36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)

36
Επαναληπτικά Θέματα
Μαθηματικών
Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης
(με τις λύσεις τους)
Πηγή θεμάτων:
Κώστας Μπιρμπίλης
6972 700 516
Ασημακόπουλος Γιώργος
http://gsimos.weebly.com/
Χειρόγραφη επίλυση θεμάτων:
Παύλος Τρύφων
http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
pavtrifon@gmail.com
ΘΕΜΑ 1
e-τάξη μου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

Έστω η συνεχής συνάρτηση :(0, )f R+∞ → τέτοια ώστε για κάθε 0x > να ισχύει:
( )
1
1
( )
( 1)
x
f t
t
f x dt
t e
+
=
+∫ .
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει: ( )
( ) lnf x
e f x x x+ = + .
β) Να αποδείξετε ότι: ( ) lnf x x= για κάθε 0x > .
γ) Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης g , με ( ) ( ) ( ), 0
e
g x f x f x
x
= × > .
δ) Αν 0<α<β<γ, να αποδείξετε ότι ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ β
β α γ β
− −
>
− −
.
ΘΕΜΑ 2
Έστω οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν:
( ) ( ) 0f fα α′= = και ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′′ ′′= για κάθε [ , ]x α β∈ .
α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′= για κάθε [ , ]x α β∈ .
β) Αν ισχύει ( ) 0g x ≠ για κάθε [ , ]x α β∈ να αποδείξετε ότι ισχύει ( ) 0f x = , για
κάθε [ , ]x α β∈ .
ΘΕΜΑ 3
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :[ , ]f Rα β → , με ( )f α α= και ( )f β β= ,
όπου 0<α<β. Να αποδείξετε ότι:
α) υπάρχει εφαπτόμενη ευθεία της fC η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y x=
β) υπάρχει 0 ( , )x α β∈ τέτοιο, ώστε: 0 0( )f x xα β= + − .
γ) υπάρχουν 1 2ξ ξ< τέτοια, ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′× = .
δ) αν υπάρχει η f ′′ στο [α, β] και είναι συνεχής, ώστε

( ) 0xf x dx
β
α
′′ =∫ τότε η εξίσωση: ( ) ( ) 1xf x f x′′ ′+ = έχει λύση στο (α, β).
ΘΕΜΑ 4
Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει:
(0)
( )
0
1
( )
1
x
f
f t
f x e dt
e
= − +
+∫ για κάθε x R∈ .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.
β) Να αποδείξετε ότι ισχύει: ( ) ( )f fβ α β α− ≤ − για κάθε , Rα β ∈ .
γ) Να αποδείξετε ότι:
1
2
0
1
( ) ( (0)) (0) 1
2
f x dx f f= − −∫ .
ΘΕΜΑ 5
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : Rf R→ , με παράγωγο f ′ συνεχή στο R
και (0) 0f ′ > , για την οποία ισχύει: ( ) ( )f y f x y x− ≥ − για κάθε ,x y R∈
α) Να αποδείξετε ότι ( ) 1f x′ ≥ για κάθε x R∈
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2016f x = έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα.
γ) Να αποδείξετε ότι, αν (0) 0f ≥ , τότε η εξίσωση
1
( ) ( )
x
xf x f t dt= ∫
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0,1).
ΘΕΜΑ 6
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, παραγωγίσιμη στο 0 και για κάθε x R∈
ισχύει:
xf(x)-
1
( )
x
f t dt∫ = xex
-ex
+ x2
+e + 2.
Α) Να αποδείξετε ότι:

i) η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει
x · f ′(χ) =xex
+ 2χ.
ii) f(x) = ex
+2x + l , . x R∈
Β) Αν g (x) = xex
+ 2x +1, x R∈ , να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από
τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες x = 0 και χ = 1.
ΘΕΜΑ 7
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : Rf R→ με (0) 0f > , για την οποία ισχύει:
( ) ( ) ( )f t dt f f
β
α
α β′ ′≤ −∫ για κάθε , Rα β ∈ .
α) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )f x f x′′ = − για κάθε x R∈ .
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση : Rg R→ με τύπο
2 2
( ) ( ( )) ( ( ))g x f x f x′= + είναι σταθερή.
γ) Να βρείτε το
( )
lim
x
f x
x→+∞
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x R∈ τέτοιο,
ώστε να ισχύει: 0 0( )f x x= .
ΘΕΜΑ 8
Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = ln 1, 0 ( 0).x x xλ λ− + > >
i. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. Έστω Μ το σημείο πού αντιστοιχεί στο μέγιστο της Cf.
Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του λ, τη καμπύλη στην οποία κινείται το Μ.
iii. Να βρείτε τη μικρότερή τιμή του λ, ώστε να ισχύει ln 1,x xλ≤ − για κάθε χ>0.

