1. This document contains 5 multiple choice questions about functions and their compositions.
2. The questions involve evaluating functions, finding the composition of two functions, and determining the result of adding two functions together.
3. This summary provides a high-level overview of the key elements and purpose contained within the document.
2. สับเซต สัญลักษณ ⊂
A ⊂ B อานวา “A เปนสับเซตของ B”
นิยาม : A จะเปนสับเซตของ B ได ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวในเซต A ตองอยูในเซต B
ขอควรจํา : เซตวางเปนสับเซตของทุกเซต
ตัวอยางการหาสับเซต
ตย.1 จงหาสับเซตที่เปนไปไดทั้งหมดของ A เมื่อ A = {1, 2}
สับเซต A = ∅ , {1}, {2}, {1,2}
จะสังเกตไดวา แตละเซตของสับเซต A เชน {1} มีสมาชิกหนึ่งตัว คือ 1 ซึ่งก็เปนสมาชิกของ A ดวยเชนกัน
จํานวนสับเซตของ A มีทั้งหมด 4 เซต
ตย.2 จงหาสับเซตที่เปนไปไดทั้งหมดของ B เมื่อ B = {3, 4, 5}
สับเซต B = ∅ , {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}
จํานวนสับเซตของ B มีทั้งหมด 8 เซต
จาก ตย.1 และ ตย.2 จะสามารถสังเกตไดวา จํานวนสับเซตมีความสัมพันธกับจํานวนสมาชิกของเซตเดิมคือ
จํานวนสับเซต = 2 ยกกําลังจํานวนสมาชิกของเซตเดิม = 2n เมื่อ n คือจํานวนสมาชิกของเซตเดิม
สับเซตแท คือสับเซตที่ไมใชเซตเดิม
เชน A = {1, 2} สับเซต A = ∅ , {1}, {2}, {1,2}
สับเซตแท สับเซตไมแท
การ Operation ของเซต
1. Union : รวม -> สัญลักษณ ∪ 2. Intersection : เหมือน -> สัญลักษณ ∩
3. Difference : ตาง -> ลัญลักษณ - 4. Complement : ไมเอา -> สัญลักษณ ‘
ตัวอยางการใชงาน
U = {1, 2, 3, 4, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}
1. Union : A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} ; B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} -> A ∪ B = B ∪ A
2. Intersection : A ∩ B = {2, 4} ; B ∩ A = {2, 4} -> A ∩ B = B ∩ A
3. Difference : A - B = {1, 3, 5} ; B – A = {6, 8, 10} -> A – B ≠ B – A
จํางาย ๆ วา : เปนสมาชิกที่อยูเฉพาะในเซตหนา ไมอยูในเซตหลัง
4. Complement : A’ = {6, 7, 8, 9, 10} ; B’ = {1, 3, 5, 7, 9}
ไมเอาสมาชิกในเซตที่มีเครื่องหมาย ‘ แตสมาชิกที่ไดยังคงตองอยูใน U
สมบัติของการ Operation
1. A ∪ B = B ∪ A การสลับที่
2. A ∩ B = B ∩ A
3. A ∪ ∅ = A
4. A ∩ ∅ = ∅ เอกลักษณ
5. A ∪ U = U
6. A ∩ U = A
7. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C การเปลี่ยนกลุม
8. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. 9. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
10. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) การกระจาย
11. A – (B ∩ C) = (A – B) ∩ (A – C)
12. A – (B ∪ C) = (A – B) ∪ (A – C)
13. (A’)’ = A
14. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ สมบัติของ Complement
15. A ∪ A’ = U
16. A ∩ A’ = ∅
17. **A - B = A ∩ B’ = B’ – A’ ** Difference
18. A – B ≠ B – A
เพาเวอรเซต (Power Set)
คือ เซตของสับเซต
เชน A = {1, 2} -> Subset A = ∅ , {1}, {2}, {1, 2}
Power Set A = { ∅ , {1}, {2}, {1, 2}}
ความสัมพันธของ Power Set กับการ Operation
P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
P(A ∪ B) ≠ P(A) ∪ P(B)
ถา A ⊂ B แลว P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) -> ดังนั้นสามารถสรุปไดวา P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
P(A – B) ≠ P(A) – P(B)
แผนภาพเวนน – ออยเลอร เปนแผนภาพหรือสัญลักษณแทนการแจกแจง
ประโยชน คือ ทําใหงายตอการทําความเขาใจและการคํานวณ
แทน U เอกภพสัมพัทธดวย กรอบสี่เหลี่ยม
แทนเซตตาง ๆ ดวยวงกลมในกรอบ
การหาจํานวนสมาชิกของเซต
สามารถพิสูจนไดจากการเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอร
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
สําหรับเนื้อหาในเรื่องเซต สรุปคราว ๆ ไดดังแสดงไวดานบน
ตอจากนี้ลองทําโจทยดูนะครับ
ใหเนนเรื่องนิยาม คําจํากัดความ และหลักการกอน สวนเทคนิคจะคอย ๆเพิ่มพูนจากการทําโจทยนะครับ
จากนั้นใหเนนในเรื่องการเขียนแผนภาพโดยเฉพาะพวกโจทยที่มี เชา เย็น, ฝนตก ไมตก
ขอใหสนุกนะครับ
ณัฐ