ความน่าจะเป็น

1. ใบความรู้
เรื่อง ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น (probability)
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด เท่ากับอัตราส่วนของจานวนผลที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น ต่อ
จานวนผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได้
เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม แต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กาหนดให้ E เป็นเหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้น
n(s) เป็นจานวนสมาชิกทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม
n(E) เป็นจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่เราสนใจ
ดังนั้น P(E) =
)(
)(
Sn
En
ตัวอย่างที่ 1 ขวดแก้วใบหนึ่ง มีลูกแก้วอยู่ 10 ลูก เป็นลูกแก้วสีขาว 7 ลูก ที่เหลือเป็นลูกแก้วสี
ดา เมื่อสุ่มหยิบลูกแก้วขึ้นมา 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีขาวเป็น
เท่าไร และความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีดาเป็นเท่าไร
วิธีทา ในขวดแก้วมีลูกแก้วสีดา 10 - 7 = 3 ลูก
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีขาว
10
7
และความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีดา
10
3

2. ตัวอย่างที่ 2 จงบอกผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง และ
จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ผลบวกของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 11
วิธีทา ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้น คือ ขึ้นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5, 6
ดังรูป
ถ้าทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน ผลทั้งหมดที่เกิดขึ้นสามารถแสดงได้ด้วยตารางต่อไปนี้
ลูกเต๋า ลูกที่ 2
ลูกเต๋าลูกที่1
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
ในตาราง สมาชิกตัวหน้า หมายถึง แต้มของลูกเต๋าลูกที่ 1 และสมาชิกตัวหลังคือ
แต้มของลูกเต๋าลูกที่ 2
จะเห็นว่า จานวนผลทั้งหมดที่เกิดขึ้นเท่ากับ 36
ผลบวกของแต้มทั้งสองเท่ากับ 11 เมื่อลูกเต๋าลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ขึ้นหน้าตามคู่อันดับ
(5, 6) และ (6, 5) ตามลาดับ

3. ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลบวกของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 11 คือ
36
2
=
18
1
หมายเหตุ ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จะเกิดผลทั้งหมดเหมือนกับการทอด
ลูกเต๋าหนึ่งลูกพร้อมกัน 2 ครั้ง
ตัวอย่างที่ 3 ในขวดโหลทึบใบหนึ่ง มีลูกปิงปองสีส้ม 3 ลูก และลูกปิงปองสีแดง 2 ลูกถ้าหยิบ
ลูกปิงปองครั้งละหนึ่งลูก แล้วใส่กลับคืน โดยหยิบจานวน 2 ครั้ง จงหาผลที่
เกิดขึ้นทั้งหมด และความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองที่แต่ละลูกมีสีเดียวกัน
และเป็นลูกเดียวกัน
วิธีทา กาหนดให้ ส1 ส2 ส3 แทนลูกปิงปองสีส้มลูกที่ 1 ลูกที่ 2 และลูกที่ 3 ตามลาดับ
ด1 ด2 แทนลูกปิงปองสีแดงลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ตามลาดับ
ดังนั้นจานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 25
จานวนผลที่ได้ลูกปิงปองแต่ละลูกมีสีเดียวกันและเป็นลูกเดียวกันเท่ากับ 5
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองที่แต่ละลูกมีสีเดียวกันและเป็นลูกเดียวกัน
เท่ากับ
25
5
=
5
1

4. ตัวอย่างที่ 4 ในการหยิบไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่สารับหนึ่ง จานวนผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นเป็น
เท่าไร จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่หมายเลข 4 โพแดง หรือไพ่หมายเลข 7
ข้าวหลามตัด
วิธีทา ไพ่ 1 สารับ มี 52 ใบ ซึ่งแบ่งเป็น 4 ชุด ชุดละ 13 ใบ ดังนี้
ผลทั้งหมด คือ A โพดา, 2 โพดา, 3 โพดา, ..., K โพดา
A โพแดง, 2 โพแดง, 3 โพแดง, ..., K โพแดง
A ข้าวหลามตัด, 2 ข้าวหลามตัด, 3 ข้าวหลามตัด, ..., K ข้าวหลามตัด
A ดอกจิก, 2 ดอกจิก, 3 ดอกจิก, ..., K ดอกจิก
จานวนผลทั้งหมดที่เกิดขึ้นเท่ากับ 52
จานวนที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ จะได้ไพ่หมายเลข 4 โพแดง หรือไพ่หมายเลข 7 ข้าวหลามตัด
เท่ากับ 2
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่หมายเลข 4 โพแดง หรือไพ่หมายเลข 7
ข้าวหลามตัดเท่ากับ
52
2
=
26
1

