2. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
2. ข้อใดต่อไปนีเป็นเซตจากัด
้
1. {x / x เป็นจุดบนเส้นตรงที่ยาวหนึ่งนิ้ว 2. {x / x I และ x 2 2}
3. {x / 1 x 0} 4. {x / x 3n และ 1 n 5}
3. ข้อใดต่อไปนีไม่เป็นเซตอนันต์
้
1. {x / x R ; x 2 2n, n I} 2. {x / x 2 1 0, x I}
3. {x / x 2 1 0, x R} 4. {x / x R, n I ; x 2n, }
4. กาหนด A 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เมื่อเขียนสมาชิกแบบบอกเงื่อนไข ในเซตแล้ว
ข้อใดต่อไปนีไม่ใช่เซต A
้
1. {x / x I และ 3 x 9}
2. {x / x I และ 2 x 10}
3. {x / x n 1 เมื่อ n I และ 2 n 7}
4. {x / x n 3 เมื่อ n I และ 6 n 12}
5. ให้ A 1, 3, 5, 7, 9,11เขียน A แบบบอกเงือนไขสมาชิก ในเซตได้ดังข้อใด
่
1. {x / x 2n 1, n I และ 0 n 5}
2. {x / x 2n 1, n I และ 0 n 5}
3. {x / x 2n 1, n I และ 1 n 5}
4. {x / x 2n 1, n I และ 6 n 1}
2. สับเซต(Subset) และเพาเวอร์เซต (Power set)
สับเซต (Subset) : AB เรียก A ว่าเป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวใน A เป็น
สมาชิก
ของเซต B และใช้ AB แทน A ไม่เป็นสับเซตของ B
B A A
A B
B
AB BA AB และ BA
จะได้ว่า AB
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 2
3. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
เพาเวอร์เซต (Power set) : เพาเวอร์เซต ของ A เขียนแทนด้วย P(A) คือ เซตของสับเซต
ทั้งหมดของ A ถ้า A มีสมาชิก n ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2n ตัว
เมื่อ n(A) แทน จานวนสมาชิกของเซต A
และ n(P(A)) แทน จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A
แล้ว n(P(A)) 2n(A)
โจทย์แบบฝึกหัด
6. กาหนด A 0,1, {0,1} ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
้
1. {0} A 2. {0,1} A
3. {0,1} A 4. 0,{1} A
7. กาหนดให้ A {1, {1}, {2}, 2} ข้อใดต่อไปนีไม่ถูกต้อง
้
1. {1} P(A) 2. P(A)
3. {1, 2} P(A) 4. {, {1}} P(A)
8. กาหนด A 1, m, {n} ข้อใดต่อไปนีถกต้อง
้ ู
1. {n} A 2. A
3. {n} A 4. mA
9. (PAT1 มีนาคม 2552) กาหนดให้ A {1, 2,{1, 2},{1, 2,3}} ข้อใดต่อไปนี้ ผิด
1. {1, 2} A 2. {1, 2,3} A
3. {1, 2} A 4. {1, 2,3} A
10. (PAT1 มีนาคม 2552) กาหนดให้ A {,1, {1}} ข้อใดต่อไปนี้ ผิด
1. A 2. {} A
3. {1, {1}} A 4. {{1}, {1,{1}}} A
11. (PAT1 มีนาคม 2552) กาหนดให้ A {x / x เป็นจานวนคู่บวก และ x 100 }
และ B {x / x A และ 3 หาร x ลงตัว }
จานวนสมาชิกของเซต P(B) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 216 2. 217
3. 218 4. 219
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 3
4. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
12. (PAT1 มีนาคม 2553) ให้ A {1, {1}} และ P(A) แทนเพาเวอร์เซตของเซต A
ข้อใดต่อไปนี้ ผิด
1. จานวนสมาชิกของ P(A) A เท่ากับ 3 2. จานวนสมาชิกของ P(P(A)) เท่ากับ 16
3. {{1}} P(A) A 4. {, A} P(A)
13. (PAT1 กรกฎาคม 2553) ให้ A {,{},{,{}}} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของ
เซต A ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
้
1. จานวนสมาชิกของ P(A) เท่ากับ 16
2. จานวนสมาชิกของ P(A) {,{}} เท่ากับ 7
3. {,{,{}}} P(A) {,{}}
4. {,{},{{}}} P(A)
14. (ONET – กุมภาพันธ์ 2552) ให้ A เป็นเซตจากัด และ B เป็นเซตอนันต์
ข้อความใดต่อไปนีเป็น เท็จ
้
1. มีเซตจากัดที่เป็นสับเซตของ A 2. มีเซตจากัดที่เป็นสับเซตของ B
