Dokumen ini menjelaskan teknik pengintegralan dalam kalkulus, termasuk metode substitusi, pengintegralan parsial, dan integral fungsi rasional. Selain itu, juga diuraikan langkah-langkah untuk menjabarkan fungsi rasional menjadi pecahan parsial beserta contoh-contoh integral. Strategi pengintegralan juga dibahas untuk menangani berbagai bentuk integral yang mungkin dihadapi.

1. Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.
in Suryakancana University Cianjur
CALCULUS 2

2. BAB 8. TEKNIK PENGINTEGRALAN
8.1 AturanDasar Substitusi Pengintegralan
Mengetahui bentuk integral baku dan dapat mengubah bentuk integral yang diberikan ke bentuk
integral dengan substitusi peubah
8.2 Pengintegralan Parsial
Menghitung integral dengan teknik pengintegralan parsial
8.3 Integral Trigonometrik
Menghitung beberapa integral trigonometric
8.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan
Menghitung integral dengan teknik substitusi yang merasionalkan
8.5 Integral Fungsi Rasional
Menghitung integral fungsi rasional dengan menggunakan pecahan parsial
8.6 Strategi Pengintegralan
Mengetahui apa yang harus dilakukan bila dihadapkan pada suatu bentuk integral

3. 8.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

4. 8.5 Integral Fungsi Rasional
 Menghitung Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinom. Secara umum, fungsi rasional dapat
dituliskan sebagai :
𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
dengan P, Q, dan R polinom dan derajat R < derajat Q. Integral dari P(x) dapat diperoleh
dengan mudah. Karena itu, untuk menghitung integral dari f(x), kita perlu mengetahui
bagaimana menghitung integral dari R(x)/Q(x).
Sebagai contoh :
𝑓 𝑥 =
2
(𝑥+1)3
, 𝑔 𝑥 =
2𝑥+2
𝑥2−4𝑥+8
, ℎ 𝑥 =
𝑥5+2𝑥3−𝑥+1
𝑥3+5𝑥
Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati oleh karena derajat pembilang kurang dari
derajat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku
banyak dan fungsi rasional sejati. Misalkan :
ℎ 𝑥 =
𝑥5
+ 2𝑥3
− 𝑥 + 1
𝑥3 + 5𝑥
= 𝑥2
− 3 +
14𝑥 + 1
𝑥3 + 5𝑥

5. 8.5 Integral Fungsi Rasional
 Menghitung Integral Fungsi Rasional
ℎ 𝑥 =
𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 + 1
𝑥3 + 5𝑥
= 𝑥2 − 3 +
14𝑥 + 1
𝑥3 + 5𝑥
Hasil di atas kita peroleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut. Oleh karena fungsi
suku banyak mudah diintegrasikan, maka persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada
persoalan mengintegralkan fungsi rasonal sejati.
Apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan? Dalam teori, jawabannya selalu dapat,
walaupun pencariannya tidak selalu mudah.
Contoh 1:
2
(𝑥 + 1)3 𝑑𝑥
Contoh 2 :
2𝑥 + 2
𝑥2 − 4𝑥 + 8
𝑑𝑥
Contoh 3 :
𝑥 + 1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥

6. 8.5 Integral Fungsi Rasional
 Penjabaran menjadi pecahan parsial (factor linear)
Contoh : (Faktor linear yang berlainan). Jabarkan
(3𝑥−1)
(𝑥2−𝑥−6)
menjadi pecahan parsial dan kemudian tentukan integralnya
yang tak tentu.
Penyelesaian: oleh karena 𝑥2
− 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk
(3𝑥 − 1)
(𝑥2 − 𝑥 − 6)
=
𝐴
(𝑥 + 2)
+
𝐵
(𝑥 − 3)
Tugas kita sekarang adalah menentukan A dan B sehingga persamaan di atas menjadi suatu bentuk kesamaan. Untuk itu
kita hilangkan pecahannya,sehingga kita peroleh
3𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵(𝑥 + 2)
Atau dengan kesetaraan
3𝑥 − 1 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + (−3𝐴 + 2𝐵)
Oleh karena persamaan di atas suatu kesamaan, jika dan hanya jika apabila koefisienpangkatyang sama di ruas kiri dan
ruas kanan sama, maka :
𝐴 + 𝐵 = 3
−3𝐴 + 2𝐵 = −1
Dari dua persamaan tersebut kita peroleh 𝐴 =
7
5
dan 𝐵 =
8
5
, sehingga
(3𝑥 − 1)
(𝑥2 − 𝑥 − 6)
=
(3𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
=
7
5
(𝑥 + 2)
+
8
5
(𝑥 + 3)
(3𝑥 − 1)
(𝑥2 − 𝑥 − 6)
𝑑𝑥 =
7
5
1
𝑥 + 2
𝑑𝑥 +
8
5
1
(𝑥 + 3)
𝑑𝑥 =
7
5
ln 𝑥 + 2 +
8
5
ln 𝑥 − 3 + 𝐶

