Materi pertemuan 1d Kalkulus Peubah Banyak

1. 1
1.4 PERKALIAN SILANG
Hasil perkalian silang a × b dari dua vektor a dan b adalah sebuah vektor,
yang tidak sama seperti hasil perkalian titik. Untuk alasan inilah perkalian silang
juga sering disebut sebagai perkalian vektor. Ingat bahwa a × b didefinisikan
hanya bila a dan b adalah vektor-vektor tiga-dimensi.
Definisi 1 Jika 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 dan 𝐛 = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉, maka perkalian
silang dari 𝐚 dan 𝐛 adalah vektor
𝐚 × 𝐛 = 〈𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2, 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3, 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1〉
Mungkin sedikit aneh jika kita melihat cara pendefinisian diatas. Alasan
untuk bentuk khusus pada definisi diatas adalah bahwa perkalian silang
didefinisikan dalam cara ini memiliki banyak sifat yang berguna sebagaimana yang
akan kita lihat. Secara khusus, kita akan melihat bahwa vektor a × b adalah tegak
lurus pada kedua vektor a dan b.
Untuk membuat definisi diatas bisa dengan lebih mudah diingat, kita
gunakan notasi determinan. Determinan orde 2 didefinisikan oleh
|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Sebagai contoh,
|
2 1
−6 4
| = 2(4) − 1(−6) = 14
Determinan orde 3 dapat didefinisikan dalam suku-suku determinan orde
2 sebagai berikut:
|
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
| = 𝑎1 |
𝑏2 𝑏3
𝑐2 𝑐3
| − 𝑎2 |
𝑏1 𝑏3
𝑐1 𝑐3
| + 𝑎3 |
𝑏1 𝑏2
𝑐1 𝑐2
|
Perhatikan bahwa setiap suku dalam sisi kanan dari persamaan diatas melibatkan
sebuah bilangan 𝑎𝑖 dalam baris pertama determinan, dan 𝑎𝑖 dikalikan dengan
determinan orde kedua yang diperoleh dari sisi kiri dengan menghapus baris dan
kolom pada mana 𝑎𝑖 berada. Perhatikan juga bahwa tanda minus dalam suku kedua.
Sebagai contoh,
|
1 2 −1
3 0 1
−5 4 2
| = 1 |
0 1
4 2
| − 2 |
3 1
−5 2
| + (−1) |
3 0
−5 4
|

2. 2
= 1(0 − 4) − 2(6 + 5) + (−1)(12 − 0) = −38
Jika kita menuliskan kembali Definisi 1 dengan menggunakan determinan-
determinan orde kedua dan vektor basis i, j, dan k, kita lihat bahwa perkalian silang
dari vektor 𝐚 = 𝑎1 𝐢 + 𝑎2 𝐣 + 𝑎3 𝐤 dan 𝐛 = 𝑏1 𝐢 + 𝑏2 𝐣 + 𝑏3 𝐤 adalah
𝐚 × 𝐛 = |
𝑎2 𝑎3
𝑏2 𝑏3
| 𝐢 − |
𝑎1 𝑎3
𝑏1 𝑏3
| 𝐣 + |
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
| 𝐤
Kita juga sering menuliskan
𝐚 × 𝐛 = |
𝐢 𝐣 𝐤
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
|
Rumus simbolis dalam persamaan diatas mungkin saja menrupakan cara termudah
untuk mengingat dan menghitung perkalian silang.
Contoh 1
Jika 𝐚 = 〈1, 3, 4〉 dan 𝐛 = 〈2, 7, −5〉, maka
𝐚 × 𝐛 = |
𝐢 𝐣 𝐤
1 3 4
2 7 −5
|
= |
3 4
7 −5
| 𝐢 − |
1 4
2 −5
| 𝐣 + |
1 3
2 7
| 𝐤
= (−15 − 28)𝐢 − (−5 − 8)𝐣 + (7 − 6)𝐤 = −43𝐢 + 13𝐣 + 𝐤
□
Contoh 2
Perlihatkan bahwa 𝐚 × 𝐚 = 𝟎 untuk sebarang vektor dalam 𝑉3.
Penyelesaian
Jika 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉, maka
𝐚 × 𝐛 = |
𝐢 𝐣 𝐤
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑎1 𝑎2 𝑎3
|
= (𝑎2 𝑎3 − 𝑎3 𝑎2)𝐢 − (𝑎1 𝑎3 − 𝑎3 𝑎1)𝐣 + (𝑎1 𝑎2 − 𝑎2 𝑎1)𝐤
= 0𝐢 − 0𝐣 + 0𝐤 = 𝟎
□

