1.  M th

1
 บทนิยาม จํานวนเชิงซ้ อน
i2  1
จํานวนเชิงซ้ อนจะเขียนในรูป z = a + bi เมือ a, b   โดยที
เรียก a ว่า ส่วนจริงของ z เขียนแทนด้ วย Re(z)
เรียก b ว่า ส่วนจินตภาพของ z เขียนแทนด้ วย Im(z)
ค่ าของ
i
n
เมือ
 i



1

n
i 

i


 1



n
เป็ นจํานวนเต็มบวก
เมือ
หารด้ วย 4 เหลือเศษ
1
เมือ n หารด้ วย 4 เหลือเศษ
เมือ n หารด้ วย 4 เหลือเศษ
2
เมือ
0
n
n
หารด้ วย 4 เหลือเศษ
2
3
4k 2
i
4
 0
4k 3
 0
ii i i
3
i
4k
i
4k 1
i
 การเท่ ากัน และ การบวก การคูณของจํานวนเชิงซ้ อน
กําหนดจํานวนเชิงเซ้ อน z1  a  bi, z2  c  di เมือ a, b, c, d  
(1) การเท่ากัน : z  z  a  c  b  d
1
2
(2) การบวก
: z  z  (a  c)  (b  d) i
1
2
zz
 (ac  bd)  (ad  bc)i
(3) การคูณ
:
1 2
(4) การคูณด้ วย k :
kz1  ka  kbi
 สมบัตการบวกและการคูณของจํานวนเชิงซ้ อน
ิ
ถ้ า z1, z2, z3 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน
สมบัติ
การบวก
4.
สมบัติปิด
การสลับที
การเปลียนกลุ่ม
การมีเอกลักษณ์
5.
การมีอินเวอร์ส
1.
2.
3.
6.
การกระจาย
z1  z2
การคูณ
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน
z1z2
z1  z2  z2  z1
z1z2  z2z1
(z1  z2 )  z3  z1  (z2  z3 )
(z1 z2 ) z3  z1 (z2 z3 )
มี 0 เป็ นเอกลักษณ์
นันคือ 0 + z = z + 0 = z
ถ้ า z = a + bi , a, b  
จะมี – z = –a – bi เป็ นอินเวอร์ ส
มี 1 เป็ นเอกลักษณ์
นันคือ 1z = z1 = z
ถ้ า
จะมี
เป็ นอินเวอร์ส
z = a + bi ≠ 0 , a, b 
z1 
a
2
2
a b

b
2
2
a b
i
z1(z2  z3 )  z1z2  z1z3  (z2  z3 )z1
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

2.  M th

2
ตัวอย่ าง
1.
กําหนดให้
i2  1
จงหาค่าในแต่ละข้ อต่อไปนี
(1)
i  i2  i3  i4  ...  i2553
(2)
i7  i8  i9  i10  ...  i1001
(3)
i11  i13  i15  ...  i1999
(4)
i10  i12  i14  ...  i123
(5)
i  i4  i7  i10  ...  i436
(6)
i17  i27  i37  i47  ...  i517
(7)
i100  i101  i102  i103  ...  i1001
(8)
i10  i12  i14  i16  ...  i2010
(9)
in  in 1  in 2  in  3  ...  in 113
(10) in  in 1  in  2  in  3  ...  in 113
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

3.  M th

3
2.
จงหาจํานวนจริง
3.
จงหาจํานวนจริง x และ y ทีสอดคล้ องกับสมการ
(1  i)x  (1  i)y  1  3i
4.
จงหาจํานวนจริง x และ y ทีสอดคล้ องกับสมการ
(2  3i)x2  (3  2i)y  2x  3y  15i
5.
จงหาจํานวนจริง x และ y ทีสอดคล้ องกับมการ
(x + yi) (1  i)10 = (1  3i)12
x
ทีสอดคล้ องกับสมการ
x2  2x  6i  5xi  8  x2i
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

4. 4
6.
จงหาค่าแต่ละข้ อต่อไปนีในรูป
 M th

a + bi
(1)
(1  2i)3 (2  i)2 (1  2i)3 (2  i)2
(2)
[(1  i)(1  i)]12
(3)
(1  i)12  (1  i)12
(4)
( 3  i)20  (1  3 i)20
(5)
(
1
3 15

i) ( 3  i)25
2
2
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

5.  M th

5
 สังยุคของจํานวนเชิงซ้ อน (conjugate)
บทนิยาม กําหนด z = a + bi เมือ
สังยุคของ z เขียนแทนด้ วย
a, b  
z
และ
z
 a  bi
 สมบัตของสังยุคของจํานวนเชิงซ้ อน
ิ
(1)
zz
(2)
z1  z2   z1  z2
(3)
z1 z2  z1 z2
(4)
z  z

 1  1
 
z  z
 2
 
2
(5)
(z1 )  (z)1 
1
;z≠0
z
(6)
(kz)  k(z) ; k  
(7)
(z )  (z)
; n I
(8)
1
z
(9)
z1
n
z2
ตัวอย่ าง
1.
กําหนดให้
n
z1  z2

z2  z2

z1  z2
| z2 |2
z1  1  2i , z2  2  i
(1)
z1  2z2
(3)
 z1 z1 
(5)
z1 z2  z1z2
8
 (z2z2 )8

z
z z

z
2
|z|
** การหารในระบบจํานวนเชิงซ้ อน **
จงหาค่าแต่ละข้ อต่อไปนี
(2)
(2z1  z2 )
(4)
z12  2z1 z2  8z22
(6)
(i  z1 )20  (iz2  1) 20
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

6.  M th

6
2.
กําหนดให้
z = i23  i24  i25  ...  i218
กําหนดให้
 3  i
 3  i
 3  i
 3  i
z
 
 
  ...  

