1. เซต(Set)
เซต คือลักษณะนามที่เราใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ
เช่นกลุ่มของคน สัตว์ กลุ่มของสิ่งของเป็นต้น และสิ่งต่าง ๆ ที่
อยู่ในกลุมว่า สมาชิก
่
ใช้อักษรในภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนชื่อเซต
อักษรในภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก ตัวเลข เขียนสมาชิกของเซต
เมื่อเรากล่าวถึงเซต จะต้องกล่าวถึงสมาชิกในเซตซึ่งอาจจะมีหรือ
ไม่มีก็ได้ ถ้ามีก็ต้องทราบว่ามีอะไรบ้าง ดังนั้นการเขียนเซตจึง
จำาแนกได้ 2 แบบ ตามวิธีการเขียนสมาชิก
1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
วิธีการเขียนแบบนี้จะเขียนสมาชิก
ของเซตในวงเล็บปีกกา และคั่นเครื่องหมายจุลภาค “ , ” และ A
= เซตของวันในหนึงสัปดาห์
่
A={
จันทร์,อังคาร,พุธ,พฤหัสบดี,ศุกร์,เสาร์,อาทิตย์}
2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
วิธีเขียนแบบนี้เรานิยมใช้ตัวแปร x , y ,z
แทนสมาชิก หลังจากนั้นใช้เส้นคั่นและต่อจากเส้นคั่นจะเป็นส่วน
อธิบายเกี่ยวกับเงื่อนไขของสมาชิก
A = {x x เป็นวันในหนึ่งสัปดาห์}
A={
จันทร์,อังคาร,พุธ,พฤหัสบดี,ศุกร์,เสาร์,อาทิตย์}
ใช้สัญลักษณ์ “ ” แทนคำาว่า “ เป็นสมาชิกของ”
เช่น
B = { x x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
B={a,e,i,o,u}
a ∈A , e ∈ A , i∈A , o∈A , u∈A
ชนิดของเซต
1. เซตว่าง (Empty Set ) คือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย
ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ
2. เซตจำากัด( Finite Set) คือเซตที่สามารถบอกได้ว่า
มีสมาชิกเป็นจำานวนเท่าใด
3. เซตอนันต์ (Infinity Set) คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำากัด
การเท่ากันของเซต

2. เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิก
เท่ากันและเหมือนกันตัวต่อตัว
A = {x เป็นจำานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5}
B={1,2,3,4}
A=B
สับเซต
1. A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A
ต้องอยู่ใน B ใช้สัญลักษณ์
A⊂B = {x x ∈ A → x ∈ B}
= ∀x[x ∈ A → x ∈ B]
2. A ไม่ เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกบางตัว
ของ A แต่ไม่อยู่ใน B ใช้สัญลักษณ์
A⊄B = {x x ∈ A ∧ x ∉B}
= ∃x[x ∈ A ∧ x ∉ B]
3. ถ้า n(A) = k แล้ว
จำานวนสับเซตของ A มี = 2k
สับเซต
จำานวนสับเซตแท้ของ A มี = 2k -1
สับเซต
สัญลัก เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย
ษณ์ A B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทน
ด้วย A B
A = {1, 2} B= A B, A C, A D
{2, 3} B A, B C, B D
C = {1, 2, 3} D = C A, C B, C D
{1, 2, 3, 4} D A, D B, D C
1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A A)
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต ( A)
3. ถ้า A แล้ว A =
4. ถ้า A B และ B C แล้ว A C
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A
เพาเวอร์เซต (Power Set)

