สรุปสูตรเรื่องเซต

1. สรุปสูตรเรื่องเซต
เซตว่าง () = เซตที่ n () = 0
เซตจากัด = เซตที่ n(A)  0,1,2,3,...,n เมื่อ n เป็นจานวนนับ
เซตอนันต์ = เซตที่ n(A) ไม่เป็นจานวนนับหรือ 0
1. การกระทาระหว่างเซต
1.1 AB {x xA หรือ xB}
1.2 AB {x xA และ xB}
1.3 AB  {x xA แต่ xB}
1.4 A  {x x แต่ xA}
2. ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
2.1 (AB)  AB
2.2 (AB)  AB
2.3 ABAB
2.4 A(BC)  (AB)(AC)
2.5 A(BC)  (AB)(AC)
3. สับเซตและเพาเวอร์เซต
3.1 AB ถ้า xA แล้ว xB ข้อสังเกต 1. A  B และ B  A แล้ว A  B
2. A  B แล้ว AB  A , AB  B
3.   A และ A  A
3.2 P(A) {x x  A} จานวนสมาชิกของ P(A) = จานวนสับเซตทั้งหมดของ เซต A n  2
3.3 สับเซตแท้ของเซต A คือ สับเซตทั้งหมดของ A ที่ไม่ใช่ตัวมันเอง มี 2 1 n  สับเซต  ไม่มีสับเซตแท้
3.4 P(A) และ  P(A)
3.5 AP(A) แต่ A  P(A)
3.6 การหาจานวนสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปตามเงื่อนไข เช่น A {1,2,3,4,5} และ B {x  A1,2x}
จงหา n(B) ดังนั้น n(B) 2 2 8 5 2 3    
และถ้า C {x  A1,2,3x} ดังนั้น n(C) 2 2 4 5 3 2    

2. สรุปเรื่อง เซต
ความหมาย หรือคาจากัดความที่ควรทราบ
1. การเขียนเซต เขียนได้ 2 แบบ
1.1 การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก
1.2 การเขียนแบบบอกเขื่อนไขของสมาชิก
2. การเท่ากันของเซต
2.1 AB ถ้า aA แล้ว aB และ ถ้า bB แล้ว bA
หรือ เซต 2 เซต นั้นจะต้องมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
2.2 AB A  B และ B  A
2.3 ถ้า A  B และ BC แล้ว A  C
3. เซตที่เทียบเท่ากัน
เซต A เทียบเท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อ n(A)  n(B) หรือ เซต A และเซต Bมีจานวนสมาชิกเท่ากัน
4. เซตว่าง () หรือ { }
A  n(A)  0
5. เซตจากัด
A เป็นเซตจากัด ก็ต่อเมื่อ n(A) = 0 หรือ จานวนเต็มบวก
6. เซตอนันต์
A เป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ A ไม่ใช่เซตจากัด
7. สับเซต
7.1 AB ถ้า aA แล้ว aB

