Integral tertentu cos^5x dapat diselesaikan dengan teknik substitusi, yaitu dengan mengganti cos^5x menjadi fungsi sin^2x dan cosx lalu mengganti variabel integrasi menjadi du.
Dokumen ini membahas tentang integral tak tentu dan integral tentu, termasuk konsep dasar integral, sifat-sifat integral tak tentu dan integral tentu, penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar, serta metode-metode penyelesaian integral seperti substitusi dan integral parsial.
Bab VIII membahas tentang integral tentu dan penerapannya. Integral tentu adalah batas dari jumlah Riemann yang digunakan untuk menentukan luas bidang terbatas. Integral tentu memiliki sifat-sifat seperti linearitas dan antiderivatif. Integral tentu juga digunakan untuk menghitung luas bidang dan volume benda putar yang dihasilkan dari rotasi grafik suatu fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, notasi sigma, integral tentu, dan teorema dasar kalkulus. Secara ringkas, dibahas definisi integral sebagai anti turunan suatu fungsi, rumus integral, konsep partisi dan jumlah Riemann untuk menghitung luas daerah di bawah kurva grafik suatu fungsi, serta dua teorema dasar kalkulus yang menghubungkan antara turunan dan integral suatu fungsi.
Dokumen ini membahas tentang integral tak tentu dan integral tentu, termasuk konsep dasar integral, sifat-sifat integral tak tentu dan integral tentu, penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar, serta metode-metode penyelesaian integral seperti substitusi dan integral parsial.
Bab VIII membahas tentang integral tentu dan penerapannya. Integral tentu adalah batas dari jumlah Riemann yang digunakan untuk menentukan luas bidang terbatas. Integral tentu memiliki sifat-sifat seperti linearitas dan antiderivatif. Integral tentu juga digunakan untuk menghitung luas bidang dan volume benda putar yang dihasilkan dari rotasi grafik suatu fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, notasi sigma, integral tentu, dan teorema dasar kalkulus. Secara ringkas, dibahas definisi integral sebagai anti turunan suatu fungsi, rumus integral, konsep partisi dan jumlah Riemann untuk menghitung luas daerah di bawah kurva grafik suatu fungsi, serta dua teorema dasar kalkulus yang menghubungkan antara turunan dan integral suatu fungsi.
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian MasalahnadyaGB21
Dokumen tersebut membahas tentang integral sebagai salah satu topik dalam mata kuliah Kapita Selekta Matematika Pendidikan Menengah. Dibahas mengenai pengertian integral, integral tak tentu, integral tertentu, sifat-sifat integral, dan teknik pengintegralan."
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian limit secara intuitif dan beberapa contoh perhitungan limit fungsi. Limit didefinisikan sebagai nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Beberapa contoh perhitungan limit menggunakan pendekatan aljabar dan kalkulasi nilai-nilai dekat untuk memperkirakan nilai limit. Dokumen juga membahas tentang limit sepihak dan kasus dimana limit tidak terdef
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi trigonometri, termasuk definisi limit trigonometri, grafik fungsi trigonometri, pengertian limit melalui pengamatan grafik, menentukan dan menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri menggunakan metode pengamatan grafik, perhitungan nilai-nilai fungsi, dan contoh soal limit fungsi trigonometri beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep maksimum dan minimum dalam kalkulus. Terdapat penjelasan tentang titik kritis seperti titik ujung, titik stasioner, dan titik singular yang dapat menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan prosedur untuk menemukan nilai ekstrim suatu fungsi melalui penentuan titik-titik kritisnya. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk memperjelas konsep tersebut.
1. Bab 7 membahas limit fungsi, termasuk definisi limit fungsi aljabar dan trigonometri, serta cara menentukan nilai limit fungsi dengan substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan faktor sekawan.
2. Contoh soal ditunjukkan untuk menjelaskan konsep limit fungsi di batas akhir dan tak hingga.
3. Limit fungsi trigonometri dapat ditentukan secara intuitif dengan memperhatikan hubungan antara sudut dan panjang yang sesuai.
Integral Riemann digunakan untuk menghitung luas area di bawah kurva f(x) antara batas x=a dan x=b. Integral dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan mengumpulkan luas persegi kecil di setiap bagian. Integral memberikan nilai rata-rata f(x) pada interval tersebut.
Dokumen menjelaskan tentang rumus untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x/y. Terdapat beberapa kasus seperti kurva di atas/bawah sumbu x, antara dua kurva, dan contoh soal untuk latihan.
