1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
เซต
(เนื้อหาตอนที่ 1)
ความหมายของเซต
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง เซต
สื่อการสอน เรื่อง เซต มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 7 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง เซต
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความหมายของเซต
- ความหมายของเซต
- การเขียนเซต
- เซตจากัดและเซตอนันต์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
- แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- สับเซตและเซตกาลัง
- การเท่ากันของเซต
- การดาเนินการบนเซต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- เอกลักษณ์การดาเนินการบนเซต
- การหาจานวนสมาชิกของเซตและการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
5. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
6. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
7. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต นอกจากนี้หาก
ท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อ
เรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง เซต (ความหมายของเซต)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/3)
หัวข้อย่อย 1. ความหมายของเซต
2. การเขียนเซต
3. เซตจากัดและเซตอนันต์
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. มีความเข้าใจความหมายของเซต
2. สามารถเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงื่อนไข
3. สามารถจาแนกเซตจากัดและเซตอนันต์
4. มีความเข้าใจในความหมายของเอกภพสัมพัทธ์ เซตว่าง และเซตเทียบเท่า
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของเซตได้
2. อธิบายความหมายและบอกนัยสาคัญของเอกภพสัมพันธ์ และเซตว่างได้
3. เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้
4. เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้
5. อธิบายความหมายของเซตจากัดและเซตอนันต์ได้
6. จาแนกได้ว่าเซตที่กาหนดให้เป็นเซตจากัดหรือเซตอนันต์
7. หาจานวนสมาชิกของเซตจากัดได้
8. อธิบายและตรวจสอบการเทียบเท่ากันของเซตได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ความหมายของเซต
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ความหมายของเซต
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงความหมายของ “เซต” และรู้จักเอกภพสัมพัทธ์
เมื่อผู้เรียนได้แนวคิดในเรื่องความหมายของเซตไปแล้ว ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อให้
ผู้เรียนรู้จักการหาสมาชิกของเซตได้ดีขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง
1. เซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย “คม” มีอะไรบ้าง
2. เซตของคนที่ใส่เสื้อสีแดงในห้องเรียน
3. เซตของนักเรียนชายที่ใส่เสื้อสีแดง
หลังจากนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพื่อสร้างแนวคิดเข้าสู่เรื่องเอกภพสัมพัทธ์ได้เลย เช่น ในตัวอย่าง
ข้อที่ 2 และข้อที่ 3 นั้น ผู้สอนอาจให้ข้อสังเกตว่า เมื่อมีการเปลี่ยนกลุ่มที่เราพิจารณา อาจทาให้คาตอบ หรือ
สมาชิกของเซตเปลี่ยนไป
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเห็นความสาคัญของเอกภพสัมพัทธ์ โดยเน้นย้าว่า เมื่อ
เราเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ จะทาให้สมาชิกของเซตเปลี่ยนไปด้วย
ตัวอย่าง เซตของ x ที่ทาให้  x  1 x  1  x  1   x  1  x  0 คือเซตใด
  
 2  2
เมื่อกาหนดเอกภพสัมพัทธ์ดังต่อไปนี้
1. เซตของจานวนจริง
2. เซตของจานวนตรรกยะ
3. เซตของจานวนเต็ม
4. เซตของจานวนจริงบวก
5. เซตของจานวนเต็มลบ
6. เซตของจานวนเต็มบวก
คาตอบ
1. 1,1, 1 ,  1 , 0
  2. 1,1, 1 ,  1 , 0
  3. 1,1, 0
 2 2   2 2 
 1
4. 1,  5. 1 6. 1 #
 2
ตัวอย่าง เซตของนักเรียนที่ได้เกรดเฉลี่ยของปีที่แล้วมากกว่า 3.5 คือเซตใด
เมื่อกาหนดเอกภพสัมพัทธ์ดังต่อไปนี้
1. นักเรียนในห้อง
2. นักเรียนชายในห้อง
3. นักเรียนหญิงในห้อง
สาหรับตัวอย่างนี้ ผู้สอนควรให้ผู้เรียนในห้องหาคาตอบร่วมกัน #