7. 8.5 Integral Fungsi Rasional
Contoh 1:
5𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥
𝑑𝑥
Contoh 2:
1
𝑥2 − 1
𝑑𝑥
Contoh 3:
𝑥
(𝑥 − 3)2 𝑑𝑥
Contoh 4:
3𝑥2 − 8𝑥 + 13
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2
Contoh 5:
6𝑥2 − 3𝑥 + 1
(4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥

8. 8.5 Integral Fungsi Rasional
Untuk menjabarkan sebuah fungsi rasional 𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
menjadi jumlah pecahan parsial,
kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut :
(1) Apabila 𝑓(𝑥) tak sejati, yaitu apabila derajat 𝑝(𝑥) paling sedikit sama dengan
𝑞 𝑥 bagilah terlebih dahulu 𝑝(𝑥) dengan 𝑞(𝑥). Kita akan peroleh :
𝑓 𝑥 = 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚 +
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
(2) Uraikanlah 𝐷(𝑥) menjadi hasil kali factor-factor linear dan kuadrat yang tidak dapat
lagi diuraikan menjadi factor-factor linear dengan koefisien riil. Menurut suatu teorema
dalam aljabar hal ini selalu mungkin.
(3) Untuk setiap factor yang berbentuk (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑘
, penjabaran mungkin berbentuk
𝐴1
(𝑎𝑥 + 𝑏)
+
𝐴2
(𝑎𝑥 + 𝑏)2 + ⋯ +
𝐴 𝑘
(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑘
(4) Untuk setiap factor yang berbentuk (𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑚
, penjabaran mungkin berbentuk
𝐴1
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
+
𝐴2
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2
+ ⋯ +
𝐴 𝑚
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑚

9. 8.5 Integral Fungsi Rasional
Untuk menjabarkan sebuah fungsi rasional 𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
menjadi jumlah pecahan parsial, kita perlu
melakukan langkah-langkah sebagai berikut :
(5) Samakan
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
dengan jumlah semua suku yang diperoleh dalam langkah ke (3) dan ke (4). Banyaknya
konstanta yang harus ditentukan harus sama dengan derajat penyebut, yaitu 𝐷(𝑥)
(6) Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan yang diperoleh dalam Langkah 5 dengan 𝐷(𝑥). Kemudian
tentukan konstanta yang harus dicari. Ini dapat diperoleh dengan dua jalan (1) samakan koefisien dari
suku yang derajatnya sama, (2) substitusikanlah nilai-nilai (yang sesuai) tertentu dalam variable x.
Contoh 1:
1
𝑥3 − 1
𝑑𝑥
Contoh 2:
7
𝑥2 − 6𝑥 + 25
𝑑𝑥
Buku halaman 435

10. 8.6 STRATEGI PENGINTEGRALAN

11. 8.2 Pengintegralan Parsial
Berbeda dengan turunan, tidak ada aturan pengintegralan yang berlaku secara umum.
Bila kita dihadapkan pada suatu bentuk integral tak tentu maka yang dapat kita
lakukan adalah:
1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada substitusi yg dpt mengubah
integral tsb ke salah satu bentuk baku yang kita kenal.
2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsb dengan pengintegralan parsial.
3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusi yang merasionalkan.
4. Jika integrannya merupakan fungsi rasional, hitunglah integralnya dengan
mendekomposisi integrannya atas faktor‐faktor linear dan/atau kuadratiknya.

12. THANK YOU 