Integral tak tentu adalah operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan fungsi baru tanpa nilai pasti. Proses mengintegralkan suatu fungsi turunan berarti mencari integral atau turunan antinya dengan bentuk umum ∫f(x)dx = F(x) + k, dimana k adalah konstanta tak tentu. Terdapat beberapa kaidah integrasi tak tentu seperti formula pangkat, logaritma, eksponensial, penjumlahan, perkalian, dan substitusi
Limit fungsi pada materi ini diberikan mulai dari awal munculnya kata limit sampai kategori fungsi yang tidak mempunyai limit. Bagian terakhir berisi tentang latihan mencari limit fungsi . Silahkan menikmati dan selamat bermatematika ceria. :)) Kunjungi kami di www.haimatematika.com
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Secara umum dibahas tentang definisi fungsi, domain dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti fungsi polinomial, rasional, genap, ganjil dan periodik, serta operasi-operasi pada fungsi seperti operasi aljabar dan komposisi fungsi.
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian MasalahnadyaGB21
Dokumen tersebut membahas tentang integral sebagai salah satu topik dalam mata kuliah Kapita Selekta Matematika Pendidikan Menengah. Dibahas mengenai pengertian integral, integral tak tentu, integral tertentu, sifat-sifat integral, dan teknik pengintegralan."
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian limit secara intuitif dan beberapa contoh perhitungan limit fungsi. Limit didefinisikan sebagai nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Beberapa contoh perhitungan limit menggunakan pendekatan aljabar dan kalkulasi nilai-nilai dekat untuk memperkirakan nilai limit. Dokumen juga membahas tentang limit sepihak dan kasus dimana limit tidak terdef
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi trigonometri, termasuk definisi limit trigonometri, grafik fungsi trigonometri, pengertian limit melalui pengamatan grafik, menentukan dan menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri menggunakan metode pengamatan grafik, perhitungan nilai-nilai fungsi, dan contoh soal limit fungsi trigonometri beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep maksimum dan minimum dalam kalkulus. Terdapat penjelasan tentang titik kritis seperti titik ujung, titik stasioner, dan titik singular yang dapat menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan prosedur untuk menemukan nilai ekstrim suatu fungsi melalui penentuan titik-titik kritisnya. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk memperjelas konsep tersebut.
1. Bab 7 membahas limit fungsi, termasuk definisi limit fungsi aljabar dan trigonometri, serta cara menentukan nilai limit fungsi dengan substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan faktor sekawan.
2. Contoh soal ditunjukkan untuk menjelaskan konsep limit fungsi di batas akhir dan tak hingga.
3. Limit fungsi trigonometri dapat ditentukan secara intuitif dengan memperhatikan hubungan antara sudut dan panjang yang sesuai.
Integral Riemann digunakan untuk menghitung luas area di bawah kurva f(x) antara batas x=a dan x=b. Integral dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan mengumpulkan luas persegi kecil di setiap bagian. Integral memberikan nilai rata-rata f(x) pada interval tersebut.
Dokumen menjelaskan tentang rumus untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x/y. Terdapat beberapa kasus seperti kurva di atas/bawah sumbu x, antara dua kurva, dan contoh soal untuk latihan.
Integral tak tentu adalah operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan fungsi baru tanpa nilai pasti. Proses mengintegralkan suatu fungsi turunan berarti mencari integral atau turunan antinya dengan bentuk umum ∫f(x)dx = F(x) + k, dimana k adalah konstanta tak tentu. Terdapat beberapa kaidah integrasi tak tentu seperti formula pangkat, logaritma, eksponensial, penjumlahan, perkalian, dan substitusi
Limit fungsi pada materi ini diberikan mulai dari awal munculnya kata limit sampai kategori fungsi yang tidak mempunyai limit. Bagian terakhir berisi tentang latihan mencari limit fungsi . Silahkan menikmati dan selamat bermatematika ceria. :)) Kunjungi kami di www.haimatematika.com
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Secara umum dibahas tentang definisi fungsi, domain dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti fungsi polinomial, rasional, genap, ganjil dan periodik, serta operasi-operasi pada fungsi seperti operasi aljabar dan komposisi fungsi.
1. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi dan sumbu-sumbu koordinat. Luas tersebut dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkan luas masing-masing bagian.
Bab ini membahas integral lipat dua pada berbagai koordinat dan daerah integrasi. Integral lipat dua digunakan untuk menghitung volume, pusat massa, dan momen inersia. Contoh soal mendemonstrasikan teknik penyelesaian integral lipat dua dengan merubah urutan integrasi sesuai bentuk daerah integrasinya.
