metode numerik

1. METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN
SISTEM PERSAMAAN LINIER
AHMAD PUJI ARDI
12313079
PROGRAM STUDI TEKNIK GEOFISIKA
FAKULTAS TEKNIK PERTAMBANGAN DAN PERMINYAKAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2015

2. A.Eliminasi Gauss
Setiap sistem persamaan linier aljabar dapat diekspresikan secara umum sebagai
11212111 ... bxaxaxa nn 
22222121 ... bxaxaxa nn 
... ...
... ...
... ...
nnnnnn bxaxaxa  ...2211
Penyelesaian Eliminasi Gauss dilakukan melalui dua langkah utama penyelesaian
secara berurutan, yakni :
 Forward Elimination of unknowns
Langkah pertama ini digunakan untuk mengurangi set persamaan sehingga
nantinya terbentuk sistem triangular atas. Langkah awalnya berupa :
1. Mengeliminasi variabel pertama ( 1x ) pada baris kedua sampai baris
terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel pada semua
baris dengan 







n
n
a
a
a
1
11
1
sehingga nantinya menghasilkan nol pada koefisien
1x untuk baris kedua hingga terakhir . Didapatkan persamaan baris semua
baris :
11212111 ... baaa nn xxx 
1
11
21
21
11
21
2212
11
21
221 ...0 b
a
a
bnnn xa
a
a
axa
a
a
ax 

















... ... ... ... ...
1
11
1
1
11
1
212
11
1
21 ...0 b
a
a
b n
nnn
n
nn
n
n xa
a
a
axa
a
a
ax 

















Atau dinyatakan dengan
11212111 ... baaa nn xxx 
222221 '''0 ... baa nn xxx 
... ... ...
nnnnn baa xxx '''0 ...221 
2. Dari hasil langkah (1), eliminasi variabel kedua ( 2x ) pada baris ketiga
sampai baris terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel

3. pada semua baris dengan 







n
n
a
a
a
2
22
2
'
'
'
sehingga nantinya menghasilkan nol
pada koefisien 2x untuk baris ketiga hingga terakhir. Didapatkan hasil pada
semua baris :
11212111 ... baaa nn xxx 
1
11
21
21
11
21
2212
11
21
221 ...0 b
a
a
bnnn xa
a
a
axa
a
a
ax 

















2
22
32
32
22
32
3323
22
32
3321 '
'
'
''
'
'
'...'
'
'
'00 b
a
a
bnnn xa
a
a
axa
a
a
axx 

















... ... ... ... ...
2
22
2
2
22
2
32
22
2
321 '
'
'
''
'
'
'...'
'
'
'00 b
a
a
b n
nnn
n
nnn
n
n xa
a
a
axa
a
a
axx 

















Atau dinyatakan dengan
11212111 ... baaa nn xxx 
222221 '''0 ... baa nn xxx 
2221 ''''00 ... ba nn xxx 
... ... ...
nnnn ba xxx ''''00 ...21 
3. Lakukan langkah dengan prinsip yang sama diatas sampai menyisakan satu
buah variabel dan satu buah konstanta
11212111 ... baaa nn xxx 
22222 ''' ... baa nn xx 
33333 ''''''''' ... baa nn xx 
... ...
)1()1( 
 n
nn
n
nn ba x
 Backward subtitution
Setelah mendapatkan persamaan yang terakhir cari nilai variabel terakhir
tersebut dengan membagi konstanta dengan koefisien variabel tersebut
)1(
)1(


 n
nn
n
n
n
a
b
x
Kemudian substitusikan nilai nx ke persamaan diatasnya sehingga
memperoleh nilai untuk variabel lainnya.

4. 1
11
21
2 R
a
a
R 
1
11
21
3 R
a
a
R 
ROUND MAP ELIMINASI GAUSS (UNTUK MATRIKS 3X3)










3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa













3
2
1
3332
2322
131211
'
'
''0
''0
b
b
b
aa
aa
aaa













3
2
1
33
2322
131211
"
'
"00
''0
b
b
b
a
aa
aaa



33
3
3
"
"
a
b
x 
2323222 ''' baa xx 
22
3232
2
'
''
a
xab
x


1313212111 baaa xxx 
11
2123131
1
a
xaxab
x


pivot
pivot
1
22
32
3
'
'
R
a
a
R 
FORWARD ELIMINATION
BACKWARD SUBSTITUTION

5. 2
12
1
1
'
R
a
R  2
32
3
1
'
R
a
R 
11
1
a
R
1
21
2
1
R
a
R 
1
21
3
1
R
a
R 22
2
'a
R
33
3
"a
R
B.Eliminasi Gauss-Jordan
Metode eliminasi Gauss-Jordan merupakan modifikasi dari metode eliminasi Gauss
dimana pada metode ini dilakukan normalisasi oleh koefisien pivotnya sehingga
menghasilkan matrik identitas bukan lagi matriks triangular lagi seperti eliminasi
Untuk lebih jelasnya dapat lihat langkah penyelesaian dengan metode Gauss-Jordan :










