หน่วยที่ 1 พื้นฐานเกี่ยวกับเซต

1. หน่วยที่ 1
เรื่อง พื้นฐานเกี่ยวกับเซต

2. ความหมายของเซต
เซต (Set) คือลักษณะนามที่ใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่กาลังสนใจ
อยู่ เช่น กลุ่มของคน สัตว์ กลุ่มของสิ่งของ กลุ่มของวัน เป็นต้น และจะเรียกสิ่ง
ต่างๆ ที่อยู่ในกลุ่มว่า สมาชิกของเซต สาหรับเซตที่ใช้กาหนดขอบเขตของสิ่งที่
กาลังสนใจ ซึ่งจะรวมทุกสิ่งทุกอย่างเอาไว้ จะเรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์
(Relative Universe)
การเขียนเซตจะใช้ตัวอักษรในภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนชื่อเซ
๖ เช่น A, B, C, เป็นต้น และ ใช้อักษรในภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก ตัวเลข
เขียนสมาชิกของเซ๖ เช่น a, b, c, เมื่อกล่าวถึงเซต จะต้องกล่าวถึงสมาชิกใน
เซตซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามีก็ต้องทราบว่ามีอะไรบ้าง ดังนั้นการเขียน
เซตจึงจาแนกได้ 2 แบบ ตามวิธีการเขียนสมาชิก

3. 1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
วิธีการเขียนแบบนี้จะเขียนสมาชิกของเซตทั้งหมดไว้ในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา และ
แยกสมาชิก
แต่ละตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาค “ , ” เช่น
ถ้าจะเขียนเซต A ที่เป็นเซตของวันในสัปดาห์จะเขียนได้เป็น
A = { จันทร์,อังคาร,พุธ,พฤหัสบดี,ศุกร์,เสาร์,อาทิตย์
สาหรับกรณีที่สมาชิกของเซตมีจานวนมากที่ไม่สามารถเขียนแจกแจง
จานวนสมาชิกได้ทั้งหมด
จะนิยมเขียนเฉพาะจานวนแรก ๆ ตามด้วยเครื่องหมายจุดสามจุดจากนั้นเขียนตัว
สุดท้าย เช่น
ถ้า B เป็นเซตของจานวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 จะเขียนได้เป็น

4. 2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
วิธีเขียนแบบนี้จะเขียนในเครื่องหมายวงเล็กปีกกาเช่นกัน แต่จะใช้ตัวแปร x, y ,z
แทนสมาชิก
หลังจกนั้นใช้เส้นคั่นและต่อจากเส้นคั่นจะเป็นส่วนอธิบายเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ใช้บอก
คุณสมบัติของสมาชิก
ในเซตนั้น ตัวอย่างเช่น
A เป็นเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ เขียนได้เป็น
A = { x l x เป็นวันในหนึ่งสัปดาห์ }
จะมีค่าเท่ากับ A = { จันทร์,อังคาร,พุธ,พฤหัสบดี,ศุกร์.เสาร์
,อาทิตย์ }

5. สมาชิกของเซต
ในการบอกว่าข้อมูลใดเป็นสมาชิกของเซต จะมีการใช้สัญลักษณ์ “ m ”
แทนคาว่า “เป็นสมาชิกของ” และใช้สัญลักษณ์ “ M” แทนคาว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ”
เช่น
B= { 1, 2, 3, 4 } จะได้ว่า
1 เป็นสมาชิกของ A เขียนได้เป็น 1 m A
3 เป็นสมาชิกของ A เขียนได้เป็น 3 m A
5 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนได้เป็น 5 M A
A = {a, e , i, o, u} สามารถเขียนได้ว่า
a m A, e m A. i m A, o m A , u m A , mMA

6. ชนิดของเซต
การแบ่งประเภทของเซต ถ้าหากแบ่งตามจานวนสมาชิกที่มีอยู่ในเซตจะแบ่ง
ได้ดังนี้
เซตว่าง (Empty Set หรือ NullSet) คือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ
Ø
ตัวอย่างเช่น
A = {x l x เป็นเดือนที่มี 32 วัน}
เนื่องจากไม่มีเดือนที่มี 32 วัน เราสามารถเรียกเซต A ว่าเป็นเซตว่าง หรือ A = Ø

7. เซตจากัด (Finite Set) คือเซตที่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกเป็นจานวนเท่าใด
ตัวอย่างเช่น
เซตของเลขจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 50
เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์
เซตอนันต์ (Infinite Set) คือเซตที่ไม่ใช่เซตจากัด หรือไม่สามารถบอกจานวน
สมาชิกได้
เช่น เซตของเลขจานวนเต็ม เป็นต้น

8. การเท่ากันของเซต
เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเท่ากันและเหมือนกันทุก
ตัวแบบตัวต่อตัว
แต่จะไม่คานึงถึงลาดับก่อนหลังของสมาชิกทั้งสองเซต การแสดงการเท่ากันของเซต
จะใช้เครื่องหมายเท่ากับ
“ = ” และใช้เครื่องหมายไม่เท่ากับ “ ≠ ” แสดงความไม่เท่ากันของเซต
ตัวอย่างเช่น A = {x l xเป็นจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5}
B = { 1 , 2 , 3 , 4}
สามารถเขียนได้เป็น A = B
เนื่องจากเซต A และ เซต B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