Mata kuliah Kalkulus 2 mencakup materi integral, metode integrasi, fungsi transenden, luas dan integral tertentu, volume benda putar, integral tak wajar, dan kalkulus geometri. Satuan acara mencakup pengertian integral, rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas, volume, dan integral tak wajar.
Dokumen tersebut membahas tentang perhitungan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi, garis, dan sumbu koordinat dengan menggunakan integral. Metode perhitungan luas daerah dijelaskan untuk berbagai kondisi seperti daerah dibatasi satu atau dua grafik fungsi, daerah positif atau negatif, serta contoh soal latihan perhitungan luas daerah.
Dokumen tersebut membahas tentang integral dan beberapa konsep dasarnya, meliputi:
1. Definisi antiturunan dan beberapa contohnya
2. Penghitungan luas daerah di bawah kurva dengan pendekatan persegi panjang
3. Definisi integral tentu dan beberapa sifat integral
Dokumen tersebut berisi soal-soal tentang perhitungan integral tentu dan tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri sesuai dengan kompetensi dasar dan indikator yang telah ditentukan. Soal-soal tersebut mencakup perhitungan nilai integral tentu, penggunaan sifat-sifat integral, dan penentuan himpunan penyelesaian persamaan integral.
1. Dokumen ini membahas tentang definisi integral ganda dan penerapannya dalam menghitung momen inersia.
2. Integral ganda adalah integral dari fungsi dua variabel yang terdefinisi pada daerah tertutup. Rumus momen inersia lamina terhadap sumbu-sumbu x, y, dan z dituliskan menggunakan integral ganda.
3. Momen inersia adalah ukuran kekakuan benda pada gerakan rotasi, seperti halnya massa pada gerakan
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar dengan menjelaskan tiga metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, yang meliputi konsep dasar integral tak tentu, materi integral tak tentu seperti mengenal integral sebagai anti turunan dan merumuskan integral fungsi aljabar dan trigonometri, serta aplikasi integral tak tentu dalam pemecahan masalah.
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan penerapannya dalam ekonomi, meliputi pengertian integral tak tentu, bentuk umum, kaidah-kaidah integral, dan contoh penerapan pada fungsi biaya, penerimaan, utilitas, produksi, dan konsumsi-tabungan."
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan konsep integral dalam menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. Termasuk menjelaskan rumus-rumus untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, sumbu x, dan batas integral. Juga memberikan contoh soal dan pembahasan untuk menghitung luas daerah tertentu.
Dokumen tersebut membahas penggunaan konsep integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. Termasuk rumus untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi, sumbu x, dan batas integral. Juga contoh soal dan pembahasan untuk menghitung luas daerah tertentu menggunakan integral.
Sma kelas xii ipa sem 1(menghitung luas daerah) kd1.3jasmoyo
Dokumen tersebut membahas penggunaan konsep integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. Termasuk rumus untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi, sumbu x, dan batas integral. Juga contoh soal dan pembahasan untuk menghitung luas daerah tertentu menggunakan integral.
Integral lipat dua merupakan generalisasi dari integral satu variabel untuk menghitung luas bawah permukaan dua variabel. Integral lipat dua didefinisikan sebagai batas dari jumlah Riemann ganda yang menjumlahkan luas sub-persegi panjang yang dikalikan nilai fungsi pada titik sampel masing-masing. Titik sampel dipilih untuk mewakili luas sub-persegi panjang. Integral lipat dua dapat digunakan untuk menghitung volume benda pejal di at
1. Dokumen tersebut membahas konsep integral Riemann dan cara menghitung luas daerah di bawah kurva menggunakan pendekatan jumlah Riemann.
2. Jumlah Riemann merupakan pendekatan luas daerah dengan membagi daerah menjadi beberapa bidang datar kecil dan menjumlahkan luasnya.
3. Luas daerah sebenarnya diperoleh dengan mengambil batas jumlah Riemann ketika ukuran bidang datar mendekati
Teks tersebut merangkum konsep dasar persamaan diferensial, turunan, dan integral. Persamaan diferensial adalah persamaan yang meliput turunan dari suatu fungsi, sedangkan order dan derajatnya terkait dengan turunan tertinggi. Turunan pertama suatu fungsi menunjukkan kemiringannya. Integral dapat diartikan sebagai kebalikan dari diferensial yang digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva. Integral dan turunan memiliki
BAB 4
LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI
Penerbit Erlangga
Bab 4 membahas konsep limit dan turunan fungsi secara intuitif dan formal. Limit fungsi dijelaskan sebagai pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai. Turunan fungsi didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi. Berbagai rumus dan aturan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dipaparkan beserta penerapannya untuk menentukan kecepatan dan percepatan
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan konsep integral dalam menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan volume benda putar. Integral digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva, di atas sumbu x, dan antara dua kurva. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta pembahasannya.
