ทฤษฎีเซตเบื่องต้น

MODERN MATHEMATICS
Complied by … ::[MoDErN_SnC®]::

คํานํา
เปนที่ทราบกันดีวา หัวใจของการเรียนคณิตศาสตร คือกระบวนการเรียนรูที่เนนกระบวนการ และการทํา
แบบฝกหัด แตนักเรียนสวนมากมักมองขามในจุดนี้ไป เห็นการใชสูตรเปนเรื่องสําคัญโดยไมรูที่มาของสูตร ทําใหการ
เรียนในขั้นสูงเปนไปดวยความลําบาก กลาวคือ พื้นฐานไมแนน และการที่ไมทําแบบฝกหัดนั้น ทําใหไมเห็นแนวโนม
ของโจทยที่มี ทําใหเมื่อพบเจอกับโจทยที่มีความซับซอน ผูเรียนจะเกิดความเบื่อหนายในการทําโจทย สงผลทําใหการ
เรียนคณิตศาสตรเปนไปอยางไมไดผล และประสบความลมเหลว ดังปญหาที่พบมากในประเทศไทย
เอกสารชุด Modern Mathematics เรื่อง The Basic Concept of SET THEORY เปนเอกสารที่ชวยเสริม
การเรียนการสอนในหองเรียน โดยภายในเอกสารประกอบไปดวยเนื้อหาที่ครบถวน ตรงตามหลักสูตรการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พ.ศ. 2544 และยังมีเนื้อหาที่เพิ่มเติมเพื่อใหสามารถตอยอดความรูเพื่อศึกษาในระดับสูงตอไป อีกทั้งยัง
ประกอบดวยแบบฝกหัดตามหัวขอตาง ๆ ที่ประกอบกับเนื้อหา แบบฝกหัดระคน และแนวขอสอบในระดับโควตา-
เอนทรานซ และระดับโอลิมปกวิชาการ โดยไดรวบรวมเนื้อหาจากแหลงการเรียนรูหลายแหลง อาทิ เอกสาร
ประกอบการเรียนที่ไดเรียนมา หนังสือตาง ๆ และจากอินเตอรเนท หรือจากประสบการณที่ไดเรียนมา เพื่อใหเอกสาร
ฉบับนี้สมบูรณมากที่สุด
ผูรวบรวมและเรียบเรียงหวังวา เอกสารนี้จะใหความรูแกผูศึกษาตามแตศักยภาพของตนเอง หากเอกสาร
ฉบับนี้มีขอบกพรองประการใด ก็ขออภัยมา ณ.ที่นี้ดวย ซึ่งสามารถติชม และใหคําแนะนําไดที่อีเมลลของขาพเจา
schaidee@hotmail.com จักเปนพระคุณยิ่ง
::[MoDErN_SnC®]::
ศุภณัฐ ชัยดี
ผูรวบรวม – เรียบเรียง
21 กันยายน 2548

Special Thanks
กวาจะมาเปนเอกสารมาได ก็ตองขอขอบคุณบุคคลตอไปนี้
คุณพอ คุณแม ที่เปนกําลังใจใหและสนับสนุนในการซื้อกระดาษ หมึกพิมพ หรือหนังสือตาง ๆ
พี่สาวที่แสนดีที่บางครั้งขอใหชวยพิมพใหบาง
อ.เสรี กิจสวัสดิ์ไพบูลย ที่เปนตนแบบที่หลอหลอมใหไดใชภาษาคณิตศาสตรอยางถูกตอง และเปน
แรงบันดาลใจใหพัฒนาการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร
อ.อภิชาติ ลอยเวหา ที่ใหคําปรึกษาในการจัดทําดวยดีเสมอมา
อ.ธีรภัทร วิโรจนสกุล ที่อนุญาตใหใชเอกสารที่สอนป 2547 เพื่อนํามาปรับปรุง ,แนะนําการทํา
เอกสาร และใหขอเสนอแนะ
พี่โนต ที่ตรวจสอบความถูกตองทางคณิตศาสตรและนําไปลงในเว็บไซตเพื่อเผยแผเอกสารนี้
นองเนยสด นองนารุโตะ หรือคนที่รูจักใน MSN ที่เปนหนูทดลองใชเอกสารนี้
เพื่อน ๆ ที่คอยใหกําลังใจตลอด
เจาของเอกสารที่ขาพเจาไดนํามาใชเพื่อการศึกษา
และคนอื่น ๆ ที่ไมไดกลาวถึง ณ.ที่นี้
ขอขอบคุณครับ

สารบัญ
เรื่อง หนา
1. มโนคติเบื้องตนเกี่ยวกับเซต 1
1.1 รูปแบบการเขียนเซต 1
1.2 การเปนสมาชิกของเซต 4
1.3 จํานวนสมาชิกของเซต 4
1.4 ความสัมพันธระหวางเซต 7
2. เอกภพสัมพัทธและแผนภาพเวนน - ออยเลอร 9
2.1 เอกภพสัมพัทธ 9
2.2 แผนภาพเวนน - ออยเลอร 9
3. สับเซตและเพาเวอรเซต 15
3.1 สับเซต 15
3.2 เพาเวอรเซต 18
4. การดําเนินการระหวางเซต 19
4.1 ยูเนียน 19
4.2 อินเตอรเซคชัน 21
4.3 คอมพลีเมนต 27
4.4 ผลตางระหวางเซต 27
5. สมบัติของเซต 33
5.1 Union of Sets 33
5.2 Intersection of Sets 34
5.3 De – Morgan Law 34
5.4 Distributive Laws 35
5.5 Difference of two sets 37
5.6 Union and intersection of two sets 38
5.7 Difference, Union and intersection of two sets 39
5.8 การพิจารณาสมาชิก – สับเซต 41
6. การแรเงาเขตพื้นที่ 43
7. เซตกับจํานวนสมาชิก 47
แบบฝกหัดระคนชุดที่ 1 56
แบบฝกหัดระคนชุดที่ 1 63
ขอสอบโอลิมปกคณิตศาสตร เรื่องเซต 70
ขอสอบโควตาและเอนทรานซเรื่องเซต 73
บรรณานุกรม 78

The basic concept of SETS THEORY
MODERN MATHEMATICS Copyrighted © by…::[MoDErN_SnC®]::
1
เซ ต ( S e t s )
มโนคติเบื้องตนเกี่ยวกับเซต
เซตเริ่มมีที่มามาจากนักคณิตศาสตรชาวเยอรมัน ชื่อ เกออรก คันทอร (Georg Cantor)
เปนผูริเริ่มใชคําวาเซต ตอจากนั้นนักคณิตศาสตรจึงใชคํานี้อยางแพรหลาย ความรูในเรื่องเซต ถือ
วาเปนความรูพื้นฐานที่สามารถเชื่อมโยงกับเนื้อหาสาระทางคณิตศาสตรไดหลายเรื่องทีเดียว
ในภาษาไทย มีคําที่ใชเรียกกลุมของสิ่งตาง ๆ หลายคํา เราเรียกวา “สมุหนาม” (คํานาม
รวมหมู) เชน กลุม ชุด ฝูง พวก แตในทางคณิตศาสตร เราจะใชคําวา เซต เพียงคําเดียวเทานั้น
ดังนั้น คําวาเซตในทางคณิตศาสตร จึงหมายถึง กลุมของสิ่งของตาง ๆ และเมื่อกลาวถึง
กลุมใดแลวจะสามารถทราบไดแนนอนวาสิ่งใดอยูในกลุม และสิ่งใดอยูนอกกลุม เชน
• เซตของวันในหนึ่งสัปดาห หมายถึง กลุมของวันจันทร วันอังคาร วันพุธ วันพฤหัสบดี วัน
ศุกร วันเสาร และวันอาทิตย
• เซตของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง กลุมของรูปสี่เหลี่ยมซึ่งประกอบดวย สี่เหลี่ยม
จัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผา
หมายเหตุ
ในทางภาษาอังกฤษ คําวา Set และ Collection มีความหมายที่แตกตางกัน
เราเรียกสิ่งที่อยูในเซตวา สมาชิก (Elements / Members)
สิ่งตาง ๆ ที่อยูในเซต ตองเปนสิ่งที่สามารถระบุไดอยางแจมชัด (Well-Defined) เพื่อที่เราสามารถระบุ
ไดวา สิ่งนั้นเปนสมาชิกในเซตหรือไม
QUIZ 1 เปนเซตหรือไม
1. นักเรียนหอง ม.4/2
2. นักเรียนหอง ม.4/2 ที่มีหนาตาดี
3. นักฟุตบอลทีมแมนยูที่เลนฟุตบอลเกง
4. เม็ดทรายในทะเลทรายซาฮารา
สรุป การพิจารณาเงื่อนไขวาเปนเซตหรือไม.......................................................
…...................................................................................................................
1.1 รูปแบบการเขียนเซต
ในการเขียนเซต เราสามารถเขียนเซตไดถึง 3 รูปแบบ คือ
• การเขียนเปนขอความ (Statement Form)
เปนการเขียนขอความเพื่อแสดงความชัดเจน
ตัวอยาง เซตของนักเรียนหอง ม.4/1
เซตของจํานวนเฉพาะที่ไมเกิน 50
เซตของจํานวนเต็มบวกที่คูณกับ 5 แลัวไดไมเกิน 8
Georg Cantor

