Dokumen ini membahas tentang integral dan aplikasinya untuk menghitung luas daerah dan volume benda-benda geometris. Termasuk di dalamnya adalah penjelasan mengenai konsep integral tentu, luas daerah di bidang, luas daerah antara dua kurva, dan volume benda putar yang dihitung menggunakan metode cakram dan cincin.

1. Calculus 2
Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.
in Suryakancana University Cianjur

2. Luas Daerah di Bidang
Bila kita meninjau suatu daerah dengan batas melengkung, masalah
penentuan luas menjadi lebih sukar. Tetapi lebih dari 2000 tahun silam,
Archimedes menyediakan kunci untuk suatu penyelesaian. Katanya,
pandang satu barisan polygon dalam yang menghampiri daerah
melengkungdengan kecermatan yang semakin besar.

3. Luas Daerah di Bidang

4. Luas Daerah di Bidang

5. Integral Tentu
Newton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yang dini dari konsep integral
tentu. Tetapi Riemannlah yang memberikan kita definisi modern. Dalam perumudan
definisi integral tertentu, dipedomani oleh pemikiran yang dibahas sebelumnya.
Gagasan pertama adalah jumlah Riemaan.

6. Integral Tertentu
 Contoh :
Halaman 275,
Contoh 1 dan 2

7. Definisi Integral Tentu

8. Definisi Integral Tentu
Secara umum, 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 menyatakan batasan luas daerah yang
tercakup diantara kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-x dalam selang
[𝑎, 𝑏], yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada luas
bagian-bagian yang berada di bagian atas sumbu-x, dan tanda
negative diberikan untuk luas bagian-bagian yang berada di
bawah sumbu-x. Secara simbolik,

9. Penggunaan Integral
Luas daerah bidang rata

10. Luas Daerah Bidang Rata

11. Luas Daerah Bidang Rata

12. Daerah di Atas Sumbu X
Andaikan 𝑦 = 𝑓(𝑥) menentukan persamaan sebuah kurva pada bidang 𝑥𝑦 dan andaikan
𝑓 kontinu dan tak negative pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (Lihat gambar 1 pada buku Hal. 312).
Tinjau daerah 𝑅 yang dibatasi oleh grafik-grafik dari 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 = 0. Kita
mengacu 𝑅 sebagai daerah di bawah 𝑦 = 𝑓(𝑥) antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. Luas 𝐴 𝑅 ,
ditentukan oleh :
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Contoh : Lihat buku halaman 312 Nomor 1
Daerah di Bawah Sumbu X
Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negative. Apabila grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) terletak di
bawah sumbu – x, maka 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah bilangan yang negative, sehingga tak dapat
melukiskan suatu luas. Akan tetapi bilangan itu adalah negative untuk luas daerah yang
dibatasi oleh 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 = 0
Contoh : Lihat buku halaman 312 Nomor 2

13. Luas Daerah Bidang Rata
Contoh : Lihat buku halaman 313 Nomor 3
Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan luas
daerah itu sebagai satu integral dengan
menggunakan lambang nilai mutlak, yaitu :
𝐴 𝑅 =
−1
2
𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 + 3 𝑑𝑥
Tetapi penulisan ini bukan penyederhanaan
dalam perhitungan, sebab untuk menghitung
integral terakhir ini kita harus menulis integral ini
sebagai dua integral seperti yang kita lihat
pada gambar 4 halaman 313.

14. Daerah Antara Dua Kurva
Contoh : Lihat buku halaman 315 Nomor 5

15. Daerah Antara Dua Kurva
Contoh : Lihat buku halaman 316 Nomor 6

16. Daerah Antara Dua Kurva
Pada gambar disamping, lakukanlah :
1. Nyatakan Batas-batas daerahnya
2. Gambarkan elemen integrasinya
3. Tulis rumus elemen luasnya
4. Tulis rumus luasnya sebagai integral tentu
5. Cari luas dari gambar tersebut

17. Volume Benda Putar

18. Volume Benda Putar : Metode Cakram dan Cincin