Bab 1 Integral - Matematika SMA Kelas XII.pptxFitriYanto15
Dokumen tersebut membahas konsep integral dan operasi pengintegralan. Integral digunakan untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Terdapat beberapa jenis integral seperti integral tak tentu, integral tentu, serta rumus-rumus integral untuk fungsi aljabar dan trigonometri.
Dokumen tersebut membahas konsep integral dan operasi pengintegralan. Integral digunakan untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Terdapat beberapa jenis integral seperti integral tak tentu, integral tentu, serta rumus-rumus integral untuk fungsi aljabar dan trigonometri.
Integral pertama kali diperkenalkan di SMA sebagai kebalikan dari turunan. Ternyata, integral awalnya tidak berhubungan sama sekali dengan turunan. Mereka adalah dua cabang ilmu yang sangat berbeda. Sehingga, perhitungan integral yang "asli" sangatlah berbeda seperti yang kalian pelajari di SMA. Namun, perhitungan integral dengan menggunakan anti-turunan (di SMA) akan tetap digunakan setelah mempelajari Teorema Fundamental Kalkulus (Bab 2).
Cermati penjelasan di atas agar dapat memahami integral dengan benar.
Click profile untuk melihat bab-bab lain mengenai integral, atau materi lain.
Dokumen tersebut membahas tentang deret Fourier, yang merupakan ekspansi matematis untuk merepresentasikan fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi sinus dan kosinus. Dokumen tersebut menjelaskan konsep dasar deret Fourier seperti fungsi periodik, kontinuitas, koefisien Fourier, serta kondisi agar deret Fourier konvergen.
Dokumen tersebut membahas materi integral kalkulus mulai dari pengertian integral, rumus-rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas dan volume benda dua dan tiga dimensi.
Gradien adalah turunan parsial suatu fungsi terhadap variabel-variabelnya dan menunjukkan arah kemiringan maksimum. Operator del digunakan untuk mewakili gradien dan turunan parsial vektor lainnya. Gradien memiliki sifat-sifat seperti linieritas dan komutatifitas. Nilai maksimum turunan berarah sama dengan besar nilai gradien.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk aturan segitiga dan jajargenjang untuk penjumlahan vektor secara geometris, serta penjumlahan dan pengurangan vektor secara aljabar. Dokumen tersebut juga membahas perkalian vektor dan skalar serta persamaan garis dan bidang di ruang vektor.
Dokumen tersebut berisi soal-soal tentang hukum dasar kimia yang meliputi hukum Lavoisier tentang kekekalan massa, hukum perbandingan tetap Dalton, dan hukum Gay-Lussac tentang volume gas. Beberapa soal juga membahas konsep inti dalam hukum dasar kimia seperti perbandingan massa unsur yang terkandung dalam senyawa kimia.
This document discusses the development of atomic theory and models from ancient Greek philosophers to modern quantum mechanics. It explains key contributors including Democritus, Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, de Broglie, Schrodinger, and Heisenberg. Major milestones included recognizing atoms as the basic unit of matter, discovering the electron, proposing nuclear models, and developing quantum mechanics to explain electron behavior. The development of atomic theory led to greater understanding of atomic structure and properties.
Dokumen tersebut membahas tentang badai tropis, termasuk pengertian, penyebab terjadinya, dampak yang ditimbulkannya, musim badai tropis, kategori kecepatan angin, wilayah rawan terjadinya, beberapa badai besar yang menimbulkan korban jiwa, gejala awal, serta upaya mitigasi dan peringatan dini.
Modul ini membahas hukum-hukum genetika Mendel melalui eksperimen persilangan tanaman kacang ercis. Modul ini menjelaskan hukum segregasi Mendel yang menyatakan bahwa faktor-faktor hereditas terpisah saat pembentukan gamet sehingga setiap gamet hanya membawa satu faktor untuk setiap sifat. Modul ini juga menjelaskan hasil persilangan monohibrid dan dihibrid serta uji silang yang mendukung huk
Aliran energi dan siklus kehidupan dalam ekosistem [kel 3&4 (x)]Nabila Arifannisa
Dokumen tersebut membahas tentang aliran energi dan siklus kehidupan dalam ekosistem. Ia menjelaskan bagaimana energi alir dari produsen ke konsumen primer, sekunder, dan seterusnya melalui rantai makanan. Hanya sebagian kecil energi yang tersisa pada setiap tingkat trofik karena sebagian besar hilang sebagai panas. Dokumen ini juga menjelaskan berbagai komponen ekosistem dan bagaimana mereka saling berinteraksi.
