1. ใบความรู้ที่ 5
เรื่อง สับเซต
สับเซต (Subsets)
พิจารณาเซต A = {1, 2, 5}
B = {1, 2, 4, 5, 6}
จะเห็นได้ว่าสมาชิกทุกตัวของเซตAเป็นสมาชิกของเซต BเรียกเซตAว่าสับเซตของเซต B
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก
ของเซต B ใช้สัญลักษณ์ A  B แทนเซต A เป็นสับเซตของเซต B
ในกรณีที่เซต A ไม่เป็นเซตย่อยของเซต B จะใช้สัญลักษณ์ A  B อ่านว่า เซต A
ไม่เป็นสับเซตของเซต B
ให้นักเรียนพิจารณาจากบทนิยามแล้วตอบคาถามต่อไปนี้ แล้วตรวจดูว่าคาตอบของนักเรียน
ตรงกับคาอธิบายต่อไปหรือไม่
1) A เป็นเซตย่อยของ A หรือไม่
เป็น
2) สาหรับเซต  ใด ๆ เป็นเซตย่อยของ A หรือไม่
เป็น
ตอบคาถามข้อ 1)
เนื่องจากสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต A
ดังนั้น A เป็นเซตย่อยของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A  A
ตอบคาถามข้อ 2)
เนื่องจากทุก ๆ สมาชิกของ  เป็นสมาชิกของทุก ๆ เซต เพราะว่า  ไม่มีสมาชิก
ดังนั้น   A เมื่อ A เป็นเซตใด ๆ

2. พิจารณาเซต
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
จะเห็นได้ว่าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
นั่นคือ A  B
แต่สมาชิกบางตัวของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A
นั่นคือ B  A
เราเรียกเซต A ว่า สับเซตแท้ของเซต B
ตัวอย่างที่ 1 จงหาสับเซตและสับเซตแท้ของ A = {1, 2, 3}
วิธีทา 1. สับเซต A ได้แก่
1) 
2) {1}
3) {2}
4) {3}
5) {1, 2}
6) {1, 3}
7) {2, 3}
8) {1, 2, 3}
ดังนั้นสับเซตของ A คือ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
2. สับเซตแท้ได้แก่ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = {x | x เป็นจานวนนับที่น้อยกว่า 9}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
จงแสดงว่า A เป็นสับเซตของ B
วิธีทา จาก A = {x | x เป็นจานวนนับที่น้อยกว่า 9}
จะได้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
สมาชิกของเซต B ทุกตัวเป็นสมาชิกของเซต A
ดังนั้น B  A

3. สมบัติของสับเซต
กาหนดให้ A, B, และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A  A
2.   A
3. ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C
4. ถ้า A  B และ B  A ก็ต่อเมื่อ A = B
ข้อสังเกต
ถ้าเซต A เป็นเซตจากัด และมีสมาชิก n ตัว แล้วเซต A มีสับเซตทั้งหมด 2
n
สับเซต

4. ใบกิจกรรมที่ 5
เรื่อง สับเซต
คาชี้แจง
1. จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A เมื่อกาหนดให้
1) A = { }
2) A = {1}
3) A = {1, 2}
4) A = {1, 2, 3}
5) A = {1, {2, 3}}
2. จงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อ ถ้าถูกให้เติมเครื่องหมาย  หน้าข้อความที่ถูกและ
เติมเครื่องหมาย  หน้าข้อความที่ผิด
กาหนดให้ A = {0, }
........... 1) 0  A
........... 2) 0  A
........... 3)   A
............ 4)   A
........... 5) {0}  A
........... 6) {0}  A
........... 7) {}  A
........... 8) {}  A
........... 9) {0, }  A
........... 10) {0, }  A

5. เฉลยใบกิจกรรมที่ 5
เรื่อง สับเซต
คาชี้แจง
1. จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A เมื่อกาหนดให้
1) A = { }
สับเซตทั้งหมดของ A มีเพียงเซตเดียว คือ 
2) A = {1}
สับเซตทั้งหมดของ A มี 2 เซต คือ , {1}
3) A = {1, 2}
สับเซตทั้งหมดของ A มี 4 เซต คือ , {1}, {2}, {1, 2}
4) A = {1, 2, 3}
สับเซตทั้งหมดของ A มี 8 เซต คือ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
5) A = {1, {2, 3}}
สับเซตทั้งหมดของ A มี 4 เซต คือ , {1}, {2, 3}, {1, {2,3}}
2. จงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อ ถ้าถูกให้เติมเครื่องหมาย  หน้าข้อความที่ถูกและ
เติมเครื่องหมาย  หน้าข้อความที่ผิด
กาหนดให้ A = {0, }
..... ...... 1) 0  A
..... ...... 2) 0  A
..... ...... 3)   A
..... ....... 4)   A
..... ...... 5) {0}  A
..... ....... 6) {0}  A
..... ....... 7) {}  A
...... ..... 8) {}  A
..... ....... 9) {0, }  A
.... ....... 10) {0, }  A

6. แบบทดสอบย่อยที่ 5
เรื่อง สับเซต
คาชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้เป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือก จานวน 5 ข้อ (5 คะแนน)
2. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียง 1 คาตอบ แล้วทาเครื่องหมาย x ลงใน
กระดาษคาตอบ
3. เวลาที่ใช้ในการทาแบบทดสอบ 5 นาที
.................................................................................................................................................................
1. กาหนดให้ A = {1, 2, 3, 5}
1) 1  A
2) {2,3} A
3)   A
ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก. ข้อ 1) ถูก
ข. ข้อ 2) ถูก
ค. ข้อ 3) ถูก
ง. ถูกทุกข้อ
2. กาหนดให้ A = {1, 2, {3}}
1) {3} A
2) 3  A
3) จานวนสับเซตเท่ากับ 8
ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก. ข้อ 1) และข้อ 2) ถูก
ข. ข้อ 2) และข้อ 3) ถูก
ค. ข้อ 1) และข้อ 3) ถูก
ง. ถูกทุกข้อ

7. 3. กาหนดให้ A = {xI+
| 1 x  5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C = {2, 4, 6, 8}
ข้อใดต่อไปนี้กล่าวไม่ถูกต้อง
ก. B  C
ข. A  B
ค. C  B
ง. A  A
4. กาหนดให้ A = {x I+
| 3  x  4}
B = {x|x เป็นตัวอักษรในคาว่า “หนองแวง”}
C = {ห, น, อ}
D = {xI+
| 4  x  5}
ข้อใดต่อไปนี้กล่าวได้ถูกต้อง
ก. A  B
ข. C  B
ค. A  D
ง. C  D
5. กาหนดให้ 1) A = {xI+
| 1  x  7}
2) B = {x I| -2  x  5}
3) C = { x I-
| 0  x  4}
ข้อใดต่อไปนี้กล่าวได้ถูกต้อง
ก. B  C
ข. A  B
ค. C  A
ง. A  C

8. เฉลยแบบทดสอบย่อยที่ 5
เรื่อง สับเซต
ข้อ 1 ง
ข้อ 2 ค
ข้อ 3 ก
ข้อ 4 ข
ข้อ 5 ค