3. 3
Satu dari sifat-sifat terpenting dari perkalian titik diberikan oleh teorema
berikut.
TEOREMA 1 Vektor 𝐚 × 𝐛 adalah adalah orthogonal terhadap kedua
vektor a dan b
Bukti Untuk memperlihatkan bahwa 𝐚 × 𝐛 adalah orthogonal
terhadap a, kita hitung perkalian titik keduanya sebagai berikut:
(𝐚 × 𝐛) ∙ 𝐚 = |
𝑎2 𝑎3
𝑏2 𝑏3
| 𝑎1 − |
𝑎1 𝑎3
𝑏1 𝑏3
| 𝑎2 + |
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
| 𝑎3
= 𝑎1(𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2) − 𝑎2(𝑎1 𝑏3 − 𝑎3 𝑏1) + 𝑎3(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1)
= 𝑎1 𝑎2 𝑏3 − 𝑎1 𝑏2 𝑎3 − 𝑎1 𝑎2 𝑏3 + 𝑏1 𝑎2 𝑎3 + 𝑎1 𝑏2 𝑎3 − 𝑏1 𝑎2 𝑎3
= 0
Melalu perhitungan yang sama dapat diperlihatkan bahwa (𝐚 × 𝐛) ∙ 𝐛 = 0.
Dengan demikian 𝐚 × 𝐛 adalah adalah orthogonal terhadap kedua vektor a dan
b
□
Jika a dan b direpresentasikan oleh segmen-segmen garis berarah dengan
titik pangkal yang sama (sebagaimana dalam Gambar 1). Maka Teorema diatas
mengatakan bawa perkalian silang 𝐚 × 𝐛 mengarah pada arah tegak lurus pada
bidang yang melalui a dan b. Arah dari 𝐚 × 𝐛 diberikan oleh kaidah tangan kanan:
Jika jari-jari tangan kanan anda melipat dalam arah sebuah rotasi (melalui sebuah
sudut yang lebih kecil dari 180o
) dari a ke b, maka ibu jari anda mengarah pada
arah dari 𝐚 × 𝐛.
Gambar 1

4. 4
Sekarang kita telah mengetahui arah dari vektor 𝐚 × 𝐛, hal yang lain dari
deskripsi geometris yang perlu kita lengkapi adalah panjang |𝐚 × 𝐛|. Ini diberikan
dalam teorema berikut
TEOREMA 2 Jika 𝜃 adalah sudut antara a dan b (sedemikian sehingga 0 ≤
𝜃 ≤ 𝜋), maka
|𝐚 × 𝐛| = |𝐚||𝐛| sin 𝜃
Bukti dari teorema diatas ditinggalkan kepada mahasiswa sebagai latihan.
Karena sebuah vektor secara lengkap ditentukan dengan besar dan arahnya,
kita sekarang dapat menyatakan bahwa 𝐚 × 𝐛 adalah vektor yang tegak lurus
terhadap kedua vektor a dan b, yang arahnya dapat ditentukan dengan kaidah
tangan kanan, dan panjangnya adalah |𝐚||𝐛| sin 𝜃. Pada kenyataannya, begitulah
tepatnya bagaimana seorang fisikawan mendefinisikan 𝐚 × 𝐛.
AKIBAT Dua vektor tak nol a dan b adalah sejajar jika dan hanya jika
𝐚 × 𝐛 = 𝟎
Bukti Dua vektor tak nol a dan b adalah sejajar jika dan hanya jika
𝜃 = 0 atau 𝜋. Dalam kedua kasus sin 𝜃 = 0, sehingga |𝐚 × 𝐛| = 0 dan dengan
demikian 𝐚 × 𝐛 = 𝟎.
□
Interpretasi geometris dari Teorema 2 dapat dilihat dengan memperhatikan
Gambar 2.
Gambar 2
Jika a dan b direpresentasikan oleh segmen-segmen garis berarah dengan
titik pangkal yang sama, maka kedua vektor itu menetapkan sebuah jajar-genjang
dengan alas |𝐚|, tinggi |𝐛| sin 𝜃, dan luas
𝐴 = |𝐚|(|𝐛| sin 𝜃) = |𝐚 × 𝐛|