5. ตัวอย่างที่ 5 จากการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) ที่แต้มเป็นจานวนคู่ทั้งสองลูก
2) ผลรวมของแต้มบนหน้าของลูกเต๋าทั้งสองมากกว่า 10
3) ผลรวมของแต้มบนหน้าของลูกเต๋าทั้งสองเป็น 15
4) ผลรวมของแต้มบนหน้าของลูกเต๋าทั้งสองมากกว่า 1
วิธีทา ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นทั้งหมดเป็นดังตาราง
จานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเท่ากับ 36
1) เหตุการณ์ที่แต้มเป็นจานวนคู่ทั้งสองลูก ได้แก่ (2, 2), (2, 4) (2, 6), (4, 2),
(4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 9
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่แต้มเป็นจานวนคู่ทั้งสองลูกเท่ากับ
36
9
=
4
1
2) ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 ได้แก่ (5, 6), (6, 5), (6, 6)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 3
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 เท่ากับ
36
3
=
12
1

6. 3) ผลรวมของแต้มเท่ากับ 15 ไม่มี เพราะผลรวมของแต้มสูงสุดเท่ากับ 12
จึงไม่มีจานวนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 15 หรือจานวนเหตุการณ์นั้น
เท่ากับ 0
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 15 คือ
36
0
= 0
4) ผลรวมของแต้มมากกว่า 1 ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5),
(5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 36
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 1 เท่ากับ
36
36
= 1
ตัวอย่างที่ 6 ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน แต่สีต่างกันดังนี้ ลูกบอลสีเขียว 2 ลูก ลูก
บอล สีม่วง 2 ลูก และลูกบอลสีฟ้า 1 ลูกถ้าเขย่าถุงแล้วหลับตาหยิบลูกบอล 2 ลูก
จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีฟ้า และลูกบอลสีม่วงอย่างละลูก เมื่อ
1) หยิบทีละลูก หยิบแล้วไม่ใส่คืน
2) หยิบทีละลูก เมื่อหยิบลูกแรกแล้วใส่คืนก่อนที่จะหยิบลูกที่สอง
3) หยิบสองลูกพร้อมกัน
วิธีทา ให้ ข1 ข2 แทน ลูกบอลสีเขียวลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ตามลาดับ
ม1 ม2 แทน ลูกบอลสีม่วงลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ตามลาดับ
ฟ แทน ลูกบอลสีฟ้า

7. เหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีฟ้าและสีม่วง ได้แก่ (ม1, ฟ), (ม2, ฟ), (ฟ, ม1), (ฟ, ม2)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 4
1) หยิบทีละลูกหยิบแล้วไม่ใส่คืน ลูกบอลทั้งสองลูกจะไม่ซ้ากัน จากตาราง
จานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 20
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีฟ้าและลูกบอลสีม่วงเท่ากับ
20
4
=
5
1
2) หยิบทีละลูกหยิบแล้วใส่คืน ลูกบอลที่หยิบครั้งที่ 2 เป็นลูกเดียวกับลูกบอลที่
หยิบได้ครั้งที่ 1 จากตาราง
จานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 25
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีฟ้าและลูกบอลสีม่วงเท่ากับ
25
4
3) หยิบสองลูกพร้อมกัน ลูกบอลทั้งสองจะไม่ซ้ากัน การหาค่าความน่าจะเป็นทาได้
2 วิธี
วิธีที่ 1 ให้ลาดับที่ของลูกบอลที่หยิบได้เป็นลูกบอลลูกที่ 1 และลูกที่ 2
ตามลาดับ วิธีนี้ใช้จานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมด และจานวน
เหตุการณ์ เช่นเดียวกับข้อ1
ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีฟ้าและลูกบอลสีม่วงเท่ากับ
20
4
=
5
1