ΘΕΜΑ 9
Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει:
( )
( ) 2 ,
x
f t
o
f x te dt x R−
= ∀ ∈∫ .
i. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R
ii. Αποδείξτε οτι ο τύπος της f είναι
( )f x = 2
ln( 1),x x R+ ∈ .
iii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
iv. Αποδείξτε ότι: 20160
( )
lim
x
f x
x→
= +∞.
v. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτομένες να
είναι κάθετες.
ΘΕΜΑ 10
Έστω μία συνεχής συνάρτηση f: ( )0, R+∞ → για την οποία ισχύει
2
1
( )
( ) 1
x
x
f t x
f x dt
x+
−
= + ∫ , για κάθε χ>0.
A) Να αποδείξετε ότι:
i. Η f είναι παραγωγίσιμη
ii. Ο τύπος της f είναι: f(x) = lnx + l , x>0
iii. Η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω.
iv. Για κάθε τριάδα αριθμών α, β, γ με 0 < α < β < γ ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ β
β α γ β
− −
>
− −
B) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f, τη γραφική παράσταση της g(χ)=χ και την ευθεία χ=λ
(0<λ<1).
Στη συνέχεια να βρείτε το 0
lim ( )E
λ
λ+
→
.

ΘΕΜΑ 11
Θεωρούμε τη συνάρτηση f: [α, β] —> R παραγωγίσιμη, με συνεχή πρώτη παράγωγο,
[ ]0, ( ) , ( ) 0, ,f f x xα β α β α β′≠ ≠ = < ∀ ∈ .
Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της 1
f −
Β) Αν η 1
f −
είναι συνεχής και ισχύει
( )
1
( )
( ) ( ) 0
f
f a
f t dt f t dt
β β
α
−
+ =∫ ∫
i) Nα βρεθεί το ( )f β
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο
A(x0, f(x0 ) να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): χ - y + 2016 = 0
Γ) Να αποδείξετε ότι
i) Υπάρχει μοναδικό ξ ∈ (α,β), τέτοιο ώστε f (ξ) = ξ.
ii) Υπάρξουν ξ1,ξ2 ∈ (α,β) τέτοια ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′× = .
ΘΕΜΑ 12
Δίνεται η συνάρτηση 2
( ) 1,f x x x R= + ∈ .
Α) Να βρεθούν τα όρια: κ= lim
( )x
x
f x
συν
→+∞
, λ=
0
lim
( ) 1x
x x
f x
ηµ
→
−
−
, μ=
0
lim
( ) 1x
x
f x
ηµ
+
→ −
Β) α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Αν
1 2 1
0
, 0,1,2,3,...
( )
v
v
x
I dx v
f x
+
= =∫
i) Να βρεθούν τα ολοκληρώματα 0I , 1I
ii) Ν' αποδειχθεί ότι (2ν +1) vI 12 2 , 2,3,...vIν ν−= − =
και μετά να βρεθεί το 3I .

ΘΕΜΑ 13
(α) Δίνεται η συνάρτηση
, 0
( )
0 , 0
x x
f x x
x
π
συν

≠
= 
 =
i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο χ=0.
ii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f.
iii) Αποδείξτε ότι ( ) ( ) , 0xf x f x x
x
π
π ηµ′ − = × ≠ .
β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [1,2] , παραγωγίσιμη στο (1,2) , g(1)= -1 , g(2)=0
και ( )g
x
π
συνχ χηµχ′ ≤ + , για κάθε ,
2
x
π
π
 