 2 
 2 
 2 
 2 
3
3.
จงหา
4.
5.
6
4z1
9
102
( z1 + z ) z
กําหนดให้
กําหนดให้
จงหา
จงหา
2553  1 
z   
n 1  i n 
10
1  i
z

1  i 
จงหาผลบวกของส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ
11
1  i 


1  i 
12
1  i


1  i 
13
1  i 


1  i 
z
1i
203
1  i 
 ...  

1  i 
2(z 1)
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

7.  M th

7
5.
กําหนดให้
z  (
2
2 100 1756

i)  i
2
2
(1)
(3)
6.
z 1
z13 (z 1)12  z 13
(2)

4  6i 1  i

2  i 1  2i
(2z 1)
(4)

จงหาค่าแต่ละข้ อต่อไปนีในรูป
(1)
จงหา
(2z)
(2)
1
(2  i)(1  4i)
1

 z z 1  2z

a + bi
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

8.  M th

8
(3)
10
(1  i)(2  i)(3  i)(4  i)
(4)
i
i
i
i
i
1
(5)
i
1 i
2
3
4
93
1  i  1  i
1  i 
1  i
1  i 

 
 
 
  ...  

1  i  1  i 
1  i 
1  i 
1  i
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

9.  M th

9

ค่ าสัมบูรณ์ ของจํานวนเชิงซ้ อน (absolute value)
บทนิยาม กําหนด
z = a + bi
เมือ
a, b 
ค่าสัมบูรณ์ของ z เขียนแทนด้ วย
 สมบัติของค่ าสัมบูรณ์ ของจํานวนเชิงซ้ อน
และ
|z|
|z| =
a2  b2
(1) z z = | z |2
(2)
| z | = | z | = |–z|
(3) | z | = 0  z = 0
(4)
| z1z2 |  | z1 || z2 |
(6)
| z1 | 
(7)
| z | ≥ Re(z)
(10)
| z1  z2 |  || z1 |  | z2 ||
(12)
| z1  z2 |  (z1  z2 )(z1  z2 )
n
n
(4) | z |  | z |
z1
(6)

z2
| z1 |
| z2 |
เมือ
z ≠0
2
(9) | z1  z2 |  | z1 |  | z2 |
| in |  1 ; n  N
(11)
1
|z|
และ
| z | ≥ Im(z)
2
 กราฟของจํานวนเชิงซ้ อน
กําหนด
y
z = a + bi
จะได้ การแทน z ด้ วยกราฟได้ ดงนี
ั
y
(a,b) = a + bi
(a,b) = a + bi
b
b
0

x
a
ในระนาบระบบพิกัดฉาก z แทนด้ วยจุด
0
(a, b)
a
|z| =
a2  b2
x
ในระนาบระบบพิกดเชิงขัว z แทนด้ วยเวกเตอร์
ั
ซึงมีจดเริ มต้ นที (0,0) และจุดสินสุดที (a, b)
ุ
ตัวอย่ าง
1.
จงหาค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้ อน z ทีกําหนดแต่ละต่อไปนี
(1) z 
(2) z =
i2  2i3  3i3  4i4
4  3i
1i
3i
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

10.  M th

10
(3)
111  n 
z   
n 1  i n 
2.
กําหนดให้
z  (1  i)10
จงหา
3.
กําหนดให้
z2  7  24i
จงหาค่าของ
4.
ถ้ า z เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง | z | = | 3 – 4i | และ | z – 1 | =
| z 1  z |
| z 1  z |
30
แล้ ว Re(z) เท่ากับเท่าใด
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

11.  M th

11
5.
6.
7.
56
n(1  i)2n
n 1
n
กําหนดให้
z 
กําหนดให้
z2 
กําหนดให้
2
1  2i 3  i

1  2i 3  i
zz = 10
และ
จงหา
จงหา
z z
28
| z |  | z 1 |
z 1
1
z2i
จงหา
z
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

12.  M th

12
8.
กําหนดให้
| z  w |  | 3  4i |
9.
กําหนดให้
z2 w  3  4i
10.
กําหนดให้
จงหา
และ
z1z2  1  3i ,
และ
|z  w | |2 2  i|
zw2  3  4i
z2z3  2  2i
จงหา
จงหา
|z + w|
และ z1z3
| z |2  | w |2
และ
|z – w|
 3 i
| z1 |2  | z2 |2  | z3 |2
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

13.  M th

13
ตัวอย่ างแบบทดสอบ
1.
z = i13  i14  i15  ...  i126
กําหนดให้
1. –1 + i
2.
ถ้ า
2. 1 – i
z1  2  3i
1. –10 + 2i
3.
กําหนดให้
(1)
z1
และ
z2  3 8  4
2. –8 – 2i
i2  1
เมือ
แล้ ว
2z1
1 1
3.   i
2 2
แล้ ว
z1z2
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1 1
4.   i
2 2
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
3. –8 + 2i
4. 10 – 2i
และ z2 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนใดๆ จงพิจารณาข้อความต้ อไปนี
z1  z2  z1  z2
(2) z1 + z1 = 2Re(z1)
(3)
z1 z2 + z1z2 = 2Im(z1 z2 )
ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. ทังสามข้ อความเป็ นเท็จ
3. ทังสามข้ อความ เป็ นจริ งเพียง 3 ข้ อ
4.
ทังสามข้ อความเป็ นจริงเพียง 1 ข้ อ
4. ทังสามข้ อความเป็ นจริ ง
2.
กําหนดให้ z1 และ z2 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ซึง z1 = 2 + 3i, z2  0 และ
แล้ ว z1 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
2
1. 3 – 4i
2. 4 – 3i
3. –3 + 4i
z1 z2  2z2  1  0
4. –4 + 3i
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