2
• การเขียนแจกแจงสมาชิก (Tabular Form / Roaster Method)
เปนการเขียนแจกแจงสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปกกาที่มีลักษณะ { } และใช
เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นสมาชิกแตละตัว เชน
ตัวอยาง เซตของจํานวนนับที่นอยกวา 5 เขียนแทนดวย {1, 2, 3, 4}
โดยทั่วไปจะแทนเซตดวยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพใหญ เชน A, B, C และแทนสมาชิกดวย
ตัวพิมพเล็ก เชน a, b, c
ตัวอยาง กําหนดให A แทนเซตของพยัญชนะ 3 ตัวแรกในภาษาอังกฤษ
A = {a, b, c} อานวา A เปนเซตที่มี a, b และ c เปนสมาชิก
กําหนดให B แทนเซตของจํานวนเต็มบวกทีเปนคู
B = {2, 4, 6, 8, …}
ขอสังเกต เราจะใชจุดสามจุด (…) เพื่อแสดงวามีสมาชิกอื่น ๆ ซึ่งเปนที่เขาใจกันอยูแลววามีอะไรในเซตบาง
เชน {1, 2, …, 10} หมายถึง เขาใจวามี 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เปนสมาชิกของเซตดวย หรือใชแทนเซต
อนันต (Infinite Set) ที่บอกวามีจํานวนอีกมากมายไมสิ้นสุด ซึ่งจะกลาวถึงในหัวขอถัดไป
• การแจกแจงเงื่อนไข (Set Builder Form/ Rule Method)
เปนการใชตัวแปรเขียนแทนสมาชิกแลวทําการบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยูในรูปตัวแปร
เชน A = { x | x เปนพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ}
อานวา A เปนเซตซึ่งประกอบไปดวยสมาชิก x โดยที่ x เปนพยัญชนะสามตัวแรกใน
ภาษาอังกฤษ เครื่องหมาย “|” แทนคําวา โดยที่
เราสามารถเขียนรูปแบบการแจกแจงเงื่อนไขใหอยูในรูปแจกแจงสมาชิกไดทุกเซต แตในบาง
เซตเราไมสามารถเขียนรูปแบบการแจกแจงสมาชิกใหอยูในรูปเงื่อนไข
EXERCISE I รูปแบบการเขียนเซต
ตอนที่ 1จงเขียนเซตในรูปแจกแจงสมาชิก
ขอ โจทย แจกแจงสมาชิก
1. เซตของวันใน 1 สัปดาห
2. เซตของเดือนที่ลงทายดวย “ยน”
3. เซตของสระในภาษาอังกฤษ
4. เซตของจํานวนเต็มลบที่มากกวา –20
5. เซตของจํานวนเต็มบวกที่มีคามากกวา 100
6. เซตของจํานวนเต็มบวก
7. เซตของจํานวนเต็มลบ
8. เซตของจํานวนเต็ม
9. เซตของจํานวนนับ
10. เซตของจํานวนจริงที่สอดคลองกับสมการ x2
– 5x = 0
11. เซตของจํานวนเต็มบวกที่สอดคลองกับสมการ x2
– 3x – 10 = 0
12. เซตของจํานวนเต็มที่สอดคลองกับสมการ 2x2
– 5x + 2 = 0

3
13. A = {x | x ∈ I และ 3 ≤ x ≤ 8
14. B = {x | x ∈ +
I และ x ≤ 100
15.
C = {x | x เปนจํานวนเฉพาะบวก และ
x2
-15x + 44 = 0}
16. D = {x | x ∈ และ 3 หารลงตัว}
17. E = {x | x ∈ ซึ่ง x ≤ 100 และ Ν∈x }
18. F = {x | x ∈ R และ 0
1
2
=
−
−
x
x
}
ตอนที่ 2จงเขียนเซตในรูปแบบบอกเงื่อนไข
ขอ โจทย แจกแจงสมาชิก
1.
A = { ดาวอังคาร, ดาวพุธ, ดาวพฤหัสบดี,
ดาวศุกร, ดาวเสาร, ดาวยูเรนัส, ดาวเนปจูน,
ดาวพลูโต,}
2. B = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
3. C = {-10, -9, -8, -7, ..., -1}
4. D = {b, c, d, f, ..., z}
5. E = {1, 3, 5, 7, ..., 99}
6. F = {5, 10, 15}
7. G = {4, 9, 25, 49, 121, 169}
8. H = {-2, -5}
9. I = {...,-2, -1, 0, 1, 2 , ... }
10. J = {1, 4, 9, 16, ..., 100}
เซตในระบบจํานวนตาง ๆ
เซตของจํานวนธรรมชาติ / จํานวนเต็มบวก (Natural Number / Integer) N = I+
= {1, 2, 3, 4, …}
เซตของจํานวนเต็มศูนยและเต็มบวก (Whole Number) W = {0, 1, 2, 3, 4, …}
เซตของจํานวนเต็มคู (Even Number) E = {2, 4, 6, 8, …}
เซตของจํานวนเต็มคี่ (Odd Number) O = {1, 3, 5, 7, …}
เซตของจํานวนเต็มทั้งหมด (Integers) Z = I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
เซตของจํานวนตรรกยะ (Rational Numbers) Q = {
b
a
| a and b are integers and b≠0}
เซตของจํานวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) Q’ = { x| x is a real number that is not rational}
เซตของจํานวนจริง R = { x| x can be expressed as a decimal}

4
1.2 การเปนสมาชิกของเซต
กําหนดให A = {1, 2, 3}
1 เปนสมาชิกของ A เขียนแทนไดวา 1 ∈ A (อานวา 1 เปนสมาชิกของ A)
4 ไมเปนสมาชิกของ A เขียนแทนไดวา 4 ∉ A (อานวา 4 ไมเปนสมาชิกของ A)
QUIZ 2 มีจํานวนสมาชิกกี่ตัว
1. A = {123}
2. B = {1, 2, 3, 2, 2, 1}
3. C = {1, {1}, {{1,2}}}
4. D = {x | x เปนเซตของพยัญชนะในคําวา MONTFORT}
สรุป การพิจารณาจํานวนสมาชิกในเซต มีหลักการดังตอไปนี้
1. ………………………………………………………………………………………………………
2. ………………………………………………………………………………………………………
3. ………………………………………………………………………………………………………
1.3 จํานวนสมาชิกของเซต
จํานวนสมาชิกของเซต (Cardinal Number) เขียนแทนดวย n(A) (เมื่อ A แทนดวยเซตใดๆ)
เราสามารถจําแนกประเภทของเซตโดยใชจํานวนสมาชิกได 2 รูปแบบดังนี้
ประเภทที่ 1 เซตที่มีสมาชิกและไมมีสมาชิก
- เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว เรียกวา Singleton Set
- เซตที่ไมมีสมาชิกอยูเลย เรียกวา เซตวาง (Null Set / Empty Set) เขียนแทนดวยสัญลักษณ ∅
หรือเขียนแทนดวยลักษณะ { } (วงเล็บปกกาที่ไมมีสมาชิกอยู) โดยสัญลักษณดังกลาวนํามาจาก
อักษรตัวสุดทายของอักษรเดนมารค นอรเวย ซึ่งอานออกเสียงไดคอนขางยาก ฉะนั้นเมื่อพบ
สัญลักษณดังกลาวจะอานวา เซตวาง แทน สังเกตวาจะคลายกับสัญลักษณ φ (ฟาย) ของภาษา
กรีก
EXERCISE II การเปนสมาชิกและจํานวนสมาชิกของเซต (I)
จงบอกสมาชิกของเซต และจํานวนสมาชิกของเซต ( )(An ) ในแตละขอตอไปนี้
No. Set Elements
Cardinal
number
1. {a, b, c, d, e}
2. {0, 1, 2, 3, 1, 0}
3. {12345}
4. {1, {2, 3, 4, 5, 6}}
5. {{a, b, c}, a, {b, c}}
6. {x│x เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยกวา 5}