∈ ÷
 
.
Να βρείτε τη συνάρτηση g.
γ) Για κάθε 2x ≥ αποδείξτε ότι 1 ( 1) .
1 2
x x
x x
π π π
συν συν< + − <
+
ΘΕΜΑ 14
(α) Να αποδειχθεί ότι 2
1
1
1 4
dt
t
εϕχ
π
χ
−
= +
+∫ , για κάθε ( , )
2 2
π π
χ ∈ − .
(β) Να λυθεί στο R η ανίσωση
2
2 20
1
1 4 1
1 lim
1 1x
dt dt
t t
χ χ
χ π →
−
+ < ×
+ +∫ ∫
(γ) Αν f,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστημα [0,α] με
( ) ( ) , ( ) ( )f x f a x g x g a x λ= − + − = , Rλ ∈ , να αποδειχθεί ότι
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
2
a a a
f x g x dx f x g x dx f x dx
λ
α α= − − =∫ ∫ ∫

(δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα 2
0 1
dx
π
χηµχ
συν χ+∫ .
ΘΕΜΑ 15
(α) Να βρεθεί το 2
lim
x
x
e
x→+∞
(β) Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ),f x f x′ ≠ για κάθε x R∈ .
Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση
( )
1x
f x
e
= έχει το πολύ μια ρίζα στο R .
(γ) Δίνονται οι μιγαδικοί 1 2 3, ,z z z με 1 2 3 4z z z+ + = και τις εικόνες τους σημεία του
κύκλου με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνας ρ=2.
i) Αποδείξτε ότι 1
1
4
z
z
=
ii) Αποδείξτε ότι
1 2 3
1 1 1
1
z z z
+ + =
iii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση
2 2 2
1 2 3
x
x z x z x z e+ + + + + = έχει μία μόνο λύση στο R.
ΘΕΜΑ 16
(α) Να αποδειχθεί ότι ln 1x x− ≥ , για κάθε χ>0.
(β) Οι όχθες ενός ποταμού ακολουθούν τις γραμμές y x= και lny x= . Να βρεθεί το
μήκος της μικρότερης γέφυρας μεταξύ των δύο ποταμών που μπορεί να κατασκευασθεί.
(γ) Δίνεται η συνάρτηση ( )
ln
x
xe
f x
x x
−
=
−
, χ>0. Να βρεθεί το πεδίο τιμών της.
(δ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 ( ln )x
x e x x= − έχει δύο λύσεις στο (0, ).+∞
ΘΕΜΑ 17
Για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει

( ) ( )
0 0
( ) 2 ( ) 2
x x
f t f x t
f x x t e dt xe dt− − −
+ − =∫ ∫ , για κάθε x R∈ .
(α) Αποδείξτε ότι
2
( ) ln( 1) ,f x x x R= + ∈
(β) Αποδείξτε ότι ( ) 1f x′ ≤ , για κάθε x R∈ .
(γ) Να δειχθεί ότι υπάρχουν μόνο δύο σημεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία
οι εφαπτομένες της να είναι κάθετες μεταξύ τους.
(δ) Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης ( ) ( ) ,g x f x x x R= − ∈ και στη
συνέχεια να λύσετε στο R την εξίσωση 2
1.x
e x= +
ΘΕΜΑ 18
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R με την ιδιότητα
2 (0) (1)
( ) 3 1 ,
2
f f
f x x x
+
≤ − + + για κάθε x R∈ .
(α) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f− =
(β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει (0,1)ox ∈ τέτοιο, ώστε
3
( ) (1) .
2
of x f− =
(γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν 1 2, (0,1)ξ ξ ∈ με 1 2ξ ξ< και
1 2
1 3
2
( ) ( )f fξ ξ
+ = −
′ ′
.
(δ) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f′ ′− = −
ΘΕΜΑ 19
(α) Δίνεται η συνάρτηση
2 2
1
, 0
g( )
(2 )
ln , 0
x x
e x
x
x
x
x
x
λ
ηµ
λ
+
+ ≤ +
= 
 × >

(λ>0).
Να αποδειχθεί ότι μια μόνο συνάρτηση από τις συναρτήσεις g είναι συνεχής στο R.
Μεταξύ ποιων ακέραιων βρίσκεται τότε η τιμή του λ;