14.  M th

14
5.
ค่าของ
(1 + 2i) +
1. 1 + 2i
6.
กําหนดให้
(1)
(2)
(3  4i)
(3  4i)
(1  2i) 
(1  2i)
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
2. 6 + 12i
z1
3.
1
(3  6i)
2
Re( z1z2 )
= Re( z1 z2 )
(z1  z1)(z2  z2 )  4 Im(z1) Re(z2 )
ข้ อ (1) ถูก แต่ ข้ อ (2) ผิด
4. ข้ อ (1) และ (2) ผิด
2.
4.
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน โดยที z2  z 2 แล้ วข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
z เป็ นจํานวนจริ ง
z เป็ นจํานวนจินตภาพแท้
z ไม่เป็ นจํานวนจริ งและไม่เป็ นจํานวนจินตภาพแท้
ถ้ า z ไม่เป็ นจํานวนจริงแล้ ว z เป็ นจํานวนจินตภาพแท้
ถ้ า
z
ถ้ า
1.
2.
3.
8.
1
(3  6i)
2
และ z2 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน จงพิจารณาข้ อความต่อไปนี
ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. ข้ อ (1) และ (2) ถูกต้ อง
3. ข้ อ (1) ผิด แต่ ข้ อ (2) ถูก
7.
4.
z
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนทีอยูในควอดรันต์ที 2 บนระนาบเชิงซ้ อน ซึง zz  5 และ
่
Re(z) + Im(z) = 1 แล้ วอินเวอร์ สการคูณของ z เป็ นสังยุคของจํานวนของในข้ อใดต่อไปนี
1
1.  (1 + 2i)
5
1
2.  (1 – 2i)
5
1
3.  (2 + i)
5
1
4.  (2 – i)
5
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

15.  M th

15
9.
5
1.
10.
(a + bi) 2 (3 – 4i) 3 = (7 – 24i) 2
กําหนดให้
2. 5
กําหนดให้
z
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง
1. 4
11.
ให้
z1
2.
และ
(1)
z2
แล้ ว |b – ai| มีคาเท่ากับข้ อใด
่
4. 5 5
3. 25
|z + 25| = 5|z + 1|
5
2
จงหาค่า
3. 5
|z|
4. 10
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนใดๆ จงพิจารณาข้ อความต้ อไปนี
|z1| = | z1 |
(2) | z1 z2 | = | z1 ||z2|
(3)
z1z2 z1 z2 = |z1|2  |z2|2
ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. ทังสามข้ อความเป็ นเท็จ
3. ทังสามข้ อความเป็ นจริ งเพียง 3 ข้ อ
12.
ถ้ า z เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง
1. (–2, –1)
| z | = | 3 – 4i |
2. (–2, 2)
ทังสามข้ อความเป็ นจริงเพียง 1 ข้ อ
4. ทังสามข้ อความเป็ นจริ ง
2.
และ | z – 1 | =
3. (–3, 1)
30
แล้ ว Re(z) อยู่ในเซตใด
4. (–3, 2)
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

16.  M th

16
13.
1.
14
15.
2
ให้
z 
2
4
ค่าของ
4
5
2
2.
2
| z |  | z1 |
1
2
ตรงกับข้ อใดต่อไปนี
3. 5 2 
1
4. 5 +
5 2
กําหนดให้ z = x + yi แล้ วเซตของจุด (x, y) ทีสอดคล้ องกับสมการ
จะมีกราฟตรงกับข้ อใดต่อไปนี
1. เส้ นตรง 2 เส้ นตัดกัน
2. วงกลม
3. วงรี
กําหนดให้ z = x + yi และ |z – 2 + 3i| = 3 แล้ วกราฟของจุด
จะมีระยะระหว่าง 2 จุดใด ๆ บนกราฟมากทีสุดเท่ากับในข้ อใดต่อไปนี
1. 3
16.
5

2  i 3  4i

2  i 3  4i
2. 4
3. 5
กราฟของจุด z ทังหมดในระนาบเชิงซ้ อนทีสอดคล้ องสมการ
เป็ นรูปใดต่อไปนี
1. เส้ นตรง
2. วงกลม
3. วงรี
z
1
5
|2z + i| = |z + 2i|
4.
ไฮเพอร์โบลา
ทังหมด
4. 6
( z – 2i)(z + 2i) = 1
4.
ไฮเพอร์โบลา
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

17.  M th

17

จํานวนเชิงซ้ อนในรูปเชิงขัว(polar form)
กําหนด
z = a + bi
เมือ
โดยที z ≠ 0 จะได้ วารูปเชิงขัวของ z มีขนตอนดังนี
่
ั
a, b  
Step 1 :
หา r จาก
Step 2 :
หา  จาก tan   b
จะได้
a 2  b2
r=|z|=
a
z = r (cos  + i sin )
z = r (cos (–) + i sin (–))
z 1  r1(cos()  i sin())

