Mahasiswa Universitas Suryakancana Tingkat II semester I

1. Statistika Dasar
Pertemuan ke-5
http://slideshare.net/QuKumeng

2. Ukuran Simpangan atau Ukuran Depresi
• Ukuran ini biasa pula disebut dengan ukuran variasi, yang
menggambarkan bagaimana berpencarnya data
kuantitatif
• Beberapa ukuran depresi yang terkenal :
a. Rentang
b. Rentang antar kuartil
c. Simpangan kuartil (deviasi kuartil)
d. Rata-rata simpangan (rata-rata deviasi)
e. Simpangan baku (standar deviasi)
f. Varians
g. Koefisien variasi

3. Rentang, Rentang antar Kuartil, dan
Simpangan Kuartil
a. Ukuran variasi yang paling mudah ditentukan ialah
rentang.
𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙
Contoh : Untuk ke 80 data yang ada, dengan data
terbesarnya = 99 dan data terkecil = 35, maka rentangnya
= 99 – 35 = 64.
b. Rentang antar kuartil merupakan selisih antara 𝐾3 dan
𝐾1. Jadi didapatlah hubungan :
𝑅𝐴𝐾 = 𝐾3 − 𝐾1
c. Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut pula
rentang semi antar kuartil, harganya setengah dari
rentang antar kuartil. Jadi :
𝑆𝐾 =
1
2
(𝐾3 − 𝐾1)

4. Contoh :
Tabel I
Upah Tiap Jam untuk 65 pegawai
Upah (Rp) 𝒇𝒊
50,00 – 59,99
60,00 – 69,99
70,00 – 79,99
80,00 – 89,99
90,00 – 99,99
100,00 – 109,99
110,00 – 119,99
8
10
16
14
10
5
2
Σ 65
Tentukan :
a. Rentangnya
b. Rentang antar kuartilnya
c. Simpangan kuartil
a. 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 = 119,99 − 50,00 = 69,99
b. 𝑅𝐴𝐾 = 𝐾3 − 𝐾1 = 𝑅𝑝. 90,75 − 𝑅𝑝. 68,25
= 𝑅𝑝. 22,50
Ditafsirkan bahwa 50% dari data, nilainya
paling rendah Rp. 68,25 dan paling tinggi
𝑅𝑝. 90,75 dengan perbedaan 𝑅𝑝. 22,50
c. 𝑆𝐾 =
1
2
𝑅𝑝. 22,50 = 𝑅𝑝. 11,25
Sumber : Metode Statistika

5. Rata – rata Simpangan (rata-rata deviasi)
• 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 = 𝑥𝑖 − 𝑥 , baca : harga mutlak dari selisih 𝑥𝑖
dengan 𝑥.
• Rata-rata simpangan atau rata-rata deviasinya :
𝑅𝑆 =
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛
Dengan RS merupakan rata-rata simpangan.
Contoh : lihat buku pegangan halaman 93.

6. Simpangan Baku atau Standar Deviasi
• Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk sampel,
simpangan baku diberi symbol s, sedangkan untuk populasi diberi
symbol 𝜎 (sigma).
• Varians untuk sampel berukuran n :
𝑠2 =
Σ 𝑥𝑖 − 𝑥
2
𝑛 − 1
• Untuk simpangan baku s, dari 𝑠2 diambil harga akarnya yang positif.
• Varians 𝑠2
dihitung sebagai berikut :
a. Hitung rata-ratanya 𝑥
b. Tentukan selisih 𝑥1 − 𝑥, 𝑥2 − 𝑥, … , 𝑥 𝑛 − 𝑥
c. Tentukan kuadrat selisihnya 𝑥1 − 𝑥 2, 𝑥2 − 𝑥 2, … , 𝑥 𝑛 − 𝑥 2
d. Kuadrat – kuadrat tersebut dijumlahkan
e. Jumlah tersebut dibagi oleh (𝑛 − 1).

7. Contoh :
Tabel II Tentukan :
a. Rata-ratanya
b. Jumlah kuadrat dari 𝑥𝑖 − 𝑥 2
c. Varians nya
d. Simpangan bakunya
a. 𝑥 =
8+7+10+11+4
5
= 8
b. 𝑥𝑖 − 𝑥 2 = 30
c. 𝑠2 =
Σ 𝑥 𝑖− 𝑥 2
𝑛−1
=
30
4
= 7,5
d. 𝑠 = 7,5 = 2,74
Sumber : Metode Statistika
𝒙𝒊 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2
8
7
10
11
4
0
-1
2
3
-4
0
1
4
9
16

8. Simpangan Baku atau Standar Deviasi
• Bentuk lain dari Varians untuk sampel berukuran n :
𝑠2
=
𝑛. Σ𝑥𝑖
2 − Σ𝑥𝑖
2
𝑛(𝑛 − 1)
Carilah standar deviasi 𝑠2
dengan data sebelumnya
menggunakan rumus di
atas.
Tabel III
Sumber : Metode Statistika
𝒙𝒊 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2
8
7
10
11
4
0
-1
2
3
-4
0
1
4
9
16

9. Simpangan Baku atau Standar Deviasi
• Jika data dalam sampel disusun dalam daftar
distribusi frekuensi maka Varians untuk sampel
berukuran n :
𝑠2 =
Σ𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2
(𝑛 − 1)
Atau
𝑠2 =
𝑛. Σ𝑓𝑖 𝑥𝑖
2
− Σ𝑓𝑖 𝑥𝑖
2
𝑛(𝑛 − 1)

