x 1 (x 1)
−= − ⇔ − + = −
+ +
.
Για τα σημεία τομής με τους άξονες:
To 0∈A, άρα αν x=0 προκύπτει
2
o
o
x
y
x 1
 
=  
+ 
, οπότε σημείο τομής με τον
άξονα y’y είναι το σημείο
2
o
2
o
x
A 0 ,
(x 1)
 
 
+ 
.
Για y=0 προκύπτει το σημείο Β(-xo2,0).
ii)Έχουμε: ( )
2 2
o o
o o
x x
OA
x 1 x 1
 
= =  
+ + 
και 2 2
o o(OB) | x | x= = .
Η συνάρτηση του αθροίσματος των αποστάσεων στο τυχαίο σημείο x<-1 θα
είναι:
2
2 x
d(x) x
x 1
 
= +  
+ 
, με x<-1
Οπότε:
( )3
3
2x (x 1) 1
d'(x)
(x 1)
+ +
=
+
, για x<-1.
Είναι 3
2x
0
(x 1)
>
+
για κάθε x<-1, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας:
σελ. 2

4. Συνεπώς η απόσταση γίνεται ελάχιστη για x=-2
δ) Το χωρίο του οποίου ψάχνουμε το εμβαδόν είναι το γραμμοσκιασμένο.
Θα είναι: [ ] 22
1
E( ) 1 dx x ln | x 1| ln( 1) 2
x 1
λ λ
−−
 
λ = − = − + = λ − −λ − + 
+ 
∫
Επομένως το ζητούμενο όριο θα είναι το:
( )
2 1 ( )
1 1
lim ( ) lim ln( 1) 2− −
− − −∞
λ→− λ→−
Ε λ = λ − −λ − + = + ∞
Φάνης Μαργαρώνης
x -∞ -2 -1
d ΄(x) -- 0 +
d(x) д е
σελ. 3