การคูณและการหารจํานวนเชิงซ้ อนในรูปเชิงขัว
กําหนด
(1)
(2)
(3)
z1z2
z1
z2
n
z1
z1  r1(cos 1  i sin 1)
และ z2  r2 (cos 2  i sin 2 ) จะได้ วา
่
 r1r2 ( cos(1  2 )  i sin(1  2 ) )
r
 1 ( cos(1  2 )  i sin(1  2 ) )
r2
n
 r1 ( cos n1  i sin n1 )
 การหารากที n
เมือ
[***
n I
กฏของเดอมัวร์
***]
ของจํานวนเชิงซ้ อน
 วิธีลัด
(1)
(2)
การหารากที n ของจํานวนจริงของ a จะใช้ วิธีการแก้ สมการ zn  a
การหารากที n ของจํานวนเชิงซ้ อน z = a + bi จะใช้ วิธีการโดยวิธีลด
ั
Step :1 เขียนในรูปเชิงขัว z  r(cos   i sin )
Step : 2
Step : 3
Step : 4
(2)
รากที
2
หารากตัวแรก


z  (r1/n )[ cos( )  i sin( ) ]
0
n
n
o
หามุม 360  2
n
n
นํามุมทีได้ ใน Step 2 ไปบวกกับ มุมของ
ของ
z = a  bi
z
0
ไปเรือยๆ จนได้ครบ
 | z | a
| z | a





2
2

คือ
 สมบัติของรากที n ของ z
รากที n ของ z จะมีทงหมด n ราก สมมติให้ เป็ น
ั
n 1
w1, w2 , w 3 ,..., w n
(1)
w1w2 w 3  ...  w n  (1)
(2)


i



จะได้ วา
่
| w1 | | w2 |  | w 3 |  ...  | w n | = | z |1/n
(4)
ราก
w1  w2  w 3  ...  w n  0
(3)
n
w1, w2 , w 3 ,..., w n
z
อยู่บนเส้ นรอบวงกลมเดียวกัน r = | z |1/n
และแบ่งเส้ นรอบวงออกเป็ น n ส่วนๆเท่ากัน
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

18.  M th

18
ตัวอย่ าง
1.
จงเขียนจํานวนเชิงซ้ อน z ต่อไปนีในรูปเชิงขัว
1
3

i
2
2
(1)
z=
(3)
(2)
z = 2  2 3 i
(4)
(4) z = –3i
2.
z=
z   2  2i
(5) z =
3 i
5
จงเขียนจํานวนเชิงซ้ อนต่อไปนีในรูปของ a + bi เมือ a, b  R
(1)
(cos 18o  i sin 18o )(cos 12o  i sin 12o )
(2)
[ 2(cos 60o  i sin 60o )](sin 60  i cos 60)
(3)
[2(cos 15o  i sin 15o )][3(cos 70o  i sin 70o )](sin 35o  i cos 35o )
(4)
(5)
cos 130o  i sin 130o
cos 40o  i sin 40o
3(cos 15o  i cos 75o )
2 sin 45o  2i sin 45o
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

19.  M th

19
(6)
(7)
o
[8(cos 135 
(8)
3.
(cos 15o  i sin 15o )3
(cos 10o  i sin 10o )6
1
o 3
i sin 135 )]
จงเขียนจํานวนเชิงซ้ อนต่อไปนีในรูปของ a + bi เมือ a, b  R
(1)
(1  3i)5
(2)
( 2  2 i)20
(3)
 3  i


 3  i


(4)
15
1 3 i 

 1  i
1  3 i 1  i 



20
5
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

20.  M th

20
4.
จงหารากทีสองของจํานวนเชิงซ้ อน
(1) z = –4
(3) z =
z
ในแต่ละข้ อต่อไปนี(ใช้ สตร)
ู
(2) z = 16i
1
3

i
2
2
5.
จงหารากทีสามของ
6.
จงหารากทีสีของ
จงหาราทีสีของ
z  5  12i
8  8 3i
7.
(4)
16 3  16i
27i
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

21.  M th

21
ตัวอย่ างแนวข้ อสอบ
1.
ให้
z1  4(cos10o  i sin 10o ) , z2  2(cos 50o  i sin 50o )
1
(cos
4
1
2. (cos
4
1
3. (cos
4
1
4. (cos
4
1.
2.
(z1 ) z2
80o – i sin 80o)
170o – i sin 170o)
80o + i sin 80o)
170o + i sin 170o)
ถ้ าเขียนจํานวนเชิงซ้ อน
เมือ
2
แล้ ว z1(z22 )2 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
a, b  
1. –3 –
3(sin

11
4

 i sin
) ] [ 2(cos
 i sin( ) ] ในรูป a + bi
3
6
3
3
ได้ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
3i
2. –3 +
[
3i
3. – 3 + 3i
3 – 3i
4.
3.
ถ้ า
z1 = cos 12o + i sin 12o
และ z2
= – cos 16o + i sin 16o
แล้ ว
 z 15

 1



 z 
 2


เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1  3i
2
1  3i
2.
2
 3 i
3.
2
 3i
4.
2
1.
4.
กําหนดให้
แล้ วค่าของ
1.
9
4
3
o
o
(cos12  i sin12 ) และ z  3(cos15o  i sin 15o )
1
2
2
2
2
| z1 z2 |  | z2 z1 | เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
z 
2.
9
3
4
3.
8 3
3
4.
15 3
3
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

