SISTEM PERSAMAAN LINIER Pada Matematika Dasar

1. BAB X
SISTEM PERSAMAAN LINIER

2. 10.1 Definisi
Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri
dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah
mempunyai derajad satu.
Sebagai contoh persamaan ax + by + cz + dw = h
adalah persamaan linier yang terdiri dari empat
peubah, yaitu x, y, z, dan w.
Sedangkan a, b, c, dan d adalah koefisienkoefisien.
Jika nilai h pada persamaan tersebut = 0, maka
persamaan linier tersebut dikatakan persamaan
linier homogen.
Apabila nilai h tidak sama ≠ 0 , maka dikatakan
persamaan linier tak homogen.

3. Bentuk umum sistem persamaan
a seluruh nilai b 1 , b 2 , … , b m sama dengan nol, maka persama
.1 disebut sistem persamaan linier homogen. Akan tetapi, jik
idak-tidaknya ada salah satu dari nilai b 1 , b 2 , … , b m ≠ 0, mak
rsamaan 10.1 disebut sistem persamaan linier tak homogen.
ersamaan 10.1 dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut.
(10.2)

4. Contoh 10.1
rikut diberikan beberapa contoh sistem persamaan linier
Contoh 10.2
Tulis contoh 10.1 dalam bentuk matriks
Penyelesaian

5. 2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier
10.2.1 Penyelesaian dengan Balikan Matriks
Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang
ditulis dalam bentuk matriks.
Jika dimisalkan,
maka Ax = b
Sehingga
Persamaan 10.3 digunakan untuk penyelesaian sistem
persamaan linier dengan cara menentukan balikan
matriks A terlebih dahulu.

6. Contoh 10.3
Selesaikan sistem persamaan linier berikut!
Penyelesaian

7. 2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat
menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara
eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 10.1
ditulis dalam bentuk matriks yang diperluas
( augmented matrix ).
Untuk melakukan eliminasi Gauss, kita harus mereduksi
matriks A menjadi bentuk eselon baris atau matriks segitig
atas.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier dengan eliminasi Gauss:

8. Jika a 11 ≠ 0, maka a 11 merupakan elemen pivot.
Jika a 11 = 0, lakukan pertukaran baris.
liminasi a 21 dengan menggunakan rumus R 2 – (a 21 /a 11 )R 1
a 31 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 31 /a 11 )R 1
:
a:
dengan menggunakan rumus R m – (a m1 /a( m)R (m-1)
1)1
m1
liminasi a 32 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 32 /a 22 )R 2
a 42 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 42 /a 22 )R 2
:
a:
R2
m2
dengan menggunakan rumus R m – (a m2 /a 22 )
dst. sampai baris m dan kolom ke (n–1)

9. Contoh 10.3
elesaikan sistem persamaam linier berikut!
Penyelesaian:
R2 – ½ R1
R 3 – 3R 1
R 3 – (–16/3)R 2

10. 11/3 x 3 = –64/3 → x 3 = –64/11
Untuk menentukan nilai x 1 dan x 2 lakukan
substitusi balik! –
3/2 x +1/2x =
5/2
3/2 x 2 = 32/11 – 5/2 → x 2 = 3/11
2
3
x 1 + 3/2x 2 + 1/2x 3 = 5/2
x 1 = – 9/22 +32/11+ 55/22
x 1 = 110/22 = 5
2.3 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan
Cara lain untuk menyelesaikan sistem
persamaan linier adalah dengan metode
eliminasi Gauss-Jordan.
Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam
bentuk [A|b].

11. anjutnya lakukan transformasi sehingga matriks A menjadi
triks eselon baris yang tereduksi atau matriks identitas [I].
ngkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linie
ngan eliminasi Gauss-Jordan:
ka a 11 ≠ 0, maka a 11 merupakan elemen pivot.
ka a 11 = 0, lakukan pertukaran baris.
ka a 11 ≠ 1, bagi elemen a 11 dengan a 11 , sehingga a 11 =1
Eliminasi a 21 dengan menggunakan rumus R 2 – a 21 R 1
a 31 dengan menggunakan rumus R 3 – a 31 R 1
:
:
a m1 dengan menggunakan rumus R m – a m1 R m – 1
ika setelah langkah 3, a 22 ≠ 0, maka a 22 merupakan elemen p
Jika a 22 = 0, lakukan pertukaran baris.

12. Jika a 22 ≠ 1, bagi elemen a 22 dengan a 22 , sehingga a 22 =1
Eliminasi a 12 dengan menggunakan rumus R 1 – a 12 R 2
a 32 dengan menggunakan rumus R 3 – a 32 R 2
:
:
a m2 dengan menggunakan rumus R m – a m2 R 2
st. sampai seluruh elemen di luar diagonal terleliminasi,
ehingga matriks A berhasil ditransformasikan menjadi matr
dentitas.
Contoh 10.4
Selesaikan sistem persamaam linier berikut!
Penyelesaian:

13. ½ R1
R2 – R1
R 3 – 6R 1

14. 2.4 Penyelesaian dengan Aturan Cramer
Selain metode penyelesaian yang telah dijelaskan terdahul
sistem persamaan linier dapat juga diselesaikan dengan
menggunakan Aturan Cramer.
Telah dijelaskan terdahulu bahwa sistem persamaan linier
dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut.

15. Aturan Cramer
x n = Nilai variabel yang akan dicari
|An| = Determinan matriks A, dengan terlebih dahulu
mengganti kolom ke n dengan elemen-elemen
pada matriks b
|A| = Determinan matriks A

16. ari persamaan (10.4) secara tersirat diketahui bahwa
uran Cramer hanya dapat digunakan jika |A| ≠ 0
rtinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier
arus sama dengan jumlah variabel.
Contoh 10.5
lesaikan sistem persamaam linier berikut dengan mengguna
uran Cramer!
Penyelesaian

18. 10.4 Ringkasan
Jika seluruh nilai b 1 , b 2 , … , b m = 0 maka sistem
persamaan linier disebut homogen.
Jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b 1 , b 2 , … , b m ≠
sitem persamaan linier disebut tak homogen.

19. tem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks.
Jika
Maka Ax = b

20. Penyelesaian dengan Balikan Matriks
rsamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis
am bentuk matriks.
Jika dimisalkan,

21. Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat
menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara
eliminasi Gauss.
C adalah matriks segitiga atas.