Dokumen tersebut membahas tentang perkembangan konsep integral tentu dari Newton, Leibniz, hingga definisi modern oleh Riemann. Riemann memperkenalkan definisi jumlah Riemann untuk menjelaskan integral secara lebih rinci. Dokumen ini juga menjelaskan sifat-sifat integral tentu seperti ketergantungan hubungan antara turunan dan integral, sifat keterbatasan, sifat pembandingan, serta contoh penerapannya.

1. Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.
in Suryakancana University Cianjur

2.  Newton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yang dini dari konsep integral tentu.
Tetapi Riemannlah yang memberikan kita definisi modern. Dalam perumudan definisi integral
tertentu, dipedomani oleh pemikiran yang dibahas sebelumnya. Gagasan pertama adalah
jumlah Riemaan.

3. Contoh :
1. Halaman 275, Contoh 1 dan 2.
Contoh :
1. Tentukan suatu jumlah Riemann dari
f(x) = 𝑥3
+ 2x pada [1, 5].
2. Tentukan suatu jumlah Riemann dari
f(x) = 𝑥2
+ 1 pada [−1, 2] memakai 6
subinterval sama lebar dan titik
wakilnya adalah ujung kanan tiap
subinterval.

5.  Secara umum, 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 menyatakan batasan luas daerah yang tercakup diantara kurva
𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-x dalam selang [𝑎, 𝑏], yang berarti bahwa tanda positif akan
diberikan pada luas bagian-bagian yang berada di bagian atas sumbu-x, dan tanda
negative diberikan untuk luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. Secara
simbolik,

6. Contoh :
1. Ilustrasikan sifat 3 s/d 5 di atas secara grafik !

8. Contoh :
3. Halaman 282, Contoh 1, 11, dan 21

9.  Kita menghargai penemuan kalkulus oleh Issac Newton dan Gottfried
Leibniz secara bersamaan, tetapi saling bebas. Namun konsep garis
singgung (turunan) dan luas suatu daerah melengkung (integral tentu)
telah dikenal lebih dulu. Mereka memahami dan memanfaatkan hubungan
erat yang ada antara anti turunan dan intergral tentu, suatu hubungan yang
memungkinkan kita untuk menghitung secara mudah nilai yang
sebenarnya dari banyak integral tentu tanpa perlu memakai jumlah
Riemann. Hubungan ini sedemikian pentingnya sehingga ia disebut dengan
TEOREMA DASAR KALKULUS.

10. Contoh :
Halaman 289, Contoh 1, 7, 12, 15, dan 22

11.  Selain kelinearan, integral tentu juga memenuhi :
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏
𝑐
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
 Sifat pembandingan:Jika 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) pada [a,b], maka :
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 <
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
 Sifat keterbatasan:Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 pada [a,b], maka :
𝑚 𝑏 − 𝑎 ≤
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀 𝑏 − 𝑎

13. Contoh :
3. Halaman 297, Contoh 1, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 30
4. Halaman 305, contoh 5, 8, 17, 20, 25, 32.