22.  M th

22
5.
กําหนดให้ z = 1 – 3 i และ bn =
แล้ วจํานวนเต็มบวก n ทีมากทีสุดทีทําให้
n
Im( z )
ตรงกับข้ อใดต่อไปนี
| bn |  100
1. 7
2. 6
3. 5
4. 4
6.
3 1
2
2
 i และ w 

i แล้ ว
2
2
2
2
ค่าของ | Re(z10 ) |  | Im(w30 ) | มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
กําหนดให้
z
1
2
1
2.
4
3
3.
4
3
4.
2
1.
7.
กําหนดให้
(1)
(2)
z = cos  + i sin 
เมือ
z≠0
จงพิจารณาข้ อความต่อไปนี
1
 2 cos 
z
| 1  z |  2 sin 
z
ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. ข้ อ (1) และ (2) ถูกต้ อง
2. ข้ อ (1) ถูก แต่ ข้ อ (2) ผิด
3. ข้ อ (1) ผิด แต่ ข้ อ (2) ถูก
4. ข้ อ (1) และ (2) ผิด
8.
ถ้ า
3
2z  1  3i
และ
มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
z18
i  z27
= a + bi
เมือ
a, b  
แล้ ว
a+b
1. –1
2. 0
3. 1
4. 2
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

23.  M th

23
9.
รากที
2
ของ
8 + 6i
ทังหมดมีผลคูณตรงกับข้ อใดต่อไปนี
1. 8 + 6i
10.
ผลบวกของรากที
2. –8 – 6i
4
1. 0
11.
81
2. 6
3. 6i
6
z  64  0
2. 4 + 2 10
4. 6 + 6i
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
3. 10
ให้ z1 , z2 และ z3 เป็ นรากทีสามของ (1  i)2 ถ้ า z1 และ
และ 2 ตามลําดับแล้ ว (z1  z2 )z3 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
3
1. 2 3 2( 3  i)
4. –8 – 6i
ทังหมดมีคาตรงกับข้ อใดต่อไปนี
่
ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของรากของสมการ
1. 4 + 4 10
12.
ของ
3. 6 + 8i
2. 2 3 2( 3  i)
3. 2 3 2
4. 12
่
z2 เป็ นรากทีอยูในควอดรันต์ที 1
4. 3 2i
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

24.  M th

24
13.
กําหนดให้
z1
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ซึง
w
1.
14.
เป็ นรากทีสามของ
1
3

i
2
2
z2
z1 = cos
1


+ i sin
3
3
แล้ ว ผลคูณของรากทีสามอีกสองรากของ
1
3
i
2.  
2
2
กําหนดให้ z เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ถ้ า –1 +
จํานวนในข้ อใดต่อไปนี
3. 
3i
3 1
 i
2
2
ถ้ า
z2
w z1 = i
และ
ตรงกับข้ อใดต่อไปนี
4.
3 1
 i
2
2
เป็ นรากที 5 ของ z แล้ ว รากที 2 ของ z คือ
1. 2 2 (– 3 – i), 2 2 ( 3 + i)
3. 2 2 (– 3 + i), 2 2 ( 3 – i)
15.
2. 2 2 (–1 – 3 i), 2 2 (1 +
4. 2 2 (–1 +
กําหนดให้
z1, z2 , z3 , z 4
z1, z2 , z3 , z 4
1. 1
เป็ นรากที 4 ของ
2
1 i
3 i)
3 i), 2 2 (1 – 3 i)
แล้ วพืนทีของสีเหลียมทีมีจด
ุ
เป็ นจุดยอดมุม ตรงกับข้ อใดต่อไปนี
2.
2
3. 2
4. 2 2
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

25.  M th

25

การแก้ สมการพหุนาม
กําหนด P(x) = a n xn  a n1x n1  a n2xn2  ...  a1x  a 0 เมือ
โดยที n  I และ a n, a n1, a n2, ..., a 0 เป็ นจํานวนจริง
เรียก P(x) = 0 ว่าสมการพหุนามดีกรี n
เรียกจํานวนเชิงซ้ อน a ทีทําให้ P(a) = 0 ว่า คําตอบของสมการ
an ≠ 0
ทฤษฎีบทเกียวทีใช้ แก้ สมการพหุนาม
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
จํานวนเชิงซ้ อน a เป็ นคําตอบของสมการ P(x) = 0 ก็ตอเมือ x – a เป็ นตัวประกอบของ P(x)
่
สมการพหุนาม P(x) = 0 มีคําตอบเสมอในระบบจํานวนเชิงซ้ อน
ถ้ า P(x) = 0 เป็ นสมการพหุนามทีมี ส.ป.ส. เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนและมีกําลังเป็ น n
เมือ n ≥ 1 แล้ วสมการนีมีคําตอบเป็ นจํานวนเชิงซ้ อน n คําตอบเท่านัน
กําหนด P(x) = 0 เป็ นสมการพหุนามทีมี ส.ป.ส. เป็ นจํานวนจริ ง
ถ้ า z เป็ นคําตอบของสมการนี แล้ ว z เป็ นคําตอบของสมการด้ วย
***
กําหนด P(x) = 0 เป็ นสมการพหุนามทีมี ส.ป.ส. เป็ นจํานวนตรรกยะ
ถ้ า a + b เมือ a, b   และ b   C เป็ นคําตอบหนึงของสมการนี
***
แล้ ว a – b เป็ นคําตอบของสมการนีด้ วย
ถ้ า n เป็ นจํานวนคี จะได้ วาสมการ P(x) = 0 มีจํานวนคําตอบทีเป็ นจํานวนจริงเป็ นจํานวนคี
่
จํานวน และมีคําตอบทีไม่ใช่จานวนจริ งเป็ นจํานวนคูจํานวน
ํ
่
***
ความสัมพันธ์ ระหว่ างคําตอบของสมการของพหุนามดีกรี 2 และ ดีดรี 3
(1) สมการพหุนามดีกรีสอง ax2  bx  c  0 , a ≠ 0
จะได้
x
b  b2  4ab
2a
b
a
c
ผลคูณของคําตอบ =
a
3
สมการพหุนามดีกรีสาม ax  bx2  cx  d  0 , a ≠ 0
จะมี ผลบวกของคําตอบ
(2)
=
จะมี ผลบวกของคําตอบ
=
b
a
ผลบวกของผลคูณทีละ 2 ราก
(3)
***
c
a
=
ผลคูณของคําตอบ =  d
a
n
สมการพหุนามดีกรี n a n x  a n1xn1  a n2xn2  ...  a1x  a 0 = 0
n
จะมี ผลคูณของคําตอบ
=
(1) a 0
ผลบวกของคําตอบ
=