9. ตัวอย่าง C = { A, E, I, O, U}
D = { E. A. O, I, U}
สามารถเขียนได้เป็น C = D
เนื่องจากเซต C และ D มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว ถึงแม้ว่าจะมีลาดับไม่
เหมือนกัน
ตัวอย่าง A = { 2, 4, 6, 8,}
B = {2 {4, 6}, {8} };
สามารถเขียนได้เป็น A ≠ B
เนื่องจากสมาชิกของเซต A และเซต B ไม่เหมือนกันทุกตัว เพราะว่าสมาชิก
ของเซต A คือ 2, 4, 6 และ 8 แต่สมาชิกของเซต B คือ 2, {4, 6 ฃ} และ {8}

10. สับเซต
ถ้าหากเซต A และเซต B เป็นเซตใด ๆ แล้ว เซต A จะเป็นสับเซต (Sub Set)
ของเซต B ก็ต่อเมื่อสมาชิกของ A ทุกตัวเป็นสมาชิกของ B โดยใช้สัญลักษณ์ C แสดง
สับเซต โดยถ้าเซต A เป็นสับเซตของเซต B จะเขียนได้เป็น A C B และถ้าหากสมาชิก
ตัวใดของเซต A ไม่เป็นสมาชิกของ เซต B หมายความว่าเซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต
B โดยใช้สัญลักษณ์ © แทนการไม่เป็นสับเซตและเขียนได้เป็น A ©B
ถ้าหากเขียนสับเซตแบบวิธีบอกเงื่อนไขจะเขียนได้ดังนี้
A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A ต้องอยู่ใน B ใช้
สัญลักษณ์
A C B = {x l x E A > x E B}
{A x [x EA > xE B}

11. A ไม่เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกบางตัวของ A แต่ไม่อยู่ใน B ใช้สัญลักษณ์ ©
A © B = {x l x E A ^ X M B}
= Ex[xE A ^ x M B]
Ax หมายความว่าสมาชิกของ x ทุกตัว
Ex หมายความว่าสมาชิกของ x บางตัว
ตัวอย่าง A = {a. b}
B = {a, c, b, f}

12. สับเซตแท้
ถ้าหากมีเซต A และเซต B เป็นเซตใด ๆ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B
ก็ต่อเมื่อเซต A เป็นสับเซตของเซต B โดยที่เซต A ต้องไม่เท่ากับเซต B
ตัวอย่าง
A = {a, b, c, d} , B = {b. c} และ C = {d, c, b, a} จะได้ว่า
A C C และ A = C ดังนั้น เซต A ไม่เป็นสับเซตแท้ของเซต C
BC A และ B≠ A ดังนั้น เซต B เป็นสับเซตแท้ของเซต A
BC C และ B≠ C ดังนั้น เซต B เป็นสับเซตแท้ของเซต C

13. วิธีการหาสับเซตของเซตใด ๆ ถ้าหากเซต A เป็นเซตจากัดมีจานวนสมาชิกอยู่ทั้งหมด
k ตัว จานวนสับเซตของเซต A จะเป็นดังนี้
จานวนสับเซตของ A มี = 2k สับเซต
จานวนสับเซตแท้ของ Aมี = 2k – 1 สับเซต
สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย Am B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A M B

14. การกระทาของเซต (Operation of Set)
คือการนาเซตหลาย ๆ เซตมากระทากันเพื่อให้เกิดเซตใหม่ขึ้นมา ซึ่งมีอยู่ 3
วิธีคือ
1. อินเตอร์เชคชัน
2. ยูเนียน
3. ผลต่างและคอมพลีเมนต์
อินเตอร์เซคชัน (Intersection)
ถ้าเซต A และเซต B เป็นเซตจากัดใด ๆ อินเตอร์เชคชันของเซต A กับเซต B
หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของเซต A และเซต B สามารถเขียน
สัญลักษณ์แทนอินเตอร์เชคชันระหว่างเซต A และเซต B ได้เป็น A U B

15. ตัวอย่างที่ 1.1 A = { 1 ,2 , 3} , B = { 2 ,3 ,4 }
จงหาอินเตอร์เซคชันของเซต A และเซต B
วิธีทา A ∩ B = { 2 , 3 }
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
4
A B U
A ∩ B = { 2 , 3 }
1 2 3

16. ยูเนียน (Union)
ถ้าเซตA และเซต B เป็นเซตจากัดใด ๆ ผลของการยูเนียนของเซต A และเซต B
หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของเซต A และเซต B สามารถเขียนสัญลักษณ์
แทนผลการยูเนียนได้เป็น AUB
AU B = { xlxE A หรือ xE B}
ตัวอย่างที่ 1.2 A={ 1,2,3} , B={2,3,4}
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ –ออยเลอร์ ได้ดังนี้
AU B= {1,2,3,4}
A B U
1 2 3 4

17. ผลต่างและคอมพลีเม้นต์ (Difference and Complement)
ถ้าเซต A และเซต B เป็นเซตจากัดใด ๆ ผลต่างของเซต A และเซต B คือ
เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B เขียนเป็นสัญลักษณ์
ได้เป็น A – B
A – B = { x l x EA แต่ x ∉B}
ตัวอย่างที่ A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4}
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
A – B = { 1 } และ B– A = { 4 }
A B U
1 2 3 4