Integral Riemann digunakan untuk menghitung luas area di bawah kurva f(x) antara batas x=a dan x=b. Integral dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan mengumpulkan luas persegi kecil di setiap bagian. Integral memberikan nilai rata-rata f(x) pada interval tersebut.

1. INTEGRAL TERTENTU
(RIEMANN)

2. • Integral tertentu (Riemann)
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area
yang terletak diantara y=f(x) dan sumbu horisontal x,
dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x=a
dan x=b.
• Integral tidak tertentu

3. • If there are n slices, each slice will have width
∆x = ( b − a ) n
• The interval [a,b] will be partitioned into n subintervals
[xo,x1], [x1,x2], …, [xn-1,xn]
where
xo=a, x1=a+Δx, x2=a+2Δx, …, xn=b
• The points xo, x1, …, xn are called partition points.
• On each subinterval [xk-1,xk], we form the rectangle of
height f(xk-1).
• The kth rectangle will have area: f(xk-1)• Δx

4. • The Riemann sum

7. Contoh 1:

11. Sifat Integral Riemann

13. Kelinearan integral Riemann
• Misalkan bahwa f dan g terintegralkan pada [a, b] dan k
konstanta, maka kf dan f = g terintegrasikan dan:

14. Teori Dasar Kalkulus I
• Misal f(x) kontinu pada interval [a, b] dan F(x) disebut sebagai anti
turunan dari f(x) sehingga:
F ' ( x ) = f ( x)
contoh :
jika f ( x ) = x 3 maka F ( x ) =
maka:
x
F ( x) =
∫ f (t )dt
a
dengan notasi lain:
x
d
∫ f (t )dt = f ( x)
dx a
F ' ( x) = f ( x)
d
( F ( x) ) = f ( x)
dx
x
d
f ( t ) dt = f ( x )
dx a
∫
1 4
x +5
4

15. Teori Dasar Kalkulus II
• Misal f(x) kontinu pada interval [a, b] dan F(x) suatu anti
turunan dari f(x), maka:
b
∫ f (x ) dx = F (b ) − F ( a )
a

16. Contoh:
Perlihatkan bahwa:
b2 a2
x dx = −
a
2
2
∫
b

17. Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral
• Jika f fungsi kontinu pada [a, b] maka terdapat sebuah
bilangan c pada [a, b] sedemikian sehingga:
atau
f (c) merupakan nilai rata-rata integral dari f(x)

18. Contoh:
Tentukan nilai rata-rata fungsi f(x) = x2 + 1 pada interval
[1,3].