an
a
n 1
a
n
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

26.  M th

26
ตัวอย่ าง
1.
จงแก้ สมการในแต่ละข้ อต่อไปนี
(1)
x2  9  0
(3) x2  3x  6  0
(2)
x2  x  1  0
(4)
x3  8  0
(5)
x3  i  0
(6)
x4  1  0
(7)
x6  81  0
(8)
x 4  10x2  9  0
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

27. 27
(9)
(10)
 M th

x 3  x2  x  1  0
2x 3  5x2  6x  2
(11) x2  (2  3i)x  1  3i  0
(12) 2ix2  3x  3i  0
(13) x 3  2ix2  x  2i  0
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

28.  M th

28
2.
3.
ถ้ า
2  3i
เป็ นรากหนึงของสมการ
x 4  7x2  20x  14  0
ถ้ า  1  3 i เป็ นคําตอบหนึงของสมการ
2
2
ของสมการนี
จงหาเซตคําตอบของสมการ
x 3  2x2  2x  1  0
จงหารากทีเป็ นจํานวนจริง
4.
จงหาผลบวกของรากทุกรากของสมการ
5.
จงหาสมการดีกรีสามทีมีสมประสิทธิเป็ นจํานวนเต็ม โดยมี 2 และ 1 + i เป็ นรากหนึงของสมการ
ั
6.
กําหนดให้ P(x) เป็ นพหุนามดีกรีสีทีมีสมประสิทธ์เป็ นจํานวนจริง และมี 2 – i และ 1 + i เป็ น
ั
คําตอบของสมการ P(x) = 0 แต่ P(0) = 125 จงหา P(–2)
x5  9x 3  8x2  72  0
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

29.  M th

29
ตัวอย่ างแนวข้ อสอบ
1.
ให้ P(x) เป็ นฟั งก์ชนพหุนามกําลังสาม ซึงมีสมประสิทธิเป็ นจํานวนจริง และสัมประสิทธิของ x3
ั
ั
เป็ น 1 ถ้ า x – 2 หาร P(x) เหลือเศษ 5 และ 1 + 3 i เป็ นรากหนึงของ p(x) แล้ วราก
ทีเป็ นจํานวนจริงของ P(x) คือค่าในข้ อใดต่อไปนี
1.
2.
3
4
4
3
3.
5
4
4.
4
5
กําหนดให้ P(x) = x4  ax3  bx2  cx  d เมือ a, b, c, d  
ถ้ า 1 + 2i และ 1 – 6 เป็ นคําตอบของ P(x) = 0 แล้ ว P(1) มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
1. 8
3.
2.
2. 0
3. –6
4. –24
ถ้ า z1, z2, z3 เป็ นคําตอบของสมการ z3  z2  2z  5  0
2
2
แล้ ว z1  z2  z2 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
3
1. 5
2. 4
3. –4
4.
3
2
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

30.  M th

30
4.
ถ้ า
z1, z2, z3
แล้ ว
1.
5.
1
1
1


z1 z2 z3
1
2
3
2
z  2z  2z  3  0
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
2.
1
3
3.
2
3
4.
3
2
กําหนดให้ z1, z2, z3, z4 เป็ นรากของสมการ z4  z2  2  0
แล้ ว | z1 |  | z2 |  | z3 |  | z4 | มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
1. 4
6.
เป็ นคําตอบของสมการ
2. 6
3. 8
4. 10
กําหนดให้ z1 และ z2 เป็ นคําตอบของสมการ 4z2  4(2i  1)z  3  2i  0
ซึง | z1 | < | z2 | ค่าของ 2 z1 + 4 z2 คือค่าในข้ อใดต่อไปนี
1. 8 + i
2. 1 + 8i
3. 8 – i
4. 1 – 8i
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

31.  M th

31
7.
กําหนดให้ f(x) = x3  ax2  bx  6 โดยที
แล้ วข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
a, b
เป็ นจํานวนจริง และ
f(1 – i) = 0
1. f(i14 )  f(2)  22
2. f(i14 )  f(2)  20
3. f(i14 )  f(2)  18
4. f(2)  f(i14 )  40
8.
กําหนดให้
แล้ ว
Re(z1  z2  z3 )
1. 1
9.
13
1  (1  )  0
z
เป็ นคําตอบของสมการ
z1, z2, z3
มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
2. –1
3.
3
2
4. 
3
2
พิจารณาข้ อความต่อไปนี
(1) ถ้ า A = {x   | (1 + i)x 3 + (1 + 2i)x 2 – (1 + i)x – (1 + 2i) = 0}
แล้ ว A  [–1.5, 1.5]
(2)
ถ้ า
z
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ซึง
ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. ข้ อ (1) และ (2) ถูกต้ อง
3. ข้ อ (1) ผิด แต่ ข้ อ (2) ถูก
6
z 
1
i
8
แล้ ว
|z|
เท่ากับ
1
2
ข้ อ (1) ถูก แต่ ข้ อ (2) ผิด
4. ข้ อ (1) และ (2) ผิด
2.
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