8. วิธีที่ 2 ไม่ให้ลาดับที่ของลูกบอลที่หยิบได้เนื่องจากไม่ทราบว่าหยิบลูกใด
ก่อน ในกรณีนี้จานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมด และเหตุการณ์แตกต่าง
ไปจากข้อ 1 ดังนี้
จากตารางข้างต้นถือว่า (ข1, ข2) เหมือนกับ (ข2, ข1), (ข1, ม1)
เหมือนกับ (ม1, ข1), ...
ดังนั้นจานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 10
เหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีฟ้าและลูกบอลสีม่วง คือ ม1 กับ ฟ
และ ม2 กับ ฟ (สลับที่กันได้)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับ 2
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีฟ้าและลูกบอลสีม่วงเท่ากับ
10
2
=
5
1
ข้อสังเกต 1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ 0
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอนเท่ากับ 1
3. ความน่าจะเป็นจะมีค่าระหว่างมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1
นั่นคือ 0 ≤ P(E) ≤ 1

9. แบบฝึกทักษะ
เรื่อง ความน่าจะเป็น
ชื่อ…………………………………………..ชั้น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. ในลิ้นชักมีถุงเท้าอยู่ 4 คู่ เป็นถุงเท้าสีดา 2 คู่ และสีขาว 2 คู่ ถ้าทาการทดลองสุ่มโดยการ
หยิบถุงเท้ามา 2 คู่ ให้หาความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองเป็นสีเดียวกัน
2. ในกล่องใบหนึ่งมีเบี้ย 6 อัน ซึ่งแต่ละอันเขียนตัวเลข 3 , 4 , 7 , 9 , 10 หรือ 11 ไว้ ถ้าสุ่มหยิบ
เบี้ย 1 อัน ออกมาจากกล่องใบนี้ จงหาโอกาสที่จะได้เบี้ยที่มีตัวเลขเป็น
2.1 จานวนคู่
2.2 จานวนเฉพาะ
2.3 จานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
2.4 จานวนที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์
3. หยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากถุงใบหนึ่ง ซึ่งมีลูกปิงปองสีแดงอยู่ 15 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเหลือง
1 ลูก สีเขียว 1 ลูก สีฟ้า 1 ลูก และสีดา 1 ลูก จงหา
3.1 ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีแดง
3.2 ความน่าจะเป็นที่จะหยิบไม่ได้ลูกปิงปองสีดา
3.3 ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีดา หรือสีขาว

10. 4. ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่าแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ โจทย์ คาตอบ
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 2 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้
1.1 บุตรคนแรกเป็นชาย
1.2 บุตรทั้งสองคนเป็นหญิง
1.3 บุตรชายอย่างน้อย 1 คน
1.1 ………………….
1.2 ………………….
1.3 ………………….
2 จากการสอบถามนักเรียน 3 คน ว่าชอบเรียนคณิตศาสตร์หรือไม่
จงหาความน่าจะเป็นที่
2.1 นักเรียนทั้งสามคนชอบเรียนคณิตศาสตร์
2.2 นักเรียนอย่างน้อย 1 คน ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์
2.1 ………………….
2.2 ………………….
3 สุ่มเลือกตัวอักษรในคาว่า “mountain” จงหาความน่าจะเป็น
3.1 ที่จะเลือกได้สระในภาษาอังกฤษ
3.2 ที่จะเลือกได้ตัวอักษรที่ไม่ใช่สระภาษาอังกฤษ
3.3 ที่จะเลือกได้ n
3.1 ………………….
3.2 ………………….
3.3 ………………….