5. 5
Jadi kita memiliki cara berikut untuk menginterpretasikan besaran dari sebuah
perkalian silang.
Panjang dari perkalian silang 𝐚 × 𝐛 adalah sama dengan luas daerah jajar-
genjang yang ditetapkan oleh a dan b.
Contoh 3
Tentukan vektor yang tegak lurus pada bidang yang melalui titik-titik
𝑃(1, 4, 6), 𝑄(−2, 5, −1), dan 𝑅(1, −1, 1).
Penyelesaian
Vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ adalah tegak lurus pada kedua vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ dan
dengan demikian tegak lurus pada bidang yang melalui 𝑃, 𝑄, dan 𝑅. Kita
telah mengetahui bahwa
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2 − 1)𝐢 + (5 − 4)𝐣 + (−1 − 6)𝐤 = −3𝐢 + 𝐣 − 7𝐤
𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − 1)𝐢 + (−1 − 4)𝐣 + (1 − 6)𝐤 = −5𝐣 − 5𝐤
Kita hitung perkalian silang dari kedua vektor ini:
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = |
𝐢 𝐣 𝐤
−3 1 −7
0 −5 −5
|
= (−5 − 35)𝐢 − (15 − 0)𝐣 + (15 − 0)𝐤
= −40𝐢 − 15𝐣 + 15𝐤
Jadi vektor 〈−40, −15, 15〉 tegak lurus pada bidang yang diberikan.
Sebarang kelipatan skalar tak nol dari vektor ini, seperti 〈−8, −3, 3〉, juga
tegak lurus pada bidang tersebut.
□
Contoh 4
Tentukan luas daerah segitiga dengan verteks-verteks 𝑃(1, 4, 6),
𝑄(−2, 5, −1), dan 𝑅(1, −1, 1).
Penyelesaian
Dalam contoh sebelumnya kita telah menghitung bahwa 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ =
〈−40, −15, 15〉. Luas daerah jajar-genjang dengan sisi-sisi berdekatan 𝑃𝑄
dan 𝑃𝑅 adalah panjang dari perkalian silang ini:
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−40)2 + (−15)2 + 152 = 5√82

6. 6
Luas daerah 𝐴 dari segitiga 𝑃𝑄𝑅 adalah setengah dari luas jajar-genjang ini,
yaitu
5
2
√82.
□
Jika kita terapkan Teorema 1 dan 2 pada vektor-vektor basis i, j, dan k
dengan menggunakan 𝜃 =
𝜋
2
, kita peroleh
𝐢 × 𝐣 = 𝐤 𝐣 × 𝐤 = 𝐢 𝐤 × 𝐢 = 𝐣
𝐣 × 𝐢 = −𝐤 𝐤 × 𝐣 = −𝐢 𝐢 × 𝐤 = −𝐣
Perhatikan bahwa
𝐢 × 𝐣 ≠ 𝐣 × 𝐢
Jadi perkalian silang tidaklah bersifat komutatif. Juga
𝐢 × (𝐢 × 𝐣) = 𝐢 × 𝐤 = −𝐣
dimana
(𝐢 × 𝐢) × 𝐣 = 𝟎 × 𝐣 = 𝟎
Jadi sifat asosiatif untuk perkalian tidak selamanya terpenuhi; yakni, secara umum,
(𝐚 × 𝐛) × 𝐜 ≠ 𝐚 × (𝐛 × 𝐜)
Namum demikian, beberapa hukum aljabar yang biasa tetap terpenuhi untuk
perkalian silang. Teorema berikut ini merangkum sifat-sifat perkalian vektor.
TEOREMA 3 Jika a, b, dan c adalah vektor-vektor dan 𝑐 adalah skalar,
maka
1. 𝐚 × 𝐛 = −𝐛 × 𝐚
2. (𝑐𝐚) × 𝐛 = 𝑐(𝐚 × 𝐛) = 𝐚 × (𝑐𝐛)
3. 𝐚 × (𝐛 + 𝐜) = 𝐚 × 𝐛 + 𝐚 × 𝐜
4. (𝐚 + 𝐛) × 𝐜 = 𝐚 × 𝐜 + 𝐛 × 𝐜
5. 𝐚 ∙ (𝐛 × 𝐜) = (𝐚 × 𝐛) ∙ 𝐜
6. 𝐚 × (𝐛 × 𝐜) = (𝐚 ∙ 𝐜)𝐛 − (𝐚 ∙ 𝐛)𝐜
Sifat-sifat ini dapat dibuktikan dengan menuliskan vektor dalam komponen-
komponennya dan dengan menggunakan definisi perkalian silang. Kita berikan
bukti dari Sifat 5 dan meninggalkan sisanya kepada mahasiswa sebagai latihan.