Perang Dunia I melanda Eropa dari 1914-1918 akibat sengketa wilayah dan persaingan ekonomi antar kekuatan Eropa. Konflik ini meluas menjadi perang global setelah Amerika Serikat dan negara-negara lain ikut campur. Perang berakhir dengan kekalahan Blok Sentral dan ditandatanganinya Perjanjian Versailles 1919.
Dokumen tersebut membahas perbandingan antara Perang Dunia I, Perang Dunia II, dan Perang Dingin dalam hal perkembangan teknologi dan senjata yang digunakan. Pada Perang Dunia I masih banyak menggunakan senjata konvensional secara manual, sedangkan Perang Dunia II mulai banyak menggunakan roket dan teknologi modern. Perang Dingin dicirikan oleh pertarungan ideologi dan pengembangan senjata nuklir antara blok Bar
Kunjungan wisata bersejarah ke Hulu Riau dan Pulau Penyengat meliputi kunjungan ke situs-situs bersejarah seperti makam Dayang Marewah, Makam Tuan Abbas Bendahara Seri Maharaja, dan Makam Daeng Celak. Kunjungan wisata juga meliputi kompleks makam Engku Putri, masjid raya Penyengat, kantor gubernur zaman Belanda, dan balai adat Penyengat.
Bab 11 membahas tentang pencemaran lingkungan seperti pencemaran udara oleh asap pabrik dan kendaraan, kerusakan hutan akibat hujan asam, efek rumah kaca yang menyebabkan pemanasan global, penipisan lapisan ozon di atmosfer, serta pencemaran tanah, air, dan suara yang disebabkan oleh berbagai aktivitas manusia seperti sampah, limbah pertanian, dan kebisingan pesawat terbang. Dokumen ini juga menjelaskan penanganan limbah organik
Dokumen ini membahas tentang struktur dan bentuk bakteri seperti kokus, basil, dan spiral. Juga dibahas mengenai contoh bakteri seperti Streptococcus lactis, Salmonella, dan Escherichia coli. Selanjutnya dijelaskan struktur dasar sel bakteri seperti sitoplasma, ribosom, nukleoid, membran plasma, dan dinding sel. Dokumen ini juga membahas perbedaan antara bakteri gram positif dan negatif beserta struktur dinding selny
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
3. Integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan
mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval
tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian
bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung
dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Definite integral is a number that magnitude is determined by taking the limit of
Riemann sum, which is associated with a norm closed interval partition approaches
zero, the fundamental theorem of calculus (see below) states that the definite
integrals of a continuous function can be calculated easily if we can find the
antiderivative / antiderivatif function.
4. • Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak
tentuprimitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ataupun di mana:
The entire set of antiderivative / antiderivatif a function f is not tentuprimitif integral of ƒ with
respect to x and is written mathematically as:
Or where:
• Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
• Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x2, maka integral tak tentu ataupun anti turunan dari
fungsi tersebut adalah:
• Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam
bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah
• sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
• The expression F (x) + C is a general antiderivatif f and C are arbitrary constants.
• Suppose there is a function f (x) = x2, then the indefinite integral or antiderivative of this
function are:
• Note that unlike certain integral indefinite integral. Definite integrals in the form is a
number, when the integral indeterminate: it is a function that has an additional
arbitrary constant C.
5. • Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
• secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ,
sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
• Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan
domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx
adalah variabel pengintegralan.
• Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang
diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
• Given a function f of real variable x and the interval between [a, b] on the real line, definite integrals:
informally defined as an area on the xy plane bounded by the curve graph of f, the x-axis, and
vertical lines x = a and x = b.
• In integral notation above: a is the lower limit and b is the upper limit that determines the
integration domain, f is the integrands to be evaluated with respect to x on the interval [a, b], and dx
is the integration variable.
•
Along with the increasing number of subintervals and the limited width of subintervals are taken,
covering a total area of bars will get closer to the area under the curve.
6. • Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya
digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari
penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada
interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi
banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,…, xn
– 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
• There are various types of formal definition of definite integrals, but the most commonly used is the
definition of Riemann integral. Rieman Integral is defined as the limit of the Riemann sum.
