ใบความรู้เรื่อง เซต เป็นการศึกษาความรู้เกี่ยวกับความหมายของเซต การดำเนินการของเซต เป็นต้น

1. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
ใบความรู้ที่ 1
เรื่อง ความหมายของเซตและการเขียนเซต
คาว่า “เซต” ในวิชาคณิตศาสตร์ กล่าวถึง กลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้ว
สามารถบอกได้ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม ( เป็นความจริงไม่ใช่ความรู้สึกส่วนตัว)
เช่น เดือนในหนึ่งปี จะกล่าวว่า เซตของเดือนในหนึ่งปี
ผลไม้ในประเทศไทยจะกล่าวว่า เซตของผลไม้ในประเทศไทย
คนที่ดีที่สุดในโลก จะกล่าวว่า ไม่เป็นเซตเพราะไม่สามารถระบุได้ว่าใครดีที่สุด
หมู่บ้านในตาบลห้องแซง จะกล่าว่า ......................................................................
คนสวยที่สุดในโรงเรียน จะกล่าวว่า ......................................................................
เราจะใช้คาว่า “เซต” ก็ต่อเมื่อเราทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนั้นหรือไม่อยู่ในกลุ่มนั้น เช่น เมื่อเรา
กล่าวถึง เดือนที่มี 30 วัน เราทราบได้ทันทีว่ามี เมษายน มิถุนายน กันยายน พฤศจิกายน อยู่ในกลุ่มนี้ ในลักษณะ
เช่นนี้เราจะเรียกกลุ่มดังกล่าวว่า เซตของเดือนที่มี 30 วัน
เราจะไม่ใช้คาว่า “เซต” แทนกลุ่มดังกล่าว ถ้าเราไม่สามารถบ่งบอกได้อย่างแจ่มชัดว่า สมาชิกในกลุ่มนี้มี
ลักษณะอย่างไร เช่น “กลุ่มของคนฉลาด” เราจะไม่ใช้ “เซตของคนฉลาด” เพราะเรายังไม่สามารถสรุปได้ว่า คน
ฉลาดนั้นต้องมีลักษณะอย่างไรบ้าง คนประเภทใดถึงจะเรียกว่าคนฉลาด ดังนั้นเราไม่สามารถแยกแยะได้ชัดเจนว่า
สมาชิกในเซตนี้มีใครบ้าง
ตัวอย่างที่ 1
เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ หมายถึง กลุ่มของวันจันทร์ วันอังคาร วันพุธ วันพฤหัสบดี วันศุกร์ วันเสาร์
และวันอาทิตย์
เซตของพยัญชนะของคาว่า “สุภารัตน์ ” หมายถึง กลุ่มของพยัญชนะ ส ภ ร ต และ น
เซตของจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10 หมายถึง กลุ่มของจานวน 1 2 3 4 5 6 7 8 9
สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า สมาชิก (element หรือ members)
1. การเขียนเซต การเขียนแทนเซตอาจเขียนแทนได้ 2 แบบดังนี้
1.1 การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา
และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว ถ้ามีสมาชิกมากอาจจะละไว้ในฐานที่เข้าใจได้โดยใช้จุด
สามจุด (...) และในกรณีดังกล่าว ถ้ามีสมาชิกตัวสุดท้ายให้เขียนไว้ด้วย
เช่น เซตของสีของธงชาติไทย เขียนแทนด้วย { สีแดง, สีขาว, สีน้าเงิน}
เซตของจานวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนแทนด้วย { 1, 2 , 3, 4}
เซตของจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100 เขียนแทนด้วย { 1, 2, 3, … , 99}
เซตของจานวนนับ เขียนแทนด้วย { 1, 2, 3,… }

2. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
หมายเหตุ ในกรณีที่มีสมาชิกเหมือนกัน เราจะเขียนสมาชิกนั้นเพียงตัวเดียว เช่น
{ 1, 1, 5, 7} เขียนเป็น { 1, 5, 7}
{ 1, 2, 2, 3, 3} เขียนเป็น { 1, 2, 3}
ในการเขียนเซตโดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และแทนสมาชิก
ของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a, b, c เช่น
A = { 1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถึง A เป็นเซตของกาลังสองของจานวนนับหกจานวนแรก
B = { a, e, i, o, u} หมายถึง B เป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ
C = { 1, 2, 3, 4,…, 20} หมายถึง C เป็นเซตของจานวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 20