5
7. { x│ Ix ∈ และ 0376 2
=−+ xx }
8. { x│ ax = เมื่อ Ia ∈ และ 33 ≤≤− a }
9. { x│x เปนรากที่สองของ yเมื่อy=1,2,3,4}
10. { Nx ∈ │ +
∈−= In
n
x ,
1
1 และ 5<n }
11. เซตของจํานวนเต็มลบ ที่นอยกวา - 100
12. เซตของจํานวนเต็มบวกที่เปนเลข 2 หลัก
13. เซตของจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 8
14. เซตของจํานวนเต็มระหวาง 4 กับ 8
15. เซตของจํานวนนับ
16. เซตของจํานวนเต็มตั้งแต 3 ถึง 6
17. เซตของจํานวนเต็ม ที่นอยกวา 5
18. เซตของจํานวนเต็มที่หารดวย 5 ลงตัว
19.
เซตของจํานวนเต็มที่สอดคลองกับสมการ
0232
=+− xx
20. เซตของจํานวนเต็มที่สอดคลองกับสมการ 013
=−x
21.
เซตของจํานวนเต็มที่สอดคลองกับสมการ
023 2
=−− xx
22. เซตของจํานวนเต็มบวกที่สอดคลองกับสมการ xx 22
=
23. เซตของจํานวนคูบวกที่สอดคลองกับอสมการ 353 <x
24. เซตของจํานวนเฉพาะที่นอยกวา 15
25. เซตของจํานวนนับที่สอดคลองกับสมการ 042
=+ xx
26. เซตของพยัญชนะในคําวา “กรรมกร”

6
ประเภทที่ 2 เซตจํากัดและเซตอนันต
- เซตจํากัด (Finite Set) คือ เซตที่มีจํานวนสมาขิกเปนจํานวนเต็มบวกหรือเต็มศูนย
- เซตอนันต (Infinite Set) คือ เซตที่ไมใชเซตจํากัด ใชจุดสามจุดเพื่อแทนสมาชิกอื่นที่ยังเขาใจวายัง
มีสมาชิกอื่นอยูในเซต
ตอบคําถามตอไปนี้พรอมบอกเหตุผล
1. เม็ดขาวในขาวผัดเปนเซตจํากัดหรือเซตอนันต
2. A = {{}} มีจํานวนสมาชิกหรือไม
3. B = {} มีจํานวนสมาชิกหรือไม
4. เม็ดทรายในทะเลทรายซาฮารา
สรุป 1. การพิจารณาเซตจํากัด/เซตอนันต.......................................................
.................................................................................................................
2. การพิจารณาจํานวนสมาชิกของเซตวาง.............................................
.................................................................................................................
EXERCISE III จํานวนสมาชิกของเซต (II)
ตอนที่ 1จงพิจารณาเซตในแตละขอตอไปนี้วาเปนเซตอนันต หรือเซตจํากัด
1. {1, 2, 3, …, 100} .............................................................
2. {a, {a}, {{a}}, {{{a}}}, …} .............................................................
3. {x|x เปนจํานวนเต็มลบ} .............................................................
4. เซตของจํานวนคูที่มี 7 เปนหลักสิบ .............................................................
5. เซตของวงกลมที่มีจุดศูนยกลางรวมกัน .............................................................
6. เซตของจํานวนที่อยูระหวาง 1 กับ 3 .............................................................
7. }4,{ <∈ xIxx .............................................................
8. เซตของจํานวนเต็มที่นําไปหาร 0 ไดลงตัว .............................................................
9. {x|x เปนตัวประกอบของ 0} .............................................................
10. {x|x มี 0 เปนตัวประกอบ} .............................................................
ตอนที 2 จงพิจารณาวาเซตในแตละขอตอไปนี้ เปนเซตวาง หรือไมเปนเซตวาง
1. {φ } .............................................................
2. ]{ xxx ≠ .............................................................
3. }54,{ <<∈ xNxx .............................................................
4. }{ 2
xxx = .............................................................
5. },{ 2
xxxNxx =+∈ .............................................................
6. }1,{ <∈ +
xIxx .............................................................
7. }01{ 3
=+xx .............................................................

7
8. ( ) }02,{
2
=+∈ xNxx .............................................................
9. {{},{},{}} .............................................................
10. }5,{ 2
=∈ +
xIxx .............................................................
1.4 ความสัมพันธระหวางเซต
- เซตที่เทากัน (Equal Set) คือเซตที่มีจํานวนสมาชิกเทากันและมีสมาชิกเหมือนกัน
นิยาม เซต A เทากับเซต B ก็ตอเมื่อ เซตทั้งสองนี้มีสมาชิกเหมือนกัน กลาวคือ เซต A เปนสมาชิกของเซต B
และสมาชิกทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต A
เซต A เทากับเซต B เขียนแทนดวย A = B
- เซตที่เทียบเทากัน (Equivalent Set) คือเซตที่มีจํานวนสมาชิกเทากัน อาจเขียนแทนดวย
เครื่องหมาย ↔
นิยาม 1. ถา A และ B เปนเซตจํากัด เรียกวา A เทียบเทากับ B เมื่อ n(A) = n(B)
2. ถา A และ B เปนเซตอนันต เรียกวา A เทียบเทากับ B เมื่อสามารถนําสมาชิกทุกตัวของ A
และ B มาจับคูกันแบบหนึ่งตอหนึ่งได
เซตที่เทากันยอมเปนเซตเทียบเทากัน แตเซตเทียบเทากันอาจไมเปนเซตที่เทากันก็ได
ตัวอยาง A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 2, 1}
เนื่องจาก A และ B มีจํานวนสมาชิกเทากัน แสดงวาเปนเซตเทียบเทา (A
↔ B) และมีสมาชิกเหมือนกัน (ตรวจสอบลักษณะการเขียนเซต ตามหลักการ
เขียนเซตที่วา ไมคํานึงถึงลําดับ และไมคํานึงถึงการเขียนซ้ํา) ดังนั้น A=B
C = {1, 2, {3}}, D = {3, 2, 2, 1}
เนื่องจาก C และ D มีจํานวนสมาชิกเทากัน แสดงวาเปนเซตเทียบเทา (C
↔ D) แตสมาชิกไมเหมือนกัน ดังนั้น A ≠ B
EXERCISE IV ความสัมพันธระหวางเซต
ตอนที่ 1 ใหเขียนเครื่องหมาย หนาขอที่ถูก และเขียนเครื่องหมาย หนาขอที่ผิด
………1. a = {a}
………2. a }{a↔
………3. {1, 2} = {12}
………4. ถา A = B แลว BA ↔
………5. ถา BA ↔ แลว A = B
………6. If A =B and B = C, then A =C.
……….7. If BA ≠ and CB ≠ , then CA ≠
……….8. }85{}85{ <<∈=<<∈ xIxxNx
……….9. }33{}33{ <<−∈=<<−∈ xIxxNx
……….10. }33{}33{ <<−∈↔<<−∈ xIxxNx

8
ตอนที่ 2 จงพิจารณาความสัมพันธของเซตในขอตอไปนี้ วาคูใดเปนเซตที่เทากัน หรือเปนเซตที่เทียบเทา หรือ
ไมเทากันและเทียบเทาเลย
1. A = {0, 1, 2, 3, …, 9}; B = { 10<∈ xIx } ……………………………
2. C = {10, 20, 30, 40}; D = {30, 40, 10, 20, 30, 10} ……………………
3. E = {1}; F = {{1}} ………………………………………
4. G = {5}; H = { 25, 2
=∈ xIxx }……………………………………….
5. I = }0{ 2
=− xxx ; J = }01{ =−xx ………………………………………..
6. K = }5,,
1
1{ <∈+= +
yIy
y
xx ; L = }5,,
1
1{ <∈+= yNy
y
xx
………………………………………………………………………….
7. M = }10,{ ≤∈ xIxx ; N = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
…………………………………………………………………………
8. O = }50,
1
{ ≤≤= n
n
xx ; P = }51,
1
{ ≤≤= n
n
xx
………………………………………………………………………
9. Q = {0}; R = φ ……………………………………………….
10. S = {{{φ }}}; T = {φ } …………………………………………….
11. U = {12345}; V = {1, 2, 3, 4, 5} ………………………………….
12. W = {33, 44, 55}; X = {3, 4, 5} ………………………………….
ตอนที่ 3 จงจับคูระหวางเซตในกลุมที่ 1 และกลุมที่ 2 ที่เทากัน
1. }4,{ 2
=∈ xIxx A {1}
2. }4,{ =∈ xIxx B {2}
3. }4,{ −=∈ xIxx C {-2}
4. }05,{ 2
=+∈ xRxx D {-2, 2}
5. }0233,{ 2
=+−∈ xxIxx E {1, 2, 3}
6. {x|x N∈ , 403 2
<x } F {}
ตอนที่ 4 ใหเขียนเครื่องหมาย หนาขอที่ถูก และเขียนเครื่องหมาย หนาขอที่ผิด
……….1. 1 }1{≠
……….2. {1} = }1{ 2
=xx
……….3. {1} = {1, 1, 1, 11}
……….4. 2 }}2{{∈
……….5. φ=−>∈ }1{ 2
xIx
……….6. }1{ 2
−>∈ xIx is finite set.
กลุมที่ 1 กลุมที่ 2