(β) Δίνεται η συνάρτηση 2
ln
( ) , 0.
1
x
f x x
x
= >
+
i) Να αποδειχθεί ότι παρουσιάζει μέγιστο το Μ, για το οποίο ισχύει
1 1
.
8 2
M< <
ii) Να αποδειχθεί ότι 2
ln
0 0
1a
x
dx a
x
β
β= ⇔ =
+∫ , για κάθε α,β>0 και α β≠
(όταν αυτοί δεν είναι ίσοι με το 1).
ΘΕΜΑ 20
Για τη συνάρτηση f ισχύει 3 3
( ) ( ) 27f x f x x+ = , για κάθε x R∈ .
(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
(β) Να διαταχτούν σε σειρά οι αριθμοί (ξεκινώντας από το μεγαλύτερο)
f(ln 2)), ( ( 1)) , f(1).f f −
(γ) Να δειχθεί ότι 2
( )
lim 0
x
f x
x→+∞
= και να βρεθεί το όριο
( )
lim .
x
f x
x→+∞
(δ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο μηδέν.
ΘΕΜΑ 21
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :(0, )f R+∞ → με f(1)=0 και
0
( ) ( ) 2 ln
lim ,
h
f x h f x h x
h x x→
+ − − −
= για κάθε χ>0.
(α) Να αποδειχθεί ότι
ln
( ) , 0.
x
f x x
x
= >
(β) Να βρεθούν το πεδίο τιμών και οι ασύμπτωτες της f.
(γ) Για βρεθεί για ποιους φυσικούς αριθμούς ν ισχύει ( ) ( )
1
1 .
ν
ν
ν ν
+
> +
(δ) Αν ( ) 2 ( 2 ln ), 0,g x x x x= − + > να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ευθείες 1 2,ε ε
εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της g παράλληλες μεταξύ τους και τη γωνία που
σχηματίζουν με τον άξονα χ΄χ 0, .
4
π
ω
 
∈ ÷
 

ΘΕΜΑ 22
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει ( ) 0,f x ≠ για κάθε
χ R∈ και ( )
2( )
3
1
1 ,
( )
f x
e x
f x
− = − για κάθε χ R∈ .
(α) Να βρεθεί η μονοτονία της f και να αποδειχθεί ότι
1
(1) 1.
2
f< <
(β) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R και
5 9
5
( ) ( )
x x
x x
f t dt f t dt<∫ ∫ , για κάθε χ 1.≥
(γ) Να λυθεί στο R η ανίσωση
1
1
( ) .
2 x
x
f t dt
−
< ∫
ΘΕΜΑ 23
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει
 ( ) ( ) ( ),xy
f x y e f x f y+ = για κάθε χ,y R∈ ,
 f ′ συνεχής στο μηδέν,
 ( ) 0,f x ≠ για κάθε χ R∈ ,
 (0) 0f ′ = .
(α) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R.
(β) Να αποδειχθεί ότι
2
2
( ) e , .
x
f x x R= ∈
(γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ( )
1
2
0
1 ( ) .I x f x dx= +∫
(δ) Ε(β) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από την fC για 0,x ≥ τον
άξονα ψ΄ψ και την ευθεία ε: ψ=β>1. Αν η ευθεία ε τη χρονική στιγμή που β=e2
κινείται
με ταχύτητα 3m/sec, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του Ε(β) τη χρονική στιγμή αυτή.

ΘΕΜΑ 24
Δίνεται ο μιγαδικός , 0, .z x yi x y R= + ≠ ∈
(α) Αν ο αριθμός
z
z
είναι φανταστικός να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του
z στο μιγαδικό επίπεδο.
(β) Να δειχθεί ότι ο
z z
z z
+ είναι πραγματικός και μάλιστα βρίσκεται στο διάστημα
( 2,2].−
(γ) Να δειχθεί ότι
( )
1
2
0
1
Im Im( ) ln 1 .
Im( )
z
dx z
z z
  
= × + ÷ ÷  ÷   
∫
(δ) Να δειχθεί ότι
1 1
.z i i z
z z
+ + + ≥ +
ΘΕΜΑ 25
Έστω Α(u) , Β(z) , Γ(w) οι εικόνες των μιγαδικών u,z,w με Β το μέσο του ΑΓ.
Επίσης ισχύουν:

2011
10
23 1
(1 ) 32 16
u
i i
i
= − +
−
 1 2 2.w i− − =
(α) Να δειχθεί ότι 9 2u i= − + .
(β) Να δειχθεί ότι 4 2 1.z i+ − =
(γ) Να δειχθεί ότι 4 6.z w≤ − ≤