 = { 1, 2, 3, 4,… } หมายถึง 
 เป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของเดือนที่มี 28 วัน A = { กุมภาพันธ์ }
2. เซตของจานวนนับที่น้อยกว่า 5 B = { 1, 2, 3, 4}
3. เซตของพยัญชนะในภาษาไทย ……………………………………………….
4. เซตของจานวนนับที่มากกว่า 10 ……………………………………………….
5. เซตของจานวนเต็ม .........................................................................
1.2 การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกพร้อมทั้งบอกสมบัติ
หรือบอกเงื่อนไขการเป็นสมาชิก โดยใช้เครื่องหมาย “ | ” คั่นระหว่างตัวแปร และเงื่อนไข ซึ่ง เครื่องหมาย “ | ” แทน
คาว่า
โดยที่ เช่น
A = { x | x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ}
อ่านว่า A เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ
B = { x | x เป็นจานวนเต็มลบที่มากกว่า -6 }
อ่านว่า B เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นจานวนเต็มลบที่มากกว่า -6
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
1. A = { 2, 4, 6, 8, 10} A = { x | x เป็นจานวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12
2. B = { 1, 3, 5, 7} B = { x | x เป็นจานวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9}
3. C = { 1, 4, 9, 16, …, 100} …………………………………………………………
4. D = { 8, 7, 6, 5,…} …………………………………………………………

3. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
2. สมาชิกของเซต
จะใช้สัญลักษณ์ “” แทนคาว่าเป็นสมาชิก เช่น
A = { 2, 4, 6, 8}
จะได้ว่า 2 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 2  A
4 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 4  A
คาว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “” เช่น
5 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 5  A
7 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 7  A
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A = { ก, ข, ค, { ง} } ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก  A
2. ข  A
3. ค  A
4. ง  A
5. { ง }  A
6. { ข }  A
7. { ค }  A
3. จานวน สมาชิกของเซต
ตัวอย่าง ให้ A = {1, 2, 3, 4 }
จะได้ว่า A มีสมาชิก 4 ตัว คือ 1 , 2 , 3 และ 4 เราจะใช้ n (A) เพื่อบอกจานวนสมาชิกของเซต A
นั่นคือ n(A) = 4 ตัว
จงบอกจานวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
A = {2148}
B = {x | x เป็นจานวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 20 และ 30}
C = { 1 , 12 , 123 , 1234 }

4. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
เซตว่าง,เซตจากัด,เซตอนันต์ และการเท่ากันของเซต
1.1 เซตว่าง (Empty set หรือ Null set)
บทนิยาม เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตว่าง
คือ { } หรือ  (สัญลักษณ์  เป็นอักษรกรีก อ่านว่า ฟี (phi)
ตัวอย่างของเซตว่าง ได้แก่
A = {x | x2
< 0 }
B = {x | 2x2
+ 3 = x – 3}
C = {x | x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ ข ”}
1.2 เซตจากัด (Finite set)
บทนิยาม เซตจากัด คือ เซตซึ่งมีจานวนสมาชิกเป็นจานวนเต็มบวกหรือศูนย์
ตัวอย่างเซตจากัด ได้แก่
A = {0, 2, 4, . . . , 10} , n(A) = 11
B = {x  I+
| x < 5} , n(B) = 4
C = {x | x เป็นพยัญชนะในคาว่า “ เซตว่าง ”} , n(C) = 4
1.3 เซตอนันต์ (Infinite set)
บทนิยาม เซตอนันต์ คือ เซตซึ่งไม่ใช่เซตจากัด
ตัวอย่างของเซตอนันต์ ได้แก่
A = {x | x เป็นจานวนเต็มบวก และ x  7}
B = {x | x เป็นจานวนเฉพาะที่มากกว่า 5}

5. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
C = {3, 7, 11, 15, . . .}
ข้อตกลงที่เกี่ยวกับเซต
1) เซตว่างเป็นเซตจากัด
2) การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนิยมเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจานวน 2, 3 ,2 คือ {2, 3}
3) เซตของจานวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่ว ๆ ไป มีดังนี้
I เป็นเซตของจานวนเต็ม หรือ I = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}
I+
เป็นเซตของจานวนเต็มบวก หรือ I+
= {1, 2, 3, . . .}
I-
เป็นเซตของจานวนเต็มลบ หรือ I-
= {-1, -2, -3, . . .}
N เป็นเซตของจานวนนับ หรือ N = {1, 2, 3, . . .}
P เป็นเซตของจานวนเฉพาะ หรือ P = {2, 3, 5, 7, . . .}
เซตที่เท่ากัน (equal sets or identical sets)
บทนิยาม เซต A เท่ากับเซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก
ของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
จากบทนิยาม เซต A เท่ากับเซต B หมายความว่า เซต A และเซต B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว และเซต
A ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิก
อย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต B ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย A  B
ตัวอย่างที่ 1 กาหนด A = {2, 3} , B = {x | x2
– 5x + 6 = 0}
จงแสดงว่า เซต A เท่ากับเซต B
วิธีทา  A = {2, 3}
B = {x | x2
– 5x + 6 = 0}
 x2
– 5x + 6 = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x = 2 หรือ x = 3

6. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
 B = {2, 3}
ดังนั้น A = B
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} ,
C = {1, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 6} จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทา A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6}
จะได้ A = B เพราะว่ามีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
แต่ A  C , B  C เพราะว่า 7  A และ 7  B
สับเซต
นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A  B
แต่ถ้า สมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B เราจะกล่าวว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B เขียนแทน
ด้วย A  B
*** สิ่งที่ควรรู้ *** เซตว่าง ( ) เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต
ตัวอย่างที่ กาหนด A = {1 , 2 , 3} , B = {2 , 3 , 4} , C = {1 , 2 , 3 , 4} , D = {2 , 3 , 4 }
จงพิจารณาหาสับเซตที่เป็นไปได้จะได้ว่า
A  C , B  D , B  C
1) ถ้า A  C แล้ว A ≠ C เรียกว่า A เป็นสับเซตแท้ของ B (Proper Subsets)
2) ถ้า B  D แล้ว B = D เรียกว่า B เป็นสับเซตไม่แท้ของ D (Proper Subsets)
วิธีการหาสับเซต
 ให้นาสมาชิกของเซตนั้น ๆ มาใส่เครื่องหมาย { } ทีละ 1 ตัว หรือ 2 ตัว หรือ 3 ตัว ....
แล้วแต่ว่าเซตนั้นจะมีสมาชิกกี่ตัว
ตัวอย่าง1) จงหาสับเซตทั้งหมดของ A = {1, 2}
n(A) = 2 จะได้ว่า มีสับเซตทั้งหมด 22
= 4 ตัว ดังนี้
ดังนั้น สับเซตทั้งหมด คือ {1} , {2} , {1, 2} และ 
หมายเหตุ  และ ตัวมันเอง จะเป็นสับเซตเสมอ

7. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
ตัวอย่าง 2) จงหาสับเซตทั้งหมดของ B = {3, , {5} }
n(B) = 3 จะได้ว่า มีสับเซตทั้งหมด 23
= 8 ตัว ดังนี้
สับเซตทั้งหมด คือ {3} , {} , {{5}} , {3, } , {3,{5} } , { ,{5} } , {3, , {5} } และ 
แบบฝึกหัด จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตต่อไปนี้
เซต สมาชิกคือ 2n
สับเซตทั้งหมด
A = { }
A = {}
A = {1, 3}
A = {2, 3, 4}
B = { {1}, {1,2} }
B = { 12 ,{} }
B = { ,{} }
เพาเวอร์เซต
เอกสารแนะแนวทาง
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ เซตที่กาหนดให้ สับเซตของเซตที่กาหนดให้
จานวนสับเซต
ทั้งหมดของเซต
ที่กาหนดให้
เพาเวอร์เซตของเซตที่กาหนดให้
1 A = {a} {a} ,  2 = 21
{ {a} , }
2 A = {1, 2} {1}, {2}, {1, 2},  4 = 22
{ {1}, {2}, {1, 2},  }
3 A = {1, 2, 3}

8. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
4 A = {1, 2, 3, 4}
5 A = {a, b, c}
6 A = {a, b}

9. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
แบบฝึกหัด
เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต
1) ให้นักเรียนเขียนสับเซตทั้งหมดของเซตต่อไปนี้
1. A =  จานวนสมาชิกของเซตมี ........ ตัว
จานวนสับเซตทั้งหมดมี ...............เซต ได้แก่...............................................................
2. B = { 1 , 3 }
จานวนสมาชิกของเซตมี ............ ตัว
จานวนสับเซตทั้งหมดมี ...............เซต ได้แก่.................................................................................
3. C = {  , a . 5 }
จานวนสมาชิกของเซตมี ............ ตัว
จานวนสับเซตทั้งหมดมี ...............เซต ได้แก่...................................................................................
2) จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
.......... 1. { 3 }  { {3} } .......... 2.   { {3} }
.......... 3. { 3 }  { {3} } .......... 4. { 0 } = { }
.......... 5.   { } ..........6.  = 0
.......... 7.    ..........8.   {  }
.......... 9.    ..........10. { }  
3) จงหาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้
1. A = {  }
จานวนสมาชิกของเซตมี ........ ตัว
จานวนสับเซตทั้งหมดมี ...............เซต P(A) = ...............................................................................
2. B = { 8 , {7} }
จานวนสมาชิกของเซตมี ........ ตัว
จานวนสับเซตทั้งหมดมี ...............เซต P(B)......................................................................................
3. C = {  , a . 5 }
จานวนสมาชิกของเซตมี ........ ตัว
จานวนสับเซตทั้งหมดมี ...............เซต P(C)....................................................................................