Downloaded 27 times
Sistem persamaan linier
- 2. Persamaan Linear Sebuah garisdalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a1x + a2y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y.
- 3. Definisi persamaan lineardalam n peubah x1, x2, ….,xn sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b dengan a1,a2,…,an dan b konstanta real. Sistem Persamaan Linier merupakan Set/kumpulan/ lebih dari satu persamaan linier (polinom derajat 2).
- 4. Contoh-contoh Persamaan Linear x+ 3y = 7 x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 8 y = (½)x+3z+1 x1 + x2 +…+ xn = 1 Himpunan semua penyelesaian persamaan tersebut disebut himpunan penyelesaian.
- 5. Perhatikanlah! Sebuah persamaan liniertidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Cari Himpunan penyelesaian dari : 1. 4x – 2y = 1 2. 7x – 5y = 3 3. x – 4y +7z = 5 4. -8x1 + 2x2 - 5x3 + 6x4 = 1
- 6. Definisi : Dua sistempersamaan yang menggunakan peubah - peubah yang sama dikatakan EKUIVALEN jika keduanya mempunyai himpunan penyelesaian yang sama 1. Urutan penulisan dua persamaan dapat dipertukarkan. 2. Kedua ruas dari suatu persamaan dapat dikalikan dg bilangan real. 3. Kelipatan dari suatu persamaan dapat dijumlahkan pada persamaan yang lain. Untuk memperoleh sistem yang ekuivalen lakukan tiga langkah :
- 7. SEBUAH PEMECAHAN Bentuk UmumSistem Persamaan Linier : A11x1 +a12x2+…+a1nxn=b1 A21x1 +a22x2+…+a2nxn=b2 : : : : : am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
- 8. Sistem PersamaanLinier diatas mempunyai n bilangan yang tidak diketahui dengan m jumlah persamaan. pemecahan persamaan akan terpenuhi jika; x1=s1, x2=s2, …, xn=sn. s1, s2, …, sn merupakan himpunan pemecahan, sehingga sistem persamaan dikatakan Konsisten dan sebaliknya.
- 9. Sebarang sistem persamaanlinier akan mempunyai : Tidak ada pemecahan Persis satu pemecahan Tak terhingga banyaknya pemecahan Contoh : 4x – y + 3z = -1 3x + y + 9z = -4 mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2 dan z = -1, karena nilai - nilai ini memenuhi kedua persamaan di atas.
- 10. Sistem Persamaan Linear Tidak KonsistenKonsisten Jawab Tunggal Jawab Banyak
- 11. x y l1 l2 Tidak mempunyai penyelesaian Garisl1 dan l2 sejajar, dimana tidak ada perpotongan maka tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.
- 12. x y l1 l2 Mempunyai satu penyelesaian Garisl1 dan l2 berpotongan hanya di satu titik, maka sistem tersebut tepat mempunyai satu penyelesaian.
- 13. x y l1 dan l2 Mempunyaitak hingga penyelesaian Garis l1 dan l2 berimpit, dimana ada tak berhingga titik potong maka terdapat banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.
- 14. Langkah mencari pemecahandari suatu sistem persamaan Linier dengan Operasi Baris Elementer (OBE): 1. Susun dalam matriks yang diperbesar. 2. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol 3. Pertukarkanlah dua baris. 4. Tambahkanlah kelipatan dari satu baris kepada baris yang lainnya. Point 2, 3,dan 4 merupakan Operasi Baris Elementer
- 15. Matriks yang diperbesar/ diperbanyak. ( augmented matriks ) Misal, suatu sistem : x1 + 2x2+ x3 = 3 3x1 - x2 + 3x3 = -1 2x1+ 3x2+ x3 = 4 dapat diasosiasikan sebagai suatu jajaran bilangan - bilangan dengan orde 3 x 3 yang angka - angkanya adalah koefisien dari xi. Jajaran ini disebut sebagai matriks koefisien dari sistem yang bersangkutan. −− 132 313 121
- 16. Jika pada matrikskoefisien tersebut, disisipkan suatu kolom tambahan yang berisi angka - angka diruas kanan dari sistem, maka diperoleh matriks baru yang disebut matriks yang diperbesar / diperbanyak. −− − 4 1 3 1 3 1 32 13 21
- 17. Note : Diagonalmerupakan satu utama yang tidak boleh sama dengan nol, jika berharga nol maka harus tukar baris. Setelah melakukan OBE terhadap sistem persamaan linier akan diperoleh bentuk matriks segitiga Matriks segitiga yang diperoleh berbentuk matriks segitiga atas dengan elemen dibawah diagonal utamanya nol. Kemudian kita cari pemecahan dengan substitusi balik
- 18. CONTOH : Carilah pemecahandari sistem persamaan linier berikut : x + y +2z = 9 2x+4y- 3z = 1 3x+6y- 5z = 0
- 19. Bentuk BarisEselon Tereduksi Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi harus mempunyai sifat - sifat berikut ini : 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1. 2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris - baris ini dikelompokkan di bagian bawah matriks. 3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, angka 1 dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan angka 1 dalam baris yang lebih atas. 4. Masing - masing kolom yang berisi angka 1, mempunyai nol di tempat lainnya.
