1. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ประเภทข้อสอบ : ข้อสอบ PAT1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 วันที่สอบ : 3 มีนาคม 2555
รหัสวิชา : 71 ชื่อวิชา : ความถนัดทางคณิตศาสตร์ จานวนข้อสอบ ปรนัย : 25
อัตนัย : 25
ส่วนที่ 1 : จานวน 25 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน รวม 125 คะแนน
คาสั่ง : แบบปรนัย 4 ตัวเลือก แต่ละข้อมีคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว
1. สาหรับเซต S ใดๆ ให้ S
แทนคอมพลีเมนต์ของเซต S กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใน
เอกภพสัมพัทธ์ U โดยที่ A B B  , C A และB C   ถ้าเซต U มีสมาชิก 12 ตัว เซต
A B  มีสมาชิก 10 ตัว และเซต A B มีสมาชิก 4 ตัว แล้วจะมีเซต C ทั้งหมดกี่เซต
1. 60 เซต 2. 48 เซต
3. 16 เซต 4. 8 เซต
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
กาหนด A B B  , C A และ B C  
n(U) 12 , n(A B ) 10   , n(A B ) 4 
เขียนแผนภาพได้ดังนี้
A
B
C
1
2
3
4
5
U

2. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
จาก n(A B )  = n(A B) (บริเวณ  +  + )
10 = n(A B) (บริเวณ  +  + )
10 = n(B) (บริเวณ  +  + )
จะได้ n(B) = 12 10 (บริเวณ  + )
= 2
และ n(A B ) = n(A B) (บริเวณ  + )
4 = n(A B) (บริเวณ  + )
บริเวณ  +  +  +  = n(A) 6
จานวนเซต C = สับเซตทั้งหมดของเซต A – สับเซตของ A ที่อินเตอร์เชกชันกับเซต B
แล้วเป็นเซตว่าง
= 6 4
2 2
= 64 16
= 48 เซต
2. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์   [(p q) p] [(r s) (r s)]     
สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
1. p r 2. q r
3. (p r) (q r)   4. (q r) (q s)  
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
[(p q) p] [(r s) (r s)]          [(p p) ( q p)] [r (s s)]         
 [T ( q p)] [r F]     
 ( q p) r   
 ( q p) r    
 (q p) r 
 (q r) (p r)  
 (p r) (q r)  

3. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
3. ถ้า A แทนเซตของจานวนเต็มทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมการ 3 x 1 2x 2 3x 1    และ B
แทนเซตคาตอบของอสมการ 2
x(x 2)(x 1) 0   แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. เซต A B มีสมาชิก 5 ตัว 2. A B A 
3. เซต A B มีสมาชิก 1 ตัว 4. (A B) (B A) B   
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
หา A 3 x 1 2x   2 3x 1
กรณี 1 ; 1
x
3
 
3(x 1) 2x    2(3x 1) 
3x 3 2x    6x 2 
x  5
1
5,
3
 
  
 
กรณี 2 ; 1
x 1
3
  
3(x 1) 2x    2(3x 1) 
3x 3 2x    6x 2
11x  1
x 
1
11
1 1
,
3 11
 
  
กรณี 3 ; x 1
3(x 1) 2x   2(3x 1)
3x 3 2x   6x 2
5x  5
x  1

–5
1
–1 1

4. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
เนื่องจาก A เป็นเซตของจานวนเต็ม
จะได้ว่า A { 4, 3, 2, 1, 0}    
หา B 2
x(x 2)(x 1)   0
พิจารณา x(x 2)  0 ; x 1 
( 2, 1) ( 1, 0)   
พิจารณาข้อ 1. A B { 4, 3, 2, 1, 0}     
จะได้ n(A B) 5 
ดังนั้น ข้อ ก. ถูกต้อง
4. กาหนด R แทนเซตของจานวนจริง ให้ r {(x,y) R R x y y x 1 0}      
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. r เป็นความสัมพันธ์ที่มีโดเมน rD {x R x 1}   
ข. ความสัมพันธ์ 1
r
เป็นฟังก์ชัน
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
พิจารณา ก. x y y x 1   = 0
y( x 1) x 1   = 0
y =
x 1
x 1


จะได้ rD R
พิจารณา ข. จาก y =
x 1
x 1


ถ้า x 0 จะได้ y =
x 1
x 1


y = 1
–2 –1 0

5. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
หา 1
r
โดยการเปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x
จะได้ x 1 (x หนึ่งค่าทาให้เกิด y ได้หลายค่า)
ดังนั้น 1
r
ไม่เป็นฟังก์ชัน
ดังนั้น ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด
5. กาหนดให้ 0 45   และให้ tan
A (sin ) 
  cot
B (sin ) 
 
sin
C (cot ) 
  cos
D (cot ) 
 
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. A B C D   2. B A C D  
3. A C D B   4. C D B A  
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
สมมุติให้ 37  จะได้ sin37 =
3
5
= 0.6
cos37 =
4
5
= 0.8
tan37 =
3
4
= 0.75
cot37 =
4
3
= 1.33
จะได้ sin tan cos cot      
พิจารณา tan
A (sin ) 
  และ cot
B (sin ) 
 
เนื่องจาก sin 1  จะได้ tan cot
(sin ) (sin ) 
  
A B
พิจารณา sin
C (cot ) 
  และ cos
D (cot ) 
 
เนื่องจาก cot 1  จะได้ sin cos
(cot ) (cot ) 
  
C D
พิจารณา A กับ C
เนื่องจาก A มีฐาน คือ sin ซึ่งน้อยกว่า 1 และมีเลขชี้กาลัง คือ tan ซึ่งมีค่าเป็นบวก จะได้ว่า
A 1
เนื่องจาก C มีฐาน คือ cot ซึ่งมากกว่า 1 และมีเลขชี้กาลัง คือ sin ซึ่งมีค่าเป็นบวก จะได้ว่า
C 1
ดังนั้น B A C D  
37
5 3
4

6. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
6. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมี a, b และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A มุม B และ
มุม C ตามลาดับ ถ้ามุม C เท่ากับ 60 b 5 และ a c 2  แล้วความยาวของเส้นรอบรูป
สามเหลี่ยม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 25 2. 29
3. 37 4. 45
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
จาก a c = 2
c = a 2 …..(1)
จากกฎของโคไซน์ ; 2
c = 2 2
a b 2abcosC 
2
(a 2) = 2 2
a b 2abcos60 
2
a 4a 4  = 2 2 1
a 5 2a(5)
2
 
   
 
4a 4  = 25 5a
a = 21
จาก (1) ; c = 21 2 19 
ดังนั้น ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม ABC = 21 5 19 
= 45 หน่วย
7. วงรีที่มีแกนเอกอยู่บนแกน x แกนโทอยู่บนแกน y ระยะระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 12
หน่วย ถ้าความยาวของคอร์ดที่ผ่านจุดโฟกัสหนึ่งและตั้งฉากกับแกนเอกของวงรี เท่ากับ 10
หน่วย แล้วสมการของวงรีคือข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2
5x 9y 405  2. 2 2
9x 5y 81 
3. 2 2
5x 9y 225  4. 2 2
9x 5y 20 
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสทั้งสอง = 12
2c = 12
c = 6
จาก 2
a = 2 2
b c
2 2
a b = 2
c
2 2
a b = 36 …..(1)

7. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ลาตัสเรกตัมของวงรี = 10
2
2b
a
= 10
2
b = 5a …..(2)
แทน (2) ใน (1) ; 2
a 5a = 36
2
a 5a 36  = 0
(a 4)(a 9)  = 0
a = 4, 9 แต่ a 0
จะได้ a = 9
2
a = 81
จาก (2) จะได้ 2
b = 5(9)
2
b = 45
สมการวงรี คือ
2 2
2 2
x y
a b
 = 1
2 2
x y
81 45
 = 1
2 2
5x 9y = 405
8. พาราโบลาที่มีจุดโฟกัส F อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม 2 2
x y 6x 4y 4 0     และมีจุด
ยอด V อยู่ที่จุดตัดของวงกลมกับแกน y ถ้า A และ B เป็นจุดบนพาราโบลาซึ่งส่วนของเส้นตรง
AB ผ่านจุดโฟกัส F และตั้งฉากกับแกนของพาราโบลา แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม VAB
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 9 ตารางหน่วย 2. 12 ตารางหน่วย
3. 18 ตารางหน่วย 4. 36 ตารางหน่วย
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
2 2
x y 6x 4y 4    = 0
2 2
(x 6x 9) (y 4y 4)     = 4 9 4  
2 2
(x 3) (y 2)   = 9
วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, 2) และรัศมียาว 3 หน่วย

8. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
หาจุดตัดของวงกลมกับแกน y
2 2
(0 3) (y 2)   = 9
2
9 (y 2)  = 9
2
(y 2) = 0
y 2 = 0
y = 2
จุดตัดของวงกลมกับแกน y คือ (0, 2)
จะได้ว่าพาราโบลามีจุดโฟกัสอยู่ที่ (3, 2) และมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 2)
จากรูป จะได้ c 3
ความยาวลาตัสเรกตัม = 4c
= 4(3)
= 12
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม VAB
=
1
2
ความยาวฐานความสูง
=
1
12 3
2
 
= 18 ตารางหน่วย
9. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ
2
(5x 23x 3) (x 5)
3 5
5 3
  
   
   
   
ถ้า A เป็นสับเซตในข้อต่อไปนี้
1. {x R (5x 1)(x 3) 0}    2. {x R (4x 1)(x 4) 0}   
3. {x R (2x 1)(x 5) 0}    4. {x R x 1 2}  
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
2
(5x 23x 3)
3
5
 
 
 
 
>
(x 5)
5
3

 
 
 
2
(5x 23x 3)
3
5
 
 
 
 
>
(x 5)
3
5
 
 
 
 
2
5x 23x 3  < (x 5) 
2
5x 23x 3  < x 5 
2
5x 22x 8  < 0



V(0, –2) (3, –2)
A
B
O
Y
X

9. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
(5x 2)(x 4)  < 0
2
A ,4
5
 
  
 
พิจารณาข้อ 1. (5x 1)(x 3) 0  
1
,3
5
 
 
 
1
A ,3
5
 
  
 
พิจารณาข้อ 2. (4x 1)(x 4) 0  
1
,4
4
 
 
 
1
A ,4
4
 
  
 
พิจารณาข้อ 3. (2x 1)(x 5) 0  
1
,5
2
 
 
 
1
A ,5
2
 
  
 
พิจารณาข้อ 4. x 1 < 2
2 < x 1 < 2
1 < x < 3
( 1, 3)
A ( 1, 3) 
4+ +–
3+ +–
4+ +–
5+ +–
–1 3

10. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
10. กาหนดให้ x 1 , a 1 , b 1 และ c 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า 2
b ac แล้ว a b c c a b(log x)(log x log x) (log x)(log x log x)  
ข. ถ้า c b 1  และ 2 2 2
a b c  แล้ว (c b) (c b) (c b) (c b)log a log a 2(log a)(log a)    
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
พิจารณาข้อ ก. a b c(log x)(log x log x) =
x x x
1 1 1
log a log b log c
  
  
  
=
  
x x
x x x
log c log b1
log a log b log c
   
   
  
=
 
 
  
x
x x x
log c / b1
log a log b log c

=
 
   
x
x x x
log c / b
log a log b log c
ส่วนด้านขวา พิจารณาในทานองเดียวกันได้ว่า
c a b(log x)(log x log x) =
x x x
1 1 1
log c log a log b
  
  
  
=
  
x x
x x x
log b log a1
log c log a log b
   
   
  
=
 
  
x
x x x
log b / a1
log c log a log b

=
 
   
x
x x x
log b / a
log a log b log c
เนื่องจาก 2
ac b ดังนั้นได้ว่า c b
b a


11. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ดังนั้นได้ว่า a b c(log x)(log x log x) =
 
   
x
x x x
log c / b
log a log b log c
=
 
   
x
x x x
log b / a
log a log b log c
= c a b(log x)(log x log x)
ดังนั้น ก. ถูก
พิจารณาข้อ ข. (c b) (c b)log a log a  =
a a
1 1
log (c b) log (c b)

 
= a a
a a
log (c b) log (c b)
(log (c b))(log (c b))
  
 
=
 a
a a
log (c b)(c b)
(log (c b))(log (c b))
 
 
=
2 2
a
a a
log (c b )
(log (c b))(log (c b))

 
=
2
a
a a
log a
(log (c b))(log (c b)) 
จาก 2 2 2
a c b 
=
a a
2
(log (c b))(log (c b)) 
= (c b) (c b)2(log a)(log a) 
ดังนั้น ข. ถูก

12. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
11. ให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ log( x 1 5) logx   และ B เป็นเซตคาตอบของสมการ
2 4 8 64log (3x) log (9x) log (27x) 3 2log (x)    ผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A B
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
12
9
2.
16
9
3.
32
9
4.
96
9
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
หา A log( x 1 5)  = log x
x 1 5  = x
x 1 = x 5
2
( x 1) = 2
(x 5)
x 1 = 2
x 10x 25 
2
x 11x 24  = 0
(x 8)(x 3)  = 0
x = 8, 3
แต่เมื่อแทน x 3 ทาให้สมการเป็นเท็จ
จะได้ A {8}
หา B 2 4 8log (3x) log (9x) log (27x)  = 643 2log (x)
2 32 2 2
log (3x) log (9x) log (27x)  = 2 6
2 2
3log 2log (x)
11
32
2 2 2log (3x) log (9x) log (27x)  = 2 22
1
3log log x
3

11
32
2 2 2log (3x) log (9x) log (27x)  =
1
3
2 2log 8 log x
11
32
2log (3x)(9x) (27x) =
1
3
2log 8x
11
32
(3x)(9x) (27x) =
1
3
8x
11
6
27x =
1
3
8x
9
6
x =
8
27
3
2
x =
3
2
3
 
 
 

13. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
x =
2
3 3
2
3
  
     
x =
2
2
3
 
 
 
x =
4
9
จะได้ 4
B
9
 
  
 
ดังนั้น ผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A B คือ 4 32
8
9 9
 
12. กาหนดให้ จุด A( 1, 1) , B(2, 5) และ C(2, 3) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ L
เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุด B ลากส่วนเส้นตรง CD ตั้งฉากกับเส้นตรง L ที่จุด D แล้ว
เวกเตอร์ AD เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
7
(3i 4 j)
25
  2.
7
(3i 4 j)
25

3.
7
(3i 4 j)
25
  4.
7
(3i 4 j)
25

เฉลย ตอบตัวเลือก 3
วาดรูปได้ดังนี้
A(–1, 1)
B(2, 5)
C(2, –3)
X
Y

14. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
AB =
2 1
5 1
   
   
   
=
3
4
 
 
 
AB = 2 2
3 4 = 5
AC =
2 1
3 1
   
      
=
3
4
 
  
AC = 2 2
3 ( 4)  = 5
เนื่องจาก AD เป็นโปรเจกชันของ AC บน AB
จะได้ AD =   AB
AC cos
AB

=
AC AB AB
AB AB
  
 
 
=
3 3 3
4 4 4
5 5
       
              
  
  
  
=
3
49 16
5 5
  
  
    
   
 
 
=
37
425
 
  
 