9
……….7. }98{ <<∈ xIx is a null set.
……….8. }50{ −>∈ −
xIx is an infinite set.
……….9. }1
2
1
{ << xx is an infinite set.
……….10. }1
2
1
{ <<∈ xQx is an infinite set.
……….11. }98{ <<∈ xIx is a finite set.
………..12. A = {}, then n(A) = 0.
เอกภพสัมพัทธและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
2.1 เอกภพสัมพัทธ
เอกภพสัมพัทธ (Relatively Universe) คือเซตที่กําหนดขึ้น โดยมีขอตกลงวา ตอไปจะกลาวถึงสมาชิก
ของเซตนี้เทานั้น จะไมมีการกลาวถึงสิ่งใดที่ไมเปนสมาชิกของเซตนี้ นิยมใชสัญลักษณ U แทนสัญลักษณเอกภพ
สัมพัทธ
ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย โดยสวนมากจะกําหนดเอกภพสัมพัทธไวที่ระบบจํานวนจริงเสมอ
2.2 แผนภาพเวนน- ออยเลอร
เพื่อใหการศึกษาเกี่ยวกับเซตงายและเขาใจขึ้น จึงมีการใชแผนภาพแทนเซตที่เรียกวา แผนภาพของ
เวนน-ออยเลอร (Venn-Euler) ซึ่ง John Venn นักคณิตศาสตรชาวอังกฤษเปนผูเสนอไว โดยสืบทอดแนวคิดมา
จาก Leonhatd Euler นักคณิตศาสตรชาวสวิส มักเรียกสั้น ๆ แผนภาพเวนน
เราจะแทนเอกภพสัมพัทธดวยสี่เหลี่ยมมุมฉาก และแทนเซตอื่น ๆ ดวยวงกลมหรือรูปเรขาคณิตอื่นๆ
สมาชิกของเอกภพสัมพันธอยูภายในรูปสี่เหลี่ยม และสมาชิกของ A อยูภายในวงกลม กรณีที่กลาวถึง
เซตที่มากกวา 1 เซต มักจะเขียนในลักษณะดังรูป
U
A B
U
A

10
รูปแบบความสัมพันธระหวางเซตเมื่อเขียนลงบนแผนภาพเวนน-ออยเลอร
เซตที่ไมมีสมาชิกรวมกันเลย (disjoint sets)
เซตที่มีสมาชิกรวมกัน ( intersecting sets)
ความสัมพันธที่ A ทั้งหมดเปนสมาชิกใน B และ B ทั้งหมดเปนสมาชิกใน A
เมื่อกําหนดเอกภพสัมพัทธ
EXERCISE V เอกภพสัมพัทธ
ตอนที่ 1 จงเขียนแจกแจงสมาชิก
1. A = }43{ << xx , U = N . ………………………………………..
2. A = {x|x<3}, U = N ………………………………………..
3. A = {x|-3<x<2}, U = N ………………………………………..
4. A = {x|-3<x<2}, U = I ……………………………………….
5. A = {x|x 5−≥ }, U = N ……………………………………….
6. A = {x| 33 ≤≤− x }, U = I ……………………………………….
7. A = {x| 33 ≤≤− x }, U = +
I ………………………………………..
8. A = {x| 33 ≤≤− x }, U = −
I ……………………………………….
A B
A B
สมาชิกใน A
ที่ไมมีใน B
สมาชิกใน B
ที่ไมมีใน A
สมาชิกรวมกัน 2 เซต
B
A
A
B
A B
U

11
ตอนที่ 2 จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร
กําหนดให U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1. A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
3. A = {4, 6, 9}
B = {3, 4, 6, 7, 8, 9}
4. A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3}
5. A = {7, 8, 9}
B = {7, 8, 9, 10}
6. A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6, 7}
C = {10}
7. A = {3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8}
C = {6, 8, 10}
U
U
U
U
U
U
U

12
8. A = {2, 4, 5, 6, 7}
B = {3, 7, 9, 10}
C = {7, 8}
9. A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C = {5, 6, 7, 8}
10. A = {3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 6, 7}
C = {7, 8, 9}
ตอนที่ 3 จงแรเงาลงในพื้นที่ใหถูกตอง
1. Where does a poodle go? 2. Where does 8 go?
3. Where does program go? 4. Where does 32 += xy go?
U
U
U
Dogs Cats
U
Integer Perfect
Cube
U
Natural number
Hardware Software
U
People ware
Line
Equation
U
Circle

13
5. Where does 13 go? 6. Where does g go?
7. Where does 121 go? 8. Where does
7
1
go?
9. Where does 1 day go? 10. Where does π (Pi) go?
11. Where does one quarter go? 12. Where does Mr. Taksin go?
Prime
number
Even
number
U
Whole number
Letter Musical
note
U
Computer language
Perfect
Square
Even
number
U
Palindrome
Fraction Repeat
Decimal
U
Integer
3600
seconds.
9600
minutes.
U
24 hours
Variable Constant
U
Algebra
25%.
12
3
U
15 minutes
Father
Prime
Minister.
U
Aunt

14
ตอนที่ 4 จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร
1. AB ⊂ 2. CBA ⊂⊂
3. A, B และ C มีสมาชิกรวมกันบางตัว 4. BAABBA =⊂⊂ ,,
5. สมาชิกบางตัวของเซต B เปนสมาชกของเซต A และC
6. CABA ⊄⊂ ,
7. TSTR ⊂⊂ , แต Rและ S ไมมีสมาชิกรวมกันเลย
และมีสมาชิกบางตัวของT ไมอยูใน R และ S
8. BCBA ⊂⊂ ,
9. A = Natural numbers
B = Even numbers
C = Odd numbers
U U
U U
U
U
U
U
U

15
10. A = Integer
B = Whole numbers
C = Counting numbers
D = Zero
E = Positive integers
สับเซตและเพาเวอรเซต
3.1 สับเซต (Subset)
นิยาม เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B
A เปนสับเซตของเซต B เขียนแทนดวย A ⊂ B
A ไมเปนสับเซตของเซต B เขียนแทนดวย A ⊄ B
ตัวอยาง 1
ถา A = { 1 } , B = { 0 , 1 , 2 } , C = { 3 , 4 , 5 , 6 } และ D = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
จะได A ⊂ B , B ⊂ D และ A ⊂ D
แต A ⊄ C , B ⊄ C และ C ⊄ D
ตัวอยาง 2 กําหนดให A = { 1 , 2 , 3 } จงหาสับเซตทั้งหมด
จะไดสับเซตทั้งหมดของ A คือ { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } , φ
ถา A ⊂ B และ A ≠ B เชน A = { 1 } , B = { 1 , 2 } จะเรียก A วาเปนสับเซตแทของ เซต B
ถา A ⊂ B และ A = B เชน A = { a , b } , B = { a , b } จะเรียก A วาเปนสับเซตไมแทของ เซต B
ตัวอยาง 3 กําหนดให A = {1, 2} B = {2, 3} C = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3, 4}
สรุปไดวา A ⊄ B, A ⊂ C, A ⊂ D
B ⊄ A, B ⊂ C, B ⊂ D
C ⊄ A, C ⊄ B, C ⊂ D
D ⊄ A, D ⊄ B, D ⊄ C
จากตัวอยาง 2 พบวามี n(A) = 3, จากการสังเกตพบวา มีจํานวนสับเซต 8 เซต ดังนั้นอาจสรุปไดดังตาราง
เซต จํานวนสมาชิก จํานวนสับเซต
{} 0 1 = ( 0
2 )
{1} 1 2 = ( 1
2 )
{1, 2} 2 4 = ( 2
2 )
{1, 2, 3} 3 8 = (23
)
{1, 2, 3, 4} 4 16 = ( 4
2 )
{1, 2, 3, 4, 5} 5 32 = ( 5
2 )
{1, 2, 3, …, n} n 2n
U

16
ขอตกลงเกี่ยวกับสับเซต
• เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวเอง นั่นคือ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A ⊂ A
• เซตวางเปนสับเซตของเซตทุกเซต นั่นคือ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว φ ⊂ A
เราทราบจํานวนสับเซตทั้งหมด วา เซตใดๆ มีจํานวนสับเซตเปน 2n
จากความรูเรื่องสับเซตแท เรา
พบวา เซตตัวมันเอง จะไมเปนสับเซตแท ดังนั้น เราสามารถหาจํานวนสับเซตแทไดโดยอาศัยสูตร 2n
- 1
เรื่องการหาจํานวนสมาชิกของซับเซต จะไดเรียนอีกครั้งหนึ่งในเรื่องคอมบินาทอริกในระดับสูงตอไป
สรุปสมบัติของสับเซต เมื่อให A, B และ C เปนเซตใดๆ ที่ไมใชเซตวาง จะไดวา
1. เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวมันเอง เชน .,, CCBBAA ⊂⊂⊂
2. เซตวางเปนสับเซตของทุก ๆ เซต เชน ., BA ⊂⊂ φφ
3. ถา φ⊂A แลว φ=A
4. ถา BA ⊂ และ CB ⊂ แลว CA ⊂ .
5. ถา BA = แลว BA ⊂ และ AB ⊂ .
6. ถา BA ⊂ และ AB ⊂ แลว BA = .
7. ถา A มีจํานวนสมาชิกเทากับ n แลว จะมีสับเซตจํานวน n
2
EXERCISE VI สับเซต
1. จงหาสับเซตทั้งหมด ของเซตที่กําหนดให
1. A = φ ……………………………………………………………….
2. B = {a} ……………………………………………………………….
3. C = {a, b} ……………………………………………………………….
4. D = {x, y, z} ………………………………………………………………
……………………………………………………………….
5. E = {{1, 2}} ……………………………………………………………….
6. F = { }{, φφ } ………………………………………………………………
7. G = { }}{,{, φφφ } ……………………………………………………………….
8. H = {{a}, {b}, {a, b}} …………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
9. I = {0, {0},{φ }} …………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
10. J = {0, {0}, }{, φφ } ………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….