11. เฉลยแบบฝึกทักษะ
เรื่อง ความน่าจะเป็น
ชื่อ…………………………………………..ชั้น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. ในลิ้นชักมีถุงเท้าอยู่ 4 คู่ เป็นถุงเท้าสีดา 2 คู่ และสีขาว 2 คู่ ถ้าทาการทดลองสุ่มโดยการ
หยิบถุงเท้ามา 2 คู่ ให้หาความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองเป็นสีเดียวกัน
วิธีทา สมมติ ด1 แทน ถุงเท้าสีดาคู่ที่ 1
ด2 แทน ถุงเท้าสีดาคู่ที่ 2
ข1 แทน ถุงเท้าสีขาวคู่ที่ 1
ข2 แทน ถุงเท้าสีขาวคู่ที่ 2
จะได้ แซมเปิลสเปซ S = { ด1ด2 , ด1ข1 , ด1ข2 , ด2ข1 , ด2ข2 , ข1ข2 }
ให้ E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ถุงเท้าทั้ง 2 คู่ เป็นสีเดียวกัน
จะได้ E = { ด1ด2 , ข1ข2 }
นั่นคือ  
3
1
6
2
EP
2. ในกล่องใบหนึ่งมีเบี้ย 6 อัน ซึ่งแต่ละอันเขียนตัวเลข 3 , 4 , 7 , 9 , 10 หรือ 11 ไว้ ถ้าสุ่มหยิบ
เบี้ย 1 อัน ออกมาจากกล่องใบนี้ จงหาโอกาสที่จะได้เบี้ยที่มีตัวเลขเป็น
2.1 จานวนคู่
2.2 จานวนเฉพาะ
2.3 จานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
2.4 จานวนที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์
วิธีทา สมมติให้ S แทน แซมเปิลสเปซของเหตุการณ์ทดลองสุ่มครั้งนี้
1E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้เบี้ยมีตัวเลขเป็นจานวนคู่
2E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้เบี้ยเป็นจานวนเฉพาะ
3E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้เบี้ยเป็นจานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
4E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้เบี้ยเป็นจานวนที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์

12. จะได้ S =  11,10,9,7,4,3
 10,41 E
 11,7,32 E
 
 9,4
9,3
4
3


E
E
นั่นคือ  
3
1
6
2
1 EP
 
 
 
3
1
6
2
3
1
6
2
2
1
6
3
4
3
2



EP
EP
EP
3. หยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากถุงใบหนึ่ง ซึ่งมีลูกปิงปองสีแดงอยู่ 15 ลูก สีขาว 1 ลูก
สีเหลือง 1 ลูก สีเขียว 1 ลูก สีฟ้า 1 ลูก และสีดา 1 ลูก จงหา
3.1 ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีแดง
3.2 ความน่าจะเป็นที่จะหยิบไม่ได้ลูกปิงปองสีดา
3.3 ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีดา หรือสีขาว
วิธีทา ให้ S แทน แซมเปิลสเปซของการสุ่มหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก
1E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีแดง
2E แทน เหตุการณ์ที่หยิบไม่ได้ลูกปิงปองสีดา
3E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีดา หรือสีขาว
ดังนั้น    
  4
3
20
151
1 
sn
En
EP
   
 
 
 
  10
1
20
2
20
19
3
3
2
2


sn
En
EP
sn
En
EP

13. 4. ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่าแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ โจทย์ คาตอบ
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 2 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้
1.1 บุตรคนแรกเป็นชาย
1.2 บุตรทั้งสองคนเป็นหญิง
1.3 บุตรชายอย่างน้อย 1 คน
1.1 2
1
1.2 4
1
1.3 4
3
2 จากการสอบถามนักเรียน 3 คน ว่าชอบเรียนคณิตศาสตร์หรือไม่
จงหาความน่าจะเป็นที่
2.1 นักเรียนทั้งสามคนชอบเรียนคณิตศาสตร์
2.2 นักเรียนอย่างน้อย 1 คน ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์
2.1
8
1
2.2
8
7
3 สุ่มเลือกตัวอักษรในคาว่า “mountain” จงหาความน่าจะเป็น
3.1 ที่จะเลือกได้สระในภาษาอังกฤษ
3.2 ที่จะเลือกได้ตัวอักษรที่ไม่ใช่สระภาษาอังกฤษ
3.3 ที่จะเลือกได้ n
3.1 2
1
3.2 2
1
3.3 4
1