Menentukan solusi relasi Rekursi Linier Homogen Berkoefisien Konstan Persamaan Karakteristik

1. Menentukan Relasi Rekursi Linier Homogen dengan
Koefisien Konstan
Contoh 1
Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 2𝑎 𝑛−2 , dengan 𝑎0 = 2,
dan 𝑎1 = 7.
Jawab
Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 +
2𝑎 𝑛−2 .
Pindahkan semua suku ke ruas kiri.
𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 − 2𝑎 𝑛−2 = 0
Karena relasi di atas memiliki derajat 2, maka bentuk polinomial
derajat 2 yang bersesuaian dengan masing-masing suku dari relasi
tersebut, perhatikan setiap koefisien dan tanda tiap suku.
𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 − 2𝑎 𝑛−2 = 0
↓
𝑟 2 − 𝑟 − 2𝑟 0 = 0
𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik, dan memiliki 2
akar berbeda yaitu 𝑟1 = 2 dan 𝑟2 = −1 yang disebut akar-akar
karakteristik.
Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar
berbeda adalah
𝑎 𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2𝑛
Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah
𝑎 𝑛 = 𝑐1 ∙ 2 𝑛 + 𝑐2 ∙ (−1) 𝑛
Untuk suatu 𝑐1 , 𝑐2 bilangan real.
Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013
4/7

2. Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang
diketahui.
𝑎0 = 2 = 𝑐1 ∙ 20 + 𝑐2 ∙ (−1)0
2 = 𝑐1 + 𝑐2 .................................................... (1)
𝑎1 = 7 = 𝑐1 ∙ 21 + 𝑐2 ∙ (−1)1
7 = 2𝑐1 − 𝑐2 ................................................... (2)
Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode
substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 3 dan 𝑐2 = −1.
Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 2𝑎 𝑛−2 adalah
𝑎 𝑛 = 3 ∙ 2 𝑛 − (−1) 𝑛 .

Contoh 2
Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 6𝑎 𝑛−1 − 9𝑎 𝑛−2 , dengan
𝑎0 = 1, dan 𝑎1 = 6.
Jawab
Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.
𝑎 𝑛 = 6𝑎 𝑛−1 − 9𝑎 𝑛−2
↓
𝑎 𝑛 − 6𝑎 𝑛−1 + 9𝑎 𝑛−2 = 0
↓
𝑟 2 − 6𝑟 + 9 = 0
Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik
kembar yaitu 𝑟1 = 𝑟2 = 3.
Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar
kembar adalah
𝑎 𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛𝑟1𝑛
Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013
5/7

3. Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah
𝑎 𝑛 = 𝑐1 ∙ 3 𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛(3) 𝑛
Untuk suatu 𝑐1 , 𝑐2 bilangan real.
Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang
diketahui.
𝑎0 = 1 = 𝑐1 ∙ 30 + 𝑐2 ∙ 0(−1)0
1 = 𝑐1 ......................................................... (1)
𝑎1 = 6 = 𝑐1 ∙ 31 + 𝑐2 ∙ 1(3)1
6 = 3𝑐1 + 3𝑐2 .................................................. (2)
Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode
substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 1 dan 𝑐2 = 1.
Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 6𝑎 𝑛−1 − 9𝑎 𝑛−2 adalah
𝑎 𝑛 = 3 𝑛 + 𝑛 ∙ 3 𝑛.

Contoh 3
Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 6𝑎 𝑛−1 − 11𝑎 𝑛−2 + 6𝑎 𝑛−3 ,
dengan 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 5 dan 𝑎2 = 15.
Jawab
Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.
𝑎 𝑛 = 6𝑎 𝑛−1 − 11𝑎 𝑛−2 + 6𝑎 𝑛−3
↓
𝑎 𝑛 − 6𝑎 𝑛−1 + 11𝑎 𝑛−2 − 6𝑎 𝑛−3 = 0
↓
𝑟 3 − 6𝑟 2 + 11𝑟 − 6 = 0
Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013
6/7

4. Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik
berbeda yaitu 𝑟1 = 1, 𝑟2 = 2 dan 𝑟3 = 3.
Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 3 akar
berbeda adalah
𝑎 𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2𝑛 + 𝑐3 ∙ 𝑟3𝑛
Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah
𝑎 𝑛 = 𝑐1 ∙ 1 𝑛 + 𝑐2 ∙ 2 𝑛 + 𝑐3 ∙ 3 𝑛
Untuk suatu 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 bilangan real.
Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang
diketahui.
𝑎0 = 2 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3
𝑎1 = 5 = 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3
𝑎2 = 15 = 𝑐1 + 4𝑐2 + 9𝑐3
3 persamaan di atas dapat diselesaikan dengan metode
substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 1, 𝑐2 = −1 dan 𝑐3 = 2.
Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 6𝑎 𝑛−1 − 11𝑎 𝑛−2 +
6𝑎 𝑛−3 adalah 𝑎 𝑛 = 1 − 2 𝑛 + 2 ∙ 3 𝑛 .

Latihan
Tentukan solusi khusus dari relasi-relasi rekursi berikut ini.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
= 2𝑎 𝑛−1 , 𝑎0 = 3
= 5𝑎 𝑛−1 − 6𝑎 𝑛−2 , 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 0
= 4𝑎 𝑛−1 − 4𝑎 𝑛−2 , 𝑎0 = 6, 𝑎1 = 8
= 4𝑎 𝑛−2 , 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 4
= 2𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 − 2𝑎 𝑛−3 , 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 6 dan 𝑎2 = 0
= 2𝑎 𝑛−1 + 5𝑎 𝑛−2 − 6𝑎 𝑛−3 , 𝑎0 = 7, 𝑎1 = −4 dan 𝑎2 = 8
Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013
7/7