3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa













3
2
1
333231
232221
1312 '''1
b
b
b
aaa
aaa
aa













3
2
1
3332
23
1312
'
"
'
''0
"10
''1
b
b
b
aa
a
aa













3
2
1
3332
2322
1312
'
'
'
''0
''0
''1
b
b
b
aa
aa
aa













3
2
1
33
23
13
"
"
"
"00
"10
"01
b
b
b
a
a
a













3
2
1
23
13
"'
"
"
100
"10
"01
b
b
b
a
a













3
2
1
'"
'"
'"
100
010
001
b
b
b



11 '"bx  22 '"bx  33 '"bx 
3
23
2
1
"
R
a
R 
3
13
1
1
"
R
a
R 

6. C. Gauss-Siedel
Metode Gauss-Siedel merupakan metode iterasi atau aproksimasi yang mengasumsikan
bahwa persoalan dianalogikan seperti matrik      BXA  dengan batasan bahwa
matriknya merupakan matriks 3X3, elemen diagonalnya tidak sama dengan nol, dan
persamaannya bersifat konvergen.
Untuk lebih jelasnya lihat langkah penyelesaian persamaan linier dengan metode
Gauss-Siedel :
Sistem Persamaan Linier :
3333232131
2323222121
1313212111
baaa
baaa
baaa
xxx
xxx
xxx



33
2321313
3
a
xaxab
x


22
3231212
2
a
xaxab
x


11
2123131
1
a
xaxab
x


Iterasi pertama :
 Mencari nilai 1x dengan mengasumsikan 02 x dan 03 x
11
2123131
1
a
xaxab
x


11
1
1
a
b
x 
 Mencari nilai 2x dengan mengasumsikan 03 x dan 1x (baru)
22
3231212
2
a
xaxab
x


22
1212
2
a
xab
x


 Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 2x (baru) dan 1x (baru)
33
2321313
3
a
xaxab
x


Iterasi kedua :
 Mencari nilai 1x dengan menggunakan 3x (baru) dan 2x (baru)
11
2123131
1
a
xaxab
x


 Mencari nilai 2x dengan menggunakan dan 1x (baru) dan 3x (baru)
22
3231212
2
a
xaxab
x


 Mencari nilai 3x dengan menggunakan dan 2x (baru) dan 1x (baru)
33
2321313
3
a
xaxab
x


Iterasi selanjutnya .....

7. Selanjutnya kita harus mengecek konvergensi dari nilai yang didapat dengan nilai
sebenarnya yakni dengan rumus :
s
j
i
j
i
j
i
ia
x
xx  



%100
1
,
D. LU Decomposition
LU Decomposition merupakan metode dimana matriks yang berada disebelah kiri  A
dimanipulasi menjadi matriks lower ( L ) dan matriks upper ( U ). Metode ini
merupakan pengembangan dari eliminasi Gauss dengan eliminasi Gauss-Jordan dengan
beberapa modifikasi.
     BXA 
 U  L
 L    BD 
 D
 U  X  D
 X
 U










33
2322
131211
"00
''0
a
aa
aaa
 L










1
01
001
3231
21
ff
f
Metode Eliminasi Gauss
11
21
21
a
a
f  ,
11
31
31
a
a
f  ,
22
32
32
'
'
a
a
f 

8. Aplikasi metode-metode untuk menyelesaikan persamaan linear
Soal no. 9.9 halaman 272 :
66
425
24
321
321
321


 
xxx
xxx
xxx
A. Menggunakan Eliminasi Gauss
Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan
66
425
24
321
321
321


 
xxx
xxx
xxx









 
6
4
2
116
215
114












 



00,9
50,6
00,2
50,250,000,0
25,325,000,0
00,100,100,4


















00,4
50,6
00,2
00,400,000,0
25,325,000,0
00,100,100,4



1
00,4
00,4
3 


x
13
25,0
25,3
25,325,0
50,6)1(25,325,0
50,625,325,0
2
2
2
32








x
x
x
xx
3
4
12
00,2144
00,2)1()13(4
00,24
1
1
1
321






x
x
x
xxx









 
6
4
2
116
215
114



pivot
12
4
5
RR 
13
4
6
RR 
pivot
23
25,0
50,0
RR




9. B. Menggunakan Gauss-Jordan
Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan
66
425
24
321
321
321


 
xxx
xxx
xxx









 
6
4
2
116
215
114












 
00,6
00,4
50,0
00,100,100,6
00,200,100,5
25,025,000,1


















00,9
00,26
50,0
50,250,000,0
00,1300,100,0
25,025,000,1












 