เมื่อยกตัวอย่างแล้ว ผู้สอนควรเน้นย้าอีกทีว่า การพิจารณาหาสมาชิกของเซตนั้น เอกภพสัมพัทธ์มี
ความสาคัญอย่างมาก
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ความหมายของเซต
1-5 จงหาสมาชิกของเซตต่อไปนี้
1. เซตของจานวนนับที่หารด้วย 4 ลงตัวและน้อยกว่า 40
2. เซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย “ยน”
3. เซตของชื่อจังหวัดที่มีพยางค์เดียว
4. เซตของจานวนจริง x ซึ่ง  x  1 x 1  0
5. เซตของจานวนเต็มที่น้อยกว่า 5
6-10 จงหาสมาชิก x ที่ทาให้  x  5 x  2 x  2x  35x  1  0
เมื่อกาหนดเอกภพสัมพัทธ์ดังต่อไปนี้
6. เซตของจานวนจริง
7. เซตของจานวนตรรกยะ
8. เซตของจานวนเต็ม
9. เซตของจานวนนับ
10. เซตของจานวนเต็มลบ
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การเขียนเซต
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การเขียนเซต
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงวิธีการเขียนเซต ซึ่งมีอยู่ด้วยกัน 2 วิธีคือ
1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนได้เข้าใจเรื่อง การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก ดังนี้
ตัวอย่าง จงเขียนเซตต่อไปนี้ แบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของจานวนนับที่หารด้วย 3 ลงตัว และน้อยกว่า 22
2. เซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย “ยน”
3. เซตของจานวนจริง x ที่ทาให้  x  1 x 1  0
4. เซตของจานวนนับ x ที่ทาให้  x  1 x 1  0
คาตอบ
1. 3,6,9,12,15,18, 21
2. {เมษายน, มิถุนายน, กันยายน, พฤศจิกายน}
3. 1,1
4. 1 #
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้น มีประเด็นสาคัญคือ
1. การใช้เครื่องหมาย “,” ในการบอกสมาชิกของเซต เช่น
A  1, 2,3 นั้น A มีสมาชิก 3 จานวนคือ 1, 2,3
B  12,3 นั้น A มีสมาชิก 2 จานวนคือ 12,3
2. การเขียนสลับตาแหน่งของสมาชิก เช่น 1, 2,3 ,2,1,3 , 3,1, 2 นั้น เรายังถือว่าเซตทั้ง 3 เซต
ข้างต้น เป็นเซตเดียวกัน
3. การเขียนซ้า เราถือว่ามีสมาชิกเพียงจานวนเดียว เช่น A  1,1,1,1, 2,3 นั้น A มีสมาชิก 3
จานวน คือ 1, 2,3 แม้ว่าในเซต A เราจะเขียน “1” ถึง 4 ครั้งก็ตาม
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงหาจานวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
1. A  1, 2,3, 4
2. B  123, 4
3. C  12,34
4. D  1, 2,3,...,10
คาตอบ
1. 4 2. 2 3. 2 4. 10 #
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1. 3,5,7  7,5,3,3
2. 1, 2,3, 4  4,3,12
3. เซตของจานวนนับ  1, 2,3,...
คาตอบ
1. จริง 2. เท็จ 3. จริง #
ตัวอย่าง จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของจานวนนับที่หารด้วย 3 ลงตัว
2. เซตของจานวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัว
คาตอบ
1. 3,6,9,...
2. ..., 6, 3,0,3,6,... #
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรเน้นย้าเรื่องการเป็นสมาชิก และสัญลักษณ์ “ ” เพราะเมื่อผู้เรียนได้เรียนเรื่องสับเซต
หรือเซตย่อย ซึ่งใช้สัญลักษณ์ “  ” อาจเกิดความสับสนได้
ตัวอย่าง กาหนดให้ A  0,1, 2, 0 , 1, 2 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
1. 0  A
2. 0  A
3. 0,1  A
4. 1, 2  A
คาตอบ 1. ถูก 2. ถูก 3. ผิด 4. ถูก #
ผู้สอนอาจเน้นย้าผู้เรียนว่า การให้เงื่อนไขของสมาชิกของเซตนั้นมีได้หลายวิธี ดังตัวอย่างที่กล่าว
ไปแล้วในสื่อ
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การเขียนเซต
1-5 จงเขียนเซตต่อไปนี้ทั้งแบบบอกเงื่อนไขและแบบแจกแจงสมาชิก
1. A เป็นเซตของจานวนเต็มที่มากกว่า 3 แต่น้อยกว่า 3
2. B เป็นเซตของจานวนเต็มที่มากกว่า 3 แต่ไม่มากกว่า 3
3. เซตของจานวนนับที่น้อยกว่า 5
4. เซตของจานวนเต็มคู่ที่มากกว่า 4 และหารด้วย 4 ลงตัว
5. เซตของจานวนจริง x ที่ทาให้ x 2  4  0
6-10 จงเขียนเซตต่อไปนี้ แบบแจกแจงสมาชิก
6. A  x  |  x  2 x  2  0
7. B  x  |  x  2 x  2  0
8. C  x  | x  10
9. D  x  | 2  x  2
10. E  { x | x เป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 15}
11-15 จงเขียนเซตต่อไปนี้ แบบบอกเงื่อนไข
11. 1, 2,3, 4,5,6
12. 2, 4,6,8,...