- 20. Contoh matriks -matriks berikut dalam bentuk baris eselon tereduksi. 00 00 , 100 010 001 , 3100 7010 4001 Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 saja (tidak perlu 4) disebut mempunyai bentuk baris eselon. 5100 2610 7341 , 000 010 011 , 0000 4100 2610 7341
- 21. Jika dengan serangkaianoperasi baris dasar elementer, matriks yang diperbanyak untuk sebuah SPL dijadikan bentuk baris eselon tereduksi, maka himpunan penyelesaian sistem tersebut akan terbukti dengan beberapa langkah sederhana. Contoh : 4100 2010 5001 Sistem persamaan yang berpadanan adalah : X1 = 5 X2 = 2 X3 = 4
- 22. Selesaikan sistem persamaandengan membentuk eselon baris : −−− − − 156542 281261042 1270200 Pemecahan Eliminasi Gauss : Merupakan penyelesaian sistem persamaan Linier yang menghasilkan matriks dalam bentuk eselon (tangga) baris
- 23. Langkah 1. Letakkanlahkolom yg paling kiri yang tidak terdiri seluruhnya dari nol −−− − − 156542 1270200 281261042 * Tukarkan baris ke 1 dengan baris ke 2 Langkah 2. Jadikan kolom paling kiri pd baris 1 untuk memperoleh 1 utama −−− − − 156542 1270200 1463521 R1½* R1
- 24. Langkah 3. Tambahkankelipatan yg sesuai dari baris atas kepada baris-baris yang dibawah sehingga entri-entri dibawah 1 utama menjadi nol R3 -2* R1+ R3 −− − − 29170500 1270200 1463521 Langkah 4. Sekarang tutuplah baris paling atas, Ulangi langkah 1, 2, dan 3 untuk baris yang tersisa.
- 25. −− −− − 29170500 62/70100 1463521 R2-½* R2 R3 -5*R2+ R3 −− − 12/10000 62/70100 1463521
- 26. R32 * R3 −− − 210000 62/70100 1463521 Langkahselanjutnya kita dapat menyelesaikannya dengan substitusi balik maupun dengan menjadikan bentuk eselon baris yang tereduksi (entri bukan nol pertama dalam setiap baris) Proses menggunakan operasi - operasi baris elementer untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris yang tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk baris eselon disebut eliminasi Gaussian.
- 27. R27/2 * R3+ R2 − 210000 100100 203521 R1-6 * R3 + R1 R15 * R2 + R1 210000 100100 703021
- 28. Kemudian kita memperolehhasil sbb : X1+2x2+ 3x4 =7 x3 = 1 x5 = 2 x1= -2x2 - 3x4 + 7 = -2. r – 3. t + 7 X2 = r x4 = t x3 = 1 x5 = 2 Sistem tersebut konsisten dengan tak berhingga banyaknya pemecahan.
- 29. Prosedur untuk mereduksisuatu matriks menjadi bentuk baris eselon tereduksi disebut eliminasi Gauss- Jordan, sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk baris eselon disebut eliminasi Gaussian.
- 30. Sistem LinearHomogen Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika konstantanya semua nol, yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk : a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = 0 : : : : :
- 31. Sebuah sistempersamaan linear homogen dengan jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian. Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai x = 0, y = 0 dan z = 0,…, zn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial, jika ada penyelesaian yang lain maka penyelesaiannya disebut penyelesaian tak trivial.
- 32. Karena sistem linearhomogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, maka hanya ada dua kemungkinan untuk penyelesaiannya : 1. Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial. 2. Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian di samping penyelesaian trivial.