10. Contoh :
Tabel IV
Nilai rata-rata ujian statistika
Sumber : Metoda Statistika
Nilai Ujian 𝒇𝒊
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
1
2
5
15
25
20
12
80
Tentukan :
a. Rata-ratanya
b. Variansnya menggunakan rumus 1
c. Simpangan bakunya menggunakan
rumus 1
d. Variansnya menggunakan rumus 2
e. Simpangan bakunya menggunakan
rumus 2

11. Simpangan Baku atau Standar Deviasi
• Cara sandi atau cara singkat untuk mencari
simpangan baku atau standar deviasi adalah :
𝑠2 = 𝑝2
𝑛. Σ𝑓𝑖 𝑐𝑖
2
− Σ𝑓𝑖 𝑐𝑖
2
𝑛(𝑛 − 1)
Dengan 𝑝 = panjang kelas interval
𝑐𝑖 = nilai sandi dan 𝑛 = 𝑓𝑖

12. Contoh :
Tabel IV
Nilai rata-rata ujian statistika
Sumber : Metoda Statistika
Nilai Ujian 𝒇𝒊
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
1
2
5
15
25
20
12
80
Tentukan :
a. Rata-ratanya
b. Variansnya menggunakan cara sandi
c. Simpangan bakunya menggunakan
Cara sandi

13. Simpangan Baku gabungan dari 𝒌 subsampel :
Merupakan simpangan baku dari beberapa sub sampel lalu dijadikan satu.
Jika terdapat 𝑘 buah sub sampel masing-masing dengan keadaan berikut :
• Sub sampel 1 : berukuran 𝑛1 dengan simpangan baku 𝑠1
• Sub sampel 2 : berukuran 𝑛2 dengan simpangan baku 𝑠2
…
• Sub sampel 𝑘 : berukuran 𝑛 𝑘 dengan simpangan baku 𝑠 𝑘
Maka simpangan baku gabungan dari 𝑘 buah sub sampel :
𝑠2 =
Σ(𝑛𝑖 − 1)𝑠1
2
𝑛𝑖 − 𝑘
Atau selengkapnya
𝑠2
=
𝑛1 − 1 𝑠1
2
+ 𝑛2 − 1 𝑠2
2
+ ⋯ + 𝑛 𝑘 − 1 𝑠 𝑘
2
𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛3

14. Contoh :
Hasil pengamatan pertama terhadap 14 objek memberikan s = 2,75
sedangkan pengamatan yang kedua kalinya terhadap 23 objek
menghasilkan s = 3,08. Maka, varians gabungannya adalah :
𝑠2
=
𝑛1 − 1 𝑠1
2 + 𝑛2 − 1 𝑠2
2 + ⋯ + 𝑛 𝑘 − 1 𝑠 𝑘
2
𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛3
𝑠2 =
14 − 1 2,75 2
+ (23 − 1) 3,08 2
14 + 23 − 2
= 8,7718
sehingga didapat 𝑠 = 8,7718 = 2,96

15. Bilangan Baku dan Koefisien Variasi
• Misalkan terdapat sampel berukuran n dengan data
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 dengan rata-ratanya 𝑥 dan simpangan
bakunya adalah s. Dari sini kita memiliki data baru
𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝑛 dimana :
𝑧𝑖 =
𝑥 𝑖− 𝑥
𝑠
, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
• Jadi diperoleh penyimpangan atau deviasi data dari rata-
rata dinyatakan dalam satuan simpangan baku. Bilangan
yang didapat dinamakan bilangan z. Variabel 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝑛
ternyata memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1.

16. Bilangan Baku dan Koefisien Variasi
• Dalam penggunaanya, bilangan z ini sering diubah
menjadi distribusi baru, yang memiliki rata-rata 𝑥0 dan
simpangan baku 𝑠0 yang ditentukan. Bilangan yang
diperoleh dengan cara ini dinamakan bilangan baku atau
bilangan standar dengan rata-rata 𝑥0 dan simpangan
baku 𝑠0 dengan rumus :
𝑧𝑖 = 𝑥0 + 𝑠0
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑠
• Perhatikan bahwa untuk 𝑥0 = 0 dan 𝑠0 = 1, sehingga
bilangan z sering disebut pula bilangan standar.

17. Bilangan Baku dan Koefisien Variasi
• Contoh : Seorang mahasiswa mendapat nilai 86 pada ujian
akhir matematika dimana rata-rata dan simpangan baku
kelompoknya masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir
statistika dimana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku
18, ia mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana ia mencapai
kedudukan yang lebih baik?
• didapat bilangan baku :
a. untuk matematika 𝑧 =
86−78
10
= 0,8
b. untuk statistika 𝑧 =
92−84
18
= 0,44
• Maka mahasiswa tersebut mendapat 0,8 untuk simpangan
baku di atas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44
simpangan baku diatas rata-rata nilai statistika.
Kedudukannya lebih lebih tinggi dalam hal matematika.

18. Bilangan Baku dan Koefisien Variasi
• Koefisien variasi, disingkat KV memiliki rumus :
𝐾𝑉 =
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑘𝑢
𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎
× 100%
Contoh : Semacam lampu elektronik rata-rata dapat dipakai
selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam.
lampu model lain rata-ratanya 10.000 jam dengan
simpangan baku 2.000 jam. Sehingga dapat kita hitung :
𝐾𝑉 𝑙𝑎𝑚𝑝𝑢 𝐼 =
1050
3500
× 100% = 30%
𝐾𝑉 𝑙𝑎𝑚𝑝𝑢 𝐼𝐼 =
2000
10000
× 100% = 20%
Ternyata lampu kedua secara relative mempunyai masa
pakai yang lebih uniform.

19. Terimakasih