17
2. จงพิจารณาขอความตอไปนี้วา ถูก หรือ ผิด
กําหนดให A = {0,φ } (ตอบขอ 1 – 10 )
………1. A∈0 ……….6. A∈}0{
………2. A⊂0 ……….7. A∈}{φ
………3. A∈φ ……….8. A⊂}0{
………4. A⊂φ ……….9. A∈},0{ φ
………5. A⊂}{φ ……….10. A⊂}0,{φ
กําหนดให B = {m, b, p} (ตอบขอ 11 – 20 )
………11. Bm ∈ ……….20. B∈φ
………12. Bnm ⊂},{ ………21. }{φφ ⊂
………13. Bpnm ⊂},,{ ………22. }{φφ ∈
………14. }{m⊂φ ………23. 0=φ
………15. }{}{ Bp ⊂ ………24. }0{=φ
……….16. Bn ⊂}{ ………25. }{φφ =
……….17. Bm ⊂ ………26. }}{,{}{ φφφ =
……….18. Bpm ∈},{ ………27. }}{,{ φφφ ∈
……….19. Bpnm ⊂}},,{{ ………28. }}{,{ φφφ ⊂
………29. ถา A เปนสับเซตของ B แลว A เปนสับเซตแทของ B
………30. A เปนเซตใด ๆ A จะมีสับเซตแทเสมอ
………31. If BA∈ and CB ∉ , then CA∉ .
………32. If BA∈ , then BA ⊂ .
………33. If BA ⊄ and CB ⊄ ,then CA ⊄
3. กําหนด A ={a, b, c}; B = {b, c, d} จงหา
1. เซตที่เปนสับเซตของ A และเปนสับเซตของ B
.............................................................................................................................................
2. เซตที่เปนสับเซต ของ A และไมเปนสับเซตของ B
.............................................................................................................................................
3. เซตที่เปนสับเซตของ B และไมเปนสับเซตของ A
.............................................................................................................................................
4. กําหนด A = {a, b} และ B = {a, b, c, d, e} ถา BxA ⊂⊂ จงเขียนเซตของ X มาทั้งหมด
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

18
3.2 เพาเวอรเซต ( power set )
คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เมื่อ A เปนเซตจํากัด
เพาเวอรเซตของเซต A เขียนแทนดวย P(A)
ตัวอยาง ถา A = { a , b , c } เซตของสับเซตทั้งหมดของ A หรือ
เพาเวอรเซตของ A คือ P(A) = { { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } , φ }
ตัวอยาง ถา A = { 6 , 9 , {1} , {{2}} } จงหา P(A)
P(A) = { {6} , {9} , {{1}} , {{{2}}} , {6,9} , {6,{1}} , {6,{{2}}} , {9,{1}} , {9,{{2}}} , {{1},{{2}}} , {6,9,{1}}
, {6,9,{{2}}} , {6,{1},{{2}}} , {9,{1},{{2}}} , {6,9,{1},{{2}}} , φ }
ถา A เปนเซตจํากัดที่มีสมาชิก n ตัว แลว P(A) มีสมาชิก 2n
ตัว
หนังสือบางเลมใช 2A
แทน P(A)
สมบัติของเพาเวอรเซตที่ควรทราบ
กําหนดให A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U
1. φ ∈ P(A)
2. A ∈ P(A)
3. ถา A เปนเซตจํากัด และมีสมาชิก n ตัว แลว P(A) จะเปน เซตจํากัดที่มีสมาชิก 2n ตัว
4. ถา A เปนเซตอนันต แลว P(A) จะเปนเซตอนันต
5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B)
6. ถา P(A) ⊂ P(B) แลว A ⊂ B
7. P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
8. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
EXERCISE VI เพาเวอรเซต
1. จงทําเครื่องหมาย หนาขอความที่ถูกและเครื่องหมาย หนาขอความที่ผิด
………1. )(AP∈φ
………2. )(AP⊂φ
………3. )(APA∈
………4. )(APA ⊂
………5. มีเซต A ที่ทําให φ=)(AP
………6. มีเซต A ที่ทําใหจํานวนสมาชิกของเซต P(A) = 26
………7. มีเซต A ที่ทําให P(A)มีจํานวนสมาชิกเปนจํานวนคี่ตัว
………8.มีเซต Aและ เซตB ที่ทําให BA∈ และ BA ⊂

19
2. จงหาเพาเวอรเซตของเซตตอไปนี้
1. A = {9} …………………………………………………………...
2. B = {{a, b}, c} …………………………………………………………..
3. C = φ …………………………………………………………..
4. P(φ ) …………………………………………………………..
5. P(P(φ )) …………………………………………………………..
6. P({1, 2, {φ }}) …………………………………………………………..
…………………………………………………………...
3. ถาเซต A มีจํานวนสมาชิก 10 ตัว แลว P(A) มีจํานวนสมาชิกกี่ตัว
…………………………………………………………………………………...
4. ถาสับเซตแทของ P(A) มี 255 สับเซต แลวจงหาจํานวนสมาชิกของ A
…………………………………………………………………………………
การดําเนินการระหวางเซต
4.1 ยูเนียน ( Union )
นิยาม ยูเนียนของเซต A และ เซต B คือ เซตใหมที่ประกอบดวยสมาชิกซึ่งเปนสมาชิกของเซต A หรือ เซต B
หรือของทั้งสองเซต
ยูเนียนของ เซต A และเซต B เขียนแทนดวย A ∪ B
เขียนในรูปแจกแจงสมาชิกไดดังนี้
A ∪ B = { x | x ∈ A หรือ x ∈ B หรือเปนสมาชิกของทั้งสองเซต }
ตัวอยาง ถา A = { 1 , 2 , 3 , 4 } และ B = { 5 , 6 , 7 , 8 } จะได
A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
ตัวอยาง ถา C = { 1 , 2 , 3 } และ D = { }
C ∪ D = { 1 , 2 , 3 }
Example Let A = {x|x N∈ , x is divisible by 2} and B = {x|x N∈ , x is divisible by 3},
Find BA∪ ;
Solution: Given A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …} and; B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, …}
∴ BA ∪ = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, …}.
= {x|x N∈ , x is divisible by 2 or 3}
Example Let A ={0, 2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5} and C = {2, 4, 6, 8}.
Verify that )()( CBACBA ∪∪=∪∪ ;
Solution: We have BA∪ = {0, 2, 4, 6 }∪ {1, 2, 3, 4, 5}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ CBA ∪∪ )( = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}∪ {2, 4, 6, 8}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

20
Again, CB ∪ = {1, 2, 3, 4, 5}∪ {2, 4, 6, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
∴ )( CBA ∪∪ = {0, 2, 4, 6}∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
Hence, )()( CBACBA ∪∪=∪∪
จากตัวอยางขางตน จึงสรุปออกมาเปนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการยูเนียนไดดังนี้
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับยูเนียนของเซต
กําหนด A , B และ C เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U
1. A ∪ A = A
2. A ∪ B = B ∪ A
3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
4. A ∪ φ = A = φ ∪ A
5. A ⊂ B ก็ตอเมื่อ A ∪ B = B
6. A ⊂ (A ∪ B) และ B ⊂ (A ∪ B)
7. ถา A ⊂ B แลว A ⊂ (B ∪ C)
8. ถา A ⊂ C และ B ⊂ C แลว (A ∪ B) ⊂ C
การเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอรกับการยูเนียนของเซต แบงได 5 กรณี ดังนี้
Case 1: Disjoint Sets.
ABBA ∪=∪
Case 2: Equal Sets;
BA =
Then, ABA =∪
BBA =∪
Case 3: Subsets;
BA ⊂
Then, BBA =∪
U
A B
U
A
B
U
A B