=
7
(3i 4 j)
25
 

15. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
13. กาหนดให้ a, b, c, d, x และ y เป็นจานวนจริง และ
1 x
A
y 1
 
   
,
a b
B
c d
 
  
 
,
1 0
C
0 1
 
  
 
และ
1 0
I
0 1
 
  
 
ถ้า 2
A I และ AB 2C แล้ว ค่าของ 1
det(B )
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0.25 2. 0.5
3. 2 4. 4
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
2
A =
1 x 1 x
y 1 y 1
   
       
=
1 xy 0
0 xy 1
 
  
แต่ 2
A I จะได้ 1 xy 1 
xy 0
จาก A =
1 x
y 1
 
  
det(A) = 1 xy  = 1 0  = 1
จาก C =
1 0
0 1
 
 
 
det(C) = 1
AB = 2C
det(AB) = det(2C)
det(A)det(B) = 2
2 det(C)
det(B) = 4( 1)
det(B) = 4
แต่ 1
det(B )
=
1
det(B)
=
1
4
= 0.25

16. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
14. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ซึ่งไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.
2 2 2
u v u v  
ข. ถ้า u ตั้งฉากกับ v แล้ว
2 2 2
u v u v  
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
พิจารณา ก. สมมุติให้ u 0 และ v 0 แทนใน
2
u v <
2 2
u v
2
0 <
2 2
0 0
0 < 0 (เป็นเท็จ)
พิจารณา ข. 2
u v =
2 2
u 2u v v  
=
2 2
u 2 u v cos v 
=
2 2
u 2 u v cos90 v 
=
2 2
u v
ดังนั้น ข้อ ก. ผิด แต่ข้อ ข. ถูก

17. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
15. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. สาหรับ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก จะได้ว่า
n n 2 2
n
n 1
a b a b
(a b) ab


 



ข. ถ้า 1 2 3a , a , a , ... เป็นลาดับเลขคณิตของจานวนจริง โดยที่
2
1 2 n
2
1 2 3 m
a a ... a n
a a a ... a m
  

   
สาหรับจานวนเต็มบวก n และ m ที่แตกต่างกัน แล้ว m
n
a 2m 1
a 2n 1



ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
พิจารณา ก.
n n
n
n 1
a b
(a b)




 =
n n
n n
n 1 n 1
a b
(a b) (a b)
 
 

 
 
=
n n
n 1 n 1
a b
a b a b
 
 
   
   
    
 
=
a b
a b a b
a b
1 1
a b a b
 
   
    
    
=
a b
a b a b
a b a a b b
a b a b
 
   
 
=
a b
b a

=
2 2
a b
ab

พิจารณา ข. 1 2 n
1 2 3 m
a a a
a a a a
  
   
=
 
 
1
1
n
2a (n 1)d
2
m
2a (m 1)d
2
 
 
2
2
n
m
=
 
 
1
1
n 2a (n 1)d
m 2a (m 1)d
 
 

18. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
n
m
= 1
1
2a (n 1)d
2a (m 1)d
 
 
12a n mnd nd  = 12a m mnd md 
12a n nd = 12a m md
1n(2a d) = 1m(2a d)
1 1n(2a d) m(2a d)   = 0
1(n m)(2a d)  = 0
แต่ n m ดังนั้น 12a d = 0
12a = d
m
n
a
a
= 1
1
a (m 1)d
a (n 1)d
 
 
= 1 1
1 1
a (m 1)(2a )
a (n 1)(2a )
 
 
= 1 1 1
1 1 1
a 2a m 2a
a 2a n 2a
 
 
= 1 1
1 1
2a m a
2a n a


= 1
1
a (2m 1)
a (2n 1)


=
2m 1
2n 1


ดังนั้น ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก

19. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
16. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้ f :R R เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับ โดยที่
f (x) 2x 1   และ f (2) 2  สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y f(x) ที่
จุด (1,3) คือข้อใดต่อไปนี้
1.
1
y x 2
2
   2.
1 5
y x
2 2
 
3.
1 5
y x
2 2
   4.
1
y x 2
2
 
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
f (x) = 2x 1
f (x) = (2x 1)dx = 2
x x c 
f (2) = 2
2 2 c 
2 = 6 c
c = 4
จะได้ f (x) = 2
x x 4 
ที่จุด (1, 3) ; f (1) = 1 1 4  = 2
สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y f(x) ที่จุด (1, 3)
จะมีความชันเท่ากับ 1
2
สมการเส้นตรง คือ 1y y = 1m(x x )
y 3 =
1
(x 1)
2

2y 6 = x 1
y =
1 5
x
2 2


20. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
17. ให้ R แทนเซตจานวนจริง ให้ f :R R , g : R R และ h:R R เป็นฟังก์ชัน โดยที่
2
ax 1
f(x)
x 1



เมื่อ a เป็นจานวนจริง 2
g(x) (x 1)f (x)  และ
f(x) x 2
h(x)
g(x) x 2

 

ถ้าฟังก์ชัน h ต่อเนื่องที่ x 2 แล้ว ค่าของ 2h( 2) h(2)  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0.6 2. 0.8
3. 1 4. 3
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
f (x) = 2
ax 1
x 1


f (x) =
2
2 2
(x 1)(a) (ax 1)(2x)
(x 1)
  

=
2 2
2 2
ax a 2ax 2x
(x 1)
  

=
2
2 2
ax 2x a
(x 1)
  

g(x) = 2
(x 1)f (x)
=
2
2
2 2
ax 2x a
(x 1)
(x 1)
   
  
 
=
2
2
ax 2x a
x 1
  

h(x) =
f(x); x 2
g(x); x 2



แต่ฟังก์ชัน h ต่อเนื่องที่ x 2 จะได้ว่า
f(2) = g(2)
2
a(2) 1
2 1


=
2
2
a(2) 2(2) a
2 1
  

2a 1 = 4a 4 a  
5a = 5
a = 1
2h( 2) h(2)  = 2g( 2) f(2) 
=
2
2 2
2[( 2) 2( 2) 1] (2) 1
( 2) 1 2 1
     

  
=
2(4 4 1) 1
5 5
 

= 3
เมื่อ
เมื่อ

21. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
18. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ f :R R , g : R R และ h:R R เป็นฟังก์ชันที่มี
อนุพันธ์ทุกอันดับ โดยที่ 2
h(x) x 4  , g(x) h(f(x) 1)  และ f (1) g (1) 1   แล้วค่าของ
f(1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2. 1.5
3. 1 4. 0.5
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
h(x) = 2
x 4
g(x) = h(f(x) 1)
= 2
(f(x) 1) 4 
g (x) = 2(f(x) 1)f (x)
g (1) = 2(f(1) 1)f (1)
1 = 2(f(1) 1)(1)
f (1) =
3
2
= 1.5
19. กาหนดสมการจุดประสงค์ คือ P 3x 2y  โดยมีอสมการข้อจากัด ดังนี้ x 2y 6  ,
2x y 8  , x y 1   , x 0 และ 0 y 2  ค่าของ P มีค่ามากสุด เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 10 2. 12
3.
38
3
4. 18
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
สมการจุดประสงค์ P = 3x 2y
อสมการข้อจากัด x 2y  6
2x y  8
x y   1
x  0
0  y  2

22. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
เขียนกราฟได้ดังนี้
จะได้จุดมุม 10 4
A(0, 0), B(0, 1), C(1, 2), D(2, 2), E , , F(4, 0)
3 3
 
 
 
แทนค่าจุดมุมแต่ละจุดในสมการจุดประสงค์
ที่จุด A(0, 0) ; P = 3(0) 2(0) = 0
ที่จุด B(0, 1) ; P = 3(0) 2(1) = 2
ที่จุด C(1, 2) ; P = 3(1) 2(2) = 7
ที่จุด D(2, 2) ; P = 3(2) 2(2) = 10
ที่จุด 10 4
E ,
3 3
 