(δ) Έστω συνάρτηση f στο R με την ιδιότητα
3 2 201137
( ) ( ) ( ) 1,
4
f x z w f x f x x x+ − + = + −
για κάθε χ R∈ . Να δειχθεί ότι υπάρχει (0,1) ( ) 0.o oxώ f xστε∈ =
ΘΕΜΑ 26
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[0, )f R+∞ → με f(0)=0 με την f ′ γνήσια αύξουσα στο
(0, )+∞ . Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις
( )
( ) , 0
f x
g x x
x
= > και
2
( ) ( ) , 0.
x
F x g t dt x= >∫
(α) Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης g.
(β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F είναι κυρτή.
(γ) Να αποδειχθεί ότι
4
3
(3) (x) .F g dx< ∫
(δ) Αν 1 2 1 2, 0 4,x x x xµε> + = να βρεθεί πότε η παράσταση 1 2(x ) (x )F F+ έχει ελάχιστη
τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή.
ΘΕΜΑ 27
Δίνονται οι συναρτήσεις :(0, )f R+∞ → με ( )
2
1
1
( ) ln ln ( ) .
( )
e x
x
f x x t dt g x dt
f t
και= =∫ ∫
(α) Να αποδειχθεί ότι ( ) ln , 0f x x x= > . Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτομένη της
συνάρτησης f στο χ=e και να διαπιστωθεί ότι ln , 0.e x xά xγια κ θε≤ >
(β) Να αποδειχθεί ότι
( )1
1 2
2
1 2
ln ln
2
,
x
x x
x
x x e
 
 ÷
  ≤
−
για κάθε 1 2 1 2, 0 .x x x xµε> ≠
(γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτηση g και η μονοτονία της.
(δ) Να βρεθεί το όριο
( )
2
1
( )
lim .
1x
g x
x
+
→ −

ΘΕΜΑ 28
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : Rf R→ με (0) 0f = και 2
( ) ,x
f x xe≥
για κάθε χ R∈ .
(α) Να αποδειχθεί ότι (0) 1.f ′ =
(β) Να βρεθεί το όριο
2
0
( )
lim .
x
f x
x xηµ→
 
 ÷
 
(γ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα
1
0
.x
xe dx∫
(δ) Αν επιπλέον ισχύει
1
0
( ) 1x
f x e dx−
=∫ , να βρείτε το
1
.
2
f
 
 ÷
 
ΘΕΜΑ 29
Δίνεται η συνάρτηση
ln( )
( ) , ( ).
x
f x x R
x
λ
λ λ
λ
−
= > ∈
−
(α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f και η παράγωγος της συνάρτησης g , με
( )2
( ) ln , .g x x xλ λ= − >
(β) Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ η εξίσωση ln( ) (x ) ,x xλ λ λ λ− = − > έχει δύο
ακριβώς λύσεις.
(γ) Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από τη γραφική παράσταση
της f, τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και τις ευθείες χ=λ+1 , χ=λ+4.
(δ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ>1 ώστε
1
( ) 2.f x dx
λ µ
λ
+
+
=∫
ΘΕΜΑ 30
Για τις παραγωγίσιμες στο
1
( , )
3
−∞ συναρτήσεις ,f g ισχύουν:


1
( ) ( ) 0, .
3
f x g xά για κ θε χ× ≠ <
 (0) (0) 1f g= = −

3
( ) ( ) ( )f x g x f x′ = −

3
( ) ( )g ( ).g x f x x′ = −
(α) Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης f .
(β) Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις ,f g είναι ίσες στο
1
( , ).
3
−∞
(γ) Να αποδειχθεί ότι 3
1
( ) .
1 3
f x
x
= −
−
(δ) Να βρεθεί το εμβαδόν E της επιφάνειας του χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ),h x xf x= τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και την
ευθεία 1x = − .
ΘΕΜΑ 31
Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός
5
, .
1
i
z R
i
λ
λ
λ
+
= ∈
+
(α) Αν ο z είναι φανταστικός αποδείξτε ότι 2016
1.z =
(β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z .
(γ) Αν η εικόνα του μιγαδικού oz ανήκει στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος β),
αποδείξτε ότι
2
3
3
1
0
oz i
dx
x x
+
−
=
+∫ .
ΘΕΜΑ 32
Δίνεται η συνάρτηση f με
2
ln , 0
( )
0 , 0
x x ax x
f x
x
 + ≠
= 
=
για την οποία ισχύει