 1 1 1 1 
13. 1, , , ,..., 
 2 3 4 100 
14. 2, 2
15. a, b, c,..., z
16-20 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
16. 3   x | x 2  9  0
17. 3   x  | x 2  9  0
18. 4 4
19. 1  x  | x 2  1  0
20. 2 x  | 2  x  2
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
21. กาหนดให้  5, 4,..., 1,0,1,..., 4,5 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
21.1 A  x  | 2 x  1  3
21.2 B  x | x  x  6 x  1  0
21.3 C   x | 4 x 2  9  0
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เซตจากัดและเซตอนันต์
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เซตจากัดและเซตอนันต์
เนื้อหาสื่อการสอนในส่วนนี้นั้น ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงประเภทของเซตที่สาคัญ คือ เซตจากัด เซต
อนันต์ เซตว่าง และเซตเทียบเท่า รวมทั้งเรื่องการนับจานวนสมาชิกของเซตจากัด
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรเพิ่มเติมตัวอย่างให้กับผู้เรียน เพื่อฝึกฝนการนับจานวนสมาชิกของเซต ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาจานวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
1. A  1, 2,3, 4
2. B  1234
3. C  { x | x เป็นจานวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 2 และ 20}
4. D  1, 2,1, 2
คำตอบ
1. 4 2. 1 3. 17 4. 3 #
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อเพิ่มความเข้าใจในเรื่องเซตเทียบเท่า ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงพิจารณาเซตแต่ละคู่ต่อไปนี้ เซตคู่ใดเท่ากัน หรือเซตคู่ใดเทียบเท่ากัน
1. A   x  | x 2  3x  2  0
B  1, 2
2. C  1,2,3 , 4
D  a, b, c
3. E  1, 2,3
F  2,3,1
คาตอบ
1. AB และ A เทียบเท่ากับ B
2. C  D แต่ C เทียบเท่ากับ D
3. E  F และ E เทียบเท่ากับ F
#
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง เซตจากัดและเซตอนันต์
1-10 จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้ เป็นเซตจากัดหรือเซตอนันต์
1.  x  | x 2  5
2. x  |1  x  2
3. x  |1  x  2
4.  x  | x 2  2 x  3  0
5. เซตของจานวนเต็มคู่ที่น้อยกว่า 10
6. {x  | x เป็นจานวนเต็มบวกและ x เป็นจานวนเต็มลบ }
7. {x  | x เป็นจานวนเต็มบวกหรือ x เป็นจานวนเต็มลบ }
8.  
9. 1,1,1,1,...
10.  A, B เมื่อ A และ B เป็นเซตอนันต์
11-15 จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้ เป็นเซตว่างหรือไม่
11.  x | x 2  0
12. x  |  x  1 x  2  0
13. 
14.  
15. เซตของจานวนนับที่น้อยกว่าศูนย์
16-20 จงหาจานวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
16. 1, 2, 2,3,1, 2 , 2,1
17.  x  | 3x 2  4 x  1  0
18.  x  | 3x 2  4 x  1  0
19.  , 
20. 1,1,1,...
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
21-25 จงพิจารณาว่าเซตแต่ละคู่ต่อไปนี้ เซตคู่ใดเท่ากัน หรือ เซตคู่ใดเทียบเท่ากัน
21.   และ 1, 2,3,...
22.  x  | 3x 2  4 x  1  0 และ  x  | 3x 2  4 x  1  0
23.   กับ  , 
24. 1, 2,3 กับ 1,1,1,...