32.  M th

32
¢ŒÍÊͺࢌÒÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑ àÃ×ͧ ¨íҹǹàªÔ§«ŒÍ¹
è
1.
จํานวนเชิงซ้ อน z ซึง
|
z 1
| 1
z  (3  2i)
และ
คือจํานวนในข้ อใดต่อไปนี
z z = 29
1. –5 – 2i, 2 – 5i
3. –5 ± 2i
2.
2. 2 + 5i, –5 – 2i
4. 2 ± 5i
กําหนดให้ z1 และ z2 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ถ้ า z1  z2 เป็ นจํานวนจริง และ
จํานวนจินตภาพแท้ แล้ ว z1 z1 มีคาตรงกับข้ อใดต่อไปนี
่
2
2
z1  2z2
1
2
(z2  z2 )
2
ถ้ าสําหรับแต่ละจํานวนเต็มบวก n ให้ zn
1
z z
2 2 2
2
1. 2(z2  z2 )
3.
กําหนดโดย
2.
zn  1 
1
n  3i
2
มีลิมิตเป็ น 4
3. มีลิมิตเป็ น 10
กําหนดให้ z เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ซึง
5.
z
มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
1 i
3. –4
4.
ถ้ า
2i
และ
B = {z |
2. (1+3 3 ) + I
1. 4
ถ้ า z เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง z ≠ 0 และ
แล้ ว | z | มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
1.
8.
–1
1
 A}
z
3
2
x  x  ax  b  0
A = {z | z10  1 }
11
แล้ ว
A≠B
เป็ นรากของสมการ
โดยที a, b   แล้ ว a = b
ให้ a, b และ c เป็ นคําตอบของรากของสมการ 2 z3  1  i ถ้ า a และ b เป็ นรากที
อยู่ในควอดรันต์ที 1 และ 2 ตามลําดับแล้ ว 4a 4  b4  2c4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี
4.
7.
2. –4
ถ้ า
เป็ นจริงตามข้ อใดต่อไปนี
มีลิมิตเป็ น 8
4. เป็ นลําดับได้ เวอร์ เจนต์
| z - 1| = 2 5 และ z2  7  24i
ในระบบจํานวนเชิงซ้ อน ข้ อใดต่อไปนี ผิด
1. ผลบวกของรากทังสีของสมการ x4  1 เท่ากับ
2. ถ้ า z เป็ นรากของสมการ x2  6x  18  0
3.
6.
a n  zn zn
2.
แล้ วผลบวกของส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ
1.  11
4.
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน
แล้ ว สําหรับ
1.
4.
3. 2 z2 z2
เป็ น
2
ถ้ า
3
39

i
4
4
3i
3.
เป็ นคําตอบของสมการ
ax  3x  c  0
2. 12
2
4. 1 + 3 3
(5 – 12i) z3 (–3 + 4i) = 130 z
1
2
2.
จริงแล้ วเศษทีเหลือจากการหาร
1. 8
3. 4 +
1
2
2
ax  3x  c
ด้ วย
x+2
3. 16
4. 2
โดยที
a
และ
c
เป็ นจํานวน
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
4. 20
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

33.  M th

33
9.
ถ้ า
และ
z1
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง
z2
z1  (cos
แล้ ว


 i sin )4
16
16
2. –1
3
39

i
4
4
ถ้ า
2
z1
3. i
1. 8
4. – i
2
เป็ นคําตอบของสมการ
ax  3x  c  0
2
จริงแล้ วเศษทีเหลือจากการหาร
11.
z2  2  i 
มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
z2
1. 1
10.
และ
ax  3x  c
ด้ วย
2. 12
x+2
โดยที
a
และ
c
เป็ นจํานวน
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
3. 16
4. 20
2
กําหนดให้  = cos  + i cos  เมือ cos  < 0 และ 2 cos  = 1
ถ้ า z เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน มีสมบัติวา |  z| = 2 และอาร์กิวเมนต์ของ z เท่ากับ
่

2
แล้ ว z
+z+1
มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
1. –3 + 2i
12.
ถ้ า
z(z 1. 
13.
2. –3 – 2i
3
2
2.
3. 
2. 2i
1
2
4.
z1, z2, z3
3. –2
4
3
1
2
อยู่ใน
4. 2
2
กําหนดให้ a, b เป็ นจํานวนจริง และ f (x) = x – 6x + 15x + ax + b
ถ้ าจํานวนเชิงซ้ อน 1+ i และ 2 + i เป็ นรากของ f (x) แล้ ว a + b มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
1. –10
15.
แล้ ว ส่วนจริงของจํานวนเชิงซ้ อน
= –1
3
2
4. 3 – 2i
กําหนดให้ z1, z2, z3 เป็ นรากของสมการ (1– i) z 3 = 2 โดยที
2
ควอดรันต์ที 1, 2, 3 ตามลําดับ z1z3  z2 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1. –2i
14.
3. 3 + 2i
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง (1 + i) (z  1)
z ) 15 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
z