Misalkanlah we want to find the area bounded by the function f on a closed interval [a, b]. In
searching the area, the interval [a, b] can we divide into many subintervals which do not have the
same width, and we choose the number of n-1 points {x1, x2, x3, ..., xn - 1} between a to b so that
satisfy the relation:
• Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi
[a,b] menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1,
demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi – xi – 1. Pada tiap-tiap subinterval
inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang
ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx
dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita
menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan
keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
• The set is what we call the partition [a, b], which divides [a, b] into a
number n subintervals . The width of the first subintervals *x0, x1+ we stated as Δx1, as well as the i-th
width subintervals we stated as Δxi = xi - xi - 1. In each of these subintervals we choose an arbitrary
point and at the i-th subintervals we choose an arbitrary point ti. So on each subintervals will have a
wide rectangular bars of Δx and height starts from the x-axis until it touches the point (ti, f (ti)) on the
curve. If we calculate the area of each bar is by multiplying f (ti) • Δxi and summing the total area of
the bar area, we will get:
7. • Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan
bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan
semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma
partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
• Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa
bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari
penjumlahan Riemann apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun
terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk
setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita
dapatkan
• Sp sum is called the Riemann sum for f on the interval [a, b]. Note that the smaller the partition
subintervals we take, this Riemann sum will get closer to the area we want. If we take the limit of
the norm of the partition is close to zero, then we will get a wide area.
Carefully, the definition of definite integrals as limits of Riemann sum is:
• Given f (x) as a function defined on a closed interval [a, b]. We say that a certain number I is the
integral f along [a, b] and that I is a limit of Riemann sum if the following conditions are met:
• For any number ε> 0 whatever there is a number δ> 0, corresponding with him so it seems for
every partition along [a, b] with and choice of any ti on [xk - 1, ti], we get:
8. • Secara matematis dapat kita tuliskan:
• Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga
persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
• Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati
tak terhingga banyaknya.
• Mathematically we can write:
• If each partition has the same number of n subintervals, then the width Δx = (ba) / n, so the equation
above we can also write as:
• This limit is always taken when the norm of the partition is close to zero and the number of subintervals
that there are many approaches infinity.
9. • Contoh soal:
• Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas
daerah A dibawah kurva y=xb], b>0, maka perhitungan integral tertentu
sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah pada interval [0,
• Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang
norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b]
menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b – 0)/n = b/n dan titik t’i yang dipilih adalah titik
akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan sehingga:
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi
mendekati 0, maka didapatkan:
10. • Sample questions:
• For example, if we want to calculate definite integrals , ie to find the area A under the
curve y = xb], b> 0, then the calculation of definite integrals as limits of summation
Riemannnya is on the interval [0,
•
• Selection of partitions or arbitrarily ti point will produce the same value along the partition norm
close to zero. If we choose a partition P divide the interval [0, b] into n subintervals of equal width Δx
= (b - 0) / n = b / n and t'i point selected is the left endpoint of each subintervals, we partition get is:
and therefore:
Along with n approaching infinity and norm of the partition approaches
0, then we have:
•
11. • Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu
tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian
bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
• Teorema dasar
• Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang
saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif
dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada
menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis
dalam menghitung integral tertentu.
• In practice, the application of the definition of definite integrals in finding the value of
definite integrals is rarely used because it is not practical. The fundamental theorem of
calculus (see below) provides a more practical way to find the value of definite integrals.
• Basic theorem
The fundamental theorem of calculus states that derivatives and integrals are two conflicting
operations. More precisely, this theorem linking the value of a particular anti-derivative to
the integral. Because it is easier to calculate an anti-derivative rather than applying the
definition of definite integrals, Fundamental Theorem of Calculus provides a practical way to
calculate definite integrals.
12. • Teorema dasar kalkulus menyatakan:
• Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya
adalah f pada interval (a,b), maka
• Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
• Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada menggunakan
definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat
menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari
fungsi adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai
dari integral tertentu adalah:
The fundamental theorem of calculus states:
If a function f is continuous on the interval [a, b] and if F is a function for which derivatives are f on the
interval (a, b), then
• Furthermore, for every x in the interval (a, b),
• For example if we want to calculate the value of the integral , rather than using the definition
of definite integrals as limits of Riemann sum (see section above), we can use the fundamental
theorem of calculus in calculating the value of these integrals. Anti derivative of the function is
. Therefore, in accordance with the fundamental theorem of calculus, the value of definite
integrals are:
13. • Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0,
maka kita akan dapatkan:
• Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus
ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral
tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering
digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
• If we want to find the area A under the curve y = x in the interval [0, b], b> 0, then we will
get:
Note that the results we get by using the fundamental theorem of calculus is the same as
the results we get by applying the definition of definite integrals (see section above).