 
 
; P =
10 4
3 2
3 3
   
   
   
=
38
3
ที่จุด F(4, 0) ; P = 3(4) 2(0) = 12
ดังนั้น ค่าของ P มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 38
3
Y
X
A
B
C D
E
F




 

23. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
20. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนจานวน 30 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 25 คะแนน และ 5 คะแนน ตามลาดับ ถ้านาคะแนนของ
นายสายชลและนางสาวฟ้ าซึ่งสอบได้ 20 คะแนน และ30 คะแนน ตามลาดับ มารวมด้วย
แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 4 2. 5
3. 6 4. 7
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
โจทย์กาหนด n 30,X 25,s 5  
จาก X =
x
n

25 =
x
30

x = 750
2
s =
2
2x
X
n


25 =
2
2x
25
30


2
x = 19,500
นาคะแนนของนายสายชลและนางสาวนางฟ้ามารวมด้วยจะได้
x = 750 20 30  = 800
X =
800
32
= 25
2
x = 2 2
19,500 20 30  = 20,800
ดังนั้น s =
2
2x
X
n


= 220800
25
32

= 5

24. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
21. กาหนดให้ A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} สุ่มหาสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 3 ตัว ความน่าจะเป็นที่จะ
ได้สับเซต {a, b, c} A โดยที่ a b c  และ a, b, c เป็นลาดับเลขคณิต เท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1.
6
210
2.
9
210
3.
6
35
4.
9
35
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
กรณีที่1 d 1 จะได้ลาดับดังนี้ 123, 234, 345, 456, 567
กรณีที่2 d 2 จะได้ลาดับดังนี้ 135, 246, 357
กรณีที่3 d 3 จะได้ลาดับดังนี้ 147
n(E) = 5 3 1  = 9
n(S) =
7
3
 
 
 
=
7!
3!4!
= 35
ดังนั้น P(E) =
n(E)
n(S)
=
9
35

25. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
22. ตารางต่อไปนี้ เป็นข้อมูลเกี่ยวกับอายุของพนักงานจานวน 50 คน
อายุ (ปี) จานวน (คน)
25 9
30 17
35 24
40 37
45 43
50 50
ถ้าอายุต่าสุดของพนักงาน คือ 21 ปี แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 35 2. 37.5
3. 41 4. 43
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
เขียนเป็นตารางแจกแจงความถี่แบบเป็นอันตรภาคชั้นดังนี้
อายุ (ปี) f x fx
21-25 9 23 207
26-30 8 28 224
31-35 7 33 231
36-40 13 38 494
41-45 6 43 258
46-50 7 48 336
X =
fx
n

=
207 224 231 494 258 336
50
    
=
1750
50
= 35

26. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
23. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 20 คน แบ่งเป็น 2 กลุ่มๆ ละ 10 คน ทาแบบทดสอบวัด
ความถนัดฉบับหนึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ได้คะแนนของนักเรียนแต่ละคนดังนี้
กลุ่มที่ 1 7 6 5 8 3 6 9 7 6 10
กลุ่มที่ 2 6 9 15 12 1 8 7 7 5 6
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ความสามารถของนักเรียนกลุ่มที่ 1 มีความแตกต่างกันมากกว่านักเรียนกลุ่มที่ 2
ข. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของกลุ่มที่ 1 และกลุ่มที่ 2 เท่ากับ 5
14
และ 3
14
ตามลาดับ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
พิจารณา ก. สัมประสิทธิ์ของพิสัย = max min
max min
x x
x x


กลุ่มที่1 สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
10 3
10 3


=
4
13
กลุ่มที่2 สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
15 1
15 1


=
7
8
เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพิสัยของนักเรียนกลุ่มที่ 1 น้อยกว่านักเรียนกลุ่มที่ 2 จะ
ได้ว่านักเรียนกลุ่มที่ 1 มีการกระจายน้อยกว่านักเรียนกลุ่มที่ 2
ดังนั้น ข้อ ก ผิด
พิจารณา ข. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาได้ดังนี้
กลุ่มที่ 1 3 5 6 6 6 7 7 8 9 10
กลุ่มที่ 2 1 5 6 6 7 7 8 9 12 15
กลุ่มที่1 ตาแหน่งของ 1Q =
10 1
4

= 2.75

27. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
1Q = 5.75
ตาแหน่งของ 3Q =
3(10 1)
4

= 8.25
3Q = 8.25
C.Q.D. =
8.25 5.75
8.25 5.75


=
5
28
กลุ่มที่2 ตาแหน่งของ 1Q =
10 1
4

= 2.75
1Q = 5.75
ตาแหน่งของ 3Q =
3(10 1)
4

= 8.25
3Q = 9.75
C.Q.D. =
9.75 5.75
9.75 5.75


=
8
31
ดังนั้น ข้อ ข ผิด

28. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
24. นิยาม b
a b = a สาหรับ a และ b เป็นจานวนจริงบวกใดๆ ถ้า a, b และ c เป็นจานวนจริง
บวก แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. a (b c) (a c) b     2. (a b) c a (bc)   
3. a (b c) (a b) c     4. (a b) c (a c) (b c)     
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
นิยาม b
a b a 
พิจารณาข้อ 1. a (b c)  = (a c) b 
c
a (b ) = c
(a ) b
c
b
a = c b
(a )
c
b
a = cb
a (เป็นเท็จ)
พิจารณาข้อ 2. (a b) c  = a (bc)
b
(a ) c = bc
a
b c
(a ) = bc
a (เป็นจริง)
พิจารณาข้อ 3. a (b c)  = (a b) c 
c
a (b ) = b
(a ) c
c
b
a = b c
(a )
c
b
a = bc
a (เป็นเท็จ)
พิจารณาข้อ 4. (a b) c  = (a c) (b c)  
c
(a b) = c c
(a ) (b ) (เป็นเท็จ)
ดังนั้น ข้อ 2. ถูกต้อง

29. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
25. กาหนดให้ a 7 4 3  , b 2 2 2 2 และ c 2 3  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
1 1 1
c a b
  2.
1 1 1
c b a
 
3.
1 1 1
b a c
  4.
1 1 1
b c a
 
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
a = 7 4 3 = (4 3) 2 (4 3)  
= 4 3
= 2 3
b = 2 2 2 2...
2
b = 2 2 2 2...
2
b = 2b
2
b 2b = 0
b(b 2) = 0
b = 0, 2 แต่ b 0 ดังนั้น b 2
c = 2 3
จะได้ว่า 2 < 2 3 < 2 3
b < c < a
หรือ 1
b
>
1
c
>
1
a

30. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ส่วนที่ 2 : จานวน 25 ข้อ ข้อละ 7 คะแนน รวม 175 คะแนน
คาสั่ง : แบบอัตนัย จงเติมคาตอบที่ถูกต้อง (เป็นตัวเลข)
26. ในการสารวจสโมสรแห่งหนึ่งมีสมาชิกจานวน 100 คน พบว่าชอบอ่านนวนิยายหรือ
หนังสือพิมพ์หรือนิตยสาร อย่างน้อย 1 รายการ และ
มี 75 คน ชอบอ่านนวนิยาย
มี 70 คน ชอบอ่านหนังสือพิมพ์ และ
มี 80 คน ชอบอ่านนิตยสาร
มีสมาชิกอย่างน้อยกี่คนที่ชอบอ่านทั้งสามรายการ
เฉลย ตอบ 25
จากข้อมูลนามาเขียนแผนภาพได้ดังนี้
ให้ A แทนเซตของสมาชิกที่ชอบอ่านนวนิยาย
B แทนเซตของสมาชิกที่ชอบอ่านหนังสือพิมพ์
C แทนเซตของสมาชิกที่ชอบอ่านนิตยสาร
มี 75 คน ชอบอ่านนวนิยาย (บริเวณ a, b, d, e)
มี 70 คน ชอบอ่านหนังสือพิมพ์ (บริเวณ b, c, e, f)
มี 80 คน ชอบอ่านนิตยสาร (บริเวณ d, e, f, g)
A B
C
a b c
d
e
f
g
U = 100

31. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
a 2b c 2d 3e 2f g      = 75 70 80 
a 2b c 2d 3e 2f g      = 225 …..(1)
a b c d e f g      = 100 …..(2)
(2) 2; 2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g      = 200 …..(3)
(1) (3); a c e g    = 25
e = 25 a c g  
เนื่องจาก a 0 , c 0 และ g 0 ดังนั้น e 25
ดังนั้น จะมีสมาชิกอย่างน้อย 25 คน ที่ชอบอ่านทั้ง 3 รายการ
27. ให้ a และ b เป็นจานวนจริง ถ้า 5
ax bx 4  หารด้วย 2
(x 1) ลงตัว แล้ว a b เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 6
หารสังเคราะห์
1 a 0 0 0 b 4
a a a a a b
1 a a a a a b 4 a b
a 2a 3a 4a
a 2a 3a 4a 5a b

  

เนื่องจาก 5
ax bx 4  หารด้วย 2
(x 1) ลงตัว จะได้ว่าเศษเป็นศูนย์
นั่นคือ 4 a b  = 0 …..(1)
5a b = 0 …..(2)
(2) (1) ; 4 4a  = 0
a = 1
แทน a 1 ใน (2) จะได้ 5(1) b = 0
b = 5
ดังนั้น a b 1 ( 5) 6    

32. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
28. จงหาค่าของ 2 o o o o
2sin 60 (tan 5 +tan 85 ) 12sin 70
เฉลย ตอบ 6
2
2sin 60 (tan5 tan85 ) 12sin70 
=
2
3
2 (tan5 cot5 ) 12sin70
2
 
   
 
=
3 sin5 cos5
2 12sin70
4 cos5 sin5
  
   
  
=
2 2
3 sin 5 cos 5
12sin70
2 cos5 sin5
 
 
 
=
3 1
12sin70
2 cos5 sin5
 
 
 
=
3
12sin70
sin10

=
3 12sin70 sin10
sin10

=
3 6(2sin70 sin10 )
sin10

=
3 6(cos60 cos80 )
sin10
 
=
1
3 6 cos80
2
sin10
 
  
 
=
3 3 6cos80
sin10
 
=
6cos80
cos80
= 6
co-function

33. โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
29. ให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ 2
arccos(x) arccos(x 3) arccos( 1 x )   และให้ B เป็น
เซตคาตอบของสมการ arccos(x) arcsin(x) arcsin(1 x)   จานวนสมาชิกของเซต
P(A B) เท่ากับเท่าใด เมื่อ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S
เฉลย ตอบ 1
หาเซต A
ให้ a = arccos(x)
cosa = x
ให้ b = arccos(x 3)
cosb = x 3
ให้ c =
2
arccos( 1 x )
cosc = 2
1 x
arccos(x) =
2
arccos(x 3) arccos( 1 x ) 
arccos(x 3) =
2
arccos(x) arccos( 1 x ) 
b = a c
cosb = cos(a c)
cosb = cosa cosc sinasinc
x 3 = 2 2
x 1 x 1 x x  
กรณี 1 x 0 ; x 3 =
2 2
x 1 x 1 x (x)  
x 3 = 0 (เป็นเท็จ)
กรณี 2 x 0 ; x 3 =
2 2
x 1 x 1 x (x)  
x 3 = 2
2x 1 x
2
3x = 2 2
4x (1 x )
2
3x = 2 4
4x 4x
4 2
4x x = 0
2 2
x (4x 1) = 0
x =
1 1
0, ,
2 2
 แต่ x 0 ดังนั้น 1
A 0,
2
 
  
 
a
1
x
b
1
c
1

34. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
หาเซต B
ให้ a = arccos(x)
cosa = x
ให้ b = arcsin x
sin b = x
ให้ c = arcsin(1 x)
sinc = 1 x
arccos(x) = arcsin(x) arcsin(1 x) 
a = b c
sina = sin(b c)
sina = sin bcosc cosbsinc
2
1 x =
2 2
(x)( 2x x ) ( 1 x )(1 x)   
2 2
1 x ( 1 x )(1 x)    =
2
(x)( 2x x )
2
1 x (1 1 x)   =
2
(x)( 2x x )
2
x 1 x = 2
x 2x x
2 2
x (1 x ) = 2 2
x (2x x )
2 4
x x = 3 4
2x x
3 2
2x x = 0
2
x (2x 1) = 0
x =
1
0,
2
ดังนั้น 1
B 0,
2
 
  
 
จะได้ว่า A B = 
n(A B) = 0
ดังนั้น 0
P(A B) 2 1  
a
1
x
x
b
1
c
1
1 – x

35. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
30. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix) มิติ 3 3 และ I เป็น
เมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ 3 3 ถ้า
a b c
A d e f
g h i
 
   
  
เมื่อ a, b, c, d, e, f, g, h และ i เป็น
จานวนจริง และ 3
A 2I , 1
det(C ) 4
 และ t
3g 3h 3i
B C a b c
2d 2e 2f
   
     
  
แล้ว det(B)
เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 48
จาก 3
A = 2I
3
det(A ) = det(2I)
 
3
det(A) = 3
2 det(I)
 
3
det(A) = 8(1)
det(A) = 2
จาก 1
det(C )
= 4
1
det(C)
= 4
det(C) =
1
4
t
B C =
3g 3h 3i
a b c
2d 2e 2f
   
    
  
t
det(B C) = ( 3)( 1)(2)det(A) 
t
det(B C) = 6(2)
t
det(B C) = 12
12 = t
det(B C)
12 = t
det(B )det(C)
12 =
1
det(B)
4
 
 
 
; t
det(B ) det(B)
det(B) = 48

36. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
31. ให้ 5 4 3 2
f(x) x ax bx cx dx e      เมื่อ a, b, c, d, e เป็นจานวนจริง ถ้ากราฟ y f(x)
ตัดกับกราฟ y 3x 2  ที่ x 1, 0, 1, 2  แล้วค่าของ f(3) f( 2)  เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 135
เนื่องจาก กราฟ f (x) ตัดกราฟ y 3x 2  ที่จุด x 1,0,1,2  แสดงว่าจุดที่ x 1,0,1,2  อยู่
บนกราฟ f (x) = 5 4 3 2
x ax bx cx dx e    
= (x 1)(x 0)(x 1)(x 2)(x k)     ; เมื่อ c เป็นค่าคงที่
และเนื่องจากกราฟของ y = f(x) ตัดกับกราฟของ y 3x 2  จึงต้องบวกด้วย 3x 2
จะได้ f (x) = (x 1)(x 0)(x 1)(x 2)(x k) 3x 2      
f (3) = (3 1)(3 0)(3 1)(3 2)(3 k) 3(3) 2      
f (3) = 83 24k …..(1)
f ( 2) = ( 2 1)( 2 0)( 2 1)( 2 2)( 2 k) 3( 2) 2            
f ( 2) = 54 24k  …..(2)
(1) (2); f(3) f( 2)  = 83 24k 52 24k  
= 135
32. กาหนดให้ 1z และ 2z เป็นจานวนเชิงซ้อน โดยที่ 1 2z z 3  และ 1 2z z 1  (เมื่อ z
แทนค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน z) ค่าของ 2 2
1 2z z เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 5
ให้ 1z a bi  และ 2z c di 
1 2z z = a bi c di  
= (a c) (b d)i  
1 2z z = 2 2
(a c) (b d)  
3 = 2 2
(a c) (b d)  
9 = 2 2
(a c) (b d)   …..(1)
1 2z z = a bi c di  
= (a c) (b d)i  
1 2z z = 2 2
(a c) (b d)  
1 = 2 2
(a c) (b d)  
1 = 2 2
(a c) (b d)   …..(2)

37. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
(1) (2) ; 10 = 2 2 2 2
(a c) (b d) (a c) (b d)      
10 = 2 2 2 2 2 2 2 2
a 2ac c b 2bd d a 2ac c b 2bd d          
10 = 2 2 2 2
2a 2b 2c 2d  
10 = 2 2 2 2
2(a b ) 2(c d )  
10 =
2 2
1 22 z 2 z

2 2
1 2z z = 5
33. ให้ A เป็นเซตของจานวนเชิงซ้อน z ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ 2 z 3z 9i 2   และ
2 (1 i)z
B w w
2 i

 

เมื่อ



z A เมื่อ 2
i 1  ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B
เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 10
หาเซต A ให้ z a bi 
2 z 3z = 9i 2
2 2
2 a b 3(a bi)   = 9i 2
2 2
2 a b 3a 3bi   = 9i 2
2 2
2 a b = (3a 2) (9 3b)i  
จะได้ 2 2
2 a b = 3a 2
2 2
4(a b ) = 2
9a 12a 4 
2 2
4a 4b = 2
9a 12a 4 
2 2
5a 4b 12a 4   = 0
2 2
5a 4( 3) 12a 4    = 0
2
5a 12a 32  = 0
(5a 8)(a 4)  = 0
a =
8
, 4
5

9 3b = 0
3b = 9
b = 3
แต่แทนค่า 8
a
5
  ในสมการ 2 2
2 a b 3a 2   แล้วเป็นเท็จ
ดังนั้น  A z 4 3i  

38. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
หาเซต B w =
(1 i)z
2 i


w =
1 i z
2 i


=
2 2 2 2
2 2
1 1 4 ( 3)
2 1
  

=
2 25
5
2
w =
2(25)
5
= 10
ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เท่ากับ 10
34. ลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มีอัตราส่วนร่วมเป็นจานวนจริงบวก ถ้าผลบวกของสองพจน์แรก
เท่ากับ 20 และผลบวกของสี่พจน์แรก เท่ากับ 65 แล้วผลบวกของหกพจน์แรกเท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 166.25
กาหนดลาดับเรขาคณิต 1 2 3a , a , a , ...
2a = 1a r
3a = 2
1a r
1 2a a = 1 1a a r
20 = 1 1a a r
1 2 3 4a a a a   = 2 3
1 1 1 1a a r a r a r  
65 = 2 3
1 120 a r a r 
45 = 2 3
1 1a r a r
45 = 2
1 1r (a a r)
45 = 2
r (20)
2
r =
45
20
=
9
4

39. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ดังนั้น 1 2 3 4 5 6a a a a a a     = 4 5
1 2 3 4 1 1(a a a a ) a r a r    
= 4
1 165 r (a a r) 
=
2
9
65 (20)
4
 
 
 
= 166.25
35. จงหาค่าของ 2 2 2 2 2 2n
1 1 1 1 1 1 1
lim 1 1 ... 1
n 1 2 2 3 n (n 1)
 
           
เฉลย ตอบ 1
na = 2 2
1 1
1
n (n 1)
 

=
2 2 2 2
2 2
n (n 1) (n 1) n
n (n 1)
   

=
2 2
2 2
n (n 1) 2n(n 1) 1
n (n 1)
   

=
2
2 2
(n(n 1) 1)
n (n 1)
 

=
n(n 1) 1
n(n 1)
 

=
1
1
n(n 1)


=
1 1
1
n n 1
 

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 n (n 1)
        

=
1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 n n 1
     
             
     
=
n
1 1
(1 1 1)
1 n 1
 
     
 
=
1
n 1
n 1
 
  
 
=
n(n 2)
n 1


ตัว

40. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ดังนั้น n
1 n(n 2)
lim
n n 1
 
 
 
=
n
n 2
lim
n 1


=
n
2
1
nlim
1
1
n



= 1
36. กาหนดให้ n
nt 2 เมื่อ n 1, 2, 3, ... และ n nt t
na 5 5
  เมื่อ n 1, 2, 3, ...
ค่าของ n 1
n
1 2 n
a
lim
a a ...a


เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 24.96
n 1
1 2 n
a
a a a

=
n 1 n 1
n n
2 2
2 2 4 4 2 2
5 5
(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
 

  

  
=
n 1 n 1
n n
2 2 2 2
2 22 2 4 4 2 2
5 5 5 5
5 5(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
 
 
  
  
 
    
=
n 1 n 1
n n
2 2 2 2
4 4 4 4 2 2
(5 5 )(5 5 )
(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
 
 
  
 
  
=
n 1 n 1
n 1 n 1
2 2 2 2
2 2
(5 5 )(5 5 )
5 5
 
 
 

 

=
n 1
n 1
n 1
n 1
2 2 2
2
2
2
1
5 (5 5 )
5
1
5
5




 
  
 

n 1
n
1 2 n
a
lim
a a a


=
n 1
n 1
n 1
n 1
2 2 2
2
n 2
2
1
5 (5 5 )
5lim
1
5
5






 
  
 

= 2 2
5 5

=
1
25
25

= 24.96
0
0

41. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
37. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :R R และ g : R R เป็นฟังก์ชัน โดยที่
f(x) 2x 3  และ 3 2
(g f)(x) 8x 44x 80x 48    สาหรับทุกจานวนจริง x แล้วค่าของ
6
0
f(g(x))dx เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 990
ให้ a 2x 3 
a 3
x
2


(g f)(x) = 3 2
8x 44x 80x 48  
g(f(x)) = 3 2
8x 44x 80x 48  
g(2x 3) = 3 2
8x 44x 80x 48  
g(a) =
3 2
a 3 a 3 a 3
8 44 80 48
2 2 2
       
       
     
= 3 2 2
a 9a 27a 27 11(a 6a 9) 40(a 3) 48        
= 3 2 2
a 9a 27a 27 11a 66a 99 40a 120 48        
= 3 2
a 2a a 
 g(x) = 3 2
x 2x x 
f(g(x)) = 3 2
f(x 2x x) 
= 3 2
2(x 2x x) 3  
= 3 2
2x 4x 2x 3  
6
0
f(g(x))dx =
6
3 2
0
(2x 4x 2x 3)dx  
=
64 3 2
0
2x 4x 2x
3x
4 3 2
 
   
 
=
64 3
2
0
x 4x
x 3x
2 3
 
   
 
= (648 288 36 18) 0   
= 990

42. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
38. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนด 2
g(x) x x 3   สาหรับทุกจานวนจริง x
ถ้า f :R R เป็นฟังก์ชัน และสอดคล้องกับ
2
(f g)(x) 2(f g)(1 x) 6x 10x 17    
2
2(f g)(x) (f g)(1 x) 6x 2x 13    
ค่าของ f(383) เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 763
(f g)(x) = f(g(x))
= 2
f(x x 3) 
ให้ 2
x x 3  = 383
2
x x 380  = 0
(x 19)(x 20)  = 0
x = 19, 20
แทน x 19 จะได้ f(383) 2(f g)( 18)  = 2
6(19) 10(19) 17 
f(383) 2(f g)( 18)  = 2,166 190 17 
f(383) 2(f g)( 18)  = 1,993 …..(1)
2f(383) (f g)( 18)  = 2
6(19) 2(19) 13 
2f(383) (f g)( 18)  = 2,166 38 13 
2f(383) (f g)( 18)  = 2,141 …..(2)
(2) 2; 4f(383) 2(f g)( 18)  = 4,282 …..(3)
(3) (1); 3f(383) = 2,289
f(383) = 763
หมายเหตุ ถ้าแทน x 20  ก็จะได้ f(383) 763

43. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
39. กาหนดให้ 3
f(x) x ax b   เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ 1L และ 2L
เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ x a และ x b ตามลาดับ ถ้า 1L ขนานกับ 2L และ
h 0
9h
lim 1
f(1 h) f(1)

 
แล้วค่าของ
2
0
f(x)dx เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 4
f (x) = 3
x ax b 
f (x) = 2
3x a ที่ x a จะได้ 2
f (a) 3a a  
ที่ x b จะได้ 2
f (b) 3b a  
แต่ 1 2L / / L จะได้ว่า f (a) = f (b)
2
3a a = 2
3b a
a = ±b
แต่โจทย์กาหนดว่า a และ b เป็นจานวนจริงที่แตกต่างกัน จะได้ a b 
จาก h 0
9h
lim
f(1 h) f(1)  
= 1
h 0
h
lim
f(1 h) f(1)  
=
1
9
h 0
f(1 h) f(1)
lim
h
 
= 9
f (1) = 9
2
3(1) a = 9
a = 6
จะได้ b = 6
ดังนั้น 3
f(x) x 6x 6  
2
0
f(x)dx =
2
3
0
f(x 6x 6)dx 
=
24 2
0
x 6x
6x
4 2
 
  
 
=
24
2
0
x
3x 6x
4
 
  
 
= (4 12 12) 0  
= 4

44. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
40. จงหาค่าของ

3 2
2π
x
4
(cot x 1)cosec x
lim
1+cos 2x 2sin x


เฉลย ตอบ 3
3 2
2
x
4
(cot x 1)cosec x
lim
1 cos2x 2sin x


 
=
2 2
2 2
x
4
(cot x 1)(cot x cot x 1)cosec x
lim
1 (2cos x 1) 2sin x

  
  
=
2 2
2 2
x
4
cos x sin x
(cot x cot x 1)cosec x
sin x
lim
2(cos x sin x)

 
  
 

=
2 2
x
4
(cos x sin x)(cot x cot x 1)cosec x
lim
2sin x(cos x sin x)(cos x sin x)

  
 
=
2 3
x
4
(cot x cot x 1)cosec x
lim
2(cos x sin x)

 

=
2 3
cot cot 1 cosec
4 4 4
2 cos sin
4 4
    
   
  
  
 
 
=
  
3
1 1 1 2
1 1
2
2 2
 
 
 
 
=
6 2
4
2
= 3

45. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
41. ให้ S เป็นเซตของพหุนาม 3 2
f(x) ax bx cx d    โดยที่ a, b, c, d เป็นสมาชิกในเซต
{0, 1, 2, ...} ซึ่งมีสมบัติสอดคล้องกับ 2a b c d 4    จานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับ
เท่าใด
เฉลย ตอบ 22
จาก 2a b c d 4   
ถ้า a 2; 4 b c d   = 4
b c d  = 0
จะได้ชุด (0, 0, 0) จานวน 3!
1
3!
 แบบ
ถ้า a 1; 2 b c d   = 4
b c d  = 2
จะได้ชุด (0, 0, 2) จานวน 3!
3
2!
 แบบ
จะได้ชุด (0, 1, 1) จานวน 3!
3
2!
 แบบ
ถ้า a 0; 0 b c d   = 4
b c d  = 4
จะได้ชุด (0, 0, 4) จานวน 3!
3
2!
 แบบ
จะได้ชุด (0, 1, 3) จานวน 3! 6 แบบ
จะได้ชุด (0, 2, 2) จานวน 3!
3
2!
 แบบ
จะได้ชุด (1, 1, 2) จานวน 3!
3
2!
 แบบ
ดังนั้น จานวนสมาชิกของ S = 1 3 3 3 6 3 3     
= 22

46. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
42. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วยจานวน 11, 3, 6, 3, 5, 3, x ให้ S เป็นเซตของ x ที่เป็นไปได้
ทั้งหมด ซึ่งทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของข้อมูลชุดนี้ มีค่าแตกต่างกัน
ทั้งหมด และในบรรดาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม เหล่านี้นามาจัดเรียงกันใหม่
จากน้อยไปมากแล้วเป็นลาดับเลขคณิต จงหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต S
เฉลย ตอบ 22
เรียงข้อมูลใหม่ (โดยยังไม่รวม x) จากน้อยไปมาก จะได้ 3, 3, 3, 5, 6, 11
ซึ่งทาให้ได้ว่า Mode 3
และ x ต้องมากกว่า 3 เพราะว่า ถ้า x 3 แล้ว Med 3 ด้วย
พิจารณาตาแหน่งของ Med
3 3 3 5 6 11
 ถ้าตาแหน่งของ Med 4 จะได้ Med x; x (3, 5] 
 ถ้าตาแหน่งของ Med 5 หรือ 6 หรือ 7 จะได้ Med 5
กรณี Med = x จะได้ X =
3 3 3 x 5 6 11
7
     
=
31 x
7

(ซึ่ง x 3 )
ซึ่ง x 3 จะได้ X >
31 3
7

X > 4.86
ลาดับ Mode X Med
ไม่เป็นลาดับเลขคณิต
3 มากกว่า 4.86

47. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ลาดับ Mode Med X
เป็นลาดับเลขคณิตได้โดย
d = x 3 =
31 x
x
7


2x 3 =
31 x
7

14x 21 = 31 x
13x = 52
x = 4
กรณี Med = 5 จะได้ลาดับเลขคณิต Mode Med X มี d 2
ทาให้ได้ว่า X 7
X =
3 3 3 5 6 11 x
7
     
7 =
31 x
7

x = 18
ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน S 4 18 22  
43. มีหนังสือที่แตกต่างกัน 5 เล่ม คือ หนังสือ ก หนังสือ ข หนังสือ ค หนังสือ ง และ หนังสือ จ สุ่ม
เลือกหนังสือเหล่านี้มาครั้งละ 3 เล่ม ความน่าจะเป็นที่จะได้หนังสือ ก หรือ หนังสือ ข เท่ากับ
เท่าใด
เฉลย ตอบ 0.9
5 5!
n(S) 10
3 2!3!
 
   
 
วิธี
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่สุ่มหยิบแล้วได้หนังสือ ค หนังสือ ง และหนังสือ จ
n(E) 1 วิธี
n(E) 1
P(E) 0.1
n(S) 10
  
ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบหนังสือแล้วได้หนังสือ ก หรือหนังสือ ข = 1 0.1
= 0.9
3 มากกว่า 4.86

48. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ข้อมูลต่อไปนี้ สำหรับตอบคำถำมข้อ 44-45
ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง มีนักเรียนจานวน 30 คน ปรากฏว่ามีนักเรียน 17
คน สอบได้คะแนนในช่วง 10-39 คะแนน มีนักเรียน 10 คน สอบได้คะแนนในช่วง 40-49 คะแนน และมี
นักเรียน 3 คน สอบได้คะแนนในช่วง 50-59 คะแนน
44. ถ้าแบ่งคะแนนเป็นเกรด 3 ระดับ คือ เกรด A เกรด B และเกรด C โดยที่ 10% ของนักเรียนได้
เกรด A และ 20% ของนักเรียนได้เกรด B แล้ว คะแนนสูงสุดของเกรด C เท่ากับกี่คะแนน
เฉลย ตอบ 43.5
ช่วงคะแนน จานวนนักเรียน (คน) ความถี่สะสม
10-39 17 17
40-49 10 27
50-59 3 30
30
คะแนนสูงสุดของเกรด C อยู่ตาแหน่ง 70P
ตาแหน่ง 70
70(30)
P 21
100
  (อยู่ในอันตรภาคชั้น 40-49)
 70P =
21 17
39.5 (10)
10
 
