1. Relasi Rekursi
*recurrence – rekurens – rekursi – perulangan.
Kata kunci: definisi, relasi rekursi linier berkoefisien konstan, solusi relasi rekurensi,
dan solusi homogen & partikelir
•
•
•
•
menuliskan definisi dari relasi rekursi
memberikan sebuah contoh bentuk dari relasi rekursi
menyebutkan jenis-jenis relasi rekursi
menjelaskan barisan Fibonacci sebagai salah satu contoh relasi rekursi.
Definisi 1
Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan *𝑎 𝑛 + merupakan
sebuah rumus untuk menyatakan 𝑎 𝑛 ke dalam satu atau lebih
suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut, untuk suatu
bilangan bulat nonnegatif 𝑛.
Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursi jika sukusuku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekursinya.
Contoh 1
Misal * 𝑎 𝑛 + barisan yang memenuhi relasi rekursi
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2 untuk 𝑛 ≥ 2, lalu misalkan 𝑎0 = 3 dan 𝑎1 = 5.
Tentukan nilai 𝑎2 dan 𝑎3 .
Jawab
Karena 𝑎2 = 𝑎1 − 𝑎0 , maka 𝑎2 = 2.
Karena 𝑎3 = 𝑎2 − 𝑎1 , maka 𝑎3 = −3.

Contoh 2
Untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛, apakah barisan 𝑎 𝑛 = 3𝑛,
𝑎 𝑛 = 2 𝑛 dan 𝑎 𝑛 = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi
𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2 ?
Jawab
(i) Misal 𝑎 𝑛 = 3𝑛, untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka
Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013
1/3

2. 𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2
𝑎 𝑛 = 2(3( 𝑛 − 1)) − 3( 𝑛 − 2)
𝑎 𝑛 = 3𝑛.
Maka 𝑎 𝑛 = 3𝑛 merupakan solusi bagi relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 −
𝑎 𝑛−2 .
(ii) Misal 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 , untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka
𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2
𝑎 𝑛 = 2(2(𝑛−1) ) − 2(𝑛−2)
𝑎 𝑛 = 2 𝑛 − 2 𝑛−2
1
3
𝑎 𝑛 = 2 𝑛 (1 − 4) = 2 𝑛 ∙ 4 ≠ 2 𝑛 .
Maka 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 bukan merupakan solusi bagi relasi rekursi
𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2 .
(iii) Misal 𝑎 𝑛 = 5, untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka
𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2
𝑎 𝑛 = 2(5) − 5
𝑎𝑛 =5
Maka 𝑎 𝑛 = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi 𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 −
𝑎 𝑛−2 .

Catatan: Kondisi awal ( 𝑎0 ) akan menentukan suku-suku pada
barisan berikutnya.
Contoh 3
Tentukan barisan yang merupakan solusi dari relasi rekursi
𝑎 𝑛 = 3𝑎 𝑛−1 , jika diketahui 𝑎0 = 2.
Jawab
𝑎 𝑛 = 3𝑎 𝑛−1
𝑎 𝑛 = 3(3𝑎 𝑛−2 ) = 32 ∙ 𝑎 𝑛−2
Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013
2/3

3. 𝑎 𝑛 = 3(3(3𝑎 𝑛−3 )) = 33 ∙ 𝑎 𝑛−3
⋮
𝑎 𝑛 = 3 𝑛 ∙ 𝑎 𝑛−𝑛 = 3 𝑛 ∙ 𝑎0
𝑎𝑛 =2∙3𝑛
Sehingga barisan 𝑎 𝑛 = 2 ∙ 3 𝑛 merupakan solusi dari relasi rekursi
𝑎 𝑛 = 3𝑎 𝑛−1 dengan nilai awal 𝑎0 = 2.
Jenis-jenis Relasi Rekursi
Definisi 2
Suatu relasi rekursi linier homogen berderajat
koefisien konstan memiliki bentuk umum:
𝑘 dengan
𝑎 𝑛 = 𝑐1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐2 𝑎 𝑛−2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘
dengan 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐 𝑘 adalah bilangan real, dan 𝑐 𝑘 ≠ 0.
Perhatikan tebel berikut ini:
Relasi Rekursi
𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑎2
𝑛−2
𝐻 𝑛 = 2𝐻 𝑛−1 + 1
𝑏 𝑛 = 𝑛𝑏 𝑛−1
Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013
Linier




Homogen Koef. Konst. Degree


2


2


1


1
3/3