Contoh contoh soal dan pembahasan integral

1. SMA - 1
Contoh Soal-soal dan Pembahasan Integral
1. ∫(2x3 + 3x2 + x + 7)dx = …….
Jawab:
pakai rumus : ∫ k x n dx =
k x n+1 + c
n +1
2 x 4 +
4
3 x 3 +
3
1 x 2 + 7x + c
2
1 x 4 + x 3 +
=
2
1 x 2 + 7x + c
2
2. ∫sin 3x sin 2x dx = ……
Jawab:
ingat rumus trigonometri : -2 sinα sinβ = cos(α +β ) – cos(α -β )
sinα sinβ = -
1 ( cos(α +β ) – cos(α -β ) )
2
1 ( cos(α -β ) - cos(α +β ) )
=
2
1 - ∫ cos(3x + 2x)dx
∫sin 3x sin 2x dx = ∫ cos(3x − 2x)dx
1
2
1 dx - ∫ cos5x
= ∫ cos x
1 dx Æ pakai rumus ∫ cos(ax + b) dx =
2
1 sin x -
1
5
1 sin x -
1 sin 5x + c
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
∫(2x3 + 3x2 + x + 7)dx =
2
2
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
1 sin (ax+b) + c
a
Sehingga menjadi :
=
2
2
1 sin 5x + c
=
2
10

2. SMA - 2
3. ∫ x2 2x3 + 3 dx = …….
Jawab :
cara subtitusi:
misal: u = 2x 3+3
du = 6x 2 Æ dx = 6x2
du
1 u 2
1
1
+
1 +1 + c
1
3
1 (2x 3 +3) 2x3 + 3 + c
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
dx
du
Sehingga :
1
∫ x2 2x3 + 3 dx = ∫ 2
x2u 6x2
= ∫ 6
1
du =
6
2
1 1
u 2
=
6
2 u 2
3 + c =
9
4. ∫ x2 cos x dx = ……
Jawab :
Pakai rumus integral parsial : ∫u dv = uv - ∫v du
misal : u = x 2 Æ du = 2x dx
dv = cos x dx Æ v = ∫cos x dx = sinx
Sehingga :
∫ x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx
∫ x sin x dx perlu diparsialkan lagi tersendiri :
misal u = x Æ du = dx
dv = sinx dx Æ v = ∫sin x dx = - cos x

3. SMA - 3
sehingga : ∫ x sin x dx = x . (-cos x) - ∫ − cos xdx
= - x cos x + ∫cos xdx
= -x cos x + sinx +c
Maka :
∫ x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx
= x 2 . sinx – 2 (-x cos x + sinx) + c
= x 2 . sinx + 2x cos x – 2 sin x + c
= (x 2 - 2). sin x + 2x cos x + c
5. ∫ x cos(2x2 + 3)dx =……
jawab:
misal : u = 2x 2 +3 Æ du = 4x dx Ædx =
du
4
x
sehingga :
∫ x cos(2x2 + 3)dx = ∫ x cos u
du
4
x
1 ∫ du
= cosu
4
1 + c
= sin u
4
1 x2 + + c
= sin(2 3)
4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
4
6. ∫ +
3
x (2 x)3 dx = …..
jawab :

4. SMA - 4
misal : u = x Æ du = dx
dv = (2+x) 3 dx Æ v = ∫(2 + x)3 dx Æ ∫(ax + b)n dx =
1
a n +
( 1)
1 (2 + x) 4
=
4
1 (2 + x) 4
4
1 x dx
1 (2 + x) 4
1
5
1 (1296 – 625) -
1 (7776 – 3125)
671 -
4651
3355 − 4651
1296 = -64
4
1
a n +
1 sin 3x
π
|
π
1 ( 1 3 - (
1 ) 3 ) =
1 .
7 =
7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
(ax+b) n+1 + c
∫u dv = uv - ∫v du
∫ +
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
4
3
x (2 x)3 dx =
4
4
3 |
- ∫ +
3
(2 )4
4
=
4
4
3 |
-
4
1 (2 + x) 5
4
3 |
=
4
20
=
4
20
=
20
= -
20
5
7. ∫ 2
6
sin2 cos
π
π
x x dx = ….
Jawab:
Cara 1:
Pakai rumus : ∫ sinn (ax+b) cos(ax+b) dx =
( 1)
sin n+1 (ax+b) +c
∫ 2
6
sin2 cos
π
π
x x dx =
3
2
6
=
3
2
3
8
24

5. SMA - 5
Cara 2:
Cara subtitusi :
misal u = sin x Æ du = cos x dx
1 u 3
1 sin 3x
π
|
π
1 ( 1 3 - (
1 ) 3 ) =
1 .
7 =
7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
∫ 2
6
sin2 cos
π
π
x x dx = ∫ u2 du =
3
=
3
2
6
=
3
2
3
8
24
8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab :
Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x :
3x = x 2 - 2x
⇔ x 2 - 5x = 0
⇔ x(x - 5) = 0
didapat titik potong di x = 5 dan x = 0

6. SMA - 6
375 − 250
125
3 dan x = -2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
L = ∫ − −
5 x - 1 x
3
5 - 1
53
125 =
5 satuan luas
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
5
0
(3x (x2 2x)) dx
5
= ∫ −
0
(5x x2 ) dx
= 2
2
3
5
0 |
= 52
2
3
=
125 -
2
3
6
=
6
= 20
6
9. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab:
cari titik potong kedua persamaan :
8-2x 2 = x + 2
⇔ 2x 2 +x – 6 = 0
⇔ (2x - 3)( x + 2) = 0
Didapat titik potong x =
2

7. SMA - 7
1 (
3 ) 2 } - {6 . -2 -
2 (-2) 3 -
1 (-2) 2 }
9 } – {-12 +
16 - 2}
16 + 2
343 = 14
7 satuan luas
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
2 x 3 -
1 x 2 2
|
−
2 (
3 ) 3 -
27 -
1 .
54 -
9 + 12 -
54 -
9 -
16
552 − 54 − 27 −128
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
3
L = ∫
−
− − +
2
2
((8 2x2 ) (x 2))dx
3
= ∫
−
− −
2
2
(6 2x2 x)dx
= 6x -
3
2
3
2
= {6 .
3 -
2
3
2
2
2
3
2
= {9 -
2 .
3
8
2
4
3
= 9 -
24
8
3
= 23 -
24
8
3
=
24
=
24
24
10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan y = x +6. Diputar
mengelilingi sumbu x sebesar 360 0 adalah…..
Jawab:

8. SMA - 8
Titik potong kurva :
x 2 = x + 6
⇔ x 2 - x – 6 = 0
⇔ (x- 3)(x+2) = 0
titik potong di x = 3 dan x = -2
1 x 3 + 6 x 2 + 36x}
|
−
243 + 9 + 54 + 108) – (
32 -
8 + 24 – 72)}
32 +
8 + 48)
8 ) = π (164 +
8 )
2 π satuan volume
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
1 x 5+
243 +171 -
275 +
8 + 219)
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
V = π ∫
−
+
3
2
((x 6)2 - ( x 2 ) 2 ) dx
= π ∫
−
+ + −
3
2
((x2 12x 36) x4 ) dx
= π ∫
−
− + + +
3
2
( x4 x2 12x 36) dx
= π { -
5
3
3
2
= π {(-
5
5
3
= π (-
5
5
3
= π (-
5
3
= π (219 – 55 +
3
3
= 166
3