1. ใบความรู้ที่ 14
เรื่อง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัด
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัด
จานวนสมาชิกของเซตจากัด A ใด ๆ จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n(A) ซึ่งสามารถแยกโจทย์
ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัดและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์สามารถใช้แสดงการดาเนินการของ
เซตได้และในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวกับเซต มักใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เพื่อช่วยอธิบายความเกี่ยวข้องต่าง
ๆ ซึ่งช่วยให้การคิดคานวณ ทาได้ง่ายขึ้นดังนี้
1. ถ้า A และ B เป็นเซตจากัด จานวนสมาชิกของเซต A  B หรือ n(A  B)
จะหาได้จาก n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
2. ถ้า A และ B เป็นเซตจากัดที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน (A  B = ) แล้ว
n(A  B) = n(A) + n(B)
3. ถ้า A, B และ C เป็นเซตจากัด จานวนสมาชิกของเซต A  B  C หรือ
n(A  B  C) จะหาได้จาก
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) +
n(A  B  C)
ตัวอย่างที่ 1 นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 100 คน ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาจีน 43 คน
ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาฝรั่งเศส 76 คน ไม่ได้ลงทะเบียนเรียนทั้งภาษาจีนและ
ภาษาฝรั่งเศส 10 คน มีนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศสกี่คน
วิธีทา ในการตอบปัญหาข้างต้น ให้นักเรียนเขียนแผนภาพและตอบคาถามไปตามลาดับ
1) กาหนดสัญลักษณ์และเขียนแผนภาพ
ให้ U แทนเซตของนักเรียนชั้น ม.4 โรงเรียนแห่งหนึ่ง จานวน 100 คน
ดังนั้น n(U) = 100
A แทน เซตของนักเรียนที่ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาจีน จานวน 43 คน
จะได้n(A) = 43
B แทน เซตของนักเรียนที่ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาจีน จะได้ n(B) = 76

2. A B
43 – x x 76 – x
2) ให้นักเรียนที่เรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส x คน
ดังนั้น นักเรียนที่เรียนภาษาจีนอย่างเดียว 43 – x คน
นักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศสอย่างเดียว 76 – x คน
นักเรียนที่ไม่เรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส 10 คน
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ทั้งหมด 100 คน
3) นาข้อมูลจากข้อ 2) มาเขียนสมการ และหาค่า x
จะได้ x + (43 – x) + (76 – x) + 10 = 100
x = 29
ดังนั้นนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศสมี 29 คน
ตัวอย่างที่ 2 จากการสอบถามความนิยมอ่านหนังสือพิมพ์สามฉบับ คือ หนังสือพิมพ์ถิ่นไทยงาม
ไทยนิยมและรักไทยของประชาชน600คนปรากฏว่าประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์
ถิ่นไทยงาม 162 คน
ไทยนิยม 116 คน
รักไทย 135 คน
ถิ่นไทยงามและไทยนิยม 38 คน
ไทยนิยมและรักไทย 35 คน
รักไทยและถิ่นไทยงาม 32 คน
อ่านทั้งสามฉบับนี้ 20 คน
จะมีประชาชนกี่คนที่ไม่ได้อ่านหนังสือพิมพ์ฉบับใดเลยในสามฉบับนี้
U