2 1
ln , 0.x x ax fά x
e
για κ θε
 
+ ≥ ≠ ÷
 
Α]
α1. Εξετάστε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της.
α2. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x ≠ ισχύει ( ) 2 ln .f x x x x a′ = + +
α3. Αποδείξτε ότι (0) 0.fα ′= =
Β]
β1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα στο διάστημα (0, )+∞ και να
βρείτε το σημείο καμπής.
β3. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (1, (1))f και
στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ( )
2
100
1
1
( ) .
101
f x dx >∫
β4. Να αποδείξετε ότι 2 (1 ) f(1 2h) , 0.f hό h που+ < + >
ΘΕΜΑ 33
Έστω 2z ≠ μιγαδικός αριθμός. Αν για την συνάρτηση f , με
( ) 1
2
2016 , 0
( )
2 1
, 0
x
z x
e x
xf x
z
x x
x
ηµ
ηµ
 −
+ × <

= 
− × >

γνωρίζουμε ότι υπάρχει το 0
lim ( ),
x
f x
→
α) Αποδείξτε ότι 1z = .
β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής που βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών
2
2
z i
w
iz
−
=
+
.

γ) Αν z a iβ= + , ,a Rβ ∈ , να δείξετε ότι η εξίσωση
20163 2
( ) 0x z a x z wβ+ − − = έχει
μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1).
δ) Αν E το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις
ευθείες , (0 )x m x n m n= = < < , αποδείξτε ότι 3 3 .E m n+ <
ΘΕΜΑ 34
Έστω z μιγαδικός αριθμός, μη μηδενικός. Ορίζουμε τη συνάρτηση A με τύπο
( ) 1 , .A x i xz x R= + − ∈
α) Αν *
Rθ ∈ , αποδείξτε ότι ( ) ( ) .A A z Rθ θ= − ⇔ ∈
β) Αν ισχύει (1) i zA + = να βρεθεί ο μιγαδικός z .
γ) Αν 3z = , να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του (1) (2).A A+
δ) Αν ισχύει
0
( )
lim 1
x
A x
x→
= − , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο
μιγαδικό επίπεδο.
ε) Αποδείξτε ότι η ευθεία
Im( )
1
z
y z x
z
 
= × + − ÷ ÷
 
είναι πλάγια ασύμπτωτη της
συνάρτησης A στο .+∞
ΘΕΜΑ 35
Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) (2 ) , (0, ).f x x x x x x xπ συν π ηµ π= − + − ∈
α) Να δειχθεί ότι η f έχει ελάχιστο 0m < και μέγιστο 0M > .
β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0 , (0, ).f x x π= ∈
γ) Να δειχθεί ότι 2
1 4
, (0, ).
( )
x
ά x
x x
ηµ
για κ θε π
π π π
< ≤ ∈
−
δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα
2
2 2
6
( )
( x)
f x
dx
x
π
π π
Ι =
−∫ .

ΘΕΜΑ 36
Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0, )+∞ με f ′ γνησίως φθίνουσα στο
[0, )+∞ και (0) 0.f ′ = Δίνεται επιπλέον ότι ( ) 0 , 0.f xά x για κ θε> >
Ορίζουμε τη συνάρτηση F με
0
, 0
( )
(x)
1
, 0
(0)
x
x
x
f t dt
F
x
f

>

= 

 =

∫
α) Να δειχθεί ότι (0) 0.f >
β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο 0.
γ) Να βρείτε το όριο
0
3 20
( ) (0) 1
lim x
x
f t dt f x x
L
x x
συν
→
+ + −
=
−
∫ .
δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει
1
( ) .
( )
F x
f x
<
ε) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα.
στ) Αν , 0a β > με
0 0
( ) ( )f t dt f t dt
βα
β α=∫ ∫ , αποδείξτε ότι .α β=
ζ) Να αποδείξετε ότι
1 1
0 0
( ) ( ) ( ) .F t dt F e tF t dt′< −∫ ∫

36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)

Similar to 36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις) (20)

More from Παύλος Τρύφων

More from Παύλος Τρύφων (20)

36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)