3. 7.2 A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A  B แต่ A  B( ถ้าโจทย์ไม่กาหนดนิยามใด ๆมา ให้
เข้าใจว่า A  B หมายถึงสับเซตใด ๆ ก็ได้ ซึ่ง A  B ก็ได้ ) แต่ถ้าโจทย์ กาหนด A  B
และ A  B ให้เข้าใจว่า
A  B หมายถึง A เป็นสับเซตแท้ ของ B ซึ่ง A  B
A  B หมายถึง A เป็นสับเซตใด ๆของ B ซึ่ง A  B ก็ได้
7.3 จานวนสับเซตทั้งหมดของ n A  2 แต่จานวนสับเซตแท้ทั้งหมดของ A 2 1 n   โดยที่ n เป็น
จานวนสมาชิกของเซต A
7.4 สมบัติที่ควรจา
7.4.1 A  A ( เซตใด ๆก็ตาม จะเป็นสับเซตของตัวมันเองเสมอ )
7.4.2   A (  จะเป็นสับเซตของเซตใด ๆเสมอ แม้กระทั่งตัวมันเอง นั่นคือ  )
7.4.3 ถ้า A  B และ BCAC
การกระทาระหว่างเซต หรือ การดาเนินการระหว่างเซต( Operation on sets )
1. ยูเนียน ( Union of two sets ) แทนด้วยสัญลักษณ์ 
AB  x xA xB มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
1.1 สมบัติปิด A,B UAB U โดยที่ U แทนเอกภพสัมพัทธ ์
1.2 สมบัติสลับที่ AB  BA
1.3 สมบัติเปลี่ยนกลุ่ม (AB)C  A(BC)  ABC
1.4 สมบัติการมีเอกลักษณ ์A  A  A
1.5 สมบัติการตัดออกไม่จริง ถ้า ABAC ไม่สามารถสรุปได้ว่า BC
1.6 UAAUU
1.7 AA  A
1.8 ถ้า ABABB
2. อินเตอร์เซกชัน ( Intersection of two sets ) แทนด้วยสัญลักษณ์ 
AB  x xA xB มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
2.1 สมบัติปิด A,B UAB U
2.2 สมบัติสลับที่ AB  BA
2.3 สมบัติเปลี่ยนกลุ่ม (AB)C  A(BC)  ABC
2.4 สมบัติการมีเอกลักษณ ์AUUAA
2.5 สมบัติการตัดออกไม่จริง ถ้า ABAC ไม่สามารถสรุปได้ว่า BC
2.6 A  A  
2.7 AA  A
2.8 ถ้า ABABA

4. 3. คอมพลีเมนต์ของเซต หรือ ส่วนเติมเต็มของเซต ( Compliment of set ) แทนด้วยสัญลักษณ์ A
A  C(A)  x xU xA มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
3.1 (A)  A
3.2 xAxA หรือ xAxA
3.3   U และ U  
3.4 (AB)  AB และ (AB)  AB
4. ผลต่างระหว่างเซต หรือ ตัวดาเนินการผลต่าง( Different of sets ) แทนด้วยสัญลักษณ์ -
AB  x xA xB มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
4.1 AB A(AB)A  A
(AB)A  AB
4.2 ABAB หรือ ABAB หรือ AA  
4.3 A  B  B A แต่ ABBA
4.4 ABBAAB
5. ความสัมพันธ์ระหว่างตัวดาเนินการของเซต ที่ควรจา
5.1 (AB)  AB และ (AB)  AB
5.2 (AB)C  (AC)(BC)
(AB)C  (AC)(BC)
5.3 AA  U และ AA  
5.3 ABABAB
ABAABA
ABAAAB
AB A  B 
AB  1. A หรือ B   ก็ได้ หรือ
2. A และ B เป็น disjoint set ( เซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน )
เพาเวอร์เซต (Power set )
P(A)  x x  A ในทานองเดียวกัน P(P(A))  x x  P(A) นั่นคือ สมาชิกทุกตัวของ P(A) จะต้อง
เป็นเซตเท่านั้น มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
1. การพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูก หรือผิด ให้ยึดหลักดัง นี้
1.1 AP(B)A  B
1.2 A  P(B) ถ้า xAxP(B)
1.3 AP(B)A BAB
1.4 A P(B)AP(B)A  B
2. P(A) ,  P(A) ,  P(A)
3. AP(A)A  A

5. A P(A)AP(A)
4. P()   และ P(P())  ,
5. ถ้า x n(A)  x n(P(A))  2
x 2 n(P(P(A)))  2 ข้อสังเกต จานวนอักษร P จะเท่ากับจานวนของเลข 2
6. A  BP(A)  P(B)
7. P(AB)  P(A)P(B)
8. P(AB)  P(A)P(B) แต่ P(AB)  P(A)P(B)
9. P(A)  P(A)

10. P(AB)  P(A) P(B) แต่ P(AB)  P(AB)  P(A)P(B)
แผนภาพเวนน์ออยเลอร ์
A  B AB  AB  B  A A  B
A B
A B
A B
A
จานวนสมาชิกในเซต
ถ้า A , B และ C เป็นเซตจากัด
1. nAB n(A)  n(B)  n(AB)
2. nAB  n(A)  n(B)  n(AB)  0
3. nABC n(A)  n(B)  n(C) n(AB) n(BC) n(AC)  n(ABC)
4. nA n(U) n(A)
4. nAB n(A) n(B)
*****************************