3. วิธีทา เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แทนเซตได้ดังนี้
ให้ A แทน เซตของประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์ถิ่นไทยงาม
B แทน เซตของประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์ไทยนิยม
C แทน เซตของประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์รักไทย
A B
112 18 63
20
12 15
C x
1. สารวจประชาชน 600 คน
2. ให้ประชาชนที่ไม่ได้อ่านหนังสือพิมพ์ใดเลยเป็น x คน
3. อ่านหนังสือพิมพ์ถิ่นไทยงาม 162 คน
4. อ่านหนังสือพิมพ์ถิ่นไทยงามอย่างเดียว 162 – (18 + 20 + 12) = 112 คน
5. อ่านหนังสือพิมพ์ไทยนิยม 116 คน
6. อ่านหนังสือพิมพ์ไทยนิยมอย่างเดียว 116 – (18 + 20 +15) = 63 คน
7. อ่านหนังสือพิมพ์รักไทย 135 คน
8. อ่านหนังสือพิมพ์รักไทยอย่างเดียว 135 – (12 + 20 +15) = 88 คน
9. จะได้สมการ 162 + 63 + 15 + 88 + x = 600
10. ดังนั้น x = 272 คน
ดังนั้น มีประชาชนที่ไม่ได้อ่านหนังสือพิมพ์ใดเลยในสามฉบับนี้ จานวน 272 คน
U
88 10

4. ใบกิจกรรมที่ 14
เรื่อง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัด
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
1. บริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงาน 80 คน พบว่า พนักงาน 18 คนมีรถยนต์ พนักงาน 23 คน
มีบ้านเป็นของตัวเอง และพนักงาน 9 คน มีบ้านของตัวเองและรถยนต์ จงหา
1) จานวนพนักงานทั้งหมดที่มีรถยนต์หรือมีบ้านเป็นของตัวเอง ................................
2) จานวนพนักงานที่ไม่มีรถยนต์หรือบ้านของตัวเอง .................................................
2. ในการสารวจเกี่ยวกับความชอบของนักศึกษา 100 คน พบว่านักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์
52 คน นักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย 60 คน นักศึกษาที่ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และไม่ชอบเรียน
ภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย .......................................
3. นักศึกษาสาขาหนึ่งมี 1,000 คน มีนักศึกษาเรียนภาษาอังกฤษ 800 คน เรียนคอมพิวเตอร์ 400 คน และ
เลือกเรียนทั้งสองวิขา 280 คน อยากทราบว่า
1) มีนักศึกษากี่คนที่เรียนภาษาอังกฤษเพียงวิชาเดียว .......................................................
2) มีนักศึกษากี่คนที่เรียนคอมพิวเตอร์เพียงวิชาเดียว .......................................................
3) มีนักศึกษากี่คนที่ไม่ได้เรียนวิชาใดวิชาหนึ่งเลย ..........................................................
4) มีนักศึกษากี่คนที่ไม่ได้เรียนทั้งสองวิชาพร้อมกัน .......................................................
4. ในการสารวจผู้ใช้สบู่ 3 ชนิด คือ ก , ข , ค พบว่ามีผู้ใช้ชนิด ก จานวน 113 คน มีผู้ใช้ชนิด ข
จานวน 180 คน มีผู้ใช้ชนิด ค จานวน 190 คน มีผู้ใช้ชนิด ก และ ข จานวน 45 คน มีผู้ใช้ชนิด ก
และ ค จานวน 25 คน มีผู้ใช้ชนิด ข และ ค จานวน 20 คน มีผู้ใช้ชนิดทั้ง 3 ชนิด จานวน 15 คน
มีผู้ที่ไม่ใช้ทั้ง 3 ชนิดนี้ จานวน 72 คน จงหาจานวนของผู้เข้ารับการสารวจทั้งหมด ............................

5. เฉลยใบกิจกรรมที่ 14
เรื่อง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัด
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
1. บริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงาน 80 คน พบว่า พนักงาน 18 คนมีรถยนต์ พนักงาน 23 คน
มีบ้านเป็นของตัวเอง และพนักงาน 9 คน มีบ้านของตัวเองและรถยนต์ จงหา
วิธีทา ให้ A แทนเซตของพนักงานที่มีรถยนต์
B แทนเซตของพนักงานที่มีบ้านเป็นของตัวเอง
เขียนจานวนพนักงานที่สอดคล้องกับข้อมูลลงในแผนภาพได้ดังนี้
A B
9 9 14
1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9
พิจารณา n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 – 9 = 32
ดังนั้น จาวนพนักงานที่มีรถยนต์หรือมีบ้านของตัวเองเป็น 32 คน
2) เนื่องจากพนักงานทั้งหมด 80 คน
นั่นคือ พนักงานที่ไม่มีรถยนต์หรือบ้านของตัวเอง = 80 - 32 = 48 คน
ดังนั้น พนักงานที่ไม่มีรถยนต์หรือบ้านของตัวเองเป็น 48 คน
U
48