00,9
50,6
50,0
50,250,000,0
25,325,000,0
25,025,000,1

















00,4
00,26
00,6
00,400,000,0
00,1300,100,0
00,300,000,1














00,1
00,26
00,6
00,100,000,0
00,1300,100,0
00,300,000,1














00,1
00,13
00,3
00,100,000,0
00,000,100,0
00,000,000,1












 
6
4
2
116
215
114



pivot
4
1R
12
1
5
RR 
13
1
6
RR 
25,0
2

R
pivot
21
1
25,0
RR  23
1
5,0
RR


00,4
3

R
31
1
3
RR 
32
1
13
RR


pivot
13 x
132 x
31 x

10. C. Menggunakan Gauss-Siedel
Sistem persamaan :
66
425
24
321
321
321


 
xxx
xxx
xxx
4
2 23
1
xx
x


1
254 31
2
xx
x


1
66 21
3
xx
x


Iterasi Pertama :
 Mencari nilai 1x dengan mengasumsikan 02 x dan 03 x
4
)0()0(2
1

x 50,0
4
2
1 

x
 Mencari nilai 2x dengan mengasumsikan 03 x dan 5,01 x
1
)0(2)5,0(54
2

x 50,11
1
5,74
2 

x
 Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 50,112 x dan 5,01 x
1
)5,11()5,0(66
3

x 5,2
1
5,1136
3 

x
Iterasi Kedua :
 Mencari nilai 1x dengan menggunakan nilai 50,112 x dan 50,23 x
4
)5,11()5,2(2
1

x 4
4
16
1 

x %5,872,1 x
 Mencari nilai 2x dengan menggunakan nilai 41 x dan 50,23 x
1
)5,2(2)4(54
2

x 29
1
29
2 x %34,602,2 x
 Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 292 x dan 41 x
1
)29()4(66
3

x 1
1
1
3 x %3502,3 x
Iterasi Ketiga :
 Mencari nilai 1x dengan menggunakan nilai 292 x dan 13 x
4
)29()1(2
1

x 5,7
4
30
1 

x %67,463,1 x
 Mencari nilai 2x dengan menggunakan nilai 5,71 x dan 13 x
1
)1(2)5,7(54
2

x 5,39
1
5,39
2 x %58,263,2 x
 Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 5,392 x dan 5,71 x
1
)5,39()5,7(66
3

x 5,11
1
5,11
3 x %30,913,3 x

11. D. Menggunakan LU Decomposition
Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan
66
425
24
321
321
321


 
xxx
xxx
xxx
     BXA 
 U









 
116
215
114













5,25,00
25,325,00
114













400
25,325,00
114
 U













400
25,325,00
114
 L















 1
25,0
5,0
4
6
01
4
5
001
    BDL 
 U  X  D































6
4
2
3
2
1
125,1
0125,1
001
D
D
D














































4
5,6
2
3
2
1
400
25,325,00
114
x
x
x
43
63133
632215,1
5,62
425,2
42125,1
21










D
D
DDD
D
D
DD
D























4
5,6
2
3
2
1
D
D
D






























 
6
4
2
3
2
1
116
215
114
x
x
x
12
4
5
RR 
13
4
6
RR 
23
25,0
50,0
RR



3
21134
24
13
25,325,0
5,625,325,0
1
44
1
1
321
2
2
32
3
3













x
x
xxx
x
x
xx
x
x

12. Kesimpulan dari aplikasi metode –metode tersebut pada satu soal yang sama
a. Eliminasi Gauss
Kelebihan :
 Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan
 Mengilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap angka
 Lebih mudah dipecahkan
Kekurangan :
 Masalah akurasi nilai jika terjadi pembulatan pecahan
 Sulit untuk penggunaan sistem persamaan dengan variabel yang banyak
b. Gauss-Jordan
Kelebihan :
 Mengubah sistem persamaan linier menjadi matriks identitas yang
sederhana
 Dapat menyelesaikan persamaan dengan matriks invers
 Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel
 Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan
Kekurangan :
 Nilai konstanta yang dimasukkan terbatas
 Pada keadaan tertentu, tidak dapat menunjukkan nilai x secara langsung
c. Gauss-Siedel
Kelebihan :
 Pembulatan dapat diperkecil
 Ketelitiannya maksimal
Kekurangan :
 Hanya terbatas pada matriks 3x3
 Tidak dapat menunjukkan nilai dengan baik jika sistem persamaan bersifat
divergen (hanya untuk sistem yang konvergen)
 Rawan terjadi kesalahan pivot
d. LU Decomposition
Kelebihan :
 Lebih mudah dipecahkan
 Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan
 Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan
 Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel
Kekurangan :
 Banyak dalam penulisan variabel
 Butuh ketelitian lebih untuk setiap langkah penyelesaian