Dokumen ini membahas tentang distribusi peluang variabel acak kontinu, termasuk distribusi normal, distribusi t (student), distribusi chi-kuadrat, dan distribusi F. Setiap distribusi mempunyai karakteristik dan aplikasi statistik yang berbeda, terutama dalam pengujian hipotesis dan estimasi interval. Penjelasan juga mencakup rumus dan sifat-sifat dari masing-masing distribusi dalam konteks analisis data.

1. STATISTIKA DASAR
Pertemuan ke-10
http://slideshare.net/QuKumeng

2. DISTRIBUSI PELUANG
VARIABEL ACAK KONTINU
Berbeda dengan variabel random diskrit, sebuah variabel
random kontinyu adalah variabel yang dapat mencakup
nilai pecahan maupun mencakup range / rentang nilai
tertentu.
Karena terdapat bilangan pecahan yang jumlahnya tidak
terbatas, kita tidak dapat menuliskan semua nilai yang
mungkin bersama dengan probabilitasnya masing – masing
dalam bentuk tabel. Namun dipakai fungsi kepadatan
probabilitas (Probability Density Function : pdf). Plot untuk
fungsi seperti ini disebut kurva probabilitas dan nilai
probabilitasnya dinyatakan sebagai luas suatu kurva yang
bernilai positif. Contoh ditribusi peluang kontinu :
1. Distribusi Normal Baku
2. Distribusi t atau Distribusi Student
3. Distribusi Kurva Khi-Kuadrat
4. Distribusi F

3. Distribusi Normal Baku
Distribusi normal adalah distribusi yang paling
penting diantara distribusi yang lain. Nama lainnya:
distribusi Gauss (Gaussian distribution). Kurva dari
distribusi normal mempunyai bentuk setangkup
seperti lonceng :
Fungsi padat peluang (pdf)
dari peubah acak normal X
dengan rataan μ dan variansi
𝜎2 yang memiliki distribusi
normal adalah:
𝑛 𝑥; 𝜇, 𝜎 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−1/2
𝑥−𝜇
𝜎
2
, −∞ < 𝑥 < ∞
yang dalam hal ini π = 3.14159... dan e = 2.71828...

4. Distribusi Student(Distribusi t)
Distribusi T adalah pengujian hipotesis yang menggunakan
distribusi T sebagai uji statsistik, table pengujiannya disebut table T
student. Cirinya : sample yang di uji berukuran kurang dari 30.
Distribusi T pertama kali diterbitkan tahun 1908 dikembangkan
oleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, ia
menggunakan nama samaran “Student”, sehingga kemudian
metode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. William
menganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusi
normal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudian
mengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusi
normal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusi
student ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar.
Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada n
yang sangat besar, misalnya n=10.000, nilai distribusi t sama persis
dengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 dan
bandingkan dengan nilai Z).

5. Distribusi Student(Distribusi t)
Ciri-Ciri Distribusi T
a. Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ).
b. Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat
signifikan (α) dan besarnya derajat bebas (db).
Fungsi Pengujian Distribusi T
a. Untuk memperkirakan interval rata-rata.
b. Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatu
sampel.
c. Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis.
d. Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah
layak untuk dipercaya.

6. Distribusi Student(Distribusi t)
Untuk sampel ukuran 𝑛 ≥ 3 , taksiran σ2 diperoleh dengan
menghitung nilai 𝑆2 . Untuk sampel ukuran 𝑛 ≥ 30 , maka 𝑆2
memberikan taksiran σ2 yang baik. Dan distribusi statistik ( 𝑋 −
𝜇)/(
𝑆
𝑛
) masih secara hampiran, berdistribusi sama dengan peubah
normal baku z.
Bila ukuran sampel 𝑛 < 30, nilai 𝑆2
berubah cukup besar dari
sampel ke sampel dan distribusi peubah acak ( 𝑋 − 𝜇)/(
𝑆
𝑛
) tidak lagi
berdistribusi normal baku.
Misalkan 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎 𝑛
peubah acak normal baku dan𝑉 =
(𝑛−1)𝑆2
σ2 peubah
acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝑣 = 𝑛 − 1.
Jika Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak :
𝑇 =
( 𝑋 − 𝜇) ( 𝜎 𝑛)
𝑆2 𝜎2
=
𝑍
𝑉(𝑛 − 1)

7. Distribusi Student
(Distribusi t)
Distribusi sampel T di dapat dari anggapan bahwa sampel
acak berasal dari populasi normal.
𝑇 =
( 𝑋 − 𝜇) ( 𝜎 𝑛)
𝑆2 𝜎2
=
𝑍
𝑉(𝑛 − 1)
Dengan ,
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 𝑛
Berdistribusi normal baku, dan
𝑉 =
𝑛 − 1 𝑆2
𝜎2
Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-
kuadrat dengan derajat kebebasan v.