4
2. –8
กําหนดให้ จํานวนเชิงซ้ อน
z z
ถ้ า
3
1
z z
2
 cos
1
z1, z2, z3


 i sin ,
3
3
z z  2  2i,
(2)
z1  z2
เป็ นจุดยอดของรูปสามเหลียมด้ านเท่ารูปหนึง
z z  1  i,
1 2
3 1
แล้ ว พิจารณาข้ อความต่อไปนี
z3  z2
4. 10
z z  3  4i
2 3
(1)
3. 8
 cos


 i sin
3
3
2
2
z1  z2  z2  6  7i
3
ข้ อใดต่อไปนีถูก
1. (1) ถูก และ (2) ถูก
3. (1) ผิด และ (2) ถูก
ถูก และ (2) ผิด
4. (1) ผิด และ (2) ผิด
2. (1)
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

34.  M th

34
16.
กําหนดให้
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ซึงมีสมบัติวา
่
| z1 |  | z2 |  | z3 |  1 และ z1  z2  z 3  0
ให้ Re(z) แทนส่วนจริงของจํานวนเชิงซ้ อน z พิจารณาข้ อความต่อไปนี
z1, z2, z3
1
2
| z1  z2 |  3
Re(z1 z2 ) 
(1)
(2)
17.
ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. (1) ถูก และ (2) ถูก
2. (1) ถูก และ (2) ผิด
3. (1) ผิด และ (2) ถูก
4. (1) ผิด และ (2) ผิด
กําหนดให้ z1, z2, z3 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ซึงสอดคล้ องกับ
z1z2z 3  1
และ
z1  z2  z3 
1
1
1


z1 z2 z3
จงพิจารณาข้ อความต่อไปนี
(1  z1 )(1  z2 )  (1 
(1)
ถ้ า z1 ≠ 1 และ
ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. (1) ถูก และ (2) ถูก
3. (1) ผิด และ (2) ถูก
z
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน ซึง
1. 1
19.
20.
z1z2
z3
2.
กําหนดให้
1. 1
z2 
1
2
z
2
1
ค่าของ
| z |  | z2  1 |
3.
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
3
4. 2
3I
4.
มีคาเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
่
2i
ค่าของ
ถูก และ (2) ผิด
4. (1) ผิด และ (2) ผิด
z1  4  cos 7   i sin 7  


24
24 

z2  3  sin 3  i sin  


8
8

z3  6  cos   i sin  


12
12 

และ
1.
| z3  i || z3  i |  4
2. (1)
2.
กําหนดให้
ดังนัน
แล้ ว
z2 ≠ 1
(2)
18
1
1
)(1  )
z1
z2
z1
2
3.
และ z2 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง
| z1 |2  | z2 |2
1+
| z1  z2 |2  5
และ
2  2i
| z1  z2 |2  1
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
2. 2
3. 3
4. 4
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั

35.  M th

35
z1  4(cos145o  i sin 145o )
z2  3(cos115o  i sin 115o )
20.
ถ้ า
และ
21.
แล้ วค่าของ | z1  z2 | เท่ากับเท่าใด
กําหนดให้ z1 และ z2 เป็ นจํานวนเชิงซ้ อนซึง
2
แล้ ว
22.
23.
24.
กําหนดจํานวนเชิงซ้ อน
0
5c + 2d


 i sin
6
6
มีคาเท่ากับเท่าใด
่
กําหนด
z

2
ถ้ า
โดยที
2i | z1z2 | sin   cz1z2  dz1 z2
โดยที
c, d
แล้ ว
|z + 1|
และ
เป็ นจํานวนจริง แล้ ว
i2  1
z
i
1
1  i / (1  i)
มีคาเท่ากับเท่าใด
่
ให้ z = a + bi ซึง
a+b
5
a >0 , b > 0
i
3
1  i / (1  i)
z
แล้ ว
z1  a , z2  b(cos   i sin )
มีคาเท่ากับเท่าใด
่
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน และ
ถ้ า
26.

z1 1  cos
และ
ให้ a เป็ นรากทีสามรากหนึงของ 9 + 4 5 และ b เป็ นรากทีสามรากหนึงของ 9 – 4
ถ้ า a + b และ ab เป็ นจํานวนวจริงแล้ ว a + b มีคาเท่าใด
่
ให้ f(x) = x3  ax2  bx  10 โดยที a, b เป็ นจํานวนจริง และ f(1 + 2i) = 0
จงหาส่วนจริงของ f( i10 )
และ
25.
2
3
z1 
z
2 2
z1z2  2i
b>0
ถ้ า z สอดคล้ องกับ
z2  4z  32
z2  64
1
และ
zz  61
มีคาเท่ากับเท่าใด
่
3 i
2
แล้ ว ค่าของ
2
zi
27.
ถ้ า
z=
28.
ถ้ า
(1  bi)3  107  ki
29.
ถ้ า
n
30.
แล้ ว n มีคาเท่ากับเท่าใด
่
กําหนดให้ k เป็ นจํานวนเต็มทีกําหนดให้ สมการ
z6  z3  2
เท่ากับเท่าใด
เมือ b, k เป็ นจํานวนจริง แล้ ว
เป็ นจํานวนเต็มบวกทีน้ อยทีสุดทีทําให้
|k|
 2 i 2 n
 1





 2

2 
เท่ากับเท่าใด
เมือ
i2  1
x 4  (k  4)x 3  (38  4k)x2  (13k  100)x  325  0
มีรากซําและเป็ นจํานวนเชิงซ้ อน
2 + 3i
เป็ นราก แล้ วค่าของ k mมากทีสุดเท่ากับเท่าใด
โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ มูลนิธิวดบางช้างเหนือ จ.นครปฐม
ั