Ένα μικρό διαγώνισμα με έξι θέματα θεωρίας, μέχρι και το κεφάλαιο της εξίσωσης εφαπτομένης παραγωγίσιμης συνάρτησης. Για λόγους επανάληψης έχει ζητηθεί να αιτιολογηθούν όλες οι απαντήσεις (και τα Σ-Λ). Καλή επιτυχία! :)

1. Επανάληψη στην ΘΕΩΡΙΑ μέχρι και εξίσωση
εφαπτομένης
7 Ιανουαρίου 2016
ΝΑ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΕΤΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΑΣ!
Θέμα Α
1. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής για το όριο μίας συνάρτησης
f : A −→ R στο x0 ∈ A (6 μονάδες).
2. Να αποδείξετε ότι (x2) = 2x με την χρήση του ορισμού της παραγώγου (6
μονάδες).
3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα ∆
του πεδίου ορισμού της; (3 μονάδες)
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σ, αν είναι σωστή, και με Λ αν είναι
λανθασμένη (10 μονάδες):
α)Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της
τότε είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.
β)Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι limx→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
= l ∈ R, l = 0 για
κάθε x0 στο πεδίο ορισμού της, τότε η f δεν έχει οριζόντια εφαπτομένη.
γ)Η συνάρτηση f(x) = x
x+1 είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού
της.
δ)Ισχύει ότι limx→0
|x|
x = 1.
ε)Ισχύει ότι limx→0
ηµx
x = 0.
Θέμα Β
1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano για μία συνάρτηση f σε ένα διά-
στημα [α, β] (6 μονάδες).
2. Να αποδείξετε ότι (
√
x) = 1
2
√
x
με την χρήση του ορισμού της παραγώγου
(6 μονάδες).
3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστον σε ένα σημείο
x0 του πεδίου ορισμού της; Ποιο είναι αυτό το ελάχιστο; (3 μονάδες)
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σ, αν είναι σωστή, και με Λ αν είναι
λανθασμένη (10 μονάδες):
α)Ισχύει ότι limx→x0 f(x) = f(x0) για κάθε συνάρτηση f.
β)Αν f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 τότε limx→x0 f(x) ≤ limx→x0 g(x).
γ)Ισχύει ότι (ln(3x)) = 1
3x.
δ)Μία αντιστρέψιμη συνάρτηση f είναι πάντοτε γνησίως μονότονη.
1

2. ε)Ισχύει ότι limx→0
1−συν(αx)
x = 0, για κάθε α ∈ R.
Θέμα Γ
1. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών για μία συνάρτηση f σε
ένα διάστημα [α, β] και να το αποδείξετε (9 μονάδες).
2. Να αποδείξετε ότι (c) = 0 με την χρήση του ορισμού της παραγώγου (3
μονάδες).
3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου
ορισμού της; (3 μονάδες)
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σ, αν είναι σωστή, και με Λ αν είναι
λανθασμένη (10 μονάδες):
α)Αν μία συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου
ορισμού της τότε δεν είναι συνεχής σε αυτό.
β)Οι συναρτήσεις f(x) = x2−x−2
x+1 και g(x) = x2−5x+6
x−3 είναι ίσες.
γ)Η εξίσωση x3 + ex = 3 δεν έχει ρίζα στο διάστημα (0, 1).
δ)Η συνάρτηση f(x) = |x+2| είναι παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της.
ε)Ισχύει ότι limx→0
ηµ(αx)
x = α για κάθε α ∈ R.
Θέμα Δ
1. Να δώσετε τον ορισμό της σύνθεσης f ◦ g δύο συναρτήσεων f και g. Ποιο
είναι το πεδίο ορισμού της f ◦ g; (6 μονάδες).
2. Να αποδείξετε ότι (αx) = αx ln α, 0 < α = 1 με την χρήση του ορισμού
της παραγώγου (6 μονάδες).
3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής για μία συνάρ-
τηση f (3 μονάδες)
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σ, αν είναι σωστή, και με Λ αν είναι
λανθασμένη (10 μονάδες):
α)Κάθε γνησίως μονοτόνη συνάρτηση είναι και 1-1.
β)Κάθε συνάρτηση έχει εφαπτομένη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.
γ)Αν f(x) ≤ g(x) κοντά στο x1 και x2 = x1 τότε ισχύει ότι limx→x1 f(x) ≤
limx→x2 g(x).
δ)Η συνάρτηση f(x) =
√
x είναι παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της.
ε)Ισχύει ότι limx→+∞ ln x3+xe−xπ/2+1
x3−6x2+ln 2
= 0.
Θέμα Ε
1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα
[α, β]; (6 μονάδες)
2. Να αποδείξετε ότι (f + g) (x) = f (x) + g (x) για δύο συναρτήσεις f και g
με την χρήση του ορισμού της παραγώγου (6 μονάδες).
3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του
πεδίου ορισμού της; (3 μονάδες)
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σ, αν είναι σωστή, και με Λ αν είναι
λανθασμένη (10 μονάδες):
α)Η συνάρτηση f(x) = xe + log10(2016) παίρνει μέγιστη τιμή στο διάστημα
[−π, 3].
β)Η εξίσωση |ηµx| = |x| έχει μοναδική ρίζα.
2

3. γ)Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι και συνεχής.
δ)Η συνάρτηση f(x) = 3
|x| είναι παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της.
ε)Ισχύει ότι limx→−∞
ηµx
x = 1.
Θέμα ΣΤ
1. Πότε λέμα ότι μιά συνάρτηση f είναι παραγωίσμη στο κλειστό διάστημα
[α, β]; (6 μονάδες)
2. Να αποδείξετε ότι (xν) = νxν−1, ν ∈ N με την χρήση του ορισμού της
παραγώγου (6 μονάδες).
3. Να αποδείξετε ότι ln(|x|) = 1
x (3 μονάδες)
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σ, αν είναι σωστή, και με Λ αν είναι
λανθασμένη (10 μονάδες):
α)Αν f : (α, x0) −→ R τότε limx→x0 f(x) = limx→x−
0
f(x).
β)Η συνάρτηση f(x) = ln(ex3 + x2 − 2x + 1) δεν παίρνει την τιμή 1/2 στο
διάστημα (0, 1).
γ)Η συνάρτηση f(x) = |x2 + 2| είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.
δ)Κάθε συνεχής συνάρτηση έχει ρίζα.
ε)Αν limh→0
f(x0+h)−f(x0)
h = l ∈ R για κάθε x0 στο πεδίο ορισμού της f τότε
η f είναι συνεχής.
3