 
 
= 39.5 4
= 43.5
ดังนั้น คะแนนสูงสุดของเกรด C เท่ากับ 43.5 คะแนน

49. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
45. จากข้อมูลข้างต้น สมมุติว่าคะแนนมีการแจกแจงปกติ มีสัมประสิทธิ์การแปรผันเป็น 1
3
ถ้า
คะแนนสูงสุดของเกรด B มีคะแนนมาตรฐานเป็น 1.5 แล้ว คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้
เท่ากับกี่คะแนน
เฉลย ตอบ 33
คะแนนสูงสุดของเกรด B อยู่ตาแหน่ง 90P
ตาแหน่ง 90
90(30)
P 27
100
 
จากตารางในข้อ 44 จะได้ว่า 90P อยู่ในอันตรภาคชั้น 40-49
ซึ่งตาแหน่งของ 90P เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้น 40-49 พอดี
จะได้ว่า 90P = ขอบบนของอันตรภาคชั้น 40-49
 90P = 49.5
จาก z =
x X
s

1.5 =
49.5 X
s

…..(1)
1.5 =
49.5 X
s s

1.5 =
49.5
3
s

s = 11
แทน s 11 ใน (1) จะได้ 1.5 =
49.5 X
11

16.5 = 49.5 X
X = 33
ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 33 คะแนน
จะได้

50. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
46. จงหาจานวนวิธีทั้งหมดในการจัด ชาย 3 คน และหญิง 3 คน ซึ่งมี นาย ก. และ นางสาว ข.
รวมอยู่ด้วย ให้ยืนเป็นแถวตรง 2 แถวๆ ละ 3 คน โดยที่ นาย ก. และ นางสาว ข. ไม่ได้ยืน
ติดกันในแถวเดียวกัน
เฉลย ตอบ 528
จัดชาย 3 คน หญิง 3 คน ยืนเป็นแถวตรง 2 แถว แถวละ 3 คน
จัดได้ 6! 720 วิธี
ถ้าให้ นาย ก กับนางสาว ข ยืนติดกัน คิดเป็น 5 คน
กรณี 1;
จัดได้
2
(2!)(4!)
1
 
 
 
= 96 วิธี
กรณี 2;
จัดได้
2
(2!)(4!)
1
 
 
 
= 96 วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีที่ นาย ก และ นางสาว ข ไม่ได้ยืนติดกันในแถวเดียวกัน = 720 96 96 
= 528 วิธี
ก, ข อยู่แถวบน
ก, ข อยู่แถวล่าง

51. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
47. ถ้า d เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และจานวน 1059, 1417 และ 2312 หารด้วย d แล้วมี
เศษเหลือเท่ากัน คือ r แล้วค่าของ d r เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 343
หา d d = ห.ร.ม. ของ (1,417 1,059) กับ (2,312 1,417)
= ห.ร.ม. ของ 358 กับ 895
2 358 895 2
358 716
0 179
จะได้ d 179
หาr 1,417 179 จะได้ 164
1,059 179 จะได้ 164
2,312 179 จะได้ 164
จะได้ r 164
ดังนั้น d r 179 164 343   
48. กาหนดให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจริง ถ้ากราฟ y x 1 a b    
และกราฟ y x c d   ตัดกันที่จุด (2, 5) และ (8, 3) แล้วค่าของ a b c d   เท่ากับ
เท่าใด
เฉลย ตอบ 15
กราฟ y x 1 a b     ตัดกับกราฟ y x c d   ที่จุด (2, 5) และ (8, 3) จะได้ว่า แทนค่า
ทั้งสองจุดลงในทั้ง 2 สมการ ต้องเป็นจริง
พิจารณาสมการ y = x 1 a b   
ที่จุด (2, 5) ; 5 = 2 1 a b   
5 = 1 a b   …..(1)
ที่จุด (8, 3) ; 3 = 8 1 a b   
3 = 7 a b   …..(2)
(1) (2); 2 = 1 a 7 a   

52. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
กรณี 1 ; a 1
2 = (1 a) (7 a)   
2 = 1 a 7 a   
2 = 6 (เป็นเท็จ)
กรณี 2 ; 1 a 7 
2 = (1 a) (7 a)  
2 = 1 a 7 a  
a = 3
กรณี 3 ; a 7
2 = (1 a) (7 a)  
2 = 1 a 7 a  
2 = 6 (เป็นเท็จ)
แทน a 3 ใน (1); 5 = 1 3 b  
5 = 2 b 
b = 7
พิจารณาสมการ y = x c d 
ที่จุด (2, 5) ; 5 = 2 c d  …..(3)
ที่จุด (8, 3) ; 3 = 8 c d  …..(4)
(3) (4); 2 = 2 c 8 c  
กรณี 1 ; c 2
2 = (2 c) (8 c)  
2 = 2 c 8 c  
2 = 6 (เป็นเท็จ)
กรณี 2 ; 2 c 8 
2 = (2 c) (8 c)   
2 = 2 c 8 c   
c = 6
กรณี 3 ; a 8
2 = (2 c) (8 c)   
2 = 2 c 8 c   
2 = 6 (เป็นเท็จ)

53. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
แทน c 6 ใน (3); 5 = 2 6 d 
5 = 4 d
d = 1
ดังนั้น a b c d 3 7 6 1 15       
49. กาหนดให้ ab เป็นจานวนสองหลัก โดยที่ a, b {1, 2, ..., 9} และ a เท่ากับสองเท่าของ b
ถ้า (310 ab) (465 ba) 2790    แล้ว a b เท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 9
เนื่องจาก ab เป็นจานวนสองหลัก จะได้ว่า ab 10a b  …..(1)
และ ba 10b a  …..(2)
แต่ a 2b
แทนใน (1) ; ab 10(2b) b 21b  
แทนใน (2) ; ba 10b 2b 12b  
จาก (310 ab) (465 ba)   = 2,790
(310 21b) (465 12b)   = 2,790
6,510b 5,580b = 2,790
930b = 2,790
b = 3
จะได้ a 2(3) 6 
ดังนั้น a b 6 3 9   

54. สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
50. กาหนด S เป็นเซตของ (a, b, c, d, e, f) โดยที่ a, b, c, d, e, f {0, 1, 2, ..., 9} ซึ่งมีสมบัติ
สอดคล้องกับ 3 2
a c 4  , b 2
2 d 7  และ 3 2
e f 1   จานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับ
เท่าใด
เฉลย ตอบ 6
S {a, b, c, d, e, f} โดยที่ a, b, c, d, e, f {0, 1, 2, ..., 9}
ใช้วิธีการแทนค่า
จาก 3 2
a c 4  แทนค่า a 2, c 2  จะได้ 3 2
2 2 4  เป็นจริง
จาก b 2
2 d 7  แทนค่า b 3, d 1  จะได้ 3 2
2 1 7  เป็นจริง
แทนค่า b 4, d 3  จะได้ 4 2
2 3 7  เป็นจริง
แทนค่า b 5, d 5  จะได้ 5 2
2 5 7  เป็นจริง
จาก 3 2
e f 1   แทนค่า e 0, f 1  จะได้ 3 2
0 1 1   เป็นจริง
แทนค่า e 2, f 3  จะได้ 3 2
2 3 1   เป็นจริง
จะได้ a 2 , b 3, 4, 5 , c 2 , d 1, 3, 5 , e 0, 2 , f 1, 3
ดังนั้น S {0, 1, 2, 3, 4, 5} ซึ่ง n(S) 6