6. 2. ในการสารวจเกี่ยวกับความชอบของนักศึกษา 100 คน พบว่านักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์
52 คน นักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย 60 คน นักศึกษาที่ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และไม่ชอบเรียน
ภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย
วิธีทา ให้ A แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์
B แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย
A B
52 – x x 60 – x
ให้ x แทนจานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย
จากแผนภาพเขียนสมการได้ดังนี้
( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14
112 - x = 86
x = 112 - 86
x = 26
ดังนั้น จานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย มี 26 คน
3. นักศึกษาสาขาหนึ่งมี 1,000 คน มีนักศึกษาเรียนภาษาอังกฤษ 800 คน เรียนคอมพิวเตอร์ 400 คน และ
เลือกเรียนทั้งสองวิขา 280 คน
วิธีทา ให้ U แทน เซตของนักศึกษาทั้งหมด
A แทน เซตของนักศึกษาที่เรียนวิชาภาษาอังกฤษ
B แทน เซตของนักศึกษาที่เรียนวิชาคอมพิวเตอร์
A  B แทน เซตของนักศึกษาที่เรียนทั้งสองวิชา
n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A  B) = 280
U
14

7. เขียนแผนภาพได้ดังนี้
A B
800 - 280 280 400 - 280
1) นักศึกษาที่เรียนภาษาอังกฤษเพียงวิชาเดียวมีจานวน 800 - 280 = 520 คน
2) นักศึกษาที่เรียนคอมพิวเตอร์เพียงวิชาเดียวมีจานวน 400 - 280 = 120 คน
3) นักศึกษาที่ไม่ได้เรียนวิชาใดวิชาหนึ่งเลย คือส่วนที่แรเงาในแผนภาพซึ่งมีจานวน
เท่ากับ 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน
4) นักศึกษาที่ไม่เรียนทั้งสองวิชาพร้อมกัน คือ นักศึกษาที่เรียนวิชาใดวิชาหนึ่งเพียงวิชา
เดียว รวมกับนักศึกษาที่ไม่เรียนวิชาใดเลย คือ ส่วนที่แรเงาในแผนภาพ
ซึ่งมีจานวนเท่ากับ 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน
A B
520 280 120
U
80
U
80

8. 4. ในการสารวจผู้ใช้สบู่ 3 ชนิด คือ ก , ข , ค พบว่ามีผู้ใช้ชนิด ก จานวน 113 คน มีผู้ใช้ชนิด ข
จานวน 180 คน มีผู้ใช้ชนิด ค จานวน 190 คน มีผู้ใช้ชนิด ก และ ข จานวน 45 คน มีผู้ใช้ชนิด ก
และ ค จานวน 25 คน มีผู้ใช้ชนิด ข และ ค จานวน 20 คน มีผู้ใช้ชนิดทั้ง 3 ชนิด จานวน 15 คน
มีผู้ที่ไม่ใช้ทั้ง 3 ชนิดนี้ จานวน 72 คน จงหาจานวนของผู้เข้ารับการสารวจทั้งหมด
วิธีทา ให้ A แทนผู้ใช้สบู่ชนิด ก
B แทนผู้ใช้สบู่ชนิด ข
C แทนผู้ใช้สบู่ชนิด ค
A B
58 30 130
15
10 5
160
C
จานวนผู้ที่ใช้สบู่ ก หรือชนิด ข หรือชนิด ค = 58 + 30 + 10 + 15 + 160
= 408 คน
จานวนผู้ที่ไม่ใช้ทั้ง 3 ชนิด = 72 คน
ดังนั้น จานวนของผู้เข้ารับการสารวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน
U
72

