Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, notasi sigma, integral tentu, dan teorema dasar kalkulus. Secara ringkas, dibahas definisi integral sebagai anti turunan suatu fungsi, rumus integral, konsep partisi dan jumlah Riemann untuk menghitung luas daerah di bawah kurva grafik suatu fungsi, serta dua teorema dasar kalkulus yang menghubungkan antara turunan dan integral suatu fungsi.

1. 6.1 Integral tak tentu
6.2 Notasi Sigma
6.3 Integral Tentu
6.4 Teorema Dasar Kalkulus

2.  Definisi 6.1
 Suatu fungsi F disebut anti-turunan dari fungsi
pada selang tertentu jika
 dalam selang tersebut.
 Notasi ,
 dimana C adalah konstanta real.

3. Jika , maka , dimana
maka dapat dinyatakan;
dengan konstanta real.
Misalkan : maka
maka

4.  1
 2.
 3.
 4.
 5.

5.  6.
 7.
 8.
 9.
 10.

6. Integralkanlah :
a. b.
Jawab:
 a.
 b.

7.  Tentukan hasil integral dari :
 a. b.
 Jawab:
 a.
 b.

8.  Tentukan hasil integral dari :
Jawab:
Dalam menyelesaikan contoh soal diatas
diperoleh 3 jawaban yaitu :
1.
2.
3.

9.  Misal , , dan suatu anti turunan
dari , maka

10.  Integralkan :

11.  Jawab :
 a. Misal dan , maka kita
dapat menghitung
 b. Misal dan , jadi

12. c.Misal maka atau

13.  Definisi 6.2
 Sigma (jumlah) didefinisikan sebagai
 dan
 Dimana notasi sigma (jumlah) adalah Σ

14. Rumus / Sifat Sigma:

15.  Catatan :
Untuk membuktikan rumus notasi sigma tersebut,
gunakan induksi matematika sebagai berikut :
1. Buktikan benar untuk
2. Misalkan benar untuk
kemudian buktikan benar untuk

16. 6.3 INTEGRAL TENTU
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang menggambarkan luas daerah. Misal
fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ].
f(x)
X₁ = a ∆x₁ x = bᵤ
Gambar 6.1
Langkah-langkah menentukan integral tentu:
1. Partisi selang [a,b] dibagi menjadi n selang dengan titik-titik pembagian sebagai
berikut dan partisi-partisi pada selang [a,b] tersebut adalah :
bxxxa n =<<<= ...10
},...,,,{ 210 nxbxxxaP ===

17. 2. Definisikan panjang partisi P sebagai berikut :
3. Misal dan bentuk jumlah Riemann
Jika ∥P∥→0 maka diperoleh limit jumlah Riemann , jika limit
ada, maka f dikatakan terintegralkan (Riemann) pada selang [a,b].
Definisi
Integral tentu fungsi f dari a sampai b didefinisikan sebagai berikut:
Jika f(x) positif pada [a,b], maka menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh
sumbu x,
grafik y = f(x) , garis x = a dan garis x = b.
.)(
1
∑=
∆
n
k
kk xcf
∑
=
→
∆
n
P
k
kk xcf
1
0||||
)(lim
1
1
|,||||| −
≤≤
−=∆∆= kkkk
nk
xxxxMaksP
∑
=
∆
∞→
=∫ ∑
=
∆
→
=
n
k k
x
k
cf
n
b
a
n
k k
x
k
cf
P
dxxf
1
)(lim
1
)(
0||
lim)(

18. Rumus /Sifat Integral Tentu:
1.
2. Jika a < b < c,
3. dan
4. Jika f(x) fungsi ganjil, maka
5. Jika f(x) fungsi genap, maka
[ ]p f x q g x dx p f x dx q g x dx
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )+ = +∫ ∫ ∫
∫∫∫ +=
c
b
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫ =
a
a
dxxf 0)( ( ) ∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )(
∫−
=
a
a
dxxf 0)(
f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )= ∫∫
−
2
0

19. Contoh 6.6:
Hitunglah integral berikut dengan menggunakan definisi jumlah Riemann.
= ....
Jawab :
Langkah 1: partisi interval menjadi segmen sehingga

20. Langkah 2 : pilih
Langkah 3 : Bentuk Jumlah Riemann :
Langkah 4 : Jika , maka

21. Contoh 6.7:
Hitunglah integral berikut ini:
a.
b.
Jawab :

22. 6.4 TEOREMA DASAR KALKULUS
6.4.1 Teorema Dasar Kalkulus ( TDK I)
Teorema
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
∫ −==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(

23. Contoh 6.8:
Hitunglah integral berikut ini :
a.
b.
Jawab :
a.
b.

24. 6.4.2 Teorema Dasar Kalkulus (TDK II)
Teorema
Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka
Secara Umum :
)()( xfdttfD
x
a
x =







∫

25. Contoh 6.9:
Tentukan Turunan fungsi :
G(x) =
Jawab :

26. Latihan Soal Integral
A. Integralkanlah :
1. =
2.
3.
4.
5.

27. B. Hitunglah Integral tentu berikut ini :
1.
2.
3.
4.
5.
...
16
1
lim
0
4
2
30
=
+∫→
x
x
dt
t
t
x