3. 1. เพาเวอร์เซต ของเเซต A คือสมาชิกทั้งหมดเป็น
สับเซตของ A ใช้สัญลักษณ์
P(A) = {x x ⊂ A }
2. ถ้า A เป็นเซตจำากัด
ถ้า n(A) = k แล้ว
1. n[P(A)] = 2k
2. n[P(P(A))] = k
22
3. จำานวนสมาชิกของ P(A) จะอยู่ในลำาดับเรขาคณิต
ดังนี้
n(A) 0 1 2 3 4 5 6 ------
----
n[P( 1 2 4 8 16 32 64 ------
A)] ----
ทฤษฎีเกี่ยวกับเพาเวอร์เซต
ถ้า A และ B เป็นเซตจำากัดใด ๆ
1. สมาชิกทุกตัวของเพาเวอร์เซต ต้องเป็นเซต
2. φ ∈P(A) และ P(A) เสมอ
3. A∈P(A) เสมอ แต่ A ไม่จำาเป็นต้องเป็นสับ
เซตของ P(A)
4. เมื่อ A∈P(A) ดังนั้น P(A) ∈P(P(A))
5. เพาเวอร์เซต จะไม่มทางเป็นเซตว่างได้เลย
ี
นั่นคือ P(A) ≠φ
6. P(φ) = {φ}
7. {A}⊂P(A) เสมอ ดังนั้น {P(A)} ⊂P(P(A))
8. P(A∩B)=P(A) ∩P(B)
9. ถ้า A⊂B แล้ว P(A) ⊂P(B)
การกระทำาของเซต(Operation of Set)
คือการนำาเซตหลาย ๆ เซตมากระทำากันเพื่อให้เกิดเซต
ใหม่ขึ้นมา ซึ่งมีอยู่ 3 วิธีคือ
1. อินเตอร์เซคชัน(Intersection)
ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต อินเตอร์เซคชัน
ของ A และ B หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทังของ A
้
และ B ใช้สัญลักษณ์ A∩B

4. A∩B = {xx ∈ A และ x ∈ B}
ตัวอย่าง A={1,2,3}, B={2,3,4}
วิธทำา
ี A∩B = {2 , 3 }
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออย
เลอร์ ได้ดังนี้
A B U
1 2 3 4
A∩B = {2 , 3 }
2. ยูเนียน (Union)
ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต ของยูเนียน A
และ B หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทังของ A และ B
้
ใช้สัญลักษณ์ A∪B
A∪B = {xx ∈ A หรือ x ∈ B}
ตัวอย่าง A={1,2,3}, B={2,3,4}
วิธทำา
ี A∪B = {1 , 2 , 3 ,4 }
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออย
เลอร์ ได้ดังนี้
A B U
1 2 3 4
A∪B = {1 , 2 , 3 , 4 }
3. ผลต่างและคอมพลีเม้นต์(Difference and
Complement)
ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต เซตที่ประกอบ
ด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B ใช้
สัญลักษณ์ A - B
A - B = {xx ∈ A แต่ x ∉ B}
ตัวอย่าง A={1,2,3}, B={2,3,4}
วิธทำา
ี A - B = {1 , 2 , 3 }

5. B–A={4}
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออย
เลอร์ ได้ดังนี้
A B U
1 2 3 4
A- B = {1 , 2 , 3 } และ B – A
={ 4 }
ในทำานองเดียวกัน ถ้าเราจะหา U – A จะได้
U={1,2 , 3,4,5,6}
A = {2,4,6}
U–A={1,3,5}
U - A = {xx ∈ U แต่ x ∉ A}
A’ หรือ Ac แทน U – A
ดังนั้น A’ = Ac {xx ∉ A}
U
A
2,4,
1 , 3 6 5
,
A’ = Ac {xx ∉ A} และ A’ = { 1 ,
3,5}
การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้
แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียน
แผนภาพมีดังนี้
1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพ
สัมพัทธ์
2. ใช้วงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็น
สมาชิกของ
และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