21
Case 4: Subsets;
AB ⊂
Then, ABA =∪
Case 5: OverlappingSets
ABBA ∪=∪
4.2 อินเตอรเซ็กชัน ( Intersection )
นิยาม อินเตอรเซ็กชันของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบดวยสมาชิก ซึ่งเปนสมาชิกของทั้งเซต A และ
เซต B
อินเตอรเซ็กชันของ เซต A และเซต B เขียนแทนดวย A ∩ B เขียนในรูปแจกแจงสมาชิกไดดังนี้
A ∩ B = { x | x ∈ A และ x ∈ B }
ตัวอยาง ถา A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } และ B = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 } จะได
A ∩ B = { 5 , 6 , 7 }
ตัวอยาง ถา C = { 1 , 2 , 3 } และ D = { }
C ∩ D = { } = φ
Example Let A ={2, 3, 5, 7, 9, 11, 13} and B = {5, 9, 13, 17, 21}. Find BA∩ ;
Solution: BA∩ = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13}∩ {5, 9, 13, 17, 21}.
Set of elements which are common to both of the given sets
∴ BA∩ = {5, 9, 13}.
Example Let A = {x|x is a prime number less than 5}
B = {x|x is a countingnumbergreaterthan5}
Then =∩ BA {} or =∩ BA φ
Note: Two sets A and B for which BA∩ is a null set are called disjoint sets.
If =∩ BA φ , then two sets A and B are disjoint.
Example Let C = {5, 7, 9, 11} and; D = {9, 11, 13} C and D are intersecting sets,
Since φ≠∩ DC = {9, 11}
Note: Two sets A and B for which BA ∩ is not a null set are called joint sets or intersecting sets
or overlapping sets..
If ≠∩ BA φ , then two sets A and B are joint sets.
U
B
A
U
A B

22
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับอินเตอรเซ็กชัน
กําหนด A , B และ C เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U
1. A ∩ A = A
2. A ∩ B = B ∩ A
3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
4. A ∩ φ = φ = φ ∩ A
5. A ⊂ B ก็ตอเมื่อ A ∩ B = A
6. (A ∩ B) ⊂ A และ (A ∩ B) ⊂ B
7. ถา A ⊂ B และ A ⊂ C แลว A ⊂ (B ∩ C)
8. ถา A ⊂ C และ B ⊂ C แลว (A ∩ B) ⊂ C
การเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอรกับการอินเตอรเซกชันของเซต แบงได 5 กรณี ดังนี้
φ=∩ BA
φ=∩ AB
Case 2: Equal Sets;
BA =
Then, BABA ==∩
Case 3: Subsets;
BA ⊂
Then, BBA =∪
Case 4: Subsets;
AB ⊂
Then, ABA =∪
U
A B
U
A
B
U
B
A
U
A B

23
Case 5: OverlappingSets
ABBA ∪=∪
EXERCISE VII ยูเนียนและอินเตอรเซกชัน
ของเซต
1. กําหนด A ={1, 3, 5, 7}; B = {2, 7, 3, 8}; และ C = {0, 1, 2, 4, 8}. จงหา;
1. BA ∪ ………………………… 4. BA ∩ …………………………
2. CB ∪ ………………………… 5. CB ∩ …………………………
3. CA ∪ ………………………… 6. CA ∩ …………………………
7. ( ) CBA ∩∪ …………………………………………………………………
8. ( ) CBA ∪∩ …………………………………………………………………
9. ( ) CBA ∩∩ ………………………………………….………………………
10. ( ) CBA ∪∪ …………………………………………….……………………
2. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4}. จงหา;
1. φ∪A …………………………… 2. φ∩A …….…………………………
3. กําหนดให A = {x|x เปนจํานวนนับ} A = {……………………………}
B = {x|x เปนจํานวนเต็มคู} B = {……………………………}
C = {x|x เปนจํานวนเต็มคี่} C = {……………………………}
D = {x|x เปนจํานวนเฉพาะ}, D = {……………………………}
จงหา...
1. BA ∪ ………………………… 4. CB ∩ …………………………
2. DC ∪ ………………………… 5. CA ∩ …………………………
3. DB ∩ ………………………… 6. DC ∩ …………………………
7. ( ) CBA ∪∪ …………………………………………………………..
4. ถา A = {1, 4, 5, 8}; B = {2, 5, 7}และ C = {7, 2, 1, 9}, จงแสดงวา )()( CBACBA ∪∪=∪∪ ;
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
U
A B

24
5. ถา A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 4, 5, 6} และ C = {1, 3, 4, 6, 8} จงแสดงวา )()( CBACBA ∩∩=∩∩ ;
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
6. ถา A = {a, b, c, d, e}; B = {a, c, e, g} และC = {b, e, f, g},
6.1 จงแสดงวา; )()( CBACBA ∩∩=∩∩
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
6.2 จงแสดงวา; )()( CBACBA ∪∪=∪∪
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
7. กําหนดให A ={2, 5, 7}; B = {0, 1, 2, 3, 7}; และ C = {0, 3, 4, 6}. จงหา )( CBA ∪∩ ;
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
8. กําหนดให A ={1, 9, 11, 15, 17}; B = {11, 17, 19, 21}; และ C = {3, 5, 7}. จงหา ( ) CBA ∪∩ ;
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
9. เมื่อกําหนดเซตสองเซต จงหาเซตตอไปนี้
No. Two of sets BA ∩ BA ∪
1. A = {7, 8, 10}; B = {2, 8, 16}
2. A = {e, h, i, l}; B = {a, b, c, e, i}
3. A = {2, 3, 5}; B = {5, 3, 2, 2}
4. A = {4, 5, 6, 9}; B = {10, 11, 12, 13}
5. A ={1, 3, 5, 7}; B = {1, 3, 5, …}

25
10. ถา A = {x|x เปนพหุคูณของ 5, 200 ≤< x }
B = {1, 3, 7, 10, 12, 15, 18, 25};จงหา;
1. BA ∪ ............................................................................................
…………………………………………………………………..
2. BA ∩ …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
11. If A = {x|x เปนพหุคูณของ 3, 121 ≤≤ x }
B = {x|x เปนจํานวนเต็มคู, 121 ≤≤ x }
C = {x|x เปนจํานวนเต็มคี่, 121 ≤≤ x }; จงหา;
1. BA ∩ ............................................................................................
2. CA ∩ …………………………………………………………………..
3. ( ) CBA ∩∪ ………………………………………………………………….
…………………………………………………………………..
12. ถา A = {x|x 4,,3
≤∈= yNyy }
B = {x|x 8,,8 ≤∈= yNyy }; จงหา;
1. BA ∪ ............................................................................................
…………………………………………………………………..
2. BA ∩ …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
13. ถา A = {a, b, c, e}; B = {c, d, e, f} และ C = {d, e, g}; จงหา;
1. n( BA ∪ ) …………………………………………………………………..
2. n( BA ∩ ) …………………………………………………………………..
3. n( BA ∪ C∪ ) ………………………………………………………………….
4. )( CBn ∩ …………………………………………………………..
14. Write two sets X and Y such that: 3)(,4)( == YnXn and 7)( =∪YXn
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
15. Write two sets M and N such that: 2)(,3)( == NnMn and 1)( =∩YXn
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….

26
16. If A ={2, 4, 6, 8} and B = {1, 3, 5, 7}; Verify that )()()( BnAnBAn +=∪
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
17. Verify: )()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ for each pair of sets:
1. A ={1, 2, 3, 4, 5}; B ={2, 4, 6}
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
2. A ={1, 4, 9, 16, 25}; B = {1, 8, 27, 64}
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
3. A = {1, 2, 4, 8, 16, 32}; B = {4, 8, 16, 32, 64}
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
18. If A = {x|x 10, ≤∈ xN } and B = {x|x ,15, ≤∈ xN x is multiple of 5},
Verify that )()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

27
4.3 คอมพลีเมนต ( Complement )
นิยาม คอมพลีเมนตของเซต A ซึ่งเปนสับเซตของ เอกภพสัมพัทธ U คือ เซตใหมที่ประกอบดวยสมาชิก ซึ่ง
เปนสมาชิกของ U แตไมเปนสมาชิกของ A
คอมพลีเมนตของเซต A เมื่อเทียบกับ U เขียนแทนดวย A′ ( อานวา เอไพรม )
เขียนในรูปแจกแจงสมาชิกไดดังนี้
A′ = { x | x ∈ U และ x ∉ A }
ตัวอยาง ถา U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } และ A = { 0 , 2 , 3 } จะได
A′ = { 1 , 4 , 5 , 6 }
ตัวอยาง ถา U = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } และ C = { x | x เปนจํานวนคี่ } จะได
C′ = { x | x เปนจํานวนคู }
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคอมพลีเมนตของเซต
กําหนด A , B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U
1. (A′)′ = A
2. U′ = φ
3. φ′= U
4. A ∩ A′ = φ
5. A ∪ A′ = U
6. A ∩ B′ = φ ก็ตอเมื่อ A ⊂ B′
7. A ⊂ B ก็ตอเมื่อ B′ ⊂ A′
8. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
9. (A ∪ B)′ = A′ ∩B′
4.4 ผลตางระหวางเซต ( Difference )
นิยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คือ เซตใหมที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A ซึ่งไมเปนสมาชิกของ
เซต B
ผลตางระหวางเซต A และเซต B เขียนแทนดวย A − B
เขียน A − B แบบบอกเงื่อนไขไดดังนี้
A − B = { x | x ∈ A และ x ∉ B }
ตัวอยาง ถา A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } และ B = {4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
จะได A − B = { 0 , 1 , 2 , 3 }
B − A = { 8 , 9 }