Therefore, more practical, fundamental theorem of calculus is often used to find the value
of definite integrals.
14. dapat diselesaikan dengan teknik Integral
subtitusi, langkahnya :
- Ubah cos5x = cos4 x . cosx
= (cos2x)2 .cosx = (1 – sin2x)2.cosx
- Misalkan u = sin x , sehingga du =
cosx.dx
- Jadi : ∫cos5x.dx = ∫(1 – sin2x)2.cosx.dx
= ∫(1 – u2)2 .du
= ∫(1 – 2u2 + u4) .du
= u – 2/3u3 + 1/5u5
= sinx - 2/3sin3x+ 1/5sin5x + c
can be solved by substitution Integral techniques, steps:
- Change cos5x = cos4 x. cosx
= (Cos2x) 2. Cosx = (1 - sin2x) 2.cosx
- Let u = sin x, so du = cosx.dx
- So: ∫ cos5x.dx = ∫ (1 - sin2x) 2.cosx.dx
= ∫ (1 - u2) 2. Du
= ∫ (1 - 2u2 + U4). Du
= U - 2/3u3 + 1/5u5
= Sinx - 2/3sin3x + 1/5sin5x + c
15. • Bentuk integral tertentu dapat ditulis
b
• Apabila fungsi f terdefinisi ( kontinu ) pada interval [ a , b ] , maka f (x) dx
a
dinamakan Integral tertentu .
• Untuk menentukan nilai Integral tertentu tersebut , kita menggunakan Teorema
dasar kalkulus integral di atas ,yaitu
= F(b) F(a)
• Form of definite integrals can be written b
When defining the function f (continuous) on the interval [a, b], then f ( x ) dx called
a
Definite integral.
To determine the value of certain integrals, we use the fundamental theorem of
integral calculus above, namely
17. Sifat sifat integral tertentu
b a
1. f ( x ) dx 0 f ( x ) dx 0
a a
b a
2. f ( x ) dx f ( x ) dx
a b
b b
3.; k f ( x ) dx k f ( x ) dx dimana k adalah konstanta real sembarang
a a
b b b
4.
( f ( x) g ( x ) ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
a a a
c b b
5. f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ; dimana a < c < b
a c a b
f ( x ) dx 0
6. a. Jika f ( x ) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka a
b
b. Jika f ( x ) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka f ( x ) dx 0
a
Contoh :
= [ 22 – 5.2] – [ (-1)2 – 5.(-1)]
= [ 4 – 10 ] – [ 1 + 5 ]
= - 12
18. • Salah satu alplikasi intergaral adalah menentukan luas kurva,baik antara kurva
dengan sumbu x atau kurva dengan sumbu Y atau luas antara 2 kurva
• Luas kurva dengan sumbu x dapat dilakukan dengan mengambil elemen luas
berbentuk persegi panjang dengan panjang dx dan lebar y.
• Maka diperoleh elemen luas dL = y.dx,sehingga untuk luas keselruhan dapat
dilakukan dengan menggabungkan semua elemen luas dengan menggunakan
integral sehinga diperoleh :
L=
Yang perlu diperhatikan,jika luas daerah yang mau dihitung terletak di bawah
sumbu x,maka perlu ditamabahin minus di depan persamaan untuk memperoleh
luas bertanda positif
L=-
19. • One is to determine the extent of alplikasi intergaral curve, both between the curves
with the x-axis or Y axis or curve with wide between 2 curves
• Broad curve with the x-axis can be done by taking a rectangular area element with
length dx and width y.