3. มีเซตอนันต์ที่เป็นสับเซตของ A 3. มีเซตอนันต์ที่เป็นสับเซตของ B
15. กาหนดให้ A {1, {1}, , {}} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของเซต A
จะได้วา (ก) {} A และ {} P(A)
่
(ข) A และ P(A)
(ค) A และ P(A) มีสมาชิกซ้ากัน 3 ตัว
ข้อใดสรุปถูกต้อง
1. ถูกเฉพาะข้อ (ก) และ (ข) 2. ถูกเฉพาะข้อ (ก) และ (ค)
3. ถูกเฉพาะข้อ (ข) และ (ค) 4. ถูกหมดทั้งสามข้อ
16. กาหนดให้ A {a, {a}, b, {b}, {a, b}} จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) {a}, {b} และ {a, b} เป็นสมาชิกของ A
(ข) {a}, {b} และ {a, b} เป็นสับเซตของ A
(ค) ถ้า B เป็นสับเซตแท้ของ A แล้ว จานวนสมาชิกของ B จะมีค่าน้อยที่สุดเท่ากับศูนย์
(ง) ถ้า D เป็นสับเซตแท้ของ A แล้ว จานวนสมาชิกของ P(D) มากที่สุดเท่ากับ 231
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. ถูกต้องเพียง 1 ข้อ 2. ถูกต้องเพียง 2 ข้อ
3. ถูกต้องเพียง 3 ข้อ 4. ถูกต้องเพียง 4 ข้อ
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 4
5. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
3. การดาเนินการของเซต
การดาเนินการของเซต คือ การเอาเซตหลาย ๆ เซตมากระทาต่อกัน เพื่อให้เกิดเป็นเซตใหม่
1. ยูเนียน (Union) : A B {x / x A หรือ x B} เขียนแผนภาพเวนน์ ออยเลอร์
(Venn – Euler’s Diagram) ได้ดังนี้
A A
B
B
2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection) : A B {x / x A และ x B} เขียนแผนภาพ
เวนน์ ออยเลอร์ (Venn – Euler’s Diagram) ได้ดังนี้
A A
B
B
3. ผลต่าง (Difference) : A B {x / x A และ x B} x B} เขียนแผนภาพ
เวนน์ ออยเลอร์ (Venn – Euler’s Diagram) ได้ดังนี้
A A
B
B
4. คอมพลีเมนต์ (Complement) : A U A {x / x A} เขียนแผนภาพเวนน์
ออยเลอร์ (Venn – Euler’s Diagram) ได้ดังนี้
A A
B
B
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 5
6. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
โจทย์แบบฝึกหัด
15. ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ใช่ ส่วนที่แรเงาในแผนภาพ
1. A B
U
2. B A
3. A B
4. (A B) A
16. พืนที่ส่วนที่แรเงาในรูปตรงกับข้อใด
้
1. A B
A U
2. (A B) B
3. (B A) (A B)
B 4. [(A B) B)]
B
17. กาหนดให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ A, B เป็นเซตใด ๆ และให้ x เป็นพืนที่ที่แรเงา ข้อใดต่อเป็นจริง
้
U
1. x (A B) A
A
2. x (A B) (B A)
3. x (A B) (B A)
4. x (A B) (B A)
B
18. ให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ A, B, C เป็นเซตใด ๆ และให้ x เป็นพืนที่ที่แรเงา ข้อใดต่อเป็นจริง
้
A B 1. (A B C) (B (A C))
2. ((A B) C) ((B C) A)
3. A (C B)
4. (A B) (B C)
C
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 6
7. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
19. (คณิตศาสตร์ 2 – ตุลาคม 2544) ให้ A , B และ C เป็นเซตที่กาหนดในแผนภาพตามรูป
A 1. A (B C) { 1 , 2 }
B
2 3 2. (A B) C) { 1 , 2 , 7 }
7
1 3. A (B C) { 3 , 4 , 6 }
6
4 5
4. (C B) (A B) { 6 }
C 8 9
20. (โควตา มช คณิตศาสตร์ 1 – 2530) พืนที่ส่วนที่แรเงาในรูปตรงกับข้อใด
้
1. (A C) B
A
2. (C B) A
3. (A C) (B A)
B 4. (A B) (C B)
C
21. จงแรเงาแต่ละข้อต่อไปนี้
21.1 (B A) C 21.2 B (A C) 21.3 (B A) C
21.4 B (A C) 21.5 C (A B) 21.6 C (B C)
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 7
8. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
21.7 C (A B) (C (A B)) 21.8 ((A B) C) ((A C) B) ((B C) A)
22. กาหนดให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ A, B, C เป็นเซตใด ๆ และ ให้ x เป็นพืนที่แรเงา
้
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
C
U ก. (A B) C x
A ข. A B C x
ข้อใดต่อไปนีเป็นจริง
้
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
B 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ผิด
23. ข้อความใดต่อไปนี้ สอดคล้องกับแผนภาพ ที่กาหนดให้
1. [(A B) C] (A B)
U
A
C
2. [A (B C)] [(B C) A]
B
3. [(B A) C] [(A B) C]
4. [A B C) (A C)] [B (A C)]
24. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
และให้ A {1, 2, 3, 4} , B {3, 4, 5, 6} และ C {2, 4, 6, 7}
แล้ว [(B C) A] (A B C) คือเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. {6} 2. {6, 8}
3. {5, 6} 4. {5, 6, 7}
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 8
9. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
25. ให้ U {2, 3, 4, ..., 9, 10} , A {2, 4, 6} , B {3, 4, 5, 6, 7}
และ C {3, 5, 7, 9} แล้ว (A C) B คือข้อใดต่อไปนี้
1. {4, 6} 2. {3, 5, 7}
3. {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 4. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
26. (ONET – กุมภาพันธ์ 2549) ถ้า A B {2, 4, 6} , B A {0, 1, 3} และ
A B {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แล้ว A B เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2. {1, 2, 4, 5, 6, 8}
3. {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4. {0, 2, 4, 5, 6, 8}
27. (PAT1 ตุลาคม 2552) กาหนดให้ A {0,1, 2, {0,1, 2}} และ P(A) แทนเซตกาลังของ A
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. A P(A) {0,1, 2} ข. n(A P(A)) n(P(A) A)
ข้อใดต่อไปนีเป็นจริง
้
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ถูก
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
28. กาหนดให้ A และ B เป็นเซต พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า A B แล้ว A B A
ข. ถ้า A B แล้ว A B B
ข้อใดต่อไปนีเป็นถูก
้
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ถูก
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
29. (คณิตศาสตร์ 2 – ตุลาคม 2543) กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U { 1 , 2 , 3, 4 ,... ,10 } ถ้า
A { 1 , 2 ,5 , 6 , 9 ,10 } และ B { 2 , 4 , 6 , 8 ,10 } แล้วสมาชิกของเพาเวอร์เซตของ
[( A B) B] มีจานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16
30. ถ้า A {5, {5}} และ A {{5}, } แล้ว ข้อใดต่อไปนีผด
้ ิ
1. BA 2. A B
3. A AB 4. P(A B) {{{5}}, }
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 9
10. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์
31. ถ้า A {0, 1, {0}} และ B {, 0} แล้ว P(B) P(A) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. {}
3. {, 0} 4. {{}, {, 0}}
32. กาหนดให้ U {1, 2, 3, ... , 8, 9 } , 1 A , A B {2, 3} , A B {2, 6}
B C {2, 4, 7} , C A {4, 5, 7} , A B C {1, 2, 3,... , 7, 8}
แล้ว ข้อใดผิด
1. A B {6, 8} 2. B C {1, 3}
3. A (B C) {1, 2, 4, 5, 7, 9 } 4. (A (B C)) (A B)
โดย ครูไชยวสันต์ ใหม่ทรายเปียง (ครูเอ็ม) 10