7. 7
Bukti Sifat 5 Jika 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉, 𝐛 = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉, dan 𝐜 = 〈𝑐1, 𝑐2, 𝑐3〉,
maka
𝐚 ∙ (𝐛 × 𝐜) = 𝑎1(𝑏2 𝑐3 − 𝑏3 𝑐2) + 𝑎2(𝑏3 𝑐1 − 𝑏1 𝑐3) + 𝑎3(𝑏1 𝑐2 − 𝑏2 𝑐1)
= 𝑎1 𝑏2 𝑐3 − 𝑎1 𝑏3 𝑐2 + 𝑎2 𝑏3 𝑐1 − 𝑎2 𝑏1 𝑐3 + 𝑎3 𝑏1 𝑐2 − 𝑎3 𝑏2 𝑐1
= (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2)𝑐1 + (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3)𝑐2 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1)𝑐3
= (𝐚 × 𝐛) ∙ 𝐜
□
LATIHAN 1.4
1. Tentukan perkalian silang 𝐚 × 𝐛 dan verifikasi bahwa vektor ini orthogonal
pada kedua vektor a dan b.
(a) 𝐚 = 〈6, 0, −2〉, 𝐛 = 〈0, 8, 0〉
(b) 𝐚 = 𝐢 + 3𝐣 − 2𝐤, 𝐛 = −𝐢 + 5𝐤
(c) 𝐚 = 𝐢 + 𝑒 𝑡
𝐣 + 𝑒−𝑡
𝐤, 𝐛 = 2𝐢 + 𝑒 𝑡
𝐣 − 𝑒−𝑡
𝐤
(d) 𝐚 = 〈𝑡, 𝑡2
, 𝑡3〉, 𝐛 = 〈1, 2𝑡, 3𝑡2〉
2. Jika 𝐚 = 𝐢 − 2𝐤 dan 𝐛 = 𝐣 + 𝐤, tentukan 𝐚 × 𝐛. Sketsakan a, b, dan 𝐚 × 𝐛
sebagai vektor-vektor dimulai dari titik asal.
3. Tentukan vektor-vektor berikut ini, tidak dengan menggunakan determinan,
tetapi dengan menggunakan sifat-sifat perkalian silang.
(a) (𝐢 × 𝐣) × 𝐤 (b) 𝐤 × (𝐢 − 2𝐣)
(c) (𝐣 − 𝐤) × (𝐤 − 𝐢) (d) (𝐢 + 𝐣) × (𝐢 − 𝐣)
4. Anggaplah bahwa u dan v adalah dua vektor yang terletak pada bidang kertas
halaman ini. Tentukan |𝐮 × 𝐯| dan tentukan apakah 𝐮 × 𝐯 mengarah ke dalam
halaman atau keluar halaman.
(a) (b)
5. Gambar di bawah ini memperlihatkan sebuah vektor a pada bidang-𝑥𝑦 dan
vektor b dalam arah k. Panjang vektor-vektor tersebut adalah |𝐚| = 3 dan
|𝐛| = 2.
(a) Tentukan |𝐚 × 𝐛|.

8. 8
(b) Gunakan kaidah tangan kanan untuk memutuskan apakah komponen-
komponen dari 𝐚 × 𝐛 adalah positif, negatif, atau 0.
6. Tentukan luas daerah jajar-genjang dengan verteks-verteks 𝐴(−2, 1), 𝐵(0, 4),
𝐶(4, 2), dan 𝐷(2, −1).
7. Tentukan luas daerah jajar-genjang dengan verteks-verteks 𝐾(1, 2, 3),
𝐿(1, 3, 6), 𝑀(3, 8, 6), dan 𝑁(3, 7, 3).