Then obtained broad elements dL = y.dx, so to broad keselruhan can be done by
combining all the elements so widely by using the integral is obtained:
L=
To note, if the vast area that would be calculated located below the x-axis, it is necessary
to ditamabahin minus in front of the equation to obtain broad positive marked
L=-
20. LUAS SEBAGAI LIMIT SUATU JUMLAH ( INTEGRAL TERTENTU
SEBAGAI LUAS DAERAH DI BIDANG DATAR )
• Pengertian : perhatikan gambar di bawah ini , luas daerah yang di arsir merupakan luas
daerah yang di batasi oleh
• Kurva y = f ( x ) , garis x = a , garis x = b dan sumbu x . n
• Luas daerah tersebut jika dinyatakan dalam bentuk notasi sigma adalah L = x 1 ( y i xi )
• Jika n cukup besar ( mendekati tak berhingga ) , maka Δ x cukup kecil ( mendekati nol )
, maka nilai dari
• Notasi sigma di atas dapat dinyatakan sebagai limit , yaitu
n
•
b
L = nlim ( y i xi ) = lim
x 1
x 0 ( y x)
x a
• Dan limit di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk Integral yaitu :
b b
L = y dx = f ( x ) dx
a a
21. WIDE AS THE LIMIT OF A TOTAL (AS A BROAD AREA OF CERTAIN INTEGRAL IN
THE FLAT)
• Definition: look at the picture below, which in the shaded area represents the
area limited by
The curve y = f (x), the line x = a, the line x = b and x-axis.
n
Wide area if expressed in terms of sigma notation is L = ( y x )
x 1
i i
If n is big enough (approaching infinity), then Δ x is small enough (close to zero),
then the value of
Sigma notation above can be expressed as a limit, namely
n
( y x ) = lim 0
b
L = lim n
x 1
x ( y x)
i i
x a
• And the limit above can be expressed as an integral form, namely:
b b
y dx = f ( x ) dx
L = a a
22. • * . TEORI DASAR INTEGRAL KALKULUS ( TEORI FUNDAMENTAL )
• = F(b) F(a)
• Jika F ( x ) adalah anti diferensial dari fungsi f ( x ) dengan daerah asal DF = , x / a ≤ x
≤ b -,
• Dan kurva f ( x ) kontinu dalam interval [ a , b ] . maka :
• Luas daerah yang di batasi oleh kurva y = f ( x ) , sumbu X , garis x = a dan x = b
ditentukan dengan rumus : b b
L = f ( x ) dx [ F ( x) ]
a a
• dengan keterangan : F ( x ) = anti turunan dari f ( x ) atau hasil integral dari f ( x )
• a = batas bawah pengintegralan
• b = batas atas pengintegralan
• f (x ) = integran atau fungsi yang diintegralkan
•
• *. BASIC THEORY OF INTEGRAL CALCULUS (FUNDAMENTAL THEORY)
If F (x) is the anti-differential of f (x) by region of origin DF = ,x / a ≤ x ≤ b-,
And the curve f (x) is continuous in the interval [a, b]. then:
Wide area limited by the curve y = f (x), X axis, the line x = a and x = b is determined by the formula:
b b
L = f ( x ) dx [ F ( x) ]
a a
• with the statement: F (x) = anti derivative of f (x) or the integral of f (x)
a = lower limit of integration
b = upper limit of integration
f (x) = integrands or functions be integrated
23. • Ada beberapa penggunaan integral tertentu dalam pokok bahasan ini , a.l :
• 1. menghitung luas daerah
• a. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x) , sumbu x , garis x = a dan garis
x=b
• b. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x) , kurva y = g(x) , garis x = a
dan garis x = b
• c. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y) , sumbu y , garis y = a dan
garis y = b
• d. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y) , kurva x = g(y) , garis y = a
dan garis y = b
• 2. menghitung Volume benda putar
• a. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x),
sumbu x , garis x = a
• dan garis x = b yang di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360°
• b. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y),
sumbu y , garis y = a
• dan garis y = b yang di putar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°
• c. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x),
kurva y = g(x) ,
• garis x = a dan garis x = b yang di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360°
• d. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y),
kurva x = g(y) ,
• garis y = a dan garis y = b yang di putar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°
24. • There is some use of the definite integrals in this subject, al:
1. calculate the area
a. calculate the area is limited by the curve y = f (x), x-axis, the line x = a and the line x = b
b. calculate the area is limited by the curve y = f (x), the curve y = g (x), the line x = a and the line x =
b
c. calculate the area is limited by the curve x = f (y), y-axis, the line y = a and the line y = b
d. calculate the area is limited by the curve x = f (y), the curve x = g (y), the line y = a and the line y =
b
2. calculate the volume of rotating objects
a. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve y = f (x), x-
axis, the line x = a
and the line x = b which in turn surrounds the X axis as far as 360 °
b. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve x = f (y), y-
axis, the line y = a
and the line y = b which in turn surrounds the Y axis as far as 360 °
c. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve y = f (x), the
curve y = g (x),
line x = a and the line x = b which in turn surrounds the X axis as far as 360 °
d. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve x = f (y), the
curve x = g (y),
line y = a and the line y = b which in turn surrounds the Y axis as far as 360 °