25.   กับ  
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.   เป็นเซตว่าง 2. 0  
3.     4. ถ้า n  A  n  B  แล้ว A  B
2. กาหนดให้ A  2, 4,4,5 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ข้อใดไม่ถูกต้อง
1. 4,5  A 2. 4  A
3. 4,5  A 4. 5  A
3. กาหนดให้ A  12345 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. A  x  |1  x  5 2. A  x  |1  x  5
3. เซต A มีสมาชิก 5 ตัว 4. A เทียบเท่ากับ 
4. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตว่าง
1.  x | x 2  1  0 2. เซตของจานวนเฉพาะที่มากกว่า 5 แต่น้อยกว่า 11
3. เซตของจานวนเต็มที่น้อยกว่าศูนย์ 4.  x  | x 2  3  0
5. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตจากัด
1.   2.
3. เซตของจานวนเต็มที่น้อยกว่าศูนย์ 4. x  | 1  x  1
6. ข้อใดต่อไปนี้ไม่จริง เมื่อ A  1,0,1,0 ,2 ,1, 2
1. 0  A 2. 0  A
3. 1,2  A 4. 1, 2  A
7. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. 2 {x | x2  4 หรือ 3 x  9} 2. 5 1,3,5
3.   0 4.   
8. ข้อความต่อไปนี้ ข้อใดเป็นเท็จ
1.     2. 1, 2,3  3,3, 2, 2,1,1
3. 2 2,3, 4 4.   
9. กาหนดให้
1
A { |n เป็นจานวนนับ }
n
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1
B  { | n เป็นจานวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ }
n
 1  1 1 
C  0, , 1, , ,...
 2  2 3 
แล้วข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. ทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B 2. ทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ C
4. C เป็นเซตจากัด 3. สมาชิกที่อยู่ในเซต B และ C มีเพียงสมาชิกเดียว
10. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. 1, 2 เป็นเซตเทียบเท่ากับ 2,1
2. 1, 2,1 ,2 เป็นเซตเทียบเท่ากับ 1, 2
3. ถ้า A  B แล้ว A ไม่จาเป็นต้องเทียบเท่ากับ B
4. 1, 2, 2,3,3,3 เทียบเท่ากับ  ,  ,  
11. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.  x  | 3x 2  4 x  0 เป็นเซตว่าง 2.  x  | x 2  4  0 เป็นเซตจากัด
3.  x  | x  x 2  เป็นเซตอนันต์ 4.  x  | x 2  1  0 เป็นเซตอนันต์
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ความหมายของเซต
1. 4,8,12,...,36 2. เมษายน, มิถุนายน, กันยายน, พฤศจิกายน
3. น่าน, แพร่, เลย, ตราด, ตาก, ตรัง 4. 1,1
5. ..., 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4 6. 5, 2, 0, 3 ,  1
2 5
3 1
7. 5, 2, 0, ,  8. 5, 2, 0
2 5
9. 5 10. 2
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การเขียนเซต
1. x  | 3  x  3 , 2, 1,0,1, 2 2. x  | 3  x  3 , 2, 1,0,1, 2,3
3. x  | x  5 , 1, 2,3, 4 4. {x  | x  4n โดยที่ n  2,3,...} , 8,12,16,...
5.  x  | x 2  4  0 , 2, 2 6. 2, 2
7. 2 8. ..., 13, 12, 11
9. 1, 0,1 10. 16,17,18,...
11. x  | x  6 12. x  | x หารด้วย 2 ลงตัว }
13. {x  |x
1
โดยที่ n  1, 2,...,100} 14.  x  x2  4  0 
n
15. {x | x เป็นพยัญชนะภาษาอังกฤษ } 16. ถูก
17. ผิด 18. ถูก
19. ถูก 20. ถูก
21. 21.1 2,3, 4,5
21.2 1, 0
21.3 
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง เซตจากัดและเซตอนันต์
1. เซตจากัด 2. เซตจากัด 3. เซตอนันต์ 4.เซตอนันต์
5. เซตอนันต์ 6. เซตจากัด 7. เซตอนันต์ 8. เซตจากัด
9. เซตจากัด 10. เซตจากัด 11. เซตว่าง 12. เซตว่าง
13. ไม่ใช่เซตว่าง 14. ไม่ใช่เซตว่าง 15. เซตว่าง 16. 4
17. 1 18. 1 19. 1 20. 1
21. ไม่เท่า, ไม่เทียบเท่า 22. ไม่เท่า, ไม่เทียบเท่า
23. เท่า, เทียบเท่า 24. ไม่เท่า, ไม่เทียบเท่า
25. ไม่เท่า, เทียบเท่า
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 3 3. 4 4. 1
5. 1 6. 3 7. 3 8. 3 .
9. 2 10. 1 11. 3
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ วมน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
35