4. www.facebook.com/orendatutor 4
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor.com
นิยาม 1.1 เรียกเซตที่ไม่มีสมาชิกว่า เซตว่าง เขียนแทนด้วย หรือ { }
Ex 1.3 ให้ A = {x I-
| x > 1}
นิยาม 1.2 เอกภพสัมพัทธ์ หมายถึง เซตที่กาหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะไม่กล่าวถึงสิ่งใด
นอกเหนือจากสมาชิกของเซตที่กาหนดขึ้นนี้ เซตของเอกภพสัมพัทธ์ใช้สัญลักษณ์ U
Ex 1.4 จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้เป็นเซตจากัดหรือเซตอนันต์
1) A = {x I+
| x < 10}
2) B = {x R | x < 10}
3) C = {x | x2
-3x -18 = 0 }
Sol
นิยามที่ 1.3 เซตจากัด (Finite set) คือ เซตว่างหรือเซตที่มีจานวนสมาชิกจากัด และเรียกเซต
ที่ไม่เป็นเซตจากัดว่า เซตอนันต์ (Infinite set)
5. www.facebook.com/orendatutor 5
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor.com
1.3 การเท่ากันของเซต
นิยาม 1.4 เซต A และ เซต B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของ
เซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย A=B และใช้
สัญลักษณ์ A B แทนเซต A ไม่เท่ากับ B
Ex 1.5 A = {6, -3}
B = {x I | x2
-3x -18 = 0}
A = B หรือไม่
Sol
Ex 1.6 A = {x I+
| x 8} B = {x I | - }
A เทียบเท่า B หรือไม่
Sol
นิยาม 1.5 เซต A เทียบเท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ A และ B มีจานวนสมาชิกเท่ากัน
6. www.facebook.com/orendatutor 6
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor.com
2. สับเซต
นิยาม 2.1 เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของ
เซต B เขียนแทนด้วย และใช้สัญลักษณ์ แทนเซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต
B
ข้อสังเกต
1. ถ้ามีสมาชิกใน A อย่างน้อย 1 ตัว ไม่เป็นสมาชิกของ B A จะไม่เป็นสับเซตของ B
2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว
3. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว A
4. สาหรับเซต A และ B ใดๆ A=B ก็ต่อเมื่อ และ
5. เซต A เป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ และ
Ex 2.1 จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A={1,2,3}
Sol
นิยาม 1.2.2 ถ้า A เป็นเซตใดๆ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเรียกว่า
เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A)
Ex 2.2 จงหาเพาเวอร์เซตของเซต A = {a,b}
Sol
8. www.facebook.com/orendatutor 8
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor.com
3. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Vann-Euler diagrams)
เพื่อที่จะเป็นการง่ายต่อการทาความเข้าใจเกี่ยวกับเรื่องเซต ได้มีนักคณิตศาสตร์ 2 ท่าน
คือ จอนเวนน์ กับเลโอนาร์ด ออยเลอร์ ได้คัดแผนภาพเพื่อแสดงเรื่องราวที่เกี่ยวกับเซต ซึ่งต่อมา
เรียกกันสั้นๆ ว่าแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ โดยเขียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเซตเอกภพสัมพัทธ์และ
วงกลม วงรี หรือรูปพื้นที่จากัดแทนเซต ดังรูป
จากรูป แสดงว่า เซต A, B และ C ต่างก็เป็นสับเซตของ U และเซต A กับเซต B มีสมาชิก
ร่วมกันอยู่บางตัว
Ex 3.1
A= {1,2,3} B= {1,4,5} C= {6,7}
U
A B
C
U
A B
C
9. www.facebook.com/orendatutor 9
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor.com
4. การดาเนินการของเซต
4.1 การยูเนียน (Union)
นิยาม 1.3.1 ให้เซต A, B เป็นเซตใดๆ เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย
สมาชิกของเซต A หรือ เซต B เขียนแทนด้วย A∪B
ดังนั้น A∪ B = {x∊U | x∊A หรือ x∊B}
Ex 4.1 ให้ A= {1, 2, 3, 4, 5} และ B={4, 5, 6, 7} จงหา A∪B
A∪B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ข้อสังเกต
1. สมาชิกทุกตัวของ A และสมาชิกทุกตัวของ B เป็นสมาชิกของ A∪ B
2. สามารถแสดงเซต A ยูเนียนกับเซต B โดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ได้ดังนี้
A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย A และ B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน
A B A B
11. www.facebook.com/orendatutor 11
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor.com
4.2 การอินเตอร์เซกชัน (Intersection)
นิยาม 1.3.2 ให้เซต A,B เป็นเซตใดๆ เซต A อินเตอร์เซกชันกับเซต B คือเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของทั้งเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A∩B
ดังนั้น A∩B ={x∊U |x∊A และ x∊B}
Ex 4.2 ให้ A= {a, b, c, d} และ B= {1, 2, 3, a, b} จงหา A∩B
A∩B={a, b}
ข้อสังเกต
1. สมาชิกทุกตัวของ A∩B จะต้องเป็นสมาชิกของ A และเป็นสมาชิกของ B ด้วย
2. สามารถแสดงเซต A อันเตอร์เซกชันกับเซต B โดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ได้ดังนี้
A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย A และ B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน
BA