9. แบบทดสอบย่อยที่ 14
เรื่อง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัด
คาชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้เป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือก จานวน 5 ข้อ (5 คะแนน)
2. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียง 1 คาตอบ แล้วทาเครื่องหมาย x ลงใน
กระดาษคาตอบ
3. เวลาที่ใช้ในการทาแบบทดสอบ 5 นาที
.................................................................................................................................................................
1. ในชั้นเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 40 คน ปรากฏว่า 8 คน ไม่เล่นกีฬาชนิดใดเลย แต่ 25 คน เล่นฟุตบอล
และ 20 คน เล่นวอลเลย์บอล มีเด็กที่เล่นฟุตบอลอย่างเดียวกี่คน
ก. 13 คน
ข. 12 คน
ค. 11 คน
ง. 10 คน
2. นักเรียนชั้น ม.4 ในโรงเรียนแห่งหนึ่งมี 100 คน เล่นฟุตบอล 20 คน เล่นวอลเลย์บอล 15 คน ในจานวนนี้
เล่นทั้งฟุตบอล และวอลเลย์บอล 10 คน จานวนนักเรียนทั้งหมดที่เล่นกีฬาทั้งสองประเภทนี้ตรงกับข้อใด
ก. 22 คน
ข. 23 คน
ค. 24 คน
ง. 25 คน
3. จากการสอบถามความนิยมน้าดื่ม 2 ยี่ห้อ คือ ดื่มดีกับเย็นชื่นใจ ของคนจานวน 45 คน ปรากฏว่า
25 คน นิยมยี่ห้อดื่มดี 30 คน นิยมยี่ห้อเย็นชื่นใจ และมี 35 คน นิยมอย่างน้อยหนึ่งยี่ห้อ มีกี่คนที่นิยมมากกว่า
หนึ่งยี่ห้อ
ก. 17 คน
ข. 18 คน
ค. 19 คน
ง. 20 คน

10. 4. นักเรียนคนหนึ่งไปพักผ่อนตากอากาศที่พัทยา เขาสังเกตว่าช่วงที่เขาอยู่ที่พัทยามีฝนตก 13 วัน
โดยไม่มีวันใดมีฝนตกทั้งเช้าและบ่าย คือ ถ้าฝนตกตอนเช้าแล้วตอนบ่ายฝนจะไม่ตก มี 11 วันที่ฝน
ไม่ตกช่วงบ่าย และมี 12 วันที่ฝนไม่ตกช่วงเช้า นักเรียนผู้นี้ไปตากอากาศที่พัทยากี่วัน
ก. 20 วัน
ข. 18 วัน
ค. 17 วัน
ง. 15 วัน
5. จากการสัมภาษณ์นักเรียนที่ชอบฟังเพลง จานวน 75 คน พบว่า ชอบเพลงไทยเดิม 42 คน ชอบเพลงลูกทุ่ง
34 คน ชอบเพลงไทยสากล 27 คน ชอบทั้งเพลงไทยเดิม และไทยสากล 12 คน ชอบทั้งเพลงไทยเดิมและ
เพลงลูกทุ่ง 14 คน ชอบเพลงลูกทุ่งและเพลงไทยสากล 10 คน ชอบเพลงทั้งสามประเภท 7 คน จานวน
นักเรียนที่ชอบเพลงประเภทเดี่ยวมีกี่คน
ก. 52 คน
ข. 48 คน
ค. 36 คน
ง. 34 คน

11. เฉลยแบบทดสอบย่อยที่ 14
เรื่อง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัด
ข้อ 1 ข
ข้อ 2 ง
ข้อ 3 ง
ข้อ 4 ข
ข้อ 5 ก