6. เป็นเอกภพสัมพัทธ์ A เป็นสับเซตของ
เซต A และ B เป็นสับเซต เซต A และ B เป็นสับเซตของ
ของ โดยที่ A และ B ไม่มี โดยที่ A และ B มีสมาชิกบาง
สมาชิกร่วมกัน ตัวร่วมกัน
เซต A เป็นสับเซตของ B เซต A = B
จำานวนสมาชิกของเซต หาได้จาก
1. n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
2. n(A∪B∪C)= (A)+n(B)+n(C) - n(A∩B)- n(B∩C)-
n(A∩C)+n(A ∩B ∩C)
ตัวอย่างที่ ١ ถ้า n(A∩B) มีสมาชิก ٣ ตัว (A∪B) มีสมาชิก ٥
ตัว A และ B มีสมาชิกเท่ากัน A-B
มีสมาชิก ١ ตัว
วิธทำา
๊ จาก n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
แทนค่า ٥ = n(A)+n(B)-3
8 = 2n(A)
; เนื่องจาก n(A) = n(B)
8
2
= n(A)
4 = n(A)
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออย
เลอร์ ได้ดังนี้
A B U
1 2
3 5
4

7. A = {1,2,3,4}
B = {2,3,4,5}
A∪B = {1,2,3,4,5}
A∩B = {2,3,4}
A - B = {1}
B - A = {5}
ตัวอย่างที่ ٢ ครอบครัวหนึงระหว่างที่ไปพักตากอากาศชายทะเล
่
บางแสนมีฝนตก 13 วัน ถ้าฝนตก
ตอนเช้าตอนบ่าย อากาศแจ่มใส แต่ถาฝนตก
้
ตอนบ่าย ตอนเช้าอากาศแจ่มใส ถ้า
ระหว่างที่พักตากอากาศ อยู่ นั้นมีอากาศแจ่มใส
ตอนเช้า 11 วัน และตอนบ่ายแจ่มใส
12 วัน อยากทราบว่าครอบครัวนี้ไปพักตากอากาศ
กี่วัน
วิธทำา
ี กำาหนด A แทนตอนเช้าอากาศแจ่มใส
B แทนตอนบ่ายอากาศแจ่มใส
x แทนอากาศแจ่มใสตลอดทั้งวัน
จาก n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
13 = (11-x)+ (12-x)
13 = 23 –2x
2x = 23-13
10
x = 2 = 5
ดังนั้นจำานวนวันที่ไปพักตากอากาศ 13+5 = 18
วัน
U
A
B
11-x x 12-x

8. ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนโรงเรียนมัธยมแห่งหนึ่งมีจำานวน ٣٠٠ คน
เลือกเข้าชุมนุมดังนี้
١٥٠ คน เลือกคอมพิวเตอร์
٢٠٦ คน เลือกคณิตศาสตร์
٨٠ คน เลือกภาษาอังกฤษ
٧٤ คนเลือก คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์
٣٢ คนเลือก คอมพิวเตอร์และภาษาอังกฤษ
٢٠ คนเลือกทั้ง ٣ วิชา
จงหา จำานวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาเดียว นักเรียนที่
เลือกคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษแต่ไม่เลือกคอมพิวเตอร์
วิธทำา
ี กำาหนด C แทน เลือกคอมพิวเตอร์ ١٥٠ คน
M แทนเลือก เลือกคณิตศาสตร์ ٢
٠٦ คน
E แทนเลือกภาษาอังกฤษ ٨٠ คน
n(C∩M) แทน เลือก คอมพิวเตอร์
และคณิตศาสตร์ ٧٤ คน
n(C∩E) เลือก คอมพิวเตอร์และภาษาอังกฤษ ٣
٢ คน
n(C∩M∩E) เลือกทัง ٣ วิชา ٢٠ คน
้
n(M∩E) = ?
จาก n(C∪M∪E)= n(C)+n(M)+n(E) - n(C∩M)- n(C∩E)-
n(M∩E)+n(C ∩M ∩E)
แทนค่า ٣٠٠ = 150+206+80-74-32- n(M∩E)
+20
n(M∩E) = 456-300-74-32
n(M∩E) = 50
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออย
เลอร์ ได้ดังนี้
C U
6
M 4
5
12
42
82 0
x 18 E

9. ***นักเรียนที่เลือกเรียน คณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษแต่ไม่
เลือกคอมพิวเตอร์
20+x = 50
x = 30
***นักเรียนที่เลือกเรียน เพียง 1 วิชา
82+18+64 =164
คน