28
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลตาง
กําหนด A , B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U
U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
A = { 2 , 5 }
B = { 2 , 3 , 5 , 6 }
1. A − B = ……………………………………………………….
2. B′ = ……………………………………………………….
3. A ∩ B′ = ……………………………………………………….
4. A − B …………. A ∩ B′ ( = , ≠ )
5. A ∩ B = ……………………………………………………….
6. A − (A ∩ B) = ……………………………………………………….
7. A − B ………… A ∩ B ( = , ≠ )
การเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอรกับผลตางของเซต แบงได 5 กรณี ดังนี้
Case 2: Equal Sets;
Case 3: Subsets;
BA ⊂
Case 4: Subsets;
AB ⊂
สรุป A − B = A ∩ B′
A − B = A − (A ∩ B)
U
A B
U
A
B
A – B = A B – A = B
U
A B
A = B
A – B = φ B – A =φ U
A
B
A – B = φ B – A = {x| Bx ∈ and Ax ∉ }
U
B
A
U
B
A
A – B = {x| Ax ∈ and Bx ∉ } B – A = φ
U
A B
U
A B

29
U
A B
Case 5:
Overlapping Sets
EXERCISE VIII ผลตางและสวนนอกของเซต
1. Let U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 4, 5}; C = {2, 3, 4, 5, 6}; D = φ
Write down each of the following sets by roster method:
1. A’ …………………… 3. C’ ……………...………
2. B’ …………………… 4. D’ ………………………
5. )'( BA∩ …………………………...................
6. )'( DC ∪ ………………………………………
7. '' BA∩ ……………………………………….
2. If U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
A = {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6, 8, 10}; C = {9}, then
Write the following sets by roster method:
1. CA ∪ ………………….……………………………
2. BA∩ …………………………………….…………
3. CU ∪ ……………………………………………….
4. A’ ………………………………………………..
5. B’ ………………………………………………..
6. CB ∪ ……………………………………………….
7. CBA ∪∩ )( …………………………………………….
3. Write true or false:
………..1. U='φ …………3. '')'( BABA ∪=∩
………..2. φ=∩ 'AA …………4. UAA =∪'
4. Are the two sets A and B overlapping?
A = {x|x is a natural number, less than 5};
B = {x|x is an odd number, less than 5};
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
U
A B
A – B = {x| Ax ∈ and Bx ∉ } B – A = {x| Bx ∈ and Ax ∉ }

30
5. Can two infinite sets be disjoint? If yes, write such two sets.
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
6. Given U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
A = {3, 6, 9}; B = {2, 4, 6, 8, 10}. Find;
No. Statement Result No. Statement Result
BA ∪ BA −1.
BA∩
5.
'BA∩
'A '' BA −2.
'B
6.
BA∩'
'AA∪ 'BB ∪3.
'AA ∩
7.
'BB ∩
)'( BA∪ )'( BA∩4.
'' BA∩
8.
'' BA∪
7. Let A ={11, 13, 17, 19, 23}, B = {13, 15, 17, 19, 21} be two subsets of the universal set
U={ 2410, <<∈ xNxx }; Find;
No. Statement Result No. Statement Result
BA∪ AU −1.
BA ∩
4.
'A
BA − 'AA ∪2.
AB −
5.
'BB ∪
( )BABA ∩−∪ )( '' BA −3.
( )BABA ∪−∩ )(
6.
BA−'
8. If U = {1, 2, 3, 6, 7, 12, 17, 21, 35, 52, 56}; QandRbethesubsetsofUgivenby
Q = {numbers divisible by 7} and R = {prime numbers};
List the elements of set S = {x|x RQ ∩∈ }:
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………..
9. Fill in the blanks:
1. =∪ AA ………….. 2. =∩ AA …………..
3. =∪φA ………….. 7. 'AA∪ =……………

31
4. =∩φA ………….. 8. =∪UA ……………
5. =∩ 'AA ………….. 9. =∪ )'( BA …………..
6. =∩UA ………….. 10. =∩ )'( BA ………….
10. If A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} and C = {1, 3, 5}, verify that; )()()( CABACBA −∩−=∪− .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
11. If U = { 10, ≤∈ xNxx };
A = {1, 3, 5, 7, 9};B = {2, 4, 6, 8} and C = {2, 3, 4, 5, 6},
Verify that )'()''( CBACBA ∩∩=∪∩ .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
12. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ทําเครื่องหมาย หนาขอความที่ถูก และทําเครื่องหมาย ขอความที่ผิด
………...1. ถา A – B = φ แลว A = B
…………2. ถา φ=∪ BA แลว φ=A และ φ=B
…………3. ถา φ=∩ BA แลว φ=A และ φ=B
…………4. ถา CBCA ∪=∪ แลว BA =
…………5. ถา BA ⊂ แลว '' AB ⊂
…………6. ถา 'BA ⊂ แลว UBA =∪
…………7. ถา BA ⊂ แลว )()( CBCA ∩⊂∩
…………8. ถา BA ⊂ แลว BBA =∩
…………9. ถา BA ⊂ แลว φ=− BA
…………10. ถา BA ∩ เปนเซตอนันต แลว A และ B เซตอนันต
…………11. ถา A และ B เปนเซตอนันต แลว BA ∩ เปนเซตอนันต
…………12. ถา BA∪ เปนเซตอนันต แลว A หรือ B เซตอนันต
…………13. ถา A – B เปนเซตอนันต แลว A เปนเซตอนันตและ B เซตจํากัด
…………14. ถา A – B เปนเซตจํากัด แลว A และ B เซตจํากัด
…………15. ถา CA ≠ แลว BCBA ∩≠∩
13. กําหนด U = { +
∈ Ixx };

32
A = { 105 <≤ xx }
B = { 62 ≤< xx }
C = { 73 << xx }
(แนะนํา : ใหใชเสนจํานวนชวยในการคิด)
1. BA ∪ =………………….. 21. )''( BA ∩ =………………….
2. CB ∪ =………………….. 22. )'( CBA ∪∪ =………………….
3. CB ∪ =………………….. 23. )(' BAC ∩− =………………….
4. CBA ∪∪ =………………….. 24. BA − =………………….
5. BA ∩ =………………….. 25. CB − =………………….
6. CA ∩ =………………….. 26. )()( CBBA −−− =………………….
7. CB ∩ =………………….. 27. ')'( CBA ∩∪ =………………….
8. CBA ∩∩ =………………….. 28. BA∩' =………………….
9. 'A =………………….. 29. 'CB ∩ =………………….
10. 'B =………………….. 30. )'()'( CBBA ∩∪∩ =……………...
11. 'C =………………….. 31. '' BAC ∩∩ =………………….
12. '' BA∩ =………………….. 32. )'''( BAC ∩∩ =………………….
13. '' CA∩ =………………….. 33. CBA −− )( =………………….
14. '' CB ∩ =………………….. 34. )')(( CBA −− =………………….
15. '' BA∪ =………………….. 35. AB − =………………….
16. '' CB ∪ =………………….. 36. )(' ABC −∩ =………………….
17. '' CA∪ =………………….. 37. AC − =………………….
18. )'( BA∪ =………………….. 38. BAC ∩− )( =………………….
19. )'( CA ∪ =………………….. 39. )()( ABBA −∪− =………………
20. 'BA ∩ =………………….. 40. )()( ABBA −∩− =………………
14. จากแผนภาพขางลาง จงแรเงาสวนที่แทนเซตในแตละขอ
A-B 'BA ∩ '' BA∩
)()( CABA ∩∪∩ )()( CBBA ∩∪− )()( CBBA −−∩
UA BUA BUA B
A BUA BUA B

33
)()( CABA −∩− ''' CBA ∩∩ )'()'( ACBA ∩−∩
)()()( CACBBA ∩∪∩∪∪ )'( CBA ∪∪ ∪ )( CBA ∩∩
สมบัติของเซต
1. Union of Sets
Idempotent 1. AAA =∪
Commutative 2. ABBA ∪=∪
Associative 3. ( ) ( )CBACBA ∪∪=∪∪
= CBA ∪∪
4. AA =∪φ
5. UAA =∪ '
6. UUA =∪
Example : จงทําใหเปนผลสําเร็จ ')( ABA ∪∪
วิธีทํา: ')( ABA ∪∪ = 'ABA ∪∪
= BAA ∪∪ )'(
= BU ∪
= U
ดังนั้น, ')( ABA ∪∪ = U
Example : จงทําใหเปนผลสําเร็จ
)'()()( EBADCBA ∪∪∪∪∪∪
วิธีทํา: )'()()( EBADCBA ∪∪∪∪∪∪
= EBADCBA ∪∪∪∪∪∪ '
= ∪∪ )'( BB ……..
= ∪U ………
= U
ดังนั้น, )'()()( EBADCBA ∪∪∪∪∪∪ = U
UA BUA B
UA BUA BUA B
U
A B
U
A B
U
A
B
U
B
A
U
A B
A B∪