8. Distribusi Student
(Distribusi t)
Bila z dan v bebas, maka distribusi peubah acak T :
𝑇 =
𝑍
𝑉 𝑣
Diberikan oleh,
ℎ 𝑡 =
Γ 𝑣 + 1 2
Γ 𝑣 2 𝜋𝑣
1 +
𝑡2
𝑣
− 𝑣+1 2
Ini di kenal dengan nama distribusi t dengan derajat
kebebasan v.
Distribusi Z dan T berbeda karena variansi T bergantung pada
ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1.
Hanya bila ukuran sampel 𝑛 → ∞ kedua distribusi menjadi
sama.

9. Distribusi Student
(Distribusi t)
Pada gambar dibawah diperlihatkan hubungan antara distribusi
normal baku (𝑣 = ∞) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2
dan 5.
Karena distribusi t setangkup
terhadap rataan nol, maka
𝑡1−𝛼 = −𝑡 𝛼; yaitu, nilai t yang
luas sebelah kanannya 1 − 𝛼 ,
atau luas sebelah kirinya 𝛼 ,
sama dengan minus nilai t
yang luas bagian kanannya 𝛼.
Panjang selang nilai t yang dapat diterima tergantung pada
bagaimana pentingnya 𝜇. Bila 𝜇 ingin ditaksir dengan ketelitian
yang tinggi, sebaiknya digunakan selang yang lebih pendek seperti
−𝑡0,05 sampai 𝑡0,05.

10. Distribusi Student
(Distribusi t)
Sifat-sifat kurva t :
• Kurva setangkup terhadap rataan 0.
• Kurva berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda
satu sama lain dengan distribusi Z karena nilai T
tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah yaitu 𝑋
dan 𝑆2
sedangkan nilai Z hanya tergantung pada
perubahan 𝑋.
• Kedua ujung kurva mendekati sumbu X asimtot datarnya.
• Seluruh luas di bawah kurva sama dengan 1.
Contoh soal : Lihat halaman 147

11. DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
Grafik distribusi chi-kuadrat bergantung pada derajat kebebasan 𝜃,
yang umumnya merupakan kurva positif dan miring ke kanan.
Kemiringan kurva ini akan semakin berkurang jika derajat
kebebasasan 𝜃 makin besar. Untuk 𝜃 = 1 dan 𝜃 = 2, bentuk
kurvanya berlainan daripada untuk 𝜃 ≥ 3.
Distribusi chi-kuadrat mempunyai rata-rata dan variansi sebagai
berikut :
Rata-rata : 𝜇 = 𝐸(𝜒2) = 𝜃
Variansi : 𝜎2 = 2𝜃
Probablitas suatu sampel acak yang menghasilkan nilai 𝜒2
yang
lebih besar dari suatu nilai tertentu, sama dengan luas daerah di
bawah kurva di sebelah kanan nilai tersebut. Nilai tertentu tersebut
biasanya ditulis dengan 𝜒2
𝛼. Dengan demikian 𝜒2
𝛼 menyatakan nilai
𝜒2
𝛼 yang luas di sebelah kanannya sama dengan 𝛼. Daerah yang
luasnya sama dengan 𝛼 ini dinyatakan oleh daerah yang diarsir.

12. DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
Nilai-nilai kritis 𝜒2
𝛼 untuk berbagai nilai 𝛼 dan derajat kebebasan 𝜃
tersedia pada tabel distribsi chi-kuadrat.
Untuk 𝛼 = 0,05, disebelah kanan, dan 𝜃 = 10, maka nilai kritis 𝜒2
0,05 =
18,307. Karena kurva distribusi chi-kuadrat tidak simetri, maka luas
daerah di sebelah kiri harus dicari. Luas daerah sebelah kiri, yaitu
1– 𝛼 = 1 − 0,05 = 0,95. Derajat kebebasan 𝜃 = 10, maka diperoleh
𝜒2
0,95 = 3,940.
Cari : nilai kritis untuk 𝜒2
0,01 dan 𝜒2
0,99 dengan 𝜃 = 5 dan 𝜒2
0,01 dan
𝜒2
0,99 dengan 𝜃 = 11.
Bila 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛 merupakan variable acak yang masing-masing
terdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 dan semua
variabel acak tersebut bebas satu sama lain, maka variabel acak berikut
ini :
𝑌 =
𝑖=1
𝑛
(
𝑋𝑖 − 𝜇
𝜎2
)2
mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜃 = 𝑛.

13. DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
Bila diambil sampel acak berukuran 𝑛 dari populasi berdistribusi normal
dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 , dan pada setiap sampel tersebut
dihitung variansi 𝑆2, maka variabel acak berikut ini, yaitu :
𝜒2
=
(𝑛 − 1)𝑆2
𝜎2
mempunyai distribsi chi-kuadrat χ2 dengan deraja kebebasan 𝜃 = 𝑛 − 1.
Interval Kepercayaan 𝝌 𝟐 =
(𝒏−𝟏)𝑺 𝟐
𝝈 𝟐
Secara umum, interval kepercayaan untuk χ2 sebesar 1 − 𝛼 dinyatakan
sebagai :
𝑃 𝜒1−
𝛼
2
2
< χ2 < 𝜒 𝛼
2
2
= 1 − 𝛼
Nilai kritis χ2
1- α/2 membatasi luas daerah di sebeleah kanan sebesar 1 −
𝛼/2 pada derajat kebebasan 𝜃 = 𝑛 − 1 . Sedangkan nilai kritis χ2
α/2
membatasi luas daerah di sebelah kanan sebesar 𝛼/2 pada derajat
kebebasan 𝜃 = 𝑛 − 1.
Dengan mensubstitusikan nilai (𝑛 − 1)𝑆2 maka diperoleh :
𝑃
(𝑛 − 1)𝑆2
χ2
α/2
< χ2 <
(𝑛 − 1)𝑆2
χ2
1−α/2
= 1 − 𝛼

14. DISTRIBUSI F
Statistik F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-
kuadrat yang bebas, masing – masing dibagi dengan derajat
kebebasannya.
Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing – masing
berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 .
Maka distribusi peubah acak :
𝐹 =
𝑈
𝑣1
𝑉
𝑣2
Diberikan oleh :
ℎ 𝑓 =
Γ 𝑣1 + 𝑣2 2 𝑣1 𝑣2
𝑣1 2
Γ 𝑣1 2 Γ 𝑣2 2
.
𝐹
1
2 𝑣1−2
1 +
𝑣1 𝐹
𝑣2
1
2 𝑣1+𝑣2
= 0 ,0 < 𝑓 < ∞ , untuk f lainnya
ini dikenal dengan nama distribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣1
dan 𝑣2.

15. DISTRIBUSI F
Kurva distribusi F tidak hanya tergantung pada kedua
parameter 𝑣1 dan 𝑣2 tapi juga pada urutan keduanya
ditulis.begitu kedua bilangan itu ditentukan maka kurvanya
menjadi tertentu. Dibawah ini adalah kurva khas distribusi F :

16. DISTRIBUSI F
Di bawah ini gambar kurva nilai tabel distribusi F
Lambang 𝑓𝛼 nilai f tertentu peubah acak F sehingga disebelah
kanannya terdapat luas sebesar 𝛼. Ini digambarkan dengan daerah
yang dihitami pada gambar 2. Pada tabel memberikan nilai 𝑓𝛼
hanya untuk 𝛼 = 0,05 dan 𝛼 = 0,01 untuk berbagai pasangan
derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 Jadi, nilai f untuk derajat kebebasan 6
dan 10 , sehingga luas daerah sebelah kanannya 0,05 adalah 𝑓0,05 =
3,22.

17. DISTRIBUSI F
Tulislah 𝑓𝛼(𝑣1, 𝑣2) untuk 𝑓𝛼 dengan derajat kebebasan 𝑣1 dan
𝑣2, maka :
𝑓1−𝛼 𝑣1, 𝑣2 =
1
𝑓𝛼 𝑣2, 𝑣1
Bila 𝑆1
2
dan 𝑆2
2
variansi sampel acak ukuran 𝑛1 dan 𝑛2 yang
diambil dari dua populasi normal, masing-masing dengan
variansi 𝜎1
2
dan 𝜎2
2
, maka :
𝐹 =
𝑆1
2
𝜎1
2
𝑆2
2
𝜎2
2 =
𝜎2
2
𝑆1
2
𝜎1
2
𝑆2
2
Berdistribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣1 = 𝑛1 − 1 dan
𝑣2 = 𝑛2 − 1.