34
2. Intersection of Sets
BA ∩ Idempotent 1. AAA =∩
Commutative 2. ABBA ∩=∩
Associative 3. ( ) ( )CBACBA ∩∩=∩∩
= CBA ∩∩
4. φφ =∩A
5. φ=∩ 'AA
6. AUA =∩
Example : จงทําใหเปนผลสําเร็จ ')( BBA ∩∩
วิธีทํา: ')( BBA ∩∩ = 'BBA ∩∩
= )'( BBA ∩∩
= φ∩A
= φ
ดังนั้น, ')( BBA ∩∩ = φ
Example : จงทําใหเปนผลสําเร็จ
))'()(( DDECBA ∪∪∪∪∩
วิธีทํา: ))'()(( DDECBA ∪∪∪∪∩
= )'( DDECBA ∪∪∪∪∩
= ........)'( ∪∪∩ DDA
= )..........( ∪∩ UA
= UA ∩
= A
ดังนั้น, ))'()(( DDECBA ∪∪∪∪∩ = A
3. De – Morgan’s Laws
U
A B
U
A B
U
A
B
U
B
A
U
A B
'')'( BABA ∩=∪
'')'( BABA ∪=∩
=
U
A B
U
A B
)'( BA∪ '' BA∩

35
Example: จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'( ABA ∪∩
วิธีทํา: )'( ABA ∪∩ = '' ABA ∩∩
= ')'( BAA ∩∩
= 'B∩φ
= φ
ดังนั้น, )'( ABA ∪∩ = φ
Example: จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'()()( EBDCBA ∪∩∩∩∩
วิธีทํา: )'()()( EBDCBA ∪∩∩∩∩ = '')()( EBDCBA ∩∩∩∩∩
= '' EBDCBA ∩∩∩∩∩
= ')'( EADCBB ∩∩∩∩∩
= 'EADC ∩∩∩∩φ
= φ
ดังนั้น, )'()()( EBDCBA ∪∩∩∩∩ = φ
Example: จงทําใหเปนผลสําเร็จ ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩
วิธีทํา: ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩ = ))((' DCBBAA −∪∩∩∩
= ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩
= ))(( DCBB −∪∩∩φ
= φ
ดังนั้น, ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩ = φ
4. Distributive Laws
For any three sets, A, B, C, we have
( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪
( ) ( ) )( CBACABA ∩∪=∪∩∪
=
=
)'( BA∩ = '' BA∪
U
A B
U
A B

36
Or
( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩
( ) ( ) )( CBACABA ∪∩=∩∪∩
Example : จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'()( BABA ∪∩∪
วิธีทํา: )'()( BABA ∪∩∪ = )'( BBA ∩∪
= φ∪A
= φ
ดังนั้น, )'()( BABA ∪∩∪ = φ
Example : จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'()( BABA ∩∪∩
วิธีทํา: )'()( BABA ∩∪∩ = )'( BBA ∪∩
= UA ∩
= A
ดังนั้น, )'()( BABA ∩∪∩ = A
Example 9: จงทําใหเปนผลสําเร็จ
)'()'()''()''( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩
วิธีทํา: )'()'()''()''( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩
= )]'()''[()]'()''[( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩
= )]'('[)]'''([ CBCBACBCBA ∩∩∩∪∪∩∩∩∪
= )'()( φφ ∪∪∪ AA
= 'AA∪
= U
ดังนั้น, )'()'()''()''( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩ = U
บันทึกขอความ....

37
5.Difference of two sets
Example 10: จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'( BBA ∪−
วิธีทํา: )'( BBA ∪− = UA −
= 'UA ∩
= φ∩A
= φ
ดังนั้น, )'( BBA ∪− = φ
Example: จงทําใหเปนผลสําเร็จ )()( DBCA ∪−∩
วิธีทํา: )()( DBCA ∪−∩ = )'()( DBCA ∪∩∩
= )''()( DBCA ∩∩∩
= '' DBCA ∩∩∩
= )'()'( DCBA ∩∩∩
= )()( DCBA −∩−
ดังนั้น, )()( DBCA ∪−∩ = )()( DCBA −∩−
A – B B – A
1. A – B ≠ B – A
2. A – A = φ
3. A – A’ = A
4. A’ – A = A’
5. A – U = φ
6. A – φ = A
7. φ – A = φ
8. BA ∩ = 'BA −
9. A – B = B’ – A’
10. A – B = 'BA ∩

38
6. Union and intersection of two sets
Example: )( BAA ∩∪ = )()( BAAA ∪∩∪
= )( BAA ∪∩
= A
)( BAA ∩∪ = )( BAA ∪∩
)( BAA ∩∪ = A
)( BAA ∪∩ = A
Example: จงทําใหเปนผลสําเร็จ ])[( ABCA ∪∩∩
วิธีทํา: ])[( ABCA ∪∩∩ = )]([ BCAA ∩∪∩
= A
ดังนั้น, ])[( ABCA ∪∩∩ = A
Example: จงทําใหเปนผลสําเร็จ )()( CADBBA ∪∪∪∩∪
วิธีทํา: )()( CADBBA ∪∪∪∩∪ = )()( CDBABA ∪∪∪∩∪
= BA ∪
ดังนั้น, )()( CADBBA ∪∪∪∩∪ = BA ∪
Example: จงทําใหเปนผลสําเร็จ CCBA ∪∩∪ ])[(
วิธีทํา: CCBA ∪∩∪ ])[( = )]([ BACC ∪∩∪
= C
ดังนั้น, CCBA ∪∩∪ ])[( = C
ABAABAA =∪∩=∩∪ )()(
1
2
3

39
7.Difference, Union and intersection of two sets
Example: จงแสดงวา )()()( CABACBA −∪−=∩−
วิธีทํา: )( CBA ∩− = )'( CBA ∩∩
= )''( CBA ∪∩
= )'()'( CABA ∩∪∩
= )()( CABA −∪−
ดังนั้น, )()()( CABACBA −∪−=∩−
Example: จงแสดงวา )()()( CBCACBA −∪−=−∪
วิธีทํา: CBA −∪ )( = ')( CBA ∩∪
= )'()'( CBCA ∩∪∩
= )()( CBCA −∪−
ดังนั้น, )()()( CBCACBA −∪−=−∪
EXERCISE IX สมบัติของเซต
1. จงทําใหเปนผลสําเร็จ )( ABA −∩
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
2. จงพิสูจนวา )()()()( DCBADBCA −∩−=∪−∩
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
)()()( CABACBA −∪−=∩−
)()()( CABACBA −∩−=∪−
1
)()()( CBCACBA −∪−=−∪
)()()( CBCACBA −∩−=−∩ 2

40
3. จงพิสูจนวา )'''()()()( BABAABBA ∩=∩∪−∪−
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
4. จงพิสูจนวา φ=∩∪ BBA )''(
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
5. จงพิสูจนวา UABA =∪∩ )''(
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
6. จงพิสูจนวา )''( BABA −=∪
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
7. จงพิสูจนวา φ=∪∩∩∩∩ )'()()( EBDCBA
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
8. จงพิสูจนวา UCBCBACBA =∪∪∩∩∪∩∩ )''()()'(
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….

41
9. จงพิสูจนวา )]'([)]'([ BBAABCCA ∪∩∩−∪=∩
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
10. จงพิสูจนวา CCDCBCACDBA =∩∪∩∪∩∪∩∩∩ )()'()'()'(
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
การพิจารณาการเปนสมาชิก สับเซต และเพาเวอรเซตการพิจารณาการเปนสมาชิก สับเซต และเพาเวอรเซต
เราทราบวา;
1. ⊂φ ของทุกเซต
2. เปลี่ยนการเปนสมาชิกเปนสับเซต (∈→⊂)
Aa ∈ → Aa ⊂}{ ; เติม {} และเปลี่ยน∈→⊂
3. เปลี่ยนสับเซตเปนสมาชิก (⊂→∈)
Aa ⊂}{ → Aa ∈ ; Cutting {} and changing ⊂→∈
เทคนิควิธีการ
1. เติม {} และ P; Aa∈ → )(}{ APa ∈
2. ตัด {} และ P; )(}{ APa ∈ → Aa∈
3. เติม P ทั้งสองขาง; BA ⊂ → )()( BPAP ⊂
4. ตัด P ทั้งสองขาง; )()( BPAP ⊂ → BA ⊂
Example: True or False:
1. }7,6,3{}3{ ⊂ → }7,6,3{3∈ True
2. }5,2{}}5,2{{ ⊂ → }5,2{}5,2{ ∈ False
3. }})3,2{,5({}}3,2{{ P∈ → }}3,2{,5{}3,2{ ∈ True
4. }})5,3({{}5,3{ P∈ → }}5,3{{5,3 ∈ False
Example: Let BbAa ∈∈ , ; these following statements; True or False:
1. )(}},{},{{ BAPbaa ∪⊂ → )(},{},{ BAPbaa ∪∈
→ BAbaa ∪∈,,
So, )(}},{},{{ BAPbaa ∪⊂ True

ทฤษฎีเซตเบื่องต้น

ทฤษฎีเซตเบื่องต้น

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to ทฤษฎีเซตเบื่องต้น

Similar to ทฤษฎีเซตเบื่องต้น (20)

ทฤษฎีเซตเบื่องต้น